线性动态电路的复频域分析
第十四章线性动态电路的复频域分析一、教学目标应用拉氏变换分析线性时不变网络时，可以先列出网络的积分微分方程，然后变换为复频域中的代数方程并求解；也可以先将各电路元件的特性方程变换成复频域形式，再作出线性时不变网络的运算电路，然后直接列出网络在复频域中的代数方程并求解。
一般来说，后一种方法比前一种方法简便。
本章介绍的就是后一种方法。
1.知识教学点(1)拉普拉斯变换的复习：定义和性质；常用信号（即基本函数）的象函数；部分分式展开定理(2)运算电路：KCL、KVL的s域形式；元件V AR的s域形式及元件的s域模型；运算电路的画法(3)电阻电路分析方法在运算电路中的应用(4)线性动态电路的复频域分析法(5)网络函数：定义、分类、性质；极点、零点与极零点图；()H jω之间的关系H s与()2.能力训练点（1）利用拉普拉斯变换的性质和常用信号的象函数求原函数的象函数；用部分分式展开定理由象函数求原函数（2）正确画出运算电路（3）应用电阻电路的分析方法分析运算电路（4）求网络函数及其极点、零点（5）由网络函数求零状态响应及稳态响应3.其它（1）掌握复频域分析法的优缺点及其应用范围（2）了解卷积定理：时域卷积←→频域相乘二、教学方法1 教法指导（1）指导学生复习数学积分变换中已经学过的拉氏变换（定义、常用信号的象函数、性质）和高等数学不定积分中的有理函数的分解（求拉氏反变换的部分分式展开法）。
重点放在部分分式展开法。
（2）与相量法类比介绍运算电路的画法，特别应注意储能元件（电容和电感）的s域模型。
（3）与电阻电路类比，介绍运算电路的分析。
（4）在介绍网络函数时，特别要强调电路为零状态。
讲解清楚()H s的求法及其几种表示方法；h t的联系；网络函数的一些应用。
()H jω及()H s、()2 学法指导预备知识数学方面：积分变换中的傅氏变换与拉氏变换；高等数学不定积分中的有理函数的分解（樊映川等编.高等数学讲义.人民教育出版社，1958：7.6（pp.355-361））电路方面：电阻电路、正弦稳态电路的相量法、动态电路的基本概念。
本章指南（1）掌握由原函数求象函数的方法；熟练掌握用部分分式展开定理由象函数求原函数。
（2）在掌握基尔霍夫定律的运算形式、元件的运算阻抗和运算导纳与运算电路的画法的基础上，熟练掌握线性动态电路的复频域分析法。
（3） 掌握网络函数。
（4）了解卷积定理 知识详解知识点1 拉普拉斯变换 1. 定义：拉普拉斯正变换 ⎰∞--=0)()(dt e t f s F st 简记为()F s =ℒ[]()f t拉普拉斯反变换 1()()2j st j f t F s e ds j σσπ+∞-∞=⎰ 简记为()f t =ℒ[]1()F s -)(s F 称为象函数；)(t f 称为原函数，其定义域为[0, )∞。
常用信号的象函数2. 基本性质：知识点2 象函数的部分分式展开线性时不变电路中的象函数通常为s 的有理分式，即下列形式的s 的两个实系数多项式之比求原函数不用拉氏反变换公式，而采用部分分式展开法。
当有理分式为假分式（m n '≥）时，先利于多项式的除法，把有理假分式化为一个多项式与有理真分式之和1111011010110()()()m m m n m nm n k m m m n m n k n n k n b s b s b s b N s F s c sc sc s c c s s a s a s a D s -'-''----''----=-++++=+++++=+++++∑L L L 式中，m n <。
然后对真分式进行部分分式展开，分为下列三种情况：（1）0)(=s D 的根为不等实根式中待定系数由下述公式确定根据拉氏反变换的线性性质对展开式各部分分式进行反变换，可求出已知象函数的原函数为（2）0)(=s D 的根中有重根设1s p =为l 阶重根，其余()n l -个根均为单根，则 式中待定系数可由下述公式确定 所以（3）0)(=s D 的根中有共轭复根当0)(=s D 有共轭复根时，仍可按（1）和（2）的方法进行，但计算比较复杂。
