工程数学复习题
工程数学复习题
工程数学复习题一、单项选择题1、 设i z i z 26,2121+-=-=，,则21z z +得幅角为【 D 】 A 、 2π-B 、 2πC 、 0D 、 π 2、常数1得傅氏变换为【 C 】A 、 )(ωδB 、 )(ωπδC 、 )(2ωπδD 、)(1ωπδω+j 3、 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在0z 点可导得充要条件就是【C 】 A 、 ),(),,(y x v y x u 在0z 点可微 B 、 在0z 点xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, C 、 在0z 点),(),,(y x v y x u 可微且xvy u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, D 、 )(z f 在0z 点连续4、1-=z 就是函数323)1()1()(++=z z z z f 得【B 】A 、 二级零点B 、 三级零点C 、 二级极点D 、 三级极点 5、 tj e0ω得傅氏变换为【B 】A 、 )(0ωωδ-B 、 )(20ωωπδ-C 、 )(2ωπδD 、 2π 6、幂级数在收敛圆内【 D 】（A ）可以积分两次 （B ）可能发散 （C ）可能收敛 (D)绝对收敛 7、 1得拉氏变换为【A 】 A 、s1B 、 js 1C 、 )(s πδD 、)(1s js πδ+ 8、t 3sin 得拉氏变换为【 D 】 A 、31-s B 、 s 1 C 、 92+s s D 、 932+s 9、若函数)(z f 在0z 不连续，则【D 】A 、 )()(lim 00z f z f z z =→ B 、 []0)()(lim 00=-→z f z f z zC 、 )()(lim 000z f z z f z =∆+→∆ D 、 []0)()(lim 00≠-→z f z f z z10、幂级数∑∞=0)3(n nz 得收敛半径就是【 B 】A 、 1B 、31C 、 0D 、 3 11、函数z e 在00=z 展开成得泰勒级数就是【A 】A 、 ∑∞=0!n nn z B 、∑∞=++-011)1(n n nn z C 、 ∑∞=++-012)!12()1(n n nn z D 、∑∞=-02)!2()1(n nnn z 12、设0z 就是)(z f 得孤立奇点, 0z 就是)(z f 得二级极点，则=]),([Re 0z z f s 【D 】 A 、 1c B 、 )()(lim 00z f z z z z -→ C 、 0 D 、 [])()(d dlim200z f z z zz z -→13、设0z 就是)(z f 得孤立奇点, 0z 就是)(z f 得4级极点，则=]),([Re 0z z f s 【 A 】A 、[])()(d d lim 40330z f z z z z z -→ B 、)()(lim 00z f z z z z -→ C 、 0 D 、 [])()(d dlim200z f z z zz z -→14、 设i z i z 26,7621+-=-=，,则21z z +得幅角为【 A 】 A 、 2π-B 、 2πC 、 0D 、 π 15、 8得拉氏变换为【A 】 A 、s8B 、 js 8C 、 )(8s πδD 、)(81s js πδ+ 16、若函数)(z f 在0z 不连续，则【D 】A 、 )()(lim 00z f z f z z =→ B 、 []0)()(lim 00=-→z f z f z zC 、 )()(lim 000z f z z f z =∆+→∆ D 、 )()(lim 00z f z f z z ≠→17、若)(z f ,)(z g 在单连域G 内解析且0)(≠z g ，C 为G 内任意一条闭曲线，则[]=⎰Cdz z g z f )(/)(【A 】A 、 0B 、 )0(/)0(2g if πC 、 i π2D 、 π2 18、 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在0z 点解析得充要条件就是【C 】A 、 ),(),,(y x v y x u 在0z 点可微B 、 在0z 点xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, C 、 在0z 点),(),,(y x v y x u 可微且xvy u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, D 、 )(z f 在0z 点可导 19、3)(z z f =在z 平面上【C 】A 、 可导不解析B 、 连续不可导C 、 处处解析D 、 有奇点 20、设)(z f 在单连域G 内解析，C 为G 内任意一条正向简单闭曲线, 0z 就是C 内得一点，则积分()=-⎰C dz z z 501【B 】A 、!42i π B 、 0 C 、 i π2 D 、 2iπ 21、若)(z f ,)(z g 在单连域G 内解析，C 为G 内任意一条闭曲线，则[]=⋅⎰Cdz z g z f )()(【A 】A 、 0B 、 )0()0(2g if πC 、 i π2D 、 π2 22、 20得拉氏变换为【 A 】 A 、s20B 、 js 20C 、 )(40s πδD 、)(51s js πδ+ 23、t 5sin 得拉氏变换为【 D 】 A 、51-s B 、 s 1 C 、 252+s s D 、 2552+s 24、常数5得傅氏变换为【C 】A 、 )(10ωδB 、 )(20ωπδC 、 )(10ωπδD 、)(51ωπδω+j 25、设)(z f 在区域G 内解析，C 为G 内任意一条正向简单闭曲线, 0z 就是C 内得一点，则积分()=-⎰Cdz z z z 53【 B 】A 、!42i π B 、 0 C 、 i π2 D 、 2iπ 26、z z z z f cos sin )(+=在z 平面上【C 】A 、 可导不解析B 、 连续不可导C 、 处处解析D 、 有奇点27、幂级数在收敛圆内( A )A 、 可以积分任意次B 、 必发散C 、 可能收敛,可能发散D 、 非绝对收敛28、 t 6cos 得傅氏变换为【B 】 A 、[])6()6(--+ωδωδπ B 、 [])6()6(-++ωδωδπC 、 [])6()6(--+ωδωδπjD 、 [])6()6(-++ωδωδπj 29、函数)1ln(z +在00=z 展开成得泰勒级数就是【B 】A 、 ∑∞=0!n nn z B 、∑∞=++-011)1(n n nn z C 、 ∑∞=++-012)!12()1(n n nn z D 、∑∞=-02)!2()1(n nnn z 30、设)(z f 在单连域G 内解析，C 为G 内任意一条正向简单闭曲线, 0z 就是C 内得一点，则积分()=-⎰C dz z z z f 50)(【A 】A 、 !4)(20)4(z if π B 、 0 C 、 )(20z if π D 、 )0(2)4(if π31、常数10得傅氏变换为【 B 】A 、 )(20ωδB 、 )(20ωπδC 、 )(10ωπδD 、 )(101ωπδω+j 32、 设i z i z 22,5221+-=-=，,则=+2155z z 【B 】 A 、 15- B 、 15 C 、 25 D 、 25- 33、 t 6sin 得傅氏变换为【C 】 A 、[])6()6(--+ωδωδπ B 、 [])6()6(-++ωδωδπC 、 [])6()6(--+ωδωδπjD 、 [])6()6(-++ωδωδπj34、1-=z 就是函数323)1()1()(-+=z z z z f 得【A 】 A 、 可去奇点 B 、 本性奇点 C 、 二级极点 D 、 三级极点 35、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在000iy