第五章梁弯曲时的位移解析
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孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-梁弯曲时的位移(圣才出品)
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ql3/6，D＝－ql4/24。
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故挠曲线方程和转角方程分别为：
w（x）＝qx2（x2＋6l2－4lx）/（24EI），θ（x）＝q（x3－3lx2＋3l2x）/（6EI）
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝ql4/（8EI）；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝ql3/（6EI）。
表 5-1-4 叠加原理计算梁的挠度和转角
四、梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施（见表 5-1-5）
表 5-1-5 梁的刚度校核及提高措施
3 / 41
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五、梁内的弯曲应变能 定义：由于梁弯曲变形而存储的能量称为梁内的弯曲应变能。梁在弹性变形过程中，其 弯曲应变能与作用在梁上的外力所作的功相等，常见梁内的弯曲应变能见表 5-1-6。
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝Fl3/3EI；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝Fl2/2EI。
图 5-2-1（a）（b） （2）建立如图 5-2-1（b）所示坐标系。 首先列弯矩方程：M（x）＝－q（l－x）2/2，由此可得挠曲线近似方程： EIw″＝－M（x）＝q（l－x）2/2 积分得： EIw′＝－q（l－x）3/6＋C① EIw＝q（l－x）4/24＋Cx＋D② 该梁的边界条件：x＝0，w＝0，x＝0，w'＝0。代入式①、②可确定积分常数：C＝
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第 5 章 梁弯曲时的位移
5.1 复习笔记
梁在承受荷载时发生相应的变形，变形后轴线相对原位置将会发生位移、梁的截面将出 现转角，梁内会因变形存储能量。本章首先介绍梁的位移概念，并基于坐标系统建立挠曲线 方程；接着介绍求解梁的位移的方法，根据挠曲线近似微分方程积分和按叠加原理计算；再 介绍梁刚度校核以及提高梁刚度的方法；最后介绍梁弯曲应变能的概念及计算方法。
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故挠曲线方程和转角方程分别为：
w（x）＝qx2（x2＋6l2－4lx）/（24EI），θ（x）＝q（x3－3lx2＋3l2x）/（6EI）
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝ql4/（8EI）；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝ql3/（6EI）。
表 5-1-4 叠加原理计算梁的挠度和转角
四、梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施（见表 5-1-5）
表 5-1-5 梁的刚度校核及提高措施
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五、梁内的弯曲应变能 定义：由于梁弯曲变形而存储的能量称为梁内的弯曲应变能。梁在弹性变形过程中，其 弯曲应变能与作用在梁上的外力所作的功相等，常见梁内的弯曲应变能见表 5-1-6。
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝Fl3/3EI；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝Fl2/2EI。
图 5-2-1（a）（b） （2）建立如图 5-2-1（b）所示坐标系。 首先列弯矩方程：M（x）＝－q（l－x）2/2，由此可得挠曲线近似方程： EIw″＝－M（x）＝q（l－x）2/2 积分得： EIw′＝－q（l－x）3/6＋C① EIw＝q（l－x）4/24＋Cx＋D② 该梁的边界条件：x＝0，w＝0，x＝0，w'＝0。代入式①、②可确定积分常数：C＝
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第 5 章 梁弯曲时的位移
