统计学概率与概率分布
统计学第3章-概率、概率分布与抽样分布
互斥事件及其概率
(例题分析)
解：由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率 都是1/2，当抛掷的次数逐渐增大时，上面的4个 简单事件中每一事件发生的相对频数 (概率)将近 似等于 1/4 。因为仅当 H1T2 或 T1H2 发生时，才会 恰好有一枚硬币朝上的事件发生，而事件 H1T2 或 T1H2 又为互斥事件，两个事件中一个事件发 生或者另一个事件发生的概率便是 1/2(1/4+1/4) 。 因此，抛掷两枚硬币，恰好有一枚出现正面的概 率等于 H1T2 或 T1H2 发生的概率，也就是两种事 件中每个事件发生的概率之和
解：设 A = 某住户订阅了日报 B = 某个订阅了日报的住户订阅了晚报
依题意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50
P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.75×0.5=0.375
3－31
独立事件与乘法公式
(例题分析)
【例】从一个装有3个红球2个白球的盒子里摸球 (摸出后球不放回)，求连续两次摸中红球的概率
3－17
互斥事件的加法规则
(例题分析)
【例】抛掷一颗骰子，并考察其结果。求出其点 数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率
解：掷一颗骰子出现的点数(1，2，3，4，5，6)共有
6个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6 根据互斥事件的加法规则，得
P(1或2或3或4或5或6) P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6
合计
从这200个配件中任取一个进行检查，求 (1) 取出的一个为正品的概率 (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率
生物统计学课件1、概率及概率分布
指数分布在统计分析中常用于计算随机事件的概率和期望值，如生存 分析和可靠性工程。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
概率分布的应用
在生物统计学中的应用
描述生物样本人群的特征
遗传学研究
通过概率分布，可以描述生物样本人 群的某些特征，如身高、体重、年龄 等。
在遗传学研究中，概率分布被广泛应 用于基因频率的分布和遗传疾病的分 布。
正态分布在统计学中的重要性在于许 多统计方法和假设检验都是基于正态 分布的假设。
泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布 ，常用于描述单位时间内随机
事件发生的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数λ和k控制，其中λ表示单位时
间内随机事件发生的平均次数 ，k表示随机事件发生的次数。
泊松分布在生物统计学中常用 于描述某些离散变量的分布， 如遗传学中的基因突变频率、 流行病学中的疾病发病率等。
在社会科学研究中的应用
人口统计学研究
在人口统计学研究中，概率分布 被用于描述人口特征和分布情况
。
社会调查
在社会调查中，概率分布被用于描 述调查结果的分布情况，例如调查 结果的置信区间和抽样误差。
经济预测
在经济预测中，概率分布被用于预 测经济发展趋势和未来经济状况。
REPORT
CATALOG
DATE
描述随机变量取连续数值时的概率分布，如正态分布、指数 分布等。
离散概率分布
二项分布
描述在n次独立重复的伯努利试验中 成功的次数的概率分布，常用于描述 生物实验和调查中的成功次数。
泊松分布
描述单位时间内（或单位面积上）随 机事件发生的次数，常用于描述稀有 事件的概率模型。
概率与统计中的概率分布函数与期望值
概率与统计中的概率分布函数与期望值概率分布函数与期望值是统计学中常用的概念，用于描述随机变量的分布情况和其平均取值。
在概率与统计领域中，概率分布函数（Probability Distribution Function，简称PDF）用于表示一个离散或连续随机变量的可能取值及其对应的概率。
一、概率分布函数概率分布函数描述了随机变量取特定值的概率。
对于离散型随机变量，概率分布函数通常以概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）的形式给出。
PMF表示了随机变量取各个可能值的概率。
例如，对于掷骰子的结果来说，每个点数（1到6）都有相应的概率。
对于连续型随机变量，概率分布函数以概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）的形式给出。
PDF表示了随机变量在某一取值范围内的概率密度，即在该范围内取值概率的变化情况。
例如，正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，表示随机变量在不同取值上的概率密度。
