《高等工程数学(矩阵论)》复习提纲与习题选讲
矩阵理论大纲
矩阵理论大纲《矩阵理论》教学大纲一．概况1．开课学院（系）和学科：理学院数学系2．课程代码：G0715553．课程名称：矩阵理论(Matrix Theory)4．学时/学分：52学时/3学分(每周四学时,共13周,第2周-第14周)5．预修课程：线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化，实对称矩阵与二次型）, 高等数学（一元微积分，空间解析几何，无穷级数，常微分方程）6．适合专业：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科等需要的专业7．教材/教学参考书：《矩阵理论与应用》，张跃辉，科学出版社，2011.《矩阵理论》，苏育才、姜翠波、张跃辉编，科学出版社，2006《矩阵分析》, R.A. Horn and C.R. Johnson,Cambridge Press (中译本)，杨奇译，机械工业出版社，2005。
《矩理阵论与应用》，陈公宁编，高等教育出版社，1990。
《特殊矩阵》，陈景良，陈向晖，清华大学出版社，2001。
《代数特征值问题》，JH.威尔金森著，石钟慈邓健新译，科学出版社，2001。
教学团队: 张跃辉, 范金燕, 陈贤锋, 邓大萌, 麻志浩, 陈春丽,邓师瑾二、课程简介本课程包含五大部分：线性空间（含内积空间）的结构、线性变换的结构及其与矩阵的关系、矩阵的分解理论及应用、矩阵函数及其微积分、广义逆矩阵与线性方程组的最优解本课程的核心是线性变换与矩阵分解。
课程的主线可以理解为通过线性变换来研究矩阵的结构，赋予矩阵以几何直观，从而更好地运用矩阵的分解理论与微积分理论解决实际问题。
本课程在技术上的重点和难点是矩阵的特征值与矩阵的Jordan标准形，因为矩阵计算的实质是特征值的计算，而矩阵的Jordan标准形从理论上提供了理解矩阵性质、计算矩阵函数、研究矩阵微积分的一种简便方法。
本课程以研究正规矩阵的分解入手，说明了该类矩阵的分解实际上就是线性变换化为旋转、伸缩、再反转的复合，由此阐明了矩阵分解的框架：即使得相应的线性变换有简明的可操作的几何意义。
《高代》复习提纲)
第四章矩阵矩阵在本课程中起者承上启下的作用。
尤其是以下几章的学习有重要作用。
矩阵是代数研究对象的进一步扩充。
要求：1．掌握矩阵的加法和乘法的条件、方法和运算规律；掌握数与矩阵的乘法、矩阵的转置的运算规律。
2．掌握初等矩阵的定义、初等矩阵与矩阵初等变换的关系；3．掌握可逆矩阵的定义、判别方法及逆矩阵的求法；4．理解矩阵乘积行列式的求法；重点：：矩阵的乘法规则及可逆矩阵求逆的方法要重点掌握。
难点：理解初等变换与矩阵乘法的联系和几种求逆矩阵的方法。
第五章二次型本章介绍二次型的概念，化二次型为标准形的方法。
这些内容是线性代数的重要研究对象。
在数学的其它分支和物理学中有重要应用，对中学数学教学有直接指导作用。
要求；I．掌握二次型及二次型的矩阵的概念及二次型矩阵的求法；2．掌握矩阵合同的定义及性质；3．理解二次型的标准型的概念及化为标准型的方法；4．弄清二次型的标准形不唯一的原因，会确定复二次型和实二次型的规范形，理解它们的唯一性，掌握实二次型和实对称矩阵的正惯性指数、负惯性指数和符号差的概念；重点：二次型，二次型的秩，矩阵的合同，实二次型的标准型，惯性定理，第六章线性空间线性空间和下章的线性变换是高等代数的重要理论部分，但其内容抽象、难度较大。
要求：．1、掌握定义线性空间的“228”条件，和线性空间的四条简单性质2、掌握向量线性相关，无关概念，性质及判别方法；3、掌握子空间的概念和判别方法；掌握由向量组生成的子空间的概念及其基与维数的确定，知道每个有限维线性空间都是由它的基向量组生成的，掌握子空间的交、和等概念；理解子空间的交与和与一般集合交并与并的异同，4、掌握线性空间的维数、基和向量的坐标的概念及其相互关系。
会判定向量组是否可以作为空间的基；会求向量在给定基下的坐标，熟练掌握同一向量在两组不同基下的坐标的转换公式；过渡阵概念，性质及求法；重点：向量空间、线性相关、线性无关、子空间、子空间的运算、基、维数、坐标、过渡矩阵。
矩阵论学习复习资料共44页文档
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
矩阵论学习复习资料
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
研究生矩阵论复习提纲(全)
