2018-2019学年浙江省湖州市高二下学期期中数学试题(解析版)
①
②
A． y f (| x |)
B． y | f (x) |
C． y f ( | x |) D． y f (| x |)
【答案】C
【解析】根据绝对值函数的翻折、对称变形，即可判断各选项对应的函数图象形式，
即可判断图②对应的解析式.
【详解】
函数 y f (x) 的图象如图①，
对于 A，将 y f (x) 的图象左侧部分去除，将右侧图象关于 y 对称，可得 y f (| x |) ，
f (2012) f (2019) 的值为（ ）
A． 5
B．2
【答案】D
C．0
D．5
【解析】根据奇函数性质及所给表达式，可知 f (x) 为周期函数，由奇函数性质及周期
性即可求解.
【详解】
函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，
所以 f (0) 0 ，且 f (x) f (x) ，
因为 f (x 4) f (x) ，
结合图②可知 A 错误；
对于 B，将 y f (x) 的图象在 x 轴以上部分不变， x 轴以下部分翻折到 x 轴上方，可
得 y | f (x) | ，结合图②可知 B 选项错误；
对于 C，将 y f (x) 的图象的右侧部分去除，将左侧图象关于 y 对称，可得
y f ( | x |) 的图象，结合图②可知 C 正确；
ln 2 3log3 6 1
61 5 ，
故答案为： 22 ； 5 .
【点睛】
本题考查了排列数与组合数公式的简单应用，对数运算及换底公式的应用，属于基础
题.
14．若
x
2 x
n
的展开式中只有第
4
项的二项式系数最大，则
n
______，展开式
中的常数项为______．
【答案】6 60
【解析】根据二项定理展开式的性质可得 n ；由二项定理展开式的通项，即可求得常
所以
，则
的函数关系示意图如下图所示：
当
x
0
时，若
f
(x)
0
，则
g
x
0
，此时
x
1, 0 ；
当
x
0
时，若
f
(x)
0
，则
g
x
0
，此时
x
1,
；
综上可知， f (x) 0 的解集为 (- 1, 0) È(1, +¥ ) ，
故选：D. 【点睛】
本题考查了构造函数法解不等式，导数与函数单调性的关系应用，奇偶性的性质应用，
对于 D，将 y f (x) 的图象左侧部分去除，将右侧图象关于 y 对称，再将整个函数图
象关于 x 轴对称，即可得 y f (| x |) ，结合图②可知 D 错误；
综上可知，图②表示函数 y f ( | x |) 的图象，
故选：C.
【点睛】
本题考查了绝对值函数翻折、对称变换，注意函数的符号位置及绝对值变换方式，属
D． (- 1, 0) È(1, +¥ )
【答案】D
【解析】根据所给不等式，构造函数 g x x f x，由导数与单调性关系可知 g x在 x 0 时单调递增，由函数奇偶性的性质可知 g x为偶函数，画出函数示意
图，即可求得 f (x) 0 成立的 x 的取值范围.
【详解】
令 g x x f x，
2018-2019 学年浙江省湖州市高二下学期期中数学试题
一、单选题
1．函数
的定义域为（ ）
A．[ ，3）∪（3，+∞） B．（-∞，3）∪（3，+∞）
C．[ ，+∞） D．（3，+∞） 【答案】A 【解析】根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】
因为函数
，
解得 且 ；
函数 【点睛】
f ( 3 ) 0 f () 1
因为 2
，所以不是增函数；
因为 x 0 时 f (x) x2 1 为增函数，所以不是周期函数；
因为当 x 0 时 f (x) cos x [1,1]， x 0 时 f (x) x2 1 (1, ) ，所以值域为
[1, ) .综上可知选 D.
【点睛】
本题主要考查分段函数的性质，研究分段函数的性质时不要只关注某一段函数，要从
数形结合法解不等式的应用，属于中档题.
10．已知二次函数 f (x) x2 bx c(b, c R) ，若 f (x) 在区间 (2,3) 上有两个零点，
则 2b c 的取值范围为（ ）
A． (4, 3)
B． (4,3)
C．[ 4,3)
D． ( 4, 3]
【答案】A
【解析】根据题意，设出两个零点后，代入一元二次方程的交点式，结合零点的范围
【点睛】 本题考查了集合交集、并集与补集的定义与简单运算，属于基础题.
12．已知复数 Z (1 i)(1 2i) ，其中 i 是虚数单位，则 Z 的模是______，Z 的共轭复
数为______．
【答案】 10 ； 1 3i .
【解析】根据复数的乘法运算化简，结合复数模的定义即可求得 Z 的模；由共轭复数 定义可得其共轭复数.
的定义域为
, 故选 A．
定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求
解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已
知函数 的定义域为 ，则函数
的定义域由不等式
1 iz 2i
2．设复数 z 满足
，则 z= （ ）
A．-1+i
故选：D. 【点睛】
本题考查了抽象函数奇偶性及周期性的综合应用，属于基础题.
7．若 ax2 1 5 的展开式中 x4 的系数为 40 ，则 a 的值为（
A． 1
B．2
C． 2
） D．±2
【答案】D
【解析】由二项定理展开式的同学，根据 x4 的系数即可求得 a 的值.
【详解】
根据二项定理展开式的通项可知
A．4
B．6
C．12
D．24
【答案】C
【解析】利用捆绑法将甲乙二人看成一个整体，再与另外两人进行全排列即可求解.
【详解】
将甲乙二人捆绑后看成一个整体，再与丙、丁一起进行全排列，
则有 A22 A33 2 3 2 1 12 种方法，
故选：C.
【点睛】
本题考查了排列问题的简单应用，相邻问题的解决方法，属于基础题.
B．-1-i
C．1+i
【答案】A
1 iz 2i
【解析】
【详解】
求出. D．1-i
由
1
i
z
2i
得
z
2i 1i
=
i(1
i)
1
i
，故选
A.
【考点定位】
本小题主要考查复数的四则运算,复数在高考中主要以小题形式出现，属容易题，主要
考查复数的概念、几何意义与四则运算是基础内容.
3．甲、乙、丙、丁四人站成一排，则甲、乙相邻的排法种数是（ ）
整体上进行把握.
5．曲线 y xex1 在点（1,1）处切线的斜率等于（
）.
A． 2e
B． e
C．2
D．1
【答案】C
【解析】试题分析：由 y xex1 ，得
为 ，故选 C.
，故
，故切线的斜率
【考点】导数的集合意义.
6．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数， f (1) 5 且 f (x 4) f (x) ，则
【详解】
复数 Z (1 i)(1 2i) ，
由复数的乘法运算可得 Z 1 2 3i 1 3i ，
Z 12 32 10
所以
，
由共轭复数定义可知 Z 1 3i ，
故答案为： 10 ； 1 3i .
【点睛】 本题考查了复数乘法运算的化简运算，复数模的定义及共轭复数定义，属于基础题.
13．计算： C83 A52 ______， 31log3 2 log2 e ln 2 ______． 【答案】 36 ； 5 .
Tr1 C5r ax2 5r 1r C5r a5r 1r x102r ，
令10 2r 4 ，解得 r 3， 所以 x4 的系数为 C53a2 40 ， 解得 a 2 ，
故选：D. 【点睛】 本题考查了二项定理展开式的应用，由指定项的系数求参数，属于基础题.
8．函数 y f (x) 的图象如图①所示，则图②对应的解析式可以表示为（ ）
4．已知函数
f
(x)
x2 1, x 0
cos
x,
x
0
，则下列结论正确的是（
）
A． f (x) 是偶函数
B． f (x) 是增函数
C． f (x) 是周期函数 【答案】D
D． f (x) 的值域为 -1，+
【解析】根据解析式的特点，逐个选项进行验证求解.
【详解】
因为 x 0 时 f (x) x2 1 ， x 0 时 f (x) cos x ， f (x) f (x) 所以不是偶函数；
令 x 4 替代上式 x
f (x 8) f (x 4) f x
代入可得
，
所以函数 f (x) 是以 8 为周期的周期函数，
f (2012) f 2518 4 f 4 f 0 0
则
，
而 f (1) 5 ，
所以
f
(2019)
f
2528 3
f
3
f
1
f
1
5
，
所以 f (2012) f (2019) 0 5 5 ，
于中档题.
2018-2019学年浙江省湖州市长兴县、安吉县、德清县高二(上)期中数学试卷(精品解析版)
2018-2019学年浙江省湖州市长兴县、安吉县、德清县高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆心为（1，﹣1）且过原点的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=1B．（x+1）2+（y+1）2=1C．（x﹣1）2+（y+1）2=2D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=22．命题“如果x≥a2+b2，那么x≥2ab”的逆否命题是（）A．如果x＜a2+b2，那么x＜2abB．如果x≥2ab，那么x≥a2+b2C．如果x＜2ab，那么x＜a2+b2D．如果x≥a2+b2，那么x＜2ab3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．将半径为1，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．5．方程（2x+3y﹣1）（﹣1）=0表示的曲线是（）A．两条直线B．两条射线C．两条线段D．一条直线和一条射线6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为正方形ABCD的两条对角线的交点，点F是棱AB的中点，则异面直线AC1与EF所成角的正切值为（）A．﹣B．﹣C．D．7．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0＜λ＜2），则点G到平面D1EF的距离为（）A．B．C．D．8．已知点F1，F2分别是双曲线，的左、右焦点，O为坐标原点，点M在双曲线C的右支上|F1F2|=2|OM|，△MF1F2的面积为4a2，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．9．椭圆C：=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．[]B．[]C．[]D．[]10．如图，在△ABC中，∠C=90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，AP=AB=2，∠EAF=α，当α变化时，则三棱锥P﹣AEF体积的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知两直线l1：（m﹣1）x﹣6y﹣2=0，l2：mx+y+1=0，若l1⊥l2，则m=；若l1∥l2，则m=．12．双曲线的一条渐近线为x﹣2y=0，则m=，该双曲线的焦距是．13．正三棱锥P﹣ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则二面角P﹣AB﹣C的正切值是，点A到侧面PBC的距离是．14．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的侧视图面积为cm2，此几何体的体积为cm3．15．过直线上点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则使∠AOB最小的点P坐标是．16．椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为．17．在三棱锥ABCD中，已知AD⊥BC，AD=6，BC=2，AB+BD=AC+CD=7，则三棱锥ABCD 体积的最大值是．三、解答题：本大题共5小题．共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知命题p：实数m满足：方程表示双曲线；命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若命题q为真命题，求m的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，D为AC中点．（Ⅰ）求证：直线AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1．20．已知在平面直角坐标系xOy中，圆心在直线l：y=2x﹣4上的圆C的半径为1．（Ⅰ）若圆C与x轴交于A，B两点，且∠ACB=120°，求圆C的方程；（Ⅱ）是否存在直线m，使其被圆C的截得的弦长总为，若存在，求出直线m方程．若不存在，请说明理由．21．如图，在几何体ABCDE中，△AED为等边三角形，AB∥CD，∠ABC=90°，∠BAD=60°，AD=AB=2，BE=3．（Ⅰ）求证：AD⊥BE（Ⅱ）求直线BE与平面AED所成的角的大小．22．已知椭圆过点，且它的离心率．直线l：y=kx+t 与椭圆C1交于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当时，求证：M、N两点的横坐标的平方和为定值；（Ⅲ）若直线l与圆相切，椭圆上一点P满足，求实数m的取值范围．2018-2019学年浙江省湖州市长兴县、安吉县、德清县高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆心为（1，﹣1）且过原点的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=1B．（x+1）2+（y+1）2=1C．（x﹣1）2+（y+1）2=2D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2【分析】已知圆心，先求出圆的半径，可得圆的方程．【解答】解：圆心为（1，﹣1）且过原点的圆的半径为=，故圆心为（1，﹣1）且过原点的圆的圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=2，故选：C．【点评】本题主要考查求圆的标准方程，关键是确定半径，属于基础题．2．命题“如果x≥a2+b2，那么x≥2ab”的逆否命题是（）A．如果x＜a2+b2，那么x＜2abB．如果x≥2ab，那么x≥a2+b2C．如果x＜2ab，那么x＜a2+b2D．如果x≥a2+b2，那么x＜2ab【分析】根据命题的逆否命题的概念，即是逆命题的否命题，也是逆命题的否命题；写出逆命题，再求其否命题即可．【解答】解：命题的逆命题是：如果x≥2ab，那么x≥a2+b2∴逆否命题是：如果x＜2ab，那么x＜a2+b2，故选：C．【点评】本题主要考查四种命题间的关系．如图3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．4．将半径为1，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．【分析】求出圆锥的底面半径、高，即可求出圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=，∴r=，∴圆锥的高为=，∴圆锥的体积V=•π••=，故选：B．【点评】本题考查圆锥的体积，考查学生的计算能力，正确求出圆锥的底面半径、高是关键．5．方程（2x+3y﹣1）（﹣1）=0表示的曲线是（）A．两条直线B．两条射线C．两条线段D．一条直线和一条射线【分析】由已知的方程得到2x+3y﹣1=0或．然后在满足根式有意义的前提下化简．从而得到方程（2x+3y﹣1）（﹣1）=0表示的曲线．【解答】解：由（2x+3y﹣1）（﹣1）=0，得2x+3y﹣1=0或．即2x+3y﹣1=0（x≥3）为一条射线，或x=4为一条直线．∴方程（2x+3y﹣1）（﹣1）=0表示的曲线是一条直线和一条射线．故选：D．【点评】本题考查了曲线与方程，关键是对含有根式方程的化简，是中档题．6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为正方形ABCD的两条对角线的交点，点F是棱AB的中点，则异面直线AC 1与EF所成角的正切值为（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】推导出EF∥AD，从而∠DAC1是异面直线AC1与EF所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AC1与EF所成角的正切值．【解答】解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为正方形ABCD的两条对角线的交点，点F是棱AB的中点，∴EF∥AD，∴∠DAC1是异面直线AC1与EF所成角（或所成角的补角），设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为a，则DC1=，AD=a，∴tan∠DAC1===．∴异面直线AC1与EF所成角的正切值为．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．7．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0＜λ＜2），则点G到平面D1EF的距离为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点G到平面D1EF的距离．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则G（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1），=（﹣2，0，1），=（0，2，0），=（0，λ，1），设平面D1EF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，2），∴点G到平面D1EF的距离为：d===．故选：D．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．8．已知点F1，F2分别是双曲线，的左、右焦点，O为坐标原点，点M在双曲线C的右支上|F1F2|=2|OM|，△MF1F2的面积为4a2，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由直角三角形的判定定理可得△MF1F2为直角三角形，且MF1⊥MF2，运用双曲线的定义，可得|MF1|﹣|MF2|=2a，结合三角形的面积，可得双曲线的离心率．【解答】解：由|F1F2|=2|OM|，可得|OM|=c，即有△MF1F2为直角三角形，且MF1⊥MF2，∵△MF1F2的面积为4a2，∴|MF1|•|MF2|=8a2，∵|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=4c2，∴（|MF1|﹣|MF2|）2=|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1|•|MF2|，由双曲线定义可得|MF1|﹣|MF2|=2a，∴16a2=4c2﹣4a2，∴双曲线C的离心率为：故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的定义和直角三角形的性质，考查运算能力，属于中档题．9．椭圆C：=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．[]B．[]C．[]D．[]【分析】由题意求A1、A2的坐标，设出点P的坐标，代入求斜率，进而求PA1斜率的取值范围．【解答】解：由椭圆的标准方程可知，左右顶点分别为A1（﹣3，0）、A2（3，0），设点P（m，n）（m≠±3），则…①，=，=；则•=•=．将①式代入得•=．∵∈[﹣2，﹣1]，∴∈[]．故选：B．【点评】本题考查了圆锥曲线的简单性质应用，同时考查了直线的斜率公式及学生的化简能力，属于基本知识的考查．10．如图，在△ABC中，∠C=90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，AP=AB=2，∠EAF=α，当α变化时，则三棱锥P﹣AEF体积的最大值是（）A．B．C．D．【分析】等腰Rt△PAB中，算出AE=PE=BE．由线面垂直的判定与性质，证出PB⊥面AEF，，利用三角函数知识，即可得出答案．得PB⊥EF．在Rt△AEF中，算出AF、EF，可得S△AEF【解答】解：在Rt△PAB中，PA=AB=2，∴PB=2，∵AE⊥PB，∴AE=PB=，∴PE=BE=．∵PA⊥底面ABC，得PA⊥BC，AC⊥BC，PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC，可得AF⊥BC∵AF⊥PC，BC∩PC=C，∴AF⊥平面PBC∵PB⊂平面PBC，∴AF⊥PB∵AE⊥PB且AE∩AF=A，∴PB⊥面AEF，结合EF⊂平面AEF，可得PB⊥EF．∵AF⊥平面PBC，EF⊂平面PBC．∴AF⊥EF．∴Rt△AEF中，AF=cosnα，EF=sinα=AF•EF=×sinα×cosα=sin2α∴S△AEF∴当sin2α=1，即α=45°时，S有最大值为，△AEF此时，三棱锥P﹣AEF的体积的最大值为×=．故选：C．【点评】本题着重考查了线面垂直的判定与性质、解直角三角形等知识点，属于中档题．