考研数学 大数定律和中心极限定理题型解析
考研数学：大数定律和中心极限定理题型解析
了帮助这些考生能顺利通过考试，老师针对历考研数学的题型特点，进行深入解剖，分析提炼出各种题型及方法，供考生们参考。
下面主要分析概率统计部分中的大数定律和中心极限定理的题型及解题方法。
随着考研日期的日趋临近，莘莘学子们正忙碌而紧张地进行着各考试科目的最后总复习，在各门考试科目中，数学作为一门公共科目，常常令一些考生感到头疼、没有把握，这一方面是因为数学本身的逻辑性、连贯性很强、公式多、计算量大，要学好它有一定难度，另一方面是因为某些考生以前对数学的重视程度不够，基础知识学得不够扎实，所以面对即将到来的大考信心不足。
为了帮助这些考生能顺利通过考试，老师针对历考研数学的题型特点，进行深入解剖，分析提炼出各种题型及方法，供考生们参考。
下面主要分析概率统计部分中的大数定律和中心极限定理的题型及解题方法。
题型：概率统计中的大数定律和中心极限定理的题型及解题方法
概率统计中的大数定律和中心极限定理的题型，在考研数学(一)和(三)的历考试中出现的频率虽然不高，但仍在考试大纲范围之内，考试中仍有可能出现这种题型，因此，考生们对这种题型也应该有所了解，对基本题的解题方法应该掌握。
第五章_大数定律和中心极限定理 例题与解析
V 20 5 100 / 12 20
105 20 5 100 / 12 20
V 100 V 100 P 0 . 39 1 P 0 . 39 12 ) 20 12 ) 20 ( 10 ( 10
1 ( 0 . 39 ) 1 0 . 6517 0 . 3483
lim F n ( x ) F ( x )
W 则称{ F n ( x )} 弱收敛于F(x)，记为 Fn ( x) F ( x)。 L { 称 }依分布收敛于，记为 。
n
n
n
定理5.2 (几种收敛之间的关系) P ，则 L 。 1. 若
n
L P 2. 设为常数，则 n 当且仅当 n 。 a.s. P n ，则 n 。 3. 若
设随机变量 1， 2， ， n 相互独立且服从同一分布，且 具有相同的数学期望和方差：
E ( i ) ，D ( i ) ， i 1，， ， n ， 2
2
则随机变量
n
i 1
n
i
n
n
n
L N ( 0， ， 1)
即 n 的分布函数 F n ( x ) 对任何x满足
lim P (
n
n np
np (1 p )
x
x)
1 2
t
2
e
2
dt .
例2 (2002年数学四考研试题)
设随机变量 X 1， X 2， ， X n 相互独立，S n
n
X i.
i 1
则根据列维-林德贝格中心极限定理，当n充分大时，S n 近似
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式，则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解：由于 E(X + Y ) = 0 ，
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ，
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。 选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布， 方差肯定存在，故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在，因此也应排除。 故选 C 。 注：本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。
大数定律和中心极限定理习题和例题教案
i
上的均匀分布，且对每个顾客是相互独立的，试问当n 时，n次服务时
间的算术平均值
1 n
n i 1
X i以概率1收敛于何值？
解：依题意，显然有，{X n}是一个独立同分布的随机变量序列，只要存在
有限的公共数学期望，则{X n}的算术平均值依概率收敛于其公共数学期
望，由于Xi服从[5,53]上的均匀分布，所以E[ Xi ] (53 5) / 2 29,i 1, 2, , n
由此得：
P{Y
85}
85 0.5 90
1
9
0.966.
二、给定 n 和概率，求 x
补充例4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，
每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证供电充足?
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
解：用 Xn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则
Xn 服从 b(n, p) 分布，k 为Xn的实际取值。根据题意
P Xn / n p 0.05 2 0.05 n / p(1 p) 1 0.90
从中解得 0.05 n / p(1 p) 1.645
又由 p(1 p) 0.25 可解得 n 270.6 n = 271
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E[Y]=140，Var[Y]=42.