1矩阵的基本知识正规矩阵：实对称阵，实反对称阵，实正交矩阵，hermite 矩阵，反hermite 矩阵，酉矩阵2.1矩阵的特征值与特征向量2.2矩阵的相似对角化2.3矩阵的Jordan 标准型1、不变因子、初等因子、行列式因子的定义2、Jordan 标准型的求法：初等变换法、行列式因子法3、相似变换矩阵的求法：J=P-1AP→AP=PJ，k i j 的形式、二项式系数4、相似对角化的条件：r 重根需对应r 特征向量，否则不能对角化2.4hamilton-cayley 定理()()()0,det =-=A A I n ϕλλϕ则,用此公式简化矩阵运算2.5矩阵的酉相似1、smit 正交化，shur 分解2、酉矩阵的定义，正规矩阵的定义，酉相似定义，酉相似对角化及充要条件3、酉对角化步骤4、正定hermite 的性质A=GG H3.1矩阵的三个基本分解1、满秩分解：只能是行变换A=FG2、方阵的Jordan 分解、shur 分解3.2矩阵的三角分解1、三角分解的定义及可逆矩阵的三角分解条件，不可逆矩阵也是可以三角分解的2、Doolittle、crout、LDR 分解的形式、正定hermite 矩阵的cholesky 分解3.3矩阵的QR 分解1、householder 变换（1）取记住复数向量的模为sqrt(x hx)αe1Hx 则,2uu 1H 令(3)αe1x αe1x u 取2x α1H=-=--==）（）（2、利用householder 变换求矩阵的QR 分解Q=H1H2H3...Hn-13、矩阵奇异值分解的一般步骤4.1向量范数和矩阵范数的定义∑==ni ix x 115.0122⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=ni i x x pni p i px x11⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ix xmax =∞∑∑===ni nj ijm a A 111()AA a A H n i n j ij Ftr 5.0112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==ijm a n A max ⋅=∞∑=≤≤=ni ij nj a A 111max 最大列模和∑=≤≤∞=nj ij ni a A 11max 最大行模和H AA A ==12σA 的最大奇异值谱半径与范数的关系：()AA ≤ρ4.2矩阵级数，矩阵幂级数，收敛性()1-∞=-=∑A I A k k,当级数∑∞=0k kA收敛时即()1<A ρ4.3矩阵函数：几个常用的矩阵函数∑∞==0!k kAk A e ()()120!121sin +∞=∑+-=k k kAk A ()()kk k Ak A 20!21cos ∑∞=-=()()()10111ln +∞=∑+-=+k K kAk A 矩阵函数值的计算方法：1、Hamilton-cayley 定理或零化多项式进行求解2、Jordan 分解：()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P J a P A a A f k k k k kk ()()()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P Jt a P At a At f K k k k kk 3、待定系数法矩阵函数()A f 的特征值对应()i f λ5、矩阵的特征值界的估计∞≤m A λ()∞+≤m HA A 5.0ReλHA A -≤5.0Im λ矩阵特征值的分布区域：圆盘定理，行和列盖尔圆特征值的隔离()~1ii ii R R a z αα-+≤-()x R max 1=λ，()x R n min =λ6、广义逆矩阵P l l l I Q X r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222112{1}广义逆的求法⎥⎦⎤⎢⎣⎡0nm I I A 初等变换→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000Q P I r。
高考高等数学备考指南矩阵论应用
高考高等数学备考指南矩阵论应用对于即将参加高考的同学们来说，高等数学中的矩阵论可能是一个相对较新且具有一定挑战性的知识点。
然而，掌握好矩阵论不仅能够提升我们在高考数学中的解题能力，还有助于培养我们的逻辑思维和数学素养。
一、矩阵的基本概念矩阵，简单来说，就是一个按照矩形排列的数表。
它由行和列组成，例如一个 m 行 n 列的矩阵，我们就称为 m×n 矩阵。
在高考中，我们常见的矩阵通常是 2×2 或者 3×3 的矩阵。
比如：1 2; 3 4 这就是一个 2×2 的矩阵。
了解矩阵的基本元素，包括矩阵的元素、行向量和列向量等，是我们学习矩阵论的第一步。
二、矩阵的运算1、矩阵的加法只有当两个矩阵的行数和列数都分别相等时，才能进行加法运算。
加法运算就是将对应位置的元素相加。
2、矩阵的数乘一个数乘以一个矩阵，就是将这个数乘以矩阵中的每一个元素。
3、矩阵的乘法这是矩阵运算中的重点和难点。
矩阵乘法并非像数字乘法那样简单直接，它有着特定的规则。
对于矩阵 A（m×n）和矩阵 B（n×p），它们的乘积 C 是一个 m×p 的矩阵。
其中，C 中第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素乘积的和。