同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，是一道综合性较强的题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知两直线l1：（m﹣1）x﹣6y﹣2=0，l2：mx+y+1=0，若l1⊥l2，则m=3或﹣2；若l1∥l2，则m=．【分析】利用斜率与直线相互垂直及其平行的关系即可得出．【解答】解：由m（m﹣1）﹣6=0，解得m=3或﹣2．此时满足l1⊥l2．由m﹣1+6m=0，解得m=，经过验证满足l1∥l2．故答案为：m=3或﹣2，．【点评】本题考查了斜率与直线相互垂直及其平行的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．双曲线的一条渐近线为x﹣2y=0，则m=4，该双曲线的焦距是．【分析】利用双曲线的渐近线方程，转化求解m即可，然后求解双曲线的焦距．【解答】解：双曲线的一条渐近线为x﹣2y=0，可得=，解得m=4，所以双曲线的焦距为2c=2．故答案为：4；2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．13．正三棱锥P﹣ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则二面角P﹣AB﹣C的正切值是2，点A到侧面PBC的距离是．【分析】作PO⊥底面ABC，交面ABC于点O，连线路AO并延长并AC于点D，取AB中点E，连结PE，CE，则点O在CE上，PE⊥AB，CE⊥AB，∠PEO是二面角P﹣AB﹣C的平面角，由此能求出二面角P﹣AB﹣C的正切值；在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．【解答】解：作PO⊥底面ABC，交面ABC于点O，连线路AO并延长并AC于点D，取AB中点E，连结PE，CE，则点O在CE上，PE⊥AB，CE⊥AB，∴∠PEO是二面角P﹣AB﹣C的平面角，∵正三棱锥P﹣ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，∴PO=2，∠PBO=45°，∠POB=90°，∴BO=CO=2，EO=1，∴二面角P﹣AB﹣C的正切值tan∠PEO==2，又BD=3，PB==2，设CD=x，则BC=2x，由勾股定理得4x2﹣x2=9，解得x=，∴BC=2，∴S△ABC==3．∵PD==，∴S△PAC==．∵V P﹣ABC =V A﹣PBC，设点A到面PBC的距离为h，∴=，解得h=．∴点A到面PBC的距离为．故答案为：2，．【点评】本题考查二面角的正切值的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．14．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的侧视图面积为4cm2，此几何体的体积为8cm3．【分析】由已知中的三视图可知：该几何体是以正视图为底面的四棱锥，计算出几何体的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：几何体的侧视图是直角三角形，直角边长为4，2，面积为×4×2=4由已知中的三视图可知：该几何体是以正视图为底面的四棱锥，其底面面积S=×（2+4）×4=12，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==8，故答案为：4，8．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．15．过直线上点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则使∠AOB最小的点P坐标是．【分析】首先把∠AOB最小的问题转化为三角函数的最值问题，进一步转化为点到直线的距离最短问题，然后得解．【解答】解：法1：如图可知，cosα==，∴当OP与直线垂直时，OP最小，cosα最大，α最小，从而∠AOB最小，此时直线OP的方程为：y=x，与直线x+y﹣2=0联立，解得P点坐标为（，），法2：如图可知sinθ==，∴当OP与直线垂直时，OP最小，θ最大，进而∠APB最大，又∠APB与∠AOB互补，从而∠AOB最小．此时直线OP的方程为：y=x，与直线x+y﹣2=0联立，解得P点坐标为（，）．【点评】此题考查了角的最值向线段的最值转化的过程，应该属于容易题．16．椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为．【分析】设出椭圆与双曲线的标准方程分别为：（a＞b＞0），（a1＞0，b1＞0），利用定义可得：m+n=2a，m﹣n=2a1，解出m，n．利用余弦定理可得关于e1，e2的等式，再由基本不等式求得当e1e2取最小值．【解答】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：（a＞b＞0），（a1＞0，b 1＞0），设|PF1|=m，|PF2|=n．m＞n．则m+n=2a，m﹣n=2a1，∴m=a+a1，n=a﹣a1．cos==，化为：（a+a1）2+（a﹣a1）2﹣4c2=（a+a1）（a﹣a1）．∴a2+3a12﹣4c2=0，∴+=4，∴4≥2，则≤，即e1e2≥，当且仅当e1=，e2=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17．在三棱锥ABCD中，已知AD⊥BC，AD=6，BC=2，AB+BD=AC+CD=7，则三棱锥ABCD 体积的最大值是3．【分析】过BC作与AD垂直的平面，交AD于E，过E作BC的垂线，垂足为F，则V=S△BCE ×AD，进而可分析出当BE取最大值时，EF取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值，利用椭圆的几何意义及勾股定理，求出EF的最大值，可得答案．【解答】解：过BC作与AD垂直的平面，交AD于E，过E作BC的垂线，垂足为F，如图所示：∵BC=2，AD=6，×（AE+DE）则三棱锥D﹣ABC体积V=S△BCE=S△BCE×AD=וBC•EF×AD=2EF．故EF取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值．即BE取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值．在△ABD中，动点B到A，D两点的距离和为7，故B在以AD为焦点的椭圆上，此时a=，c=3，故BE的最大值为b==，此时EF=．故三棱锥D一ABC的体积的最大值是2EF=2×．故答案为：3．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积，其中将求棱锥体积的最大值，转化为求椭圆上动点到长轴的距离最远是解答的关键，是中档题．三、解答题：本大题共5小题．共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知命题p：实数m满足：方程表示双曲线；命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若命题q为真命题，求m的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据椭圆的定义得到关于m的不等式，解出即可；（2）关于双曲线的定义解出关于p的不等式，结合充分必要条件的定义得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）因为命题q为真命题，∴2﹣m＞m﹣1＞0，∴1＜m＜；（2）方程表示双曲线；则（m﹣3a）（m﹣4a）＜0，（a＞0），解得：3a＜m＜4a，∵p是q的充分不必要条件，∴，解得：．【点评】本题考查了充分必要条件，考查椭圆、双曲线的定义，是一道基础题．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，D为AC中点．（Ⅰ）求证：直线AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1．【分析】（1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．可得DO为△AB1C 中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D⊥平面ACC1A；【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，∴A1B∥OD．∵OD⊂平面AB1C，A1B⊄平面AB1C，∴直线AB1∥平面BC1D；（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，∵底面ABC正三角形，D是AC的中点∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；【点评】本题考查了直三棱柱的性质，求证线面平行、面面垂直，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，属于中档题．20．已知在平面直角坐标系xOy中，圆心在直线l：y=2x﹣4上的圆C的半径为1．（Ⅰ）若圆C与x轴交于A，B两点，且∠ACB=120°，求圆C的方程；（Ⅱ）是否存在直线m，使其被圆C的截得的弦长总为，若存在，求出直线m方程．若不存在，请说明理由．【分析】利用由弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可顺利求解．【解答】解：（1）设圆心C（p，2p﹣4），圆C与x轴交于A、B两点，则∠ACB=120°，且由弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可得∴圆心到x轴的距离为，∴|2p﹣4|=，∴p=或∴圆心C的坐标为（，），或（，﹣）∴圆C的方程为或．（2）∵弦长总为，半径为1，∴由弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可得圆心C到直线m的距离总为，即直线m与l平行且距离为，设直线m的方程为：2x﹣y+n=0，则=，解得n=﹣4±∴存在直线m，其方程为或．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系中的重点内容，即由弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形，并综合考查了圆的方程和直线方程的求法，属中档题．21．如图，在几何体ABCDE中，△AED为等边三角形，AB∥CD，∠ABC=90°，∠BAD=60°，AD=AB=2，BE=3．（Ⅰ）求证：AD⊥BE（Ⅱ）求直线BE与平面AED所成的角的大小．【分析】（Ⅰ）取AD中点H，连结EH，BH．证明AD⊥EH，AD⊥BH，推出AD⊥平面BEH，即可证明AD⊥BE．（Ⅱ）说明∠BEH为直线BE与平面AED所成的角，通过在△BHE中，转化求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）取AD中点H，连结EH，BH．∵△AED为等边三角形，∴AD⊥EH，又∵AD=AB=2，∠BAD=60°，∴AD⊥BH∴AD⊥平面BEH，∴AD⊥BE．………………………………（7分）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥平面BEH，∴平面ADE⊥平面BEH，且平面ADE∩平面BEH=EH，∴点B在平面ADE的投影在直线BE上∴∠BEH为直线BE与平面AED所成的角，………………………（11分）∵在等边△AED中AD=2，可得又AB=2，AH=1，∠BAH=60°可得，又BE=3．在△BHE中，，∴∠BEH=30°．…………………………………【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查计算能力以及空间想象能力．22．已知椭圆过点，且它的离心率．直线l：y=kx+t 与椭圆C1交于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当时，求证：M、N两点的横坐标的平方和为定值；（Ⅲ）若直线l与圆相切，椭圆上一点P满足，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，利用已知条件求解a，b即可得到椭圆方程．（Ⅱ）由，得，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理推出结果即可．（Ⅲ）结合直线与圆的位置关系，通过向量的关系，转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为由题知：∵过点，∴①又离心率，∴②，由①②解得a2=8，b2=6．∴椭圆标准方程为…………………………………（Ⅱ）由，得，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴…………………………………（7分）则为定值．…………（9分）（Ⅲ）因为直线l：y=kx+t与圆（x+1）2+y2=1相切，所以……………………………（11分）把y=kx+t代入并整理得：（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣24=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则有，，因为，，所以，又因为点P在椭圆上，所以，…………………………（13分）．因为t2＞0所以，所以0＜m2＜2，所以m的取值范围为．…………………………【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．。
浙江省湖州市高二下学期期中数学试卷(理科)
浙江省湖州市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知复数满足,则复数的共轭复数为（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二下·湘潭月考) 已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，若对一切，恒有，则能取到的最大整数是（）A . 6B . 7C . 8D . 93. （2分）(2018·遵义模拟) 设曲线（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围（）A .B .C .D .4. （2分）从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如下表x165160175155170y5852624360根据上表可得回归直线方程为=0.92x+，则=（）A . ﹣96.8B . 96.8C . ﹣104.4D . 104.45. （2分） (2015高二下·郑州期中) 用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）A . 2k+1B . 2k+3C . 2（2k+1）D . 2（2k+3）6. （2分）若甲以10发6中，乙以10发5中的命中率打靶，两人各射击一次，则他们都中靶的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）定积分（）A . 5B . 6C . 7D . 88. （2分）(2018·全国Ⅲ卷理) 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则（）A . 0.7B . 0.6C . 0.4D . 0.39. （2分） (2017高二下·武汉期中) 将3颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不同”，事件B为“至少出现一个1点”，则条件概率P（A|B）和P（B|A）分别为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·鞍山期中) 由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面（）A . 各正三角形内一点B . 各正三角形的某高线上的点C . 各正三角形的中心D . 各正三角形外的某点11. （2分） (2017高二下·彭州期中) 若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣2]B . （﹣∞，﹣1]C . [2，+∞）D . [1，+∞）12. （2分）(2017·渝中模拟) 已知实数a＞0，函数，若关于x的方程有三个不等的实根，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题． (共4题；共4分)13. （1分）已知复数z=2+i，则z4﹣4z3+6z2﹣4z﹣1=________．14. （1分） (2017高二下·安徽期中) 设，对任意x∈R，不等式a（cos2x﹣m）+πcosx≥0恒成立，则实数m的取值范围为________．15. （1分） (2017高二下·南昌期末) 在某次联考数学测试中，学生成绩η服从正态分布N（100，δ2），（δ＞0），若η在（80，120）内的概率为0.6，则落在（0，80）内的概率为________．16. （1分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x的取值范围是________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）(2017·呼和浩特模拟) 已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|，不等式f（x）≥t对∀x∈R恒成立．（1）求t的取值范围；（2）记t的最大值为T，若正实数a，b满足a2+b2=T，求证：≤ ．18. （10分） (2019高二上·烟台期中) 设函数 .（1）若函数在处取得极值，求的值；（2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.19. （10分）(2020·晋城模拟) “绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展，下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份20142015201620172018销量（万台）810132524某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主624女性车主2总计30（1）求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数，并判断与是否线性相关；（2）请将上述列联表补充完整，并判断是否有的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；参考公式：，，其中 .，若，则可判断与线性相关.附表：0．100.050.0250.0100.0012.7063.841 5.024 6.63510.82820. （5分）已知关于x的函数 f(x)=-x3+bx2+cx+bc．（1）如果函数 f(x)在x=1处有极值-，求b、c；（2）设当x∈（， 3）时，函数y=f（x）﹣c（x+b）的图象上任一点P处的切线斜率为k，若k≤2，求实数b的取值范围．21. （10分） (2017高二上·孝感期末) 2016年12月1日，汉孝城际铁路正式通车运营．除始发站（汉口站）与终到站（孝感东站）外，目前沿途设有7个停靠站，其中，武汉市辖区内有4站（后湖站、金银潭站、天河机场站、天河街站），孝感市辖区内有3站（闵集站、毛陈站、槐荫站）．为了了解该线路运营状况，交通管理部门计划从这7个车站中任选3站调研．（1）求孝感市辖区内至少选中1个车站的概率；（2）若孝感市辖区内共选中了X个车站，求随机变量X的分布列与期望．22. （10分） (2016高三上·金山期中) 设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥ 对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题． (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高二(下)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高二（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（4分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁U A＝（）A．∅B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5} 2．（4分）函数的定义域是（）A．B．C．D．3．（4分）已知，，，则＝（）A．B．C．D．4．（4分）复数z＝在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（4分）“sinα＝cosα”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）为了得到的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位7．