材料力学梁弯曲时的位移
材料力学位移公式
材料力学位移公式材料力学中的位移公式，那可是个相当有趣且重要的家伙！咱先来说说啥是位移。
想象一下，你有一根长长的木棍，你给它施加了各种力，然后这根木棍的位置发生了变化，这个变化量就是位移啦。
在材料力学里，位移公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解开很多结构变形的谜题。
比如说，梁的弯曲变形，柱的压缩伸长等等。
就拿梁来说吧，梁在受到外力作用时，会产生弯曲。
这时候我们就要用到位移公式来计算它的变形量。
这里面有个很关键的概念，叫挠度。
挠度就是梁在弯曲时，某个点沿着垂直方向的位移。
咱们来具体讲讲位移公式是咋来的。
这可不是一拍脑袋就想出来的，而是经过了无数科学家们的努力和研究。
他们通过做实验、观察、分析数据，一点点地总结归纳出来的。
我记得有一次，在给学生们讲解这个知识点的时候，有个特别调皮的小家伙，他眨巴着大眼睛问我：“老师，这公式有啥用啊，我们为啥要学它？”我笑了笑，然后拿起教室里的一把塑料直尺，把一端固定在桌子上，另一端用手往下压。
我问同学们：“你们看，这直尺发生了啥变化？”大家都七嘴八舌地说尺子弯了。
我接着说：“那如果这尺子是一座桥，我们得知道它能承受多大的压力，变形多少才不会出危险，这时候位移公式就派上用场啦！”再说个实际的例子，像我们生活中的大楼，那可都是用各种材料搭建起来的。
如果工程师们不懂得位移公式，不了解材料在受力时的变形情况，那这大楼盖起来可能就歪歪扭扭，甚至还会有倒塌的危险。
在学习位移公式的时候，可别死记硬背哦。
得理解它背后的物理意义，搞清楚每个变量代表的是什么。
比如说，公式里的力的大小、作用点、材料的弹性模量等等，这些都会影响位移的大小。
而且，位移公式不仅仅是在理论上重要，在实际工程中那更是用处多多。
比如设计桥梁的时候，要根据车流量、载重等计算桥梁的位移，确保桥梁在使用过程中的安全和稳定；在制造机械零件的时候，也要考虑零件在工作时的位移，保证零件的精度和可靠性。
总之，材料力学位移公式虽然看起来有点复杂，但只要我们用心去学，去理解，就能发现它的魅力所在，它能帮助我们解决很多实际问题，让我们的生活变得更加安全和美好。
工程力学---材料力学第七章-梁弯曲时位移计算与刚度设计经典例题及详解
P
B C
l 2 l 2
A
x
P 解：AC段：M ( x ) x 2 y P EIy x 2 A P 2 EIy x C x 4 l 2 P 3 EIy x Cx D 12
P
B C
l 2
x
由边界条件： x 0时，y 0
l 由对称条件： x 时，y 0 2
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
最大转角和最大挠度分别为：
11qa max A 1 x1 0 6 EI 19qa 4 ymax y2 x2 2 a 8EI
3
例5：图示变截面梁悬臂梁，试用积分法
求A端的挠度 P
I
2I
l
fA 解： AC段 0 x l
B
P 3 2 EIy x C2 x D2 6
由边界条件： x l时,y=0, =0
得：
C2
1 1 Pl 2 , D2 Pl 3 2 3
l x 时,yC左 =yC右 , C左 = C右 由连续条件： 2
5 3 2 C1 Pl , D1 Pl 3 16 16
由连续条件： x1 x2 a时, y1 y2 , y1 y2
由边界条件： x1 0时, y1 0
0 x 2 a 时 , y 由对称条件： 2 2
得 D1 0
C1 C2 得 D1 D2
11 3 得 C2 qa 6
qa 1 (11a 2 3 x12 ) 0 x1 a 6 EI q 2 [3ax2 2 ( x2 a)3 11a 3 a x2 2a 6 EI qa y1 (11a 2 x1 x13 ) 0 x1 a 6 EI q y2 [4ax23 ( x2 a) 4 44a 3 x2 ] a x2 2a 24 EI
孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-梁弯曲时的位移(圣才出品)
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ql3/6，D＝－ql4/24。
