二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法[1]

公式。
故特解为
定理２设算子多项式Ｆ（Ｄ）如上定义，ａ为任意
实数，则有下述结论成立
（１）当Ｆ（一口２）≠Ｏ时有
Ｚ
．
Ｆ（１９ｚ）１ ５ｍ∞２瓦Ｓ１＝ｎａ孬’
１
ｃｏｓａｘ
—Ｆ（Ｄ—２）∞眈ｚ ２瓦＝孬５
（２）当Ｆ（一口。）一０时有
丽１ ｓｉｎ∞＝ｚ丽１ ｓｉｎ口ｚ，
了２一志（８ｃｏｓ２ｘ—ｓｉｎ２ｘ）·
解法２因为Ｆ（Ｄ）＝Ｄ２＋４Ｄ＋５，Ｆ（一口２）＝５ ≠０。所以‘
一号ｚｃ。ｓ２二＋詈ｓｉｎ２ｚ．
解法２ 用算子移位原理来转而求解ｙ”＋ｙ＝ 口妇的实数部分即为所求。
因为Ｆ（Ｄ）＝Ｄ２＋１，
所以ｙ＝Ｒｅ［石｝车１邪缸］＝
Ｒｅ［ｅ№面干刍雨 ｚ］＝
Ｒｅ［ｅ撕矿Ｆ南两 ｚ］＝
Ｒｅ［ｅ№（一百１Ｊ一·４９了 ｉＤ）ｚ］＝
ｚ一号ｉ）］＝ Ｒｅ［（ｃ。ｓ２ｚ＋ｉｓｉｎ２ｚ）（一了１ 一了１ ｚｃ。ｓ２ｚ＋吾ｓｉｎ２ｚ．
ｚＦ（Ｄ’Ｆ志万ｚ，（ｚ）＋Ｆ７（Ｄ’Ｆ矗万口（ｚ）一
万方数据
第４期
李绍刚等：二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法
３３３
Ｆ（Ｄ）Ｆ－－高Ｄ）Ｆ’（Ｄ）志口（ｚ）＝
ｚ口（ｚ）＝ｋ—ｊ丽１ Ｆ，（Ｄ）志口（ｎ
例５ ｙ”－５ｙ’＋６ｙ－－－－－ｘｅ缸
解 因为Ｆ（Ｄ）＝Ｄ２－－５Ｄ＋６，所以
ｙ ２ ．Ｄ．２．．— ．．．．５．．Ｄ！二＋．．６一 删缸＝
Ｙ ２ ａｃｏｓ２ｘ＋ｂｓｉｎ２ｘ， 于是有
Ｙ７＝一２ａｓｉｎ２ｘ＋２ｂｃｏｓ２ｘ， ｙ”＝一４ａｃｏｓ２ｘ一４ｂｓｉｎ２ｘ．
（１）Ｆ（－－－南Ｐｍ（ｚ）一Ｑｍ（Ｄ）Ｐ＊Ｑ）；
（２）志册（ｚ）＝ｋ一志· Ｆ７（Ｄ）］志口（ｎ
其中Ｐ。（ｚ）＝Ｑ。（ｚ）表示ｚ的ｍ次多项式。 证明
（１）因为１一Ｆ（Ｄ）Ｑ。（Ｄ）＋尺。（Ｄ），其中Ｒ。（Ｄ）
瓦１历ｅｋ．ｖ＝万－Ｆ （Ｄ）。 （Ｄ ｈ
产 。 ＝
（由逆算子移位原理：此时口（ｚ）＝１）
产击丽再１丽１＝产丙Ｄ蒜＝ ‘
‘￡）４口（Ｄ＋志）１
”口（七）
曼竺￡一，． 生
ｍ！口（五）一。Ｆ‘。’（五）‘
例１ ｙ”＋２ｙ’一３ｙ＝Ｐ２。
解法１因为特征方程为
ｒ２＋２ｒ一３＝０，ｒ１＝１，ｒ２＝一３，
由于２不是特征方程的根，故可设特解为ｙ＝ｂｅ扛，代 入原方程可得：
最后考虑幂函数以及幂函数与其他函数乘积的类型， 有如下的特解公式。
定理３设算子多项式Ｆ（Ｄ）如上定义，ｈ为任意 实数，口（ｚ）为二阶可导函数，则
ｅｉ“Ｊ－，Ｆ（Ｄｚ）
Ｉｍ［五Ｆ｝孑ｅｌａｘ］＝Ｉｍ［万｛历万｛五ｅ泌］＝
Ｉｒａ［击２：∥－－ｑ＝Ｉｍ［羞－ｂｌＪ＝
Ｉｍ［篆］＝Ｉｍ［１商ｎ口ｚ一麦钕。ｓ口ｚ］一
Ｆ赤［志厂（ｚ）］．Ｆ ２（Ｄ）Ｌ ｌ（Ｄ）。”，Ｊ‘
２特解公式
利用上述性质，可以得到下面的特解公式。 首先考虑厂（ｚ）是指数函数的情形，可得到如下 特解公式。 定理１ 设算子多项式Ｆ（Ｄ）如上定义，ｋ为任意 实数，移（ｚ）为二阶可导函数，则有下述结论成立。 （１）逆算子移位原理：
所以６＝÷，
故特解为ｙ＝｛￡缸．
解法２因为 Ｆ（Ｄ）＝Ｄ２＋２Ｄ一－３，Ｆ（２）一５：／：Ｏ，
所以ｙ＝Ｆ矗万ｅ缸＝Ｆｂｅ２ｘ一詈已ｚｆ．
例２ Ｙ”－－２ｙ’＋ｙ＝矿 解法１因为特征方程为
，．２—２ｒ＋１＝０，ｒｌ＝，‘２＝１， 由于１为特征方程的二重根，故可设特解为ｙ＝ｂｘ２ｅ。， 因为Ｙ７＝２ｂｘｅ２＋ｂｘ２矿，Ｙ”＝２ｂｅ‘＋４ｂｘｅ。＋ｂｘ２，， 于是代入原方程比较两边系数可得：
