矩阵分析复习题

一、 单项选择题（答案AAB ）

1. 设1

()k

k A f A k ∞

==∑收敛，则A 可以取为

A. 0091⎡⎤

⎢⎥--⎣⎦ B. 0091⎡⎤

⎢⎥-⎣⎦

C. 1011⎡⎤

⎢⎥-⎣⎦ D. 100.11⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

注：A 的特征值为0，-1，而1k

k x k

∞

=∑的收敛区间为[1,1)-

2. 设M 是n 阶实数矩阵，若M 的n 个盖尔圆彼此分离，则M A. 可以对角化 B. 不能对角化 C. 幂收敛 D. 幂发散 注：由定理M 有n 个不同特征值，故可以对角化

3. 设3阶矩阵A 满足多项式222(4)(3)A E A E O --=, 且其最小多项式m (x )满足条件(1)(3)1m m ==,则A 可以相似于

A. 200130002M ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

B. 20002002M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

C. 2

001

2002M ⎡⎤-⎢

⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣

⎦ D. 200030013M -⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

注：B 中矩阵的最小多项式为()2

2x - 二、填空题

1． 设A 的最小多项式为220

A A -=，则

cos 2A ＝

[ E+()2cos11A - ]。

2．已知n n A C ⨯∈,并且()1A ρ<,则矩阵幂级数0

k

k kA

∞

=∑=

［ 2)(--A E A ］。

3．设矩

阵

1111A ⎡=⎥⎦

，则A 的谱半径()A ρ＝

［

3 ］。 4． 设5阶复数矩阵A 的特征多项式为22()(1)(2)f λλλλ=-+,则

2|A +E |= [ 20 ].

三、设V 是由函数22,,,x x x x e xe x e e 的线性组合生成的线性空间，定义

V 的一个线性算子如()'T f f =. 求T 的Jordan 标准形及Jordan 基。 证明：1由定义

()()

1 1 0 00 1

2 02222,,,,,,0 0 1 00 0 0 2x x x x x x x x T e xe x e e e xe x e e ⎡⎤

⎢⎥

⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

=()

22,,,x

x x x e xe x e e

A ，

2．计算出A 的特征值为1，2； 3．用最小多项式或初等因子判断Jordan 块形状 4． 给出A 的Jordan 标准形

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡20

00

011000110001

； 5．写出过渡矩阵与基变换正确公式； 6．给出Jordan 基。 注：Jordan 基不唯一 四、设

1 1 20 1 11 3 4A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

， 求A 的两个相关子空间：)(),(A R A N .

四、 求矩阵0.9 0.01 0.120.01 0.8 0.130.01 0.02 0.4A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

的孤立盖尔圆盘（即对矩阵作适当的相似变换后求得的盖尔圆盘是孤立的）。 解法一、

1． 求相似矩阵；

2． 算出分离的盖尔圆。 解法二、

直接计算A 的列盖尔圆并指出他们是分离的给满分。

五、 已知正交矩阵 2 1 311 2 23 2 2 1-⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

表示一个旋转，求其旋转轴与旋转角。

1．指出特征值1， （2分） 2．求出1对应的特征向量（1，1，0）并指出其为旋转轴，

（2分）

3．指出旋转角度和另两个共轭特征值关系，

或指出旋转角与矩阵迹的关系； （2分） 4．求出旋转角1

arccos

3

， （2分） 注：思想正确但没算1的特征向量或算错特征向量至多扣一分；

旋转角的各种表示均可（如）；全题中的计算错误总

共至多扣一分。

六、 （8分）设100101,010A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

求证：E

A A

A n n 3

2

2

-+

=-.

证法一、

1．算出特征多项式()()()2

11f λλλ=-+， 2．指出()0f A =， 3．使用定理“两个矩阵函数相等当且仅当函数在A 的谱上数

值相等”正确证明结论， 解法二、

1．算出特征多项式()()()211f λλλ=-+， 2．指出()0f A =， 3．使用归纳法或直接从多项式221n n λλλ----分解出因子

()()()2

11f λλλ=-+从而证明结论。

解法三、

1．直接计算出3230A A A E --+=， 2．使用归纳法或直接从多项式221n n λλλ----分解出因子

()()()2

11f λλλ=-+从而证明结论。

解法四、

1．求出A 的Jordan 标准形； 2．用Jordan 标准形计算出结论。 七、 对下面矩阵A 求矩阵函数At e ：

2 2 31 1 11

3 1-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

。 解法一、

1．求出特征值多项式并指出其为最小多项式， 2．设()2012g a a a λλλ=++，

3．列出线性方程组012

20123012

2439t t t

e a a a e a a a e a a a -⎧=++⎪

=-+⎨⎪=++⎩，其

4．算出()At e g A = 解法二、

1．求出特征值多项式并指出其为最小多项式， 2．算出A 的相似对角形及过渡矩阵， 3．写出At e ，

八、 证明矩阵范数12||||, ||||||||A A A ∞和分别是向量范数12, l l l ∞和导出的

算子范数。

1．111||||max ||n

ij j n

i A a ≤≤==∑，

2．11

1

1

1

||||||(||||)n n n n

ij j j ij i j j i AX a x x a =====≤∑∑∑∑

11

1

||max ||n n j ij j n

j i x a ≤≤==≤∑∑=111

||||max ||n

ij j n

i X a ≤≤=∑，

3．1

101

||||||||sup

||||X AX A X ≠≤，

4．设j 是使1 中的最大值达到的列，令()

0,,0,1,0,,0T

j X = 第个

，则

1

11

||||||||||||AX A X =。