泛函分析讲义第八章
泛函分析 PPT课件
• 可数基数a，连续基数c。
• 主要结论：1.可数集的子集至多可数； 2.有限或可数多个可数集合的并是可数集； 3.有限个可数集的直积是可数集； 4. 无限集必于它的某真子集对等，含可数子集；
可数集的例子：整数集，有理数集，n维欧式空间中 的有理点集。
实数的基本定理：确界存在原理、单调有界原理、 闭区间套引理、聚点定理、有限覆盖定理等等都 当成已知
距离空间的拓扑
• 空间引入距离，才有了空间上映射的连续性概念 （开集的原像是开集）
• 称X的子集B(x,r)={y;p(x,y)<r}为以x为心半径为r的 开球
• 称X的子集S(x,r)={y; p(x,y)=r}为以x为心半径为r的 有着很大优越和方便之处，但并不完全一致。如:离散距离空间中的球 面只有两种可能：空集或全空间
• 紧集的连续象是紧集 • 紧集上的连续函数是一致连续的，能取到最大值
和最小值。 • 空间X是有限维的当且仅当X的闭单位球是紧集。 • 非紧的空间，可以通过一点紧致化，进而利用紧
空间的性质来研究
小结
• 我们讨论距离空间的基本性质 • 距离空间就是赋予距离的集合，是三维立体空间
概念的推广，二者既有相同又不完全相同。
• Zorn引理是集论的一个重要工具，与选择公理，良序原理都是彼此等价的,主要应用于 数学上存在性定理的证明，而不具体描述寻求的方法。
泛函分析讲义(中文版-武汉大学).
则称 d 是 X 上的度量（距离）函数，称 X 为度量（距离）空间．有时为了明确，记为 ( X , d ) ．
度量空间的子集合 E ，仍以 d 为 E 上度量构成的度量空间称为 ( X , d ) 的子空间．
例 1 对于 n 维空间Φ n 中的点 x = (x1, , xn ) 和 y = ( y1, , yn ) ，定义
利用 Zorn 引理可以证明： 任一线性空间必存在极大线性无关集合，这一集合即是 X 的 Hamel 基．换句话说，任一线性空间必存在 Hamel 基．
凸集和子空间是线性空间中时常用到的子集． X 的子集 E 称为是凸的，若 ∀x, y ∈ E ，
0 ≤ r ≤ 1 ， rx + (1 − r) y ∈ E ．对于任一集合 E ⊂ X ，记
容易验证 X 是线性空间． 今后对于有限维空间，无穷序列空间和函数空间将分别采用以上规定的线性运算．许多
在经典分析、代数、复变、实变、微分方程中遇到的空间都是线性空间。 注意：定义 1 与线性代数中关于线性空间的叙述是一致的，但是其内涵要比线性代数中
广泛得多。因为在线性代数中限定所考虑的对象为 n 数组。这一点很重要，例如在线性代数 中有一个结论：任何 n +1 个向量必线性相关。对于现在的空间，这一结论却不必成立。
实际上在Φ
n
上还可以定义其他度量，例如
d1 ( x,
y)
=
max
1≤i≤n
xi
−
yi
，此时 (Φ n , d1) 仍是度
量空间．但须注意应把 (Φ n , d1) 与 (Φ n , d ) 视为不同的度量空间．此外注意今后当说到Φ n 是
度量空间时，总意味着它带有欧氏度量.