可用下面的简便方法。
设0)(=s D 有一对共轭单根1,2s j αω=-± ① 方式1式中*K 为K 的共轭。
则② 方式2 则知识点3 运算电路 1. 基尔霍夫定律的s 域形式KCL 的复频域形式：0)(=∑s I KVL 的复频域形式：0)(=∑s UKCL 和KVL 方程复频域形式的列写规律与时域相同。
基尔霍夫定律的复频域形式和时域形式在形式上是相同的，差别仅在于一个用象函数为变量，另一个用时域函数为变量。
2. 元件VAR 的s 域形式（1）电阻、电感和电容的s 域模型如表所示。
二端电路元件的s 域模型表中，sC 和sL 分别称为电容和电感的复频率阻抗或运算阻抗；C s-为附加电压源的电压，它反映了电容起始状态在动态电路中的作用；(0)L i s-为附加电流源的电流，它反映了电感起始状态在电路中的作用。
串联形式和并联形式的两种s 域模型是相互等效的。
（2）多口电阻元件 仅需将电压、电流的时间函数换成象函数即可。
（3）独立电源 将已知时间函数用象函数表示。
（4） 耦合电感 三端或二端耦合电感在时域可先去耦，再对每一个电感画复频域模型。
图（a ）中四端耦合电感的复频域模型如图（b ）所示。
注意，复频域模型附加电源方向与同名端的位置和电流的方向有关。
（a ） （b ）3. 运算电路运算电路又称为复频域模型或s 域模型。
它是一种运用象函数能方便地对动态电路进行分析和计算的一种假想模型，与原电路具有相同的拓扑结构。
从原电路可按下列方法画出相应的运算电路：把动态电路中的电压和电流用象函数表示，参考方向保持不变；电压源的电压和电流源的电流分别变换为象函数，而电路符号不变；其它电路元件分别用s 域模型替换。
在运算电路中，各支路电压、电流的象函数既要服从基尔霍夫定律s 域形式的约束，又要满足元件伏安关系的s 域形式，而这两类约束正是时域模型中相应的两类约束在拉氏变换下的形式。
因此，时域模型的电路方程在拉氏变换下的复频域代数方程可直接由运算电路依据两类约束的s 域形式写出，从而避免了列写电路的微分方程。
零状态下的运算电路与频域相量分析法中的相量模型相似，只是以s 代替了j ω而已。
4. 元件的运算阻抗和运算导纳在零状态下，电阻、电感和电容的复频域方程可统一地写成下列形式：)()()(s I s Z s U = 或 )()()(s U s Y s I =式中，)(s Z 称为元件的复频率阻抗或运算阻抗，)(s Y 称为的复频率导纳或运算导纳。
对于电阻，R s Z R =)(，G s Y R =)(对于电容，sCs Z C 1)(=，()C Y s sC = 对于电感，sL s Z L =)(，sLs Y L 1)(=由于运算电路与电阻电路之间两类约束的相似性，电阻电路的各种分析方法和定理可推广应用于运算电路，只需将时域电压、电流换为电压、电流的象函数，电阻、电导分别换成运算阻抗、运算导纳。
知识点4 线性动态电路的复频域分析法 线性动态电路的复频域分析步骤如下：（1）求0-时刻的电容电压和电感电流（即起始状态)0(-L i 和)0(-C u ）； （2）画出运算电路；（3）对运算电路进行分析，求响应的象函数；（4）将响应的象函数进行部分分式展开求响应的时域形式。
知识点5 网络函数1. 定义 网络函数)(s H 定义为电路的零状态响应)(t y f 的象函数)(s Y f 与输入激励()e t 的象函数()E s 的比值，即网络函数)(s H 是复频率s 的函数，它比正弦稳态下的网络函数)(ωj H 有着更为丰富的内容。
这是因为)(s H 把任意输入与零状态响应联系起来了，而)(ωj H 只是等于输出相量与输入相量之比。
且对于有损耗的稳定电路有2. 分类 网络函数分为驱动点函数(即驱动点阻抗和驱动点导纳)与转移函数(即转移阻抗、转移导纳、电压转移函数和电流转移函数)两大类型。
