概率论与统计学的重要公式和解题思路
概率论与数理统计公式整理
概率论与数理统计公式整理在现代数学中，概率论与数理统计是两个重要的分支。
其中概率论是研究随机事件发生的可能性或概率的科学。
而数理统计则是利用概率论的方法，对已经发生的随机事件进行统计分析和推断。
本文将整理概率论与数理统计中常用的公式。
一、基本概率公式1.概率：$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$其中，$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$n(A)$表示事件$A$所包含的基本事件的个数，$n(S)$表示所有基本事件的个数。
2.加法原理：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$其中，$A$和$B$是两个事件，$A\cup B$表示事件$A$和事件$B$中至少有一个发生的概率，$A\cap B$表示两个事件同时发生的概率。
3.条件概率：$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$其中，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。
4.乘法定理：$P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$其中，$P(A\cap B)$表示两个事件同时发生的概率，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。
二、概率分布1.离散随机变量的概率分布律：$\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{p(x_i)}=1$其中，$p(x_i)$表示离散随机变量取值为$x_i$的概率。
2.连续随机变量的概率密度函数：$\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)}\mathrm{d}x=1$其中，$f(x)$表示连续随机变量在$x$处的概率密度。
3.数学期望：$E(x)=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{x_ip(x_i)}$或$E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}{xf(x)}\mathrm{d}x$其中，$E(x)$表示随机变量$x$的数学期望，$p(x_i)$表示$x_i$这一离散随机变量取到的带权概率。
概率论与数理统计公式定理全总结
概率论与数理统计公式定理全总结一、概率论公式：1.基本概率公式：对于随机试验E，事件A的概率可以表示为P(A)=事件A的样本点数/所有样本点数。
2.条件概率公式：对于事件A和事件B，若P(B)>，则事件A在事件B发生的条件下的概率可以表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
3.全概率公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B有P(B)=Σ(P(Ai)×P(B，Ai))。
4.贝叶斯公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B，有P(Ai，B)=(P(B，Ai)×P(Ai))/Σ(P(B，Ai)×P(Ai))。
二、数理统计公式：1.期望：随机变量X的期望E(X)=Σ(Xi×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
2. 方差：随机变量X的方差Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 ×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，E(X)为随机变量X的期望，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
3. 协方差：随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))，其中E(X)和E(Y)分别为随机变量X和Y的期望。
4. 相关系数：随机变量X和Y的相关系数ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / √(Var(X) × Var(Y))，其中Cov(X,Y)为随机变量X和Y的协方差，Var(X)和Var(Y)分别为随机变量X和Y的方差。
