三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)

三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)本文讲述了全等三角形的判定方法，重点是边角边和角边角。

边角边指两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”。

需要注意的是，必须是两边及其夹角，不能是两边和其中一边的对角。

例如，在图中的△ABC和△ABD中，虽然有一个角和两边相等，但是这两个三角形不全等。

但是在例1中，如果AC=AD，且∠CAB=∠DAB，则可以证明△ACB≌△ADB。

在例2中，如果AD∥BC，且∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF，则可以证明BF=CE。

角边角是指两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”。

例如，在例2中，如果AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则可以直接判定△ABD≌△ACD。

在例3中，如果在Rt△ABC中，BC=2cm，CD⊥AB，且EC=BC，EF=5cm，则可以求出AE的长度。

除了边角边和角边角外，还有三种判定全等三角形的条件。

在例5中，如果在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，且有一个角相等，则可以证明△ABC≌△DEF。

在例6中，如果AB∥DE，AB=DE，BF=CE，则可以证明△ABC≌△DEF。

在例7和例8中，分别是通过角平分线和垂线的判定方法来证明两个三角形全等。

总之，掌握全等三角形的判定方法对于解决几何问题非常重要。

1.如图所示，在三角形ABC中，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB。

根据角角边相等可知，∠ACB=∠DCB。

又因为AB=DC，所以BC=AC。

因此，根据SSS（边边边）相等可知，△ABC≌△DCB。

同时，∠ACB=∠DCB，AC=BC=DC。

2.如图所示，在三角形ABD和ABF中，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE。

根据角角边相等可知，∠ABD=∠BCE。

又因为AD=CE，所以BD=BE。

因此，根据SAS（边角边）相等可知，△ABD≌△BCE。

同时，∠ABD=∠BCE，AD=CE=BE。

接着，根据角角边相等可知，∠ABF=∠ADE。

又因为AD=AE，所以△ABF≌△ADE。

因此，根据SAS（边角边）相等可知，∠ABF=∠ADE，AB=AE=AF。

3.在△ABC和△BAD中，因为AB=BA，∠ABC=∠BAD，BC=BD。

因此，根据SAS（边角边）相等可知，△ABC≌△BAD。

4.要用SAS（边角边）证△ABC≌△ADE，若AB=AD，AC=AE，则还需条件∠B=∠D。

因为AB=AD，所以∠ABD=∠BAD。

又因为AC=AE，所以∠ACE=∠CAE。

因为AD∥BC，所以∠ABD=∠C。

因此，∠ACE=∠C。

因为∠BAC=∠BAD+∠CAE，所以∠BAC=2∠C。

因为∠ABC=∠C，所以∠ABD=∠ABC。

因为AB=AD，AC=AE，∠B=∠D，∠ACE=∠CAE，因此，根据SAS（边角边）相等可知，△ABC≌△ADE。

5.如图所示，OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°。

因为OA=OB，所以∠OAB=∠XXX。

因为OC=OD，所以∠XXX∠XXX。

因为∠XXX∠OAB，所以∠OAB=∠XXX。

因为∠O=50°，所以∠OAB=50°。

因为∠OAB=∠ODC，所以∠ODC=50°。

因为∠D=35°，所以∠OCD=85°。

因为∠XXX∠OBC+∠BCD，所以∠XXX∠OCD-∠BCD=85°-35°=50°。

因为∠XXX∠BOC=90°，所以四边形AOBC是一个菱形。

因此，∠XXX∠XXX°。

因为∠XXX∠OAC+∠OCE，所以∠AEC=50°+35°=85°。

6.如图所示，如果AE=CF，AD∥BC，AD=CB，则△ADF和ACBE全等。

因为AD∥BC，所以∠A=∠C。

因为AD=CB，所以∠D=∠B。

因为AE=CF，所以∠E=∠F。

因为∠A=∠C，∠D=∠B，AD=CB，AE=CF，因此，根据ASA（角边角）相等可知，△ADF≌△XXX。

7.如图所示，已知AD与BC相交于点O，∠XXX∠DBA，AC=BD。

1) 因为∠XXX∠DBA，所以∠CAB+∠CBA=∠DBA+∠DAB，即∠ACB=∠ADB。

因为AC=BD，所以根据SAS（边角边）相等可知，△ABC≌△ABD。

因此，∠C=∠D。

2) 因为AC=BD，所以△AOC≌△BOD。

因为∠C=∠D，所以∠AOD=180°-∠C-∠D=180°-2∠C。

因为OA=OB，所以∠OAB=∠OBA=(180°-∠AOD)/2=(180°-2∠C)/2=90°-∠C。

因为∠XXX∠DBA，所以∠OAB=∠OBD。

因为∠OAB=∠OBD，OA=OB，AC=BD，因此，根据ASA（角边角）相等可知，△AOC≌△BOD。

8.如图所示，在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE=90°，且AC=BC。

因此，△ACD和△BCE是等腰直角三角形，且CD=CE。

因为AD∥BC，所以∠XXX∠BCE。

因为∠ACD=∠BCE，所以∠XXX∠ACD。

