高二下数学(理)练习5
人教版高二数学《导数的四则运算法则含答案解析》练习
5.2.2导数的四则运算法则[A级 基础巩固]1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( ) A．－1 B．－2C．2 D．0解析：选B ∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.2．函数y＝x2x＋3的导数是( )A.x2＋6x(x＋3)2B.x2＋6xx＋3C.－2x(x＋3)2D.3x2＋6x(x＋3)2解析：选A y′＝(x2x＋3)′＝(x2)′(x＋3)－x2(x＋3)′(x＋3)2＝2x(x＋3)－x2(x＋3)2＝x2＋6x(x＋3)2.3．曲线f(x)＝x ln x在点x＝1处的切线方程为( )A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2C．y＝x－1 D．y＝x＋1解析：选C ∵f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，又∵f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.4．设曲线y＝ax－ln (x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选D y′＝a－1x＋1，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.5．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为( )A．1 B．±1C．－1 D．－2解析：选A 设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax30＋3，所以3x0＋1＝ax30＋3①.对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3ax20＝3，ax20＝1②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.6．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝07．已知曲线y1＝2－1x与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.解析：由题知y′1＝1x2，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为1x20，3x20－2x0＋2，所以3x20－2x0＋2x20＝3，所以x0＝1.答案：18．已知函数f(x)＝f′(π4)cos x＋sin x，则f(π4)的值为________．解析：∵f′(x)＝－f′(π4)sin x＋cos x，∴f′(π4)＝－f′(π4)×22＋22，得f′(π4)＝2－1.∴f(x)＝(2－1)cos x＋sin x.∴f(π4)＝1.答案：19．求下列函数的导数：(1)y＝x－ln x；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝x2sin x；(4)y＝x＋3x2＋3.解：(1)y′＝(x－ln x)′＝(x)′－(ln x)′＝12x－1x.(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′＝3x2－2x＋1.(3)y′＝(x2)′·sin x－x2·(sin x)′sin2x＝2x sin x－x2cos xsin2x.(4)y′＝1·(x2＋3)－(x＋3)·2x(x2＋3)2＝－x2－6x＋3 (x2＋3)2.10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴切点为(1，－1)．c，13．曲线y＝x2x－1在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．解析：y′＝－1(2x－1)2，则y′Error!＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为22－1.答案：22－114．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.(1)求a，b的值；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16.(2)∵切线与直线y＝－14x＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x0＝±1.由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18.则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.[C级 拓展探究]15．设f n(x)＝x＋x2＋…＋x n－1，x≥0，n∈N，n≥2.(1)求f n′(2)；(2)证明：f n(x)在(0，23)内有且仅有一个零点(记为a n)，且0＜a n－12＜2n3n＋1.解：(1)由题设f n′(x)＝1＋2x＋…＋nx n－1.所以f n′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①则2f n′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②①－②得，－f n′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝1－2n1－2－n·2n＝(1－n)·2n－1，所以f n′(2)＝(n－1)·2n＋1.(2)证明：因为f(0)＝－1＜0，x≥0，n≥2.f n(23)＝23[1－(23)n]1－23－1＝1－2×(23)n≥1－2×(23)2＞0，所以f n(x)＝x＋x2＋…＋x n－1为增函数，所以f n(x)在(0，23)内单调递增，因此f n(x)在(0，23)内有且仅有一个零点a n.由于f n(x)＝x－x n＋11－x－1，所以0＝f n(a n)＝a n－a n＋1n1－a n－1，由此可得a n＝12＋12a n＋1n＞12，故12＜a n＜23.1 2＝12a n＋1n＜12×(23)n＋1＝2n3n＋1.所以0＜a n－。
数学高二必刷题练习册
数学高二必刷题练习册【练习一：函数与方程】1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(x) \)的顶点坐标。
2. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在\( x > 0 \)时的单调性，并证明。
3. 已知方程\( 3x^2 + 6x - 5 = 0 \)，求其根。
【练习二：导数与微分】4. 求函数\( h(x) = x^3 - 4x^2 + 3x \)的导数\( h'(x) \)。
5. 利用导数求函数\( f(x) = x^2 + 2x + 1 \)在区间[1, 3]上的最大值和最小值。
6. 已知\( f(x) \)在点\( x = a \)处的导数为5，求\( f(x) \)在点\( x = a \)处的微分。
【练习三：三角函数与解三角形】7. 已知\( \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2} \)，求\( \sin \theta \)和\( \cos \theta \)的值。
8. 解三角形ABC，已知\( \angle A = 60^\circ \)，\( \angle B = 45^\circ \)，\( a = 5 \)，求\( b \)和\( c \)。
【练习四：数列】9. 已知等差数列的前5项和为25，首项为2，求公差d。
10. 判断数列\( \{a_n\} \)是否为等比数列，其中\( a_1 = 1 \)，\( a_2 = 3 \)，\( a_3 = 9 \)。
11. 求等比数列的前n项和公式。
【练习五：解析几何】12. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中a >b > 0，求椭圆的焦点坐标。
13. 求直线\( y = mx + c \)与椭圆\( \frac{x^2}{4} + y^2 = 1 \)的交点坐标。
高二数学空间向量的练习题
高二数学空间向量的练习题在高二数学学习中，空间向量是一个重要的知识点，它与平面向量有许多相似之处，同时也具备一些特殊的性质和运算规则。
为了提高对空间向量的理解和应用能力，以下是一些空间向量的练习题，供大家进行巩固和练习。
练习题一：已知空间向量 a = 3i + 4j - 2k，b = i - 2j + 5k，c = 2i - j + 3k，求：1. a + b - c；2. |a × b|；3. ∠(a, b) 的大小。
练习题二：已知平面内的向量 u = 3i + 4j - k，v = 2i - 6j + 3k，w = -7i + 8j - k，求：1. u × v 的大小和方向；2. 建立平面向量 u, v, w 的三角形 ABC，求三角形 ABC 的面积。
练习题三：已知空间向量 a = 3i - j + 4k，b = 2i + 3j - 5k，c = ai + bj + ck，且 |c| = √27，则 a, b, c 为何种关系？练习题四：已知空间向量 d = 4i + 2j - k，e = 3i - j + k，f = 5i + 3j + 2k，求实数λ，使得 d + λe = λf。
练习题五：已知空间向量 a = 3i + 4j - k，b = 2i - j - 4k，c = 4i + 2j - 2k，d = 2i + j + 2k，求向量组 {a, b, c, d} 的线性相关性与线性无关性。
练习题六：已知空间向量 a, b, c 满足 |a| = 3，|c| = 2，且 a × b = c，则向量组 {a, b, c} 的线性相关性与线性无关性如何？练习题七：已知空间向量 a = i + j - k，b = 2i + 3j + k，c = xi + yj + zk，如果向量组 {a, b, c} 线性无关，则实数 x 和 y 的取值范围是什么？练习题八：已知空间向量 a = 2i + j + 4k，b = i + 3j + k，c = 3i - 2j + 5k，d = xi + yj + zk，且向量组 {a, b, c, d} 线性相关，则实数 x 和 y 的取值范围是什么？练习题九：已知坐标为 A(1, 2, -1)，B(-3, 5, 6)，C(2, -1, 3)，求向量 BA × BC 的大小和方向。
高二下学期数学人教A版选择性必修第二册5.3.2函数的极值与最大(小)值课件
练习1. 判断下面4个命题，其中是真命题序号为 ①可导函数必有极值； ②可导函数在极值点的导数一定等于零； ③函数的极小值一定小于极大值 （设极小值、极大值都存在）； ④函数的极小值（或极大值）不会多于一个.