5.1 复习笔记
梁在承受荷载时发生相应的变形，变形后轴线相对原位置将会发生位移、梁的截面将出 现转角，梁内会因变形存储能量。本章首先介绍梁的位移概念，并基于坐标系统建立挠曲线 方程；接着介绍求解梁的位移的方法，根据挠曲线近似微分方程积分和按叠加原理计算；再 介绍梁刚度校核以及提高梁刚度的方法；最后介绍梁弯曲应变能的概念及计算方法。
工学梁弯曲时的位移
A
B l
ql 2 / 2
M-
EIw M (x)dx C1 EIw M (x)dxdx C1x C2
如果梁的弯矩方程是分段描述的，如M1(x) , M2(x) ，则挠曲线近似微分方程也应分段建立。 如下例：
F
1
2
A
C
B
l
M
+
Fab/ l梁的位移—挠度，转角的概念 2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 (重点)
3 叠加法计算梁的挠度和转角 4 梁的刚度条件 5 提高梁刚度的措施
1 梁的位移—挠度、转角的概念
弯曲变形：梁在垂直于其轴线的荷载 作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变 形。
F
q
(5-2a)
式(5-2a)称为挠曲线近似微分方程。显然， 挠曲线近似微分方程仅适用于小挠度、线 弹性范围内的平面弯曲问题。
若为等截面直梁, EIz为常量,式(5-2a)为：
EIw M(x) (5-2b)
（2）积分法求梁的挠度和转角 (熟练掌握)
EIw M(x) (5-2b)
将式（5-2b）分别对 x 积分一次和二次：
（1）梁的挠曲线近似微分方程
梁在荷载作用下轴线形状的变化称 为变形，一般用各段梁曲率的变化表示。
（1）梁的挠曲线近似微分方程
1/ρ=θ / l
纯弯变形
θ
ρ
M
M
中性层
l
梁纯弯曲时平面弯曲的曲率公式为：
1 M
EIz
（4-4）
式（4-4）表明梁轴线上任一点的曲率与该 点处横截面上的弯矩成正比，而与该截面
1
w
M(x)
( x)
交通第五章梁弯曲时的位移解析
max
B
Pl 2 2EI
Pl 3 wmax wB 3EI
P
θBB x
例4: 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集 中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax 和 wmax。
A
y l 2
P
C l 2
B
x
解：AC段：M(x) P x
2
EIw P x 2
x
A
EIw P x2 C 4
w=0
w=0
w=0
=0
自由端：无位移约束条件。
➢位移连续条件和光滑条件
F
M
挠曲线在B、C点连续且光滑 A
B
C
D
连续：wB左= wB右
光滑：B左 = B右
F
弯曲变形的对称点上 C=0
A
C
B
例1：写出梁的挠曲线方程的约束条件和连续条件
F
A
B
C
D
E
思考： 该梁可分几段积分？各段边界点有多少 位移约束与连续条件？ 分4段
F
w
x
挠曲线
挠曲线方程
y
EIw x M (x) dx C
w f (x)
转角方程
tan w f (x)
EIw x M (x) dxdx Cx D
式中积分常数C、D由边界条件确定
位移约束条件 位移连续条件
EIwx M xdx Cx D
• 位移约束条件与连续条件
➢位移约束条件
P
C l
2
2
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
B
Pl 2 16 EI
wm a x
w
x l 2
Pl3 48EI
梁弯曲时的位移
根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相等，且均为最大值， 故
qmax q A qB
ql3
24 EI
最大挠度在跨中，其值为
wmax
w
|xl
2
ql 2
24 EI
l 3
2l
l 2
2
l 2
3
5ql 4 384 EI
18
第五章 梁弯曲时的位移
例题5-3 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度 wmax和最大转角qmax。
wC
Fl 3 48 EI
29
第五章 梁弯曲时的位移
思考: 试绘出图示两根简支梁的弯矩图，并描出它们的挠曲线。并指出：(1) 跨中挠度是否最大？(2)跨中挠度的值是否接近最大挠度值？
l/2
l/4
30
第五章 梁弯曲时的位移
§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和转角均 与梁上的荷载成线性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用 时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截 面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加原理(principle of superposition)。