ｙ ２志厂（ｚ），
收稿日期，２００８．０４．１１ 作者简介。李绍刚（１９７８－－），男，河南漯河人，硬士，讲师，目前主要研究方向为最优化理论与算法．
万方数据
第４期
其中，称Ｆ南为逆算子·
李绍刚等：二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法
３３１
ｊ面１ Ｐ‰（ｚ）＝产赤口（ｚ）；
１算子多项式
（２）若Ｆ（五）≠ｏ，则有Ｆｂ产＝志Ｉ
ＬＩ Ｓｈａｏ－ｇａｎｇ·ＸＵ Ａｎ—ｎｏｎｇ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ．Ｇｕｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｏｕｉｌｉｎ ５４１００４·Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ａｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａ－ ｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ．Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ａｎｄ ａｉｍｉｎｇ ａｔ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｉｎｈｏｍｏｇｅ－ ｎｅｏｕｓ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒｍｕｌａ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｉｔｅｍ ｈａｓ ｓｅｖｅｒａｌ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｕｃｈ ａｓ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ，ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｙ·ｐｏｗｅｒ，ｍｉｘｔｕｒｅ． Ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｈａｄ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，ｖａｌｉｄｉｔｙ ａｎｄ ｃｏｎｃｉｓｅｎｅｓｓ ｉｎ ｓｏｌｖｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ Ｉ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ｝ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ；ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ
２ｂｅ。＝矿，
所以６＝÷，故特解为
Ｙ＝寺ｚ２严．
解法２ 因为Ｆ（Ｄ）＝Ｄ２—２Ｄ＋１，１为Ｆ（１）＝Ｏ 的二重根，此时研＝２，所以
万方数据
３３２
桂林电子科技大学学报
２００８年８月
Ｙ２≯面ｃ茜耐。专≯矿·
其次考虑，（ｚ）是三角函数的情形，可得到如下特解
代入方程比较两端系数司得