(53页幻灯片)泛函分析PPT课件
泛函分析的产生
十九世纪后数学发展进入了一个崭新阶段
对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何 对于代数方程求解的研究，建立并发展了群论 对数学分析的研究又建立了集合论
二十世纪初出现了把分析学一般化的趋势
瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作 希尔伯特空间的提出
分析学中许多新理论的形成，揭示出分析、几何、代数的许多概念和方 法常常存在相似的地方
泛函分析导 引
泛函分析概览
形成于20世纪30年代的数学分支 从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发 展而来 综合运用了函数论，几何学，代数学的观点
➢ 可看成是无限维向量空间的解析几何及数学分 析
研究内容
无限维向量空间上的函数，算子和极限理论 研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各 种拓扑和代数条件的映射
设 f (x) 是定义在[a, b]上的有界函数
并任在意[a取, bξ]上i 任∈意[x取i-1一,xi]组(i分=1点,2,a…=x,n0<)，x1…作<和xn式-1<xn=b,
n
S f (i )xi
i1
若其极限存在则称Riemann可积
nHale Waihona Puke b(R) a f (x)dx lxim0 i1 f
在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算 子
研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生 了一门新的分析数学，叫做泛函分析。
泛函分析的特点
把古典分析的基本概念和方法
一般化 几何化
从有限维到无穷维
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具
从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系 统 过渡到无穷自由度系统 现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统
实变函数与泛函分析基础第二版程其襄第八章答案
−1
0
解 由 f (x) = ∫ 0 x(t)dt − ∫1 xf (t)dt ≤ ∫0 xf (t)dt + ∫1 xf (t)dt ≤ 2 x
−1
0
−1
0
−1,
f
≤
2 。设 x n
=
1,
−nt,
t
∈
1 n
,1
t
∈
−1,
−
1 n
t∈ −1,1 nn
则
x n
∈
C
[
−1,1]
，且
x
= 1, n = 1, 2,L
∫ ∫ ∫ ∫ f
(
x n
)
=
0
1
x(t)dt − x(t)dt
−1
0
= 2(1− 1) + n
0 1
(
−nt
)dt
−
−
1
n (−nt ) dt
0
= 2(1− 1 ) + 1 + 1 n 2n 2n
n
=2−1 。 n
由此，
f
≥
f
(x ) n
=
F (xy) F( y 2)
代入上式得 F (
x
2)−
F (xy) F( y 2)
≥
0
因 F (xy) = F (xy) ，得 F (xy) = F (xy)F ( x 2 )F ( y 2 ) ≥ F (xy) 证毕
习题解答 1，举例说明有界线性算子的值域不一定是闭线性空间。
( ) 解
设
C 0
是收敛到
(
x)
《实变函数与泛函分析基础》第二版_程其襄第八章答案
x + - x− ， 其 中
x+ = max{x,0}, x− = max{− x,0} 均是 C 0 (−∞,+∞) 中的非负函数，且 x+ ≤ x , x− ≤ x .
同理 y = y + − y , y + 和 y− 是非负函数，且 y+ ≤ y , y − ≤ y 。 若存在 M > 0 ，使任意非负函数 ϕ ， F (ϕ ) ≤ M ϕ , 则 F 必有界
x(t i ) = ε i , i = 1,2, Λ n, 且||x||=1.这样|f(x)|=||
n
∑ λ x(t ) |= ∑ | λ
i i i =1 i =1
i
| ，所以. ||f(x)|| ≥ ∑ | λi |
i =1
由此 ，我们证明了||f(x)||=||
∑| λ
i =1
i
| 。证毕。