19
第五章 梁弯曲时的位移
解：约束力为
FA
F
b， l
a FB F l
两段梁的弯矩方程分别为
M1x
FA x
F
b l
x
0 x a
M
2
x
FA
x
F
x
a
F
b l
x
F
x
a
qmax q A qB
ql3
24 EI
最大挠度在跨中，其值为
wmax
w
|xl
2
ql 2
24 EI
l 3
2l
l 2
2
l 2
3
5ql 4 384 EI
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第五章 梁弯曲时的位移
例题5-3 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度 wmax和最大转角qmax。
wC
Fl 3 48 EI
29
第五章 梁弯曲时的位移
思考: 试绘出图示两根简支梁的弯矩图，并描出它们的挠曲线。并指出：(1) 跨中挠度是否最大？(2)跨中挠度的值是否接近最大挠度值？
l/2
l/4
30
第五章 梁弯曲时的位移
§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和转角均 与梁上的荷载成线性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用 时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截 面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加原理(principle of superposition)。
19
第五章 梁弯曲时的位移
解：约束力为
FA
F
b， l
a FB F l
两段梁的弯矩方程分别为
M1x
FA x
F
b l
x
0 x a
M
2
x
FA
x
F
x
a
F
b l
x
F
x
a
材料力学第五章梁弯曲时的位移
实例3 ：均布载荷
分析受均布载荷作用下梁的位移。
材料力学第五章梁弯曲时 的位移
在材料力学的第五章中，我们将学习有关梁在弯曲时的位移。掌握梁的基本 知识、位移方程和位移计算方法，以及梁的挠度与转角关系。
梁的基本知识
1 定义
梁是一种长条形结构，承受着沿其长度方向的外部力。
2 类型
常见的梁包括简支梁、悬臂梁和受力梁。
3 材料
梁可以由不同类型的材料制成，例如钢、木材或混凝土。
梁的位移方程
1 弯曲位移
2 挠度
3 转角
梁在弯曲时，沿梁的长度方 向发生位移。
挠度是梁的中点相对于其自 由状态的偏移量。
转角是指梁在弯曲时端部角 度的变化。
简支梁的位移计算方法
1
载荷和反力
计算简支梁上的载荷和反力分布。
2
弯矩方程
使用弯矩方程推导出简支梁的位移方程。
3
边界条件
应用适当的边界条件来解决位移方程中的未知量。
悬臂梁的位移计算方法
加载和支座反力
确定悬臂梁上的加载和支座反力。
弯曲力矩方程
通过推导弯曲力矩方程来解决悬臂 梁的位移问题。
解决边界条件
应用边界条件来计算悬臂梁的位移。
受力梁的位移计算方法
1
截面转动方程
2
推导出受力梁的截面转动方程。
3
确定力的分布
分析受力梁上的力分布，包括集中力和均布 力。
边界条件和位移方程
应用边界条件，求解受力梁的位移方程。ຫໍສະໝຸດ 梁的挠度与转角关系挠度
挠度是梁在弯曲时沿其长度方向上的位移。
转角
转角是梁在弯曲时端部偏离初始位置的角度。
关系公式
挠度和转角之间存在一定的关系，可以通过公式计算。
材料力学上册第五章梁弯曲时的位移
6EIl
Mechanics of Materials
wmax 在AC段
wmax
=
Fb( l 2 − b2 )3 2 9 3EIl
Mechanics of Materials
例题：已知梁的刚度EI，用奇异函数法求梁的位移
θA、θD、wB、wD。
qa
q
A
B
C Dx
FA a
y
aa
FC
解：建立图示坐标系
1、求约束反力
( ) M(x) = − EI
w′′ 1+ w′2
32
Mechanics of Materials
若挠曲线是较平坦的光滑连续曲线， w′ << 1，
可忽略不计。
则
M (x) = −w′′
EI
即
EIw′′ = − M (x)
——挠曲线近似微分方程
适用条件： 线弹性小变形； 对称弯曲的细长梁。
2、积分法确定梁的位移
一、挠曲线近似微分方程
材力 数学
1 = M(x)
ρ EI
( ) 1 = w′′
ρ 1 + w′2 3 2
x y M > 0 w′′ < 0
( ) M(x) = ± EI
w′′ 1+ w′2
32
x
( ) M(x) = − EI
w′′ 1+ w′2
32
y M < 0 w′′ > 0
☻挠曲线微分方程的正负号与选取的坐标系有关
