《高等数学(上)》课程教学大纲(专科用)

《高等数学（上）》课程教学大纲（专科用）

<总学时数：７２，学分数：４.5>

一．课程的性质，任务和目的

高等数学课程是高等工科院校各专业学生必修的重要的基础理论课。为学生培养分析问题、解决问题的能力，抽象思维和逻辑思维能力，为学生进一步学习后继课程打下扎实的基础。

二、课程基本内容和要求

1．通过本课程的学习，要使学生获得：函数、极限、连续；一元函数微积分学；常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

2．再传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

3．本课程的教学就把重点放在培养学生正确理解和运用基本概念与基本方法上，并注意理论联系实际的原则，力求反应这些基本概念的实际背景及其应用。使学生认识到数学来源于实践又服务于实际，从而有助于树立辩证唯物主义观点。

4．教材的选取与课堂讲授要贯彻少而精原则，着重于基本概念，基本理论的讲授和基本技能的培养，不要追求内容上的完备和全面。

本大纲包括（一）教学内容（二）教学要求（三）重点与难点

教学要求的高低用不同的词汇加以区分，对概念、理论从高到低用“理解”、“了解”、“知道”三级区分，对运算、方法从高到低用“熟练掌握”、“掌握”、“会”三级区分。熟悉一词相当于“理解”、“熟练掌握”。

函数与极限

一）教学内容

函数；初等函数；数列的极限；函数的极限；无穷小与无穷大；极限运算法则；极限存在准则；两个重要极限；无穷小的比较；函数的连续性与间断点；连续函数的运算与初等函数的连续；闭区间上连续函数的连续

其中：

基本概念：函数概念、极限概念、无穷小概念、连续性概念。

基本理论：无穷小的运算定理，两个极限存在的准则，极限与无穷小量的关系，闭区间连续函数的性质。

基本方法：极限运算法则。

二）教学要求

1．理解函数的概念及其表示法，会求常见函数的定义域，函数的特性。了解反函数的概念。了解函数的单调性、周期性、奇偶性。理解复合函数的概念，掌握将一般初等函数拆成几个简单函数的复合，熟悉基本初等函数的类型、性质及图形。能列出简单实际问题的函数关系式。

2．理解极限的概念、知道左、右极限的概念。 3.掌握极限四则运算法则。

4．了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则）。会用两个重要极限求极限。 5．了解无穷小与无穷大的概念及其相互关系，掌握无穷小的比较，会用等价无穷小求极限。了解变量及其极限以及无穷小量之间的关系。

6．理解函数在一点连续的概念，了解间断点的类型，会判断间断点的类型。

7．了解初等函数的连续性。掌握其求极限的方法。知道闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大最小值定理）。

三）重点与难点

重点：函数概念；极限概念及其运算法则；无穷小量及其主要性质；两个重要极限；函数在一点连续的概念。

难点：极限的定义，以及用此定义去验证极限。

导数与微分

一）教学内容

导数概念；函数的和差积商的求导法则；反函数的导数；复合函数的求导法则；初等函数的求导问题；高阶导数；隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数，相关变化率，函数的微分。

