【数学】安徽省江南十校高三冲刺联考(二模)试题(理)(扫描版)(解析版)
安徽省江南十校2018届高三冲刺联考(二模)理科数学试卷(解析版)
2018年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数满足，则的模为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设出复数的代数形式，利用复数的乘方和复数相等求出复数，再利用模的计算公式进行求解．详解：设，则由，得，则，解得或，即．点睛：本题考查复数的乘方运算、复数相等及模的概念等知识，意在考查学生的基本运算能力．2. 为第三象限角，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先由两角和的正切公式求出，再利用同角三角函数基本关系式进行求解．详解：由，得，由同角三角函数基本关系式，得，解得又因为为第三象限角，所以，则．点睛：1.利用两角和差公式、二倍角公式进行三角恒等变形时，要优先考虑用已知角表示所求角，如：、；2.利用同角三角函数基本关系式中的“”求解时，要注意利用角的范围或所在象限进行确定符号．3. 已知全集为，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式、对数不等式的解法化简两个集合，再利用集合的运算进行求解．详解：因为，，所以，即．点睛：本题考查一元二次不等式的解法、对数函数的单调性及集合的运算等知识，意在考查学生的基本运算能力．4. 不等式所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为.向内随机投一个点，则该点落到内概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先作出两个平面区域，再利用几何概型的概率公式进行求解．详解：不等式表示的区域是对角线为的正方形，其面积为；函数的图象与轴所围成的区域是半径为的半圆，面积为；则向内随机投一个点，则该点落到内的概率为．点睛：本题考查几何概型的概率公式等知识，意在考查数形结合思想的应用能力和基本计算能力．5. 直线过抛物线：的焦点且与轴垂直，则直线与所围成的面积等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先作出直线和抛物线围成的平面区域，再利用定积分的几何意义进行求解．详解：由题意，得直线的方程为，将化为，由定积分的几何意义，得所求部分分面积为．点睛：本题考查抛物线的几何性质、定积分的几何意义等知识，意在考查学生的数形结合思想的应用能力和基本计算能力．6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据三视图想象出空间几何体的结构特征，再利用有关表面积的计算公式进行求解．详解：由三视图可知该几何体是由一个棱长为2的正方体（且在上半部分挖去一个半径为1的半球）和一个半圆柱（底面半径为1，母线长为2，且轴截面与正方体的一个侧面重合）则该几何体的表面积为．点睛：本题考查空间几何体的三视图、组合体的表面积公式等知识，意在考查空间想象能力．7. 阅读如图所示程序框图，运行相应的程序.当输入的时，则输出的范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用程序框图和分段函数进行求解．详解：当时，，则；当时，；综上所述，输出的范围为．点睛：本题考查程序框图等知识，意在考查分类讨论思想的应用能力和基本计算能力．8. 函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到为偶函数，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数表达式，再利用三角函数的图象变换得到，再利用诱导公式、三角函数的奇偶性进行求解．详解：，将的图象沿轴向右平移个单位后，得到的图象，因为，所以，即，即正数的最小值为．点睛：1.本题的易错点在将的图象沿轴向右平移个单位后，得到的图象，往往出现错误结果（），要注意左右平移的单位仅仅对于自变量“”而言；2.研究三角函数的奇偶性，要牢记“为奇函数，为偶函数”，再利用诱导公式进行合理转化．9. 平面内有个点（无三点共线）到平面的距离相等，能够推出，三个平面将空间分成个平面，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先利用空间几何体的结构特征得到的最小值和的最大值，进而求出的最小值．详解：平面内有个点（无三点共线）到平面的距离相等，能够推出，则的最小值为5；三个平面将空间分成个平面，则的最大值为8，则的最大值为．点睛：本题考查空间几何体的结构特征等知识，意在考查学生的空间想象能力．10. 已知，满足，的最小值、最大值分别为，，且对上恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先作出不等式组表示的平面区域，利用消元法和二次函数求出的最值，再分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．详解：作出表示的平面区域（如图所示），显然的最小值为0，当点在线段上时，；当点在线段上时，；即；当时，不等式恒成立，若对上恒成立，则在上恒成立，又在单调递减，在上单调递增，即，即．点睛：本题考查不等式组和平面区域、不等式恒成立问题等知识，意在考查学生的逻辑思维能力、数形结合思想的应用能力和化归能力．11. 向量，，满足：，，，则最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先利用平面向量的数量积公式得到的夹角和的夹角，再利用圆的性质进行求解．详解：因为，，所以的夹角为，因为，所以的夹角为；作（如图1、图2所示），则，由图象，得的最大值为4．图1 图2点睛：解决本题的关键是利用平面向量的数量积定义判定的夹角和的夹角互补且为二倍关系，所以借助圆周角和圆心角的关系、圆内接四边形的性质进行判定，再利用圆的直径是最长的弦进行求解．12. 的导函数满足：当时，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：构造函数，求导，利用导数的符号变化确定函数的单调性，进而比较大小．详解：令，则，因为当时，，所以当时，即函数在上单调递减，则，即，即．点睛：利用导数研究函数的单调性时，往往要根据题意合理构造函数，如本题中，一要结合“当时，”，二要结合选项“”的变形“”，进而构造函数，这需要学生多积累、多总结．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13. 二项式展开式中，只有第项的二次项系数最大，则展开式中常数项是__________．【答案】【解析】分析：先根据二项式系数的性质得到展开式的项数和次数，再利用二项展开式的通项进行求解．详解：因为二项式展开式中，只有第项的二次项系数最大，所以展开式共有13项，即，则的展开式的通项为令，得，即展开式中常数项是．点睛：本题考查二项式定理等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．14. 已知两个圆，与两坐标系都相切，且都过点，则__________．【答案】【解析】分析：先根据两圆与坐标系都相切，确定两圆的圆心在直线上，再利用两圆都过进行求解．详解：由题意，得圆的圆心在射线上，设圆的方程为，因为圆过点，所以，解得或，即，则．点睛：本题考查圆的方程、直线和圆的位置关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．15. 在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥之，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限转化思想.比如在中“...”即代表无限次重复，但原数中有个定数，这可以通过确定出来，类似地可得到：__________．【答案】【解析】分析：利用所给例子和类比思想进行求解．详解：利用类比思想，令，解得．点睛：本题考查类比思想等知识，意在考查学生的类比推理能力．16. 中，角，，所对边分别为，，.是边的中点，且，，，则面积为__________．【答案】【解析】分析：先利用同角三角函数基本关系式求出，再利用正弦定理得到边边关系，再利用余弦定理求出边长，再利用三角形的面积公式进行求解．