设供电量为x, 供电充足即为15Y≤x，则从
P{15Y x}
中解得 x 2252.
x
/
15
0.5 42
140
0.95
三、给定 x 和概率，求 n
补充例5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节
大数定律和中心极限定理 解题方法
大数定律和中心极限定理解题方法我说实话大数定律和中心极限定理解题方法这事，我一开始也是瞎摸索。
先说大数定律吧，这玩意儿刚接触的时候，那真把我整懵了。
我试过好多方法，像是硬背公式，但是背完了公式一到做题就傻眼了，根本不知道怎么用。
后来我就想啊，大数定律不就是说样本量足够大的时候，样本均值趋近于总体均值嘛。
那解题的时候，我就就找那些关于样本均值和总体均值关系的条件。
比如说有一道题是给了好些个样本的数据，然后问随着样本数不断增加会怎么样。
我当时就想着把那些数据按照求均值的方法先处理。
就好比你数一堆苹果，先把那些小堆的苹果数平均一下，大数定律就是说这种平均最后会趋近于真正的总体平均。
我犯的错就是一开始死盯着那些数据看，没往均值那方面想。
再说说中心极限定理。
这个更头疼，啥正态分布啥的绕得人头晕。
我一开始根本就没理解定理的本质，就盲目地套公式。
后来我就一点一点地去琢磨这个定理的含义。
中心极限定理就是不管总体是什么分布，只要样本量足够大，样本均值就近似正态分布。
我在解题的时候呢，碰到那种给了好像不是正态分布总体的数据，然后叫求样本均值的分布情况的题，我就想到中心极限定理。
我举个例子啊，就像一个筐子里装了各种奇奇怪怪形状的小玩意，你把手伸进去每次拿几个出来，拿的次数多了，你手上这些小玩意的平均重量就会近似一个正态分布的情况。
我之前容易犯的错就是忘记看样本量是不是够大，直接就想用定理。
我的心得就是啊，不要光看题面，一定要清楚大数定律和中心极限定理在说啥。
先理解概念才能在解题的时候找到思路。
而且每次做完题，要回头看看自己哪里想的不对。
还有啊，如果实在搞不明白一个题，就去想那些最基本的概念。
就像你在迷宫里找不到路了，就回到最初的起点重新出发是一个道理。
不确定的时候可以多举些简单的例子，像刚才说数苹果啦数小玩意啦那种，把抽象的定理具体化。
可能我说得也不是那么全面，但是按照这个思路来做这些题，起码有个方向了。
其实我现在也还在摸索一些更巧妙的方法，说不定以后会有更好的办法来做这些题。
第5-9章 习题详解
⎧1 n ⎫ 当 n → ∞ 时, DX → 0 ,所以有 lim P ⎨ ∑ X ik − EX 1k < ε ⎬ = 1 ,即 n →∞ ⎩ n i =1 ⎭
1 n k P X i ⎯⎯ → E ( X 1k ) ∑ n i =1
成立. 3．分别用切贝雪夫不等式与德莫弗-拉普拉斯定理确定：当掷一枚硬币时， 需要掷多少次才能保证出现正面的概率在 0.4 和 0.6 之间的概率不少于 0.9？
(1)由切比雪夫不等式:
n DX ⎧ ⎫ P ⎨0.4n < ∑ X i < 0.6n ⎬ = P X − 0.5 < 0.1 ≥ 1 − 2 = 0.9 0.1 i =1 ⎩ ⎭
{
}
⇒
0.25 = 0.1 ⇒ n = 250 n
(2)由德莫弗-拉普拉斯定理
n ⎧ ⎫ P ⎨0.4n < ∑ X i < 0.6n ⎬ = P X − 0.5 < 0.1 i =1 ⎩ ⎭
由此可以看出假定治愈率为 80%是不可靠的. 6．一公寓有 200 户住户，一户住户拥有汽车辆数 X 的分布律为
X
pk
0 0.1
1 0.6
2 0.3
问需要多少车位，才能使每辆汽车都具有一个车位的概率至少为 0.95？ 解： 假设 X i 表示第 i 户人家拥有的汽车数， 则 EX i = 0 × 0.1 + 1× 0.6 + 2 × 0.3 = 1.2 ,
⎛ 15 ⎞ (1) P { X > 15} = 1 − P {−15 < X < 15} ≈ 2 − 2Φ ⎜ ⎟ = 2(1 − 0.9099) = 0.1802 ⎝ 25 ⎠
(2)假设最多可有 n 个数相加使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90:
大数定律和中心极限定理_考研数学真题王——考点大全+16年真题详解（数学一）_[共3页]
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Chapter
第 章 大数定律和中心极限定理
本
章考
题在
历
年概
率论
与
数理
统计
考
试中
出现
的
概率
约为
$&9" $只
在
年
#$$!