②.
注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性
0
+0
f(x) 单调递减 10 单调递增 22 单调递减
∴f ( x)极小值 f (2) 10，f ( x)极大值 f (2) 22.
课本P92
2. 求下列函数的极值：
(1) f ( x) 6x2 x 2； (2) f ( x) x3 27 x；
(3) f ( x) 6 12x x3； (4) f ( x) 3x x3.
x0右侧 f′(x) <0 减
x0右侧 f′(x) >0 增
左正右负为极大，左负右正为极小 左增右减为极大，左减右增为极小
2. 求下列函数的极值：
(1) f ( x) 6x2 x 2； (2) f ( x) x3 27 x；
(3) f ( x) 6 12x x3； (4) f ( x) 3x x3.
y
若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b) 比它在点x=b附近其他点的函数值都大 , 且在点x=b附近的左侧f′(x)>0 (单增), 右侧f′(x)<0 (单减), f′(b)=0, 我们把b叫 做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函 数y=f(x)的极大值. 如图(2).
y
Oa
x
(1)
(3) f ( x) 6 12x x3； (4) f ( x) 3x x3.
解：(3) f ( x) 12 3x2，令f ( x) 0,解得x 2.
高二下学期数学重难点练习题
高二下学期数学重难点练习题在高二下学期的数学学习中，我们面临了很多重难点的知识点和题目。
为了帮助大家更好地掌握这些难点，下面给大家提供一些重难点练习题。
希望通过这些题目的训练，能够提高大家的数学解题能力。
练习1：函数的运算已知函数f(x) = 2x + 1，g(x) = 3x - 2，求以下函数的表达式：a) h(x) = f(x) + g(x)b) h(x) = f(x) - g(x)c) h(x) = f(g(x))d) h(x) = g(f(x))练习2：复合函数已知函数f(x) = 2x + 1，g(x) = x^2，求以下函数的表达式：a) h(x) = f(g(x))b) h(x) = g(f(x))c) h(x) = g(g(x))d) h(x) = f(f(x))练习3：指数和对数计算以下式子的值：a) 2^3 + 3^2b) log2(8) + log3(81)c) log4(16) - log2(8)练习4：三角函数计算以下式子的值：a) sin(30°) + cos(45°)b) tan(60°) - cot(45°)c) sec(30°) × csc(60°)练习5：平面几何与空间几何已知平面直角坐标系中点A(1, 2)和B(4, 5)，求AB的斜率。
已知直线L1过点A(1, 2)且斜率为2，直线L2经过点B(4, 5)，求L1和L2的夹角。
已知空间直角坐标系中点A(1,2,3)和点B(4,5,6)，求线段AB的长度。
练习6：概率与统计某班共有60人，其中男生40人，女生20人。
随机从班级中抽取一人，问抽到男生的概率是多少？某地某天气台提供了一个天气预报，说明下雨的概率为0.3，那么不下雨的概率是多少？练习7：数列与数学归纳法求以下数列的前n项和：a) 1, 3, 5, 7, 9, ...b) 2, 4, 8, 16, 32, ...c) 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...练习8：三角函数与平面几何的综合运用在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD的顶点坐标分别为A(0,0)，B(2, 0)，C(2, 2)，D(0, 2)。
新课标人教A版高二数学练习题(选修2-2、4-1、4-5)
高二数学练习题一、选择题（每小题5分，共60分）1.设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+= ( ) A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ． 1i +2．曲线23-+=x x y 上一点0P 处的切线平行于直线41y x =+，则点0P 一个的坐标是 （ ） A ．（0，-2） B. (1, 1) C. (-1, －4) D. (1, 4) 3．设y x ,为正数, 则)41)((yx y x ++的最小值为 （ ）A. 6B.9C.12D.154．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的 倾斜角为 （ ） A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角5．如图,用与底面成30︒角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的 离心率为 A ．12B．3C．2D ．非上述结论[]326y 2x 3x 12x 50,3=--+．函数在上的最大值与最小值分别是 （ ）A.5 , -15B.5 , 4C.-4 , -15D.5 , -168、已知{}n b 为等比数列，52b =，则99212=⋅⋅⋅b b b 。
若{}n a为等差数列，第5题图52a =，则{}n a 的类似结论为（ ）A 99212=⋅⋅⋅a a aB 99212=+++a a a C 92921⨯=⋅⋅⋅a a a D 92921⨯=+++a a a 9.已知曲线3lnx 4xy 2-=的一条切线的斜率为21,则切点的横坐标为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 1210.设R a ∈，若函数x e y ax3+=，R x ∈有大于零的极值点，则（ ）A ．3->a B. 3-<a C. 31->a D. 31-<a()2111.f x ln(2)b 2x b x =-++∞若在(-1,+)上是减函数，则的取值范围是（ ）A.[-1，+∞]B.（-1，+∞）Ｃ.(]1,-∞- D.（-∞，-1）12.如右图，求阴影部分的面积是（ ） A. 32 B. 329- C.332 D. 335二、填空题（每小题4分，共16分）121)3(z z i -12、若复数z =4+29i,z =6+9i,则复数的实部为 。
高二数学圆练习题
高二数学圆练习题1. 已知一个圆的半径为5cm，求其周长和面积。
解析：圆的周长公式为C = 2πr，其中r表示半径，π取3.14。
代入已知数据得到C = 2 × 3.14 × 5 = 31.4cm。
圆的面积公式为A = πr^2，代入已知数据得到A = 3.14 × 5^2 = 78.5cm^2。
2. 如果一根长为12cm的线段恰好是一个圆的直径，求该圆的周长和面积。
解析：由题意可知，线段的长度是圆的直径，圆的半径即为6cm。
根据同样的公式进行计算，周长C = 2 × 3.14 × 6 = 37.68cm，面积A = 3.14 × 6^2 = 113.04cm^2。
3. 两个相交圆的半径分别为8cm和12cm，求它们的公共弦的长度。
解析：以相交圆的圆心为端点，连接两个圆的半径，形成一个三角形。
根据余弦定理可得，两个半径之间的夹角为θ，满足cos(θ) =(8^2 + 12^2 - x^2) / (2 × 8 × 12)，其中x表示公共弦的长度。
解方程得到x ≈ 14.42cm。
4. 一个正方形内切于一个圆，如果正方形的边长为10cm，求该圆的半径。
解析：在正方形的对角线上连接点与圆心，形成一个直角三角形。
根据勾股定理可得，正方形的边长的一半为直角三角形的斜边，圆的半径为直角三角形的一条直角边。
由此可得，圆的半径为5√2 cm。
5. 一个圆的半径是另一个圆的2倍，它们的面积之比是多少？解析：设小圆的半径为r，大圆的半径为2r。
小圆的面积为A1 = πr^2，大圆的面积为A2 = π(2r)^2 = 4πr^2。
两个面积之比为A2/A1 = 4πr^2 / πr^2 = 4。
6. 一个圆的周长是另一个圆的3倍，它们的面积之比是多少？解析：设小圆的半径为r，大圆的半径为3r。
小圆的面积为A1 = πr^2，大圆的面积为A2 = π(3r)^2 = 9πr^2。
高二数学直线的方程练习题