x z +=连续，则【C 】 A 、 ),(y x u 在),(00y x 不连续 B 、 ),(y x v 在),(00y x 不连续 C 、 ),(y x u ，),(y x v 在),(00y x 均连续 D 、 )()(lim 00z f z f z z ≠→36、 10得拉氏变换为【A 】A 、s10B 、 js 10C 、 )(10s πδD 、)(101s js πδ+ 37、函数z cos 在00=z 展开成得泰勒级数就是【D 】A 、∑∞=0!n nn z B 、∑∞=++-011)1(n n nn z C 、 ∑∞=++-012)!12()1(n n nn z D 、∑∞=-02)!2()1(n nnn z 38、t e 5得拉氏变换为【A 】 A 、51-s B 、 s 1 C 、 252+s s D 、 2552+s 39、幂级数在收敛圆内【A 】A 、 可以微分任意次B 、 必发散C 、 可能收敛,可能发散D 、 非绝对收敛 40、幂级数∑∞=+011n nz n 得收敛半径就是【A 】 A 、 1 B 、 +∞ C 、 0 D 、 2 41、 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析得条件就是【 C 】 A 、 ),(),,(y x v y x u 在区域D 内可微 B 、 在区域D 内xvy u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, C 、 在区域D 内),(),,(y x v y x u 可微且xvy u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, D 、 以上都不对 42、函数),(),()(y x iv y x u z f +=在000iy x z +=连续得条件就是【C 】 A 、 ),(y x u 在),(00y x 连续 B 、 ),(y x v 在),(00y x 连续 C 、 )()(lim 00z f z f z z =→ D 、 )()(lim 00z f z f z z ≠→43、1=z 就是函数323)1()1()(--=z z z z f 得【A 】 A 、 可去奇点 B 、 本性奇点 C 、 二级极点 D 、 三级极点 44、 设i z i z 22,5221+-=-=，,则=+2155z z 【A 】 A 、 i 15- B 、 i 15 C 、 i 55+ D 、 i 55-、45、幂级数∑∞=0!n nn z 得收敛半径就是【B 】A 、 1B 、 +∞C 、 0D 、 2 46、 下列说法正确得就是【A 】A 、 若)(z f 在0z 某个邻域内处处可导，则)(z f 在0z 处解析B 、 若)(z f 在0z 不解析，则)(z f 在0z 处不可导C 、 若)(z f 在0z 处不可导，则)(z f 在0z 处不连续D 、 若)(z f 在0z 处连续，则)(z f 在0z 可导47、设0z 就是)(z f 得孤立奇点, 0z 就是)(z f 得一级极点，则=]),([Re 0z z f s 【 D 】 A 、 1c B 、 1 C 、 -1 D 、 )()(lim 00z f z z z z -→48、1=z 就是函数32)1(1)(-=z z z f 得【D 】A 、 可去奇点B 、 本性奇点C 、 二级极点D 、 三级极点 49、常数5得傅氏变换为【B 】A 、 )(10ωδB 、 )(10ωπδC 、 )(2ωπδD 、)(51ωπδω+j 50、设)(z f 在单连域G 内解析，C 为G 内任意一条正向简单闭曲线, 0z 就是C 内得一点，则积分=-⎰Cdz z z z f 0)(【 A 】 A 、 )(20z if π B 、 0 C 、 i π2 D 、 )0(2if π 51、t e 3得拉氏变换为【A 】 A 、31-s B 、 s 1 C 、 92+s s D 、 932+s 52、幂级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛042n nz 得收敛半径就是【D 】A 、 4B 、21C 、 0D 、 2 53、z z f sin )(=在z 平面上【C 】A 、 可导不解析B 、 连续不可导C 、 处处解析D 、 有奇点 54、 t 0sin ω得傅氏变换为【C 】A 、 [])()(00ωωδωωδπ--+B 、[])()(00ωωδωωδπ-++C 、 [])()(00ωωδωωδπ--+jD 、 [])()(00ωωδωωδπ-++j 55、)(z f ,)(z g 在单连域G 内解析，C 为G 内任意一条闭曲线，则[]=-⎰Cdz z g z f )()(【A 】A 、 0B 、 )0(2if πC 、 i π2D 、 π2 56、i z =就是函数32)1(1)(+=z z z f 得【D 】A 、 可去奇点B 、 本性奇点C 、 二级极点D 、 三级极点57、设)(z f 在区域G 内解析，C 为G 内任意一条正向简单闭曲线, 0z 就是C 内得一点，则积分()=-⎰C dz z z z f 20)(【A 】A 、 )(20z f i 'πB 、 0C 、 i π2D 、 )0(2f i 'π 58、幂级数在收敛圆上【 C 】A 、 必收敛B 、 必发散C 、 可能收敛,可能发散D 、 绝对收敛 59、幂级数在收敛圆内【D 】（A ）收敛于非解析函数)(z f （B ）必发散 （C ）可能收敛,可能发散 (D)绝对收敛60、函数)(z f 在0z 得某个邻域内展开成泰勒级数得条件就是【A 】 A 、 )(z f 在0z 得某个邻域内解析 B 、 )(z f 在0z 得某个邻域内连续 C 、 )(z f 在0z 可导 D 、)(z f 在0z 连续且可导 61、函数z sin 在00=z 展开成得泰勒级数就是【C 】A 、 ∑∞=0!n nn z B 、∑∞=++-011)1(n n nn z C 、 ∑∞=++-012)!12()1(n n nn z D 、∑∞=-02)!2()1(n nnn z 62、ze zf =)(在z 平面上【C 】A 、 可导不解析B 、 连续不可导C 、 处处解析D 、 有奇点63、常数3得傅氏变换为【 C 】A 、)(6ωδB 、 )(2ωπδC 、 )(6ωπδD 、)(1ωπδω+j64、 下列说法正确得就是【 B 】A 、 若)(z f 在0z 处可导，则)(z f 在0z 处解析B 、 若)(z f 在0z 处解析，则)(z f 在0z 处可导C 、 若)(z f 在0z 处可导，则)(z f 在0z 处不连续D 、 若)(z f 在0z 处连续，则)(z f 在0z 可导 65、 5得拉氏变换为【 A 】 A 、s5B 、 js 5C 、 )(5s πδD 、)(1s js πδ+ 66、 设i z i z 32,4321+-=-=，,则=+2164z z 【A 】 A 、 i 2 B 、 2 C 、 i 22+ D 、 i 22-67、设0z 就是)(z f 得孤立奇点, 0z 就是)(z f 得本性奇点，则=]),([Re 0z z f s 【D 】 A 、 1c B 、 1 C 、 -1 D 、 1-c 68、 t 0cos ω得傅氏变换为【B 】A 、 [])()(00ωωδωωδπ--+B 、 [])()(00ωωδωωδπ-++C 、[])()(00ωωδωωδπ--+jD 、 [])()(00ωωδωωδπ-++j 69、)(z f ,)(z g 在单连域G 内解析，C 为G 内任意一条闭曲线，则[]=+⎰Cdz z g z f )()(【A 】A 、 0B 、 )0(2if πC 、 i π2D 、 π270、函数),(),()(y x iv y x u z f +=在000iy x z +=连续得条件就是【C 】 A 、 ),(y x u 在),(00y x 连续 B 、 ),(y x v 在),(00y x 连续C 、 ),(y x u ，),(y x v 