（4分）已知函数在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，则实数a的取值范围（）A．B．C．D．8．（4分）为了提高某次考试的真实性，命题组指派4名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题型进行改编，并且每人只能参与一种题型，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．12B．24C．36D．729．（4分）已知函数f（x）满足，则f（1）+f（2020）的最大值是（）A．B．2C．D．410．（4分）已知函数f（x）＝alnx﹣2x，若不等式2alnx≤2x2+f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2B．a≥2C．a≤0D．0≤a≤2二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．（6分）已知向量||＝1，，，的夹角为，则＝，||＝．12．（6分）已知随机变量X～B（n，p），则E（X）＝2，D（X）＝，则n＝，p ＝．13．（6分）二项式（1+2x）5展开式中，第三项的系数为；所有的二项式系数之和为．14．（6分）在数列{a n}中，已知a1＝2，，则a2＝，归纳可知a n＝．15．（4分）已知函数f（x）＝3x﹣2，若存在使得不等式成立，则实数λ的最小值为．16．（4分）设a＞0且a≠1，函数f（x）＝为奇函数，则f（g（2））＝．17．（4分）已知D是△ABC中AC所在边上的一点，，，，则在上投影的最小值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数，（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）当时，求f（x）的取值范围．19．（15分）中国乒乓球队为了备战2019直通布达佩斯世乒赛，在深圳集训并进行队内选拔．选手F与A，B，C三位选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，选手F获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响．（Ⅰ）若选手至少获胜两场的概率大于，则该选手入选世乒赛最终名单，否则不予入选，问选手F是否会入选；（Ⅱ）求选手F获胜场数X的分布列和数学期望．20．（15分）已知向量与，其中．（Ⅰ）若⊥，求tan x的值；（Ⅱ）记函数f（x）＝•，且f（a）＝，求sinα的值．21．（15分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）＝0，对于任意x∈R都有f（x）≥x，且．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣|λx﹣1|（λ＞0），讨论函数g（x）在区间（﹣1，2）上零点个数的所有情况．22．（15分）已知函数f（x）＝mxln（x+1）+x+1，m∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在x＝0处的切线方程；（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≤e x，求实数m的取值范围．（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．【分析】根据补集的定义直接求解：∁U A 是由所有属于集合U 但不属于A 的元素构成的集合．【解答】解：根据补集的定义，∁U A 是由所有属于集合U 但不属于A 的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件． ∁U A ＝{2，4，5} 故选：C ．【点评】本题考查了补集的定义以及简单求解，属于简单题． 2．【分析】由函数的解析式列出不等式进行求解即可． 【解答】解：由题意得，，解得x ＞，则函数的定义域是，故选：C ．【点评】本题考查了函数的定义域的求法，属于基础题． 3．【分析】运用平面向量基本定理可解决此问题．【解答】解：根据题意设＝x +y ，则（﹣1，2）＝x （1，1）+y （1，﹣1） ∴x +y ＝﹣1 ① x ﹣y ＝2 ②由①②知，x ＝，y ＝﹣∴＝﹣故选：D ．【点评】本题考查平面向量的坐标表示．4．【分析】将复数化简整理，得z＝﹣+i，由此不难得到它在复平面内对应的点，得到点所在的象限．【解答】解：＝＝﹣+i∴复数在复平面内对应的点为Z（﹣，），为第二象限内的点故选：B．【点评】本题将一个复数化为最简形式，找出它在复平面内对应的点所在的象限，着重考查了复数四则运算和复数的几何意义等知识，属于基础题．5．【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由“sinα＝cosα”得：α＝kπ+，k∈Z，故sinα＝cosα是“”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数以及集合的包含关系，是一道基础题．6．【分析】先利用诱导公式统一这两个三角函数的名称，再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y＝sin2x＝cos（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得y＝cos（2x+﹣）＝cos（2x+）的图象，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．7．【分析】先对函数进行求导，根据函数函数在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，列出不等式组，进而可解出a的范围．【解答】解：∵函数，∴f'（x）＝x2+2ax﹣2，∵函数在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，∴f'（x）＝x2+2ax﹣2＝0在区间（1，+∞）上有1个实根，（﹣∞，1]上有1个根．，解得a＜．故选：A．【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及二次函数根的分布问题，体现了转化和数形结合的思想．属中档题．8．【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4名教师分成3组，②，将分好的三组全排列，对应3种题型，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4名教师分成3组，有C42＝6种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应3种题型，有A33＝6种情况，则有6×6＝36种不同的分派方法；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9．【分析】将条件进行平方，利用作差法构造函数g（x）＝2f（x）﹣f2（x），然后利用基本不等式的性质，转化为关于f（1）+f（2020）的一元二次不等式，进行求解即可．【解答】解：由，得2f（x）﹣f2（x）≥0，得0≤f（x）≤2，平方得f2（x+1）＝1+2+2f（x）﹣f2（x），①∴2f（x+1）＝2+2②②﹣①得2f（x+1）﹣f2（x+1）＝2+2﹣[1+2+2f（x）﹣f2（x）]＝1﹣[2f（x）﹣f2（x）]，即2f（x+1）﹣f2（x+1）+2f（x）﹣f2（x）＝1，③设g（x）＝2f（x）﹣f2（x），则③等价为g（x+1）+g（x）＝1，即g（x+2）+g（x+1）＝g（x+1）+g（x）＝1，∴g（x+2）＝g（x），则g（0）＝g（2）＝g（4）＝…＝g（2020），g（1）＝g（3）＝g（5）＝…＝g（2021），则g（1）+g（2020）＝g（1）+g（0）＝1，∴2f（1）﹣f2（1）+2f（2020）﹣f2（2020）＝1，即2[f（1）+f（2020）]﹣[f2（1）+f2（2020）]＝1即2[f（1）+f（2020）]﹣[f（1）+f（2020）]2\+2f（1）f（2020）]＝12f（1）f（2020）＝1+[f（1）+f（2020）]2\﹣2[f（1）+f（2020）]≤2×[]2＝[f（1）+f（2020）]2，设t＝f（1）+f（2020），则不等式等价为1+t2﹣2t≤t2，整理得t2﹣4t+2≤0，得2≤t≤2+，即2≤f（1）+f（2020）≤2+，则f（1）+f（2020）的最大值为2+，故选：C．【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据条件利用平方法，构造函数，结合基本不等式的性质，转化为一元二次不等式是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．10．【分析】根据条件先计算f（x2），将不等式等价转化为f（x2）≤f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，结合函数单调性进行求解即可．【解答】解：∵f（x）＝alnx﹣2x，x＞0，∴f（x2）＝alnx2﹣2x2＝2alnx﹣2x2，则不等式2alnx≤2x2+f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，等价为2alnx﹣2x2≤f（2x﹣1），即f（x2）≤f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，∵x2﹣（2x﹣1）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＞0，即x2＞2x﹣1，∴等价为函数f（x）在（1，+∞）为减函数即可，函数的导数f′（x）≤0即可，∵f′（x）＝﹣2，∴由f′（x）＝﹣2≤0，即≤2，则a≤2x，在（1，+∞）上恒成立，∵2x＞2，∴a≤2，即实数a的取值范围是a≤2，故选：A．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用条件转化为f（x2）≤f（2x﹣1）在x∈（1，+∞）上恒成立，以及利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分．11．【分析】直接利用向量的数量积运算法则求解即可，通过向量的模转化求解即可．【解答】解：向量||＝1，，，的夹角为，则＝||||cos＝1×＝1，||＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．12．【分析】直接利用离散型随机变量的期望与方差，列出方程求解即可．【解答】解：随机变量X﹣B（n，p），且E（X）＝2，D（X）＝，可得np＝2，np（1﹣p）＝，解得p＝．n＝8故答案为：8；．【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差公式的应用，考查计算能力．13．【分析】由二项式定理及二项式系数得：二项式（1+2x）5展开式的通项可得：T r+1＝（2x）r，当r＝2时，第三项的系数为＝40，所有的二项式系数之和为＝25＝32，得解．【解答】解：由二项式（1+2x）5展开式的通项可得：T r+1＝（2x）r，当r＝2时，第三项的系数为＝40，所有的二项式系数之和为＝25＝32，故答案为：40 32．【点评】本题考查了二项式定理及二项式系数，属中档题．14．【分析】根据数列的递推关系进行计算，利用取倒数法，结合等差数列的定义进行求解即可．【解答】解：∵a1＝2，，∴a2＝＝＝，由，取倒数得＝＝3+，得得﹣＝3，即数列{}是以公差d＝3的等差数列，首项为，则＝+3（n﹣1）＝，即a n＝，n∈N•故答案为：，【点评】本题主要考查递推数列的应用，结合数列递推公式，利用取倒数法是解决本题的关键．15．【分析】令f（x）≥﹣解得x＞，若存在θ∈（0，]，不等式f（cos2θ+λsinθ﹣1）+≥0成立，化为存在θ∈（0，]，不等式cos2θ+λsinθ﹣1＞成立，即sin2θ﹣λsinθ+≤0成立；设g（θ）＝sin2θ﹣λsinθ+，θ∈（0，]，求g（θ）的最小值小于或等于0即可．【解答】解：函数f（x）＝3x﹣2，令f（x）≥﹣，解得：x≥；若存在θ∈（0，]，不等式f（cos2θ+λsinθ﹣1）+≥0成立，则存在θ∈（0，]，cos2θ+λsinθ﹣1≥成立，即1﹣sin2θ+λsinθ﹣1≥成立，所以sin2θ﹣λsinθ+≤0成立；设g（θ）＝sin2θ﹣λsinθ+，θ∈（0，]，则g（θ）＝+﹣，由θ∈（0，]，得sinθ∈（0，1]；所以λ≤0时，g（θ）在（0，]上单调递增，则g（θ）＞g（0）＝，不满足题意；0＜λ≤2时，g（θ）在（0，]上先增或减，则g（θ）＞g（0）＝﹣，令﹣≤0，解得λ≥或λ≤﹣（不合题意，舍去），所以≤λ≤2；λ＞2时，g（θ）在（0，]上单调递减，则g（θ）＞g（）＝1﹣λ+＝﹣λ，令﹣λ≤0，解得λ≥，所以＞2；综上所述，λ的取值范围是[，+∞），所以λ的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了不等式成立应用问题，也考查了等价转化与应用问题，是难题．16．【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，即有f（0）＝a﹣2＝0，解可得a ＝2，则f（x）＝，据此结合函数解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝为奇函数，且其定义域为R，则有f（0）＝a﹣2＝0，解可得a＝2，则f（x）＝，f（﹣2）＝2﹣1﹣2＝﹣，则g（2）＝f（2）＝﹣f（﹣2）＝，g（）＝f（）＝﹣f（﹣）＝2﹣，则f（g（2））＝2﹣，故答案为：2﹣．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．17．【分析】依题意AC＝6，设||＝t，（0≤t≤6），然后根据数量积可以求出•的最小值，从而可求出在上投影的最小值【解答】解：依题意AC＝6，设||＝t，（0≤t≤6）∵•＝（﹣）•＝•﹣•＝4×6×﹣6（6﹣t）＝6t﹣≥﹣（t＝0时取等，此时D与C重合），∴在上投影为＝≥﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．18．【分析】（Ⅰ）由题意利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数的最小正周期．（Ⅱ）当时，利用正弦函数定义域和值域，求出f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵＝＝，故它的周期．（Ⅱ）∵，∴，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，即．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．19．【分析】（Ⅰ）选手F与A，B，C的对抗赛获胜，利用互斥事件的概率以及对立事件的概率的乘法转化求解即可．（Ⅱ）X的可能值为0，1，2，3．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．【解答】（本题满分15分）解：（Ⅰ）…………（5分）∵∴F会入选………………（7分）（Ⅱ）X的可能值为0，1，2，3．P（X＝0）＝×＝，P（X＝1）＝××+××+××＝；P（X＝2）＝×+××+××＝，P（X＝3）＝××＝所以，X的分布列为：………………（15分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20．【分析】（Ⅰ）通过向量的表达式，结合⊥，利用二倍角公式化简求tan x的值；（Ⅱ）化简函数f（x）＝•，且f（a）＝，列出关系式，通过两角和与差的三角函数，转化求sinα的值．【解答】（本题满分15分）解：（Ⅰ）向量与，其中．．………………（4分）∴………………（7分）（Ⅱ），∴………………（9分）∵，∴，∴………………（12分）∴＝＝………………（15分）【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力．21．【分析】（Ⅰ）利用二次函数的性质，得到对称轴方程，结合不等式恒成立进行求解即可（Ⅱ）求出g（x）的解析式，当当时，方程x2+x＝1﹣λx在内必有一解，则只需要讨论当时，方程x2+x＝λx﹣1在内的解的个数问题，利用一元二次函数的性质进行讨论求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（0）＝0，∴c＝0，∵对于任意x∈R，都有，∴函数f（x）的对称轴为，即，得a＝b………………（3分）又f（x）≥x，即ax2+（b﹣1）x≥0对于任意x∈R，都成立，∴a＞0，且△＝（b﹣1）2≤0．∵（b﹣1）2≥0，∴b＝1，a＝1．∴f（x）＝x2+x．………………（6分）（Ⅱ）g（x）＝f（x）﹣|λx﹣1|＝x2+x﹣|λx﹣1|，∵λ＞0，则即求方程x2+x﹣λ|x﹣|，在（﹣1，2）内的解的个数问题．∵λ＞0，当时，方程x2+x＝1﹣λx在内必有一解．………………（8分）只需考虑时，方程x2+x＝λx﹣1在内的解的个数问题．即x2+（1﹣λ）x+1＝0，判别式△＝（1﹣λ）2﹣4＝λ2﹣2λ﹣3＝（λ+1）（λ﹣3），当△＝0时，可得λ＝3．此时x＝1．在（，2）上，此时有一解；当△＜0时，可得0＜λ＜3．此时f（x）＝0无解，即此时在内无解；当△＞0时，可得λ＞3．记两解为x1，x2，（x1＜x2），∵x1•x2＝1，必有之间，取x＝2，若2λ﹣1＜f（2）即时，解x2∈（1，2）；若2λ﹣1＞f（2），即，x2∈[2，+∞）；………………（14分）综上，当0＜λ＜3时，g（x）在（﹣1，2）内有一个零点；当λ＝3或时，g（x）在（﹣1，2）内有两个零点；当时，g（x）在（﹣1，2）内有三个零点；………………（15分）【点评】本题主要考查了函数的解析式的求解，函数的单调区间，零点存在的判定定理，考查了分类讨论思想的在解题中的应用．属于综合性较强的试题．22．【分析】（Ⅰ）推导出函数f（x）恒过点（0，1）．f′（x）＝mln（x+1）++1，f′（0）＝1．利用导数性质能求出函数f（x）在x＝0处的切线方程．（Ⅱ）令g（x）＝e x﹣（x+1），x≥0．g（0）＝0．则g′（x）＝e x﹣1≥0，推导出e x ≥x+1．m≤0时，x≥0时，f（x）≤e x恒成立．m＞0时，x≥0时，f（x）≤e x．令F（x）＝f（x）﹣e x，（x≥0），F（0）＝f（0）﹣1＝0．由F（x）≤0，可得mxln（x+1）≤e x ﹣x﹣1，证明：≥．由此能求出实数m的取值范围．（Ⅲ）当时，，从而，令，推导出，利用累加法能证明（n∈N*）．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝mxln（x+1）+x+1，令x＝0时，f（0）＝1，∴函数f（x）恒过点（0，1）．f′（x）＝mln（x+1）++1，∴f′（0）＝1．∵函数f（x）在x＝0处的切线方程为：y﹣1＝x，即x﹣y+1＝0．（Ⅱ）令g（x）＝e x﹣（x+1），x≥0．g（0）＝0．则g′（x）＝e x﹣1≥0，∴x≥0时，函数g（x）单调递增，因此g（x）≥g（0）＝0，因此e x≥x+1．①若f（x）＝mxln（x+1）+x+1≤x+1，则f（x）≤e x，则mxln（x+1）≤0，可得：m≤0．∴m≤0时，x≥0时，f（x）≤e x恒成立．②m＞0时，x≥0时，f（x）≤e x．令F（x）＝f（x）﹣e x，（x≥0），F（0）＝f（0）﹣1＝0．由F（x）≤0，可得mxln（x+1）≤e x﹣x﹣1，x＝0时，化为0≤0，恒成立，m∈R．x＞0时，化为：m≤．下面证明：≥．令h（x）＝2e x﹣2x﹣2﹣xln（x+1），h（0）＝0．h′（x）＝2e x﹣2﹣ln（x+1）﹣．h′（0）＝0．h″（x）＝2e x﹣﹣≥h″（0）＝0，∴h′（x）≥0．∴函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）＝0．∴≥成立，并且是其最小值．∴m≤．综上可得：实数m的取值范围是（﹣∞，）．（Ⅲ）由（2）知：当时，，∴，令，∴，∴，累加得：∴，∴（n∈N*）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线的斜率、不等式的解法与性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．。
浙江省湖州市2019版高二下学期期中数学试卷(理科)(II)卷
（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y=bx+a中， ， ，其中 ， 为样本平均值，线性回归方程也可写为 ．
20. （15分） (2015高三上·河北期末) 如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行
C . [0，1]
D . （﹣∞，1]∪[2，+∞）
2. （2分） (2018高二下·抚顺期末) 复数 的共轭复数是（ ）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） 已知向量 ， 若 垂直，则 =（ ）
A . 1
B .