因此，△ADC是等腰三角形，且AD=DC。

因为AE交DC于F，所以∠AFE=∠ACD。

因为∠ACD=∠BCE，所以∠AFE=∠BCE。

因此，△AEF和△BCE相似。

因为BD分别交CE、AE于点G、H，所以XXX。

因为AE=CE，所以AEHG是一个平行四边形。

因此，AE=HG。

因为∠ACD=∠BCE，所以∠ADB=∠HCE。

因为BD=CE，所以△ADB≌△HCE。

因此，AD=HC。

因为AE=HG，AD=HC，所以AEHD是一个平行四边形。

因此，AE∥HD。

因为GH∥BC，所以AE∥BC。

9.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC。

因此，∠BAD=∠CAD。

因为AB=AC，所以△ABD≌△ACD。

因此，∠ABD=∠ACD。

因为AD平分∠BAC，所以∠DAB=∠DAC。

因此，∠XXX∠DCB。

10.如图所示，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE。

因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC=AC。

因为CD=CE，所以∠CED=∠CDE。

因为CD=CE，所以△CED是等腰三角形，且∠CDE=∠CED。

因此，∠XXX∠ABC/2.因为AD∥BC，所以∠ADE=∠ABC。

因此，∠ADE=2∠CDE。

因为CD=CE，所以XXX。

因此，AE∥BC。

例1：在三角形ABC中，角ABC为45度，H是高AD和高BE的交点。

证明BH等于AC。

解析：根据题意，我们知道角ABC等于角BAC，因此三角形ABC是等腰直角三角形。

由于BH是高BE的一部分，所以BH等于BE的一半，而BE等于AC，因此BH等于AC。

例2：在三角形ACB中，角ACB为90度，AC等于BC，BE垂直于CE，AD垂直于CE且AD等于2.5厘米，DE等于1.7厘米。

求BE的长度。

解析：根据勾股定理，我们可以得到AE等于2.5厘米，因此CE等于4.2厘米。

由于三角形ACB是等腰直角三角形，所以AB等于AC，等于4.2厘米。

因此，根据勾股定理，BE 等于3.5厘米。

例3：在三角形ABC中，AC垂直于BC，CE垂直于AB 且AF平分角CAB并交CE于点F。

过F作FD平行于BC交AB于点D。

证明AC等于AD。

解析：由于AF是角CAB的平分线，所以角CAF等于角BAF。

又因为角ACF和角ABF都等于90度，所以三角形ACF和三角形ABF是相似的。

因此，我们可以得到AC与AB的比例等于CF与BF的比例。

又因为CF等于CE，BF等于BD，而BD等于DC，所以AC等于AD。

例4：在直角三角形ABC中，角A等于90度，BD平分角B，DE垂直于BC且BE等于EC。

1) 求角ABC和角C的度数。

2) 证明BC等于2AB。

解析：(1) 由于BD是角B的平分线，所以角ABD等于角CBD。

又因为角CBD等于90度，所以角ABD等于45度。

因此，角ABC等于135度，角C等于45度。

2) 由于BE等于EC，所以角BEC等于角EBC。

又因为角BDE等于角EDC，所以三角形BDE和三角形EDC是相似的。

因此，我们可以得到BD与DE的比例等于DE与DC的比例。

又因为BD等于BC的一半，DC等于BC的一半，所以BC等于2AB。

例7：已知直角三角形ABC中，AC⊥BC，BD⊥AD，BC与AD交于O，且AC=BD。

证明∠XXX∠XXX。

解：首先，根据题目中的条件，可以得到△ABC≌△ABD（AC=BD，∠ACB=∠ADB=90°，XXX）。

因此，∠XXX∠ABD，∠BAC=∠BAD，且AB=AB，所以△ABC≌△ABD满足ASA准则。

根据全等三角形的性质，可以得到∠OAB=∠XXX。

证毕。

例8：已知直角三角形ACB和ADB中，∠XXX和∠ADB都是直角，BC=BD，E是AB上任意一点。

证明CE=DE。

解：连接CD、BE。

由于BC=BD，且∠XXX和∠ADB 都是直角，所以△ACB≌△ADB（XXX，∠ACB=∠ADB=90°，BC=BD）。

因此，AC=AD，且∠CAB=∠DAB，所以△AEC≌△DEB（XXX，∠CAE=∠DBE，AE=DE）。

因此，CE=DE。

证毕。

例9：已知直角三角形ABC和ADE中，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F，连接CD、EB。

1)求出图中还有几对全等三角形。

解：根据题目中的条件，可以得到△ABC≌△ADE（Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，AC=AD）。

因此，∠BAC=∠DAE，且AB=AE，所以△ABE≌△ACD （XXX，AE=AD，∠BAE=∠CAD）。

同时，根据相应角相等，可以得到∠BFC=∠EDC，且∠BCF=∠DEC，所以△BFC≌△EDC（共边BC，∠XXX∠EDC，∠BCF=∠DEC）。

因此，图中共有2对全等三角形，分别是△ABE≌△ACD和△BFC≌△XXX。

2)证明CF=EF。

解：根据题目中的条件，可以得到△ABC≌△ADE（Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，AC=AD）。

因此，∠BAC=∠DAE，且AB=AE，所以△ABE≌△ACD （XXX，AE=AD，∠BAE=∠CAD）。

同时，根据相应角相等，可以得到∠BFC=∠EDC，且∠BCF=∠DEC，所以△BFC≌△EDC（共边BC，∠XXX∠EDC，∠BCF=∠DEC）。

连接AF。

由△ABE≌△ACD和△XXX≌△EDC可得，AE=AC，BF=DE。