高二数学直线的方程练习题IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】高二数学直线方程练习题1．直线x－2y＋1＝0与2x＋y－1＝0的位置关系是()A．平行B．相交且垂直C．相交但不垂直D．重合【解析】∵≠且×(－2)＝－1，∴两直线相交且垂直．【答案】 B解：2．直线3x＋y＋6＝0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则()A．k＝3，b＝6B．k＝－3，b＝－6C．k＝－3，b＝6 D．k＝3，b＝－6解：3．直线＋＝1化成一般式方程为()A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3)C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12【解析】直线＋＝1化成一般式方程为4x＋3y－12＝0.【答案】 C解：4．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则()A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc<0C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0【解析】把直线ax＋by＋c＝0化成斜截式得y＝－x－，由题意可知即ab<0且bc<0.【答案】 D解：5．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是() A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0【解析】直线x－2y－2＝0的斜率为，又所求直线过点(1,0)，故由点斜式方程可得，所求直线方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.【答案】 A解：6．求过两条直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，并且与直线2x＋3y＋5＝0垂直的直线方程．【解】由解得则两直线交点为(2,1)．直线2x＋3y＋5＝0的斜率为－，则所求直线的斜率为故所求直线的方程为y－1＝(x－2)，即3x－2y－4＝0.解：7．直线y＝x－2与两坐标轴围成的三角形的面积是________．【解析】令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝3.故直线y＝x－2与两坐标轴围成的三角形的面积是×3×2＝3.【答案】 3题号 1 2 3 4 5 6 7答案12（1）当l1∥l2时，求实数m的值；（2）当l1⊥l2时，求实数m的值。
高二数学课后练习题：导数的几何意义
高二数学课后练习题：导数的几何意义【摘要】鉴于大家对xx十分关注，小编在此为大家整理了此文高二数学课后练习题：导数的几何意义，供大家参考!本文题目：高二数学课后练习题：导数的几何意义选修2-2 1.1 第3课时导数的几何意义一、选择题1.如果曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0，那么()A.fprime;(x0)0B.fprime;(x0)<0C.fprime;(x0)=0D.fprime;(x0)不存在[答案] B[解析]切线x+2y-3=0的斜率k=-12，即fprime;(x0)=-12<0.故应选B.2.曲线y=12x2-2在点1，-32处切线的倾斜角为()A.1B.pi;4C.54pi;D.-pi;4[答案] B[解析]∵yprime;=limDelta;xrarr;0 [12(x+Delta;x)2-2]-(12x2-2)Delta;x=limDelta;xrarr;0 (x+12Delta;x)=xthere4;切线的斜率k=yprime;|x=1=1.there4;切线的倾斜角为pi;4，故应选B.3.在曲线y=x2上切线的倾斜角为pi;4的点是()A.(0,0)B.(2,4)C.14，116D.12，14[答案] D[解析]易求yprime;=2x，设在点P(x0，x20)处切线的倾斜角为pi;4，则2x0=1，there4;x0=12，there4;P12，14.4.曲线y=x3-3x2+1在点(1，-1)处的切线方程为()A.y=3x-4B.y=-3x+2C.y=-4x+3D.y=4x-5[答案] B[解析]yprime;=3x2-6x，there4;yprime;|x=1=-3.由点斜式有y+1=-3(x-1).即y=-3x+2.5.设f(x)为可导函数，且满足limxrarr;0 f(1)-f(1-2x)2x=-1，则过曲线y=f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A.2B.-1C.1D.-2[答案] B[解析]limxrarr;0 f(1)-f(1-2x)2x=limxrarr;0 f(1-2x)-f(1)-2x=-1，即yprime;|x=1=-1，则y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为-1，故选B.6.设fprime;(x0)=0，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A.不存在B.与x轴平行或重合C.与x轴垂直D.与x轴斜交[答案] B[解析]由导数的几何意义知B正确，故应选B.7.已知曲线y=f(x)在x=5处的切线方程是y=-x+8，则f(5)及fprime;(5)分别为()A.3,3B.3，-1C.-1,3D.-1，-1[答案] B[解析]由题意易得：f(5)=-5+8=3，fprime;(5)=-1，故应选B.8.曲线f(x)=x3+x-2在P点处的切线平行于直线y=4x-1，则P点的坐标为()A.(1,0)或(-1，-4)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,4)[答案] A[解析]∵f(x)=x3+x-2，设xP=x0，there4;Delta;y=3x20?Delta;x+3x0?(Delta;x)2+(Delta;x)3+Delta;x，there4;Delta;yDelta;x=3x20+1+3x0(Delta;x)+(Delta;x)2，there4;fprime;(x0)=3x20+1，又k=4，there4;3x20+1=4，x20=1.there4;x0=plusmn;1，故P(1,0)或(-1，-4)，故应选A.9.设点P是曲线y=x3-3x+23上的任意一点，P点处的切线倾斜角为alpha;，则alpha;的取值范围为()A.0，pi;2cup;23pi;，pi;B.0，pi;2cup;56pi;，pi;C.23pi;，pi;D.pi;2，56pi;[答案] A[解析]设P(x0，y0)，∵fprime;(x)=limDelta;xrarr;0 (x+Delta;x)3-3(x+Delta;x)+23-x3+3x-23Delta;x=3x2-3，there4;切线的斜率k=3x20-3，there4;tanalpha;=3x20-3≥-3.there4;alpha;isin;0，pi;2cup;23pi;，pi;.故应选A.10.(2020?福州高二期末)设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，pi;4]，则点P横坐标的取值范围为()A.[-1，-12]B.[-1,0]C.[0,1]D.[12，1][答案] A[解析]考查导数的几何意义.∵yprime;=2x+2，且切线倾斜角theta;isin;[0，pi;4]，there4;切线的斜率k满足0<k<1，即0<2x+2<1，there4;-1<x<-12.二、填空题11.已知函数f(x)=x2+3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________.[答案]4x-y-1=0[解析]∵f(x)=x2+3，x0=2there4;f(2)=7，Delta;y=f(2+Delta;x)-f(2)=4?Delta;x+(Delta;x)2there4;Delta;yDelta;x=4+Delta;x.there4;limDelta;xrarr;0Delta;yDelta;x=4.即fprime;(2)=4.又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y-7=4(x-2) 即4x-y-1=0.12.若函数f(x)=x-1x，则它与x轴交点处的切线的方程为________.[答案]y=2(x-1)或y=2(x+1)[解析]由f(x)=x-1x=0得x=plusmn;1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(-1,0).∵fprime;(x)=limDelta;xrarr;0 (x+Delta;x)-1x+Delta;x-x+1xDelta;x=limDelta;xrarr;0 1+1x(x+Delta;x)=1+1x2.there4;切线的斜率k=1+11=2.there4;切线的方程为y=2(x-1)或y=2(x+1).13.曲线C在点P(x0，y0)处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有________个.