详解：因为，因为，由正弦定理及，得，即，即，在中，由余弦定理，得，分别在中，由余弦定理，得：，，两式相加化简，得，，则．点睛：利用正弦定理和余弦定理解三角形，往往有以下题型：①在中，已知角和边，利用正弦定理处理；②在中，已知边和角，利用正弦定理处理；③在中，已知边，利用余弦定理处理；④在中，已知边和角，利用余弦定理处理．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17. 数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前项和.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）利用进行求解；（2）先利用（1）结果求出，再利用裂项抵消法进行求解．详解：（1）当时，；当，，可得，又∵当时也成立，∴；（2），∴.点睛：1.利用数列的通项和前项和的关系求解时，要注意为分段函数，不要忘记验证“”的情形；2.裂项抵消法是重要的求和方法，其主要适用题型为：①求数列的前项和，即；②求数列的前项和，即；③求数列的前项和，即．18. 甲乙两个班进行物理测试，其中女生人，男生人，从全部人任取一人及格的概率为，并且男生和女生不及格人数相等.（1）完成如下列联表（2）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关？（3）从两个班有放回的任取人，记抽取的人中不及格人数为，求的数学期望和方差.附：.【答案】（1）见解析（2）没有（3），∴【解析】分析：（1）根据题意填写列联表即可；（2）利用列联表和所给公式求值，再利用临界值表进行判定；（3）先判定该分布为二项分布，再利用二项分布的期望公式和方差公式进行求解．详解：（1）（2）由，犯错误概率不超过的前提下，没有足够的证据说明物理成绩及格与性别有关；（3）由题意可知，∴，∴.点睛：本题考查列联表、独立性检验思想、二项分布的期望与方差等知识，意在考查学生逻辑思维能力和基本计算能力．19. 平行六面体中，底面为菱形，，，.（1）证明：平面平面；（2）设与交于点，求二面角平面角正弦值.【答案】（1）见解析（2）.【解析】分析：（1）设，交于点，利用菱形的对角线相互垂直、等腰三角形的“三线合一”证得线线垂直，再利用线面垂直、面面垂直的判定定理进行证明；（2）利用线线间的垂直关系建立空间直角坐标系，写出点的坐标，分别求出两个平面的法向量，利用法向量间的夹角公式进行求解．详解：（1）证明：设，交于点，∵底面为菱形，∴，又∵，是的中点，∴，，∴平面，又∵平面，∴平面平面；（2）解：∵，是的中点，∴，，，两两垂直，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，设，由题得，，，则，，，，设是平面的一个法向量，，，，可得，设是平面的一个法向量，，，，可得，，∴二面角平面角正弦值为.点睛：本题考查空间中垂直关系的转化、空间向量在立体几何中的应用，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力．20. 已知椭圆：，点、、都在椭圆上，为坐标原点，为中点，且.（1）若点的坐标为，求直线的方程；（2）求证：面积为定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）先利用求出，再利用点差法进行求解；（2）先讨论直线不存在斜率时的情况，再设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、点到直线的距离公式和三角形的面积公式进行证明．详解：（1）设，，，∵，∴，将，代入椭圆方程中，可得化简可得，∴，∴直线的方程为；（2）证明：设，∴，①当直线的斜率不存在时，，由题意可得，，或，，，此时；②当直线的斜率存在时，，由（1），∴：，即直线：，即，，∴，，∵，，到的距离，.∴为定值.点睛：1.当研究直线和圆锥曲线的中点弦问题时，往往利用“点差法”进行处理，可减少运算量，提高解题速度，即“代点、作差、与中点坐标公式、直线的斜率公式相联系”；2.在设直线方程时，要注意根据题意考虑是否需要讨论“直线的斜率不存在“的特殊情形．21. 设.（1）在上单调，求的取值范围；（2）已知在处取得极小值，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）求导得到，再求导，将在区间上单调转化为或进行求解；（2）利用（1）结果，通过讨论的取值研究导函数的符号变化，进而验证何时在处取得极小值．详解：（1）由，即，，，①在上单调递增，∴对恒成立，即对恒成立，得；②在上单调递减，∴对恒成立，即对恒成立，得，由①②可得的取值范围为；（2）由（1）知，①，在上单调递增，∴时，，单调递减，时，，单调递增，∴在处取得极小值，符合题意；②时，，又在上单调递增，∴时，，∴时，，∴在上单调递减，上单调递增，在处取得极小值，符合题意；③时，，在上单调递增，∴上单调递减，∴时，，单调递减，不合题意；④时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴在处取得极大值，不符合题意；综上所述，可得.点睛：本题考查导数与函数的单调性、极值间的关系等知识，意在考查学生的分类讨论思想的应用能力和复杂的数学运算能力．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为：（为参数），曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）曲线与曲线有两个公共点，求的取值范围.【答案】（1），.（2）【解析】分析：（1）利用同角三角函数基本关系式、二倍角公式消参到曲线的普通方程，再利用两角和的余弦公式和互化公式进行求解；（2）联立直线和抛物线方程，得到关于的一元二次方程，利用二次方程的根的分布进行求解．详解：（1）在曲线中，∴曲线的普通方程为，.在曲线中：由可得，∴曲线的直角坐标方程为；（2）联立，有两解，令，在上有两解，∴，∴.点睛：本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程间的互化、直线和抛物线的位置关系等知识，意在考查学生的数学化简能力和基本计算能力．23. 选修4-5：不等式选讲已知.（1）解不等式：；（2）不等式对任意恒成立，求的范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）利用零点分段讨论法进行求解；（2）分离参数，将不等式恒成立转化为求函数的最值问题，再利用三角不等式求最值，进而利用零点分段讨论法求出的范围．详解：（1）①，②，③，由①②③可得；（2）①当时，，∴；②当时，即对恒成立，，当且仅当，即时取等号，∴，解得.点睛：本题考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．。
安徽省江南十校2021届高三上学期第二次联考理科数学试题(含答案解析)
安徽省江南十校2021届高三上学期第二次联考理科数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习安徽省江南十校2021届高三上学期第二次联考理科数学试题（含答案解析）1 已知集合A＝{x|x2＜4，x∈N}，B＝{-1，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{1} B．{0，1} C．{-1，1} D．{0，1，2，3}【答案解析】 AA＝{0，1}，因此A∩B＝{1}，故选A．2 已知x，y满足，则z＝y-x的最小值是（）A．4 B．－4 C．2 D．－2【答案解析】 B可行域为三角形，三个顶点分别为(0，2)，(2，0)，(4，0)，最优解为(4，0)，可使目标函数取得最小值，最小值为－4，故选B．3 函数在[0，π]的单调递增区间是（）A． B． C． D．【答案解析】 C令∴，又∵x∈[0，π]，故选C．4 设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a3-a5+a8＝6，则S11＝（）A．55 B．66 C．110 D．132【答案解析】 B由a3-a5+a8＝6得：a6＝6，，故选B．