3. 性质 （1）网络函数仅与电路的拓扑结构和元件参数有关,而与外加输入激励无关。
它反映了电路的固有动态性能。
因此，通过网络函数，可以了解该电路在过渡过程中的暂态特性；（2）线性时不变电路的网络函数是s 的一个实系数有理函数；（3）网络函数)(s H 为电路的冲激响应()h t 的象函数。
正如冲激响应()h t 在时域中描述了网络的特性一样，网络函数)(s H 在s 域中描述了网络的特性；（4）在一般情况下，网络函数分母多项式的根即为对应电路变量的固有频率。
4. 求网络函数的方法 （1）用定义式求：()()()f s Y s H s U s =（2）由冲激响应()h t 求：()H s =ℒ[]()h t（3）由网络函数的零、极点（图）来求：101()()()mii njj s z H s H s p ==-=-∏∏（4）由频域网络函数()H j ω来求：()()j sH s H j ωω==零点与极点 )(s H 分母多项式的根称为网络函数的极点；分子多项式的根称为网络函数的零点。
由于线性时不变电路的网络函数是s 的实系数有理函数，故其零点和极点只能是实数或者共轭复数。
显然，)(s H 的极点即为相应电路变量的固有频率(或自然频率)。
网络函数的极零点图 网络函数的极点和零点在s 平面上的位置分布图(零点用“○”，极点用“×”)，称为该网络函数的极零点图。
识记知识 （需要死记硬背的概念、公式、定理）（1） 常用信号的象函数（2） 部分分式展开定理 （3） 电容和电感的s 域模型学习方法与建议将电容和电感的起始状态视作等效电源，与相量法类比地进行学习，特别要注意不同点和特殊点。
三、 重点、难点和疑点及解决方法11.. 重重点点（1） 应用部分分式展开定理求象函数的原函数：单极点、重极点、共轭复极点。
（2） 复频域阻抗与复频域导纳、运算电路。
（3） 线性动态电路的复频域分析法。
（4） 网络函数的定义、分类及其求法。
（5） ()H s 、()H j ω及()h t 三者之间的关系。
2. 难点和疑点（1） 多重极点及共轭复极点的部分分式展开。
（2） 正弦信号输入的电路用拉氏变换计算。
（3） 电容、电感s 域模型中附加电源的大小、极性和方向。
（4） 灵活应用网络函数的概念分析电路。
（5） 拉氏变换主要基本性质的应用。
3.易混淆点、易错点、易忽略点（1）当有多重极点的拉氏反变换计算中，部分分式的系数容易算错。
当有共轭复极点时，部分分式的系数对应的极点出错，从而使得最后的拉氏反变换式中cos 的相位角差一符号。
第14章线性动态电路的复频域分析(电路 第五版)PPT课件
与其它章节的联系
拉氏变换：解决电路的动态分析问题。即解决第七章 的问题，称之为运算法，是后续各章的基础，前几章 基于变换思想的延续。
网络函数部分以拉氏变换为基础，是叠加定理的一种 表现。冲激响应参见第 7 章、频率响应参见第 11章。
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§14-1 拉普拉斯变换的定义
第十四章 线性动态电路的复频域分析
结束
主要内容
①拉普拉斯变换及其与电路分析有关的性质；
②反变换的方法； ③KCL、KVL和VCR的运算形式； ④拉氏变换在线性电路中的应用； ⑤网络函数的定义与含义；
⑥极点与零点对时域响应的影响；
⑦极点与零点与频率响应的关系。
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1
基本要求
结束
①了解拉普拉斯变换的定义，会用拉普拉斯 变换的基本性质求象函数。
则有 ℒ [ f ' (t)] = sF(s)， ，ℒ [f (n)(t)] = snF(s)
该性质可将f (t)的微分方程化为F(s)的代数方程， 是分析线性电路(系统)的得力工具。