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故挠曲线方程和转角方程分别为：
w（x）＝qx2（x2＋6l2－4lx）/（24EI），θ（x）＝q（x3－3lx2＋3l2x）/（6EI）
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝ql4/（8EI）；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝ql3/（6EI）。
表 5-1-4 叠加原理计算梁的挠度和转角
四、梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施（见表 5-1-5）
表 5-1-5 梁的刚度校核及提高措施
3 / 41
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五、梁内的弯曲应变能 定义：由于梁弯曲变形而存储的能量称为梁内的弯曲应变能。梁在弹性变形过程中，其 弯曲应变能与作用在梁上的外力所作的功相等，常见梁内的弯曲应变能见表 5-1-6。
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝Fl3/3EI；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝Fl2/2EI。
图 5-2-1（a）（b） （2）建立如图 5-2-1（b）所示坐标系。 首先列弯矩方程：M（x）＝－q（l－x）2/2，由此可得挠曲线近似方程： EIw″＝－M（x）＝q（l－x）2/2 积分得： EIw′＝－q（l－x）3/6＋C① EIw＝q（l－x）4/24＋Cx＋D② 该梁的边界条件：x＝0，w＝0，x＝0，w'＝0。代入式①、②可确定积分常数：C＝
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第 5 章 梁弯曲时的位移
5.1 复习笔记
梁在承受荷载时发生相应的变形，变形后轴线相对原位置将会发生位移、梁的截面将出 现转角，梁内会因变形存储能量。本章首先介绍梁的位移概念，并基于坐标系统建立挠曲线 方程；接着介绍求解梁的位移的方法，根据挠曲线近似微分方程积分和按叠加原理计算；再 介绍梁刚度校核以及提高梁刚度的方法；最后介绍梁弯曲应变能的概念及计算方法。
材料力学第五章梁弯曲时的位移
实例3 ：均布载荷
分析受均布载荷作用下梁的位移。
材料力学第五章梁弯曲时 的位移
在材料力学的第五章中，我们将学习有关梁在弯曲时的位移。掌握梁的基本 知识、位移方程和位移计算方法，以及梁的挠度与转角关系。
梁的基本知识
1 定义
梁是一种长条形结构，承受着沿其长度方向的外部力。
2 类型
常见的梁包括简支梁、悬臂梁和受力梁。
3 材料
梁可以由不同类型的材料制成，例如钢、木材或混凝土。
梁的位移方程
1 弯曲位移
2 挠度
3 转角
梁在弯曲时，沿梁的长度方 向发生位移。
挠度是梁的中点相对于其自 由状态的偏移量。
转角是指梁在弯曲时端部角 度的变化。
简支梁的位移计算方法
1
载荷和反力
计算简支梁上的载荷和反力分布。
2
弯矩方程
使用弯矩方程推导出简支梁的位移方程。
3
边界条件
应用适当的边界条件来解决位移方程中的未知量。
悬臂梁的位移计算方法
加载和支座反力
确定悬臂梁上的加载和支座反力。
弯曲力矩方程
通过推导弯曲力矩方程来解决悬臂 梁的位移问题。
解决边界条件
应用边界条件来计算悬臂梁的位移。
受力梁的位移计算方法
1
截面转动方程
2
推导出受力梁的截面转动方程。
3
确定力的分布
分析受力梁上的力分布，包括集中力和均布 力。
边界条件和位移方程
应用边界条件，求解受力梁的位移方程。ຫໍສະໝຸດ 梁的挠度与转角关系挠度
挠度是梁在弯曲时沿其长度方向上的位移。
转角
转角是梁在弯曲时端部偏离初始位置的角度。
关系公式
挠度和转角之间存在一定的关系，可以通过公式计算。
梁位移计算公式
梁位移计算公式梁的位移计算公式基于梁的受力平衡和材料力学的基本原理。
在这里，我们将讨论一维梁的位移计算方法，即假设梁只在一个平面内受力，并且假设梁的截面尺寸和材料性质均为均匀的。