5 直线l：kx－y－3k+1＝0与圆C：(x－1)2+(y－2)2＝5的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交【答案解析】 D直线l：kx-y-k+1＝0恒过圆C：(x-1)2+(y-2)2＝5上的一定点(3，1)，故选D．6 如图是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A． B．8-π C． D．【答案解析】 C该几何体是一个正四棱锥挖去一个圆柱．计算可得，故选C．7 曲线y＝2x2－4x－1的一条切线l与直线x+4y－3＝0垂直，则切线l的方程为（）A．4x－y－9＝0 B．x+4y－9＝0 C．4x－y－7＝0 D．x+4y－7＝0【答案解析】 A与直线x+4y-8＝0垂直的直线l的斜率为4，y′＝4x-4，所以，切点为(2，-1)．切线为y+1＝4(x-2)，即4x-y-9＝0．故选A．8 已知函数，则函数y＝f(x)的大致图象为（）A． B．C． D．【答案解析】 Cf(x)是奇函数，排除B、D，当时，f(x)＞0，排除A．故选C．9 在△ABC中，D是BC的中点，已知，，，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．【答案解析】 D设AB＝c，BC＝a，在△ABC中，a2+c2-2accos B＝8，在△ABD中，，解得a＝4，c＝2，∴．故选D．10 已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，点A，B分别是右顶点和上顶点，点M是线段AB上的动点，则的取值范围是（）A．[－2，2] B． C．[0，2] D．【答案解析】 BF1(-2，0)，F2(2，0)，设M(x0，y0)，则，，∴，表示点M(x0，y0)与坐标原点O的距离，最大值为，最小值为，∴，从而，∴的取值范围是，故选B．11 已知四面体A-BCD所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，若AB＝2，∠BCD＝120°，BC＝CD＝1，则球O的表面积为（）A．4π B．6π C．8π D．12π【答案解析】 C，设球O的半径为R，三角形BCD的外接圆半径为r，则，r＝1，，所以球O的表面积为S＝4πR2＝8π．故选C．12 已知有两个不同的零点，则k的取值范围是（）A． B． C． D．(－1，0)【答案解析】 A因为一次函数至多有一个零点，所以有两种情况：①一次函数没有零点，二次函数有两个零点，即2x2+kx-1＝0在(1，3)上有两个零点x1，x2，这与矛盾，不符合题意．②分段函数的两段各有一个零点，0＜x1＜1，1＜x2＜3（x1＝1不适合），由于f(0)＝1，必有f(1)＝k+1＜0，f(3)＝3k+17＞0，∴．故选A．13 已知向量，，如果向量与垂直，则λ的值为________．【答案解析】－1，2(4+2λ) - (3-λ)＝0，λ＝－1．14 设a＝log32，，，将a，b，c按从小到大的顺序排列为________．【答案解析】 a＜b＜c，，∴a＜b，，，∴b＜c，故a＜b＜c．15 数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－2，0)，B(2，4)，其欧拉线的方程为x-y＝0，则△ABC的外接圆方程为________．【答案解析】 (x－1)2+(y－1)2＝10线段AB的垂直平分线方程为x+y－2＝0，与欧拉线的方程联立，得圆心坐标为D(1，1)，线段AB的长度为半径．故△ABC的外接圆方程为(x－1)2+(y－1)2＝10．16 数列是首项为1，公比为q的等比数列，且a1，a3，a5也成等比数列，则q的值为________．【答案解析】±1，，，．∵a1，a3，a5成等比数列，∴，得(a1q)2＝a1·a1q6，q4＝1，q＝±1．17 已知函数f(x)＝|x－m|，h(x)＝|x－2|+|x+3|．（1）若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数m的值；（2）若关于x的方程x2+6x+h(t)＝0有解，求实数t的取值范围．【答案解析】解：（1）由|x-m|≤3，解得m-3≤x≤m+3．所以，解得m＝2；（2），关于x的方程x2+6x+h(t)＝0有解，即有Δ＝36-4h(t)≥0，∴h(t)≤9．h(t)≤9可等价转化为或或，即-5≤t＜-3或-3≤t≤2或2＜t≤4．所以实数t的取值范围为[-5，4]．18 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，已知．（1）求角B的大小；（2）若a+c＝2，求b的取值范围．【答案解析】解：（1），∴，．∴．即：．角B是在△ABC中内角，所以或（舍），即；（2）由余弦定理得b2＝a2+c2-2accos B＝a2+c2-ac＝(a+c)2-3ac＝4-3ac，由，b2≥1，⇒b≥1，又a+c＞b，∴1≤b＜2．19 数列{an}满足a1＝1，(an+1-a1)(an+a1)＝－1．（1）求数列{an}通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：．【答案解析】解：（1）由(an+1-a1)(an+a1)＝-1，⇒an+1an+an+1-an＝0，，∴成等差数列，首项为1，公差为1，，∴；（2） Sn＝b1+b2+…+bn．20 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，DA⊥AB，DC⊥BC，∠ABC＝45°，．（1）若DA＝DC，求证：平面PAC⊥平面PBD；（2）若PA＝AD，PA+AB＝4，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PA的长．【答案解析】解：（1）∵DA⊥AB，DC⊥BC，DA＝DC，BD是公共边，∴△DAB≌△DCB．∴∠BDA＝∠BDC．∴BD⊥AC．由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BD，又PA∩AC＝A∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD；（2）∵AD，AB，AP两两垂直，∴可如图建立空间直角坐标系A-xyz设PA＝a，则B(0，4-a，0)，D(a，0，0)，C(2，2-a，0)，P(0，0，a)，，．设平面PBC的法向量取x＝a，得，．直线PD与平面PBC所成的角为30°，，解得或a＝4（舍），所以PA的长为．21 已知椭圆C：的离心率为，点A，B分别是左、右顶点，P是椭圆C上异于A，B的任意一点，△PAB面积的最大值为12．（1）求椭圆方程；（2）直线AP，BP分别交y轴于M，N，求的值．【答案解析】解：（1）由条件得，解得a＝4，b＝3，所以椭圆方程为；（2）设P(x0，y0)，由题意直线PA、PB的斜率均存在，则PA：① PB：②∴，，则．因为P在椭圆上，所以有．所以：．22 已知函数f(x)＝xln(x－a)－2x，a∈R（1）当a＝1时，讨论f(x)的单调性；（2）若a≥0，证明：f(x)＜ex－1．【答案解析】解：（1）当a＝1时，f(x)＝xln(x-1)-2x，定义域为(1，+∞)，，记，，当1＜x＜2时g′(x)＜0，当x＞2时g′(x)＞0，∴g(x)的极小值也就是最小值为g(2)＝0．∴g(x)≥0，即f′(x)≥0，所以f(x)在(1，+∞)上单调递增；（2）x-a＞0，a≥0，∴x＞a＞0，x-a＜x⇒ln(x-a)＜ln x⇒xln(x-a)＜xln x．要证明f(x)＜ex-1，只要证明xln(x-a)-2x＜ex-1，即证xln(x-a)＜ex+2x-1．因而只要证明xln x ＜ex+2x-1即可．当0＜x≤1时，xln x≤0，而ex+2x-1＞e0+2·0-1＝0，∴xln x＜ex+2x-1成立．当x＞1时，设h(x)＝ex+2x-1-xln x(x＞1)，h′(x)＝ex+2-ln x-1＝ex-ln x+1，记u(x)＝ex-ln x+1(x＞1)，，因为x＞1，所以u′(x)＞e-1＞0，u(x)在(1，+∞)上单调递增． u(x)＞u(1)＝e+1＞0，即h′(x)＞0，所以h(x)在(1，+∞)上单调递增．h(x)＞h(1)＝e+1＞0，即h(x)＝ex+2x-1-xln x＞0 所以当x＞1时，xln x＜ex+2x-1成立．综上可知若a≥0，f(x)＜ex-1．。