三、概率论与数理统计定理：1.大数定律：对于独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，它们的均值X̄=(X1+X2+...+Xn)/n，当n趋向于无穷大时，X̄趋向于X的期望E(X)。
概率与统计学公式大全
概率与统计学公式大全概率与统计学是一门关于随机事件发生规律及其数学描述的学科。
在实际问题的分析和决策中，概率与统计学都起着重要的作用。
本文将汇总一些常用的概率与统计学公式，帮助读者更好地理解和应用这门学科。
一、概率公式1. 概率的基本概念：概率是指某个特定事件发生的可能性大小。
用P(A)表示事件A发生的概率，有以下公式：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A包含的基本样本点的个数，N(S)表示全样本空间的基本样本点的个数。
2. 随机变量的概率分布：随机变量是指在某个随机实验中可能取得不同值的变量。
其概率分布可由概率质量函数（离散随机变量）或概率密度函数（连续随机变量）来描述。
离散随机变量的概率质量函数为：P(X = x) = f(x)连续随机变量的概率密度函数为：P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b] f(x)dx其中，f(x)表示概率质量函数或概率密度函数。
3. 事件的和与积：对于两个事件A和B，其和与积的概率表示如下：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)其中，P(A ∪ B)表示事件A和B至少其中一个发生的概率，P(A ∩ B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
二、统计学公式1. 样本均值和总体均值：样本均值的公式为：X = (x₁ + x₂ + ... + xn) / n其中，x₁，x₂，...，xn是样本中的个体值，n是样本的大小。
总体均值的公式为：μ = (x₁ + x₂ + ... + xn) / N其中，x₁，x₂，...，xn是总体中的个体值，N是总体的大小。
2. 样本方差和总体方差：样本方差的公式为：s² = ((x₁ - X)² + (x₂ - X)² + ... + (xn - X)²) / (n - 1)其中，x₁，x₂，...，xn是样本中的个体值，X是样本均值，n是样本的大小。
概率论数理统计公式整理
概率论数理统计公式整理一、概率论公式1.定义公式:-事件概率的定义:若E为随机试验的一个事件，S为样本空间，则事件E发生的概率可以表示为P(E)=n(E)/n(S)，其中n(E)表示事件E中元素的个数，n(S)表示样本空间S中元素的总数。
2.概率计算公式:-加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中A,B为两个事件。
-条件概率公式:P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，其中A,B为两个事件，且P(B)≠0。
-乘法公式:P(A∩B)=P(A)P(B，A)，其中A,B为两个事件。
3.全概率公式与贝叶斯公式:-全概率公式:设B1,B2,...,Bn为样本空间S的一组互不相容的事件，并且它们构成了对S的一个完全划分，即Bi∩Bj=∅(i≠j)，且B1∪B2∪...∪Bn=S，则对于任意事件A，有P(A)=ΣP(A，Bi)P(Bi)，其中i=1,2,...,n。
-贝叶斯公式:设B1,B2,...,Bn为样本空间S的一组互不相容的事件，并且它们构成了对S的一个完全划分，即Bi∩Bj=∅(i≠j)，且B1∪B2∪...∪Bn=S，则对于任意事件A，有P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/ΣP(A，Bj)P(Bj)，其中i=1,2,...,n。
二、数理统计公式1.随机变量的概率分布:-离散型随机变量的概率分布:P(X=x)=p(x)，其中x为随机变量X的取值，p(x)为概率质量函数。
- 连续型随机变量的概率密度函数: f(x) ≥ 0，且∫f(x)dx = 12.随机变量的数学期望:- 离散型随机变量的数学期望: E(X) = Σxip(xi)，其中xi为随机变量X的取值，p(xi)为X取值为xi的概率。
- 连续型随机变量的数学期望: E(X) = ∫xf(x)dx。