2
Mechanics of Materials
弯矩的通用方程
∑ ∑ ∑ ∑ ( ) M x =
i
Mi < x −ai >0 +
Mechanics of Materials
wmax 在AC段
wmax
=
Fb( l 2 − b2 )3 2 9 3EIl
Mechanics of Materials
例题：已知梁的刚度EI，用奇异函数法求梁的位移
θA、θD、wB、wD。
qa
q
A
B
C Dx
FA a
y
aa
FC
解：建立图示坐标系
1、求约束反力
( ) M(x) = − EI
w′′ 1+ w′2
32
Mechanics of Materials
若挠曲线是较平坦的光滑连续曲线， w′ << 1，
可忽略不计。
则
M (x) = −w′′
EI
即
EIw′′ = − M (x)
——挠曲线近似微分方程
适用条件： 线弹性小变形； 对称弯曲的细长梁。
2、积分法确定梁的位移
一、挠曲线近似微分方程
材力 数学
1 = M(x)
ρ EI
( ) 1 = w′′
ρ 1 + w′2 3 2
x y M > 0 w′′ < 0
( ) M(x) = ± EI
w′′ 1+ w′2
32
x
( ) M(x) = − EI
w′′ 1+ w′2
32
y M < 0 w′′ > 0
☻挠曲线微分方程的正负号与选取的坐标系有关
2
Mechanics of Materials
弯矩的通用方程
∑ ∑ ∑ ∑ ( ) M x =
i
Mi < x −ai >0 +
材料力学第五章梁弯曲时的位移课件
qw q0 (l39lx 28x3)
4E 8I
w(0)0 q (0) q0l3
48EI
固定铰支座 活动铰支座
w(l)0 q(l) 0
固定端 活动铰支座
材料力学第五章梁弯曲时的位移
22
M (x)Ew Iq0(3lx 4x2) 抛物线 8
FS(x)ddM xq 80(3l8x)
直线
q(x)dFS dx
材料力学第五章梁弯曲时的位移
12
x
FA
x
FA
Fb l
FB
FB
Fa l
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
M1(x)
Fbx l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
M2(x)F l b xF(xa)
材料力学第五章梁弯曲时的位移
13
x a AD段（ 0≤ ≤ ）：
M1(x)
Fbx l
EIw1
Fbx l
Ew I1 EqI1F l bx22C1
q0
M(0)0
FS(0)
3 8
q0l
M(l) 81q0l2
FS(l) 85q0l
材料力学第五章梁弯曲时的位移
23
q0
1 8
q0l
材料力学第五章梁弯曲时的位移
7
挠曲线上某些点的已知位移（挠度和 转角）条件 —— 边界条件
wA ＝ 0 wB ＝ 0
wA ＝ 0 qA ＝ 0
边界条件 —— 支座处的约束条件
材料力学第五章梁弯曲时的位移
8
挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠 度和转角 —— 连续条件
错！
错！
当弯矩方程需要分段建立时，在相邻梁 段的交接处，应具有相同的挠度和转角。
4E 8I
w(0)0 q (0) q0l3
48EI
固定铰支座 活动铰支座
w(l)0 q(l) 0
固定端 活动铰支座
材料力学第五章梁弯曲时的位移
22
M (x)Ew Iq0(3lx 4x2) 抛物线 8
FS(x)ddM xq 80(3l8x)
直线
q(x)dFS dx
材料力学第五章梁弯曲时的位移
12
x
FA
x
FA
Fb l
FB
FB
Fa l
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
M1(x)
Fbx l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
M2(x)F l b xF(xa)
材料力学第五章梁弯曲时的位移
13
x a AD段（ 0≤ ≤ ）：
M1(x)
Fbx l
EIw1
Fbx l
Ew I1 EqI1F l bx22C1
q0
M(0)0
FS(0)
3 8
q0l
M(l) 81q0l2
FS(l) 85q0l
材料力学第五章梁弯曲时的位移
23
q0
1 8
q0l
材料力学第五章梁弯曲时的位移
7
挠曲线上某些点的已知位移（挠度和 转角）条件 —— 边界条件
wA ＝ 0 wB ＝ 0
wA ＝ 0 qA ＝ 0
边界条件 —— 支座处的约束条件
材料力学第五章梁弯曲时的位移
8
挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠 度和转角 —— 连续条件
错！
错！
当弯矩方程需要分段建立时，在相邻梁 段的交接处，应具有相同的挠度和转角。
梁的位移
移,称为该截面的挠度.用w表示.