C . 4
D . 2
4. （2分） 已知实数 满足约束条件 ， 目标函数 只在点(1 ,1)处取最小值，则有（ ）
A . 有极大值，没有极小值
B . 没有极大值，有极小值
C . 既有极大值，也有极小值
D . 既无极大值，也没有极小值
7. （2分） 等差数列 的前n项和为Sn ， 已知 ， 则 （ ）
A . 8
B . 12
C . 16
D . 24
8. （2分） 函数 的部分图象如图所示，若 ， 且 ， 则 （ ）
浙江省湖州市2019版高二下学期期中数学试卷（理科）（II）卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） 已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（ ）
A . [﹣1，0]
B . [﹣1，2]
2018-2019学年浙江省湖州市高二下学期期中数学试题附解析
2018-2019学年浙江省湖州市高二下学期期中数学试题一、单选题 1．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞） 【答案】A【解析】根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】 因为函数，解得且；函数的定义域为, 故选A ．【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.2．设复数z 满足()12i z i -=，则z= （ ） A ．-1+i B ．-1-i C ．1+i D ．1-i【答案】A【解析】()12i z i -= 【详解】由()12i z i -=得21iz i=-=(1)1i i i +=-+，故选A. 【考点定位】本小题主要考查复数的四则运算,复数在高考中主要以小题形式出现，属容易题，主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是基础内容.3．甲、乙、丙、丁四人站成一排，则甲、乙相邻的排法种数是（ ） A ．4 B ．6 C ．12 D ．24【答案】C【解析】利用捆绑法将甲乙二人看成一个整体，再与另外两人进行全排列即可求解.【详解】将甲乙二人捆绑后看成一个整体，再与丙、丁一起进行全排列，则有2323232112A A =⨯⨯⨯=种方法，故选：C. 【点睛】本题考查了排列问题的简单应用，相邻问题的解决方法，属于基础题.4．已知函数21,0()cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是增函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 的值域为)-1+⎡∞⎣，【答案】D【解析】根据解析式的特点，逐个选项进行验证求解. 【详解】因为0x >时2()1f x x =+，0x ≤时()cos f x x =，()()f x f x -≠所以不是偶函数；因为3()0()12f f -π=>-π=-，所以不是增函数； 因为0x >时2()1f x x =+为增函数，所以不是周期函数；因为当0x ≤时()cos [1,1]f x x =∈-，0x >时2()1(1,)f x x =+∈+∞，所以值域为[1,)-+∞.综上可知选D.【点睛】本题主要考查分段函数的性质，研究分段函数的性质时不要只关注某一段函数，要从整体上进行把握. 5．曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）. A ．2e B ．eC ．2D ．1【答案】C【解析】试题分析：由1x y xe -=，得，故，故切线的斜率为，故选C.【考点】导数的集合意义.6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)5f =且(4)()f x f x +=-，则(2012)(2019)f f +的值为（ ） A ．5- B ．2 C ．0 D ．5【答案】D【解析】根据奇函数性质及所给表达式，可知()f x 为周期函数，由奇函数性质及周期性即可求解. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以(0)0f =，且()()f x f x =-， 因为(4)()f x f x +=-， 令4x +替代上式x代入可得()(8)(4)f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 是以8为周期的周期函数，则()()()(2012)25184400f f f f =⨯+==-=， 而(1)5f =，所以()()()()(2019)252833115f f f f f =⨯+==--==， 所以(2012)(2019)055f f +=+=， 故选：D. 【点睛】本题考查了抽象函数奇偶性及周期性的综合应用，属于基础题. 7．若()521ax -的展开式中4x 的系数为40-，则a 的值为（ ） A ．1- B ．2 C ．2- D ．±2【答案】D【解析】由二项定理展开式的同学，根据4x 的系数即可求得a 的值. 【详解】根据二项定理展开式的通项可知 ()()()()55210215511rr rrrrr r T C ax C a x ---+=⋅-=⋅-，令1024r -=，解得3r =，所以4x 的系数为32540C a -=-，解得2a =±， 故选：D. 【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用，由指定项的系数求参数，属于基础题. 8．函数()y f x =的图象如图①所示，则图②对应的解析式可以表示为（ ）① ②A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =C ．(||)y f x =-D ．(||)y f x =-【答案】C【解析】根据绝对值函数的翻折、对称变形，即可判断各选项对应的函数图象形式，即可判断图②对应的解析式. 【详解】函数()y f x =的图象如图①，对于A ，将()y f x =的图象左侧部分去除，将右侧图象关于y 对称，可得(||)y f x =，结合图②可知A 错误； 对于B ，将()y f x =的图象在x 轴以上部分不变，x 轴以下部分翻折到x 轴上方，可得|()|y f x =，结合图②可知B 选项错误；对于C ，将()y f x =的图象的右侧部分去除，将左侧图象关于y 对称，可得(||)y f x =-的图象，结合图②可知C 正确；对于D ，将()y f x =的图象左侧部分去除，将右侧图象关于y 对称，再将整个函数图象关于x 轴对称，即可得(||)y f x =-，结合图②可知D 错误；综上可知，图②表示函数(||)y f x =-的图象， 故选：C. 【点睛】本题考查了绝对值函数翻折、对称变换，注意函数的符号位置及绝对值变换方式，属于中档题.9．设奇函数()f x ，()x R ∈的导函数为()f x '，且(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '+>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(1,0)-∞--U B ．(0,1)(1,)⋃+∞ C ．(,1)(0,1)-∞-U D ．(1,0)(1,)-??【答案】D【解析】根据所给不等式，构造函数()()g x x f x =⋅，由导数与单调性关系可知()g x 在0x >时单调递增，由函数奇偶性的性质可知()g x 为偶函数，画出函数示意图，即可求得()0f x >成立的x 的取值范围.【详解】令()()g x x f x =⋅， 则()()()g x x f x f x '=⋅'+， 当0x >时，()()0xf x f x '+>，则当0x >时，()()g x x f x =⋅为单调递增函数， ()f x 为奇函数，则()()g x x f x =⋅为偶函数，且由(1)0f -=，可知(1)(1)0f f =--=，所以()()110g g =-=，则()()g x x f x =⋅的函数关系示意图如下图所示：当0x <时，若()0f x >，则()0g x <，此时()1,0x ∈-； 当0x >时，若()0f x >，则()0g x >，此时()1,x ∈+∞； 综上可知，()0f x >的解集为(1,0)(1,)-??， 故选：D. 【点睛】本题考查了构造函数法解不等式，导数与函数单调性的关系应用，奇偶性的性质应用，数形结合法解不等式的应用，属于中档题.10．已知二次函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，若()f x 在区间(2,3)上有两个零点，则2b c +的取值范围为（ ） A ．(4,3)-- B ．(4,3)- C ．[4,3)- D ．(4,3]--【答案】A【解析】根据题意，设出两个零点后，代入一元二次方程的交点式，结合零点的范围即可确定2b c +的取值范围. 【详解】由题意可知()f x 在区间(2,3)上有两个零点，设两个零点分别为()()122,3,2,3x x ∈∈，则由函数零点定义可知满足()()()12f x x x x x =--， 因为()()1221,0,21,0,x x -∈--∈-而()()()12222f x x =--，所以()()20,1f ∈，二次函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，所以(2)42f b c =++，所以2(2)4b c f +=-，由()()20,1f ∈，可得()()244,3f -∈--， 所以()24,3b c +∈--， 故选：A. 【点睛】本题考查了函数零点的定义，一元二次方程零点的综合应用，属于中档题.二、填空题11．设全集{1,2,3,4,5}U =，{1,2}A =，{4,5}B =则A B =U ______，U ()A B =I ð______． 【答案】{1,2,4,5}； {4,5}.【解析】根据集合并集的运算，即可求得A B U ；由补集和交集定义即可求得U ()A B I ð. 【详解】{1,2}A =，{4,5}B =，由集合的并集运算可知{1,2,4,5}A B =U ， 全集{1,2,3,4,5}U =，则由补集定义可得U {3,4,5}A =ð，所以由集合交集运算可得U {3,4,5}{4,5}(4,5}){A B ⋂==I ð， 故答案为：{1,2,4,5}；{4,5}. 【点睛】本题考查了集合交集、并集与补集的定义与简单运算，属于基础题.12．已知复数(1)(12)Z i i =++，其中i 是虚数单位，则Z 的模是______，Z 的共轭复数为______． 10； 13i --.【解析】根据复数的乘法运算化简，结合复数模的定义即可求得Z 的模；由共轭复数定义可得其共轭复数.【详解】复数(1)(12)Z i i =++，由复数的乘法运算可得12313Z i i =-+=-+， 所以()221310Z =-+=由共轭复数定义可知13Z i =--， 10；13i --. 【点睛】本题考查了复数乘法运算的化简运算，复数模的定义及共轭复数定义，属于基础题.13．计算：3285C A -=______，31log 223log ln 2e +-⋅=______．【答案】36； 5.【解析】根据排列数与组合数公式，代入即可求解；根据对数运算及换底公式应用，即可化简求值. 【详解】根据组合数与排列数公式可得()32858!5!3!83!2!C A -=--87654321321321⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯ 562036=-=，由对数的运算性质及换底公式化简可得31log 223log ln 2e +-⋅33log 3log 2ln 3ln 2ln 2e+=-⋅ 3log 631=-615=-=，故答案为：22；5. 【点睛】本题考查了排列数与组合数公式的简单应用，对数运算及换底公式的应用，属于基础题.14．若2nx x ⎫+⎪⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则n =______，展开式中的常数项为______． 【答案】6 60【解析】根据二项定理展开式的性质可得n ；由二项定理展开式的通项，即可求得常数项的值. 【详解】2nx x ⎫⎪⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以6n =；则由二项展开式的通项可知62x x ⎫⎪⎭展开式的通项为363216622rrr rrr r T Cx C x x --+⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令3302r -=，解得2r =， 所以常数项为222366522602T C ⨯=⋅=⨯=， 故答案为：6；60. 【点睛】本题考查了二项定理展开式的性质及展开式通项的简单应用，属于基础题.15．把5个不同的小球放到4个不同的盒子中，保证每个盒子都不空，不同的放法有___种. 【答案】240【解析】试题分析：由题意，将5个不同的小球分为4组，分法有C 52=10，故总的放法种数有10A 44=240. 【考点】本题主要考查简单排列组合应用问题，计数原理．点评：易错题，解题的关键是理解题意将此问题分为两步求解，先分组，再排列．16．已知函数2,(0)()21,(0)x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数为______．【答案】4【解析】根据函数解析式画出图像，利用换元法令()t f x =，可知()12f t =；结合函数图像及解析式可求得t 的值，再结合图像即可确定方程解的个数，即为函数零点的个数. 【详解】函数2,(0)()21,(0)x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，画出函数图像如下图所示：函数1()(())2g x f f x =-的零点，即1(())2f f x =， 令()t f x =，代入可得()12f t =，由图像可知t 满足012t t e <⎧⎪⎨=⎪⎩或201212t t t ≥⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得ln 2t =-，212t =-或212t =+， 所以()ln 2f x =-，()212f x =-或()212f x =+， 结合函数图像可知，()ln 2f x =-无解；()21f x =3个解，()21f x =1个解， 综合可知，函数1()(())2g x f f x =-的零点有4个， 故答案为：4. 【点睛】本题考查了函数图像的画法，函数零点与方程解的关系，数形结合法判断函数零点个数的应用，属于中档题. 17．已知a R ∈，函数16()f x x a a x=+-+在区间[2,5]上的最大值为10，则a 的取值范围是______． 【答案】(],9-∞【解析】结合基本不等式及定义域可求得[]168,10x x+∈，对a 分类讨论，结合最大值为10即可由最值求得a 的取值范围. 【详解】当[2,5]x ∈，由打勾函数性质可知[]168,10x x+∈， 当8a ≤时，函数可化为1616()f x x a a x x x =+-+=+，则由[]168,10x x+∈，所以当8a ≤时恒成立；当810a <<时，{}max max()8,10f x a a a a =-+-+，即{}max max ()28,10f x a =-，所以当2810a -≤时，满足最大值为10，解得9a ≤，即89a <≤； 当10a ≥时，函数可化为1616()2f x a x a a x x x ⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最大值为2810a -=，解得9a =，（舍）； 综上所述，a 的取值范围为(],9a ∈-∞. 故答案为：(],9-∞. 【点睛】本题考查了含绝对值不等式的解法，由基本不等式及定义域确定函数的值域，分类讨论思想的综合应用，属于中档题.三、解答题18．从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问： (1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？(2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？ (3)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？ 【答案】（1）30；（2）91种；（3）120种.【解析】【详解】试题分析：（1）根据题意，分别计算“从5名男生中选出2人”和“从4名女生中选出2人”的选法数目，由分步计数原理计算可得答案；（2）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数目，即可得答案； （3）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数目，即可得答案． 试题解析：(1)422560C C ⋅=；(2)方法1：(间接法)在9人选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为：449791C C -=(种)；方法2：(直接法)甲在内乙不在内有37C 种，乙在内甲不在内有37C 种，甲、乙都在内有27C 种，所以男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法共有：3277291C C +=(种).(3)方法1：(间接法)在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为：444954C C C 120--=(种)；方法2：(直接法)分别按含男1，2，3人分类，得到符合条件的选法总数为：132231545454120C C C C C C ++=(种).点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． （2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．19．设函数2()ln (,)f x x ax bx a b R =-+∈，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为0y =． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值．【答案】（Ⅰ）11a b =⎧⎨=⎩；（Ⅱ）()0f x =极大值，无极小值.【解析】（Ⅰ）根据函数解析式，求得导函数()f x '，由切线方程可得切线的斜率和切点坐标，即可由导数的几何意义求得a ，b 的值；（Ⅱ）将a ，b 的值代入解析式及导函数，并令()0f x '=，判断函数的极值点及单调性，即可求得在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值． 【详解】（Ⅰ）函数2()ln (,)f x x ax bx a b R =-+∈， 则1()2f x ax b x'=-+， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为0y =． 则(1)120f a b '=-+=，切点坐标为()1,0，将切点代入函数解析式可得0a b -+=，所以1200a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2()ln f x x x x =-+，定义域为()0,∞+，则2121()21x x f x x x x-++'=-+=，令()0f x '=，解得1x =，12x =-（舍），当01x <<时，()0f x '>，所以()f x 在01x <<内单调递增， 当1x <时，()0f x '<时，所以()f x 在1x <内单调递减， 因为自变量1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭内单调递增，()f x 在区间(]1,e 内单调递减，所以()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内极大值为()(1)0f x f ==极大值，无极小值.【点睛】本题考查了导数的几何意义的简单应用，由切线方程确定参数，利用导数求闭区间内的极值，属于基础题. 20．已知二次函数()f x 满足(1)()21f x f x x +-=-，(0)3f =-． （Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）设()1g x kx =+，若0.5()log [()()]F x g x f x =-在区间[2,3]上单调递增，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2()23f x x x =--（Ⅱ）1,23⎛⎤- ⎥⎝⎦.【解析】（Ⅰ）设出二次函数解析式，根据所给等式，代入后即可确定系数，进而得函数()f x 的表达式；（Ⅱ）将()f x 和()g x 解析式代入()F x ，根据复合函数单调性的性质可得()()224h x x k x =-+++在区间[2,3]上单调递减且大于0，由二次函数对称性及对数函数定义域要求即可解方程组求得k 的取值范围． 【详解】（Ⅰ）()f x 为二次函数，设2()f x ax bx c =++，0a ≠，由(0)3f =-，代入可得3c =-； 则()()2(1)11f x a x b x c +=++++，所以()()()()()22111f x f x a x b x c ax bx c ⎡⎤+-=++++-++⎣⎦2ax a b =++，因为(1)()21f x f x x +-=-所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以2()23f x x x =--.（Ⅱ）2()23f x x x =--，()1g x kx =+， 所以0.5()log [()()]F x g x f x =-()20.5log 24x k x ⎡⎤=-+++⎣⎦，因为()F x 在区间[2,3]上单调递增，由复合函数单调性的性质可知，()()224h x x k x =-+++在区间[2,3]上单调递减且大于0，所以()222233240k k +⎧≤⎪⎨⎪-+++>⎩，解得123k -<≤，即k 的取值范围为1,23⎛⎤- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，对数型复合函数单调性求参数的取值范围，注意对数函数定义域的要求，属于基础题.21．设函数()ln(1)f x x x =-+． （Ⅰ）求证：ln(1)x x ≥+； （Ⅱ）若0a b >>，求证：1ln(1)ln(1)a bea b +->+++．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）根据所给函数解析式，求得()f x '并令()0f x '=求得极值点和函数单调区间，进而求得函数的最大值，即可证明不等式ln(1)0x x -+≥恒成立，即ln(1)x x ≥+成立.（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，可知ln(1)ln(1)a b a b +>+++，进而将不等式等价变形为1a b e a b +->+，构造函数()1x g x e x =--，求得导函数()g x '，利用导函数可证明()g x 的单调性，从而可证明()0g x >恒成立，进而原不等式得证. 【详解】（Ⅰ）证明：函数()ln(1)f x x x =-+，定义域为()1,-+∞， 则1()111xf x x x '=-=++，令()0f x '=，解得0x =，当10x -<<时，()0f x '<，所以()ln(1)f x x x =-+在10x -<<内单调递减； 当0x >时，()0f x '>，所以()ln(1)f x x x =-+在0x <内单调递增； 即()f x 在0x =处取得最小值，min ()(0)0ln(01)0f x f ==-+=，即ln(1)0x x -+≥恒成立， 所以ln(1)x x ≥+， 原不等式得证.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，0a b >>时ln(1),ln(1)a a b b >+>+， 所以ln(1)ln(1)a b a b +>+++， 则要证原不等式1ln(1)ln(1)a be a b +->+++即证1a b e a b +->+，即()10a bea b ++->-，令()1xg x e x =--，0x >， 则()10xg x e =-'>，所以()1xg x e x =--在0x >时单调递增，所以()()00g x g >=，即10x e x -->在0x >时恒成立， 所以()10a be a b ++->-成立，即1ln(1)ln(1)a bea b +->+++成立，原不等式得证. 