均在),(00y x 连续D 、 ),(y x u ，),(y x v 均不在),(00y x 连续 71、t 3cos 得拉氏变换为【 C 】 A 、31-s B 、 s 1 C 、 92+s s D 、 932+s 72、)(z f 在单连域G 内解析，C 为G 内任意一条闭曲线，则积分=⎰Cdz z f )(【A 】A 、 0B 、 )0(2if πC 、 i π2D 、 π273、幂级数∑∞=0)2(n nz 得收敛半径就是【 B 】A 、 1B 、21C 、 0D 、 2 74、设0z 就是)(z f 得孤立奇点, 0z 就是)(z f 得可去奇点，则=]),([Re 0z z f s 【 C 】 A 、 1 B 、 2 C 、 0 D 、 -1 75、z z f cos )(=在z 平面上【 C 】A 、 可导不解析B 、 连续不可导C 、 处处解析D 、 有奇点 二：填空题 1、设3cos 2)(z zz f -=，则0=z 就是)(z f 得 3级 极点 2、若函数)(z f 在00=z 处得导数为1，则)()(05z f z z f '-在0z 点得导数为【1】3、函数)(z f 在0z 点可导，)()(0z f z z f '-在0z 点得导数为【0】4、=⎰=3101z dz z 【0】5、=⎰=31z dz z【i π2】6、级数∑∞=0)5(n nz 得收敛半径为【 1/5 】7、kt sin （k 为常数）得傅氏变换为()()()k k j --+ωδωδπ 8、 10得幅角为【 0 】9、函数)(z f 在0z 点可导，)(z f 在0z 点必【连续】 10、 连续函数得与、差、积仍然就是【连续函数 】11、若函数)(z f 在10=z 处可导，则)()(02z f z z f '-在0z 点得导数为【)1(f '-】12、=⎰z z d 10【 1/2 】13、=⎰z z d cos 20π【1】14、设51)(ze zf z-=，则0=z 就是)(z f 得【 4级】极点 15、2t 得拉氏变换为【32s】 16、1得拉氏变换为【 1/s 】17、=-⎰=-1331z dz z i 2π18、设52)(z e z f z-=，则0=z 就是)(z f 得【5级】极点19、 3+3i 得幅角为【4π】 20、jt e 得傅氏变换为【)1(2-ωπδ】 21、)(t δ得傅氏变换为【 1 】22、=]0,1[Re 12zs 【 0】 23、 i 得幅角为【 2π】24、=-⎰=361z dz z 【 0】25、=⎰z z d sin 20π【 1 】26、 解析函数得与、差、积仍然就是【 解析函数 】 27、 幂级数得与函数在其收敛域上【解析】28、=-⎰=151z dz z 【0】29、=]0,51[Re z s 【 51】30、设3cos sin 2)(z zz z f -=，则0=z 就是)(z f 得【3级】极点31、t e 得拉氏变换为11-s 32、级数∑∞=-0)2(n nz 得收敛半径为【1/2 】33、)(t δ得拉氏变换为【1】 34、设Λ,2,1,=+=n ib a n n n α，若∑∞=1n nα收敛，则∑∞=1n nα【收敛】35、 1+2i 得模为5 36、=]0,1[Re 3zs 【 0】37、m t 得拉氏变换为【1!+m s m 】 38、级数∑∞=-0)3(n nz 得收敛半径为【1/3 】39、 在复数域内，断言1cos ≤z 就是 错误得 40、C （C 为常数）得傅氏变换为【)(2ωδπC 】 41、=]0,21[Re z s 【 21】 42、设552)(zz z f -=，则0=z 就是)(z f 得【 5级】极点 43、级数∑∞=0n nz得收敛半径为 144、)(t δ得傅氏变换为【1 】45、 在复数域内，断言1sin ≤z 就是【 错误得 】 46、函数)(z f 在0z 点解析，)(z f 在0z 点必 可导 47、级数∑∞=-0)(n nz 得收敛半径为【 1 】48、=]0,1[Re zs 1 49、 1+i 得幅角为【4π】 50、设Λ,2,1,=+=n ib a n n n α，则∑∞=1n nα收敛得必要条件就是0lim =∞→n n α三：名词解释 1、调与函数如果二元实函数),(y x H 在区域D 内具有二阶连续得偏导数，并且满足拉普拉斯方程0=∆H ，则称),(y x H 为区域D 内得调与函数。
工程数学复习题(含答案)
工程数学复习题1．00110212=-k k的充分条件是（ C ） （A ） k ＝2 （B ）k ＝0 （C ）k ＝－2 （D ）k ＝3 2．如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---=，那么=1D （ B ） （A ） 8 （B ）－12 （C ）24 （D ）－24 3．已知矩阵333231232221131211a a a a a a a a a A =，那么能左乘A （在A 的左边）的矩阵是（ B ）（A ） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡323122211211b b b b b b （B ）[]131211b b b （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡312111b b b （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211b b b b 4．设A ，B ，C 均为n 阶矩阵，下列运算不是运算律的是（ Ｄ ）（A ） （Ａ+Ｂ）+Ｃ＝（Ｃ+Ａ）+Ｂ （B ） （Ａ+Ｂ）Ｃ＝ＡＣ+ＡＢ （Ｃ） Ａ（ＢＣ）＝（ＡＢ）Ｃ （Ｄ） Ａ（ＢＣ）＝（ＡＣ）Ｂ 5．已知A ，B ，C 均为n 阶矩阵，且ABC ＝I ，则下列结论必然成立的是（C ） （A ）ACB ＝I （B ）BAC ＝I （Ｃ）BCA ＝I （Ｄ）CBA ＝I6．设有向量组)1,0,0(),0,0,1(21==αα，若β是2,1αα的线性组合，则β可以等于（ B ） （A ）)2,1,0( （B ）)4,0,3(- （Ｃ）)0,1,1( （Ｄ）)0,1,0(- 7．n 维向量组()n s s ≤≤3,...,,21ααα线性无关的充分必要条件是（ D ） （A ）存在一组不全为零的数s k k k ,...,,21，使0...2211≠+++s s k k k ααα； （B ）s ααα,...,,21中任意两个向量都线性无关；（Ｃ）s ααα,...,,21中存在一个向量，它不能由其余向量线性表示； （Ｄ）s ααα,...,,21中任意一个向量都不能由其余向量线性表示； 8．已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ C ）也线性无关（A ）14433221,,,αααααααα++++ （B ）14433221,,,αααααααα---- （Ｃ）14433221,,,αααααααα-+++ （Ｄ）14433221,,,αααααααα--++9．设 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111111111A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=15042-1-321B ，求A 23AB -及T AB .10．