例题 2 设 F 是 C 0 ( −∞,+∞) 上的线性泛函， （ C 0 ( −∞,+∞) 的定义参见七章例题讲例 5） 。若 F 满足条件：若 ϕ ∈ C 0 ( −∞,+∞) 且任意 t ∈ ( −∞,+∞), ϕ (t ) ≥ 0, 则称 F 是正的线性泛 函，求证： C 0 ( −∞,+∞) 上的正的线性泛函的连续的。 证明 任意复值函数 f ∈ C 0 ( −∞,+∞) ， 都可以写成 f = x + iy,其中 x,y 是 C 0 ( −∞,+∞) 中 的 实 值 函 数 ， ||x|| ≤ f 且 ||y|| ≤|| f || . 而 实 值 函 数 又 可 以 x=
2 2 2
λ，
0 ≥ F ( x − iy ) = F ( x ) − λ F ( xy ) − λ F ( xy ) + λ F ( y )
应用泛函分析教案
应用泛函分析教案第一章：泛函分析基础1.1 集合与函数的概念集合的基本运算函数的定义与性质函数的图像与性质1.2 赋范线性空间与内积空间赋范线性空间的概念内积的定义与性质内积空间的性质1.3 线性算子与对偶空间线性算子的定义与性质对偶空间的概念与性质常用的线性算子与对偶空间第二章：赋范线性空间的基本定理2.1 泛函分析的基本定理闭图像定理共鸣定理开映射定理2.2 赋范线性空间的完备性完备性的定义与性质博尔查诺-魏尔斯特拉斯定理帕奇-弗雷歇定理2.3 赋范线性空间的同调性质同调序列与同调群直和、半直和与同调性质维数定理与同调性质的关系第三章：希尔伯特空间与自伴算子3.1 希尔伯特空间的概念与性质内积空间的进一步研究希尔伯特空间的特点与性质希尔伯特空间的对偶空间3.2 自伴算子的性质自伴算子的定义与性质自伴算子的谱分解自伴算子的对偶性质3.3 谱定理与自伴算子的应用谱定理的定义与证明自伴算子在量子力学中的应用自伴算子在偏微分方程中的应用第四章：赋范线性空间的框架4.1 框架的概念与性质框架的定义与构造框架的性质与例子框架在信号处理中的应用4.2 Riesz表示定理Riesz表示定理的定义与证明Riesz表示定理的应用框架与Riesz表示定理的关系4.3 框架的推广与变种广义框架的概念与性质框架的推广到其他赋范线性空间框架的变种与推广第五章：应用泛函分析解决问题5.1 泛函分析在数学物理中的应用偏微分方程的解的存在性与唯一性量子力学中的算子方法连续介质力学中的泛函分析方法5.2 泛函分析在信号处理中的应用框架在信号处理中的应用小波分析与泛函分析的关系信号处理中的其他泛函分析方法5.3 泛函分析在其他学科中的应用泛函分析在概率论与统计学中的应用泛函分析在优化与控制理论中的应用泛函分析在其他科学领域中的应用第六章：Banach空间与不动点定理6.1 Banach空间的概念与性质Banach空间的基本定义Banach空间的例子Banach空间的性质6.2 不动点定理及其应用不动点定理的定义与证明合同映射与不动点不动点定理在优化问题中的应用6.3 算子方程的解法算子方程的定义算子方程的解法算子方程解的存在性与唯一性第七章：Hilbert空间上的正交基与正交分解7.1 正交基的概念与性质正交基的定义正交基的性质正交基的构造方法7.2 正交分解定理正交分解定理的定义与证明正交分解的应用格拉姆-施密特正交化方法7.3 正交投影与不变子空间正交投影的概念与性质不变子空间的概念与性质正交投影在量子力学中的应用第八章：算子的谱理论8.1 谱映射定理谱映射定理的定义与证明谱映射定理的应用谱映射定理的推广8.2 算子的本征值与本征函数算子的本征值与本征函数的定义算子的谱定理算子的本征值与本征函数的应用8.3 算子的扩张与restriction算子的扩张与restriction 的定义扩张与restriction 的性质扩张与restriction 在应用中的例子第九章：泛函分析在现代数学中的应用9.1 泛函分析在代数学中的应用向量空间与线性代数环、域与代数结构泛函分析与代数拓扑的关系9.2 泛函分析在几何学中的应用向量丛与纤维丛微分几何与泛函分析度量空间与测地线9.3 泛函分析在物理学中的应用量子力学与算子方法连续介质力学与偏微分方程统计物理学与泛函分析第十章：泛函分析的前沿问题与展望10.1 泛函分析的发展历程泛函分析的起源与早期发展泛函分析的主要里程碑泛函分析在现代数学中的地位10.2 泛函分析的前沿问题希尔伯特空间中的谱理论非线性泛函分析与动力系统算子代数与量子计算10.3 泛函分析的未来展望泛函分析在数学其他领域的影响泛函分析与其他学科的交叉泛函分析在科技应用的潜力重点和难点解析重点一：泛函分析的基本概念与性质集合的基本运算、函数的定义与性质、函数的图像与性质是泛函分析的基础知识，需要重点掌握。
泛函分析ppt课件
傅里叶变换与小波变换的应用
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理、语音处理等领域 有着广泛的应用。例如，在信号处理中，可以通过傅 里叶变换将信号从时域转换到频域，从而方便地进行 信号的分析和合成。在图像处理中，可以通过傅里叶 变换对图像进行频域滤波，从而实现图像的降噪和增 强。在语音处理中，可以通过傅里叶变换对语音信号 进行分析和处理，从而实现语音的识别、压缩和加密 等任务。