三、矩阵的性质1、矩阵的转置将矩阵的行和列互换，得到的新矩阵就是原矩阵的转置矩阵。
2、矩阵的逆如果存在一个矩阵 B，使得矩阵 A 与矩阵 B 的乘积为单位矩阵，那么矩阵 B 就是矩阵 A 的逆矩阵。
但并非所有矩阵都有逆矩阵，只有行列式不为 0 的矩阵才有逆矩阵。
四、矩阵在高考中的应用1、求解线性方程组通过将线性方程组写成矩阵形式，利用矩阵的运算和性质，可以更简便地求解方程组。
例如，对于方程组：2x ＋ 3y ＝ 84x y ＝ 1可以写成矩阵形式：2 3; 4 －1 x; y ＝ 8; 1然后通过求矩阵的逆或者其他方法来求解 x 和 y 的值。
矩阵论复习大纲
第一章1 线性空间概念（封闭性）2线性空间的基与维数 (教材P3例6) 3坐标概念、及求解（教材P3例8） 4 坐标在不同基下的过渡矩阵及坐标变换5 子空间、列空间、和空间概念，维数定理以及求法（例1）；直和， 直和补空间6 内积空间概念，标准正交基及标准正交化过程7 线性变换概念、线性变换的矩阵（概念：教材P22定义1.13，性 质：教材P22定理1.13），计算、过渡矩阵以及不同基下的矩阵（例2, 3）8 不变子空间，正交变换，酉交变化例1 设112{,}W L αα=，212{,}W L ββ=，其中T )0121(1=α，T )1111(1-=α，T )1012(1-=β，T )7311(1-=β，求12W W +与12W W ⋂的维数，并求出12W W ⋂解 [][][]2121212121,,,,ββααββααL L L W W =++=+()⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==711022-203-5-30121-17110301111121211,,,2121行变换ββααA B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000310040101-001000031007110121-1得r(A)=r(B)=3,dim(W 1+W 2)=3. 又因为dim W 1=2, dim W 2=2,由维数定理 dim (W 1 W 2)= dim W 1+ dim W 2-dim （W 1+W 2）=4-3=1 设,,4433221121ββααααx x x x W W +=+=∈ 化为齐次线性方程组0),,,(142121=--⨯X ββαα.即0711*******121211=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------X解得()(){}.4,3,2,5,4,3,2,54,,3,4,21214321TTk W W k k k k x k x k x k x -==-=+-==-==-=αααα 即例2 设3R 上线性变换T 为,)2())((3132321213T T x x x x x x x x x x T +-++=求T 在基TT T)111(,)110(,)101(321-===ααα下的矩阵B.解 在自然基321,,e e e 下，线性变换T 的坐标关系式为：,10111012123213132321⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++=x x x x x x x x x x Y 根据由变换的坐标式 Y=AX 得T 在自然基下矩阵,101110121⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-又从C e e e )()(321321=ααα 得过渡矩阵,111101112,1111101011⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-C C所以.4212204511⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--==-AC C B3.设3R 中，线性变换T 为：.3,2,1,==i T i i βα其,)1,1,1(,)1,1,2(,)1,0,1(321T T T ==-=ααα与.)1,2,1(,)0,1,1(,)1,1,0(321T T T =-==βββ求（1）T 在基321,,ααα下的矩阵。
高等工程数学讲义(矩阵理论部分)
解：以1,2,3,4 为列向量构造矩阵
1 −1 2 1
A
=
2 1
1 1
−1 0
−1 3
,
0
1
1
7
对 A 施行初等行变换化为行最简形矩阵（即厄米特阶梯形矩阵）
2
1 −1 2 1 1 −1 2 1
A
=
2
1
−1
−1
行
→
0
3
−
−3
1 1 0 3 0 2 −2 2
3
在引入矩阵加法和数乘运算后， M mn (F ) 构成数域 F 上的向量空间。
的线性关系。
1.2 矩阵运算及其性质
我们用 M mn (F ) 或 F mn 表示数域 F 上 m n 矩阵的全体，即
M mn (F ) = (aij )mn | aij F .
