三角函数的定义域与值域
三角函数的定义域、值域
要使y 1 sin z有最小值- 1，
必须
2
z
2
2k ,k z
2
要使y 1 sin z有最大值 1，
1 x 2k
必须
2
z
2
2k ,k z
1
x
2
2k
x
4k
2 x
35
2
4k
3
使原函数取得最小值的集合是
2 32
3
y sin x
x
|
x
5
3
4k ,k
Z
y sin x
角
练习 求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值 时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x ＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋2π，k∈Z 时，ymax＝4； 当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－2π，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}； ymin＝－4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}.
2
所以结论要相反 y sin z 最小
3.二次函数的某些知识点
例 求函数 y＝sin2x－sin x＋1，x∈R 的值域．
解 设 t＝sin x，t∈[－1,1]，f(t)＝t2－t＋1. ∵f(t)＝t2－t＋1＝t－122＋34. ∵－1≤t≤1， ∴当 t＝－1，即 sin x＝－1 时，ymax＝f(t)max＝3；
x x sinx
忘掉的同学再去看看课本， 后面的老师还会讲到
课堂小结
三角函数定义域和值域
三角函数定义域和值域sinx,cosx的定义域为R,值域为〔-1,1〕；tanx的定义域为x不等于π/2+kπ，值域为R；cotx的定义域为x不等于kπ,值域为R；y=a·sinx+b·cosx+c的值域为[c-√a²+b²,c+√a²+b²）]。
三角函数（也叫做“圆函数”）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。
三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。
更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。
sinx,cosx的定义域为R,值域为〔-1,1〕tanx的定义域为x不等于π/2+kπ，值域为Rcotx的定义域为x不等于kπ,值域为Ry=a·sinx+b·cosx+c的值域为[c-√a²+b²,c+√a²+b²）]三角函数是函数，象限符号坐标注。
函数图像单位圆，周期奇偶增减现。
同角关系很重要，化简证明都需要。
正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字一，连结顶点三角形。
向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。
诱导公式就是好，负化正后大化小，变成锐角好查表，化简证明少不了。
二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。
两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。
和差化积须同名，互余角度变名称。
计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。
逆反原则作指导，升幂降次和差积。
条件等式的证明，方程思想指路明。
万能公式不一般，化为有理式居先。
公式顺用和逆用，变形运用加巧用；一加余弦想余弦，一减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集。
三角函数的计算方法
三角函数的计算方法三角函数是数学中的一种重要概念，也是物理、工程以及计算机图形学等领域常用的数学工具。
它们用于描述和计算三角形的属性和关系。
在数学中，常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数等。
正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数，它们的计算方法如下：正弦函数（Sine Function）：正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]，可以表示为y =sin(x)。
正弦函数的计算方法可以分类讨论，一般有两种方法：单位圆定义和泰勒级数展开。
单位圆定义方法：单位圆的半径为1，以原点O为圆心，绕圆心旋转而成。
对于任意一个角θ（弧度制），其对应的点P(x, y)在单位圆上的横坐标x称为θ的正弦值，即sin(θ)=y。
泰勒级数展开方法：正弦函数还可以通过泰勒级数展开来计算。
泰勒级数展开将一个函数表示为无穷多个项的和的形式，对于正弦函数，它的泰勒级数展开为：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...余弦函数（Cosine Function）：余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]，可以表示为y =cos(x)。
余弦函数的计算方法与正弦函数类似，也可以用单位圆定义方法和泰勒级数展开方法。
单位圆定义方法：余弦函数的横坐标x称为θ的余弦值，即cos(θ)=x。
泰勒级数展开方法：余弦函数的泰勒级数展开为：cos(x) = 1 -x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...正切函数（Tangent Function）：正切函数的定义域为实数集，值域为整个实数集，可以表示为y = tan(x)。
正切函数的计算方法有以下几种：基本关系式、波尔展开和对数法。
基本关系式：正切函数的定义为tan(x) = sin(x) / cos(x)，可以利用正弦函数和余弦函数的计算结果来计算正切函数的值。
波尔展开：正切函数的波尔展开为：tan(x) = x + x^3/3 + 2x^5/15 + 17x^7/315 + ...对数法：正切函数还可以利用自然对数函数的泰勒级数展开来计算，即tan(x) = x + (x^3/3) + (2x^5/15) + (17x^7/315) + ...余切函数（Cotangent Function）：余切函数的定义域为实数集，值域为整个实数集的补集，可以表示为y = cot(x)。
三角函数定义域值域的求法(共10张PPT)
反表示法
两边平方
四）二合一
五） 其他形式：
y
1
2
0
2x
六：应用题求最值
D
C
A
B
值域
最值 周期
[1,1]
T2
一. 求三角函定义域:
例1.求下列函数的定义域;
点拨:1.列出三角不等式 2.根据图象写出不等式的解集
二.求 三角函值域的几种典型形式
一）一次型
直接代入法
练习：口答下列函数的值域
(1)y=-2sinx+1
[－1，3]
(2) y=3cosx+2
[－1，5]
总结：形如y=asinx+b的函数的最大值是
最小值是
二)二次型
二次函数法
点拨:1.换元(注明新元取值)
2.运用二次函数图象性质(一看对称轴,二看区间端点)
2.