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P347 例14-3 用微分性质求cos(wt)和d(t)的象函数。 dsin(wt) 解： =w cos(wt) dt 利用微分性质和已知结果： de(t) = d(t) dt
线性性质
结束
ℒ [K]-ℒ [Ke-at]
引用阶跃函数和指数函数的结论 Ka Ka K K -a t ℒ [K(1-e )]= = s - s+a = s(s+a) s(s+a)
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2. 微分性质 若 ℒ [ f(t)]=F(s)，则 ℒ [ f ' (t)] = sF(s)-f(0-) ∞ ∞ d f( t) e-st dt = e-st df(t) 证：ℒ [ f ' (t)] = 00- dt = e-st f(t) 0结束
11动态电路的复频域分析
动态电路的复频域分析
江苏大学电路教学组
d 1 例6：L[δ( t )] = L[ ε ( t )] = s × = 1 dt s
df ( t ) L[ ] = sF ( s ) − f (0 − ) dt
d2 f (t ) ] = s[sF(s)− f (0− )]− f ′(0− ) 推广： 推广：L[ dt 2 = s2 F ( s) − sf (0− ) − f ′(0− ) dn f (t ) L[ ] n dt = snF ( s) − sn− 1 f (0− ) − sn− 2 f ′(0− ) − …− f（n− 1）(0− )
动态电路的复频域分析
江苏大学电路教学组
拉氏变换式的积分下限记为0 如果ƒ(t)包含 包含t＝ 时刻的 拉氏变换式的积分下限记为 −，如果 包含 ＝0时刻的 冲激，则拉氏变换也应包括这个冲激。复变量s＝ ＋ 的实 冲激，则拉氏变换也应包括这个冲激。复变量 ＝σ＋jω的实 应足够大， 绝对可积， 的拉氏变换才存在 的拉氏变换才存在。 部σ应足够大，使e –σt ƒ(t)绝对可积，ƒ(t)的拉氏变换才存在。 应足够大 绝对可积 2 不论σ多大都不存在拉氏变换 多大都不存在拉氏变换， 有些函数t 有些函数 t，e t 等，不论 多大都不存在拉氏变换，这些函 数在电路理论中用处不大。原函数ƒ(t)是以时间 数在电路理论中用处不大。原函数 是以时间 t 为自变量的 实变函数，象函数F(s)是以复变量 为自变量的复变函数。ƒ(t) 是以复变量s为自变量的复变函数 实变函数，象函数 是以复变量 为自变量的复变函数。 之间有着一一对应的关系。 与F(s)之间有着一一对应的关系。 之间有着一一对应的关系 原函数ƒ(t)的拉氏变换，实际上就是ƒ(t)ε(t)e –σt 的傅氏变 原函数 的拉氏变换，实际上就是 的拉氏变换 的条件下， 换。在t﹤0时，ƒ(t)＝0的条件下，拉氏变换可看作傅氏变换 ﹤ 时 ＝ 的条件下 换成s的推广 而傅氏变换（如果存在） 的推广， 把j换成 的推广，而傅氏变换（如果存在）则可看作拉氏变 的特例。 拉氏变换就是将e 换s＝jω的特例。因为 拉氏变换就是将 –σt ƒ(t)进行傅氏变 ＝ 的特例 因为ƒ(t)拉氏变换就是将 进行傅氏变 即把信号ƒ(t)展开为复频域函数 展开为复频域函数F(s)。复变量 ＝σ＋jω常 换，即把信号 展开为复频域函数 。复变量s＝ ＋ 常 称为复频率，称分析线性电路的运算法为复频域分析， 称为复频率，称分析线性电路的运算法为复频域分析，而相 应地称经典法为时域分析。 应地称经典法为时域分析。
动态电路的复频域分析
IL (s)
1 sL
uL (s)
1 s
iL
(0
)
Ic (s) scu c (s) cu c (.0 )
R SL Lil (0)
iR(s)
VR(s)RRI(s)
iL(s)
uL(s)
sLIL(s)LiL(0)
SL R
1 SC
1 s
V
Байду номын сангаас
c
(
0
)
ic(s)
uc (s)
1 sc
Ic
(s)
1 s
3 3 s.