A
C
B
x
w挠度
C'
B'
衡量梁弯曲变形程度的曲线是曲率，我们为什么用挠度和转
角？
2、转角 (slope)
横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角. 用 表示
横截面的转角也就是曲线在该点处的切线与X轴之间的夹角
A
C
B
x
C'
w挠度（
B 转角
3、挠曲线 (Deflection curve) 梁变形后的轴线称为挠曲线 . 也称弹性曲线
EIz2
Fb 6L
x3
1 6
Fx
a3
Fb
L2 b2 6L
x
EIz1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
EIz1
Fb 6L
x3
Fb
L2 6L
b2
x
例题 5.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。
a A
Fb L
6EIz 2EIz 3EIz
例题 5.2
求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。
A
x
l
y
边界条件
x0 0 x0 0
xL
B
qL3 6EI z
M x 1 qL x2
B
2
x
EI z
M
x
1 2
q
L
x
2
EI z
EI z
A
C
B
x
w挠度
C'
B'
衡量梁弯曲变形程度的曲线是曲率，我们为什么用挠度和转
角？
2、转角 (slope)
横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角. 用 表示
横截面的转角也就是曲线在该点处的切线与X轴之间的夹角
A
C
B
x
C'
w挠度（
B 转角
3、挠曲线 (Deflection curve) 梁变形后的轴线称为挠曲线 . 也称弹性曲线
EIz2
Fb 6L
x3
1 6
Fx
a3
Fb
L2 b2 6L
x
EIz1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
EIz1
Fb 6L
x3
Fb
L2 6L
b2
x
例题 5.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。
a A
Fb L
6EIz 2EIz 3EIz
例题 5.2
求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。
A
x
l
y
边界条件
x0 0 x0 0
xL
B
qL3 6EI z
M x 1 qL x2
B
2
x
EI z
M
x
1 2
q
L
x
2
EI z
EI z
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10
例题
指出以下各梁共几个积分常数并写出全部定解条件。
(1)
F
q
a w w1(x)
a w2(x)
解： 此梁应分为3段积分， 共6个常数。
定解条件：
a w3(x)
x 0, x a,
x 2a,
x
w1 0
w1
w2 ,
dw1 dx
dw2 dx
w2
w3
0, dw2 dx
dw3 11dx
例题
一、度量梁变形的两个基本位移量
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移，用w表示。
与 y同向为正，反之为负。
P
C
x 2.转角：横截面绕其中性轴转
w
动的角度。用 表示，顺时
y
C1
针转动为正，反之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为：
w =f (x)
三、小变形时转角与挠曲线的关系：
1 2
Pa2
C1
0
a
P
L
x
y
(a ) (a ) C1 D1
w(a ) w(a )
C1a C2 D1a D2
C1
D1
1 2
Pa2
; C2
D2
1 6
Pa3
17
写出弹性曲线方程并画出曲线
w(x)
P
6 EI
P
6 EI
(a x)3 3a2x 3a2 x a3
a3
(0 x a) (a x L)
（1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。 （2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。 8
（3）、常见的分段点连续条件： 一般情况下稍左稍右的两个截面挠度相等、转角相等。
连续挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。
第i个分段点处：
Mi(x) Mi+1(x) i x
xi
wi(x) wi+1(x)
M
(x)
P(x 0
a)
(0 x a) (a x L)
a
P
L
x
y 写出微分方程并积分
EI
P(a 0
x)
(0 x a) (a x L)
EI
1 2
P(a
x)2
C1
D1
EIw
1 6
P(a
x)3
C1x
C2
D1x D2
16
应用位移边界条件求积分常数
EIw(0)
1 6
Pa3
C2
0
EI
(0)
挠度连续 转角连续
w w i xxi
i1 xxi
i xxi
i1 xxi
(4) 中间铰处
仅挠度连续，转角不连续
w1(x) A
w2(x) C B点挠度连续
lB l
w1 xl w2 xl 9
4、确定挠曲线方程和转角方程 。 5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。
讨论： ①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。 ④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
