历年全国人教版数学高考真题与模拟题分类汇编 c单元 三角函数(文科2013年) 含答案

C 单元 三角函数
C1 角的概念及任意的三角函数
14．C1，C2，C6 设sin 2α＝－sin α，α∈π2
，π，则tan 2α的值是________． 14. 3 方法一：由已知sin 2α＝－sin α，即2sin αcos α＝－sin α，
又α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×（－3）1－3
＝ 3. 方法二：同上得cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，可得α＝2π3，所以tan 2α＝tan 4π3
＝ 3. C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
2．C2 已知α是第二象限角，sin α＝
513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C.513 D.1213
2．A cos α＝－1－sin 2 α＝－
1213. 16．C2，C5 已知函数f(x)＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R. (1)求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6. 16．解：
14．C1，C2，C6 设sin 2α＝－sin α，α∈π2
，π，则tan 2α的值是________．
14. 3 方法一：由已知sin 2α＝－sin α，即2sin αcos α＝－sin α，
又α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×（－3）1－3
＝ 3. 方法二：同上得cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，可得α＝2π3，所以tan 2α＝tan 4π3
＝ 3. C3 三角函数的图像与性质
1．C3 函数y ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 1．π 周期为T ＝2π2
＝π. 17．C3 设向量a ＝(3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x ∈0，
π2. (1)若|a|＝|b|，求x 的值；
(2)设函数f(x)＝a ·b ，求f(x)的最大值．
17．解：(1)由|a|2＝(3sin x)2＋(sin x)2＝4sin 2 x ，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1.
及|a|＝|b|，得4sin 2 x ＝1.
又x ∈0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6
. (2)f(x)＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12
＝sin2x －π6＋12，当x ＝π3∈0，π2时，sin2x －π6
取最大值1. 所以f(x)的最大值为32
.
9．C3 函数y ＝xcos x ＋sin x 的图像大致为( )
图1－3
9．D ∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x ＋sin x)＝－f(x)，∴y ＝xcos x ＋sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B ，当x ＝π2
，y ＝1>0，x ＝π，y ＝－π<0，故选D.
16．C3、C5、C9 设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________．
16．－2 55 f(x)＝sin x －2cos x ＝ 5⎝ ⎛⎭⎪⎫15sin x －25cos x ，令cos α＝15，sin α＝25
， 则f(x)＝5sin(x －α)．当θ－α＝2k π＋
π2， 即θ＝2k π＋π2
＋α(上述k 为整数)时， f(x)取得最大值，此时 cos θ＝－sin α＝－
2 55. C4 函数 的图象与性质
16．C4 设函数f(x)＝sin x ＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3. (1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取最小值的x 的集合；
(2)不画图，说明函数y ＝f(x)的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变化得到． 16．解：(1)因为f(x)＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3。