IL(s)I1(s)I2(s)s(s5 7)0 5 s(0 10 5 ) 0
所以 i L ( t) 1 1 .5 e 5 t 0 0 .5 e 1tA 50 t 0
方法3：用戴维南定理求解 断开电感支路如图5.8 a所示，开路电压和输入运算阻抗分别为
50
U oc (s)
s
10 4
.
5.1.2 拉普拉斯变换的基本性质
一 、线性性质 拉普拉斯变换的一个重要性质是它的线性性
质(直线性)。亦即拉普拉斯变换是时域与复频域 间的线性变换。它表现为以下两个定理：
1 若 [f(t)]F(s)
则 [k(ft)]k(F s)
2 若 f(t)f1(t)f2(t)
则 F (s)F 1 (s)F 2 (s)
f(t) 1 cjF(S)estds
2j cj
（5.3）
应该认识到：u(t)和i(t)是时间的函数，即时域变量 ,时 域是实际存在的变量。而它们的拉普拉斯变换U(s)和I(s) 则是一种抽象的变量。我们之所以把直观的时域变量变 为抽象的复频率变量，是为了便于分析和计算电路问题， 待得出结果后再反变换为相应的时域变量。
线性动态电路的复频域分析.ppt
D' ( pn )
原函数的一般形式
(2)若D(s) 0具有共轭复根
p1 p2
j j
N (s)
N (s)
F(s)
D(s) (s j)(s j)D1(s)
K1 K2 N1(s)
解 dsin(t) cos(t)
dt
cos(t) 1 d(sint) dt
L[cos t ]
L1
d dt
(sin(t)
1
s
s2
2
0
s2
s
2
(2) f (t) δ( t)的象函数
解 (t) d (t)
dt
f
(0
)
f
n1 (0
)
3.积分性质
若：L[ f (t)] F(s)
则：L[ t f ( )d ] 1 F (s)
0
s
证
令
t
L[ f (t)dt] (s)
0
应用微分性质
L[ f (t)] L
d dt
t 0 t
f (t)dt 0
F (s) s(s) 0 f (t)dt t0
11.1.2典型函数的拉氏变换
F(s) f (t)estdt 0
(1)单位阶跃函数的象函数
Hale Waihona Puke f (t) (t) F (s) L[ (t)] (t)estdt estdt
0
0
1 est s 0
1 s
(2)单位冲激函数的象函数
s2 5s 6
DL14线性动态电路的复频域分析
H (s)的极点为 p1 1
33 p2,3 2 j 2
j
。。
-1 2 4
14.8.极点、零点与冲激响应
e(t) 零
状
激励 态
R(s) H(s)E(s)
r(t) 当e(t) (t)时，E(s) 1,
响应
R(s) H(s), r(t) h(t)
h(t) [1 H(s)]，h(t)称为冲激响应
。
零、极点分布图
例 H (s) 2s2 12s 16 绘出其极零点图 s3 4s2 6s 3
解 N(s) 2s2 12s 16 2(s 2)(s 4)
H(s)的零点为z1 2，z2 4
D(s) s3 4s2 6s 3 (s 1)(s 3 j 3 )(s 3 j 3 ) 22 22
相量模型
令 : sL jωL 1 1 U(s) U sC jωC
得 : U1 H1( jω)I U 2 H2( jω)I
I(s) I
H(s)中令s jω得正弦稳态下的网络函数
H ( j )
R( j ) E( j )
R E
响应相量 激励相量
14.7网络函数的极点和零点
1.复平面（或s平面）
2.网络函数的应用
1) 单位冲激响应与网络函数的关系
单位冲激响应
E(S)=L[(t)]=1 ，那么 H(S) = R(S) = L[h(t)] = L[h(t)]. E(S) L[δ(t)]
所以，当激励为单位冲激函数时,它产生的响应为 ： h(t)=L1 [H(S)]
结论：网络函数等于单位冲激响应的拉氏变换（象函数）。
H0
H0
jω 1/ RC jω p1
H(
j )
线性动态电路的复频域分析
第十四章 线性动态电路的复频域分析本章讨论的问题1、什么是象函数？什么是原函数？什么是拉普拉斯原变换？什么是拉普拉斯反变换？2、在电路分析中，常采用什么方法进行拉普拉斯反变换？3、什么是运算电路？什么是运算法？4、如何用拉普拉斯变换法分析线性电路？5、什么是网络函数？什么是网络函数的零点和极点？教学重点一、拉普拉斯变换1、目的：拉普拉斯变换法是一种数学的积分变换，其核心是把时间函数 f (t) 与复变函数 F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程简单且有规律，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