特别地用 M n (F ) 或 F nn 表示数域 F 上 n 阶方阵的全体。
定义 1.4 设 A = (aij )mn , B = (bij )mn ， A 与 B 的和为
0
1
1
7
0
1
1
7
1 0 1 2 1 0 0 -1
行
→
0
1
0
4
行
→
0
1
0
4
=B.
0 0 1 3 0 0 1 3
0
0
0
0
0
00
0
由矩阵 B 可知，1,2,3 是 L(1,2,3,4) 的基，且生成子空间的维数为 3。
注释：在这里，需要利用以下结论
（1） 设 B = (1, 2, 3, 4), 则 1, 2, 3 是 B 的极大无关组，也是 B 的列空间的基。 （2） A 施行初等行变换化为行最简形矩阵 B ，则它们的列向量组对应具有完全相同
高等工程数学复习重点
1.线性变换定义、例子、表示矩阵求法、作用
2.线性变换特征值、特征向量、定义、求法
3.范数定义、向量、矩阵常见范数、求范数
4.矩阵对角化——对角化方法与Jordan标准型的关系、矩阵Jordan标准型的求法
5.子空间定义、常见字空间的构造、直和子空间、分解为直和
6.矩阵的零空间、R n在零空间下的直和分解
7.矩阵的域空间
8.代数精度的定义
9.Newton-Cotes求积公式中节点的定义、性质、与代数精度的关系
10.Newton迭代法的构造及构造原理
11.牛顿插值的定义、差商的定义、性质
12.代数线性方程组的几何数值计算方法
13.主元的定义、类型、在算法中的作用
14.线性方程组中的迭代解法中有关收敛的结论
15.插值多项式构造方法——拉格朗日、牛顿、埃尔米特插值
16.插值余项的定义、构造
17.正态总体下抽样分布的结论
18.t-、x2-、F- 分布有关构造结论
19.单正态总体有关参考数区间估计的结论
20.距估计定义、求法
21.极大似然估计定义、求法、性质（微分法、定义法）
22.常见分布：（0-1）、β（n，p），P（λ），G（p），U（a，b），E（λ），N（µ，σ2）
23.X2-拟合优度检验
24.单因素方差分析、条件、结论、算法、方差分析表
25.回归分析定义、科学意义、条件（G-M条件）、最小二乘法算法、性质、一元线性回归
方程的求法、应用。
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《矩阵论》复习提纲与习题选讲
chapter1 线性空间和内积空间
内容总结：
z 线性空间的定义、基和维数；
z 一个向量在一组基下的坐标；
z 同一线性空间不同基之间的过度矩阵；
z 线性子空间的定义与判断；
z 子空间的交；
z 内积的定义；
z 内积空间的定义；
z 向量的长度、距离和正交的概念；
z Gram-Schmidt 标准正交化过程；
z 标准正交基。
习题选讲：
1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。
（1） 求的维数；并写出的一组基；
3]x [R 3]x [R （2） 求在所取基下的坐标；
221x x ++ （3） 写出（1）所取基到的另一组基的过渡矩阵；
3]x [R 2)1(),1(,1−−x x （4） 在中定义
3]x [R ， ∫−=1
1)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基；
3][x R （5）求与之间的距离。
221x x ++2x 2x 1+−
二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。
（1） 求22R ×的维数，并写出其一组基；
（2） 在(1)所取基下的坐标； ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−−3111（3） 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩
阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基；
（4） 在W 中定义内积
， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈
求出W 的一组标准正交基；
（5）求与之间的距离； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−1221 （6）设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩
阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：V 也是22R ×的子空间；并写出V 的维数和一组基；
（7）写出子空间的一组基和维数。
V W ∩
chapter2 线性映射与线性变换