二、期望值期望值是描述随机变量的平均取值的指标。
对于离散型随机变量，期望值可以通过每个可能取值的概率乘以对应取值的加权平均来计算。
对于连续型随机变量，期望值则是对概率密度函数在整个取值范围内的加权平均。
期望值的计算方法可以简单地表示为E(X) = ∑(x * P(x))（离散型）或E(X) = ∫(x * f(x))dx（连续型），其中x表示随机变量的取值，P(x)或f(x)为其对应的概率或概率密度。
期望值在概率与统计中具有重要意义。
它可以用来描述随机变量集中在哪个取值附近，或者用于比较不同随机变量的平均取值。
三、常见的概率分布函数与期望值在概率与统计中，存在许多常见的概率分布函数，每个分布函数都有其对应的期望值。
以下是一些常见的概率分布函数与期望值的例子：1. 二项分布（Binomial Distribution）- 概率分布函数：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)- 期望值：E(X) = np2. 泊松分布（Poisson Distribution）- 概率分布函数：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!- 期望值：E(X) = λ3. 正态分布（Normal Distribution）- 概率密度函数：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x-μ)/σ)^2/2)- 期望值：E(X) = μ以上仅为部分常见的概率分布函数与其期望值，实际应用中还存在更多的概率分布函数与对应的期望值。
第五章概率与概率分布
P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n
m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布
统计学统计学概率与概率分布练习题
第5章概率与概率分布练习题5.1写出下列随机事件的基本空间：（1）抛三枚硬币。
（2）把两个不同颜色的球分别放入两个格子。
（3）把两个相同颜色的球分别放入两个格子。
（4）灯泡的寿命（单位：h）。
（5）某产品的不合格率（％）。
5.2假定某布袋中装有红、黄、蓝、绿、黑等5个不同颜色的玻璃球，一次从中取出3个球,请写出这个随机试验的基本空间。
5.3试定义下列事件的互补事件：（1）A=｛先后投掷两枚硬币，都为反面｝。
（2）A=｛连续射击两次，都没有命中目标｝。
（3）A=｛抽查三个产品，至少有一个次品｝。
5.4向两个相邻的军火库发射一枚导弹，如果命中第一个和第二个军火库的概率分别是、，而且只要命中其中任何一个军火库都会引起另一个军火库的爆炸。
试求炸毁这两个军火库的概率有多大。
5.5已知某产品的合格率是98%，现有一个检查系统，它能以的概率正确的判断出合格品，而对不合格品进行检查时，有的可能性判断错误（错判为合格品），该检查系统产生错判的概率是多少5.6有一男女比例为51：49的人群，已知男人中5%是色盲，女人中％是色盲，现随机抽中了一个色盲者，求这个人恰好是男性的概率。
5.7消费者协会经过调查发现，某品牌空调器有重要缺陷的产品数出现的概率分布如下：根据这些数值，分别计算：（1）有2到5个（包括2个与5个在内）空调器出现重要缺陷的可能性。
（2）只有不到2个空调器出现重要缺陷的可能性。
（3）有超过5个空调器出现重要缺陷的可能性。
5.8设X是参数为n 4和p 0.5的二项随机变量。
求以下概率:(1)P(X 2)。
( 2)P(X 2)。
5.9 一条食品生产线每8小时一班中出现故障的次数服从平均值为的泊松分布。
求:（1）晚班期间恰好发生两次事故的概率。
（2）下午班期间发生少于两次事故的概率。
（3）连续三班无故障的概率。
5.10假定X服从N 12，n 7，M 5的超几何分布。
求：（1）P（X 3）。
（2）P（X 2）。
概率与统计中的随机变量和概率分布的应用
概率与统计中的随机变量和概率分布的应用在概率与统计学中，随机变量与概率分布是两个重要的概念，它们在实际应用中起着至关重要的作用。
本文将探讨随机变量和概率分布在概率与统计学中的应用。
一、随机变量的概念及应用随机变量是概率论中的重要概念，它用于描述随机试验的结果。
随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量是指只能取有限个或可数个值的随机变量，比如掷骰子的点数、抛硬币的正反面等。
离散随机变量可以通过概率质量函数来描述其概率分布，该概率分布可以用于计算随机变量的期望、方差等统计量。
离散随机变量在实际应用中常用于描述离散的事件，如人口统计学中的男女比例、产品缺陷率等。
连续随机变量是指可以取任意实数值的随机变量，比如身高、体重等。
连续随机变量可以通过概率密度函数来描述其概率分布，该概率分布可以用于计算随机变量的期望、方差等统计量。
连续随机变量在实际应用中常用于描述连续的事件，如物理实验中的测量误差、金融领域中的股票价格等。
随机变量在概率与统计学中有着广泛的应用。
通过对随机变量的分析和建模，可以提取出潜在的规律和特征，进而做出合理的预测和决策。