y
写出y=sinx和y=cosx的定义域,值域,最值,周期
y= sinx和 y= cosx， x [0, 2 ]的简图：
最小值是
2.
根据图象写出不等式的解集
y=cosx，x [0, 2 ]
y=cosx，x [0, 2 ]
总结：形如y=asinx+b的函数的最大值是
求 三角函值域的几种典型形式
在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 三角函数定义域值域的求法
-1
0
1 2
1
t
练习：口答下列函数的值域
总结：形如y=asinx+b的函数的最大值是
求 三角函值域的几种典型形式
点拨:统一函数名
三） 分式型 点拨: 1.反表示
三角函数定义域值域的求法
三角函数的定义域和值域
三角函数的定义域和值域三角函数是数学中的一类重要函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在进行三角函数的研究和应用时，了解其定义域和值域是非常重要的。
一、正弦函数的定义域和值域正弦函数是以角度（或弧度）为自变量，输出对应的正弦值。
其定义域是实数集。
根据正弦函数的特点，我们知道正弦值的范围在-1到1之间，即其值域为[-1, 1]。
二、余弦函数的定义域和值域余弦函数也是以角度（或弧度）为自变量，输出对应的余弦值。
与正弦函数类似，余弦函数的定义域也是实数集，而其值域同样为[-1, 1]。
三、正切函数的定义域和值域正切函数是以角度（或弧度）为自变量，输出对应的正切值。
正切函数的定义域为除去其奇数倍的π的实数集，即R - {(2n + 1)π/2 |n∈Z}。
值域为全体实数，即整个实数集R。
四、其它三角函数的定义域和值域除了正弦函数、余弦函数、正切函数之外，还有诸如余切函数、正割函数、余割函数等三角函数。
这些函数的定义域和值域如下：1. 余切函数（cotx）的定义域为除去其奇数倍的π的实数集，即R - {nπ | n∈Z}。
值域也为全体实数。
2. 正割函数（secx）的定义域为除去π/2 + nπ的实数集，即R - {(2n + 1)π/2 | n∈Z}。
值域为正数和负数的并集，即R - {0}。
3. 余割函数（cscx）的定义域为除去nπ的实数集，即R - {nπ |n∈Z}。
值域同样为正数和负数的并集，即R - {0}。
五、总结三角函数的定义域和值域是根据函数的特点和性质决定的。
正弦函数和余弦函数的定义域为实数集，值域都是[-1, 1]；正切函数的定义域为除去其奇数倍的π的实数集，值域为全体实数；余切函数、正割函数、余割函数的定义域分别为R - {nπ | n∈Z}，值域为正数和负数的并集。
在实际应用中，对三角函数的定义域和值域的了解有助于我们分析和计算相关问题，并且在解决实际问题时能够更加准确地进行数值的转换和计算。
专题——三角函数值域与最值
三角函数的值域和最值1.正弦函数y=sinx 定义域是R ，值域是[-1,1]，在x=2k π-π/2(k ∈Z)时取最小值-1，在x=2k π+π/2(k ∈Z)时，取最大值1 .2.余弦函数y=cosx 定义域是R ，值域是[-1，1]，在x=2k π(k ∈Z)时，取最大值1，在x=2k π+π(k ∈Z)时，取最小值-13.正（余）切函数y=tanx 定义域是(k π-π/2，k π+π/2)(k ∈Z)，值域是R ，无最值.4. asinx+bcosx 型函数)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a其中 ab arctan =ϕ，φ角所在象限是由点P(a,b)所在象限确定) 练习题1．.若sin x ≥1/2，则x 的范围是____________________________；若√3+2cos x ＜0，则x 的范围是 ；若tanx ≤1,则x 的范围是________________________；若sin2x ＞cos2x ，则x 的范围是__________________________( 2k π+π/6≤x ≤2k π+5π/6，k ∈Z ；2k π+5π/6<x<2k π+7π/6，k ∈Z ；k π-π/2<x ≤k π+π/4，k ∈Z ；k π+π/4<x<k π+3π/4，k ∈Z )2．函数y=√3sin x+cos x,x ∈[-π/6，π/6]的值域是( ) D(A)[-√3，3] (B)[-2，2] (C)[0，2] (D)[0，√3]【x 有范围限制时，y 的范围要根据单调性得出】3．