3.方差和标准差:- 离散型随机变量的方差: Var(X) = E[(X - E(X))^2] = Σ(xi - E(X))^2p(xi)。
概率与统计学中的关键公式整理
概率与统计学中的关键公式整理在概率与统计学中，有许多重要的公式被广泛应用于数据分析、推断和决策过程中。
这些公式能够帮助我们对数据进行有效的统计分析，并从中获取有用的信息。
本文将对概率与统计学中的关键公式进行整理和介绍，帮助读者更好地理解和运用这些公式。
一、概率公式1. 条件概率公式条件概率是指在给定某个条件下，事件发生的概率。
条件概率可以使用以下公式计算：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
2. 边际概率公式边际概率是指在多个事件中某一个事件发生的概率。
边际概率可以使用以下公式计算：P(A) = ∑ P(A∩Bi)其中，P(A)表示事件A发生的概率；P(A∩Bi)表示事件A和事件Bi同时发生的概率；∑表示对所有可能的事件Bi求和。
3. 联合概率公式联合概率是指多个事件同时发生的概率。
联合概率可以使用以下公式计算：P(A∩B) = P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率；P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
二、统计学公式1. 期望值公式期望值是指随机变量的平均值，可以用来衡量数据的中心趋势。
期望值可以使用以下公式计算：E(X) = ∑ (xi * P(xi))其中，E(X)表示随机变量X的期望值；xi表示随机变量X可能取的值；P(xi)表示随机变量X取值为xi的概率；∑表示对所有可能的取值xi求和。
2. 方差公式方差是衡量数据的离散程度，可以用来评估数据的分散程度。
方差可以使用以下公式计算：Var(X) = E((X-μ)^2)其中，Var(X)表示随机变量X的方差；E表示期望值；X表示随机变量X的取值；μ表示随机变量X的期望值。
概率论与统计学公式总结【已整理 可直接打印】
概率论与统计学公式总结【已整理可直接打印】1. 概率公式概率 P(A) = n(A) / n(S)，其中 n(A) 表示事件 A 发生的次数，n(S) 表示样本空间中所有可能事件发生的次数。
2. 条件概率公式事件 B 在事件 A 已经发生的条件下发生的概率，表示为P(B|A)，计算公式为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，其中P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
3. 独立事件公式如果事件 A 和事件 B 相互独立，则事件 A 发生与否不会对事件 B 发生的概率产生影响，表示为P(A∩B) = P(A) * P(B)。
4. 期望值公式离散型随机变量 X 的期望值E(X) = ΣxP(X=x)，其中 x 表示可能的取值，P(X=x) 表示 X 取值为 x 的概率。
5. 方差公式离散型随机变量 X 的方差Var(X) = Σ(x-E(X))^2 * P(X=x)，其中 x 表示可能的取值，E(X) 表示随机变量 X 的期望值。
6. 正态分布公式正态分布的概率密度函数为f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-(x-µ)^2 / (2σ^2))，其中 µ表示均值，σ 表示标准差。
7. 中心极限定理对于一个总体中的任意样本，样本均值的分布接近正态分布，当样本容量足够大时，均值的分布越接近正态分布。
8. 置信区间公式无偏样本的均值x的置信水平为 1-α 的置信区间为 [x - Z * (σ/√n), x + Z * (σ/√n)]，其中x表示样本均值，Z 表示标准正态分布的分位数，σ 表示总体标准差，n 表示样本容量。
9. 假设检验公式在给定总体参数假设的条件下，进行样本均值的假设检验，计算统计量的值，与临界值进行比较，判断是否拒绝原假设。
10. 线性回归公式通过最小二乘法确定线性回归方程，表示为y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ，其中 y 表示因变量，x₁, x₂, ..., xₙ 表示自变量，β₀, β₁, β₂, ..., βₙ 表示回归系数。
概率论与数理统计完整公式
概率论与数理统计完整公式概率论与数理统计是数学的一个分支，研究随机现象和随机变量之间的关系、随机变量的分布规律、经验规律及参数估计等内容。