【最后一卷】安徽省江南十校2019届高三冲刺联考(二模)数学(理)试题word版含答案解析
2019年“江南十校”高三学生冲刺联考(二模)理科数学本试题分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I 卷1至第2页，第Ⅱ卷第3至 第4页，全卷满分150分，考试时间120分钟 考生注意事项:1.答题前，务必在试题卷规定的地方填写自已的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴 的条形码中座位号与本人座位号是否一致，务必在答题卡规定的地方填写考场/座位号、姓名、班级2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹 清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交第I 卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.集合{}{}2,0)2)(1(<=≤-+=x x B x x x A ，则A B ＝ A.[0，2] B.[0，1] C.(0，2 ] D.[-1,0] 2.设i 是虚数单位，复数iiz -=1的实部与虚部的和等于 A.-1 B.0 C.1 D.23.已知向量、的夹角为︒60，＝(0，1)，・＝21，且t +的模为3，则实数t 的值为( )A, 1- B. 2 C. 一1或2 D.1或一2 4.在如图所示的算法框图中，若输入的54=x ，则输出结果为A.51 B. 52 C. 53 D. 54 5.圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为 A.47π B. 49π C. 27π D. 29π6、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝5，257cos =A ，1cos tan sin =-A C A ，则△ABC 的AC 边上的高为A. 3B. 32C.4D.67.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为5，则两条渐近线所成的锐角的余弦值为A.33 B. 21 C. 32D. 36 8.设15411241621log ,log ,log ===c b a ，则A. a <b <cB. c <b <aC. b <a <cD. c <a <b9.已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+062y a x y x ，目标函数y x z +-=取得的最大值为9，则实数a的值为A.-1B.1C.9D.-910.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积(我们称黑三角形为谢尔宾斯基三角形).在下图第5个大正三角形中随机取点，则落在白色 区域的概率为A.8168 B. 256175 C. 25681 D. 8116 11..将函数)0,0)(3sin()(>>+=ωπωA x A x f 的图象上的点的横坐标缩短为原来的21倍，再向右平移3π个单位得到函数)2cos(2)(ϕ+=x x g 的图象，则下列说法正确的是( ) A.函数f (x )的周期为πB. 函数)(x f 的单调速增区间为)](672,62[z k k k ∈++ππππ C 函数g (x )的图象有一条对称轴为32π=xD 函数g (x )在区间[0，]2π的值域为[-3，2]12.定义在R 上的函数f (x )的图象关于点(1，0)对称.当x ≥1时，f (x )＝x 2x -2，则满足f (x )＞6x -6的x 的取值范围是A. (2，+∞)B.(一∞，0)C.(0，1) (2，+∞)D.( ∞-，0) (2，∞+) 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置)13.学校现有高一学生1500名，在一年时间里，学生利用课余时间参加各种社会公益活动，据统计，他们的累计时长X(小时)近似服从正态分布N(50，2σ)，且P(70＞X ＞30)＝0.7，则累计时长超过30小时的人数大约有____________。
2018年安徽省江南十校高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年安徽省江南十校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足z2＝12+16i，则z的模为（）A．20B．12C．D．2．（5分）θ为第三象限角，，则sinθ﹣cosθ＝（）A．B．C．D．3．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|﹣x2+6x﹣8＞0}，，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，3]C．（0，2]D．[2，3]4．（5分）不等式|x|+|y|≤2所表示的区域为M，函数的图象与x轴所围成的区域为N．向M内随机投一个点，则该点落到N内概率为（）A．B．C．D．5．（5分）直线l过抛物线E：y2＝8x的焦点且与x轴垂直，则直线l与E所围成的面积等于（）A．13B．C．D．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（）A．16+5πB．16+3πC．20+4πD．20+5π7．（5分）阅读如图所示程序框图，运行相应的程序．当输入的x∈[﹣2，4]时，则输出y的范围是（）A．[﹣8，4]B．[0，24]C．[﹣2，4]∪（6，24]D．[﹣2，24] 8．（5分）函数的图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位后，得到y ＝g（x）为偶函数，则m的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）平面α内有n个点（无三点共线）到平面β的距离相等，能够推出α∥β，三个平面将空间分成m个平面，则的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知x，y满足，z＝xy的最小值、最大值分别为a，b，且x2﹣kx+1≥0对x∈[a，b]上恒成立，则k的取值范围为（）A．﹣2≤k≤2B．k≤2C．k≥﹣2D．11．（5分）向量，，满足：，，，则最大值为（）A．2B．C．1D．412．（5分）y＝f（x）的导函数满足：当x≠2时，（x﹣2）（f（x）+2f'（x）﹣xf'（x））＞0，则（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13．（5分）二项式展开式中，只有第7项的二次项系数最大，则展开式中常数项是．14．（5分）已知两个圆C1，C2与两坐标系都相切，且都过点（1，﹣2），则|C1C2|＝．15．（5分）在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥之，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限转化思想．比如在中“…”即代表无限次重复，但原数中有个定数x，这可以通过确定出来x＝2，类似地可得到：＝．16．（5分）△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．D是BC边的中点，且，，，则△ABC面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17．（12分）数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求{b n}的前n项和T n．18．（12分）甲乙两个班进行物理测试，其中女生60人，男生50人，从全部110人任取一人及格的概率为，并且男生和女生不及格人数相等．（1）完成如下2×2列联表（2）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关？（3）从两个班有放回的任取3人，记抽取的3人中不及格人数为X，求X的数学期望和方差．附：．19．（12分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AA1＝A1C＝AB，A1B＝A1D．