函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为( ) A(A)1+√2 (B)√2-1 (C)2 (D)24.设 0cos sin,cos sin 33<+=+ααααt ，则t 的取值范围是( ) B (A) ()()∞+-，，303 (B) [)02，-(C) ()()3101，， - (D) [)33，- 5．函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω＞0)在区间[a,b ]上是增函数，且f(a)=-M ，f(b)=M ，则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在[a,b ]上( ) B(A)是增函数 (B)可以取得最大值M(C)是减函数 (D)可以取得最小值-M6．已知△ABC 中， 324tan --=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ，求使⎪⎭⎫ ⎝⎛++=62sin sin 2y 2πB B 取最大值时∠C 的大小.【形如y=acos2x+bcosxsinx+csin2x+d(a 、b 、c 、d 为常数)的式子，都能仿照上例变形为形如y=Acos(2x+φ)+B 的式子，从而有关问题可在变形式的基础上求解 另外，求最值时不能忽视对定义域的思考】7．试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值.又若x ∈[0，π/2]呢？【此为sinx+cosx 与sinx·cosx 型.(注意与上例形式的不一样)，一般地，含有sinx+cosx,sinx-cosx ，sinx·cosx 的三角函数都可以采用换元法转化为t 的二次函数去解.但必须注意换元的取值范围.】【换元后，要研究定义域的变化，脱离定义域研究函数没有意义】8．求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域 【此为dx c b x a y ++=sin sin 型三角函数(分子、分母的三角函数同角同名)这类函数，一般用拆分法及三角函数的有界性去解.思考如何求1cos 21sin 2-+=x x y 的值域呢? 】 9．已知函数f(x)=-sin2x-asinx+b+1的最大值为0，最小值为-4，若实数a ＞0，求a,b 的值【上述两题为y=asin2x+bsinx+c 型的三角函数.此类函数求最值，可转化为二次函数y=at2+bt+c 在闭区间[-1，1]上的最值问题解决.】10．.在Rt △ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上．(1)设AB=a,∠ABC=θ，求△ABC 的面积P 与正方形面积Q(2)当θ变化时求P /Q 的最小值．【此题为 xa x sin sin +型三角函数．当sin x ＞0且a ＞1时，不能用均值不等式求最值，往往用函数单调性求解】。
三角函数的图象、定义域、最值(值域)、单调性
[学习要求] 1.能画出 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝tan x 的图象. 2.理解
正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小
值、图象与 x 轴的交点等). 3.理解正切函数在区间
π
π
− ，
2
2
上的性质.
π
π
− ＜＜
2
2
由题意得 y ＝ cos x ·｜tan x ｜＝ቐ
的大致图象是(
sin，0 ≤
π
＜ ，
2
π
−sin, − ＜
2
所以其图象的大致形状如选项C所示.
< 0，
C )
2. 已知函数 f ( x )＝ sin x ＋2｜ sin x ｜， x ∈[0，2π]，若直线 y ＝ k
与其仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围为
， k ∈Z，
2
2
π
π
π
＋ ≥ + 2π，
4
2
所以ቐ 2
k ∈Z，
π
3π
π＋ ≤ + 2π，
4
2
1
5
解得4 k ＋ ≤ω≤2 k ＋ ， k ∈Z.
2
4
1
5
5
又由4 k ＋ － 2＋ ≤0， k ∈Z，且2 k ＋ ＞0， k ∈Z，解得 k ＝0，
2
4
4
1
5
所以ω∈ ， .