已知行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ，求331332123111132312221121131211252525333a a a a a a a a a a a a a a a ---+++ 解：331332123111132312221121131211252525333a a a a a a a a a a a a a a a ---+++＝331332123111232221131211252525333a a a a a a a a a a a a ---+331332123111131211131211252525333a a a a a a a a a a a a --- ＝331332123111232221131211252525333a a a a a a a a a a a a ---+0 ＝131211232221131211555333a a a a a a a a a －333231232221131211222333a a a a a a a a a ＝0－32⨯333231232221131211a a a a a a a a a＝－232⨯⨯ ＝－12 11．设132λλ=D ，问当λ为何值时0=D ？解：132λλ＝λλ32-由λλ32-＝0解得01=λ或32=λ12．计算三阶行列式140053101-解：140053101-＝1405)1(111+-⨯+1410)1(312--⨯+＝5+12＝1713．计算四阶行列式2013133251411021---解：2013133251411021---14131232r r r r r r --+5050131061601021-----32r r ↔ －5050616013101021-----242356r r r r -+015000170023101021--341715r r + 00000170023101021-＝014．计算四阶行列式2410223211511312---解：2410223211511312---21r r ↔ －2410223213121151---131222r r r r -- －241000130311101151---32r r ↔ 13⨯24103111000101151---242311r r r r +- 13⨯2400310000101151--344r r - 13⨯14000310000101151--＝1411113⨯⨯⨯⨯＝18215．已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=864297510213A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=612379154257B ，且B X A =+2，求X 解：由B X A =+2得()A B X -=21＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------2721224444642116．已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=114021A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=102312B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=213421C ，求()C B A 23-. 解：()C B A 23-＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-114021⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21342121023123 ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-114021⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯120114＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----214480151 17．用矩阵的初等变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=523012101A 的逆矩阵1-A解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001523012101−−→−+-131232r r r r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---103012001220210101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−-21127012001100210101127012001200210101323212r r r−−→−+-32312r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----21127115211251000100011-A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----211271152112518．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101212001A ，如A 可逆，求1-A解： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100010001101212001−−−→−++13122rr r r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101012001100210001 −−−→−-322r r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--101210001100010001−−→−-2r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101210001100010001可见A 可逆，1-A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10121000119．判断向量组()2,0,11=α，()1,1,12=α，()5,1,33=α是否线性相关？解：由512110311132r r -110110311--＝0，所以321,,ααα线性相关20．考察向量组（1）)6,3(1-=α，)4,2(2-=α；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211α，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112α的线性关系.解：（1）)6,3(1-=α，)4,2(2-=α04623=--，所以21,αα线性相关（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211α，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112α 031121≠=-，所以21,αα线性无关21．证明：如果向量组γβ,,α线性无关，则向量组βα+，γβ+，αγ+也线性无关. 证：设有一组数321,,k k k 使 ()()()οαγγββα=+++++321k k k则有()()()ογβα=+++++322131k k k k k k由γβ,,α线性无关，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k （*） 因 02110011101≠=故方程组（*）只有零解，即只有当0321===k k k 时()()()οαγγββα=+++++321k k k 才成立，因此βα+，γβ+，αγ+也线性无关.22．设n 阶矩阵A 满足0422=--I A A ，证明A 可逆，并求1-A .证：由0422=--I A A I I A A =-⇒242 ⇒I I A A =⎪⎭⎫⎝⎛-24根据逆矩阵的定义可得1-A ＝24I A - 23．