其中：

基本概念：导数定义，微分定义。

基本方法：导数的四则运算法则，复合函数的求导法则。 二）教学要求

理解导数和微分概念。了解它们的几何意义，了解函数可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。

熟悉导数的四则运算及复合函数求导法则以及导数的基本公式。

了解高阶导数的概念。能熟练求初等函数的一、二阶导数，并能推出诸如

)x 1ln(,x sin ,x ,e m x 等基本初等函数n 阶导数的一般表示式。

掌握隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的求法，并掌握对数求导法，会求反函数的导数。

三）重点与难点

重点：导数的概念，导数的四则运算及复合函数求导数法，微分概念。 难点：复合函数求导数方法

中值定理与导数应用

一）教学内容

中值定理，罗必达法则，函数单调性的判别法，函数的极值及其求法，最大值最小

值问题，曲线的凹凸与拐点，函数图形的描绘。

其中：

基本概念：极值概念。

基本理论：拉个朗日定理、泰勒定理、函数增减性判别法、可微函数取极值的必要条件与充分条件。

基本方法：罗必达法则，应用导数研究函数形态及作图方法。 二）教学要求

1．理解罗尔定理、拉格朗日定理，会应用拉格朗日中值定理。

2．掌握用罗必达法则求不定式∞∞与

0的极限；会将不太复杂的其他未定式极限转化为这两种未定式的极限.。

3．掌握数的增减性的判别方法及可微函数去极值的必要条件及两个充分条件。会解决简单的最值应用题。

4．掌握曲线凹凸性的判别法及曲线拐点的求法。能描绘函数图形（包括水平与铅直渐近线）

三）重点和难点

重点：罗必达法则；函数增减性判别法；极值的求法。 难点：拉格朗日中值定理。

不定积分

一）教学内容

不定积分的概念和性质， 换元积分法，分部积分法，几种特殊类型的积分。 其中：

基本概念：原函数的概念，不定积分的概念。 基本方法：不定积分的换元积分法与分部积分法。 二）教学要求：

1．理解原函数与不定积分的概念及性质，熟悉基本积分公式。 2．熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法

3．掌握简单的有理函数的积分法，会求三角函数有理式与简单无理函数的积分。 三）重点与难点

重点：不定积分的概念，不定积分的换元积分法积分部积分法，基本积分公式。 难点：不定积分的第一类换元法（即凑微分法）。

定积分

一）教学内容

定积分概念， 定积分的性质，中值定理，微积分基本公式，定积分的换元积分法， 定积分的分部积分法， 广义积分。

其中：

基本概念：定积分的概念。

基本理论：定积分作为变上限的函数及其求导原理，牛顿-莱布尼茨公式。

基本方法：定积分的换元积分法和分部积分法。

二）教学要求

1．理解定积分的概念、性质及几何意义

2．理解变上限定积分作为其上限的函数及其求导原理

3．掌握牛顿一莱布尼茨公式，掌握定积分换元积分法与分部积分法。

4．了解广义积分的概念，会计算一些简单的广义积分。

三）重点与难点

重点：定积分的概念，定积分作为变上限的函数及其求导原理，牛顿一莱布尼茨公式。

难点：定积分的定义，牛顿一莱布尼茨公式的证明。

定积分的应用

一）教学内容

定积分的元素法，平面图形的面积，体积，平面曲线的弧长，功。

其中：

基本方法：定积分的元素法。

二）教学要求

1．熟练掌握定积分计算一些几何量与物理量，如平面图形的面积，体积、平面曲线的弧长、功等。

2．掌握定积分解决实际问题的一般步骤与方法（强调定积分的元素法），并能独立地解一、两个未讲过的较简单的应用问题。

三）重点与难点

难点：定积分的元素法。

微分方程

一）教学内容

微分方程的基本概念，可分高变量的微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程，高阶线性微分方程，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程，可降阶的高阶微分方程。

其中：

基本概念：微分方程的定义、解、通解与特解。

基本理论：齐次与非齐次线性微分方程解的结构。

基本方法：解一阶微分方程的分离变量法，解二阶常系数齐次线性微分方程的“特征根法”以及二阶常系数非齐次线性微分方程特解的“待定系数法”。

二）教学要求

l．了解微分方程、解、通解、初始条件、特解等基本概念。

2．会识别下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程3．熟练掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。

4．会解齐次方程

5．会用降阶法解下列方程：

)

y,y(f

y

),

y,x(f

y

),

x(f

y'

''

'

''

)n(=

=

=。

6．了解二阶线性微分方程解的结构。

7．熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法（特征根法），并知道高阶常系数齐次线性微分方程的解法。

8．掌握自由项形如

)x

sin

B

x

cos

A

(

e,

e

),

x(

P x

x

n

β

+

β

α

α

的二阶常系数非齐次线

性微分方程的特解的求法（待定系数法人

9．知道常数变易法解非齐次一阶、二阶微分方程的步骤。

三）重点与难点

重点：微分方程的基本概念，变量可分离的微分方程和一阶线性微分方程的解法，二阶常系数线性微分方程的解法。

难点：线性微分方程解的理论

三．学时分配表

四．有关说明

实践教学环节无

考核方式：

本课程第一学期和第二学期均为考试科目，课程成绩由平时成绩、考试成绩组成比例为3：7。

教材及教学参考书

教材；《高等数学》，盛祥耀编，高等教育出版社

参考书：其它同名教材。

制定人：许定亮

审核人：刘坤

批准人：沈京一

2005年5月