（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；（2）设BD与AC交于O点，求二面角B﹣OB1﹣C平面角正弦值．20．（12分）已知椭圆E：，点A、B、C都在椭圆E上，O为坐标原点，D为AB中点，且．（1）若点C的坐标为，求直线AB的方程；（2）求证：△ABC面积为定值．21．（12分）设．（1）g（x）＝f'（x）在[1，2]上单调，求a的取值范围；（2）已知f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线M的参数方程为：（α为参数），曲线N的极坐标方程为．（1）求曲线M的普通方程与曲线N的直角坐标方程；（2）曲线M与曲线N有两个公共点，求m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|．（1）解不等式：f（x）≤x+3；（2）不等式|m|•f（x）≥|m+2|﹣|3m﹣2|对任意m∈R恒成立，求x的范围．2018年安徽省江南十校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足z2＝12+16i，则z的模为（）A．20B．12C．D．【解答】解：设z＝a+bi，∵复数z满足z2＝12+16i，∴a2+2abi+b2i2＝12+16i，∴（a2﹣b2）+2abi＝12+16i，∴，解得a2＝16，b2＝4，∴z的模|z|＝＝＝2．故选：C．2．（5分）θ为第三象限角，，则sinθ﹣cosθ＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵θ为第三象限角，＝，∴tanθ＝＝2，再根据sin2θ+cos2θ＝1，sinθ＜0，cosθ＜0，∴sinθ＝﹣，cosθ＝﹣，∴sinθ﹣cosθ＝﹣，故选：B．3．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|﹣x2+6x﹣8＞0}，，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，3]C．（0，2]D．[2，3]【解答】解：A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|0＜x≤3}；∴∁R A＝{x|x≤2，或x≥4}；∴（∁R A）∩B＝（0，2]．故选：C．4．（5分）不等式|x|+|y|≤2所表示的区域为M，函数的图象与x轴所围成的区域为N．向M内随机投一个点，则该点落到N内概率为（）A．B．C．D．【解答】解：作出不等式|x|+|y|≤2所表示的区域为M、函数的图象与x轴所围成的区域为N如图．正方形区域M得面积为，区域N得面积为．由测度比为面积比，可得向M内随机投一个点，则该点落到N内概率为．故选：A．5．（5分）直线l过抛物线E：y2＝8x的焦点且与x轴垂直，则直线l与E所围成的面积等于（）A．13B．C．D．【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点坐标为（2，0），∵直线l过抛物线C：y2＝8x的焦点且与x轴垂直，∴直线l的方程为x＝2，∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为2）dx＝4＝．故选：C．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（）A．16+5πB．16+3πC．20+4πD．20+5π【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是正方体与半圆柱的组合体，其中正方体的上部挖去一个半球体，如图所示；则该几何体表面积为S＝4×22+2π•12+π•12+π•1•2＝16+5π．故选：A．7．（5分）阅读如图所示程序框图，运行相应的程序．当输入的x∈[﹣2，4]时，则输出y的范围是（）A．[﹣8，4]B．[0，24]C．[﹣2，4]∪（6，24]D．[﹣2，24]【解答】解：分析程序的运行过程知，该程序运行后输出y的值；当x∈[﹣2，1）时，3x2+2∈[2，14]，y＝2（3x2+2）﹣4∈[0，24]；当x∈[1，4]时，y＝2x﹣4∈[﹣2，4]；∴输出y的取值范围是[﹣2，24]．故选：D．8．（5分）函数的图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位后，得到y ＝g（x）为偶函数，则m的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数＝sin x（sin x+cos x）＝•sin2x+sin x cos x＝•+sin2x＝+（sin2x﹣cos2x）＝+•sin（2x﹣），把f（x）的图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位后，得到y＝g（x）＝+•sin（2x﹣2m﹣）的图象，而g（x）为偶函数，∴2m+＝kπ+，k∈Z，∴m＝，故选：D．9．（5分）平面α内有n个点（无三点共线）到平面β的距离相等，能够推出α∥β，三个平面将空间分成m个平面，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵不在同一条直线三点确定一个平面，∴至少有三个．当有三个点时，如果在平面β的异侧，则不成立；当四个点时，如果在平面β的异侧，且均平行于平面β，也不成立，当有五个点时成立．∴“这n个点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的充要条件，则n的最小值为5，三个平面将空间分成m个平面，m的取值为4，6，7，8，即m的最大值为8，可得的最小值为．故选：C．10．（5分）已知x，y满足，z＝xy的最小值、最大值分别为a，b，且x2﹣kx+1≥0对x∈[a，b]上恒成立，则k的取值范围为（）A．﹣2≤k≤2B．k≤2C．k≥﹣2D．【解答】解：x，y满足的可行域如图：z＝xy，当x一定，y最大时，z最大，y 一定则x最大时，z最大，所以，最大值一定在线段2x+y＝3上取得，最小值在（0，1.5）处取得．z＝x（3﹣2x）＝﹣2x2+3x，x∈[0，1]，所以z的最大值为：＝，最小值为：0，x2﹣kx+1≥0对x∈[0，]上恒成立，可得k≤，因为≥2，此时x＝1，1∈，所以则k的取值范围为：k≤2．故选：B．11．（5分）向量，，满足：，，，则最大值为（）A．2B．C．1D．4【解答】解：如图，设＝，＝，＝，，，可得cos∠MON＝＝﹣，即有∠MON＝120°，又＝﹣，＝﹣，，可得cos∠MPN＝，即∠MPN＝60°，由∠MON+∠MPN＝180°，可得O，M，P，N四点共圆C，在△MON中，OM＝ON＝2，MN＝＝2，则圆C的直径为＝4，可得最大值为4．故选：D．12．（5分）y＝f（x）的导函数满足：当x≠2时，（x﹣2）（f（x）+2f'（x）﹣xf'（x））＞0，则（）A．B．C．D．【解答】解：设g（x）＝，∴g′（x）＝，∵（x﹣2）（f（x）+2f'（x）﹣xf'（x））＞0，∴（x﹣2）（（x﹣2）f'（x）﹣f（x））＜0，当x＞2时，（x﹣2）f'（x）﹣f（x））＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）在（2，+∞）上单调递减，当x＜2时，（x﹣2）f'（x）﹣f（x））＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，2）上单调递增，∴g（4）＜g（3）＜g（），∴＜＜∴f（4）＜2f（3）＜（2+4）f（），故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13．（5分）二项式展开式中，只有第7项的二次项系数最大，则展开式中常数项是7920．【解答】解：二项式展开式中，只有第7项的二次项系数最大，∴第7项是中间项，展开式共有13项，则n＝12；∴二项式展开式的通项公式为T r+1＝••＝（﹣2）r••，令6﹣＝0，解得r＝4，∴展开式中常数项是T5＝（﹣2）4•＝16×＝7920．故答案为：7920．14．（5分）已知两个圆C1，C2与两坐标系都相切，且都过点（1，﹣2），则|C1C2|＝．