设有向量()2,3,11=α，)1,2,3(2=α，)1,5,2(3--=α，)3,11,4(=β，向量β可由向量组线性表示，则β＝32102ααα-+24．求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1293397225431A 的秩()A γ. 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----00001140543133120114054311293397225431231312332r r r r r r 故()2=A r25．已知向量组[]T12011=α，[]T10212=α，[]T03123=α，[]T 41524-=α，试用321,,ααα线性表示4α.解：设有321,,x x x 使4332211αααα=++x x x即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4152031210211201321x x x ，得线性方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4152011302120211321x x x 解此线性方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-4011130251202211−−−−−−→−若干次行初等变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0000110030101001得⎪⎩⎪⎨⎧-===131321x x x ，因此，32143αααα-+= 26．求5R 中向量[]T 20101-=α，[]T14210=β的夹角.解题过程见课本18页27．在4R 中，设[]11111--=α，[]T 11152=α，[]T31333--=α，求321,,ααspan 中的一个标准正交基{}321,,εεε 解题过程见课本19页。
工程数学复习及答案[精.选]
![工程数学复习及答案[精.选]](https://img.taocdn.com/s3/m/5b8848bf0975f46527d3e174.png)
工程数学 复习题 填空题1．设A 是2阶矩阵，且9=A ，='-)(31A ．2．已知齐次线性方程组0=AX 中A 为53⨯矩阵，且该方程组有非零解，则≤)(A r ．3．2.0)(,5.0)(==A B P A P ，则=+)(B A P ．4．若连续型随机变量X 的密度函数的是⎩⎨⎧≤≤=其它,010,2)(x x x f ，则=)(X E ．5．若参数θ的两个无偏估计量1ˆθ和2ˆθ满足)ˆ()ˆ(21θθD D >，则称2ˆθ比1ˆθ更 ．单项选择题1．设B A ,都是n 阶矩阵)1(>n ，则下列命题正确的是（ ）．A . 若AC AB =，且0≠A ，则C B = B . 2222)(B AB A B A ++=+C . A B B A '-'='-)(D . 0=AB ，且0≠A ，则0=B 2．在下列所指明的各向量组中，（ ）中的向量组是线性无关的． A . 向量组中含有零向量B . 任何一个向量都不能被其余的向量线性表出C . 存在一个向量可以被其余的向量线性表出D . 向量组的向量个数大于向量的维数3．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( ) ．A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100 4. 甲、乙二人射击，A B ,分别表示甲、乙射中目标，则AB 表示（ ）的事件． A . 至少有一人没射中 B . 二人都没射中C . 至少有一人射中D . 两人都射中5．设)1,0(~N X ，)(x Φ是X 的分布函数，则下列式子不成立的是（ ）．A . 5.0)0(=ΦB . 1)()(=Φ+-Φx xC . )()(a a Φ=-ΦD . 1)(2)(-Φ=<a a x P6．设321,,x x x 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ ）是μ无偏估计． A . 321x x x ++ B . 321525252x x x ++ C .321515151x x x ++ D . 321535151x x x ++ 7．对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中，U 检验解决的问题是（ ）． A . 已知方差，检验均值 B . 未知方差，检验均值C . 已知均值，检验方差D . 未知均值，检验方差 计算题1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500050002,322121011B A ，问：A 是否可逆？若A 可逆，求B A 1-．2．线性方程组的增广矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1123132111511求此线性方程组的全部解．3．用配方法将二次型32212322213214242),,(x x x x x x x x x x f ++++=化为标准型，并求出所作的满秩变换．4．两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。
工程数学试题及答案
工程数学试题及答案《工程数学试题及答案》1. 数列与级数问题：找出以下等差数列的通项公式，并计算前n项和。
1) 3, 6, 9, 12, ...2) 1, 5, 9, 13, ...答案：1) 通项公式为a_n = 3 + 3(n-1)，前n项和为S_n = n(6 + 3(n-1))/2。
2) 通项公式为a_n = 1 + 4(n-1)，前n项和为S_n = n(2 + 4(n-1))/2。
2. 三角函数问题：求解以下方程在给定区间内的所有解。
1) sin(x) = 0.5，其中0 ≤ x ≤ 2π。
2) cos(2x) = 0，其中0 ≤ x ≤ π。
答案：1) 解为x = π/6, 5π/6。
根据周期性，可加2πn得到无穷解。
2) 解为x = π/4, 3π/4。
根据周期性，可加πn得到无穷解。
3. 极限与连续性问题：计算以下极限。
1) lim(x→0) (3x^2 + 2x) / x。
2) lim(x→∞) (e^x + 2x) / e^x。
答案：1) 极限等于2。
2) 极限等于2。
4. 微分与积分问题：求以下函数的导数和不定积分。
1) f(x) = 3x^2 + 4x + 1。
2) g(x) = sin(x) + cos(x)。
答案：1) f'(x) = 6x + 4，∫f(x)dx = x^3 + 2x^2 + x + C。
2) g'(x) = cos(x) - sin(x)，∫g(x)dx = -cos(x) - sin(x) + C。
5. 偏导数与多重积分问题：计算以下偏导数和二重积分。
1) 求f(x, y) = x^3 + 2xy - y^2的偏导数∂f/∂x和∂f/∂y。
2) 计算∬(x^2 + y^2)dA，其中积分范围为R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}。
答案：1) ∂f/∂x = 3x^2 + 2y，∂f/∂y = 2x - 2y。
工程数学(概率论与数理统计)复习题
工程数学（概率论与数理统计）复习题一、 填空题1. 设A 、B 、C 表示三个随机事件，请将下面事件用A 、B 、C 表示出来： 三个事件都不发生 。
2. 设A 、B 、C 表示三个随机事件，请将下面事件用A 、B 、C 表示出来： 三个事件恰好有一个发生 。
3. 设A 、B 、C 表示三个随机事件，请将下面事件用A 、B 、C 表示出来： 三个事件恰好有二个发生 。
4. 设A 、B 、C 表示三个随机事件，请将下列事件用A 、B 、C 表示出来： 只有A 发生可表示为 。
