浙教版2021-2022学年九年级数学上册第3章《圆的基本性质》竞赛题精选(解析版)

2021-2022学年浙江九年级数学上册第3章《圆的基本性质》竞赛题精选一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2019•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD【分析】由圆周角定理和角平分线得出∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，由等腰三角形的性质得出∠OCB＝∠OBC，得出∠DBC＝∠OCB，证出OC∥BD，选项A成立；由平行线的性质得出AD⊥OC，选项B成立；由垂径定理得出AF＝FD，选项D成立；△CEF和△BED中，没有相等的边，△CEF与△BED不全等，选项C不成立，即可得出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A成立；∴AD⊥OC，选项B成立；∴AF＝FD，选项D成立；∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．2．（5分）（2018•武侯区校级自主招生）已知如图，△ABC中，AB＝m，AC＝n，以BC为边向外作正方形BCDE，连接EA，则EA的最大值为（）A．m+n B．m+n C．m+n D．m+n【分析】以AB为边，作正方形ABFG，连接AF，FC，由“SAS”可证△ABE≌△FBC，可得AE＝FC，由三角形的三边关系可得AE＝FC≤AF+AC，即可求AE的最大值．【解答】解：如图，以AB为边，作正方形ABFG，连接AF，FC，∵四边形ABFG，四边形BCDE是正方形∴AB＝BF，BC＝BE，∠ABF＝∠EBC＝90°∴∠FBC＝∠EBA，且AB＝BF，BC＝BE∴△ABE≌△FBC（SAS）∴AE＝FC，∵FC≤AF+AC，∴AE≤AF+AC＝m+n∴AE的最大值为m+n故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，证明△ABE≌△FBC是本题的关键．3．（5分）（2018•李沧区校级自主招生）如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE ＝2cm，EB＝8cm，∠DEB＝60°，则CD等于（）A．4cm B．4cm C．8cm D．cm【分析】作OF⊥CD于点F，连接OD，Rt△OEF中利用三角函数即可求得OF的长，然后在Rt△ODF中利用勾股定理即可求得DF的长，然后根据垂径定理可以得到CD＝2DF，从而求解．【解答】解：作OF⊥CD于点F，连接OD．∵AE＝2cm，EB＝8cm，∴AB＝AE+BE＝10cm，半径长是5cm．∵在Rt△OEF中，OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3cm，sin，∴cm，在Rt△ODF中，DF＝＝＝cm，∴CD＝2DF＝cm．故选：D．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4．（5分）（2018•南岸区自主招生）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．﹣D．3【分析】连接OC，根据图中阴影部分的面积等于扇形COB的面积﹣△COB的面积进行解答即可．【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∠CAB＝30°，AC＝3，∴2BC＝AB＝6，∠COB＝60°，∴△OCB是等边三角形，边长为3，∴△COB的面积＝，∴扇形COB的面积＝，所以图中阴影部分的面积＝，故选：A．【点评】此题考查扇形面积公式，关键是根据图中阴影部分的面积等于扇形COB的面积﹣△COB的面积进行解答．5．（5分）（2020•武昌区校级自主招生）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为（）A．3B．C．D．【分析】由勾股定理求出AB，由旋转的性质可得AO＝A′O，A′B′＝AB，再求出OE，从而得到OE＝A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，由三角形的面积求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三线合一的性质可得A′E＝2EF，然后由B′E＝A′B′﹣A′E代入数据计算即可得解．【解答】解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，∴AB＝＝＝4，∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，∴AO＝A′O＝4，A′B′＝AB＝4，∵点E为BO的中点，∴OE＝BO＝×8＝4，∴OE＝A′O＝4，过点O作OF⊥A′B′于F，S△A′OB′＝×4•OF＝×4×8，解得OF＝，在Rt△EOF中，EF＝＝＝，∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，∴A′E＝2EF＝2×＝，∴B′E＝A′B′﹣A′E＝4﹣＝；故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积等知识；熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．