考
过
一
道
关
于
切
比
雪
夫 不 等 式 的 填 空 题 "但 这 并 不 意 味 着 本 章 的 其 他 知 识 点 不 会 考 $考 生 应 全 面 复 习 "防 止 遗 漏 $
!!%一'列维 4 林德伯格定理 !!%二'棣莫弗 4 拉普拉斯定理
重要程度 """ " " " 重要程度 " " " 重要程度 " "
一!基本概念和切比雪夫不等式
%一 '切 比 雪 夫 不 等 式
定义
!
设随机变量
4
的数
学期
望
与方
差存
在
"则
对
任意
实数
(
$"下 面
的不
等
式成
立#
K%A4
4+
(&I
=$4 $
%三 '以 概 率 收 敛
定 义 ! 设 4!"4#"/"4+"/ 为一列随机变量"若存在随机变量 4"使得对任意($"有'()K%A4+ :
+$ -
考研数学一(大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念)历年
考研数学一（大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2002年] 设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，Sn=X1+X2+…+Xn，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，X2，…，Xn( )．A．有相同的数学期望B．有相同的方差C．服从同一指数分布D．服从同一离散型分布正确答案：C解析：列维一林德伯格中心极限定理成立的条件之一是X1，X2， (X)具有相同的、有限的数学期望和非零方差，而选项A、B不能保证同分布．可排除．而选项D虽然服从同一离散型分布，但不能保证E(Xi)与D(Xi)均存在，也应排除．仅C入选．知识模块：大数定律和中心极限定理2．[2005年] 设X1，X2，…，Xn是独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为λ(λ＞1)的指数分布．记ф(x)为标准正态分布函数，则( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：由于随机变量序列X1，X2，…，Xn独立同服从参数为λ的指数分布，有E(Xi)=1／λ，D(Xi)=1／λ2(i=1，2，…，n)，由列维一林德伯格中心极限定理知，当n→∞时，随机变量的极限分布为标准正态分布，即=P(Un≤x)=ф(x)．仅C入选．知识模块：大数定律和中心极限定理3．设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则( )．A．X+Y服从正态分布B．X2+Y2服从χ2分布C．X2和Y2都服从χ2分布D．X2／Y2服从F分布正确答案：C解析：因X～N(0，1)，Y～N(0，1)，故X2～χ2(1)，Y2～χ2(1)．仅C入选．知识模块：数理统计的基本概念4．[2017年] 设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记，则下列结论不正确的是( )．A．(Xi一μ)2服从χ2分布B．2(Xn一X1)2服从χ2分布C．服从χ2分布D．n(—μ)2服从χ2分布正确答案：B解析：若总体X～N(μ，σ2)，则因为总体X～N(μ，1)，所以再由得，从而综上所述，不正确的是B．仅B入选．知识模块：数理统计的基本概念5．[2003年] 设随机变量X～t(n)(n＞1)，Y=1／X2，则( )．A．Y～χ2(n)B．Y～χ2(n一1)C．Y～F(n，1)D．Y～F(1，n)正确答案：C解析：因X～t(n)(n＞1)，故存在随机变量U～N(0，1)，V～χ2(n)，且U与V独立，使即因V～χ2(n)，U～N(0，1)，因而U2～χ2(1)，又V与U独立，得到．仅C入选．知识模块：数理统计的基本概念6．[2005年] 总体X～N(0，1)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的一个简单随机样本，，S2分别为样本均值和样本方差，则( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：因X12～χ2(1)，Xi2～χ2(n一1)，且X12与相互独立，可知仅D 入选．知识模块：数理统计的基本概念7．[2013年] 设随机变量X～t(n)，Y~F(1，n)，给定α(0＜α＜0．5)，常数c满足P(X＞c)=α，则P(Y＞c2)=( )．A．αB．1一αC．2αD．1—2α正确答案：C解析：因X～t(n)，故X2～F(1，n)，因而Y=X2．因t分布的概率密度函数为偶函数，所以给定α(0＜α＜0．5)，存在c＞0使P(X＞c)=α时，必有P(X＞c)=P(X＜一c)=α，则P(Y＞c2)=P(X2＞c2)=P(X＞c)+P(X＜一c)=2P(X＞c)=2α．仅C入选．知识模块：数理统计的基本概念填空题8．[2001年] 设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式估计P(｜X—E(X)｜≥2)≤______．正确答案：解析：由切比雪夫不等式即得知识模块：大数定律和中心极限定理9．