2
4
方法总结
A. [－1，1]
令 sin x ＝ t ， t ∈[－1，1]，
则 y ＝ t 2＋ t －1＝
1 2
三角函数的正负关系
三角函数的正负关系三角函数是数学中重要的概念，它们描述了角度和边长之间的关系。
其中，正弦函数、余弦函数和正切函数是最常见的三角函数。
在本文中，我们将讨论三角函数的正负关系，并探究其在不同象限的取值情况。
1. 正弦函数的正负关系正弦函数（sine function）通常用sin表示，它的定义域是所有实数，值域则是[-1, 1]。
正弦函数描述了一个角的对边与斜边之间的比值。
对于任意一个角θ，其正弦值sinθ可以根据角的位置在坐标平面上的象限来判断其正负关系。
在第一象限（0° <θ< 90°）中，角的对边和斜边都是正数，因此sinθ为正。
在第二象限（90° <θ< 180°）中，角的对边为正数，斜边为负数，因此sinθ为正。
在第三象限（180° <θ< 270°）中，角的对边和斜边都是负数，因此sinθ为负。
在第四象限（270° <θ< 360°）中，角的对边为负数，斜边为正数，因此sinθ为负。
根据以上观察，我们可以总结出正弦函数的正负关系：在第一象限和第二象限中，正弦函数为正；在第三象限和第四象限中，正弦函数为负。
2. 余弦函数的正负关系余弦函数（cosine function）通常用cos表示，与正弦函数一样，余弦函数的定义域也是所有实数，值域也是[-1, 1]。
余弦函数描述了一个角的邻边与斜边之间的比值。
同样地，我们可以根据角的位置在坐标平面上的象限来判断余弦函数的正负关系。
在第一象限和第四象限中，角的邻边和斜边都是正数，因此cosθ为正。
在第二象限和第三象限中，角的邻边是负数，斜边为正数，因此cosθ为负。
综上所述，余弦函数的正负关系与正弦函数相反：在第一象限和第四象限中，余弦函数为正；在第二象限和第三象限中，余弦函数为负。
3. 正切函数的正负关系正切函数（tangent function）通常用tan表示，它的定义域是所有实数，但存在一些特殊角（如90°的整数倍角）使得正切函数无定义。
(完整版)三角函数公式和图像大全(最新整理)
初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscαcosα·secαtanα·cotα反三角函数的图形设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h。
三角函数的定义域、值域和最值讲解
三角函数的定义域、值域和最值一知识点精讲：1 三角函数的定义域（1）sinα=yryxxr定义域为R. （2）cosα=⎧⎩定义域为R.（3）tanα=定义域为⎨α|α≠πx⎫定义域为+kπ,k∈Z⎬. （4）cotα=2y⎭{α|α≠kπ,k∈Z}.2 三角函数的值域① y=asinx+b,(a≠0) 型当a>0时，y∈[-a+b,a+b] ；当a<0时 y∈[a+b,-a+b] ② y=asin2x+bsinx+c型此类型的三角函数可以转化成关于sinx的二次函数形式。
通过配方，结合sinx的取值范围，得到函数的值域。
sinx换为cosx也可以。
③ y=asinx+bcosx型利用公式asinx+bcosx=的情形。
④y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx型利用换元法，设t=sinx+cosx, t∈[-2,2]，则sinxcosx=t-122a+bsin(x+φ),tanφ=22ba，可以转化为一个三角函数22,转化为关于t 的二次函数y=at+b22=b2t+at-2b2.⑤y=asinx+bcosx+csinxcosx型这是关于sinx,cosx的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，sin2x=1-cos2x2,cos2x=1+cos2x2,sinxcosx=sin2x2，可转化为y=msin2x+ncos2x+p的形式。
⑥ y=⑦y=asinx+bcsinx+dsinx+a型可以分离常数，利用正弦函数的有界性。
cosx+b型可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得，sinx-ycosx=by-a，sin(x-φ)=by-a+y,by-a+y≤1, 通过解此不等式可得到y的取值范围。
或者转化成两点连线的斜率。
以上七种类型是从表达的形式上进行分类的，如果x有具体的角度范围，则再进行限制。
二典例解析：例1．求下列函数的定义域（1）y=3-3sinx-2cos2x；（2）y例2．求下列函数的值域(1) y=-2sinx+3 （2）y=2cos2x+5sinx-4；（3）y=5sin2x-4sinxcosx+2cos2x； (4)y=sinx+cosx+sinxcosx （5）yπ6=3sinx+13sinx+2=logsinx(cosx+12). （3） y=25-x+lgcosx；；（6）y=sinx+2cosx+21-tan()cosx.π4-x)（7）y=sin(x-（8）y=1+tan(π4-x)（9）求函数y=sin2x1-sinx-cosx+sin2x的值域.三课堂练习：1．若cosα⋅cscαsec2α-1=-1,则α所在的象限是A．第二象限限2．不解等式：（1）sinx<-3．已知f(x)的定义域为(-4．求下列函数的定义域（1）y=1tanx-112 （） B．第四象限 C．第二象限或第四象限 D．第一或第三象（2）cosx>12 12,32),则f(cosx)的定义域为____________. （2）y=sinx+125-x2.5．求下列函数的值域（1）y=2cosx-1（3）y=1+sinx+cosx+（5）y=12+sinx12sin2xx∈[-π,π]. （4）y=-cos3 （2）y=2sinxcos1+sinx2x. xsinx. （6）y=tan2x+4cot+1 26．有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都半径或弧在扇形的上，求这个内接矩形的最大面积．。
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3．2 三角函数的定义域与值域
例1．求下列函数的定义域
（1）x x y 2cos 2sin 33--=； （2）)21(cos log sin +=x y x .