M (x) P(x L)
y
写出微分方程并积分
应用位移边界条件求积分常数
EIw'' M (x) P(L x)
EIw
1 2
P(L
x)2
C1
EIw
1 6
P(L
x)3
C1x
C2
EIw(0)
1 6
PL3
C2
0
EI
(0)
EIw '(0)
1 2
PL2
C1
0
C1
1 2
PL2
;
C2
1 6
PL3
13
P L
x
(2)
q
弹簧系数为k
a
l
x
w w1(x)
w2(x)
解： 此梁应分为2段积分，共4个常数。
定解条件： q
x 0, w1 0,1 0
x a, w1 w2
ql/2
ql/2
x a l,
w2
ql 2k
12
例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：
P L
建立坐标系并写出弯矩方程
x
L
1
第五章 梁弯曲时的位移
§5–1 概述 §5–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §5–3 按叠加原理求梁的挠度与转角 §5–4 梁的刚度校核、提高梁的刚度的措施 §5–5 梁内的弯曲应变能
2
§5—1 概述
研究范围：等直梁在平面弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）3。
w =w（x）上任一点处—— tg dw w(x) w
dx
tg w
4
§5—2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、曲率与弯矩的关系：
1 M 1 M(x)
r EI
r(x) EI
……（1）
二、曲率与挠曲线的关系：
1
r ( x)
ห้องสมุดไป่ตู้
w 1 (w)2
3 2
→→
1 w
r(x)
……（2）
三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得
f
写出弹性曲线方程并画出曲线
w(x)
P 6EI
(L
x)3
3L2 x
L3
最大挠度及最大转角
m ax
(L)
PL2 2EI
wmax
w(L)
PL3 3EI
14
解二：建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) F(L x)
写出微分方程并积分
EIw M (x) FL Fx
w
EIw
FLx
1 2
Fx2
C1
EIw
FLx2 2
Fx3 6
C1x
C2
应用位移边界条件求积分常数
x=0, w=0 ; θ =0
C1 0 ; C2 0
x
L
F
x
确定挠曲线、转角方程
w(x)
F 6EI
3Lx2
x3
w
F 2EI
2Lx
x2
最大挠度及转角
wmax
w(L)
FL3 3EI
max
(L)
FL2 15
2EI
解：建立坐标系并写出弯矩方程
最大挠度及最大转角
m ax
(a)
Pa 2 2EI
wmax
w(L)
Pa2 6EI
3L a
a
P
L
x
f
18
例2 解：建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) 1 qlx 1 qx2
q
22
写出微分方程的积分并积分 A
B
EIw" M (x) 1 qlx 1 qx2
22
x
EIw' EI 1 qlx2 1 qlx3 C
EIw(x) M (x)
EIw(x) M (x)dx C1
EIw(x) ( M (x)dx)dx C1x C2
7
3.位移边界条件
P
A
C
B
D
P
支点位移条件：
wA 0 wB 0
连续条件： wC wC
光滑条件： C C
wD 0 wD 0
或写成w C
左
wC右
或写成 C 左 C 右
M(x) w EI
EIw M(x)
5
x M>0
w(x) 0 y
x
M<0
y
w(x) 0
结论：挠曲线近似微分方程—— EIw M(x)
挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“Fs(”w、)2 对变形的影响。 使用条件：弹性范围内工作的细长梁。
6
二、积分法计算梁的变形
步骤：（EI为常量） 1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分
例题
指出以下各梁共几个积分常数并写出全部定解条件。
(1)
F
q
a w w1(x)
a w2(x)
解： 此梁应分为3段积分， 共6个常数。
定解条件：
a w3(x)
x 0, x a,
x 2a,
x
w1 0
w1
w2 ,
dw1 dx
dw2 dx
w2
w3
0, dw2 dx
dw3 11dx
例题
一、度量梁变形的两个基本位移量
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移，用w表示。
与 y同向为正，反之为负。
P
C
x 2.转角：横截面绕其中性轴转
w
动的角度。用 表示，顺时
y
C1
针转动为正，反之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为：
w =f (x)
三、小变形时转角与挠曲线的关系：
1 2
Pa2
C1
0
a
P
L
x
y
(a ) (a ) C1 D1
w(a ) w(a )
C1a C2 D1a D2
C1
D1
1 2
Pa2
; C2
D2
1 6
Pa3
17
写出弹性曲线方程并画出曲线
w(x)
P
6 EI
P
6 EI
(a x)3 3a2x 3a2 x a3
a3
(0 x a) (a x L)
（1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。 （2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。 8