【点睛】本题考查了利用导数证明不等式成立，导数与函数单调性、极值和最值的综合应用，构造函数法证明不等式的应用，属于中档题.22．已知函数()2f x x a =-，()|1|g x a x =-，a R ∈． （Ⅰ）若1a =，求满足()(1)1g x g x +->的实数x 的取值范围；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =+，若存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()216h x h x -≥成立，试求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）()(),12,-∞⋃+∞；（Ⅱ）(][),14,-∞+∞U .【解析】（Ⅰ）将1a =代入解析，分类讨论1x <、12x ≤≤、2x >三种情况，即可解不等式得解集.（Ⅱ）将()f x 和()g x 解析式代入()h x ，并由[2,2]x ∈-可写成分段函数形式；根据不等式()()216h x h x -≥成立，可知需满足()()max min 6h x h x -≥，进而讨论a 的不同取值范围，结合分段函数确定最大值与最小值，代入不等式即可确定a 的取值范围． 【详解】（Ⅰ）当1a =时，代入可得函数()1g x x =-， 所以()(1)12g x g x x x +-=-+-，当1x <时，()(1)23g x g x x +-=-+，若()(1)1g x g x +->，即231x -+>，解得1x <，所以1x <满足不等式， 当12x ≤≤时，()(1)1g x g x +-=，不满足不等式()(1)1g x g x +->，此时无解；当2x >时，()(1)23g x g x x +-=-，若()(1)1g x g x +->，即231x ->，解得2x >，所以2x >满足不等式成立，综上可知不等式的解集为()(),12,-∞⋃+∞. （Ⅱ）函数()2f x x a =-，()|1|g x a x =-， 由题意()()()h x f x g x =+21x a a x =-+- (2),21(2)2,12a x x a x a x --≤<⎧=⎨+-≤≤⎩ 因为存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()216h x h x -≥成立， 所以只需()()max min 6h x h x -≥； （1）当2a ≤-时，20,20a a ->+≤，则()h x 在[)2,1-内单调递增，在[]1,2内单调递减， 所以()()max 12h x h a ==-，因为()()224,24,h a h -=-=所以()()22h h -<， 所以()()min 224h x h a =-=-，所以需()()()()max min 2246h x h x a a -=---≥，解得0a ≤，又因为2a ≤-， 所以2a ≤-；（2）当22a -<<时，20,20a a ->+>， 则()h x 在[2,2]-内单调递增，所以()()max 24h x h ==，()()min 224h x h a =-=-， 所以需()()()max min 4246h x h x a -=--≥， 解得1a ≤，又因为22a -<<， 所以21a -<≤；（3）当2a ≥时，20,20a a -<+>，则()h x 在[)2,1-内单调递减，在[]1,2内单调递增， 所以()()min 12h x h a ==-：①当24a ≤<时，因为()()224,24,h a h -=-=所以()()22h h -<，所以()()max 24h x h ==，则需满足()()()max min 426h x h x a -=--≥， 解得4a ≥，又因为24a ≤<，所以此时无解；②当4a ≥时，因为()()224,24,h a h -=-=所以()()22h h ->，所以()()max 224h x h a =-=-，则需满足()()()max min 2426h x h x a a -=---≥， 解得4a ≥，满足题意.综上所述，a 的取值范围为(][),14,-∞+∞U . 【点睛】本题考查了含绝对值不等式的解法，分类讨论解含绝对值的不等式，存在性成立问题的综合应用，分类讨论的过程较为繁琐，属于难题.。
浙江省湖州市高二下学期期中数学试卷 (理科)
浙江省湖州市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·葫芦岛模拟) 与复数z的实部相等，虚部互为相反数的复数叫做z的共轭复数，并记作，若z=i（3﹣2i）（其中i为复数单位），则 =（）A . 3﹣2iB . 3+2iC . 2+3iD . 2﹣3i2. （2分）设则（）A . 都不大于-2B . 都不小于-2C . 至少有一个不大于-2D . 至少有一个不小于-23. （2分） (2015高二下·宁德期中) 设Sk= + + +…+ （k≥3，k∈N*），则Sk+1=（）A . Sk+B . Sk+ +C . Sk+ + ﹣D . Sk﹣﹣4. （2分）曲线在点处的切线的斜率为（）A .B .C .D .5. （2分）函数y＝x3－2ax＋a在（0,1）内有极小值，则实数a的取值范围是（）A .B . （0,3）C . （0，＋∞）D . （－∞，3）6. （2分）已知ABCD是空间四边形形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果对角线AC=4，BD=2，那么EG2+HF2的值等于（）A . 10B . 15C . 20D . 257. （2分） (2019高三上·山西月考) 若是函数图象上的动点，点，则直线斜率的取值范围为（）A .B .C .D .8. （2分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，B∈β，A、B到棱l的距离相等，直线AB与平面β所成的角为30°，则AB与棱l所成的角的余弦是（）A .B .C .D .9. （2分）函数 y= 的值域是（）A . （﹣∞，﹣]∪[2，+∞）B . [﹣，2]C . [﹣，0）∪（0，2]D . （﹣∞，0）∪（0，+∞）10. （2分） (2019高二上·汇川期中) 正方体ABCD—A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（）A . 0°B . 45°C . 60 °D . 90°11. （2分）下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0，1）内单调递增的是（）A . y=B .C . y=xsinxD . y=lg12. （2分）某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为（）A . 3000元B . 3100元C . 3300元D . 3500元二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·石嘴山模拟) 如下等式：以此类推，则2018出现在第________个等式中．14. （1分） (2019高二下·上海月考) 已知、是实系数一元二次方程的两个虚根，（），且，则的取值范围是________15. （1分）函数y=x4﹣2x2+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值的和为________．16. （1分）(2012·四川理) 记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[﹣0.3]=﹣1．设a为正整数，数列{xn}满足x1=a，，现有下列命题：①当a=5时，数列{xn}的前3项依次为5，3，2；②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn=xk；③当n≥1时，；④对某个正整数k，若xk+1≥xk ，则．其中的真命题有________．（写出所有真命题的编号）三、解答题 (共8题；共75分)17. （10分） (2018高二下·沈阳期中) 已知函数（）．（1）为的导函数，讨论的零点个数；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．18. （10分）(2017·天水模拟) 如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（1）求证：BD⊥平面ADE；（2）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值．19. （15分）(2016·德州模拟) 设函数．（1）用含a的式子表示b；（2）令F（x）= ，其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a=2，试求f（x）在区间上的最大值．20. （5分）(2017·银川模拟) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．21. （10分）(2017·河北模拟) 已知函数f（x）= x2﹣alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值；（2）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由．22. （10分）(2016·江西模拟) 直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D．（1）证明：DB=DC；（2）设圆的半径为1，BC=3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23. （5分）(2018·攀枝花模拟) 坐标系与参数方程已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为 .(I)求圆的直角坐标方程；(II)若是直线与圆面的公共点,求的取值范围.24. （10分）(2018·孝义模拟) 已知函数 .（1）解不等式；（2）若关于的不等式只有一个正整数解，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共75分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、24-1、24-2、。
浙江湖州市2018-2019学年下学期期中考高二数学试卷附答案解析
湖州市2018-2019学年下学期期中考高二数学试卷一、单选题1．函数f(x)=2x −3+1x−3的定义域为（）A．[32，3）∪（3，+∞）B．（-∞，3）∪（3，+∞）C．[32，+∞）D．（3，+∞）2．设复数z 满足()12i z i -=，则z=（）A．-1+i B．-1-i C．1+i D．1-i 3．甲、乙、丙、丁四人站成一排，则甲、乙相邻的排法种数是（）A．4B．6C．12D．244．已知函数21,0()cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（）A．()f x 是偶函数B．()f x 是增函数C．()f x 是周期函数D．()f x 的值域为)-1+⎡∞⎣，5．曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（）.A．2eB．eC．2D．16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)5f =且(4)()f x f x +=-，则(2012)(2019)f f +的值为（）A．5-B．2C．0D．57．若()521ax -的展开式中4x 的系数为40-，则a 的值为（）A．1-B．2C．2-D．±28．函数()y f x =的图象如图①所示，则图②对应的解析式可以表示为（）①②A．(||)y f x =B．|()|y f x =C．(||)y f x =-D．(||)y f x =-9．设奇函数()f x ，()x R ∈的导函数为()f x '，且(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '+>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A．(,1)(1,0)-∞-- B．(0,1)(1,)⋃+∞C．(,1)(0,1)-∞- D．(1,0)(1,)-È+¥10．已知二次函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，若()f x 在区间(2,3)上有两个零点，则2b c +的取值范围为（）A．(4,3)--B．(4,3)-C．[4,3)-D．(4,3]--二、填空题11．设全集{1,2,3,4,5}U =，{1,2}A =，{4,5}B =则A B = ______，U ()A B = ð______．12．已知复数(1)(12)Z i i =++，其中i 是虚数单位，则Z 的模是______，Z 的共轭复数为______．13．计算：3285C A -=______，31log 223log ln 2e +-⋅=______．14．若2n x ⎫+⎪⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则n =______，展开式中的常数项为______．15．把5个不同的小球放到4个不同的盒子中，保证每个盒子都不空，不同的放法有___种.16．已知函数2,(0)()21,(0)x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数为______．17．已知a R ∈，函数16()f x x a a x=+-+在区间[2,5]上的最大值为10，则a 的取值范围是______．三、解答题18．从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：(1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？(2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？(3)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？19．设函数2()ln (,)f x x ax bx a b R =-+∈，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为0y =．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值．20．已知二次函数()f x 满足(1)()21f x f x x +-=-，(0)3f =-．（Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）设()1g x kx =+，若0.5()log [()()]F x g x f x =-在区间[2,3]上单调递增，求实数k 的取值范围．21．设函数()ln(1)f x x x =-+．（Ⅰ）求证：ln(1)x x ≥+；（Ⅱ）若0a b >>，求证：1ln(1)ln(1)a bea b +->+++．22．已知函数()2f x x a =-，()|1|g x a x =-，a R ∈．（Ⅰ）若1a =，求满足()(1)1g x g x +->的实数x 的取值范围；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =+，若存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()216h x h x -≥成立，试求实数a 的取值范围．解析浙江湖州市2018-2019学年下学期期中考高二数学试卷一、单选题1．函数f(x)=2x −3+1x−3的定义域为（）A．[32，3）∪（3，+∞）B．（-∞，3）∪（3，+∞）C．[32，+∞）D．（3，+∞）【答案】A【解析】根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.【详解】因为函数y =2x −3+1x−3,∴2x −3≥0x −3≠0，解得x≥32且x ≠3；∴函数f(x)=2x −3+1x−3的定义域为32,3∪3,+∞,故选A．【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)若已知函数fx 的定义域为a,b ，则函数fgx 的定义域由不等式a≤gx ≤b 求出.2．设复数z 满足()12i z i -=，则z=（）A．-1+i B．-1-iC．1+iD．1-i【答案】A 【解析】()12i z i-=【详解】由()12i z i -=得21iz i=-=(1)1i i i +=-+，故选A.【考点定位】本小题主要考查复数的四则运算,复数在高考中主要以小题形式出现，属容易题，主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是基础内容.3．甲、乙、丙、丁四人站成一排，则甲、乙相邻的排法种数是（）A．4B．6C．12D．24【答案】C【解析】利用捆绑法将甲乙二人看成一个整体，再与另外两人进行全排列即可求解.【详解】将甲乙二人捆绑后看成一个整体，再与丙、丁一起进行全排列，则有2323232112A A =⨯⨯⨯=种方法，故选：C.【点睛】本题考查了排列问题的简单应用，相邻问题的解决方法，属于基础题.4．已知函数21,0()cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（）A．()f x 是偶函数B．()f x 是增函数C．()f x 是周期函数D．()f x 的值域为)-1+⎡∞⎣，【答案】D【解析】根据解析式的特点，逐个选项进行验证求解.【详解】因为0x >时2()1f x x =+，0x ≤时()cos f x x =，()()f x f x -≠所以不是偶函数；因为3()0()12f f -π=>-π=-，所以不是增函数；因为0x >时2()1f x x =+为增函数，所以不是周期函数；因为当0x ≤时()cos [1,1]f x x =∈-，0x >时2()1(1,)f x x =+∈+∞，所以值域为[1,)-+∞.综上可知选D.【点睛】本题主要考查分段函数的性质，研究分段函数的性质时不要只关注某一段函数，要从整体上进行把握.5．曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（）.A．2e B．eC．2D．1【答案】C【解析】试题分析：由1x y xe -=，得，故，故切线的斜率为，故选C.【考点】导数的集合意义.6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)5f =且(4)()f x f x +=-，则(2012)(2019)f f +的值为（）A．5-B．2C．0D．5【答案】D【解析】根据奇函数性质及所给表达式，可知()f x 为周期函数，由奇函数性质及周期性即可求解.【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，且()()f x f x =-，因为(4)()f x f x +=-，令4x +替代上式x 代入可得()(8)(4)f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是以8为周期的周期函数，则()()()(2012)25184400f f f f =⨯+==-=，而(1)5f =，所以()()()()(2019)252833115f f f f f =⨯+==--==，所以(2012)(2019)055f f +=+=，故选：D.【点睛】本题考查了抽象函数奇偶性及周期性的综合应用，属于基础题.7．若()521ax -的展开式中4x 的系数为40-，则a 的值为（）A．1-B．2C．2-D．±2【答案】D【解析】由二项定理展开式的同学，根据4x 的系数即可求得a 的值.【详解】根据二项定理展开式的通项可知()()()()55210215511rr rrrrr r T C ax C a x ---+=⋅-=⋅-，令1024r-=，解得3r =，所以4x 的系数为32540C a -=-，解得2a =±，故选：D.【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用，由指定项的系数求参数，属于基础题.8．函数()y f x =的图象如图①所示，则图②对应的解析式可以表示为（）①②A．(||)y f x =B．|()|y f x =C．(||)y f x =-D．(||)y f x =-【答案】C【解析】根据绝对值函数的翻折、对称变形，即可判断各选项对应的函数图象形式，即可判断图②对应的解析式.【详解】函数()y f x =的图象如图①，对于A，将()y f x =的图象左侧部分去除，将右侧图象关于y 对称，可得(||)y f x =，结合图②可知A 错误；对于B，将()y f x =的图象在x 轴以上部分不变，x 轴以下部分翻折到x 轴上方，可得|()|y f x =，结合图②可知B 选项错误；对于C，将()y f x =的图象的右侧部分去除，将左侧图象关于y 对称，可得(||)y f x =-的图象，结合图②可知C 正确；对于D，将()y f x =的图象左侧部分去除，将右侧图象关于y 对称，再将整个函数图象关于x 轴对称，即可得(||)y f x =-，结合图②可知D 错误；综上可知，图②表示函数(||)y f x =-的图象，故选：C.【点睛】本题考查了绝对值函数翻折、对称变换，注意函数的符号位置及绝对值变换方式，属于中档题.9．设奇函数()f x ，()x R ∈的导函数为()f x '，且(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '+>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A．(,1)(1,0)-∞-- B．(0,1)(1,)⋃+∞C．(,1)(0,1)-∞- D．(1,0)(1,)-È+¥【答案】D【解析】根据所给不等式，构造函数()()g x x f x =⋅，由导数与单调性关系可知()g x 在0x >时单调递增，由函数奇偶性的性质可知()g x 为偶函数，画出函数示意图，即可求得()0f x >成立的x 的取值范围.【详解】令()()g x x f x =⋅，则()()()g x x f x f x '=⋅'+，当0x >时，()()0xf x f x '+>，则当0x >时，()()g x x f x =⋅为单调递增函数，()f x 为奇函数，则()()g x x f x =⋅为偶函数，且由(1)0f -=，可知(1)(1)0f f =--=，所以()()110g g =-=，则()()g x x f x =⋅的函数关系示意图如下图所示：当0x <时，若()0f x >，则()0gx <，此时()1,0x ∈-；当0x >时，若()0f x >，则()0g x >，此时()1,x ∈+∞；综上可知，()0f x >的解集为(1,0)(1,)-È+¥，故选：D.【点睛】本题考查了构造函数法解不等式，导数与函数单调性的关系应用，奇偶性的性质应用，数形结合法解不等式的应用，属于中档题.10．已知二次函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，若()f x 在区间(2,3)上有两个零点，则2b c +的取值范围为（）A．(4,3)--B．(4,3)-C．[4,3)-D．(4,3]--【答案】A【解析】根据题意，设出两个零点后，代入一元二次方程的交点式，结合零点的范围即可确定2b c +的取值范围.【详解】由题意可知()f x 在区间(2,3)上有两个零点，设两个零点分别为()()122,3,2,3x x ∈∈，则由函数零点定义可知满足()()()12f x x x x x =--，因为()()1221,0,21,0,x x -∈--∈-而()()()12222f x x =--，所以()()20,1f ∈，二次函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，所以(2)42f b c =++，所以2(2)4b c f +=-，由()()20,1f ∈，可得()()244,3f -∈--，所以()24,3b c +∈--，故选：A.【点睛】本题考查了函数零点的定义，一元二次方程零点的综合应用，属于中档题.二、填空题11．设全集{1,2,3,4,5}U =，{1,2}A =，{4,5}B =则A B = ______，U ()A B = ð______．【答案】{1,2,4,5}；{4,5}.【解析】根据集合并集的运算，即可求得A B ；由补集和交集定义即可求得U ()A B ð.【详解】{1,2}A =，{4,5}B =，由集合的并集运算可知{1,2,4,5}A B = ，全集{1,2,3,4,5}U =，则由补集定义可得U {3,4,5}A =ð，所以由集合交集运算可得U {3,4,5}{4,5}(4,5}){A B ⋂== ð，故答案为：{1,2,4,5}；{4,5}.