2、 定义：对定义在)[∞,0上的函数)(t f ，其拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换分别为()()⎰∞--=0dt e t f s F st ； ()()ds e s F j t f st j c j c ⎰∞+∞-=π21 上式中：s=σ+jω为复数，被称为复频率，()s F 称为)(t f 的象函数，)(t f 称为()s F 原函数。
3、常用拉普拉斯变换对L ()[]S A t A =ε ； L ()[]A t A =δ ； L ()[]as t e at +=-1ε ； L ()[]1!+=n n s n t t ε ； L ()()[]22sin ωωεω+=s t t ；L ()()[]22cos ωεω+=s s t t 二、拉普拉斯反变换由象函数求原函数的方法有：1、 利用公式；2、 对简单形式的 F(S) ，可以查拉氏变换表得原函数 ；3、 把 F(S) 分解为简单项的组合，也称部分分式展开法。
则线性电路分析时，所得结果的象函数一般是S 的有理分式。
有理分式在化为真分式后，可用部分分式展开的方法求拉普拉斯反变换。
S 的有理真分式可写为()()()s D s N s F = 1）、当()0=s D 的根为单根（包括单重共轭复根）时，()s F 可写为 ()()()()()nn n p s K p s K p s K p s p s p s s N s F -⋅⋅⋅-+-=-⋅⋅⋅--=221121 则()t p n t p t p n e K e K e K t f +⋅⋅⋅++=2121其中 ()()[]i p s i i s F p s K =-=或 ()()ip s i s D s N K ==' ，()s D '为()s D 对S 的一阶导数。
第十四部分线电路的复频域分析教学课件
(t)esd t t
0
estdt
1 s
e st
0
1 s
（3）单位冲激函数 f(t)(t)
F (s)[ (t) ]0 (t)esd t t00(t)estdt es0 1
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14.2 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质
若 [ f 1 ( t ) ] F 1 ( s ) , [ f 2 ( t ) ] F 2 ( s )
ds s
1 s2
例2 求: f(t)tnε(t)的象函数
解
[t nε(t)]
(1)n
dn dsn
(1) s
n! sn1
例3 求: f(t)tea的 t 象函数
解
[teαt ] d ( 1 ) 1
ds sα (s α)2
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3. 积分性质
设[： f(t) ]F (s) 则 ： [0t f()d]Fs(s)
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待定常数的确定：
方法1 kiF (s)s(p i)spi i1 ,2 , ,n
方法2 求极限的方法
N(s) ki sl im pi D(s)(spi)
lim N(s)(spi)N(s) N ( p i )
spi
D(s)
D ( pi )
原函数的一般形式：
f(t)N (p 1 )ep 1 tN (p 2 )ep 2 t N (p n )ep n t
0 A 1f1 (t)e std t0 A 2f2 (t)e std
A 1 F 1 (s) A 2 F 2(s)
上页 下页
根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几 个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再 进行计算。
第十章 电路的复频域分析
1 i (0 ) I ( s) U L ( s) sL s