6．（5分）（2015•黄冈校级自主招生）如图，⊙O内的点P在弦AB上，点C在⊙O上，PC ⊥OP，若BP＝2，AB＝6，则CP的长等于（）A．2B．4C．2D．3【分析】根据垂径定理得到DP＝PC，根据相交弦定理计算即可．【解答】解：延长CP交⊙O于点D，∵PC⊥OP，∴DP＝PC，由相交弦定理得，PD•PC＝P A•PB，∴PC2＝4×2，解得，PC＝2，故选：C．【点评】本题考查的是相交弦定理、垂径定理，相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．7．（5分）（2003•河南）已知：如图，ABCD是⊙O的内接正方形，AB＝4，F是BC的中点，AF的延长线交⊙O于点E，则AE的长是（）A．B．C．D．【分析】依据勾股定理可得AF的长，再根据相交弦定理可以求得FE的长，即可得到AE 的长．【解答】解：连接CE，由相交弦定理知，AF•EF＝BF•CF＝4，由勾股定理得，AF＝2，∴FE＝，AE＝AF+EF＝．故选：A．【点评】本题利用了相交弦定理，正方形的性质，勾股定理，中点的性质求解．8．（5分）（2016•安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．B．2C．D．【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠P AB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝＝5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．故选：B．【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P 位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）9．（5分）（2020•武昌区校级自主招生）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为5．【分析】连接BM．先判定△F AE≌△MAB（SAS），即可得到EF＝BM．再根据BC＝CD＝AB＝4，CM＝3，利用勾股定理即可得到，Rt△BCM中，BM＝5，进而得出EF的长．【解答】解：如图，连接BM．∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，∴AF＝AM，∠F AB＝∠MAD．∴∠F AB＝∠MAE，∴∠F AB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．∴∠F AE＝∠MAB．∴△F AE≌△MAB（SAS）．∴EF＝BM．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB＝4．∵DM＝1，∴CM＝3．∴在Rt△BCM中，BM＝＝5，∴EF＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．10．（5分）（2020•南安市校级自主招生）如图，▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则弧DE的长为π．【分析】连接OE，求出∠DOE＝40°，根据弧长公式计算，得到答案．【解答】解：连接OE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝6，∠D＝∠B＝70°，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠D＝70°，∴∠DOE＝40°，∴弧DE的长＝＝π，故答案为：π．【点评】本题考查的是弧长计算、平行四边形的性质，掌握弧长公式是解题的关键．11．（5分）（2020•浙江自主招生）如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN ＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则P A+PB的最小值为．【分析】首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．【解答】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．此时P A+PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，∵∠AMN＝30°，∴∠AON＝60°，∴弧AN的度数是60°，则弧BN的度数是30°，根据垂径定理得弧CN的度数是30°，则∠AOC＝90°，又OA＝OC＝1，则AC＝．【点评】此题主要考查了确定点P的位置，垂径定理的应用．12．