[答案]至少一[解析]由切线的定义，直线l与曲线在P(x0，y0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个.14.曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，斜率最小的切线方程为________.[答案]3x-y-11=0[解析]设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为，它是x0的函数，求出其最小值.设切点为P(x0，y0)，过点P的切线斜率k= =3x20+6x0+6=3(x0+1)2+3.当x0=-1时k有最小值3，此时P的坐标为(-1，-14)，其切线方程为3x-y-11=0.三、解答题15.求曲线y=1x-x上一点P4，-74处的切线方程.[解析]there4;yprime;=limDelta;xrarr;0 1x+Delta;x-1x-(x+Delta;x-x)Delta;x=limDelta;xrarr;0 -Delta;xx(x+Delta;x)-Delta;xx+Delta;x+xDelta;x=limDelta;xrarr;0 -1x(x+Delta;x)-1x+Delta;x+x=-1x2-12x .there4;yprime;|x=4=-116-14=-516，there4;曲线在点P4，-74处的切线方程为：y+74=-516(x-4).即5x+16y+8=0.16.已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1，-2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程;(2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于点P的直线方程y=g(x).[解析](1)yprime;=limDelta;xrarr;0 (x+Delta;x)3-3(x+Delta;x)-3x3+3xDelta;x=3x2-3.则过点P且以P(1，-2)为切点的直线的斜率k1=fprime;(1)=0，there4;所求直线方程为y=-2.(2)设切点坐标为(x0，x30-3x0)，则直线l的斜率k2=fprime;(x0)=3x20-3，there4;直线l的方程为y-(x30-3x0)=(3x20-3)(x-x0)又直线l过点P(1，-2)，there4;-2-(x30-3x0)=(3x20-3)(1-x0)，there4;x30-3x0+2=(3x20-3)(x0-1)，解得x0=1(舍去)或x0=-12.故所求直线斜率k=3x20-3=-94，于是：y-(-2)=-94(x-1)，即y=-94x+14.17.求证：函数y=x+1x图象上的各点处的切线斜率小于1.[解析]yprime;=limDelta;xrarr;0 f(x+Delta;x)-f(x)Delta;x=limDelta;xrarr;0 x+Delta;x+1x+Delta;x-x+1xDelta;x=limDelta;xrarr;0 x?Delta;x(x+Delta;x)-Delta;x(x+Delta;x)?x?Delta;x =limDelta;xrarr;0 (x+Delta;x)x-1(x+Delta;x)x=x2-1x2=1-1x2<1，there4;y=x+1x图象上的各点处的切线斜率小于1.18.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1perp;l2.(1)求直线l2的方程;(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.[解析](1)yprime;|x=1=limDelta;xrarr;0 (1+Delta;x)2+(1+Delta;x)-2-(12+1-2)Delta;x=3，所以l1的方程为：y=3(x-1)，即y=3x-3.设l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b，b2+b-2)，yprime;|x=b=limDelta;xrarr;0(b+Delta;x)2+(b+Delta;x)-2-(b2+b-2)Delta;x=2b+1，所以l2的方程为：y-(b2+b-2)=(2b+1)?(x-b)，即y=(2b+1)x-b2-2.因为l1perp;l2，所以3times;(2b+1)=-1，所以b=-23，所以l2的方程为：y=-13x-229.(2)由y=3x-3，y=-13x-229，得x=16，y=-52，即l1与l2的交点坐标为16，-52.又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，-223，0.所以所求三角形面积S=12times;-52times;1+223=12512.【总结】2021年xx为小编在此为您收集了此文章高二数学课后练习题：导数的几何意义，今后还会发布更多更好的文章希望对大家有所帮助，祝您在xx学习愉快!更多xx：高二语文高二英语。
高中数学选择性必修二 精讲精炼 5 导的运算(精练)(含答案)
5.2 导数的运算(精练)【题组一 基本函数的求导】1(2021·全国)给出下列结论：①若y ＝31x ，则y ′＝－43x ；①若y ，则y ′＝13；①若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3.其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0【答案】B【解析】对于①，y ′＝(x －3)′＝43x -，正确； 对于①，121'331133y x x --==，不正确；对于①，f ′(x )＝3，故f ′(1)＝3，正确． 故选：B2．(2021·全国高二课时练习)下列结论中，不正确的是( )A ．若31y x =，则43y x '=- B ．若y =y 'C ．若21y x=，则32y x -'=- D ．若()3f x x =，则()13f '=【答案】B【解析】对于A ，()3434133y x x x x --'⎛⎫''===-=- ⎪⎝⎭，A 正确；对于B ，112212y x x -'⎛⎫''=== ⎪⎝⎭，B 错误； 对于C ，()23212y x x x --'⎛⎫''===- ⎪⎝⎭，C 正确；对于D ，()3f x '=，()13f '∴=，D 正确. 故选：B.3．(2021·全国高二课时练习)已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5【答案】A【解析】①()1a f x ax -'=，()()1114a f a -'∴-=⨯-=-，解得a ＝4.故选：A.4．(2021·全国高二课时练习)函数f (x )f ′(3)等于( )AB ．0CD 【答案】A【解析】①()f x '=①()3f '==故选：A. 5．(2021·全国高二专题练习)f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ①N ，则f 2 017(x )＝( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x【答案】C【解析】因为1()(sin )cos f x x x '==，2()(cos )sin f x x x '==-，3()(sin )cos f x x x '=-=-，4()(cos )sin f x x x '=-= 5()(sin )cos f x x x '==，所以循环周期为4，因此20171()()cos f x f x x ==.故选：C.【题组二 导数的运算法则】1．(2021·全国高二课时练习)求下列函数的导数.(1)y ＝(x 2＋1)(x －1)；(2)y ＝3x＋lg x ；(3)y ＝x 2＋tan x ；(4)y ＝1xe x +.【答案】(1)'2321y x x =-+；(2)'13ln 3ln10x y x =⋅+；(3)'212cos y x x =+；(4)()'21x xe y x =+.【解析】(1)()()'22211321y x x x x x =-++=-+.(2)'13ln 3ln10x y x =⋅+. (3)222'22sin cos sin 1,22cos cos cos x x x y x y x x x x x +=+=+=+. (4)()()()'22111x xxe x e xe y x x +-==++.2．(2021·全国高二课时练习)求下列函数的导数：(1) y (2)y ＝41x ；(3)y ＝22sin (12cos )24x x -⋅-；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .【答案】(1)2535x -；(2)54x -；(3)cos x ；(4)1ln 2x .