我们需要确定梁的边界条件。
常见的边界条件有两种：固定边界条件和自由边界条件。
在固定边界条件下，梁的两端被固定，不允许有任何位移和旋转；而在自由边界条件下，梁的两端可以自由位移。
接下来，我们需要确定梁的受力情况。
通常，梁在两端受到外部荷载作用，这些荷载可以是集中力、均布力或者集中力和均布力的组合。
此外，梁还可能受到自重的影响。
在计算位移时，我们需要将这些荷载转化为梁上的内力分布。
针对不同的受力情况，我们可以使用不同的位移计算方法。
在本文中，我们将重点介绍三种常见的位移计算方法：拉梁法、剪梁法和挠梁法。
拉梁法是一种基于受力平衡的位移计算方法。
它假设梁的变形是由拉伸和压缩引起的，而不考虑剪切变形。
根据拉梁法，我们可以通过梁上任意一点的变形位移和受力来计算梁的位移。
剪梁法是一种基于受力平衡和材料切变变形的位移计算方法。
它假设梁的变形是由剪切引起的，并考虑了横截面的形状和材料的性质。
根据剪梁法，我们可以通过梁上任意一点的切变位移和受力来计算梁的位移。
挠梁法是一种基于弯曲变形的位移计算方法。
它假设梁的变形是由弯曲引起的，并考虑了横截面的形状和材料的性质。
根据挠梁法，我们可以通过梁上任意一点的弯曲位移和受力来计算梁的位移。
在实际应用中，我们可以将以上三种方法结合起来，综合考虑拉伸、压缩、剪切和弯曲等因素，来计算梁的位移。
此外，我们还可以使用计算机辅助工具，如有限元分析软件，来进行更精确和复杂的梁位移计算。
需要注意的是，梁的位移计算是一个复杂的过程，需要综合考虑各种因素和假设。
在实际工程中，我们应该根据具体情况选择适当的位移计算方法，并进行合理的假设和简化，以确保计算结果的准确性和可靠性。
通过以上的讨论，我们可以看到，梁的位移计算是一个重要且复杂的问题。
关于梁的弯曲中若干公式的分类讨论①
关于梁的弯曲中若干公式的分类讨论①梁的弯曲是指受力作用下梁的截面发生了形变，弯曲应力和弯曲变形会对梁的使用性能产生影响。
因此，研究梁的弯曲是很重要的。
在梁的弯曲研究中，涉及到若干公式，我们可以对这些公式进行分类讨论。
一、力学公式力学公式是描述梁的弯曲情况时经常用到的公式，包括以下几个方面：1. 矩形截面梁的抗弯极限状态当梁受到弯曲力矩时，梁截面内部产生由受力引起的应力，如果应力超过了材料所能承受的极限值，则梁就会发生断裂。
矩形截面梁的抗弯极限状态公式是：M=1.5×f_y×Z_x，其中M代表弯曲力矩，f_y代表截面所使用的钢材的抗拉强度，Z_x代表梁截面的抗弯截面模量。
2. 矩形薄壁截面梁的端部弯曲应力当梁受到弯曲力作用时，端部的弯曲应力有时比较集中，这种情况在矩形薄壁截面梁中比较常见。
矩形薄壁截面梁的端部弯曲应力公式是：σ_max=Mc/I，其中σ_max代表端部的最大弯曲应力，M代表弯曲力矩，c代表截面厚度，I代表截面惯性矩。
3. 梁内应力分布公式如果梁内部应力分布不均匀，就会导致梁的强度变化，因此要研究梁内应力分布。
梁内应力分布公式是：σ=My/I+zQ_x，其中σ代表应力，M代表弯曲力矩，y代表截面中心到离截面上缘距离，I代表截面惯性矩，z代表离截面上缘距离，Q_x代表梁截面的剪力。
1. 梁位移公式梁的位移指梁在弯曲时最大的偏移距离，梁位移公式是：δ=5WL^4/384EI，其中δ代表梁的最大位移，W代表梁的承载能力，L代表梁的长度，E代表梁材料的弹性模量，I代表截面对弯曲的惯性矩。
2. 切线旋转公式切线旋转公式用来描述梁在弯曲中切线和轨迹的关系，切线旋转公式是：Ψ=ML/2IEI，其中Ψ代表角度，M代表弯曲力矩，L代表梁的长度，I代表截面对弯曲的惯性矩，EI代表弹性模量与截面惯性矩的乘积。
材料力学公式用来描述材料在弯曲状态下的性质变化，涉及以下几个方面：1. 摆动强度公式摆动强度公式是表示材料在弯曲状态下疲劳寿命的公式，摆动强度公式是：S_a=1/2×S_e×(1+R)^1/2，其中S_a代表摆动强度，S_e代表材料的疲劳强度，R代表应力的比值（最小应力/最大应力）。
材料力学第五章梁弯曲时的位移
工程实例
7-1
工程实例
工程实例
5-1 梁的位移——挠度及转角
建立坐标系，oxy为梁对称面，外力作用在对 称面内。所以，挠曲线为o xy面内的平面曲线。
挠度
y 向下为正。
y
x
y
转角
x
挠曲线
挠曲线方程：
7-2