U L ( s) sLI ( s) Li(0 )
复频域 阻抗
1 i (0 ) I ( s) U L ( s) sL s
复频域 导纳
注意参 考方向
复频域的戴维宁模型
复频域的诺顿模型
复频域阻抗(complex frequency-domain impedance) ：
例3 C1 2F, C2 3F, R=5,
uC1 (0) = 10 V, uC2(0) = 0。
求开关闭合后的两电容电流iC1(t)、iC2(t)及电压u(t)。 解：
诺顿模型
I10 ( s ) 20
2s
12 3s 60s 12s I C 2 ( s ) 20 12 15 1 1 1 1 2s 3s 5s s s 5 5 25 25
i2 ( t )
1
1 4 6 t 3 5 t 5 t I ( s ) ( t ) e ( t ) e ( t ) te (t ) A 2 3 3 2
1 4 6 t 3 5 t 5 t e e te ( t ) A 2 3 3
1 1 12 s 4 IC 2 ( s) 1 1 3s 3s s s 25 25
8 t 8 ic1 (t ) 1I c1 ( s ) 1 12 25 [12 (t ) e 25 (t )] A 1 25 s 25 8 t 12 ic2 (t ) 1I c 2 ( s ) 1 12 25 [12 (t ) e 25 (t )] A 1 25 s 25 t 4 25 u(t ) 1U ( s) 1 4 e (t ) V 1 s 25
理学线性动态电路的复频域分析
0
注：此例说明拉氏变
0
(t)es0dt
1
0
换式可以计及t=0时f(t) 所包含的冲激。
6
§14-2 拉普拉斯变换的基本性质
本节介绍一些分析线性非时变电路时有用的基本性质。 利用它们可以容易求得较复杂的原函数的象函数。
性质 1 唯一性
象函数F(s)与定义在区间 [0, ] 上的时域函数f(t)存在
一一对应的关系。 注：唯一性这一性质对于拉氏变换的所有应用都适用。
1 (s a)n1
原函数f(t)
sint
ebt sint sin(t )
1 t neat n!
象函数F(s) 原函数f(t)
s
s2 2
s b
(s b)2 2
cost
ebt cost
s cossin s2 2
e t0s s
cos(t )
(t t0 )
18
§14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
(s
3 1)3
3 s 2
k2
(s 1)F(s)
s 1
s4 (s 2)3
3 s 1
因此查拉氏变换表可得：
f (t) 3e2t 3te2t t e2 2t 3et
30
§14-4 运算电路
本节的主要内容是利用拉氏变换把求解线性微分方程转 化为求解线性代数方程。
一、R，L(M)，C 等电路元件的运算形式。
p1, p2, … pn 。F(s)可以展开为：
F (s) k1 k2 ... kn
s p1 s p2
s pn
注：式中 ki 是待定系数，可按下述二方法确定：
方法一
ki s pi F(s) spi
动态电路的复频域分析
两边进行 拉氏变换
I(s) sCU(s) Cu(0 )
u(0-) — i(t)
电容上的初始C电的压复。频若域阻u(抗0-)
C
I(s)
= 0，则 1
sC
+ u(t) -
+ U(s) -
电容元件
i(t) C
+ u(t) sC
I(s) Cu(0 )
第9章 动态电路的复频域分析
i(t) C du(t) dt
则
L
d dt
f (t)
sF (s) -
f (0- )
2. 电感元件
第9章 动态电路的复频域分析
L的复频域阻抗
时 i(t) L 域 + u(t) -
I(s) sL
-Li(0-+)
复 频
+
U(s)
-域
附加电压源
u(t) L di(t) dt
两边进行 拉氏变换
U(s) sLI(s) Li(0 )
i(0-) — 电感中的初始电流。 若 i(0-) = 0
i(t) L
I(s) sL
+ u(t) -
+ U(s) -
第9章 动态电路的复频域分析
电感元件
i(t) L + u(t) -
u(t) L di(t) dt
I(s) sL -Li(0-+) U(s) sLI(s) Li(0 )
+
U(s)
-
L的复频域导纳
1 sL
I(s)
i(0 )
I(s) 1 U(s) i(0 )
s
sL
s
+