【解答】解：两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（1，﹣2），则圆在第四象限内；设两个圆的圆心分别为（a，﹣a），（b，﹣b），由于两圆都过点（1，﹣2），则有＝|a|，＝|b|，∴a和b分别为（x﹣1）2+（x﹣2）2＝x2的两个实数根，即a和b分别为x2﹣6x+5＝0 的两个实数根，∴a+b＝6，ab＝5，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝16，∴两圆心的距离|C1C2|＝•|a﹣b|＝4．故答案为：4．15．（5分）在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥之，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限转化思想．比如在中“…”即代表无限次重复，但原数中有个定数x，这可以通过确定出来x＝2，类似地可得到：＝．【解答】解：可以令＝S（S＞0），可得（）+1＝S，即，解得S＝，故答案为：．16．（5分）△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．D是BC边的中点，且，，，则△ABC面积为．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．D是BC边的中点，且，，，则：sin A＝，所以：8sin A sin B＝3sin C，解得：2b＝3c，设：b＝3x，c＝2x，a＝2y在△ABC中，利用余弦定理：cos A＝﹣＝，解得：y＝2x．在△ABD中，利用余弦定理：4x2＝﹣2cos∠BDA，在△ACD中，利用余弦定理：﹣2，所以：13x2＝8x2+5，解得：x＝1，所以：b＝3，c＝2，故：＝，故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17．（12分）数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）当n＝1时，；当n≥2，＝，可得，又∵当n＝1时也成立，∴；（2），＝，∴T n＝，＝．18．（12分）甲乙两个班进行物理测试，其中女生60人，男生50人，从全部110人任取一人及格的概率为，并且男生和女生不及格人数相等．（1）完成如下2×2列联表（2）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关？（3）从两个班有放回的任取3人，记抽取的3人中不及格人数为X，求X的数学期望和方差．附：．【解答】解：（1）（2）由＝，犯错误概率不超过0.1的前提下，没有足够的证据说明物理成绩及格与性别有关；（3）由题意可知，∴，∴．19．（12分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AA1＝A1C＝AB，A1B＝A1D．（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；（2）设BD与AC交于O点，求二面角B﹣OB1﹣C平面角正弦值．【解答】（1）证明：设AC，BD交于点O，∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又∵A1B＝A1D，O是BD的中点，∴A1O⊥BD，AC∩A1O＝O，∴BD⊥平面ACC1A1，又∵BD⊂平面BDD1B1，∴平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；（2）解：∵AA1＝A1C，O是AC的中点，∴OA1⊥AC，OA1，OA，OB两两垂直，以OA，OB，OA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设AA1＝A1C＝AB＝2，由题得BD＝2，，OA1＝1，则，，B（0，1，0），A1（0，0，1），设是平面OBB1的一个法向量，，，由，可得，设是平面OB1C的一个法向量，则，＝，由，可得，可得＝，∴二面角B﹣OB1﹣C平面角正弦值为．20．（12分）已知椭圆E：，点A、B、C都在椭圆E上，O为坐标原点，D为AB中点，且．（1）若点C的坐标为，求直线AB的方程；（2）求证：△ABC面积为定值．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），∵，＝（﹣1，﹣），∴，故x1+x2＝﹣1，y1+y2＝﹣．将A，B带入椭圆方程中，可得，化简可得：，∴＝，∴直线AB的方程为：y＝﹣（x+）﹣，即x+2y+2＝0．（2）证明：设C（m，n），则，①当直线AB的斜率不存在时，n＝0，由题意可得C（2，0），，或C（﹣2，0），，，此时；②当直线AB的斜率存在时，n≠0，由（1），∴AB：，即直线AB：＝，即3mx+4ny+6＝0，⇒3x2+3mx+3﹣4n2＝0，∴x1+x2＝﹣m，，∵，＝＝，O到AB的距离，∴×．∴S△ABC为定值．21．（12分）设．（1）g（x）＝f'（x）在[1，2]上单调，求a的取值范围；（2）已知f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f'（x）＝lnx﹣3ax+3a，即g（x）＝lnx﹣3ax+3a，x∈（0，+∞），，①g（x）在[1，2]上单调递增，∴对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，得；②g（x）在[1，2]上单调递减，∴对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，得，由①②可得a的取值范围为；（2）由（1）知，①a≤0，f'（x）在（0，+∞）上单调递增，∴x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x＝1处取得极小值，符合题意；②时，，又f'（x）在上单调递增，∴x∈（0，1）时，f'（x）＜0，∴时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，上单调递增，f（x）在x＝1处取得极小值，符合题意；③时，，f'（x）在（0，1）上单调递增，∴x∈（1，+∞）上单调递减，∴x∈（0，+∞）时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意；④时，，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）在x＝1处取得极大值，不符合题意；综上所述，可得．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线M的参数方程为：（α为参数），曲线N的极坐标方程为．（1）求曲线M的普通方程与曲线N的直角坐标方程；（2）曲线M与曲线N有两个公共点，求m的取值范围．【解答】解：（1）在曲线M中x2＝cos2α+3sin2α，∴曲线M的普通方程为y＝x2﹣1，x∈[﹣2，2]．在曲线中：．可得ρcosθ﹣ρsinθ＝，∴曲线的直角坐标方程为；x﹣y＝，即y＝x﹣m．（2）联立，x∈[﹣2，2]有两解，令，在[﹣2，2]上有两解，∴，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|．（1）解不等式：f（x）≤x+3；（2）不等式|m|•f（x）≥|m+2|﹣|3m﹣2|对任意m∈R恒成立，求x的范围．【解答】解：（1）|x﹣1|+|x﹣2|≤x+3，可得①，②⇒1＜x＜2，③⇒0≤x≤1，由①②③可得x∈[0，6]；（2）①当m＝0时，0≥0，∴x∈R；②当m≠0时，即对m恒成立，，当且仅当，即时取等号，∴f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|≥4，由x≥2，2x﹣3≥4，解得x≥，即为x≥；1＜x＜2，x﹣1+2﹣x≥4，解得x∈∅；x≤1时，3﹣2x≥4，解得x≤﹣；综上可得．。
2023-2024学年安徽省江淮十校高三上学期第二次联考数学试题及答案