例2．求下列函数的定义域
（1）x x y cos lg 252+-=； （2）).0)(cos sin 3|cos |2lg(π<≤--=x x x x y
例3．求下列函数的值域
（1）4sin 5cos 22-+=x x y ；
（2）x x x x y 22cos 2cos sin 4sin 5+-=； （3）2
sin 31sin 3++=x x y ； （4）)4
(tan 1)4(tan 122x x y -+--=ππ； 例4．求下列函数的值域
（1）)2sin 5sin 2(log 2-+-=x x y a ；
（2）x x y cos )6
sin(π-=. 【备用题】
求函数x x
x x y 2sin cos sin 12sin +--=的值域. 【基础训练】
1．在坐标系中，分别画出满足不等式的角x 的区域，并写出不等式的解集：
（1）∈-<x x ,21sin _____________.
（2）∈>x x ,21cos ______________.
（3）∈->x x ,1tan ______________. （4）∈>x x ,3cot _____________.
2．（1）1
tan 1-=x y 的定义域为________________. （2）x
x y cot tan 1-=的定义域为________________. 3．.____________3)1sin 2(_,__________
1cos 22的值域为的值域为+-=-=x y x y 4．4|cos sin 3|--=x x y 的值域为___________，2cos 1cos 4+-=
x x y 的值域为_____________. 5．当x x x x sin ,cot ,cos ,40时π<
<从小到大排列为_____________.
【拓展练习】
1．若αααα则,11sec csc cos 2-=-⋅所在的象限是
（ ） A ．第二象限 B ．第四象限 C ．第二象限或第四象限
D ．第一或第三象限 2．若θ为锐角，则θθcos sin +的取值范围是
（ ） A ．]2,1( B ．]2,1[ C ．]2,0[
D ．]2,2[- 3．α在第三、四象限，m m
m 则,432sin --=α的取值范围是 （ ） A ．（－1，0） B ．（－1,21
） C ．（－1,23
） D ．（－1，1）
4．函数||sin |sin |x x y +=的值域是 （
） A ．[－2，2] B ．[－1，1] C ．[0，2] D ．[0，1]
5．（1）已知)(cos ),23
,21()(x f x f 则的定义域为-的定义域为____________.
（2）设)(,cos )1sin 2(2x f x x f 则=-的定义域为_____________.
6．x y sin 21
+=的值域为___________，)cos(sin x y =的值域为___________，
1cot 4tan 22++=x y 的值域为_____________.
7．求下列函数的定义域
（1）.251sin 2x x y -+= （2）.3sin 2lg(cos 21++=x x
y
8．求下列函数的定义域
（1）).cot tan 2lg(cos sin 2x x x x y +++= （2）).2sin(cos lg x y =
9．求下列函数的值域
（1）).1sin 2)(1cos 2(22++=x x y （2）.sin 1cos sin 22x x
x y +=
10．求下列函数的值域
（1）].,[2sin 21
cos sin 1ππ-∈+++=x x x x y （2）.cos cos 3x x y -=
11．求下列函数的值域
（1）.csc 2sec 22x x y += （2）).80sin(5)20sin(3 +++=x x y
12．求).2|(|sin )cos 2(22≤+-=m m y 的最小值θθ。