例如，在金融领域中，通过对股票价格的随机变量建模，可以预测未来的股票价格走势，从而指导投资决策。
在医学领域中，通过对某种疾病的患病率随机变量建模，可以计算出患病风险，并采取相应的防控措施。
二、概率分布的概念及应用概率分布是指随机变量取各个值的概率。
概率分布可以分为离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布是指随机变量为离散型的概率分布，比如二项分布、泊松分布等。
离散概率分布可以通过概率质量函数来描述，该函数可以计算随机变量取各个值的概率。
离散概率分布在实际应用中常用于描述离散事件的发生概率。
例如，二项分布可以用于描述在多次独立的伯努利试验中成功次数的概率分布，泊松分布可以用于描述单位时间内某事件发生次数的概率分布。
连续概率分布是指随机变量为连续型的概率分布，比如正态分布、指数分布等。
统计学-概率和分布
第五章 概率及概率分布
P A B P ( A) P ( B)
16
第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 1、概率的加法 例如：抛掷一枚硬币，正面朝上和正面朝下的概率各为0.50， 问在实验中，硬币正面朝上或朝下的概率是多少？ 答：硬币正面朝上或朝下的概率是1。 获得一、二、三等奖的概率分别为：0.002、0.005和0.993， 获奖的概率是多少？ 答：获奖的概率为1。
17
第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 2、概率的乘法 A事件出现的概率不影响B事件出现的概率，这两个事件为独 立事件。 两个独立事件积的概率，等于这两个事件概率的乘积。表示 两个事件同时出现的概率。 用公式可表示为：
P ( A B ) P ( A) P ( B)
18
第一节 概率的一般概念
npq 101/ 2 1/ 2 1.58
31
第二节 二项分布
四、二项分布的平均数和标准差 例如：有一份试卷，共有50道选择题，并且都为四选一，假 定一个学生一点都不会，只能凭猜测来回答。问凭猜测来回 答，平均能猜对几道题，猜对题目数的标准差为多少。 分析：因为完全不会做而只是靠猜测，因此属于二项分布的 运用条件。
8
第一节 概率的一般概念
一、概率的定义 （2）后验概率——
表5.1 抛掷硬币试验中正面朝上的频率 试验者 德摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 抛硬币次数 2048 4040 12000 24000 正面朝上次数 1061 2048 6019 12012 正面朝上频率 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
职教学院 刘春雷 E-mail：lcl2156@
1
第五章
概率及概率分布
第一节 概率的一般概念 第二节 二项分布
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3
P(B) p(Ai)P(B|Ai) i1
0.25 0.05 0.35 0.04 0.40 0.02
0.0345
1. 与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立 在条件概率的基础上寻找事件发生的原因
(2) 用B 表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢 厂
全体职P工(B的)集全 合炼 ；公 基钢本司 厂 空间职 职 为全工 工 体14职总 28人 工50的人 00数 集00.3合数 8。4则
P(A)mp n
【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指 标
为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天 的
量和连续型随机变量
1. 随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐 个列举出来 X1 , X2，…
2. 以确定的概率取这些不同的值 3. 离散型随机变量的一些例子
1. 随机变量 X 取无限个值
2. 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取 数轴上某一区间内的任意点
3. 连续型随机变量的一些例子
离散型随机变量的概率分 布
，
或
P(AB)=P(A)P(B|A)
【例】设有1000中产品，其中850件是正品，150 件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的 概率是多少？
，所解求：概设率Ai为表P示(A“1A第2) i 次抽到的是次品”(i=1,2)
P(A1A2)P(A1)P(A2| A1)
1501490.0224 1009099
1. 列出离散型随机变量X的所有可能取值 2. 列出随机变量取这些值的概率 3. 通常用下面的表格来表示
4. P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数
▪ pi0
n
4.