5. 设A 、B 、C 表示三个随机事件，请将下列事件用A 、B 、C 表示出来： A 与B 都发生而C 不发生可表示为 。
6. 设A 、B 、C 表示三个随机事件，请将下列事件用A 、B 、C 表示出来： 三个事件至少有一个发生应为 。
7. 设A 、B 、C 表示三个随机事件，请将下列事件用A 、B 、C 表示出来： 三个事件至少有二个发生 。
8. 设A 、B 、C 表示三个随机事件，请将下列事件用A 、B 、C 表示出来： 三个事件不多于一个发生 。
9. 设A 、B 、C 表示三个随机事件，请将下列事件用A 、B 、C 表示出来： 三个事件不多于二个发生 。
10. 在图书馆按书号任选一本书，设A 表示“选的是数学书”、B 表示“选的是英文版的”、C 表示“选的是1990年以后出版的”，则 C AB 表示 。
11. 在图书馆按书号任选一本书，设A 表示“选的是数学书”、B 表示“选的是英文版的”、C 表示“选的是1990年以后出版的”，则B C ⊂表示 。
12. 化简下式：=))((C B B A Y Y 。
13. 化简下式：))((B A B A Y Y = 。
14. 化简下式：=))()((B A B A B A Y Y Y 。
15. 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选的是男生，B 表示被选的是三年级学生，C 表示被选的是校排球运动员。
工程数学二复习题(附参考答案)
1、下列等式中有一个是微分方程，它是（ D ）A 、B 、)('='+'uv v u v u '⎪⎭⎫⎝⎛='-'v u v v u v u 2C 、 D 、dxe y d e dx dy x x)(+=+043=+'+''y y y 解：选项A 和B 是求导公式，选项C 为恒等式，选项D 符合微分方程的定义2、下列方程中有一个是一阶微分方程，它是（ C ）A 、B 、y y x y x y ''='-22)(0)(5)(7542=+-'+''x y y y C 、 D 、0)()(2222=++-dy y x dx y x 043=+'+''y y y x 领红包：打开支付宝首页搜索“512371172”，即可领红包领下面余额宝红包才是大红包，一般都是5-10元 支付的时候把支付方式转为余额宝就行呢 没钱往里冲点 每天都可以领取哟！3、若级数与都发散，则（ C ）∑∞=1n na∑∞=1n nbA 、发散B 、发散∑∞=+1)(n n nb a∑∞=1n nn ba C 、发散D 、发散∑∞=+1)(n n n b a ∑∞=+122)(n n n b a4、级数的部分和数列有界是该级数收敛的（ A ）∑∞=1n na{}n S A 、必要非充分条件 B 、充分非必要条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件5、级数（a 为常数）收敛的充分条件是（ A ）∑∞=1n nqaA 、|q|>1B 、q=1C 、|q|<1D 、q<1工程数学二复习题（附参考答案）一：选择题6、若级数收敛，那么下列级数中发散的是（ B ）∑∞=1n naA 、B 、C 、100+D 、∑∞=1100n na∑∞=+1)100(n na∑∞=1n na∑∞=+1100n n a解：选项B 中，因为，所以该级数发散0100)100(lim ≠=+∞→n n a 7、若级数发散，则（ D ）∑∞=1n naA 、B 、0lim ≠∞→n n a )(lim 21n n n n a a a S S +++=∞=∞→ C 、任意加括号后所成的级数必发散∑∞=1n naD 、任意加括号后所成的级数可能收敛∑∞=1n na解：选项A 和B 均为级数发散的充分条件，但非要条件。
大学工程数学试题及答案
大学工程数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是微分方程的解？A. \( y = e^x \)B. \( y = e^{-x} \)C. \( y = x^2 \)D. \( y = \ln(x) \)答案：A2. 矩阵的行列式值表示了什么？A. 矩阵的面积B. 矩阵的体积C. 矩阵的旋转角度D. 矩阵的缩放因子答案：D3. 以下哪个是线性代数中的基本概念？A. 微分B. 积分C. 向量空间D. 极限答案：C4. 傅里叶变换用于解决什么问题？A. 微分方程B. 积分方程C. 信号处理D. 线性代数答案：C5. 欧拉公式 \( e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \) 中，\( i \) 代表什么？A. 虚数单位B. 矩阵C. 行列式D. 向量答案：A6. 以下哪一项是拉普拉斯变换的基本性质？A. 线性性质B. 微分性质C. 积分性质D. 反演性质答案：A7. 泰勒级数展开是用于什么目的？A. 近似计算B. 精确计算C. 矩阵计算D. 向量计算答案：A8. 以下哪个函数是周期函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = e^x \)C. \( y = \sin(x) \)D. \( y = \ln(x) \)答案：C9. 以下哪一项是偏微分方程的解？A. \( u(x, y) = x^2 + y^2 \)B. \( u(x, y) = e^{x+y} \)C. \( u(x, y) = \ln(x+y) \)D. \( u(x, y) = \sin(x)\cos(y) \)答案：D10. 以下哪个选项是复数的性质？A. 可加性B. 可乘性C. 可除性D. 所有选项答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，则 \( f'(x) \) 等于 _______。
答案：\( 3x^2 - 12x + 11 \)2. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式 \( \det(A) \) 等于 _______。
电大《工程数学》期末复习题
1
）成立． B. A A D. A 1 A
）．
7 4 B. 5 3 7 5 D. 4 3
《工程数学》综合练习
一、单项选择题 1．设 A, B 都是 n 阶方阵，则下列命题正确的是( A． AB A B )． B． ( A B) 2 A2 2 AB B 2
C． AB BA D．若 AB O ，则 A O 或 B O 正确答案：A 1 1 0 2 2．向量组 ）． 0, 1,2, 3 的秩是（ 0 0 3 7 A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 正确答案： B 3． n 元线性方程组 AX b 有解的充分必要条件是（ ）． A. r ( A) r ( Ab) B. A 不是行满秩矩阵 C. r ( A) n D. r ( A) n 正确答案：A 4. 袋中有 3 个红球，2 个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球 都是红球的概率是（ ）． 6 3 3 9 A. B. C. D. 25 10 20 25 正确答案：D 5．设 x1 , x 2 , , x n 是来自正态总体 N ( , 2 ) 的样本，则（ ）是 无偏估计． 1 1 1 A. x1 x 2 x3 B. x1 x 2 x3 5 5 5 1 1 3 2 2 2 C. x1 x 2 x3 D. x1 x 2 x3 5 5 5 5 5 5 正确答案： C 6．若 A 是对称矩阵，则等式（ A. AA 1 I C . A A 1 正确答案：B
1