（5分）（2020•江汉区校级自主招生）如图，在边长为2的等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC上两个动点，且满足AE＝CD，连接BE、AD相交于点P，则线段CP的最小值为2．【分析】首先由已知条件证明△ABD≌△BCE（SAS），得到∠APE＝60°，通过构造圆，找到线段CP的最小值时，点P的所在的位置，进而求解．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∵AE＝CD∴BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠APE＝∠BAD+∠ABE，∴∠APE＝∠CBE∠ABE＝∠ABC，∴∠APE＝60°，∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的圆弧上运动，如图，连接OC交⊙O于N，则OC⊥AB，根据圆周角定理可得∠AOB＝120°，∠OAF＝30°，AF＝＝，∴OA＝＝2，∴OC＝2OA＝4，当点P与N重合时，CP的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2，故答案为：2．【点评】本题以动点为背景考查了圆周角定理与全等三角形的性质与判定，解题的关键是找到点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的圆弧，最终确定线段CP的最小值时，点P的所在的位置，而求解．13．（5分）（2020•浙江自主招生）如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，若PE2+PF2＝8，则AB等于4．【分析】根据已知条件求出弦EF的半弦长和弦心距的平方和，也就是半径的平方，即可求出半径，直径可求．（也可作E点关于AB的对称点求解）【解答】解：作OG⊥EF于G，连接OE，根据垂径定理，可设EG＝FG＝x，则PE＝x+PG，PF＝x﹣PG，又∵PE2+PF2＝8，∴（x+PG）2+（x﹣PG）2＝8，整理得2x2+2PG2＝8，x2+PG2＝4，∵交角为45°，∴OG＝PG，∴OE2＝OG2+EG2＝4，即圆的半径是2，∴直径是4．【点评】此题注意数形结合的思想，熟练运用勾股定理和完全平方公式．14．（5分）（2019•麻城市校级自主招生）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝1+．【分析】连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，Rt△ABO中，易知∠BAO＝∠OCB＝60°，已知了OA＝，即可求得OB的长；过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC＝OD+CD 求出OC的长．【解答】解：连接AB，则AB为⊙M的直径．Rt△ABO中，∠BAO＝∠OCB＝60°，∴OB＝OA＝×＝．过B作BD⊥OC于D．Rt△OBD中，∠COB＝45°，则OD＝BD＝OB＝．Rt△BCD中，∠OCB＝60°，则CD＝BD＝1．∴OC＝CD+OD＝1+．故答案为：1+．【点评】此题主要考查了圆周角定理及解直角三角形的综合应用能力，能够正确的构建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键．三．解答题（共4小题，满分30分）15．（7分）（2014•福州校级自主招生）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC＝BC，D为⊙O 中劣弧AB上一点，延长DA至点E，使CE＝CD．（1）求证：∠ACE＝∠BCD；（2）若∠ACB＝60°，试探究CD与AD+BD长度的大小关系，并证明你的结论．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角得到∠ACB＝180°﹣2∠CBA，∠DCE ＝180°﹣2∠CDE，再根据圆周角定理得到∠CDE＝∠CBA，所以∠ACB＝∠DCE，从而得到结论；（2）先证明△ACE≌△BCD得到AE＝BD，再证明△CDE为等边三角形得到CD＝DE，于是有CD＝AD+BD．【解答】（1）证明：∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA，∴∠ACB＝180°﹣2∠CBA，∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∴∠DCE＝180°﹣2∠CDE，∵∠CDE＝∠CBA，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，即∠ACE＝∠BCD；（2）解：CD＝AD+BD．证明如下：在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∵∠ACB＝60°，∴∠DCE＝60°．而CE＝CD，∴△CDE为等边三角形，∴CD＝DE，即CD＝AD+AE＝AD+BD．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和等边三角形的判定与性质．16．