[2003年] 设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n→∞时，Yn=依概率收敛于______．正确答案：1/2解析：利用辛钦大数定律求之．由于X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机变量样本，X1，X2，…，Xn相互独立，且都服从参数为2的指数分布．因而知X12，X22，…，Xn2也相互独立，且同分布．又X服从参数为2的指数分布，故E(Xi)=E(X)=1／2，D(Xi)=D(X)=(1／2)2=1／4 (i=1，2，…，n)，则E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=1／4+(1／2)2=1／2 (i=1，2，…，n)．根据辛钦大数定律知，一组相互独立、同分布且数学期望存在的随机变量X12，X22，…，Xn2，其算术平均值依概率收敛于数学期望：即表示依概率收敛于)，亦即依概率收敛于1／2．知识模块：大数定律和中心极限定理10．设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，X=a(X1一2X2)2+6(3X3-4X4)2，则当a=______，b=______时，统计量X服从χ2分布，自由度为______．正确答案：a=1／20，b=1／100，χ2解析：因X1，X2，X3，X4为正态总体的简单随机样本，故X1，X2，X3，X4相互独立，且X1-2X2与3X3-4X4都服从正态分布：X1—2X2～N(0.5×22)=N(0，20)，3X3—4X4～N(0，100)，因独立，由题目知，即所以a=1／20，b=1／100，且X服从自由度为2的χ2分布．知识模块：数理统计的基本概念11．设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0，32)，而X1，X2，…，X9和Y1，Y2，…，Y9分别为来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量服从______分布，参数为______．正确答案：t，9解析：将U的分子分母同除以9，则分子为=(X1+X2+…+X9)／9～N(0，9／9)=N(0，1)．或由X1，X2，…，X9相互独立且Xi～N(0，32)知，X1+X2+…+X9～N(0，9×32)=N(0，92)，故(X1+X2+…+X9)／9～N(0，1)．而分母为又(Y1／3)2+(Y2／3)2+…+(Y9／3)2～χ2(9)．这是因为Yi／3～N(0，1)，且Y1，Y2，…，Y9相互独立；又由X，Y相互独立知，(X1+X2+…+X9)／9与(Y1／3)2+(Y2／3)2+…+(Y9／3)2相互独立．于是由t分布的典型模式知，即U服从t分布，参数为9．知识模块：数理统计的基本概念解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
大数定律和中心极限定理例题与解析
在大量随机选取的人群中测量身高, 这些身高的平均值将接近正 态分布, 这也是中心极限定理的一个应用实例。
中心极限定理的应用
概率论与统计学
中心极限定理是概率论和统计学中的基本原理 之一, 用于研究随机变量的分布和统计推断。
金融领域
中心极限定理在金融领域中也有广泛应用, 例如在资 产定价、风险管理和投资组合优化等方面。
例题一解析
要点一
题目
一个班级有30名学生, 每个学生随机选择一个1-100之间的整 数。求这30个随机数的平均数大于50的概率。
要点二
解析
首先, 根据大数定律, 当试验次数足够多时, 随机数的算术平 均值趋近于期望值。在本题中, 每个随机数的期望值是50, 因 此30个随机数的平均数期望值是50。其次, 根据中心极限定 理, 当试验次数足够多时, 随机变量的算术平均值的分布趋近 于正态分布。因此, 这30个随机数的平均数大于50的概率可 以通过正态分布的概率密度函数计算得出。
大数定律的实例
抛硬币实验
如果我们抛硬币1000次，虽然单次抛 硬币的结果是随机的，但当我们计算 正面朝上的频率时，会发现这个频Βιβλιοθήκη 会逐渐趋近于50%。生日悖论
在一个有30人的房间里，存在一定概 率两个人生日相同，这个概率随着人 数的增加而趋近于100%。
大数定律的应用
概率论与统计学
大数定律是概率论和统计学中的 基本原理, 用于估计概率和预测未 来的随机事件。
例题三解析
题目
一个彩票公司发行了100万张彩票, 每张彩票都有一个独立 的随机数生成器生成的一个随机数。求至少有1张彩票的随 机数小于1的概率。
解析
首先, 根据大数定律, 当试验次数足够多时, 随机数的频率趋 近于概率。在本题中, 每张彩票的随机数小于1的概率是 1/100（即每张彩票生成的随机数小于1的概率是固定的）。 其次, 根据中心极限定理, 当试验次数足够多时, 随机变量的 独立同分布的随机变量和的分布趋近于正态分布。因此, 这 100万张彩票中至少有1张彩票的随机数小于1的概率可以 通过正态分布的概率密度函数计算得出。
大数定律及中心极限定理习题及答案