REPORTING
在物理学中的应用：量子力学与相对论
量子力学
泛函分析在量子力学中有着广泛的应用，如波函数的形式化 描述、薛定谔方程的推导等。
相对论
泛函分析也被用于相对论中的时空变换和场方程的构造，以 及在广义相对论中研究黑洞的性质等。
在工程学中的应用：控制理论、电气工程等
控制理论
泛函分析在控制理论中有着重要的应用 ，如研究系统的稳定性、时域响应等。
PART 05
泛函分析在信号处理中的 应用
REPORTING
信号处理的基本概念
信号的定义与分类
信号是传递或表达某些信息的数据或数据流。它可以分为 离散信号和连续信号，离散信号是离散时间点的数据，而 连续信号是连续时间点的数据。
信号处理的定义与目的
信号处理是对信号进行变换、分析和解释的过程，目的是 从原始信号中提取有用的信息，或者将原始信号变换为另 一种形式，使其更易于分析和理解。
其他应用
泛函分析还可以应用于滤波器设计、压缩感知等领域。例如，基于小波变换的压缩感知方 法可以在保持信号质量的同时，实现信号的压缩和存储。
实例分析：信号的傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换的基本原理
傅里叶变换是一种将时域信号转换到频域的方法。它将一个时域信号表示为一系列不同频率的正弦和 余弦函数的线性组合。通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而可以更好地分析信 号的频率特性。
泛函分析讲义张恭庆答案
泛函分析讲义张恭庆答案【篇一：《泛函分析》课程标准】>英文名称：functional analysis课程编号：407012010 适用专业：数学与应用数学学分数：4一、课程性质泛函分析属于数学一级科下的基础数学二级学科，在数学与应用数学专业培养方案中学科专业教育平台中专业方向课程系列的一门限选课程。
二、课程理念1、培育理性精神，提高数学文化素养基础数学研究数学本身的内在规律，是整个数学学科的基础，它在数学学科其他领域、物理学、工程及社会科学中都有着广泛的应用。
《泛函分析》课程是数学与应用数学本科学生的专业课程之一，是数学分析、高等代数、实变函数等基础课程的后继课程，是研究生学习的基础，。
它不仅在数学学科占有十分重要的地位，而且在其他学科领域也有广泛的应用，掌握泛函分析的方法对学生更好地理解基础课程的理论将有很大的益处。
该课程培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力，体现知识、能力和素质的统一，符合应用型人才培养的目标要求。
2、良好的学习状态，提高综合解题能力本课程面对的是数学与应用数学专业四年级的学生。
学生刚刚结束教育实习，准备考研的学生进入紧张复习阶段，另一部分学生开始准备找工作。
《泛函分析》这门课内容比较抽象，课时又少，所以，如何让学生安保持良好的学习状态，是本门课要面对的一个重要问题，也是学生要面对的一个具体问题。
需要师生共同努力去正确面对才能顺利完成本门课的教学任务。
为学习研究生课程和现代数学打下必要的基础；进一步提高学生的数学素养。
3、内容由浅入深本课程的框架结构是根据教学对象和教学任务来安排的：“度量空间”泛函分析的基本概念之一，十分重要。
首先，引入度量空间的概念，并在引入度量的基础上定义了度量空间中的极限、稠密集、可分空间、连续映照、柯西点列、完备度量空间，对于一般的度量空间，给出了度量空间的完备化定理，并证明了压缩映照原理。
然后，在度量空间上定义线性运算并引入范数，就得到线性赋范空间以及巴拿赫空间。
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设X，Y都是赋范线性空间，T是X到Y的线性算子，如果T 在某一点x0 D(T)上连续，则T在D(T)上处处连续。
该定理说明，要验证线性算子T的连续性，只需要验证T在某一点 连续。又相当于下面要引进的有界性。
（2）有界线性算子
设X，Y都是赋范线性空间，T是X的线性子空间D(T)到Y 的线性算子，如果存在常数c ，是对所有x D(T)，|有| Tx || c || x ||
2、线性算子和线性泛函的例子
（1）设X是线性空间， 是一给定的数，对任何 x X ，
令
Tx x
显然，T是X到X中的线性算子，称为相似算子。
当 1 时，称为恒等算子；当 0 时，称为零算子。
（2）对每个x C[a,b] ，规定
(Tx)(t)
t
x( )d
a
由积分的线性性质，可知T是C[a,b] 到C[a,b] 中的线性算子。
若T || T || || x ||
|| T || sup || Tx || sup || Tx ||
||x||1
||x||1