【解析】(1)33215553355y x x x --'⎛⎫'==== ⎪⎝⎭'；(2)()4415451444y x x x x x ----'⎛⎫'==='-=-=- ⎪⎝⎭； (3)222sin 12cos 2sin 2cos 12sin cos sin 242422x x x x x xy x ⎛⎫⎛⎫=--=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()sin cos y x x ''∴==.(4)①2222log log log y x x x =-=，()21log ln 2y x x ''∴==. 3(2021·全国)求下列函数的导函数．(1)y =(2)y =；(3)222log log y x x =-；(4)22sin 12cos 24x x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．【答案】(1)y '=(2)y '=(3)1ln 2y x '=；(4)cos y x '=．【解析】((1)(3312232y x x -'⎛⎫''==== ⎪⎝⎭(2)33215553355x x y x --'⎛⎫===''=⎪⎝⎭=(3)①2222log log log y x x x =-=， ①()21log ln 2y x x ''==． (4)①222sin 12cos 2sin 2cos 12sin cos sin 242422x x x xx x y x ⎛⎫⎛⎫=--=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①()sin cos y x x ''==． 【题组三 复合函数的求导】1．(2021·全国高二课时练习)求下列函数的导数．(1)f (x )＝(－2x ＋1)2；(2)f (x )＝ln (4x －1)；(3)f (x )＝23x ＋2；(4)f (x )(5)f (x )＝sin (3)6x π+；(6)f (x )＝cos 2x .【答案】(1)y ′＝－4(－2x ＋1)＝8x －4；(2)y ′＝441x -；(3)y ′＝3ln 2·23x ＋2；(4)y ′= (5)y ′＝3cos 36x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(6)f ′(x )＝－sin 2x .【解析】((1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4. (2)设y ＝ln u ，u ＝4x －1，则y ′＝y u ′·u x ′＝1u ·4＝441x -.(3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ln 2·3＝3ln 2·23x ＋2.(4)设y u ＝5x ＋4，则y ′＝y u ′·u x ′·5.(5)设y ＝sin u ，u ＝3x ＋6π，则y ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·3＝3cos 36x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(6)法一：设y ＝u 2，u ＝cos x ，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－sin x )＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x ； 法二：①f (x )＝cos 2x ＝1cos22x +＝12＋12cos 2x ，所以f ′(x )＝11cos 222x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭′＝0＋12·(－sin 2x )·2＝－sin 2x . 2．(2021·全国高二课时练习)求下列函数的导数．(1)y ＝41(13)x -；(2)y ＝cos x 2；(3)y ＝ sin(2x －3π)；(4)y 【答案】(1)512(13)x -；(2)－2x sin x 2；(3)2cos(2x －3π)； 【解析】((1)令u ＝1－3x ，则y ＝41u ＝4u-，①y ′u ＝－4u －5，u ′x ＝－3.①y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12u －5＝512(13)x -. (2)令u ＝x 2，则y ＝cos u ，①y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ·2x ＝－2x sin x 2. (3)令u ＝2x －3π，则y ＝sin u ，①y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos(2x －3π)． (4)令u ＝1＋x 2，则y ＝12u ，①y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1122122u x x u --⋅=⋅= 3．(2021·全国高二课时练习)写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数． (1)y ＝41(34)x -；(2)cos 2008+()8y x ＝；(3)132x y －＝；(4)ln 8()+6y x ＝． 【答案】(1)中间变量：()34u x x ϕ＝＝－ 函数的导数：'516(34)y x -=(2)中间变量：()20088u x x ϕ+＝＝ 函数的导数：'2008sin 2008()8y x =-+(3)中间变量：()13u x x ϕ-＝＝函数的导数：1'33ln22x y ⋅=－－ (4)中间变量：()86u x x ϕ+＝＝ 函数的导数：'443y x =+ 【解析】((1)引入中间变量()34u x x ϕ＝＝－． 则函数41(34)y x =-是由函数441()f u u u-==与()34u x x ϕ＝＝－复合而成的． 查导数公式表可得()5544u u f u '=-－＝－，()4x ϕ'＝－． 根据复合函数求导法则可得()()()5'55'4116(34)(3)64414y f u x u u x x ϕ⎡⎤==''⎢⎥--⎣⎦=-⋅-==．(2)引入中间变量()20088u x x ϕ+＝＝，则函数cos 2008)8(y x ＝＋是由函数()f u cosu ＝与()2008+8u x x ϕ＝＝复合而成的，查导数公式表可得()sin f u u '＝－，()2008x ϕ'＝．根据复合函数求导法则可得()()20088sin 2008[c 2008sin 20os()]()()08sin 20088x f u x u u x ϕ'''-⨯+＋＝＝＝-＝- (3)引入中间变量()13u x x ϕ-＝＝， 则函数132x y －＝是由函数()2uf u ＝与()13u x x ϕ＝＝－复合而成的， 查导数公式表得()2 2uf u ln '＝，()3x ϕ'＝－，根据复合函数求导法则可得()()1313232ln 23()()2ln 232ln2x u u x f u x ϕ'''⨯⨯⨯－－＝＝－＝－＝－．(4)引入中间变量()86u x x ϕ+＝＝，则函数ln 8()6y x +＝是由函数()ln f u u ＝与()86u x x ϕ+＝＝复合而成的. 查导数公式表可得()1f u u'=，()8x ϕ'＝． 根据复合函数求导法则可得()()88486?86[ln()]43x f u x u x x ϕ+'''==++＝＝．4．(2021·全国高二专题练习)求下列函数的导数：(1)y (2)y ＝e 2x ＋1；(3)y ＝ln(3x －1)；(4)y ＝sin (2)3x π+；(5)y ＝e sin(ax ＋b )；(6)y ＝5log 2(2x ＋1).【答案】(2)2e 2x ＋1；(3)331x -；(4)2cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(5)()sin cos()ax b a ax b e ++⋅ ；(6)10(21)ln 2x +.【解析】((1)设y =23u x x =-，则(32)x u x y y u x '''=⋅=-= (2)设,21,u y e u x ==+则2122u x x u x y y u e e '''+=⋅=⋅=.(3)设ln ,31y u u x ==-，则(ln )(31)x u x y y u u x '''''=⋅=⋅-13331u x =⋅=-(4)设sin ,23y u u x π==+，则(sin )23x u x y y u u x π''''⎛⎫=⋅=⋅+ ⎪⎝⎭cos 22cos 23u x π⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭(5)设,sin ,u y e u v v ax b ===+，则()sin cos cos()b v ax u xu x y y u v e v a a ax b e +''''=⋅⋅=⋅⋅=+⋅；(6)设25log ,21y u u x ==+，则()210105log (21)ln 2(21)ln 2y u x u x '''=⋅+==+【题组四 求导数值】1．