8．若（ ）成立，则 n 元线性方程组 AX O 有唯一解． A. r ( A) n B. A O C. r ( A) n D. A 的行向量线性相关 正确答案：A 9. 若条件（ ）成立，则随机事件 A ， B 互为对立事件． A. AB 或 A B U B. P ( AB ) 0 或 P ( A B ) 1 C. AB 且 A B U D. P ( AB ) 0 且 P ( A B ) 1 正确答案：C 10． 对来自正态总体 X ~ N ( , 2 ) （ 未知） 的一个样本 X 1 , X 2 , X 3 ， 记X 则下列各式中（ ）不是统计量． A. X
工程数学复习题及答案
⼯程数学复习题及答案1、最⼩⼆乘法拟合多项式：解法1：最⼩⼆乘原理为对于给定的所有点有：达到最⼩即有：为使上式取值最⼩，则其关于的⼀阶导数应该为零，即有：如果构造2次多项式，写成矩阵模式有：解法2：使⽤⽭盾⽅程组，⽤AX=B，使⽤最⼩⼆乘解的充要条件：A T AX=A T B 例题：求下列数据的⼆次最⼩⼆乘拟合多项式解，设多项式为f（x）=a0+a1x+a2x2使⽤矩阵模式，列表各项如下：得矩阵⽅程组为：012734200253420012888020012888756382a a a =??????解得0a =13.4451 ，1a =-3.58501，2a =0.263872，所以拟合多项式为：f(x)=13.4451-3.58501x+0.263872x22、插值性求积公式及其代数精度数值积分的⼀般⽅法是在节点01...n a x x x b ≤≤<<≤上函数值的某种线性组合来近似0()()()n bi i a i x f x dx A f x ρ=≈∑?。
写成预项式则有：0()()()()nbi i a i x f x dx A f x R f ρ==+∑?，其中R(f)为截断误差。
其中。
例：x 0=1/4，x 1=1/2, x 2=3/4的求积公式解：带⼊得插值求积公式：其公式的代数精度最少是2次（n+1个插值的代数精度最少为n ）计算3是否是该公式的代数精度：，与相等，则3也是代数精度。
计算4是否是代数精度：4()f x x =，14015x dx =? 与444211123*()*()*()0.1927343234-+=不相等，则4不是代数精度。
3、Jacobi 迭代法求解⽅程组如果⼀个线性⽅程组的系数矩阵严格对⾓占优，则该⽅程使⽤Jacobi 迭代⼀定收敛。
Jacobi 迭代公式为：(1)()k k x Bx g +=+ 各分量绝对误差⽤(1)k kx x +∞-表⽰，（每⾏绝对值的和的最⼤值）。
工程数学复习题及答案
工程数学复习题及答案1. 极限的概念和性质求极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据极限的性质，我们知道当\(x\)趋近于0时，\(\sin x\)与\(x\)的比值趋近于1。
因此，\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)。
2. 导数的计算计算函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)的导数。
答案：函数\(f(x)\)的导数为\(f'(x) = 3x^2 - 6x\)。
3. 积分的计算计算定积分：\(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。
答案：定积分的计算结果为\(\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\)。
4. 线性代数中的矩阵运算求解矩阵方程\(AX = B\)，其中\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，\(B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6\end{bmatrix}\)。
答案：通过矩阵运算，我们可以得到\(X = A^{-1}B =\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}\)。
5. 概率论中的随机变量设随机变量\(X\)服从正态分布\(N(\mu, \sigma^2)\)，求\(P(X > \mu + \sigma)\)。
答案：根据正态分布的性质，我们知道\(P(X > \mu + \sigma) =1 - P(X \leq \mu + \sigma)\)。
由于正态分布是对称的，且\(\mu + \sigma\)位于均值右侧一个标准差的位置，所以\(P(X > \mu +\sigma) = 0.1587\)。
6. 复变函数的积分计算复变函数的积分：\(\oint_C \frac{1}{z} dz\)，其中\(C\)是单位圆。
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工程数学复习题一、写出下面问题的数学模型规划，不需求解（1） 设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物资1100吨，分别供给A 地1700吨、B 地1100吨、C 地200吨、D 地100吨。
已知每吨运费如表1所示，运费与运量成正比，建立运费最省的供给方案。
解：设甲、乙运往1112131421222324需要去求21x 11+25x 12+7x 13+15x 14+51x 21+51x 22+37x 23+15x 24的最小值。
显然x 11, x 12, x 13, x 14, x 21, x 22, x 23, x 24不能任意取值，我们还有“甲地调出物资2000吨”、“供给A 地1700吨”等条件限制。
总结需求及条件限制，得到下面的完整数学模型：111213142122232411121314212223241121122213231424min 212571551513715..2000,1100,1700,1100,200,100,0,1,2,1,2,3,4ij f x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =+++⎧++++⎪⎪+++=⎪⎪+++=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+=⎪⎪+=⎪≥==⎪⎩（2） 某工厂用3种原料P 1，P 2，P 3生产3种产品Q 1，Q 2，Q 3。
已知的条件如下表所示，制定出总利润最大的生产计划。
解：设三种产品的生产量分别为x 1, x 2, x 3时可以得到最大利润3x 1+5x 2+4x 3，则由题意，我们可以得到完整的模型为1231223123max 354..231500,24800,3252000,0,1,2,3j z x x x s t x x x x x x x x j =++⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪++≤⎪≥=⎪⎩（3） 给出货郎游问题、背包问题 的线性规划模型。
货朗问题 从v 0出发，恰好经过v 1，v 2，…，v n 各一次回到v 0，从v i 到v j 路程为d ij ，（d ii ＝M 充分大），怎么走最近？,000min s.t.=1,0,,=1,0,,1,101,,0,,1,,nij iji j n ij i n ij j i j ij ij i z d x x j n x i nu u nx n i j n x or i j nu i n===⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪-+≤-≤≠≤⎪⎪==⎪⎪=⎩∑∑∑为实数，背包问题 n 个物品，体积分别为v 1，v 2，…，v n ，价值分别为p 1，p 2，…，p n ，一个容积为V 的包，取哪些物品放入包内，使包内物品总价值最高。
=1=1max =s.t.=0,1ni ii ni ii i z p x v xV x ⎧⎪⎪⎪⎨≤⎪⎪⎪⎩∑∑二、用图解法解线性规划121212min 5..28 4z x x s t x x x x =-⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩三、论述用单纯形方法解LP 问题的基本思想、步骤，并证明主要结论。