并非所有算子都有界。例如微分算子，P[0,1]为C[0,1]的子空间，令
xn (t) t n，则 xn 1 ，但
Txn
max | ntn1 | n 0t 1
，
所以 T Txn n ，T是无界算子。
§2 有界线性算子空间和共轭空间
1、有界线性B(X → Y) 算子全体所成空间
设X，Y都是赋范线性空间，B(X→Y)是X到Y的有界线性算
子全体，当A，B B(X→Y), 是任意一个数时，规定
若令 f (x)
b
x( )d
则 f 是 C[a,b]上线性泛函。
a
若令 (Tx)(t) tx(t) T是线性算子，称为乘法算子。
（3）对每个x P[0,1] ，规定 (Tx)(t) d x(t) dt
由导数运算的线性性质，可知T是 P[0,1] 到 P[0,1] 中的线性算 子，称为微分算子。
定理2 任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间。 定义：设X和Y是两个赋范线性空间，T 是X到Y中的线性 算子，并且对所有x X ，有 Tx x
则称T 是X到Y中的保距算子，如果T 又是映射到Y上的，则 称T 是同构映射，此时称X与Y同构。（了解作用）
例如： l1 的共轭空间为 l 。
l p 的共轭空间为 l q ，其中
第八章 有界线性算子和连续线性 泛函
§1 有界线性算子和连续线性泛函
§2 有界线性算子空间和共轭空间
主要内容：
算子：从赋范线性空间X到另一个赋范线性空间Y中的映 射。算子可以说是函数和函数之间的对应。
泛函：如果Y是数域，则称这种算子为泛函。 本章主要研究线性算子和线性泛函，首先引入线性泛函 和线性算子的概念，证明赋范线性空间中线性算子的连 续性等价于有界性，并引出有界线性算子的一个基本的 量，即算子的范数，证明有界线性算子全体按算子范数 成为一个赋范线性空间。
( A B)x Ax Bx
( A)x Ax 则B(X→Y)按上述线性运算及算子范数成为赋范线性空间。
定理1 设X是赋范线性空间，Y是巴拿赫空间时，B(X→Y)也 是巴拿赫空间。
2、连续线性泛函全体所成空间
设X是赋范线性空间，令X 表示X上连续线性泛函全体所成 的空间，称为共轭空间。
（3）连续性与有界性的关系
设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T 为有界算子的充要条件为T是X上连续算子。
4、算子的范数
T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范线性空间Y中的线
性算子，称 || T || sup || Tx || 为算子T在D(T)上的范数。 x0 || x ||
则称T是D(T)到Y中的有界线性算子。
换句话说，设X，Y是两个赋范线性空间，T是X到Y的 线性算子，如果算子T将其定义域中每个有界集映射成Y中 的有界集，就称T是有界线性算子，简称为有界算子。不 是有界的算子成为无界算子。
显然，赋范线性空间中的相似算子显然是有界算子。 注意区别有界算子与有界函数。
a,b 11 22 ...nn
其中 i 表示 i 的复共轭，并且内积与向量 a 的长度有以下
关系：
a a, a
内积性质： （有限维复欧式空间）
1° a, a 0 且 a, a 0 等价于 a 0
若令 t0 [0,1], f (x) x(t0 ) ，则 f 是 P[0,1]上线性泛函。
（4）矩阵与线性算子的对应性：
设Rn 是n维线性空间，在Rn 中取一组基{e1, e2,..., en} ，则对任何 x Rn
可以唯一的表示成
x
n
v ev
，对每一个方阵(tv )n ，作 Rn
§1 有界线性算子和连续线性泛函
1、线性算子和线性泛函
设X和Y是两个同为实（或复）的线性空间，D是X的线性
子空间，T为D到Y中的映射，如果对于任何x, y D ，及数
成立
T (x y) Tx Ty (1)
T ( x) Tx
(2)
则称T为D到Y中的线性算子，其中D称为T的定义域，记为 D(T)，TD称为T的值域，记为R(T)，当T取值于实（或复）数 域时，就称T为实（或复）线性泛函。
到 Rn
v 1
中算子T 如下：当
n
x vev
时，令 y Tx n ye
v 1
1
其中 y n tvv , 1, 2,..., n。显然这样定义的T是线性算子，称
v 1
为线性变换。算子由方阵 (tv )n唯一确定。
3、线性算子的有界性与连续性
1 1 pq
1
引言：有限维空间中向量的范数相当于向量的模，但是在有 限维欧几里的空间中还有一个重要的概念----两个向量的夹 角，特别是两个向量的正交，所以在赋范线性空间当中，引 入向量的内积来描述模与夹角，建立内积空间。
1、内积定义
a (1,2,...,n ), b (1,2,...,n ), 则 a 与 b 内积定义为