口口＝２一一矗磊，一６＝２丽丽１，，
５６Ｐ缸＝Ｐ缸，
引理３ｃ７３ 设算子多项式Ｆ（Ｄ）如上定义，口，ｐ∈ Ｒ，厂ｏ），ｇ（ｚ）为可微函数，则有
（１）Ｆ－－－南）Ｆ（Ｄ）ｆ（ｘ）一厂（ｚ）；
（２）志［口厂（ｚ）＋触（ｚ）］＝
吓南厂（ｚ）＋ｐ Ｆ－－高Ｄ）ｇ（ｘ）；
（３）设Ｆ（Ｄ）一Ｆ。（Ｄ）Ｆ２（Ｄ），
则有志，（ｚ）＝砾１两Ｌ琢１历厂（ｚ）］＝
１
一瓦观０８盯’
Ｔ’
１
．
１．
１
√ｋ ｚ万ｉｉｉ五万ｓｌｎ口ｚ２ｚ云石５１ｎ口ｚ一一五ｚｃ０８口ｚ’
故币１万ｓｉｎ口ｚ—ｚ丽１ ｓｉｎ纰
类似可证第２个等式。 （３）利用（１）（２）和复数的相关性质易证。 例３ ｙ”＋４ｙ’＋Ｓｙ＝ｓｉｎ２ｘ 解法１因为特征方程为ｒ２＋４ｒ＋５－－－－－０，而２ｉ不 是特征方程的根，故可设特解为
摘要：微分算子法是求解常系数非齐次线性微分方程特解的有效方法，基于算子多项式的理论，针对二阶常系数
线性微分方程，论文给出了非线性项为指数函数、三角函数、幂函数及其混合函数的微分算子特解公式，实例表明
特解公式在解题中具有可应用性、有效性和简捷性．
关键词：线性微分方程，常系数；微分算子Ｉ特解
中图分类号：０１７５．１
１．１算子多项式的性质
引理１［６】 设算子多项式Ｆ（Ｄ）如上定义，，（ｚ），
ｇ（ｚ）为可微函数，则有
，
（１）Ｆ（Ｄ）［口厂（ｚ）＋卢ｇ（ｚ）］＝口Ｆ（Ｄ）厂（ｚ）＋
ｆｌＦ（Ｄ）ｇ（ｘ）；
（２）设Ｆ（Ｄ）＝Ｆｌ（Ｄ）Ｆ２（Ｄ），
则有Ｆｌ（Ｄ）［Ｆ２（Ｄ），（ｚ）］一Ｆ２（Ｄ）［Ｆｌ（Ｄ），（ｚ）］；
（３）设Ｆ（Ｄ）－－－－－Ｆｌ（Ｄ）＋Ｆ２（Ｄ），
第２８卷第４期 ２００８年Ｂ月
桂林电子科技大学学报
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Ｖ０１．２８。Ｎｏ，４ Ａｕｇ．２００８
二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法
李绍刚，徐安农
（桂林电子科技大学数学与计－ｇ科学学院，广西桂林５４１００４）
例４ ｙ”－Ｉ－ｙ＝ｃｏｓｘ 解因为Ｆ（Ｄ）＝Ｄ２＋１，Ｆ（－－ａ２）＝一１＋１＝０，
所以ｙ—ｚ南ｃ。ｓｚ＝ｚ去ｃ。ｓｚ＝丢矧船．
证明（１）由引理２易证，这里从略。
（２）因为Ｆ（－－ａ２）＝Ｏ，不妨设Ｆ（Ｄ２）－－－－Ｄ２ ＋ａ２，则有
——１——ｓｓｌｉｎｎ口口ｚｚ＝２ｉ－１ｍｒｍＬＬ丽丽ｉ 。Ｊ ２
１．３逆算子多项式的性质
（３）若Ｆ（量）＝ｏ，不妨设五为Ｆ（正）＝ｏ的ｍ重根 （ｍ＝１，２），则有
瓦１历ｆｉｘ．＝矿万‰产＝ｚ１茄％，
其中，Ｆ佃’（Ｄ）表示对Ｄ求所阶导数。 证明（１）（２）由引理１易证，下面只证（３），依题
意可令Ｆ（ｚ）一（ｚ一量）“口（ｚ），其中Ｏ（ｋ）≠ｏ，则有Ｆ佃’ （愚）＝小Ｉ口（五），故可得
微分方程在生物学、自动控制、电子技术等科学 技术领域有着广泛的应用，常系数线性微分方程是工 科数学中微分方程部分的重点内容，大多数教师和学 生在求解常系数非齐次线性微分方程的特解时会遇 到一定的困难，这是因为高数教材中采用待定系数法 求其特解，不仅要根据函数的不同情况求其特解，而 且计算过程中需要进行求导运算和求解线性方程组。 因此，微分算子法成为求解不同类型的常系数非齐次 线性微分方程特解的有效方法［１。５】，基于上述结果，文 章针对厂（ｚ）的不同情况，给出了微分算子法求解二 阶常系数菲齐次线性微分方程的特解公式，具有记忆 方便，计算简单的特点。