(2021·全国高二课时练习)已知f (x )＝2x ，g (x )＝ln x ，则方程f (x )＋1＝()'g x 的解为( ) A ．1 B ．12C ．－1或12D ．－1【答案】B【解析】(由g (x )＝ln x ，得x ＞0，且1()g x x '=.故2x ＋1＝1x，即2x 2＋x －1＝0，解得x ＝12或x ＝－1. 又因x ＞0，故x ＝12(x ＝－1舍去)故选：B.2(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，则f ′(e )＝( ) A ．e －1 B ．－1 C ．－e －1 D ．－e【答案】C【解析】(①f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，①''1()2()f x f e x =+， ①''1()2()f e f e e =+，解得'1()f e e=-，故选：C.3．(2021·河南高三月考(文))已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()32121f x x x f x '=++-，则()2f '=( ) A ．1 B ．9- C ．6- D ．4【答案】C【解析】(因为()()32121f x x x f x '=++-，所以()()23212f x x xf ''=++，把1x =代入()'f x ，得()()2213121f f ''=⨯++，解得：()15f '=-，所以()23102f x x x '=-+，所以()26f '=-.故选：C.4．(2021·全国高二课前预习)设f (x )＝cos 2x －3x ，则f ′()2π＝( )A ．－5B ．－3C ．－4D ．－32π 【答案】B【解析】(f ′(x )＝－2sin 2x －3，f ′()2π＝－2sin π－3＝－3.故选：B.5．(2021·全国高二课时练习)设函数()()320202019f x x -=，则()1f '=( )A ．6057B ．6057-C ．2019D ．2019-【答案】B 【解析】(()2()3(2019)20202019f x x '=⨯--则()2(1)3(2019)2020201916057f -⨯=-'=⨯-.故选：B6．(2021·全国高二课时练习)已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其导函数记为()f x '，则()()()()389389389389f f f f ''++---=( )A ．2B ．2-C ．3D ．3-【答案】A【解析】(由已知得()22sin 11x xf x x +=++，则()()()()()2222cos 12sin 21x x x x xxf x ++-+'+=⋅，显然()f x '为偶函数.令()()22sin 11x xg x f x x +=-=+，显然()g x 为奇函数.又()f x '为偶函数，所以()()3893890f f ''--=，()()()()389389389138912f f g g +-=++-+=， 所以()()()()3893893893892f f f f ''++---=. 故选：A.【题组五切线方程】1．(2021·全国高二课时练习)设函数()()2f xg x x =+，曲线()y g x =在点1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为( ) A ．4 B ．14-C ．2D ．12-【答案】A【解析】因为()()2f xg x x =+，所以()()2f x g x x ''=+．又曲线()y g x =在点1,1g 处的切线方程为21y x =+，所以()12g '=，所以()()11214f g ''=+⨯=，即曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为4．故选：A.2．(2021·韩城市西庄中学(理))曲线31233y x x =-+在点41,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的倾斜角α为( )A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4【答案】D【解析】由31233y x x =-+得22y x '=-，于是当1x =时，1y '=-，由导数的几何意义知，曲线31233y x x =-+在点41,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率tan 1k α==-，而切线的倾斜角[)0,απ∈，所以3π4α=.故选：D 3(2021·江苏扬州·高二期中)曲线2x y x e x =⋅+在0x =处的切线方程为( ) A ．1y x =+ B ．2y x =C ．y x =D ．31y x【答案】C【解析】由题意知0x =时，02000y e =⨯+=，所以切点为()0,0，而()12x y x e x '=++，所以切线的斜率为()010201e +⨯+⨯=，则所求的切线方程为y x =， 故选：C.4．(2021·全国高二课时练习)函数()ln 23y x =+的导数为y '=______，其函数图象在点1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为______． 【答案】223x + π4【解析】令23u x =+，则ln y u =，()()12ln 23223y u x u x '''=⋅+=⋅=+．当12x =-时，2131y '==-，所以函数()ln 23y x =+的图象在点1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的斜率为1，所以倾斜角为π4．故答案为：223x + π45．(2021·浙江路桥中学高二开学考试)已知函数()cos f x x x =，则()f x '=________________，曲线()y f x =在点()0,0处的切线的倾斜角是_________． 【答案】cos sin x x x - 45【解析】可得()()cos sin cos sin f x x x x x x x '=+-=-；由导数的几何意义可得曲线()y f x =在点()0,0处的切线斜率为()0cos001f '=-=， 设切线的倾斜角为α，则0180α≤<， 因为tan 1α=，所以45α=， 故答案为：cos sin x x x -；45.6．(2021·全国高二课时练习)与直线2x －y －4＝0平行且与曲线y ＝ln x 相切的直线方程是________． 【答案】2x －y －1－ln2＝0【解析】①直线2x －y －4＝0的斜率为k ＝2， 又①y ′＝(ln x )′＝1x ，①1x＝2，解得x ＝12. ①切点的坐标为1(,ln 2)2-. 故切线方程为y ＋ln 2＝21()2x -.即2x －y －1－ln 2＝0. 故答案为：2x －y －1－ln 2＝07(2021·全国高二课时练习)曲线y ＝1x 在点M 1(3,)3处的切线方程是________.【答案】x ＋9y －6＝0 【解析】①y ′＝－21x ，①在点M 1(3,)3处的斜率k ＝－19，①在点1(3,)3的斜率为－19的切线方程为：y －13＝－19(x －3)，即x ＋9y －6＝0.故答案：x ＋9y －6＝0.8(2021·全国高二课时练习)曲线()ln f x x x =在点()()1,1f 处的切线的方程为________. 【答案】10x y --=【解析】()()()''10,ln 1,11f f x x f ==+=，所以切线方程为110y x x y =-⇒--=. 故答案为：10x y --=9．(2021·东城·北京一七一中高二月考)函数()sin x f x e x =的图象在点()()0,0f 处切线的方程为___________. 【答案】0x y -= 【解析】切点为()0,0，()()()''sin cos ,01x f x x x e f =+⋅=，故切线方程为y x =，即0x y -=. 故答案为：0x y -=10．(2021·全国高二课时练习)已知点M 是曲线3212313y x x x =-++上任意一点，求曲线在点M 处的斜率最小的切线方程．【答案】33110x y +-=．