【点睛】本题考查了集合交集、并集与补集的定义与简单运算，属于基础题.12．已知复数(1)(12)Z i i =++，其中i 是虚数单位，则Z 的模是______，Z 的共轭复数为______．；13i --.【解析】根据复数的乘法运算化简，结合复数模的定义即可求得Z 的模；由共轭复数定义可得其共轭复数.【详解】复数(1)(12)Z i i =++，由复数的乘法运算可得12313Z i i =-+=-+，所以Z ==，由共轭复数定义可知13Zi =--，故答案为：；13i --.【点睛】本题考查了复数乘法运算的化简运算，复数模的定义及共轭复数定义，属于基础题.13．计算：3285C A -=______，31log 223log ln 2e +-⋅=______．【答案】36；5.【解析】根据排列数与组合数公式，代入即可求解；根据对数运算及换底公式应用，即可化简求值.【详解】根据组合数与排列数公式可得()32858!5!3!83!2!C A -=--87654321321321⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯562036=-=，由对数的运算性质及换底公式化简可得31log 223log ln 2e +-⋅33log 3log 2ln 3ln 2ln 2e+=-⋅3log 631=-615=-=，故答案为：22；5.【点睛】本题考查了排列数与组合数公式的简单应用，对数运算及换底公式的应用，属于基础题.14．若2nx ⎫+⎪⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则n =______，展开式中的常数项为______．【答案】660【解析】根据二项定理展开式的性质可得n ；由二项定理展开式的通项，即可求得常数项的值.【详解】2nx ⎫+⎪⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以6n =；则由二项展开式的通项可知62x ⎫+⎪⎭展开式的通项为363216622rrr rr r r T CC x x --+⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令3302r -=，解得2r =，所以常数项为222366522602T C ⨯=⋅=⨯=，故答案为：6；60.【点睛】本题考查了二项定理展开式的性质及展开式通项的简单应用，属于基础题.15．把5个不同的小球放到4个不同的盒子中，保证每个盒子都不空，不同的放法有___种.【答案】240【解析】试题分析：由题意，将5个不同的小球分为4组，分法有C 52=10，故总的放法种数有10A 44=240.【考点】本题主要考查简单排列组合应用问题，计数原理．点评：易错题，解题的关键是理解题意将此问题分为两步求解，先分组，再排列．16．已知函数2,(0)()21,(0)x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数为______．【答案】4【解析】根据函数解析式画出图像，利用换元法令()tf x =，可知()12f t =；结合函数图像及解析式可求得t的值，再结合图像即可确定方程解的个数，即为函数零点的个数.【详解】函数2,(0)()21,(0)x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，画出函数图像如下图所示：函数1()(())2g x f f x =-的零点，即1(())2f f x =，令()t f x =，代入可得()12f t =，由图像可知t 满足012t t e <⎧⎪⎨=⎪⎩或201212t t t ≥⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得ln 2t =-，12t =-或12t =+，所以()ln 2f x =-，()212f x =-或()212f x =+，结合函数图像可知，()ln 2f x =-无解；()212f x =-有3个解，()212f x =+有1个解，综合可知，函数1()(())2g x f f x =-的零点有4个，故答案为：4.【点睛】本题考查了函数图像的画法，函数零点与方程解的关系，数形结合法判断函数零点个数的应用，属于中档题.17．已知a R ∈，函数16()f x x a a x =+-+在区间[2,5]上的最大值为10，则a 的取值范围是______．【答案】(],9-∞【解析】结合基本不等式及定义域可求得[]168,10x x +∈，对a 分类讨论，结合最大值为10即可由最值求得a 的取值范围.【详解】当[2,5]x ∈，由打勾函数性质可知[]168,10x x+∈，当8a ≤时，函数可化为1616()f x x a a x x x=+-+=+，则由[]168,10x x +∈，所以当8a ≤时恒成立；当810a <<时，{}max max ()8,10f x a a a a=-+-+，即{}max max ()28,10f x a =-，所以当2810a -≤时，满足最大值为10，解得9a ≤，即89a <≤；当10a ≥时，函数可化为1616()2f x a x a a x x x ⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最大值为2810a -=，解得9a =，（舍）；综上所述，a 的取值范围为(],9a ∈-∞.故答案为：(],9-∞.【点睛】本题考查了含绝对值不等式的解法，由基本不等式及定义域确定函数的值域，分类讨论思想的综合应用，属于中档题.三、解答题18．从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：(1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？(2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？(3)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？【答案】（1）30；（2）91种；（3）120种.【解析】【详解】试题分析：（1）根据题意，分别计算“从5名男生中选出2人”和“从4名女生中选出2人”的选法数目，由分步计数原理计算可得答案；（2）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数目，即可得答案；（3）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数目，即可得答案．试题解析：(1)422560C C ⋅=；(2)方法1：(间接法)在9人选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为：449791C C -=(种)；方法2：(直接法)甲在内乙不在内有37C 种，乙在内甲不在内有37C 种，甲、乙都在内有27C 种，所以男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法共有：3277291C C +=(种).(3)方法1：(间接法)在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为：444954C C C 120--=(种)；方法2：(直接法)分别按含男1，2，3人分类，得到符合条件的选法总数为：132231545454120C C C C C C ++=(种).点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．19．设函数2()ln (,)f x x ax bx a b R =-+∈，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为0y =．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值．【答案】（Ⅰ）11a b =⎧⎨=⎩；（Ⅱ）()0f x =极大值，无极小值.【解析】（Ⅰ）根据函数解析式，求得导函数()f x '，由切线方程可得切线的斜率和切点坐标，即可由导数的几何意义求得a ，b 的值；（Ⅱ）将a ，b 的值代入解析式及导函数，并令()0f x '=，判断函数的极值点及单调性，即可求得在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值．【详解】（Ⅰ）函数2()ln (,)f x x ax bx a b R =-+∈，则1()2f x ax b x'=-+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为0y =．则(1)120f a b '=-+=，切点坐标为()1,0，将切点代入函数解析式可得0a b -+=，所以1200a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2()ln f x x x x =-+，定义域为()0,∞+，则2121()21x x f x x x x-++'=-+=，令()0f x '=，解得1x =，12x =-（舍），当01x <<时，()0f x '>，所以()f x 在01x <<内单调递增，当1x <时，()0f x '<时，所以()f x 在1x <内单调递减，因为自变量1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭内单调递增，()f x 在区间(]1,e 内单调递减，所以()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦内极大值为()(1)0f x f ==极大值，无极小值.【点睛】本题考查了导数的几何意义的简单应用，由切线方程确定参数，利用导数求闭区间内的极值，属于基础题.20．已知二次函数()f x 满足(1)()21f x f x x +-=-，(0)3f =-．（Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）设()1g x kx =+，若0.5()log [()()]F x g x f x =-在区间[2,3]上单调递增，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2()23f x x x =--（Ⅱ）1,23⎛⎤- ⎥⎝⎦.【解析】（Ⅰ）设出二次函数解析式，根据所给等式，代入后即可确定系数，进而得函数()f x 的表达式；（Ⅱ）将()f x 和()g x 解析式代入()F x ，根据复合函数单调性的性质可得()()224h x x k x =-+++在区间[2,3]上单调递减且大于0，由二次函数对称性及对数函数定义域要求即可解方程组求得k 的取值范围．【详解】（Ⅰ）()f x 为二次函数，设2()f x ax bx c =++，0a ≠，由(0)3f =-，代入可得3c =-；则()()2(1)11f x a x b x c +=++++，所以()()()()()22111f x f x a x b x c ax bx c ⎡⎤+-=++++-++⎣⎦2ax a b =++，因为(1)()21f x f x x +-=-所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以2()23f x x x =--.（Ⅱ）2()23f x x x =--，()1g x kx =+，所以0.5()log [()()]F x g x f x =-()20.5log 24x k x ⎡⎤=-+++⎣⎦，因为()F x 在区间[2,3]上单调递增，由复合函数单调性的性质可知，()()224h x x k x =-+++在区间[2,3]上单调递减且大于0，所以()222233240k k +⎧≤⎪⎨⎪-+++>⎩，解得123k -<≤，即k 的取值范围为1,23⎛⎤-⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，对数型复合函数单调性求参数的取值范围，注意对数函数定义域的要求，属于基础题.21．设函数()ln(1)f x x x =-+．（Ⅰ）求证：ln(1)x x ≥+；（Ⅱ）若0a b >>，求证：1ln(1)ln(1)a b e a b +->+++．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）根据所给函数解析式，求得()f x '并令()0f x '=求得极值点和函数单调区间，进而求得函数的最大值，即可证明不等式ln(1)0x x -+≥恒成立，即ln(1)x x ≥+成立.（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，可知ln(1)ln(1)a b a b +>+++，进而将不等式等价变形为1a b e a b +->+，构造函数()1x g x e x =--，求得导函数()g x '，利用导函数可证明()g x 的单调性，从而可证明()0g x >恒成立，进而原不等式得证.【详解】（Ⅰ）证明：函数()ln(1)f x x x =-+，定义域为()1,-+∞，则1()111x f x x x '=-=++，令()0f x '=，解得0x =，当10x -<<时，()0f x '<，所以()ln(1)f x x x =-+在10x -<<内单调递减；当0x >时，()0f x '>，所以()ln(1)f x x x =-+在0x <内单调递增；即()f x 在0x =处取得最小值，min ()(0)0ln(01)0f x f ==-+=，即ln(1)0x x -+≥恒成立，所以ln(1)x x ≥+，原不等式得证.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，0a b >>时ln(1),ln(1)a a b b >+>+，所以ln(1)ln(1)a b a b +>+++，则要证原不等式1ln(1)ln(1)a b ea b +->+++即证1a b e a b +->+，即()10a b e a b ++->-，令()1x g x e x =--，0x >，则()10x g x e =-'>，所以()1x g x e x =--在0x >时单调递增，所以()()00gx g >=，即10x e x -->在0x >时恒成立，所以()10a b ea b ++->-成立，即1ln(1)ln(1)a b e a b +->+++成立，原不等式得证.【点睛】本题考查了利用导数证明不等式成立，导数与函数单调性、极值和最值的综合应用，构造函数法证明不等式的应用，属于中档题.22．已知函数()2f x x a =-，()|1|g x a x =-，a R ∈．（Ⅰ）若1a =，求满足()(1)1g x g x +->的实数x 的取值范围；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =+，若存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()216h x h x -≥成立，试求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）()(),12,-∞⋃+∞；（Ⅱ）(][),14,-∞+∞ .【解析】（Ⅰ）将1a =代入解析，分类讨论1x <、12x ≤≤、2x >三种情况，即可解不等式得解集.（Ⅱ）将()f x 和()g x 解析式代入()h x ，并由[2,2]x ∈-可写成分段函数形式；根据不等式()()216h x h x -≥成立，可知需满足()()max min 6h x h x -≥，进而讨论a 的不同取值范围，结合分段函数确定最大值与最小值，代入不等式即可确定a 的取值范围．【详解】（Ⅰ）当1a =时，代入可得函数()1g x x =-，所以()(1)12g x g x x x +-=-+-，当1x <时，()(1)23g x g x x +-=-+，若()(1)1g x g x +->，即231x -+>，解得1x <，所以1x <满足不等式，当12x ≤≤时，()(1)1g x g x +-=，不满足不等式()(1)1g x g x +->，此时无解；当2x >时，()(1)23g x g x x +-=-，若()(1)1g x g x +->，即231x ->，解得2x >，所以2x >满足不等式成立，综上可知不等式的解集为()(),12,-∞⋃+∞.（Ⅱ）函数()2f x x a =-，()|1|g x a x =-，由题意()()()h x f x g x =+21x a a x =-+-(2),21(2)2,12a x x a x a x --≤<⎧=⎨+-≤≤⎩因为存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()216h x h x -≥成立，所以只需()()max min 6h x h x -≥；（1）当2a ≤-时，20,20a a ->+≤，则()h x 在[)2,1-内单调递增，在[]1,2内单调递减，所以()()max 12hx h a ==-，因为()()224,24,ha h -=-=所以()()22h h -<，所以()()min 224h x h a =-=-，所以需()()()()max min 2246hx h x a a -=---≥，解得0a ≤，又因为2a ≤-，所以2a ≤-；（2）当22a -<<时，20,20a a ->+>，则()h x 在[2,2]-内单调递增，所以()()max 24h x h ==，()()min 224h x h a =-=-，所以需()()()max min 4246hx h x a -=--≥，解得1a ≤，又因为22a -<<，所以21a -<≤；（3）当2a ≥时，20,20a a -<+>，则()h x 在[)2,1-内单调递减，在[]1,2内单调递增，所以()()min 12h x h a ==-：①当24a ≤<时，因为()()224,24,h a h -=-=所以()()22h h -<，所以()()max 24h x h ==，则需满足()()()max min 426hx h x a -=--≥，解得4a ≥，又因为24a ≤<，所以此时无解；②当4a ≥时，因为()()224,24,h a h -=-=所以()()22h h ->，所以()()max 224h x h a =-=-，则需满足()()()max min 2426hx h x a a -=---≥，解得4a ≥，满足题意.综上所述，a 的取值范围为(][),14,-∞+∞ .【点睛】本题考查了含绝对值不等式的解法，分类讨论解含绝对值的不等式，存在性成立问题的综合应用，分类讨论的过程较为繁琐，属于难题.。
2018-2019学年浙江省嘉兴一中、湖州中学高二(下)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年浙江省嘉兴一中、湖州中学高二（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若复数（2+i）（1+ai）是纯虚数（i是虚数单位，a是实数），则a等于（）A. B. C. 2 D. 32.双曲线x2-=1的渐近线方程是（）A. B. C. D.3.某个命题与正整数n有关，如果当n=k+1，（k∈N+）时命题成立，那么可推得当n=k时命题也成立．现已知当n=2019时该命题不成立，那么可推得（）A. 当时该命题不成立B. 当时该命题成立C. 当时该命题不成立D. 当时该命题成立4.经过点，且与椭圆相切的直线方程是（）A. B. C.D.5.方程所表示的曲线是（）A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在y轴上的椭圆C. 焦点在x轴上的双曲线D. 焦点在y轴上的双曲线6.设函数，则（）A. 为的极大值点B. 为的极小值点C. 为的极大值点D. 为的极小值点7.设抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA丄l，垂足为A，如果△APF为正三角形，那么|PF|等于（）A. B. C. 6 D. 128.有七名同学排成一排，其中甲，乙两人不能在一起，丙，丁两人要排在一起的排法数是（）A. 960B. 720C. 480D. 2409.已知抛物线y2=2px（p＞0）与椭圆（a＞b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.10.从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取三个不同的元素作为直线l：ax+by+c=0中a，b，c的值．若直线l的倾斜角小于135°，且l在x轴上的截距小于-1，那么不同的直线l有（）A. 109条B. 110条C. 111条D. 120条二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.计算：=______；=______．（用数字作答）12.与双曲线：有共同的渐近线，并且经过点，的双曲线C2方程是______，其C2离心率是______．13.函数的增区间是______，曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程是______．14.用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成______个无重复数字的三位数，也可以组成______个能被5整除且无重复数字的五位数．15.已知圆C：x2+y2+8x+ay-5=0经过抛物线E：x2=4y的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为______．16.双曲线x2-y2=1与直线x+2y+3=0交于A，B两点，且线段AB中点为P，O为坐标原点，则直线OP的斜率是______．17.已知P是椭圆=1（a1＞b1＞0）和双曲线=1（a2＞0，b2＞0）的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，∠F1PF2=，则的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的减区间；（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，求f（x）的值域．19.已知椭圆：＞＞经过两点（0，1），，．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线l：x-y-1=0交椭圆E于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求△AOB 的面积S．20.已知函数f（x）=e x-x（e为自然对数的底数）（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立，求实数a的取值范围．21.已知点F是抛物线C：y2=x的焦点，S是抛物线C在第一象限内的点，且|SF|=．（Ⅰ）求点S的坐标；（Ⅱ）以S为圆心的动圆与x轴分别交于两点A、B，延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点；①判断直线MN的斜率是否为定值，并说明理由；②延长NM交x轴于点E，若|EM|=|NE|，求cos∠MSN的值．22.已知函数．（Ⅰ）求f（x）极大值；（Ⅱ）求证：＞，其中n∈N+，n≥2．（Ⅲ）若方程f（x）=t有两个不同的零点x1，x2，求证：x1+x2＞2答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的基本运算以及基本概念的应用，考查计算能力．利用复数的乘法运算法则化简复数，通过复数虚部不为0，实部为0，求解即可．【解答】解：复数（2+i）（1+ai）=2-a+（2a+1）i，复数（2+i）（1+ai）=2-a+（2a+1）i 是纯虚数，可得2-a=0，2a+1≠0，解得a=2．故选C．2.【答案】A【解析】解：双曲线x2-=1的焦点在x轴上，其中a=1，b=，则其渐近线方程为y=±x；故选：A．根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a、b的值以及焦点的位置，由双曲线的渐近线方程分析可得答案．考查双曲线的几何性质，注意分析双曲线焦点的位置．3.【答案】A【解析】解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P（n）对n=2019不成立，P（n）对n=2020也不成立，否则，n=2020成立，由已知推得n=2019也成立．与当n=2019时该命题不成立矛盾．故选：A．由归纳法的性质，我们由P（n）对n=k+1成立，则它对n=k也成立，由此类推，对n＜k的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k+1也不成立，由此类推，对n＞k的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．