0 pi 1
i 1
【例】如规定打靶中域Ⅰ得3分，中域Ⅱ得2分 ，中域Ⅲ得1分，中域外得0分。今某射手每100 次射击，平均有30次中域Ⅰ，55次中域Ⅱ，10 次中Ⅲ，5次中域外。则考察每次射击得分为 0,1,2,3这一离散型随机变量，其概率分布为
发生条件下事件A发生的条件概率，
记为
P(A|B)
=
P(AB) P(B)
事件A 事件B
一旦事件B发生
事件 AB及其 概率P (AB)
事件B及其 概率P (B)
1. 用来计算两事件交的概率
2. 以条件概率的定义为基础
3. 设 A 、 B 为 两 个 事 件 ， 若 P(B)>0 ， 则
P(AB)=P(B)P(A|B)
2. 设 n 个 事 件 A1 ， A2 ， … ， An 两 两 互 斥 ，
A1+A2+…+ An= (满足这两个条件的事件组称为
一个完备事件组)，且P(Ai)>0(i=1,2, …,n)，则
P(Ai |
B)
P(Ai)P(B|
n
Ai)
p(Aj)P(B| Aj)
j1
【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的
A B
A 与 B互不相容
一个事件B与事件A互斥，且它与事件A的并是 整个样本空间，则称事件B是事件A的逆事件。 它是由样本空间中所有不属于事件A的样本点所组 成的集合，记为A
A
A
事件A发生但事件B不发生的事件称为事件A 与事件B的差，它是由属于事件A而不属于事件 B的那些样本点构成的集合，记为A-B
2. 表示事件A出现可能性大小的数值
3. 事件A的概率表示为P(A)
4. 概率的定义有：古典定义、统计定义和 主观概率定义
例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频 率，
随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频 正率面 /试验次数
稳1定.00在1/2左右
0.75
0.50
0.25
0.00 0
25
法则一 1. 两个互斥事件之和的概率，等于两个事件
概率之和。设A和B为两个互斥事件，则 P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B )
2. 事件A1，A2，…，An两两互斥，则有 P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
第五章 概率与概率分布
第一节 概率基础 第二节 随机变量及其分布
1.了解随机事件的概念、事件的关系和运算
2.理解概率的定义，掌握概率的性质和运算 法则
3. 理解随机变量及其分布，计算各种分布的概 率
4. 用Excel计算分布的概率
第一节 概率基础
一. 随机事件及其概率 二. 概率的性质与运算法则
例如：掷一枚骰子出现的点数为3
2. 随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件
例如：掷一枚骰子可能出现的点数
3. 必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示
例如：掷一枚骰子出现的点数小于7
4. 不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示
例如：掷一枚骰子出现的点数大于6
1. 基本事件
一个不可能再分的随机事件 例如：掷一枚骰子出现的点数
A
B
A-B
设A、B、C为三个事件，则有
1. 交换律：A∪B=B∪A
2.
A∩B=B∩A
2. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
A(BC) =(AB) C
3. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
事件的概率
1. 事件A的概率是对事件A在试验中出现的 可能性大小的一种度量
A
B
A∪B
事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事 件B的交，它是由属于事件A也属于事件B的所有 公共样本点所组成的集合，记为B∩A 或AB
AB
A∩B
事件A与事件B中，若有一个发生，另一个必定不 发生， 则称事件A与事件B是互斥的，否则称两个事 件是相容的。显然，事件A与事件B互斥的充分必要 条件是事件A与事件B没有公共的样本点
(1) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)=0.90.80.85=0.612
(2) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)
= 0.90.8(1-0.85)=0.108
设事件A1，A2，…，An 两两互斥， A1+A2+…+
An=（满足这两个条件的事件组称为一个完备事
解：设A＝{读甲报纸}，B＝{读乙报纸}，C＝ {至少读一种报纸}。则
P ( C ) =P ( A∪B )
= P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B )
=0.2 + 0.16 - 0.08 = 0.28
条件概率与独立事件
在事件B已经发生的条件下，求事
件A发生的概率，称这种概率为事件B
1. 一个事件的发生与否并不影响另一个事 件发生的概率，则称两个事件独立
2. 若 事 件 A 与 B 独 立 ， 则 P(B|A)=P(B) ， P(A|B)=P(A)
3. 此时概率的乘法公式可简化为
4.
P(AB)=P(B)·P(B)
4. 推广到n个独立事件，有
5.
P(A1 A2 …An)=P(A1)P(A2) … P(An)
对任意事件A，有 0 P 1
2. 规范性
必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。
即P ( ) = 1； P ( ) = 0
3. 可加性
若A与B互斥，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有
P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
随机事件的几个基本概念
1. 在相同条件下，对事物或现象所进行的观察 2. 例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数 3. 试验具有以下特点
可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所
有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果
1. 事件：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合)
1. 一个离散型随机变量X只取两个可能的值
例如，男性用 1表示，女性用0表示； 合格品用 1 表示，不合格品用0表示
2. 列出随机变量取这两个值的概率
【例】已知一批产品的次品率为p＝0.05，合格 率 为 q=1-p=1-0.5=0.95 。 并 指 定 废 品 用 1 表 示 ， 合格品用0表示。则任取一件为废品或合格品这 一离散型随机变量，其概率分布为
【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一 名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的 概率
解：用A表示“抽中的为炼钢厂职工”这一 事件；B表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事 件。随机抽取一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事 件为互斥事件A与B 的和，其发生的概率为
P (A B ) P (A ) P (B ) 48 1 05 0 0 .5 00 04 121 52 05 000
用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节 电
措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。
次试验解P ，：(试A上)验个A月超 表30示试 过 天用的验 电用 记超录的 电 过可指以天 指 标看出数 作标 1现3是20了天 重1复02.数 4次进。行根了3据0
概
概率的性质与运算法则
1. 非负性
法则二
对任意两个随机事件A和B，它们和的 概率为两个事件分别概率的和减去两个 事件交的概率，即
P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B )