（7分）（2016•和平区校级自主招生）如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE．（1）求证：∠E＝∠C；（2）设AC与⊙O交于点G，连接BG，若AB＝BG，BD＝，求⊙O的直径的长．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB＝AC，即可得出∠E＝∠C；（2）设BG＝5x，则AB＝13x，可得AG＝12x，CG＝x，再由BD可得BC的长，然后根据勾股定理可得x的值，进而得出直径．【解答】（1）证明：如图1连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C；（2）解：设BG＝5x，则AB＝13x，可得AG＝12x，由（1）得：AB＝AC，∴CG＝x．∵BD＝，∴BC＝．在△BCG中，x2+（5x）2＝，解得：x＝．∴AB＝13x＝13，答：⊙O的直径是13．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理以及勾股定理等知识，根据题意列出方程是解题关键．17．（8分）（2005•哈尔滨）已知：如图，点O2是⊙O1上一点，⊙O2与⊙O1相交于A、D两点，BC⊥AD，垂足为D，分别交⊙O1、⊙O2于B、C两点，延长DO2交⊙O2于E，交BA 延长线于F，BO2交AD于G，连接AD．（1）求证：∠BGD＝∠C；（2）若∠DO2C＝45°，求证：AD＝AF；（3）若BF＝6CD，且线段BD、BF的长是关于x的方程x2﹣（4m+2）x+4m2+8＝0的两个实数根，求BD、BF的长．【分析】（1）运用直径所对圆周角＝90°，等角的余角相等，对顶角相等证明；（2）只需证明∠F＝∠ADF即可．由A，B，D，O2四点共圆知∠ABD＝∠DO2C＝45°，∠BAD＝45°，△DCO2中，O2C＝O2D，顶角已知，求出底角∠O2DC的度数，∠ADF＝90°﹣∠O2DC，∠F＝∠O2DC﹣∠ABD，可知∠F＝∠ABD；（3）由已知条件，可以知道，首先应求出BD与CD的关系，这样BD与BF都用CD表示，再由根与系数的关系，求出m的值，回代方程，求出BD，BF的值，根据根的判别式进行检验．【解答】（1）证明：∵BC⊥AD于D，∴∠BDA＝∠CDA＝90°，∴AB、AC分别为⊙O1、⊙O2的直径，∵∠2＝∠3，∠BGD+∠2＝90°，∠C+∠3＝90°，∴∠BGD＝∠C；（2）证明：∵∠DO2C＝45°，∴∠ABD＝45°，∵O2D＝O2C，∴∠C＝∠O2DC＝（180﹣∠DO2C）＝67.5°，∴∠4＝22.5°，∵∠O2DC＝∠ABD+∠F，∴∠F＝∠4＝22.5°，∴AD＝AF；（3）解：∵BF＝6CD，∴设CD＝k，则BF＝6k，连接AE，则AE⊥AD，∴AE∥BC，∴△F AE∽△FBD，∴，∴AE•BF＝BD•AF，又∵在△AO2E和△DO2C中，AO＝DO2，∠AOE＝∠DOC，O2E＝O2C，∴△AO2E≌△DO2C，∴AE＝CD＝k，∴6k2＝BD•AF＝（BC﹣CD）（BF﹣AB），∵∠BO2A＝90°，O2A＝O2C，∴BC＝AB，∴6k2＝（BC﹣k）（6k﹣BC），∴BC2﹣7kBC+12k2＝0，解得：BC＝3k，或BC＝4k，当BC＝3k时，BD＝2k，∵BD、BF的长是关于x的方程x2﹣（4m+2）x+4m2+8＝0的两个实数根，∴由根与系数的关系知：BD+BF＝2k+6k＝8k＝4m+2，BD•BF＝12k2＝4m2+8，∴k＝+，把BD＝2k代入方程x2﹣（4m+2）x+4m2+8＝0可得，4m2﹣12m+29＝0，∵△＝（﹣12）2﹣4×4×29＝﹣320＜0，此方程无实数根，∴BC＝3k舍去，当BC＝4k时，BD＝3k，∴3k+6k＝4m+218k2＝4m2+8，整理，得：m2﹣8m+16＝0，解得：m1＝m2＝4，∴原方程可化为x2﹣18x+72＝0，解得：x1＝6，x2＝12，∴BD＝6，BF＝12．【点评】（1）在圆中证明两个角相等时，通常将它们等量转化；（2）证明两边相等时，如果两边在同一个三角形中，则证明它们所对的角相等；（3）本问中有四个未知量，BF，CD，BD，m，而只有三个方程BF＝6CD，根与系数的关系可以列出两个，所以要根据条件先求出BD与CD的关系，这样三个未知数，三个方程可以求出结果．18．（8分）（2010•义乌市校级自主招生）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AM平分∠BAC交⊙O于点M，AD⊥BC于D．求证：∠MAO＝∠MAD．【分析】首先延长AO交⊙O于N，连接BN，根据圆周角定理与AD⊥BC，可得∠ABN＝∠ADC＝90°，又由∠C＝∠N，可得∠BAN＝∠DAC，然后根据AM平分∠BAC，即可证得∠MAO＝∠MAD．【解答】证明：延长AO交⊙O于N，连接BN，∵AN是⊙O的直径，AD⊥BC，∴∠ABN＝∠ADC＝90°，∴∠BAN+∠N＝90°，∠DAC+∠C＝90°，∵∠N＝∠C，∴∠BAN＝∠DAC，∵AM平分∠BAC，即∠BAM＝∠CAM，∴∠MAO＝∠MAD．【点评】此题考查了圆周角定理以及角平分线的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握圆周角定理的应用．。