答：（1）单纯形法解LP 问题的基本思想是：先找一个基本可行解，然后判断它是否为最优解，如不是，就找一个更好的基本可行解，再进行判断，如此迭代进行，直到找到最优解或者判断该问题无界。
（2） 基本步骤：Step1 转换一般的LP 模型为标准型。
Step2 找一个初始可行基。
Step3 计算单纯形表中的各矩阵。
Step4 构造单纯形表。
Step5 判断最优解，是，则结束。
否则，转入下一步。
Step6 换基迭代，返回Step5。
（3）证明主要结论：定理 若0ζ≤，则x 是最优解。
证 110,0,0,T T T T B B x x z c B b x c B b ζζζ--∀≥≤≤=-≥。
定理 若ζ的第k 个分量0k ζ>，且10k k A B A -=≤，则该LP 问题无界。
这里A k 表示矩阵A的第k 列。
证 1111111(+)0T T T T B B T T B TTTk Bk T B kT B z c B b x c B b x c B b B A c B b e c B b c B bζζθδθζδθζζθζ-------=-=-=-⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦=-<（＋） 0k ζ>四、用最优化思想求解下面的非线性规划问题222123123123max 4212..329,,0F x x x s t x x x x x x ⎧=-++⎪++≤⎨⎪≥⎩解：21()49z f z =，故2222222202222202222022(2)()max {4}97164max {}999784max {()}97949x y x y x y y x f y x x yx y x y y y ≤≤≤≤≤≤-=-+=-+=--+=33332332309223309233092309(9)max{212(9)}4max{212(9)}922max{81236}92218max{()}911174x x x x f x f x x x x x x ≤≤≤≤≤≤≤≤=++-=++-=-++=--=五、用动态规划思想，设计填表法，求解下面的划分问题：在集合A ＝｛a 1，a 2，…，a n ｝上定义正整数函数s ，令()a AB s a ∈=∑，问是否存在A A '⊂，使得()2a A Bs a '∈=∑。
解：{1,2,5,4,6,3,3} 24t (3,5)=T t(3,9)=Ft (2,4)=F t(7,12)=T?F t(n,B/2)令t (i ,j )表示前i 个元素中是否可以取出一部分元素其和为j ，即，t (i ,j )=T 表示前i 个元素中可以取出一部分元素其和为j ，t (i ,j )=F 表示前i 个元素中不可能取出一部分元素其和为j ，则划分问题就是计算 t (n , B /2) 的值。
,1,0,1,()(,),1,(1,),1,(1,()),i i T i j T i j s a t i j T i t i j T T i t i j s a T F others==⎧⎪==⎪⎪=>-=⎨⎪>--=⎪⎪⎩六、证明：从n 个元素中取出奇数个元素和取出偶数个元素取法数相同。
证明：设C(n,k)为从n 个元素中取出k 个的方法数。
那么取奇数个元素的方法数就为：S1= C(n,1)+C(n,3)+...+C(n,m),m 是不超过n 的最大奇数 取偶数个元素的方法数为：S2 = C(n,0)+C(n,2)+...+C(n,p ），p 是不超过n 的最大偶数 根据二项式公式：0 = [1+(-1)]^2 = C(n,0) - C(n,1)+ C(n,2)+...+(-1)^nC(n,n) = S2 - S1 从而S2 = S1七、字典序法生成排列时，135798642是第几个排列，下一个排列是谁？ 字典序法 123456789, 123456798 123456879 123456897 …,987654321349687521 22634321 a1 右面比a1小的多少个 349687521 349786521 349712568算法：对P 1P 2P 3…P n ，从右向左找最长降序子列P i +1 …P n ，记下P i ，找比P i 大的最右边一位P k ，交换P i 和P k ，将P k 右侧子列倒排。
P 1P 2P 3…P nP 1P 2P 3…P i -1 P i P i +1 …P nP 1P 2P 3…P i -1 P i P i +1 …P k -1 P k P k +1…P n P 1P 2P 3…P i -1 P k P i +1 …P k -1 P i P k +1…P n P 1P 2P 3…P i -1 P k P n …P k +1 P i P k -1…P i +1八、给出错排及错排问题的定义，并用两种不同方法求解错排问题。
错排问题就是n 个元素依次给以标号1，2，…，n ，n 个元素的全排列中，求每个元素都不在自己原来位置上的排列的个数。
方法一：n 各有序的元素应有n ！种不同的排列。
如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上，则称这个排列为错排。
任给一个n，求出1,2,……,n的错排个数Dn共有多少个。
递归关系式为：D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2)) D(1)=0,D(2)=1可以得到: 错排公式为f(n) = n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!]其中,n!=1*2*3*.....*n, 特别地,有0!=0,1!=1.解释：n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成：第一步，“错排”1 号元素（将1 号元素排在第2 至第n 个位置之一），有n - 1 种方法。
第二步，“错排”其余n - 1 个元素，按如下顺序进行。
视第一步的结果，若1号元素落在第k 个位置，第二步就先把k 号元素“错排”好，k 号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生：1、k 号元素排在第1个位置，留下的n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”，有f(n -2) 种方法；2、k 号元素不排第1 个位置，这时可将第1 个位置“看成”第k 个位置，于是形成（包括k 号元素在内的）n - 1 个元素的“错排”，有f(n - 1) 种方法。
据加法原理，完成第二步共有f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。
根据乘法原理，n 个不同元素的错排种数f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。
方法二：n个人每个人都不站在原来的位置的方法数有: f(n)=n!(1/2!-1/3!+1/4!+..+(-1)^n/n!)此公式的推导过程要用到筛法公式,而且推导过程很复杂,除了竞赛高考肯定不会出现,对于n不大于4时可采用枚举法.一般只需记住n不大于5的情况即可f(2)=1,f(3)=2,f(4)=9,f(5)=44此外还有一个简单的公式f(n)={n!/e},{x}表示最接近x的整数,e为自然底数,其值为2.7182818.........,一般取2.72即可九、证明6个人中或者存在3个人相互认识，或者存在3个人相互不认识。
证明：任取一人A，将其认识的人放入集合F，将其不认识的人放入集合S。
由鸽巢原理，F、S中有一个集合不少于3人。
若F中至少有三个人，任取三人设为BCD，若BCD相互不认识，则得证，若BCD不是相互不认识，则其中至少有两人相互认识，不妨设BC相互认识，则ABC三人相互认识，得证；若中S中至少有三人，……。