内容总结：
线性映射在基对下的矩阵表示；
矩阵的典型关系：相抵（等价）、相似与相合；
线性变换在基下的矩阵表示；
线性变换在不同基下的矩阵之间的关系——相似；
矩阵的特征值的定义与计算；
习题选讲：
一、 设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。
（1） 求的维数，并写出的一组基；
3]x [R 3]x [R （2） 在(1)所取基下的坐标； 求与之
间的距离；
2x 2x 1++23x 2x 1++2x 2x 1+−（3）已知其另一组基为，
2)a x (,a x ,1−−（4）求由（1）总所取的基到这组基的过度矩阵；
（5） 在中定义内积
3]x [R ， ∫−=1
1)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 求出的一组标准正交基;
3][x R (6) 在中定义线性变换3]x [R D ：D ()=)(x f )(x f ′,
n x R x f ][)(∈ 求D 在（1）中所取基下的矩阵表示.
chapter3 λ矩阵与矩阵的Jordan 标准形 内容总结：
z λ矩阵的定义与运算；
z λ矩阵的smith 标准形、不变因子、行列式因子和初等因子； z 矩阵的相似的条件；
z 矩阵的Jordan 标准形；
一、（20分）设矩阵，
21012114134A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠
（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值；
（2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子；
（3）写出A 的Jordan 标准形.
Chapter4 矩阵的因子分解
内容总结：
矩阵的满秩分解；
矩阵的三角分解；
了解矩阵的QR 分解；
了解矩阵的schur 定理和奇异值分解
习题选讲：
一、（1）已知 ，作出矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=621911432A A 的分解； LU （2）已知 ，作出矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=010*********A A 的满秩分解；
Chapter5 Hermite 矩阵与正定矩阵
Hermite 矩阵的定义和性质；
正定矩阵的定义、性质和判定定理；
矩阵不等式
习题选讲：
一、设，其中⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=2i i i 2i
i i 2A 1i −=，证明: ； 0A >（1） 设，，问： ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=201021113A ⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111112121B B A >吗？ 说明理由； （3） 设均为阶Hermite 矩阵，且，，且B ,A n 0A >0B ≥BA AB =，
证明：；
0AB ≥（4） 设均为阶Hermite 矩阵，且，即B ,A n 0A >A 正定，
证明：AB 相似于实对角矩阵；
（5） 设均为阶Hermite 矩阵，，且；
B ,A n 0A >0AB >证明：；
0B > (6) 证明：若则；
,0A >,0A 1>−
Chapter6 范数与极限
向量范数
矩阵范数—1、2、∞、F 范数的定义与计算；
范数等价性—范数不等式
习题选讲：
（1）设，求⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=230321012A F A A A A ,,,21∞； （2） 设是可逆矩阵，n n C A ×∈*是满足1I =的相容矩阵范数， 证明：11A A −−≥ ；
（3） 设，证明： n m C A ×∈22)(A A rank A
A F ≤≤；
Chapter8 广义逆矩阵
广义逆矩阵的定义
广义逆矩阵+A 的定义、性质、计算
利用广义逆矩阵+A 判断线性方程组的相容性，并表示通解形式 习题选讲：
（1）叙述广义逆矩阵+A 的定义；
（2）设; 作出A 的满秩分解，并计算⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=120111200321A +A ；
（3）利用(2)中广义逆矩阵判断如下线性方程组
T ]3,3,6[Ax =
是否相容？若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解。