当P（n）对n=k+1成立，则它对n=k也成立，由此类推，对n＜k的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k+1也不成立．对n＞k的任意整数均不成立．4.【答案】A【解析】解：根据题意，椭圆，点P（1，），有+（）2=1，即P在椭圆上，则过点且与椭圆相切的直线方程为+y=1，变形可得：x+2y-4=0；故选：A．根据题意，分析可得P在椭圆上，结合椭圆的切线方程可得要求直线的方程为+y=1，变形即可得答案．本题考查直线与椭圆的位置关系，注意分析点P与椭圆的关系，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：∵-1≤sinθ≤1，∴2sinθ+3＞0．sinθ-2＜0，方程所表示的曲线是：表示焦点在x轴上的双曲线，故选：C．利用sinθ值的范围，求得2sinθ+3与sinθ-2的范围，结合标准形式判断曲线的形状．本题考查双曲线的标准方程的特征，正弦函数的值域，利用好曲线的标准形式，是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：f′（x）=-+=，（x＞0），令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故x=2是函数的极小值点，故选：D．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值点即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．7.【答案】C【解析】解：∵抛物线方程为y2=6x，∴焦点F（1.5，0），准线l方程为x=-1.5，∵△APF为正三角形，∴直线AF的斜率为-，∴直线AF的方程为y=-（x-1.5），与x=-1.5联立，可得A点坐标为（-1.5，3）∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为3，代入抛物线方程，得P点坐标为（4.5，3），∴|PF|=|PA|=4.5-（-1.5）=6故选：C．先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF的斜率得到AF方程，与准线方程联立，解出A点坐标，因为PA丄l，所以P点与A点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P点横坐标，利用抛物线的定义就可求出|PF|长．本题主要考查抛物线的几何性质，定义的应用，以及曲线交点的求法，属于综合题．8.【答案】A【解析】解：根据题意，利用分步计数原理，首先用捆绑法将丙丁两人捆绑在一起作为一个人，将甲、乙拿出后全部排列有A44种排法，排列后的5个空选2个空将甲乙两人去插如可得有A52种排法，将丙丁两人捆绑在一起进行排列有A22种排法，所以满足条件的排法有：A44A52A22=960种排法，故选：A．利用分步计数原理，首先用捆绑法将丙丁两人捆绑在一起作为一个人，再将甲、乙拿出后全部排列，最后甲乙两人去插空即可得到答案．本题考查排列组合的应用，利用分步计数原理，捆绑法和插空法计算可得．属于中档题．9.【答案】B【解析】解：如图所示，∵AF⊥x轴，∴=c，把x=代入抛物线方程可得：y2=，解得y=p．∴A，即A（c，2c）．代入椭圆的方程可得：=1，又b2=a2-c2，∴=1，化为e4-6e2+1=0，0＜e＜1．解得e2=3-2，∴-1．故选：B．如图所示，由AF⊥x轴，可得=c，分别代入椭圆与抛物线标准方程可得：A，即A（c，2c）．代入椭圆的方程可得：=1，又b2=a2-c2，利用离心率计算公式即可得出．本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：直线l：ax+by+c=0可化为，l在x轴上的截距为∵直线l的倾斜角小于135°，且l在x轴上的截距小于-1，∴∴c＞a＞b，共有种其中重复的项，（c，a，b）从b=1开始：（3，2，1），（6，4，2），（9，6，3）（重复2次）；（4，2，1），（8，4，2）（重复1次）；（5，2，1），（10，4，2）（重复1次）；（4，3，1），（8，6，2）（重复1次）；（5，3，1），（10，6，2）（重复1次）；（5，4，1），（10，8，2）（重复1次），共7个重复组合；b=2：（4，3，2），（8，6，4）（重复1次）；（（5，3，2），（10，6，4）（重复1次）；（5，4，2），（10，8，4）（重复1次），共3个重复组合；b=3：（5，4，3），（10，8，6）共1个重复组合所以不同的直线l有：120-7-3-1=109条．故选：A．先将直线l：ax+by+c=0化为，l在x轴上的截距为，利用直线l的倾斜角小于135°，且l在x轴上的截距小于-1，可得c＞a＞b，共有种，再考虑重复情况，即可得到不同的直线l的种数．本题考查计数原理的运用，解题的关键是分析出c＞a＞b，排除重复情况，很容易出错．11.【答案】20 35【解析】解：A=5×4=20；C+C=C=35．故答案为：20，35．根据排列数公式组合数性质以及组合数公式可得．本题考查了排列及排列数公式，属基础题．12.【答案】 2【解析】解：根据题意，双曲线C2与双曲线有共同的渐近线，设C2的方程为-=t，又由双曲线C2经过点，则有-=t，即t=-5，则双曲线C2方程为-=1，其中a=，b=3，则c==2，其离心率e==2；故答案为：-=1，2．根据题意，由双曲线的几何性质设C2的方程为-=t，将点M的坐标代入计算可得t的值，即可得双曲线C2方程，进而求出a、b、c的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是设出双曲线C2方程，属于基础题．13.【答案】（0，1] y=1【解析】解：根据题意，函数，定义域为（0，+∞），其导数f′（x）==-，若f′（x）＞0，即-＞0，解可得0＜x＜1，即函数f（x）的递增区间为（0，1），有f′（0）=0，则曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为y-0=f′（0）（x-1），即y=1；故答案为：（0，1），y=1．根据题意，分析函数的定义域，求出函数的导数，利用导数与函数单调性的关系可得f′（x）＞0，即-＞0，解可得x的取值范围，即可得函数的递增区间；进而求出f′（0）的值，由切线的几何意义分析可得答案．本题考查函数单调性的判定以及单调区间的求法，涉及曲线的切线方程，属于基础题．14.【答案】100 216【解析】解：①空、用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成无重复数字的三位数，则：三位数的最高位不能是0，有A51种排法，后两位数由剩下的数字排列则有A52种排法，采用分步计数原理，可以组成无重复数字的三位数A51A52=100个②空、分2类情况进行分析：组成能被5整除且无重复数字的五位数．个位是0和5的这两类情况，当个位是0时，剩余4位数由剩余数字任意排列有A54种排法，能被5整除且无重复数字的五位数有A11A54=120种情况，当个位是5时，最高位排除0在剩余4位数字有A41种排法，剩余中间3位数由剩余数字任意排列有A43种排法，能被5整除且无重复数字的五位数有A11A41A43=96种情况，所以：组成能被5整除且无重复数字的五位数有：A11A54+A11A41A43=120+96=216种情况，故答案为：100，216（1）第一空，采用分步计数原理讨论0的情况可得，（2）第二空则分2类情况进行分析，利用分类和分步的计数原理分别求出每种情况下的取法数目可得答案．本题考查分类和分步的计数原理的运用，关键是分析0在数字中的位置情况，进而确定分类的方法．15.【答案】4【解析】解：抛物线E：x2=4y的焦点为（0，1），准线为y=-1．（0，1）代入圆C：x2+y2+8x+ay-5=0，可得1+a-5=0，∴a=4∴圆C：x2+y2+8x+4y-5=0，即（x+4）2+（y+2）2=25，∴圆心到直线的距离为d=1，∴抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为2=4．故答案为：4．求出抛物线E：x2=4y的焦点为（0，1），准线为y=-1，确定圆的方程，即可求出抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长．本题考查圆的方程，考查抛物线的性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．16.【答案】-2【解析】解：x2-y2=1与直线x+2y+3=0联立可得3y2+12y+8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=-4，可得P的纵坐标-2，横坐标为1，则直线OP的斜率为-2．故答案为：-2．联立直线方程和双曲线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得P的坐标，由直线的斜率公式可得所求值．本题考查直线和双曲线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及直线的斜率公式，考查化简运算能力，属于基础题．17.【答案】【解析】解：设P为第一象限的交点，|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得，m+n=2a1，由双曲线的定义可得，m-n=2a2，解得m=a1+a2，n=a1-a2，在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2==，即为m2+n2-mn=4c2，即有2a12+2a22-a12+a22=4c2，即a12+3a22=4c2，由离心率e=，可得+=4，设=cosα，=2sinα，则=cosα+2sinα=sin（α+θ）（θ为辅助角），=sin（α+θ），当sin（α+θ）=1，即α+θ=时，取得最大值．故答案为：．设P为第一象限的交点，|PF1|=m，|PF2|=n，运用椭圆和双曲线的定义，求得m=a1+a2，n=a1-a2，再由余弦定理和离心率公式可得+=4，设=cosα，=2sinα，由辅助角公式，运用正弦函数的值域即可得到最大值．本题考查最值的求法，注意运用椭圆和双曲线的定义和性质：离心率，以及三角换元，辅助角公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（I）根据题意，函数，其导数f'（x）=x2+2x当f'（x）=x2+2x＜0，解得x∈（-2，0）即f（x）的减区间（-2，0）；（II）当f'（x）=x2+2x＞0，解得x∈（-∞，-2）∪（0，+∞）即f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，则f（0）=0，f（1）=+1=，f（-1）=-+1=，则f（x）的值域，．【解析】（Ⅰ）根据题意，求出函数的导数，结合函数的导数与单调性的关系分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，由函数的导数与单调性的关系分析可得f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，进而求出f（0）与f（1）、f（-1）的值，据此分析可得答案．本题考查函数的单调性的判定与单调区间，涉及函数的值域计算，属于基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆：＞＞经过两点（0，1），，．则有，解得：a=2，b=1即椭圆E的方程为+y2=1．（Ⅱ）记A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为x=y+1．由消去x得5y2+2y-3=0，所以，设直线l与x轴交于点P（1，0）S=|OP||y1-y2|S=．【解析】（Ⅰ）根据题意，将两个点的坐标代入椭圆的方程，可得，解可得a、b的值，即可得椭圆的方程；（Ⅱ）记A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，5y2+2y-3=0，解可得y 的值，即可得直线l与x轴交点的坐标，结合三角形面积公式计算可得答案．本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的标准方程，关键是求出椭圆的标准方程．20.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x-x，∴f′（x）=e x-1，令f′（x）＞0，解得x＞0，令f′（x）＜0，得x＜0，∴f（x）在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）单调递增，∴当x=0时，f（x）取得极小值1．（Ⅱ）∵不等式f（x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊂P，∴c对于任意x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立，由f（x）＞ax，得（a+1）x＜e x，当x=0时，上述不等式显然成立，故只需考虑x∈（0，2]的情况，将（a+1）x＜e x变形为a＜，令g（x）=，则g（x）的导数，令g′（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，∴g（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增，∴当x=1时，g（x）取得最小值e-1，从而实数a的取值范围是（-∞，e-1）．【解析】（Ⅰ）由已知得f′（x）=e x-1，由此利用导数性质能求出f（x）的最小值．（Ⅱ）由已知得c对于任意x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立，由f（x）＞ax，得（a+1）x＜e x，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．本题考查函数的最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．21.【答案】解：（Ⅰ）设S（x0，y0）（y0＞0），由已知得F，，则|SF|=，，∴y0=1，∴点S的坐标是（1，1）------------------------（2分）（Ⅱ）①设直线SA的方程为y-1=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），由得ky2-y+1-k=0，∴，，∴，．由已知SA=SB，∴直线SB的斜率为-k，∴，∴--------------（7分）②设E（t，0），∵|EM|=|NE|，∴，∴，，，则，∴k=2----------------（8分）∴直线SA的方程为y=2x-1，则，，同理，∴---------------------------（12分）【解析】（Ⅰ）设S（x0，y0）（y0＞0），由已知得F，则|SF|=，由此能求出点S的坐标．（Ⅱ）①设直线SA的方程为y-1=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），由，得ky2-y+1-k=0，所以．由已知SA=SB，知直线SB的斜率为-k，由此能导出直线MN的斜率为定值-．②设E（t，0），由|EM|=|NE|，知k=2．所以直线SA的方程为y=2x-1，则，同理．由此能求出cos∠MSN的值．本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．22.【答案】解：（Ⅰ）函数，，解得x=1，（）极大值是（）；（II）方法一：函数，由（Ⅰ）得：f（x）在x=1处取得极大值1，且该极值是唯一的，则（1-ln x）≤1，即ln x≥2（1-），当且仅当x=1时取“=”，故当i≥2时，ln i＞2（1-）=2-＞2-=2-4（-），因此ln i=ln i＞[2-4（-）]=2（n-1）-4（-1+-+…+-）=2（n-1）-4（-1）=2（-1）2．方法二：下面用数学归纳法证明：ln i＞2（-1）2，对n∈N+，n≥2恒成立．（1）当n=2时，左边=ln2＞ln=，右边=2（-1）2＜2•=，左边＞右边，结论成立；（2）假设当n=k时，结论成立，即ln i＞2（-1）2，当n=k+1时，左边=ln i=ln i+ln（k+1）＞2（-1）2+ln（k+1）=2（-1）2-2（1+2-2）+ln（k+1）而ln（k+1）-2（1+2-2）=ln（k+1）-2+＞ln（k+1）-2+，设f（x）=（1-ln x），由（Ⅰ）得：f（x）在x=1处取得极大值1，且该极值是唯一的，则（1-ln x）≤1，即ln x≥2（1-），当且仅当x=1时取“=”，则ln（k+1）-2+＞0对∀k∈N+恒成立，即2（-1）2-2（1+2-2）+ln（k+1）＞2（-1）2成立，故当n=k+1时，结论成立，因此，综合（1）（2）得ln i＞2（-1）2，对n∈N+，n≥2恒成立．（ⅡI）证明：由（Ⅰ）知方程f（x）=t有两个不同的零点x1，x2，则0＜x1＜1＜x2⇒x2＞2-x1＞1，分析法：要证x1+x2＞2⇔x2＞2-x1＞1⇔f（x2）＜f（2-x1）⇔f（x1）=f（x2）＜f（2-x1）⇔f（x1）-f（2-x1）＜0，令函数h（x）=f（x）-f（2-x），（0＜x≤1），由，得h（x）在（0，1]上递增，h（x）＜h（1）=0，即f（x1）-f（2-x1）＜0成立，由上知x1+x2＞2成立．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数和极值点，单调性，可得极大值；（II）方法一、求得最值，可得（1-lnx）≤1，即lnx≥2（1-），由累加法和两性信箱，即可得证；方法二、运用数学归纳法证明，注意运用假设和f（x）的最值，即可得证；（Ⅲ）运用分析法和构造函数h（x）=f（x）-f（2-x），（0＜x≤1），求得导数和单调性，即可得证．本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查数学归纳法的运用，以及函数的零点问题解法，考查化简运算能力，以及推理能力，属于难题．。
2018-2019学年浙江省湖州市长兴县、安吉县、德清县高二(上)期中数学试卷(精品Word版,含答案解析)
2018-2019学年浙江省湖州市长兴县、安吉县、德清县高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆心为（1，﹣1）且过原点的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=1B．（x+1）2+（y+1）2=1C．（x﹣1）2+（y+1）2=2D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=22．命题“如果x≥a2+b2，那么x≥2ab”的逆否命题是（）A．如果x＜a2+b2，那么x＜2abB．如果x≥2ab，那么x≥a2+b2C．如果x＜2ab，那么x＜a2+b2D．如果x≥a2+b2，那么x＜2ab3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．将半径为1，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．5．方程（2x+3y﹣1）（﹣1）=0表示的曲线是（）A．两条直线B．两条射线C．两条线段D．一条直线和一条射线6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为正方形ABCD的两条对角线的交点，点F是棱AB的中点，则异面直线AC1与EF所成角的正切值为（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．7．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G=λ（0＜λ＜2），则点G 到平面D 1EF 的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知点F 1，F 2分别是双曲线，的左、右焦点，O 为坐标原点，点M 在双曲线C 的右支上|F 1F 2|=2|OM|，△MF 1F 2的面积为4a 2，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．9．椭圆C ： =1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是（ ）A ．[]B ．[]C ．[]D ．[]10．如图，在△ABC 中，∠C=90°，PA ⊥平面ABC ，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，AP=AB=2，∠EAF=α，当α变化时，则三棱锥P ﹣AEF 体积的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．已知两直线l 1：（m ﹣1）x ﹣6y ﹣2=0，l 2：mx+y+1=0，若l 1⊥l 2，则m= ；若l1∥l2，则m=．12．双曲线的一条渐近线为x﹣2y=0，则m=，该双曲线的焦距是．13．正三棱锥P﹣ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则二面角P﹣AB﹣C的正切值是，点A到侧面PBC的距离是．14．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的侧视图面积为cm2，此几何体的体积为cm3．15．过直线上点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则使∠AOB最小的点P坐标是．16．椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为．17．在三棱锥ABCD中，已知AD⊥BC，AD=6，BC=2，AB+BD=AC+CD=7，则三棱锥ABCD体积的最大值是．三、解答题：本大题共5小题．共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知命题p：实数m满足：方程表示双曲线；命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若命题q为真命题，求m的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，D为AC中点．（Ⅰ）求证：直线AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1．20．已知在平面直角坐标系xOy中，圆心在直线l：y=2x﹣4上的圆C的半径为1．（Ⅰ）若圆C与x轴交于A，B两点，且∠ACB=120°，求圆C的方程；（Ⅱ）是否存在直线m，使其被圆C的截得的弦长总为，若存在，求出直线m方程．若不存在，请说明理由．21．如图，在几何体ABCDE中，△AED为等边三角形，AB∥CD，∠ABC=90°，∠BAD=60°，AD=AB=2，BE=3．（Ⅰ）求证：AD⊥BE（Ⅱ）求直线BE与平面AED所成的角的大小．22．已知椭圆过点，且它的离心率．直线l：y=kx+t与椭圆C1交于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当时，求证：M、N两点的横坐标的平方和为定值；（Ⅲ）若直线l与圆相切，椭圆上一点P满足，求实数m 的取值范围．2018-2019学年浙江省湖州市长兴县、安吉县、德清县高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆心为（1，﹣1）且过原点的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=1B．（x+1）2+（y+1）2=1C．（x﹣1）2+（y+1）2=2D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2【分析】已知圆心，先求出圆的半径，可得圆的方程．【解答】解：圆心为（1，﹣1）且过原点的圆的半径为=，故圆心为（1，﹣1）且过原点的圆的圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=2，故选：C．【点评】本题主要考查求圆的标准方程，关键是确定半径，属于基础题．2．命题“如果x≥a2+b2，那么x≥2ab”的逆否命题是（）A．如果x＜a2+b2，那么x＜2abB．如果x≥2ab，那么x≥a2+b2C．如果x＜2ab，那么x＜a2+b2D．如果x≥a2+b2，那么x＜2ab【分析】根据命题的逆否命题的概念，即是逆命题的否命题，也是逆命题的否命题；写出逆命题，再求其否命题即可．【解答】解：命题的逆命题是：如果x≥2ab，那么x≥a2+b2∴逆否命题是：如果x＜2ab，那么x＜a2+b2，故选：C．【点评】本题主要考查四种命题间的关系．如图3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．