【解析】①()224321y x x x '=-+=--， ①当2x =时，min1y '=-，此时53y =， ①斜率最小的切线过点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5，且斜率1k =-，①所求切线方程为33110x y +-=． 【题组六 已知切线方程求参数】1．(2021·曲靖市沾益区第四中学高二月考(理))若存在过点()0,0的直线与曲线2y x x =+和1e x y ax -=+都相切，则a =( ) A ．0 B ．1- C ．1 D ．e【答案】A【解析】设切线方程为y kx =，与2y x x =+联立，得()210x k x +-=，所以()210k ∆=-=，解得1k =，所以切线方程为y x =．设y x =与1e x y ax -=+的图像相切于点()11,x y ，1ex y a -'=+，则111111e 1,e ,x x a ax x --⎧+=⎨+=⎩解得0a =．2．(2021·全国高二课时练习)若曲线y ＝x 3＋ax 在(0，0)处的切线方程为2x －y ＝0，则实数a 的值为__________. 【答案】2【解析】曲线y ＝x 3＋ax 的切线斜率k ＝y ′＝3x 2＋a ， 又曲线在坐标原点处的切线方程为2x －y ＝0， ①3×02＋a ＝2，可得a ＝2. 故答案为：23．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝ln +xk xe (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为__________. 【答案】1【解析】由题设，1l (n )xkx x x x f xe --'=，x ①(0,＋∞). 又y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线与x 轴平行，①f ′(1)＝1k e-=0，可得k ＝1. 故答案为：14(2021·全国高二单元测试)设曲线y ＝ax 3+x 在(1，a )处的切线与直线2x ﹣y ﹣6＝0平行，则实数a 的值为______. 【答案】13【解析】解：根据题意，曲线y ＝ax 3+x ，其导函数y ′＝3ax 2+1，则有y ′|x ＝1＝3a +1，若曲线y ＝ax 3+x 在(1，a )处的切线与直线2x ﹣y ﹣6＝0平行，则有3a +1＝2，解可得：a ＝13； 故答案为：135(2021·全国高二课时练习)已知函数()()2ln 1f x x ax bx =+-+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为322ln 23x y -+-0=，则a b +=______．【答案】2【解析】由题知：()121f x a bx x'=-++． 又因为直线322ln 230x y -+-=的斜率为32，且过点()1,ln 2， ①()()1ln 2312f f ⎧='⎪⎨=⎪⎩，即021b a b a -=⎧⎨-=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，①2a b +=． 故答案为：2.6．(2021·全国高二课时练习)已知曲线C ：()3f x x ax a =-+，若过曲线C 外一点1,0A 引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数a 的值为______． 【答案】278【解析】设切点坐标为()3,t t at a -+．由题意，知()23f x x a '=-，切线的斜率为23k t a =-①，所以切线的方程为()()()323y t at a t a x t --+=--①．将点()1,0代入①式，得()()()3231t at a t a t --+=--，解得0t =或32t =．分别将0t =和32t =代入①式，得k a =-和274k a =-．由题意，得274a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，得278a =． 故答案为：278. 7．(2021·浙江海曙·效实中学高二期中)已知直线21y x =-与曲线ln(3)y x t =+相切，则实数t 的值为__________． 【答案】33ln 22- 【解析】依题意，设切点坐标为00(,ln(3))x x t +，由ln(3)y x t =+求导得：33y x t'=+， 于是得000323ln(3)21x t x t x ⎧=⎪+⎨⎪+=-⎩，即00332321ln 2x t x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：33ln 22t =-， 所以实数t 的值为33ln 22-. 故答案为：33ln 22- 8．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝2ax x b+，且f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切. (1)求函数f (x )的解析式； (2)若P (x 0，y 0)为f (x )图象上的任意一点，直线l 与f (x )的图象切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围.【答案】(1)()241x f x x =+；(2)1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)()()()()22'22222a x b x axax ab f x x b x b +-⋅-+==++，依题意可知()()'12,10f f ==，所以()()()2101121a ab f b a f b -+⎧==⎪+⎪⎨⎪==+⎩'⎪，解得 4,1a b ==. 所以()241x f x x =+ (2)()()()()()22'2222222418448141111x x f x x x x x -++-+===-++++221118142x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭， 由于(]22111,0,11x x +≥∈+， 221111814,8004242⎛⎫⎛⎫--=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2211118,41422x ⎛⎫⎡⎤--∈- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦， 所以切线l 的斜率的取值范围是1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 9．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )=ax 2+ln x 的导数为()'f x ，(1)求(1)(1)'+f f ；(2)若曲线y =f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．【答案】(1)3a ＋1；(2)(,0)-∞.【解析】(1)依题意，f (x )=ax 2+ln x 的定义域为(0，+∞)，由f (x )=ax 2+ln x 求导得：1()2f x ax x '=+， 于是得(1)21f a '=+，而(1)f a =，所以(1()1)31f f a '+=+；(2)因曲线y =f (x )存在垂直于y 轴的切线，则此时切线斜率为0，由导数的几何意义知，方程()0f x '=在(0,)+∞内有解， 于是得方程120ax x +=，即212a x=-在(0,)+∞内有解，则0a <， 所以实数a 的取值范围是(,0)-∞.。
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1 2 成立． e x ex
4
一、选择题：1-5 CBDAB 二、填空题：11.1＋i
高二下数学(理)练习 5 参考答案 6-10 BDDDB 12.
3
3 2
14.(
13. 2n 1 3… (2n 1) (n 1) (n 2) … (2n) 三、解答题： 16. 解：
(2) 2 x ln x x 2 ax 3 ，则 a 2ln x x 所以 h( x)min h(1) 4 ． 因为对一切 x (0, ) ， 2 f ( x) g ( x) 恒成立，所以 a h( x)min 4
x 2 ( x (0, )) ex e 1 1 由⑴可知 f ( x) x ln x( x (0, )) 的最小值是 ，当且仅当 x 时取到． e e x 2 1 1 x 设 m( x) x ( x (0, )) ，则 m '( x) x ，易得 m( x)max m(1) ， e e e e
5 5 , ) 4 2
15. ①②③
17.解：(Ⅰ) f ( x ) =3ax +2bx -1，依题意， f (1) = f (2) =0，即
2
3a 2b 1 0, 12a 4b 1 0.