第 5 章 大数定律与中心极限定理一、填空题：1.设随机变量μξ=)(E ，方差2σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 91 . 2.设nξξξ,,, 21是n 个相互独立同分布的随机变量，),,,(,)(,)(n i D E i i 218===ξμξ对于∑==ni in1ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 228εεξεμξn D P =≤≥-)(}|{| ，并估计≥<-}|{|4μξP n211-. 3. 设随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1i EX =,1(1,2,,9)i DX i ==, 令91i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式直接可得{}≥<-ε9X P 291ε-. 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有22{||}P X σμεε-≥≤, 或者22{||}1.P X σμεε-<≥-由于随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1,1(1,2,9),i i EX DX i === 所以999111()()19,i i i i i E X E X E X μ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑9992111()()19.i i i i i D X D X D X σ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑4. 设随机变量X 满足：2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 116≤. 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则对任意的0ε>, 有22{||}.P X σμεε-≥≤由此得 221{||4}.(4)16P X σμσσ-≥≤=5、设随机变量2σξμξξ==)(,)(,D E ，则≥<-}|{|σμξ2P 43.6、设n ξξξ,,, 21为相互独立的随机变量序列，且),,( 21=i i ξ服从参数为λ的泊松分布，则≤-∑=∞→}{lim x n n P ni in λλξ1∞--xt dt e22 .7、设n η表示n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则≈≤<}{b a P n η⎰-----)1()1(2221p np np b p np np a t dt e π.8. 设随机变量n ξ, 服从二项分布(,)B n p , 其中01,1,2,p n <<=, 那么, 对于任一实数x , 有lim {|||}n n P np x ξ→+∞-<= 0 .9. 设12,,,n X X X 为随机变量序列,a 为常数, 则{}n X 依概率收敛于a 是指{}=<->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 1 ,或{}=≥->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 0 。
考研数学三(大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数
考研数学三（大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设X1，X2，…，Xn，…相互独立，则X1，X2，…，Xn，…满足辛钦大数定律的条件是( )．A．X1，X2，…，Xn，…同分布且有相同的数学期望与方差B．X1，X2，…，Xn，…同分布且有相同的数学期望C．X1，X2，…，Xn，…为同分布的离散型随机变量D．X1，X2，…，Xn，…为同分布的连续型随机变量正确答案：B解析：根据辛钦大数定律的条件，选B．知识模块：大数定律和中心极限定理2．设(X1，X2，X3)为来自总体X的简单随机样本，则下列不是统计量的是( )．A．X1+2+X3B．kX12+(1+k)X22+X32C．X12+2X22+X32D．正确答案：B解析：因为统计量为样本的无参函数，选B．知识模块：数理统计的基本概念3．设(X1，X2，…，Xn)(n≥2)为标准正态总体X的简单随机样本，则( )．A．～N(0，1)B．nS2～χ2(n)C．D．正确答案：D解析：由X12～χ2(1)，Xi2～χ2(n-1)，得～F(1，n-1)，选D．知识模块：数理统计的基本概念4．设X～t(2)，则服从的分布为( )．A．χ2(2)B．F(1，2)C．F(2，1)D．)χ2(4)正确答案：C解析：因为X～t(2)，所以存在U～N(O，1)，V～χ2(2)，且U，V相互独立，使得X=，则，因为V～χ2(2)，U2～χ2(1)且V，U2相互独立，所以～F(2，1)，选C．知识模块：数理统计的基本概念5．设随机变量X～F(m，n)，令P{X＞Fa(m，n)}a(0＜a＜1)，若P(X＜k)=a，则k等于( )．A．Fa(m，n)B．F1-a(m，n)C．D．正确答案：B解析：根据左、右分位点的定义，选B．知识模块：数理统计的基本概念6．