江淮十校2024届高三第二次联考数学试题2023.11注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知i 为虚数单位，复数z 满足()12i 1i 0z +-+=，则z =A.13i 55-- B.13i 55-+ C.13i 55+ D.13i 55-2.已知集合{}230A x x =∈-<Z ，集合{}2,xB y y x A ==∈，则A B =A.(B.{}1,2C.{}1,0D.{}13.已知点G 是ABC △的重心，GA a ，GB b = ，则BC =A.2a b+ B.2a b+ C.2a b-- D.2a b-- 4.已知幂函数()()2255m f x m m x-=-+是R 上的偶函数，且函数()()()26g x f x a x =--在区间[]1,3上单调递增，则实数a 的取值范围是A.(),4-∞ B.(],4-∞ C.[)6,+∞ D.(][),46,-∞+∞ 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4244S a =-，565S =，则使0n S >成立的n 的最大值为A.16B.17C.18D.196.已知角θ为第二象限角，且满足()sin sin cos23πθπθθ⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，则tan θ=7.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1122CD C D ==，点O 是底面ABCD 的中心，若该四棱台的侧面积为，则异面直线1OC 与1BB 所成角的余弦值为A.78B.34C.588.已知函数()()321,1log 1,1x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩…，若函数()()y f x a a =-∈R 有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则()()()123412211x x a x x a++--的取值范围是A.()0,3B.)⎡⎣C.)⎡+∞⎣D.()3,+∞二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知,,22x y ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭且sin sin x y >，则下列不等关系一定成立的是A.()lg 0x y -> B.1133x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.22x y> D.()tan tan x yπ+>10.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E ，F 分别为棱AB ，1CC 的中点，则下列判断正确的是A.直线EF 与直线1DD 互为异面直线B.1B D ⊥平面1D EFC.平面1D EF 截该四棱柱得到的截面是五边形D.平面1D EF 与棱BC 的交点是棱BC 的中点11.将函数()sin201y x ωω=<<的图象向左平移6πω个单位可得到函数()y f x =的图象，若()y f x =在区间(),2ππ内有最值，则实数ω的取值范围可能为A.11,2412⎛⎫⎪⎝⎭ B.55,2412⎛⎫⎪⎝⎭ C.77,2412⎛⎫⎪⎝⎭ D.13,124⎛⎫⎪⎝⎭12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3,2,2n n n S n n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，则下列判断正确的是A.1011a =-B.当n 为奇数时，1n a n =--C.当n 为偶数时，1n a n =+D.数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和等于()22nn -+三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量a ，b 满足()1,2a = ，2b =，()2a a b ⊥+ ，则向量a ，b 夹角的余弦值为______.14.已知1a >-，0b >且22a b +=，则2141a b a b++++的最小值为______.15.内接于球O 的四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，四条侧棱均相等，AB CD ∥，4AB =，2CD =，AD =，侧棱PA 与底面ABCD 所成角的大小为3π，则球O 的表面积为______.16.设正整数n 满足不等式()221log 202321log 2023(2)n n -+>，则n 的最小值等于______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知集合()223004A x x ax a a ⎧⎫=+->⎨⎬⎩⎭…，函数()()2cos 2cos f x x x x x =+∈R 的值域为集合B .（1）当2a =时，求A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求正数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知函数()12x x m f x m n+-=+（其中0m >且1,0m n ≠>）是奇函数.（1）求m ，n 的值并判断函数()y f x =的单调性；（2）已知二次函数()2g x ax bx c =++满足()()22g x g x +=-，且其最小值为3-.若对[]11,2x ∀∈-，都21,82x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()122log f x g x =成立，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，O 为其外接圆的圆心，8AO AB ⋅=，118tan tan A B b⎫+=⎪⎭.（1）求A 的大小；（2）若,43C ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求边长b 的最值.20.（本小题满分12分）如图（1），在边长为4的菱形ABCD 中，3BAD π∠=，点E 是边BC 的中点，连DE 交对角线AC 于点F ，将ABD △沿对角线BD 折起得到如图（2）所示的三棱锥P BCD -.（1）点G 是边PD 上一点且12PG GD =，连FG ，求证：FG ∥平面PBC ；（2）若二面角P BD C --的大小为23π，求二面角P DE C --的正弦值.图（1）图（2）21.（本小题满分12分）各项均为正数的数列{}n a 的首项11a =，且满足()()22*1121n n n n na n a a n ++-+=∈N .（1）求证：数列是等比数列；（2）设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .22.（本小题满分12分）已知函数()()ln 1x ax f x a x-+=∈R .（1）若()2f x …恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x 且123x x <，求证：126ex x +>.