w= f (x)
挠度
略去剪力的影响，则平面假设成立，发
y
5.2 积分法求梁的挠度和转角
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
2）写出x截面的弯矩方程
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
)
A
x
l
yB
F B
B
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
A
FAx 0, FAy
Fb Fa , FBy l l
2）弯矩方程
FAy x1
ymax
x2
FBy
AC 段：
M x1 FAy x1 Fb x1 ,0 x1 a l
y
a
b
CB 段：
Fb M x2 FAy x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ), l
目录
a x2 l
5.2 积分法求梁的挠度和转角
A d 2 w1 Fb EI M ( x1 ) x1 2 dx1 l FAy x1 dw1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 x2 dx1 2l Fb 3 a EIw1 x C1 x1 D1 6l a x2 l CB 段： y d 2 w2 Fb EI M ( x2 ) x2 F ( x2 a) 2 dx2 l dw Fb 2 F EI 2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x 2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 6l 6
材料力学 第6章 梁的弯曲变形
(c)
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
在本章所取的坐标系中，
上凸的曲线w″为正值，下凸的为负值。
如图6-5所示。 按弯矩正负号的规定，正弯矩对应着负的w″， 负弯矩对应着正的w″，故（c）式
w
M (x)
(1
w2 )3 2
EI z
在小变形情况下， w dw 是一个很小的量， dx
则 w'2为高阶微量，可略去不计，故
挠曲线的近似微分方程
M x
w EI z
EIw''= −M (x)
(6-1b)
图6-5
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
6.4 积分法计算梁的变形
对于等直梁，可以直接积分，计算梁的挠度和转角。 将式(6-1b)积分一次，得到
EIw′ = EIθ = −∫ M (x) dx + C
maxFl 2 2EI来自A xyF
θmax B
x
wmax
l
图6-7 例题 6-1 图
wm a x
Fl 3 3EI
θ max为正值，表明梁变形后，截面B顺时针转动；
wmax为正值，表明点B位移向下。
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
例题6-2 一简支梁受均布荷载q作用，如图6-8所示。试求梁的转角方程和 挠度方程， 并确定最大挠度和A、B截面的转角。设梁的弯曲刚度为EI。
A x
y
F
θmax B
x
wmax
l
进行两次积分，得到
EIw EI Flx Flx2 C
(a)
2
EIw Flx2 Fx3 Cx D
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★ 杆件应变能计算
1、轴向拉伸和压缩
V
W
1 2
Pl
P2l FN2l 2EA 2EA
一般地
V
l
FN2dx 2EA
P
P l
l
2、扭转
V W
1m
2
1m ml 2 GIp
T 2l
一般地
2G I p
m m
V
l
T2dx 2GIp
3、弯曲
纯弯曲：
V
W
1 m
2
1 m ml 2 EI
m2l M2l
x2 B
P
x1
C
M(x2)PaF N(x2)P
A
C y a 0 M E (x 1 ) I M P (x 1 )d 1 x a 0 F N E (x 1 ) A F N P (x 1 )d 1 x a 0M E (x 2 )I M ( P x 2 )d2 x a 0F N E (x 2 )A F N P (x 2 )d2x