（3）、常见的分段点连续条件： 一般情况下稍左稍右的两个截面挠度相等、转角相等。
连续挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。
第i个分段点处：
Mi(x) Mi+1(x) i x
xi
wi(x) wi+1(x)
M
(x)
P(x 0
a)
(0 x a) (a x L)
a
P
L
x
y 写出微分方程并积分
EI
P(a 0
x)
(0 x a) (a x L)
EI
1 2
P(a
x)2
C1
D1
EIw
1 6
P(a
x)3
C1x
C2
D1x D2
16
应用位移边界条件求积分常数
EIw(0)
1 6
Pa3
C2
0
EI
(0)
挠度连续 转角连续
w w i xxi
i1 xxi
i xxi
i1 xxi
(4) 中间铰处
仅挠度连续，转角不连续
w1(x) A
w2(x) C B点挠度连续
lB l
w1 xl w2 xl 9
4、确定挠曲线方程和转角方程 。 5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。
讨论： ①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。 ④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
M (x) P(x L)
y
写出微分方程并积分
应用位移边界条件求积分常数
EIw'' M (x) P(L x)
EIw
1 2
P(L
x)2
C1
EIw
1 6
P(L
x)3
C1x
C2
EIw(0)
1 6
PL3
C2
0
EI
(0)
EIw '(0)
1 2
PL2
C1
0
C1
1 2
PL2
;
C2
1 6
PL3
13
P L
x
(2)
q
弹簧系数为k
a
l
x
w w1(x)
w2(x)
解： 此梁应分为2段积分，共4个常数。
定解条件： q
x 0, w1 0,1 0
x a, w1 w2
ql/2
ql/2
x a l,
w2
ql 2k
12
例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：
P L
建立坐标系并写出弯矩方程
x
L
1
第五章 梁弯曲时的位移
§5–1 概述 §5–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §5–3 按叠加原理求梁的挠度与转角 §5–4 梁的刚度校核、提高梁的刚度的措施 §5–5 梁内的弯曲应变能
2
§5—1 概述
研究范围：等直梁在平面弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）3。
w =w（x）上任一点处—— tg dw w(x) w
dx
tg w
4
§5—2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、曲率与弯矩的关系：
1 M 1 M(x)
r EI
r(x) EI
……（1）
二、曲率与挠曲线的关系：
1
r ( x)
ห้องสมุดไป่ตู้
w 1 (w)2
3 2
→→
1 w
r(x)
……（2）
三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得
f
写出弹性曲线方程并画出曲线
w(x)
P 6EI
(L
x)3
3L2 x
L3
最大挠度及最大转角
m ax
(L)
PL2 2EI
wmax
w(L)
PL3 3EI
14
解二：建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) F(L x)
写出微分方程并积分
EIw M (x) FL Fx
w
EIw
FLx
1 2
Fx2
C1
EIw
FLx2 2
Fx3 6
C1x
C2
应用位移边界条件求积分常数
x=0, w=0 ; θ =0
C1 0 ; C2 0
x
L
F
x
确定挠曲线、转角方程
w(x)
F 6EI
3Lx2
x3
w
F 2EI
2Lx
x2
最大挠度及转角
wmax
w(L)
FL3 3EI
max
(L)
FL2 15
2EI
解：建立坐标系并写出弯矩方程
最大挠度及最大转角
m ax
(a)
Pa 2 2EI
wmax
w(L)
Pa2 6EI
3L a
a
P
L
x
f
18
例2 解：建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) 1 qlx 1 qx2
q
22
写出微分方程的积分并积分 A
B
EIw" M (x) 1 qlx 1 qx2
22
x
EIw' EI 1 qlx2 1 qlx3 C
EIw(x) M (x)
EIw(x) M (x)dx C1
EIw(x) ( M (x)dx)dx C1x C2
7
3.位移边界条件
P
A
C
B
D
P
支点位移条件：
wA 0 wB 0
连续条件： wC wC
光滑条件： C C
wD 0 wD 0
或写成w C
左
wC右
或写成 C 左 C 右
M(x) w EI
EIw M(x)
5
x M>0
w(x) 0 y
x
M<0
y
w(x) 0
结论：挠曲线近似微分方程—— EIw M(x)
挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“Fs(”w、)2 对变形的影响。 使用条件：弹性范围内工作的细长梁。
6
二、积分法计算梁的变形
步骤：（EI为常量） 1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分