在概率论与数理统计的学习中，有许多重要的公式需要掌握。
以下是概率论与数理统计的完整公式。
一、概率论公式：1.全概率公式：设A1，A2，…，An为样本空间S的一个划分，则对任意事件B，有：P(B)=P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P(B│An)·P(An)2.贝叶斯公式：对于样本空间S的一划分A1，A2，…，An，其中P(Ai)>0，i=1,2，…，n，并且B是S的任一事件，有：P(Ai│B)=[P(B│Ai)·P(Ai)]/[P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P (B│An)·P(An)]3.事件的独立性：若对事件A，B有P(AB)=P(A)·P(B)，则称事件A，B相互独立。
4.概率的乘法公式：对于独立事件A1，A2，…，An，有：P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)5.概率的加法公式：对事件A，B有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)6.条件概率的计算：对事件A，B有：P(A，B)=P(AB)/P(B)7.古典概型的概率计算：设事件A在n次试验中发生k次的次数服从二项分布B(n,p)，则其概率可表示为：P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]二、数理统计公式：1.样本均值的期望和方差：样本的均值X̄的期望和方差分别为： E(X̄) = μ，Var(X̄) = σ^2 / n，其中μ 为总体的均值，σ^2 为总体方差，n 为样本容量。
2.样本方差的期望：样本方差S^2的期望为：E(S^2)=σ^2，其中σ^2为总体方差。
概率论及统计学地重要公式和解地题目思路
一、基本概率公式及分布 1、概率常用公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ;P(A-B)=P(A)-P(AB) ; 如A 、B 独立，则P(AB)=P(A)P(B) ; P(A )=1-P(A) ; B 发生的前提下A 发生的概率==条件概率 ：P(A|B)=P (AB )P (B );或记 ： P(AB)=P(A|B)*P(B) ;2、随机变量分布律、分布函数、概率密度 分布律：离散型X 的取值是x k (k=1,2,3...), 事件X=x k 的概率为： P{X=x k }=P k , k=1,2,3...; --- 既 X 的分布律；X 的分布律也可以是上面的表格形式，二者都可以。
分布函数：F(x)=P(X ≤x ), -∞<x <+∞ ; 是概率的累积！ P(x1<X<x2)=F(x2)-F(x1) ;离散型rv X; F(x)= P{X ≤x }=∑p k x k <x ;(把X<x 的概率累加） 连续型rvX ；F(x)=∫f (x )dx x −∞, f(x)称密度函数；既分布函数F(X)是密度函数f(x)和X 轴上的(-∞,x)围成的面积！ 性质：F(∞)=1; F(−∞)=0;二、常用概率分布：①离散：二项分布：事件发生的概率为p,重复实验n 次，发生k 次的概率（如打靶、投篮等）,记为B(n,p) P{X=k}=(n k)p k (1−p )n −k ，k=0,1,2,...n; E(X)=np,D(X)=np(1-p);②离散：泊松分布：X ～Π(λ) P{X=k}=λk e−λk !,k=0,1,2,...; E(X)=λ, D(X)=λ ;③连续型：均匀分布：X 在(a,b)上均匀分布，X ～U(a,b),则：密度函数：f(x)={1b −a,a <x <x0,其它分布函数F(x)=∫f (x )dx x−∞={0, x <x x −ab −a 1,x ≥b,a <x <x④连续型：指数分布，参数为θ，f(x)= {1θe −xθ,0<x0,其它F(x)={1−e −xθ0,x >0 ;⑤连续型：正态分布：X ～N(μ,σ2), most importment! 密度函数 f(x),表达式不用记！一定要记住对称轴x=µ, E(X)=µ,方差D(X)=σ2; 当µ=0，σ2=1时，N(0,1)称标准正态，图形为：分布函数F(x)为密度函数f(x)从(-∞,x)围成的面积。