挠度w：横截面形心处的铅垂位移。
转角：横截面绕中性轴转过的角度。
w
x
挠曲线
y
挠曲线(deflection curve):变形后的轴线。
★工程实例 控制截面的挠度、控制桥墩的水平位移
★工程中测量挠度的方法、仪器
精密水准仪、全站仪、GPS、机电百分表、 光电方法等
三.挠曲线近似微分方程
1.挠曲线方程(deflection equation)
w 解B：3(P 2E3a)I2P (2E aa2)I
5Pa3 12EI
B2(P 2Ea2 I)P2EaaI
3Pa2顺时针
4EI
w Cw BBa3 P E 3a I3 2 P E3a I
思考:梁横截面为边长为a的正方形，弹性模量为 E1；拉杆横截面为直径为d的圆，弹性模量为
q
Ew Iqlxqx2 22
A
Ew Iqx l2qx3C
x
l
46
E Iq w x l3qx4 C x D 12 24
由边界条件：x0时， w0
xl时， w0
得：
Cql3, D0 24
B x
q(6 lx24x3l3)
2 4E I
y
wqx (2lx 2x3l3)
q
2E 4 I
A
最大转角和最大挠度：
应变能
M2(x)dx
V
l
2EI
应用卡氏第二定理
Δi
l
M(x).M(x)dx EI Fi
对于梁,有莫尔积分
Δi
l
M(x)Mi(x)dx EI
Mi (x) 对应于去掉原结构中外力,只在i
处加相应单位力后的弯矩方程 ●计算梁截面转角时,加单位力偶矩1 ●计算梁截面挠度时,加单位集中力1
M(x) 对应于原结构的弯矩方程。
x l
最大转角和最大挠度分别为：
maxB
P2l 2EI
B
Pl2 2EI
wmaxwB
P3l 3EI
wB
Pl3 3EI
P
θBB x
另解： M(x)Px Ew IM (x)
Ew IPx
xA
Ew IPx2C 2
EIw Px3C xD 6
边界条件：x l时 ， w 0 ,w 0
C Pl2 D Pl3
y
P
A l
Bx
解：M (x ) P (l x ) y
E w IP xP l
A
x
Ew IPx2PlxC
l
2
E IP w x3P lx2C x D 62
由边界条件：x 0 时 w ， 0 ,w 0
得： C D 0
P
Bx
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px(x2l)
y
2EI
A
wPx2(x3l) 6EI
a
a
a
四.用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。
当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。 若计算几个载荷共同作用下在某截面上引 起的变形，则可分别计算各载荷单独作用 下的变形，然后叠加。
如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如C 截面挠度，则可直接查表：各载荷单独作用下 的挠度，然后叠加（代数和）。
E w I M (x)d x C
E I M w (x ) d x d x C D x
式中积分常数C、D由边界条件确定 ●弯矩方程分n段时，积分常数个数为 2n
由边界条件确定的方程需要2n个 方法的局限性：外力复杂或多跨静定梁时计算量过大
边界条件
光滑连续条件：
F
√
wc
wc
c
c
C
×
× 约束条件:两端铰处挠度为零。
2EI
3EI
y
P
xB
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px2 Pl2
2EI 2EI
xA
wPx3Pl2xPl3 6EI 2EI 3EI
y
P
x
B
θB
最大转角和最大挠度分别为：
maxB
Pl2
2EI
wmaxwB
P3l 3EI
例3已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁 在集中力F作用下的转角方程、挠曲线方程， 并确定θmax和 wmax。
能量法I-静定结构变形计算
一、杆件的应变能 二、卡氏第二定理 三、单位力法 四、图形互乘法
一、杆件的应变能