1 3 1 3 ，b= ，经检验 a= ，b= 符合题意. 6 4 6 4 1 3 3 2 ∴ f ( x) x x 2 x m 0 . 6 4
3
19.已知 f ( x) x ln x, g ( x) x 2 ax 3 ． (1) 求函数 f ( x) 在 [t , t 2](t 0) 上的最小值； (2) 对一切 x (0, ) ， 2 f ( x)≥ g ( x) 恒成立，求实数 a 的取值范围； (3) 证明：对一切 x (0, ) ，都有 ln x
（3）问题等价于证明 x ln x 当且仅当 x 1 时取到， 从而对一切 x (0, ) ，都有 ln x
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3
2
18．如右图所示，抛物线 y 1 x2 与 x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计 划在该区域内围出一块矩形地块 ABCD 作为工业用地，其中 A、B 在抛物线上，C、D 在 x 轴上。已知工业用地每单位面积价值为 3a 元 (a 0) ，其它的三个边角地块每单 位面积价值 a 元，问如何规划才能使得整块土地总价值最大。
18 解：由
4 1 1 4 (1 x 2 )dx ( x x3 ) ，知整个地块的面积为 1 3 1 3 3
1
2 设点 C 的坐标为（x,0） ，则点 B（ x,1 x ) ,其中 0 x 1 ，
5
∴ S ABCD 2x(1 x2 ) ∴土地总价值 y 3a 2 x(1 x ) a[ 2 x(1 x )] = 4a x(1 x )
2 2 2
4 3
4 a 3
由 y ' 4a(1 3x2 )=0 得 x 3 或者x 3 (舍去） 3 3 并且当 0<x<
3 3 时， y ' 0,当 x 1时，y ' 0 3 3
故当 x 3 时，y 取得最大值。 3 答：当点 C 的坐标为 ( 3 ,0) 时，整个地块的总价值最大。
兔 猫 开始
第一次
B.编号 2
3 2
第二次
C.编号 3 C． (1, 4)
第三次
D.1) 二、填空题：
10.函数 f ( x) 3x x 在区间 (a 12, a) 上有最小值，则实数 a 的取值范围是( B． (1, 2]
1 1 ）上既不是单调递增函数，也不是 3 2
单调递减函数，则实数 a 的取值范围是______________. 15.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四体的下列的 一些性质，①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角相等；②各个面都是全等的正 三角形，相邻两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上 的任何两条棱的夹角相等． 你认为正确的是 三、解答题：
1
9.四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐 1，2，3，4 号位子上（如图） ，第 一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，„，这样交替进行下去， 那么第 2011 次互换座位后，小兔的座位对应的是( )
1鼠 3
2 猴 4
1兔 3鼠
猫2 猴 4
1猫 兔 2 猴 3 鼠 4
1猴 鼠 2 猫 3 兔 4
3
19 解：(1) f '( x) ln x 1 ，当 x (0, ) ， f '( x) 0 ， f ( x) 单调递减，
1 e
1 e 1 1 1 1 ① 0 t t 2 ，即 0 t 时， f ( x)min f ( ) ； e e e e 1 1 ② t t 2 ，即 t 时， f ( x) 在 [t , t 2] 上单调递增， f ( x)min f (t ) t ln t ； e e
11. i 是虚数单位，复数
1 3i 1 2i
.
12. 利用定积分的几何意义,求
1
0
4 x 2 dx
.
13. 21 1 2, 22 1 3 3 4, 23 1 3 5 4 5 6, 24 1 3 5 7 5 6 7 8, …依 此类推，第 n 个等式为 . 14．若函数 f ( x) x 3 ax2 2 x 5 在区间（ ,
解得 a= (Ⅱ)曲线 y=f(x)与 g(x)=-3x -m(-2≤x≤0)有两个不同的交点， 即
1 3 3 2 x x 2 x m 0 在[-2，0] 有两个不同的实数解. 6 4
1 3 1 3 3 2 x x 2 x m ，则 ( x) x 2 x 2 由 ( x) 0 ，得 x= 4 或 x= -1， 2 2 6 4 ∵x∈[-2，0]，
n=2 A. Sn = 2 n 6. 由曲线 y
n=3 B. Sn =4n
n=4 C. Sn = 2
n
D. Sn = 4 4
n
) x , y x 2 所围成图形的面积是( 1 2 3 1 A. B. C. D. 3 4 3 4 7.曲线 y sin x , y cos x 与直线 x 0 , x 所围成的平面区域的面积为( ) 2 A.
高二下数学(理)练习 5
班级 姓名
1 i 4 ) 等于 ( 1-i
C．1
座号
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. i 是虚数单位, ( A．i ) D．-1
B．-i
a 2i b i a, b R ，其 2.已知 i 中 i 为虚数单位，则 a b ( ) A. 1 B.1 C.2
设 ( x) ∴当 x∈(-2,-1)时， ( x) 0 ，于是 φ (x)在[-2,-1]上递增； 当 x∈(-1,0)时， ( x) 0 ，于是 φ (x)在[-1,0]上递减.
1 3 3 2 ( 2) 6 ( 2) 4 ( 2) 2( 2) m 0, 13 依题意有 解得 0≤m< 1 3 3 2 12 (1) ( 1) ( 1) 2( 1) m 0, 6 4 (0) m 0,
2 0
(sin x cos x )dx B. 2 4 (sin x cos x )dx C. 2 (cos x sin x )dx D. 2 4 (cos x sin x )dx
0 0 0
3 8．点 P 在曲线 y x x
A. [0, )
2 上移动时，过点 P 的切线的倾斜角的取值范围是( ) 3 3 3 3 , ) C. [0, ) ( , ] , ) B. (0, ) [ D. [0, ) [ 2 4 2 2 4 2 4
2
．
2
16．已知复数 z (2m 3m 2) (m m 2)i, m R .根据下列条件，求 m 值． （1）z 是实数；（2）z 是虚线；（3）z 是纯虚数；（4）z＝0．
2
17.已知函数 f(x)=ax +bx -x(x∈R，a、b 是常数，a≠0)， 且当 x=1 和 x=2 时， 函数 f(x) 取得极值．(I)求函数 f(x)的解析式；(Ⅱ)若曲线 y=f(x)与 g(x)= -3x -m(-2≤x≤0) 有两个不同的交点，求实数 m 的取值范围.
当 x ( , ) ， f '( x) 0 ， f ( x) 单调递增． 所以 f (x)min 1 －e ＝ tlnt 1 0＜t＜
e
1 t≥
．
e
3 ， x 3 ( x 3)( x 1) 设 h( x) 2ln x x ( x 0) ，则 h '( x) , x x2 x (0,1) h '( x) 0 ， h( x) 单调递减, x (1, ) ， h '( x) 0 ， h( x) 单调递增，
示复数 Z，则表示复数 A.E B.F
2
D.3 3.若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表
z 的点是( 1 i
C.G D.H
)
4.若曲线 y x ax b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x y 1 0 ，则( ) A. a 1, b 1 B. a 1, b 1 C. a 1, b 1 D. a 1, b 1 5.观察如图中各正方形图案，每条边上有 n(n 2) 个圆点，第 n 个图案中圆点的总数 是 Sn ,按此规律推断出 Sn 与 n 的关系式为( )