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一、基本概率公式及分布1、概率常用公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ;P(A-B)=P(A)-P(AB) ; 如A、B独立，则P(AB)=P(A)P(B) ; P()=1-P(A) ;B发生的前提下A发生的概率==条件概率：P(A|B)=;或记：P(AB)=P(A|B)*P(B) ;2、随机变量分布律、分布函数、概率密度分布律：离散型X的取值是x k(k=1,2,3...), 事件X=x k的概率为：P{X=x k}=P k, k=1,2,3...; --- 既X的分布律；X X1 X2 .... xnPk P1 P2 ... pnX的分布律也可以是上面的表格形式，二者都可以。
分布函数：F(x)=P(X), -; 是概率的累积！P(x1<X<x2)=F(x2)-F(x1) ;离散型rv X; F(x)= P{X;(把X<x的概率累加）连续型rvX；F(x)=, f(x)称密度函数；既分布函数F(X)是密度函数f(x)和X轴上的(-∞,x)围成的面积！性质：F(; F(;二、常用概率分布：①离散：二项分布：事件发生的概率为p,重复实验n次，发生k 次的概率（如打靶、投篮等）,记为B(n,p)P{X=k}=，k=0,1,2,...n; E(X)=np, D(X)=np(1-p);②离散：泊松分布：X～Π(λ)P{X=k}=,k=0,1,2,...; E(X)=λ, D(X)=λ;③连续型：均匀分布：X在(a,b)上均匀分布，X～U(a,b),则：密度函数：f(x)=分布函数F(x)==④连续型：指数分布，参数为，f(x)=F(x)=;⑤连续型：正态分布：X～N(most importment!密度函数f(x),表达式不用记！一定要记住对称轴x=µ, E(X)=µ,方差D(X)=; 当µ=0，时，N(0,1)称标准正态，图形为：分布函数F(x)为密度函数f(x)从(-∞,x)围成的面积。
当X～N(0,1)，F(x)=Φ(x)(换个叫法）, 由对称性有Φ(-a)=1-Φ(a)；看到X～N(,求概率的题，一定要变成标准正态N(0,1);既把X变成；则～N(0,1)；例题：已知X～N(；求P(-1<X<3).解：(思路：µ=1，σ=2；变换式：)P(-1<X<3)=P(-1-1<X-1<3-1)=P()=P()= Φ(1)- Φ(-1)= Φ(1)-[1-Φ(1)]=2Φ(1)-1;查表正态性质：如X～N(N(；则Z=aX+bY也是正态；Z～N(,其中µz=aµ1+bµ2 ; σz²=a²σ1²+b²σ2²；三、二维随机变量：离散型：（X,Y)可能取值(xi,yj)(i,j=1,2,...).联合分布律：P{X=xi,Y=yj)=pij, (i,j=1,2,3,..)联合分布律的表格形式:XYY1 Y2 Y3 P(X=I)X1 P11 P12 P13 P11+P12+P13X2 P21 P22 P23 P21+P22+P23X3 P31 P32 P33 P31+P32+P33P(Y= J) P11+P21+P31P12+P22+P32P13+P23+P33边缘分布：P(X=1)=P11+P12+P13(横排相加）; P(X=2)，P(X=3)同样计算P(Y=1)=P11+P21+P31（竖排相加）; P(Y=2) ，P(Y=3)类似计算；条件概率：X=X1条件下Y的分布律：P{Y=yj|X=x1}==; P{Y=y1|X=x1}=; P{Y=y2|X=x1}=; P{Y=y3|X=x1}=连续型：设f(x,y)是联合概率密度；（注意x,y常常有取值范围D的）则：F(x,y)=P(X<x,Y<y)=; F(∞,∞)=1 . 边缘密度：如XY独立，则f(X,Y)=fx(X)*fy(Y); 反之也成立；X,Y二维正态密度中的参数则X,Y独立；题型：1、f(x)有未知常数，求未知常数；思路：注意x的定义域，利用F(∞)=求出参数；2、求P(X<Y)或P(X+Y>1)类，先画出x=y,x+y=1的图，确定积分上下限，并求积分；3、求Z=X+Y的分布：密度公式四、数学期望、方差数学期望E(X), 方差D(X) :离散：E(X)=; E(g(X))=;连续：E(X)=E(g(X))=性质：E(C)=C, E(CX)=CE(X);E(X+Y)=E(X)+E(Y)如X,Y独立，则E(XY)=E(X)*E(Y)；D(X)=E(X; D(C)=0，D(CX)=C²X如X,Y独立，D(X五、样本及抽样分布中心极限定理：E(X)=µ,D(X)=σ²的独立同分布的X1,X2,X3...Xn，当n充分大时，有：～N(0,1);是Xi的和；样本及抽样分布：从总体X中抽取一个个体，独立抽n次，记为X1,X2,...Xn, 它们组成独立、同分布的随机变量，叫随机样本，n是样本容量，X1,X2,..Xn的观测值x1,x2,x3...xn叫样本值。