设X，Y都服从标准正态分布，则( )．A．X+Y服从正态分布B．X2+Y2服从χ2分布C．X2，Y2都服从χ2分布D．X2／Y2服从F分布正确答案：C解析：因为X，Y不一定相互独立，所以X+Y不一定服从正态分布，同理B，D也不对，选C．知识模块：数理统计的基本概念7．设随机变量X～F(m，m)，令p=P(X≤1)，q=P(X≥1)，则( )．A．p＜qB．p＞qC．p=qD．p，q的大小与自由度m有关正确答案：C解析：因为X～F(m，m)，所以～F(m，m)，于是q=P(X≥1)=P(≤1)，故p=q，选C．知识模块：数理统计的基本概念填空题8．设随机变量X方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{｜X-E(X)｜≥2}≤=_______．正确答案：解析：P{｜X-E(X)｜≥2}≤知识模块：大数定律和中心极限定理9．若随机变量X1，X2，…，Xn相互独立同分布于N(μ，22)，则根据切比雪夫不等式得P(｜～μ｜≥2}≤_______．正确答案：解析：因为X1，X2，…，Xn相互独立同分布于N(μ，22)，所以从而知识模块：大数定律和中心极限定理10．设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是来自总体的简单随机样本，～________，=_________.正确答案：解析：知识模块：数理统计的基本概念11．设X为总体，E(X)=μ，D(X)=σ2，X1，X2，…，Xn为来自总体的简单随机样本，S2=，则E(S2)=______．正确答案：σ2解析：由S2=，得由+μ2，得E[(n-1)S2]=E(Xi2)-=n(μ2+σ2)-=(n-1)σ2，则E(S2)=σ2．知识模块：数理统计的基本概念12．设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，X10为总体的简单样本，S2为样本方差，则D(S2)=_______.正确答案：σ4解析：因为～χ2(n-1)，所以～χ2(9)，则D(S2)，故D(S2)=σ4．知识模块：数理统计的基本概念13．设总体X～N(2，42)，从总体中取容量为16的简单随机样本，则(-2)2～_______.正确答案：χ2(1)解析：因为～N(2，1)，所以-2～N(0，1)，于是(-2)2～)χ2(1)．知识模块：数理统计的基本概念14．设随机变量X～N(1，2)，Y～N(-1，2)，Z～N(0，9)且随机变量X，Y，Z相互独立，已知a(X+Y)2+bZ2～χ2(n)，则a=_______，b=_______，n=_______．正确答案：解析：由X～N(1，2)，Y～N(-1，2)，Z～N(0，9)，得X+Y～N(0，4)且～N(0，1)，～N(0，1)，故a=，n=2．知识模块：数理统计的基本概念15．若总体X～N(0，32)，X1，X2，…，X0为来自总体样本容量为9的简单随机样本，则Y=Xi2服从_______分布，其自由度为_______．正确答案：Xi2～χ2(9)；9解析：因为Xi～N(0，32)(i=1，2，...，9)，所以～N(0，1)(i=1，2， (9)且相互独立，故Y=Xi2～χ2(9)，自由度为9．知识模块：数理统计的基本概念16．设X1，X2，X3，X4，X5为来自正态总体X～N(0，4)的简单随机样本，Y=a(XX1-2XX2)2+b(3X3-4X4)2+cX52，且Y～χ2(n)，则a=_______，b=_______，c=_______，n=_______．正确答案：解析：因为X1-2X2～N(0，20)，3X3～4X4～N(0，100)，X5～N(0，4)，所以于是(X1～2X2)2+(3X3-4X4)2+X52～χ2(3)，故，n=3．知识模块：数理统计的基本概念17．设(X1，X2，…，Xn，Xn+1，…，Xn+m)为来自总体X～N(0，σ2)的简单样本，则统计量U=服从______分布．正确答案：解析：因为X2～χ2(n)，Xi2～χ2(m)，且Xi2～χ2(n)与Xi2～χ2(m)相互独立，所以知识模块：数理统计的基本概念18．设U～N(μ，1)，V～χ2(n)，且U，V相互独立，则T=服从______分布．正确答案：T～t(n)解析：由U～N(μ，1)，得=U-μ～N(0，1)，又U，V相互独立，则=T～t(n)．知识模块：数理统计的基本概念19．设X为总体，(X1，X2，…，Xn)为来自总体X的样本，且总体的方差DX=σ2，令S02=，则E(S02)=_______．正确答案：解析：E(S02)= 知识模块：数理统计的基本概念20．设总体X的分布律为P(X=i)=(i=1，2，…，θ)，X1，X2，…，Xn为来自总体的简单随机样本，则θ的矩估计量为________(其中θ为正整数)．正确答案：解析：令E(X)=，则θ的矩估计量为知识模块：参数估计21．设总体X的分布律为X～(θ为正参数)，-1，2，-1，1，2为样本观察值，则θ的极大似然估计值为_______．正确答案：解析：L(θ)=θ2×(1-2θ)×θ2=θ4(1-2θ)，lnL(θ)=4lnθ+ln(1-2θ)，令，得参数θ的极大似然估计值为知识模块：参数估计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。