线性动态电路的复频域分析

第十四章线性动态电路的复频域分析

一、教学目标

应用拉氏变换分析线性时不变网络时，可以先列出网络的积分微分方程，然后变换为复频域中的代数方程并求解；也可以先将各电路元件的特性方程变换成复频域形式，再作出线性时不变网络的运算电路，然后直接列出网络在复频域中的代数方程并求解。一般来说，后一种方法比前一种方法简便。本章介绍的就是后一种方法。

1.知识教学点

(1)拉普拉斯变换的复习：定义和性质；常用信号（即基本函数）的象函数；部分分式展

开定理

(2)运算电路：KCL、KVL的s域形式；元件V AR的s域形式及元件的s域模型；运算电

路的画法

(3)电阻电路分析方法在运算电路中的应用

(4)线性动态电路的复频域分析法

(5)网络函数：定义、分类、性质；极点、零点与极零点图；()

H jω之间的关系

H s与()

2.能力训练点

（1）利用拉普拉斯变换的性质和常用信号的象函数求原函数的象函数；用部分分式展开定理由象函数求原函数

（2）正确画出运算电路

（3）应用电阻电路的分析方法分析运算电路

（4）求网络函数及其极点、零点

（5）由网络函数求零状态响应及稳态响应

3.其它

（1）掌握复频域分析法的优缺点及其应用范围

（2）了解卷积定理：时域卷积←→频域相乘

二、教学方法

1 教法指导

（1）指导学生复习数学积分变换中已经学过的拉氏变换（定义、常用信号的象函数、性质）和高等数学不定积分中的有理函数的分解（求拉氏反变换的部分分式展开法）。重点放在部分分式展开法。

（2）与相量法类比介绍运算电路的画法，特别应注意储能元件（电容和电感）的s域模型。（3）与电阻电路类比，介绍运算电路的分析。

（4）在介绍网络函数时，特别要强调电路为零状态。讲解清楚()

H s的求法及其几种表示方法；

h t的联系；网络函数的一些应用。

()

H jω及()

H s、()

2 学法指导

预备知识数学方面：积分变换中的傅氏变换与拉氏变换；高等数学不定积分中的有理函数的分

解（樊映川等编.高等数学讲义.人民教育出版社，1958：7.6（pp.355-361））电路方面：电阻电路、正弦稳态电路的相量法、动态电路的基本概念。

本章指南（1）掌握由原函数求象函数的方法；熟练掌握用部分分式展开定理由象函数求原函数。

（2）在掌握基尔霍夫定律的运算形式、元件的运算阻抗和运算导纳与运算电路的画法的

基础上，熟练掌握线性动态电路的复频域分析法。

（3） 掌握网络函数。 （4）了解卷积定理 知识详解

知识点1 拉普拉斯变换 1. 定义：

拉普拉斯正变换 ⎰

∞

--

=0)()(dt e t f s F st 简记为()F s =ℒ[]()f t

拉普拉斯反变换 1

()()2j st j f t F s e ds j σσ

π+∞-∞

=

⎰ 简记为()f t =ℒ[]1()F s -

)(s F 称为象函数；)(t f 称为原函数，其定义域为[0, )∞。

常用信号的象函数

2. 基本性质：

知识点2 象函数的部分分式展开

线性时不变电路中的象函数通常为s 的有理分式，即下列形式的s 的两个实系数多项式之比

求原函数不用拉氏反变换公式，而采用部分分式展开法。

当有理分式为假分式（m n '≥）时，先利于多项式的除法，把有理假分式化为一个多项式与有理真分式之和

11

11011010

110()

()()m m m n m n

m n k m m m n m n k n n k n b s b s b s b N s F s c s

c s

c s c c s s a s a s a D s -'-''----''----=-++++=+++++=+

++++∑L L L 式中，m n <。然后对真分式进行部分分式展开，分为下列三种情况：

（1）0)(=s D 的根为不等实根

式中待定系数由下述公式确定

根据拉氏反变换的线性性质对展开式各部分分式进行反变换，可求出已知象函数的原函数为

（2）0)(=s D 的根中有重根

设1s p =为l 阶重根，其余()n l -个根均为单根，则 式中待定系数可由下述公式确定 所以

（3）0)(=s D 的根中有共轭复根

当0)(=s D 有共轭复根时，仍可按（1）和（2）的方法进行，但计算比较复杂。可用下面的简便方法。

设0)(=s D 有一对共轭单根1,2s j αω=-± ① 方式1

式中*

K 为K 的共轭。则

② 方式2 则

知识点3 运算电路 1. 基尔霍夫定律的s 域形式

KCL 的复频域形式：0)(=∑s I KVL 的复频域形式：

0)(=∑s U

KCL 和KVL 方程复频域形式的列写规律与时域相同。基尔霍夫定律的复频域形式和时域形式在形式上是相同的，差别仅在于一个用象函数为变量，另一个用时域函数为变量。 2. 元件VAR 的s 域形式

（1）电阻、电感和电容的s 域模型如表所示。

二端电路元件的s 域模型

表中，

sC 和sL 分别称为电容和电感的复频率阻抗或运算阻抗；C s

-为附加电压源的电压，它反映了电容起始状态在动态电路中的作用；(0)

L i s

-为附加电流源的电流，它反映了电感起始状态

在电路中的作用。串联形式和并联形式的两种s 域模型是相互等效的。

（2）多口电阻元件 仅需将电压、电流的时间函数换成象函数即可。 （3）独立电源 将已知时间函数用象函数表示。

（4） 耦合电感 三端或二端耦合电感在时域可先去耦，再对每一个电感画复频域模型。图（a ）中四端耦合电感的复频域模型如图（b ）所示。注意，复频域模型附加电源方向与同名端的位置和电流的方向有关。

（a ） （b ）

3. 运算电路

运算电路又称为复频域模型或s 域模型。它是一种运用象函数能方便地对动态电路进行分析和计算的一种假想模型，与原电路具有相同的拓扑结构。从原电路可按下列方法画出相应的运算电路：

把动态电路中的电压和电流用象函数表示，参考方向保持不变；电压源的电压和电流源的电流分别变换为象函数，而电路符号不变；其它电路元件分别用s 域模型替换。

在运算电路中，各支路电压、电流的象函数既要服从基尔霍夫定律s 域形式的约束，又要满足元件伏安关系的s 域形式，而这两类约束正是时域模型中相应的两类约束在拉氏变换下的形式。因此，时域模型的电路方程在拉氏变换下的复频域代数方程可直接由运算电路依据两类约束的s 域形式写出，从而避免了列写电路的微分方程。

零状态下的运算电路与频域相量分析法中的相量模型相似，只是以s 代替了j ω而已。 4. 元件的运算阻抗和运算导纳

在零状态下，电阻、电感和电容的复频域方程可统一地写成下列形式：

)()()(s I s Z s U = 或 )()()(s U s Y s I =

式中，)(s Z 称为元件的复频率阻抗或运算阻抗，)(s Y 称为的复频率导纳或运算导纳。