如总体X的分布函数是F，密度是f; 则：F(x1,x2,..xn)=F(x1)*F(x2)*...*F(xn)=;f(x1,x2,...,xn)=;重要统计量：样本均值：=; 样本方差S²=; 如总体X的E(X)=µ,D(X)=σ²,则E(,D(;六、正态总体分布常用统计量：1、卡方χ²：X1,X2,...是来自总体X～N(0,1)的样本，χ²=X1²+X2²+...+Xn², 则称χ²～χ²(n)为自由度n卡方分布；性质：E(χ²)=n , D(χ²)=2n ;卡方χ²的上分位点：给定0<a<1, 满足P{χ²>χa²(n)}=a的χa²(n),已知a,n,查表可χ²(n)；a2、t分布：X～N(0，1),Y～χ²(n),XY互相独立，t=,称自由度为n的t分布，记t～t(n); 图形和N（0,1）类似；t分布的上分位点：给定0<a<1, 满足P{t>t a(n)}=a的,已知a,n,查表可t分布的图形：,3、F分布：U～χ²(n1) ；V～χ²(n2) ，且UV互相独立，F=; 是自由度为(n1,n2)的F分布，记F～F(n1,n2);F分布的上分位点：给定0<a<1, 满足P{F>Fa(n1,n2)}=a的χa ²,已知a,n1,n2,查表可；F分布性质：1-a(n1,n2)=1/a(n2,n1) ; 正态总体N(µ,σ²)的平均值和方差分布：E(, D(; D(S²)=σ²;性质1：平均值～N(µ,;2：～χ²(n-1); 卡方χ²分布；3：～t(n-1) ;t分布；4：X～N(µ1,), Y～N(µ2,) ; S1,S2是对应方差；～F(n1-1,n2-1) ;七、参数估计1、最大似然估计法：离散型总体X，其分布律P{X=x}=p(x;,待定参数，Xi(i=1,2..n)是个体样本，xi(i=1,2,..n)是样本取样值，则Xi(i=1,2..n)的联合分布律为：(既Xi(i=1,2..n)的积事件）；似然函数L(;把如L(=0时，可解得，称最大似然估计值。
为计算方便；可=0 ，计算出，正态X)的最大似然估计量为：=,=;2、无偏估计：指估计量的数学期望E()=;如E(,称是总体均值D(S²)=σ²，称样本方差是总体方差的无偏估计；其中，样本方差S²=，分母是n-1,不是n!.3、区间估计：置信区间：给定a(0<a<1),理解为概率，来自总体X的样本X1，X2,...Xn的统计量(如均值，方差等）在）之间，使得抽样样本的概率在1-a。
则称(为置信水平1-a的置信区间。
连续型rv：a已知，利用P()=1-a, 求出；常用的正态分布公式是：～N(µ,；题型：①求的置信水平为1-a的置信区间：a、变换成标准正态；令Y=, 则Y～N(0,1)；上分位点可查表得出，由于N(0,1)的对称性，下分位点是-；b、由-<<; 得<;就是的置信区间。
见图！②求的置信水平为1-a的置信区间：～t(n-1)；由P(>t a/2(n-1))=a/2, 查表得上分位点t a/2(n-1) ，由于t函数对称性，下分位点是- t a/2(n-1) ；- t a/2(n-1)< < t a/2(n-1) ;既得的置信区间(* t a/2(n-1))③方差的置信区间（未知）；～χ²(n-1); 卡方χ²分布；给定a, 查表可得上下分位点χ²a/2 (n-1)和χ²1-a/2 (n-1) ；解χ²a/2 (n-1)<（n-1)S²/σ²<χ²1-a/2 (n-1)得方差的置信区间：(,)④两个正态总体X～N(，Y～N(的置信区间；来自总体X的样本X1,X2,...Xn1, 均值,方差S1²;来自总体Y的样本Y1,Y2,... Yn2, 均值,方差S2²;a、的置信区间：1）、已知，设Z=, 则Z～N(既～N(0,1,上分位点为Z a/2; 置信区间为：（Z a/2）2）、=(未知），; 置信区间：（(n1+n2-2))其中：S²w=;b、两个方差之比的置信区间，均未知。
由：～F(n1-1,n2-1)；给定a, F分布的上下分位点分别为F a/2(n1-1,n2-1), F1-a/2(n1-1,n2-1),有：F a/2(n1-1,n2-1)<< F1-a/2(n1-1,n2-1) ;置信区间：( ,);八、假设检验方法：给定较小的a值(0.01,0.05), 得到上分布点Z a/2; 当统计量、等<Z a/2时，说明假设(H0)成立, 否则假设不成立(H1), a称显著性水平。
双边检验：H0:, H1:; H0的拒绝域为Z>Za时；左检验：H0:, H1:; H0的拒绝域为Z>Za时；右检验：H0:, H1:; H0的拒绝域为Z<Za时；，∴总体抽样的个体，分布在<Za的概率要大。