4．将半径为1，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．【分析】求出圆锥的底面半径、高，即可求出圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=，∴r=，∴圆锥的高为=，∴圆锥的体积V=•π••=，故选：B．【点评】本题考查圆锥的体积，考查学生的计算能力，正确求出圆锥的底面半径、高是关键．5．方程（2x+3y﹣1）（﹣1）=0表示的曲线是（）A．两条直线B．两条射线C．两条线段D．一条直线和一条射线【分析】由已知的方程得到2x+3y﹣1=0或．然后在满足根式有意义的前提下化简．从而得到方程（2x+3y﹣1）（﹣1）=0表示的曲线．【解答】解：由（2x+3y﹣1）（﹣1）=0，得2x+3y﹣1=0或．即2x+3y﹣1=0（x≥3）为一条射线，或x=4为一条直线．∴方程（2x+3y﹣1）（﹣1）=0表示的曲线是一条直线和一条射线．故选：D．【点评】本题考查了曲线与方程，关键是对含有根式方程的化简，是中档题．6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为正方形ABCD的两条对角线的交点，点F是棱AB的中点，则异面直线AC1与EF所成角的正切值为（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】推导出EF∥AD，从而∠DAC1是异面直线AC1与EF所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AC1与EF所成角的正切值．【解答】解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为正方形ABCD的两条对角线的交点，点F是棱AB的中点，∴EF∥AD，∴∠DAC1是异面直线AC1与EF所成角（或所成角的补角），设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为a，则DC1=，AD=a，∴tan∠DAC1===．∴异面直线AC1与EF所成角的正切值为．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．7．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0＜λ＜2），则点G到平面D1EF的距离为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点G到平面D1EF的距离．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则G（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1），=（﹣2，0，1），=（0，2，0），=（0，λ，1），设平面D1EF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，2），∴点G到平面D1EF的距离为：d===．故选：D．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．8．已知点F1，F2分别是双曲线，的左、右焦点，O为坐标原点，点M在双曲线C的右支上|F1F2|=2|OM|，△MF1F2的面积为4a2，则双曲线C 的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由直角三角形的判定定理可得△MF1F2为直角三角形，且MF1⊥MF2，运用双曲线的定义，可得|MF1|﹣|MF2|=2a，结合三角形的面积，可得双曲线的离心率．【解答】解：由|F1F2|=2|OM|，可得|OM|=c，即有△MF1F2为直角三角形，且MF1⊥MF2，∵△MF1F2的面积为4a2，∴|MF1|•|MF2|=8a2，∵|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=4c2，∴（|MF1|﹣|MF2|）2=|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1|•|MF2|，由双曲线定义可得|MF1|﹣|MF2|=2a，∴16a2=4c2﹣4a2，∴双曲线C的离心率为：故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的定义和直角三角形的性质，考查运算能力，属于中档题．9．椭圆C：=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．[]B．[]C．[]D．[]【分析】由题意求A1、A2的坐标，设出点P的坐标，代入求斜率，进而求PA1斜率的取值范围．【解答】解：由椭圆的标准方程可知，左右顶点分别为A1（﹣3，0）、A2（3，0），设点P（m，n）（m≠±3），则…①，=，=；则•=•=．将①式代入得•=．∵∈[﹣2，﹣1]，∴∈[]．故选：B．【点评】本题考查了圆锥曲线的简单性质应用，同时考查了直线的斜率公式及学生的化简能力，属于基本知识的考查．10．如图，在△ABC中，∠C=90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，AP=AB=2，∠EAF=α，当α变化时，则三棱锥P﹣AEF体积的最大值是（）A．B．C．D．【分析】等腰Rt△PAB中，算出AE=PE=BE．由线面垂直的判定与性质，证出PB⊥面AEF，得PB⊥EF．在Rt△AEF中，算出AF、EF，可得S△AEF，利用三角函数知识，即可得出答案．【解答】解：在Rt△PAB中，PA=AB=2，∴PB=2，∵AE⊥PB，∴AE=PB=，∴PE=BE=．∵PA⊥底面ABC，得PA⊥BC，AC⊥BC，PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC，可得AF⊥BC∵AF⊥PC，BC∩PC=C，∴AF⊥平面PBC∵PB⊂平面PBC，∴AF⊥PB∵AE⊥PB且AE∩AF=A，∴PB⊥面AEF，结合EF⊂平面AEF，可得PB⊥EF．∵AF⊥平面PBC，EF⊂平面PBC．∴AF⊥EF．∴Rt△AEF中，AF=cosnα，EF=sinα=AF•EF=×sinα×cosα=sin2α∴S△AEF有最大值为，∴当sin2α=1，即α=45°时，S△AEF此时，三棱锥P﹣AEF的体积的最大值为×=．故选：C．【点评】本题着重考查了线面垂直的判定与性质、解直角三角形等知识点，属于中档题．同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，是一道综合性较强的题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知两直线l1：（m﹣1）x﹣6y﹣2=0，l2：mx+y+1=0，若l1⊥l2，则m=3或﹣2；若l1∥l2，则m=．【分析】利用斜率与直线相互垂直及其平行的关系即可得出．【解答】解：由m（m﹣1）﹣6=0，解得m=3或﹣2．此时满足l1⊥l2．由m﹣1+6m=0，解得m=，经过验证满足l1∥l2．故答案为：m=3或﹣2，．【点评】本题考查了斜率与直线相互垂直及其平行的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．双曲线的一条渐近线为x﹣2y=0，则m=4，该双曲线的焦距是．【分析】利用双曲线的渐近线方程，转化求解m即可，然后求解双曲线的焦距．【解答】解：双曲线的一条渐近线为x﹣2y=0，可得=，解得m=4，所以双曲线的焦距为2c=2．故答案为：4；2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．13．正三棱锥P﹣ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则二面角P﹣AB﹣C的正切值是2，点A到侧面PBC的距离是．【分析】作PO⊥底面ABC，交面ABC于点O，连线路AO并延长并AC于点D，取AB中点E，连结PE，CE，则点O在CE上，PE⊥AB，CE⊥AB，∠PEO是二面角P﹣AB﹣C的平面角，由此能求出二面角P﹣AB﹣C的正切值；在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．【解答】解：作PO⊥底面ABC，交面ABC于点O，连线路AO并延长并AC于点D，取AB中点E，连结PE，CE，则点O在CE上，PE⊥AB，CE⊥AB，∴∠PEO是二面角P﹣AB﹣C的平面角，∵正三棱锥P﹣ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，∴PO=2，∠PBO=45°，∠POB=90°，∴BO=CO=2，EO=1，∴二面角P﹣AB﹣C的正切值tan∠PEO==2，又BD=3，PB==2，设CD=x，则BC=2x，由勾股定理得4x2﹣x2=9，解得x=，∴BC=2，∴S△ABC==3．∵PD==，∴S△PAC==．∵V P﹣ABC =V A﹣PBC，设点A到面PBC的距离为h，∴=，解得h=．∴点A到面PBC的距离为．故答案为：2，．【点评】本题考查二面角的正切值的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．14．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的侧视图面积为4cm2，此几何体的体积为8cm3．【分析】由已知中的三视图可知：该几何体是以正视图为底面的四棱锥，计算出几何体的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：几何体的侧视图是直角三角形，直角边长为4，2，面积为×4×2=4由已知中的三视图可知：该几何体是以正视图为底面的四棱锥，其底面面积S=×（2+4）×4=12，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==8，故答案为：4，8．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．15．过直线上点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则使∠AOB最小的点P坐标是．【分析】首先把∠AOB最小的问题转化为三角函数的最值问题，进一步转化为点到直线的距离最短问题，然后得解．【解答】解：法1：如图可知，cosα==，∴当OP与直线垂直时，OP最小，cosα最大，α最小，从而∠AOB最小，此时直线OP的方程为：y=x，与直线x+y﹣2=0联立，解得P点坐标为（，），法2：如图可知sinθ==，∴当OP与直线垂直时，OP最小，θ最大，进而∠APB最大，又∠APB与∠AOB互补，从而∠AOB最小．此时直线OP的方程为：y=x，与直线x+y﹣2=0联立，解得P点坐标为（，）．【点评】此题考查了角的最值向线段的最值转化的过程，应该属于容易题．16．椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为．【分析】设出椭圆与双曲线的标准方程分别为：（a＞b＞0），（a1＞0，b1＞0），利用定义可得：m+n=2a，m﹣n=2a1，解出m，n．利用余弦定理可得关于e1，e2的等式，再由基本不等式求得当e1e2取最小值．【解答】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：（a＞b＞0），（a1＞0，b1＞0），设|PF1|=m，|PF2|=n．m＞n．则m+n=2a，m﹣n=2a1，∴m=a+a1，n=a﹣a1．cos==，化为：（a+a1）2+（a﹣a1）2﹣4c2=（a+a1）（a﹣a1）．∴a2+3a12﹣4c2=0，∴+=4，∴4≥2，则≤，即e1e2≥，当且仅当e1=，e2=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17．在三棱锥ABCD中，已知AD⊥BC，AD=6，BC=2，AB+BD=AC+CD=7，则三棱锥ABCD体积的最大值是3．【分析】过BC作与AD垂直的平面，交AD于E，过E作BC的垂线，垂足为F，则V=S△BCE×AD，进而可分析出当BE取最大值时，EF取最大值时，三棱锥D﹣ABC 的体积也取最大值，利用椭圆的几何意义及勾股定理，求出EF的最大值，可得答案．【解答】解：过BC作与AD垂直的平面，交AD于E，过E作BC的垂线，垂足为F，如图所示：∵BC=2，AD=6，×（AE+DE）则三棱锥D﹣ABC体积V=S△BCE=S△BCE×AD=וBC•EF×AD=2EF．故EF取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值．即BE取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值．在△ABD中，动点B到A，D两点的距离和为7，故B在以AD为焦点的椭圆上，此时a=，c=3，故BE的最大值为b==，此时EF=．故三棱锥D一ABC的体积的最大值是2EF=2×．故答案为：3．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积，其中将求棱锥体积的最大值，转化为求椭圆上动点到长轴的距离最远是解答的关键，是中档题．三、解答题：本大题共5小题．共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知命题p：实数m满足：方程表示双曲线；命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若命题q为真命题，求m的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据椭圆的定义得到关于m的不等式，解出即可；（2）关于双曲线的定义解出关于p的不等式，结合充分必要条件的定义得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）因为命题q为真命题，∴2﹣m＞m﹣1＞0，∴1＜m＜；（2）方程表示双曲线；则（m﹣3a）（m﹣4a）＜0，（a＞0），解得：3a＜m＜4a，∵p是q的充分不必要条件，∴，解得：．【点评】本题考查了充分必要条件，考查椭圆、双曲线的定义，是一道基础题．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，D为AC中点．（Ⅰ）求证：直线AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1．【分析】（1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．可得DO为△AB1C中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D ⊥平面ACC1A；【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，∴A1B∥OD．∵OD⊂平面AB1C，A1B⊄平面AB1C，∴直线AB1∥平面BC1D；（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，∵底面ABC正三角形，D是AC的中点∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；【点评】本题考查了直三棱柱的性质，求证线面平行、面面垂直，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，属于中档题．20．已知在平面直角坐标系xOy中，圆心在直线l：y=2x﹣4上的圆C的半径为1．（Ⅰ）若圆C与x轴交于A，B两点，且∠ACB=120°，求圆C的方程；（Ⅱ）是否存在直线m，使其被圆C的截得的弦长总为，若存在，求出直线m方程．若不存在，请说明理由．【分析】利用由弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可顺利求解．【解答】解：（1）设圆心C（p，2p﹣4），圆C与x轴交于A、B两点，则∠ACB=120°，且由弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可得∴圆心到x轴的距离为，∴|2p﹣4|=，∴p=或∴圆心C的坐标为（，），或（，﹣）∴圆C的方程为或．（2）∵弦长总为，半径为1，∴由弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可得圆心C到直线m的距离总为，即直线m与l平行且距离为，设直线m的方程为：2x﹣y+n=0，则=，解得n=﹣4±∴存在直线m，其方程为或．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系中的重点内容，即由弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形，并综合考查了圆的方程和直线方程的求法，属中档题．21．如图，在几何体ABCDE中，△AED为等边三角形，AB∥CD，∠ABC=90°，∠BAD=60°，AD=AB=2，BE=3．（Ⅰ）求证：AD⊥BE（Ⅱ）求直线BE与平面AED所成的角的大小．【分析】（Ⅰ）取AD中点H，连结EH，BH．证明AD⊥EH，AD⊥BH，推出AD⊥平面BEH，即可证明AD⊥BE．（Ⅱ）说明∠BEH为直线BE与平面AED所成的角，通过在△BHE中，转化求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）取AD中点H，连结EH，BH．∵△AED为等边三角形，∴AD⊥EH，又∵AD=AB=2，∠BAD=60°，∴AD⊥BH∴AD⊥平面BEH，∴AD⊥BE．………………………………（7分）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥平面BEH，∴平面ADE⊥平面BEH，且平面ADE∩平面BEH=EH，∴点B在平面ADE的投影在直线BE上∴∠BEH为直线BE与平面AED所成的角，………………………（11分）∵在等边△AED中AD=2，可得又AB=2，AH=1，∠BAH=60°可得，又BE=3．在△BHE中，，∴∠BEH=30°．…………………………………【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查计算能力以及空间想象能力．22．已知椭圆过点，且它的离心率．直线l：y=kx+t与椭圆C1交于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当时，求证：M、N两点的横坐标的平方和为定值；（Ⅲ）若直线l与圆相切，椭圆上一点P满足，求实数m 的取值范围．【分析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，利用已知条件求解a，b即可得到椭圆方程．（Ⅱ）由，得，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理推出结果即可．（Ⅲ）结合直线与圆的位置关系，通过向量的关系，转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为由题知：∵过点，∴①又离心率，∴②，由①②解得a2=8，b2=6．∴椭圆标准方程为…………………………………（Ⅱ）由，得，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴…………………………………（7分）则为定值．…………（9分）（Ⅲ）因为直线l：y=kx+t与圆（x+1）2+y2=1相切，所以……………………………（11分）把y=kx+t代入并整理得：（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣24=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则有，，因为，，所以，又因为点P在椭圆上，所以，…………………………（13分）．因为t2＞0所以，所以0＜m2＜2，所以m的取值范围为．…………………………【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．。
浙江省湖州市高二下学期数学期中考试试卷
浙江省湖州市高二下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一下·北京期中) 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是（）A .B .C .D .3. （2分）袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·贵阳模拟) 若的展示式中x3的系数为30，则实数a=（）A . ﹣6B . 6C . ﹣5D . 55. （2分）某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有（）种．A . 27B . 30C . 33D . 366. （2分） (2016高二下·海南期末) 如果X～B（1，p），则D（X）（）A . 有最大值B . 有最大值C . 有最小值D . 有最小值7. （2分） (2020高二下·广州月考) 函数，，若，则的值为（）A . 4B . −4C . 1D . −18. （2分）(2013·浙江理) 设函数f(x)=e2x—2x，则=（）A . 0B . 1C . 2D . 49. （2分）设f（x）=sin2x，则=（）A .B .C . 1D . -110. （2分） (2019高二下·哈尔滨月考) 已知函数，则（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高二下·江西期中) 曲线在点处的切线的倾斜角为（）A . 30°B . 60°C . 45°D . 120°12. （2分）如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF 及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1 ， G2 ， G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EFG中必有（）A . SG⊥△EF G所在平面B . SD⊥△EFG所在平面C . GF⊥△SEF所在平面D . GD⊥△SEF所在平面二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）函数f（x）=2xsin（2x+5）的导数是________．14. （1分）在新华中学进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生、 2 位男生.如果这 2 位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的的排法种数为________.15. （1分）（x+a）（1+x）4的展开式中x2的系数为16，则a=________．16. （1分） (2018高二下·抚顺期末) 从一批含有13只正品,2只次品的产品中,不放回地抽取3次,每次抽一只,设抽取次品数为 ,则 ________三、解答题 (共4题；共40分)17. （5分） (2015高三上·石家庄期中) 已知函数f（x）=﹣ x3+ x2﹣2x（a∈R）（1）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意x∈[1，+∞）都有f′（x）＜2（a﹣1）成立，求实数a的取值范围．18. （10分）(2017·成安模拟) 某超市从2017年1月甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为S12与S22 ，试比较S12与S22的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的分布列和数学期望．19. （10分） (2019高二下·哈尔滨月考) 已知曲线 .(Ⅰ) 求曲线在处的切线方程；(Ⅱ) 求曲线过原点的切线方程.20. （15分）(2017·常宁模拟) 某经销商从外地水产养殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如图：（1）记事件A为：“从这批小龙虾中任取一只，重量不超过35g的小龙虾”，求P（A）的估计值；（2）若购进这批小龙虾100千克，试估计这批小龙虾的数量；（3）为适应市场需求，了解这批小龙虾的口感，该经销商将这40只小龙虾分成三个等级，如下表：等级一等品二等品三等品重量（g）[5，25）[25，45）[45，55]按分层抽样抽取10只，再随机抽取3只品尝，记X为抽到二等品的数量，求抽到二级品的期望．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共40分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：。