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变 形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简 称应变能 (又称变形能)。
物体在外力作用下发生变形，物体的变形 能在数值上等于外力在加载过程中在相应位 移上所做的功，即
算悬臂梁自由端A处转角。
解：A处无与转角对应的力偶，可附加力偶。
MA 0
q0
MA
任意截面弯矩为
Ax
B
M (x ) M A 1 2q l0xx3 x
l
MA16q0lx3
M (x)M A1 6q0lx3
M(x) 1 MA
l
A
0
M(x)M(x)dx EI MA
E 10 l(I M A 1 6q 0 lx 3)d x E 10 l1 6 Iq 0 lx 3dx
问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？
问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？
y M0 Mw0M
y M0 M w0M
x
x
Ew IM
思考:与小挠度微分方程 Ezw I相 M 对(x 应)的坐标系 为？ （ ）
xx
y
x
y
y
(a)
(b)
(c)
教材中采用（a)图坐标系
2. 积分法求弯曲变形 ●弯矩方程不分段时 Ew IM (x)
P
A
B
C BC引起的位移
L
a
fc1
pa3 3EI
c1
pa2 2EI
P
A
B
C
刚化 EI=
P
C
θc1
fc1
刚化BC， AB部分引起的位移
θB2
P
A
B
C
fc2 刚化
EI=
θB2
P
Pa
fc2 B2 a
PaL a 3EI
B2
paL 3EI
fcfc1fc2
cc1c2
例8. 求图示变截面梁B、C截面的挠度 。
第五章 梁弯曲时的位移
(Displacements of Bending Beam)
廖东斌 编制 13451911061
第五章 梁弯曲时的位移
一.概 述 二.梁的位移─挠度及转角 三.挠曲线近似微分方程 四.叠加法计算梁的位移 能量法I-静定结构变形计算
五.梁的刚度计算
一.概 述 1.工程实践中的弯曲变形问题
在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能 过大，即要求构件有足够的刚度，以保证正常 工作。
在另外一些情况下，却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。
★变形过大的不利影响（工程实例）
●摇臂钻床的摇臂等变形过大，就会影响 零件的加工精度，甚至会出现废品。
摇臂钻床
(自重、钻头等约束力影响）
●桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行 走困难，出现爬坡现象。
边界条件
铰支座对位移的限制(A、B处挠度为零）
连续光滑曲线(A、B处转角、挠度唯一）
边界条件
固定端约束对位移的影响：B处转角、挠 度?
连续光滑曲线
例1.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简 支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠 曲线方程，并确定θmax和wmax。
y
q
x
l
解：M(x)qlxqx2 y
w
x
挠曲线
y
挠曲线方程：wf(x)
转角方程： ta w n f(x )
曲线 w = f (x) 的曲率为
w
(1w2)3/2
梁纯弯曲时曲率由几何关系得
1 M(x)
(x) EIz
考虑小变形条件：
(1 x )(1 w w 2)3 /2 w
1 M(x)
(x) EIz
Ezw I M (x)
如果不能直接查表，则要采用分段刚化等方法 化成可查表形式。
例5.用叠加法求 wC、 A、 B
解：将梁上的各载荷分别引起的位移叠加P361
wC
5ql 4 384 EI
Pl 3 ml 2 （ 48EI 16 EI
）
A
ql 3
Pl 2
ml
（
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