江淮十校2024届高三第二次联考数学试题参考答案题号123456789101112选项BDDBBCACBDACACDBCD一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.B 【解析】由条件可知()()()()1i 12i 1i 13i 12i 12i 12i 55z ---===--++-，所以13i 55z =-+，故选B.2.D 【解析】由已知得{}1,0,1A =-，1,1,22B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则{}1A B = ，故选D.3.D 【解析】由条件知0GA GB GC ++= ，所以GC GA GB a b =--=--，所以2BC GC GB a b b a b =-=---=--，故选D.4.B 【解析】由条件知2551m m -+=解得1m =或4m =，又函数()f x 是R 上的偶函数，所以4m =，()2f x x =，()()226g x x a x =--，其对称轴方程为3x a =-，根据条件可知31a -…，解得4a …，故选B.5.B 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件4244S a =-得()114644a d a d +=+-，解得2d =-，又565S =，解得117a =，于是()1721192n a n n =--=-，显然910a =>，1010a =-<，所以179170S a =>，(1891090S a a =+=，当19n …时，0nS <，故选B.6.C 【解析】由条件可知()22sin coscos sinsin cos sin 33ππθθθθθ⎛⎫-⋅-=- ⎪⎝⎭，整理得22sincos 2cos 0θθθθ+-=，因角θ为第二象限角，所以cos 0θ<，于是两边同除以2cos θ，得2tan 20θθ+-=，因tan 0θ<，解得tan θ=，故选C.7.A 【解析】由已知条件得该四棱台的斜高为2=，根据112CD C D =得11OB B D =，又11OB B D ∥，所以四边形11OBB D 是平行四边形，于是11BB OD ∥，112OD OC ==，所以11C OD ∠（或其补角）是异面直线1OC 与1BB 所成的角，根据余弦定理可知222111*********cos 288OC OD C D C OD OC OD ∠+-+-===⨯⨯，故选A.8.C 【解析】作出函数()f x 的大致图象，可知01a <<，1234012x x x x <<<<<<，于是121221xx-=-，所以12222xx +=，()()3334log 1log 1x x --=-，即()()3334log 1log 10x x -+-=，所以()()34111x x --=，于是()()())12341122211xx a a x xa a ⎡++=+∈+∞⎣--，故选C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.9.BD 【解析】由条件知x y >，又,,22x y ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以B ，D 正确.10.AC 【解析】根据条件作出图形得到A 正确，B 错误，C 正确，平面1D EF 与棱BC 的交点是棱BC 的一个三等分点，D 错误.故选AC.11.ACD 【解析】由条件可知()sin 2sin 263f x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由232x k ππωπ+=+，解得()212k x k ππωω=+∈Z ，于是2212k ππππωω<+<，解得11424212k k ω+<<+，因01ω<<，所以当0k =时，124ω<<1k =时，772412ω<<；当2k =时，13124ω<<.故选ACD.12.BCD 【解析】由条件知112a S ==-，23a =，当n 为奇数且3n …时，131122n n n n n a S S n -+-=-=--=--，1a 也符合，所以当n 为奇数时，1n a n =--，B 正确；当n 为偶数时，112n n n n a S S n -⎛=-=-=+ ⎝，A 错误，C 正确；于是()()112n n a a n n +=-++，()()111111212n n a a n n n n +⎛⎫=-=-- ⎪++++⎝⎭，所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()1111111111233445122222n n n n n ⎛⎫--+-+-+⋅⋅⋅+-=-+=- ⎪++++⎝⎭，D 正确.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】【解析】由已知得a = ，由()2a a b ⊥+ 得()2220a a b a a b ⋅+=+⋅= ，所以52a b ⋅=- ，于是cos ,a b a b a b⋅=== .14.【答案】6【解析】由22a b +=知()214a b ++=，所以()()2121214221226111a b a a b b b a b a b a b ++++++=++=+++=+++…，当且仅当13a =，43b =时等号成立，最小值为6.15.【答案】803π【解析】作DE AB ⊥于点E ，则根据条件可得1AE =，3DE =，设四边形ABCD 的外接圆半径大小为r ，圆心到AB 的距离为d ，则()22222213r d d =+=+-，解得1d =，r =，根据侧棱PA 与底面ABCD所成角的大小为3π知点P 到平面ABCD的距离为=.设球O 的半径为R ，则)222R R =+，解得R =，所以球O 的表面积为2280443R πππ=⨯=.16.【答案】6【解析】对所给不等式两边同时取自然对数，则()()()2221ln 1log 2023log 2023ln 2n n -+>⋅，于是()()22ln 1log 2023ln 2log 202321n n +>-.构造函数()()ln 1x f x x +=，()1x …，求导得()()2ln 11xx x f x x -++='，令()()ln 11xg x x x =-++，()1x …，求导得()()()22110111x g x x x x =-='-<+++，所以函数()g x 在[)1,+∞上单调递减，则()()11ln202g x g =-<…，所以()0f x '<，于是函数()f x 在[)1,+∞上单调递减，所以221log 2023n ->，解得21log 20232n +>，又102420232048<<，所以210log 202311<<，于是21log 202311622+<<，又n 是正整数，所以n 的最小值等于6.四、解答题：本大题共6小题，共70分.17.（本小题满分10分）解：因()2cos 2cos cos212sin 216f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭所以[]1,3B =-（1）当2a =时，2230x x +-…，解得31x -……，所以[]3,1A =-于是[]3,3A B =- （2）由条件知集合A 是集合B 的真子集，又31,22A a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦所以132312a a ⎧⎪⎪⎨⎪--⎪⎩……且两等号不能同时成立，解得23a …又0a >，所以正数a 的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦18.（本小题满分12分）解：（1）由条件可知函数()y f x =的定义域为R ，由()y f x =是奇函数知()00f =，即201m n-=+，解得2m =，所以()()12212222x x xxf x n n +--==++，又()()()()()2212212212212x xxxx x x f x f x nn n------==-=-=-+⋅++，于是212xxn n ⋅+=+对任意的x ∈R 恒成立，即()()1210xn --=对任意的x ∈R 恒成立，解得1n =，所以()12221x x f x +-=+，又()()()12212212224221212121x xx x x x xf x +-+--====-++++，因21x +在R 上单调递增，且210x+>，所以421x +在R上单调递减，421x -+在R 上单调递增，于是函数()y f x =在R 上单调递增.（2）由（1）知当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的值域为26,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦又根据条件得()2(2)3g x a x =--且0a >，当1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]2log 1,3x ∈-，则函数()2log g x 的值域为[]3,93a --，于是[]26,3,9335a ⎡⎤-⊆--⎢⎥⎣⎦，所以6935a -…，解得715a …，因此实数a 的取值范围为7,15⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.19.（本小题满分12分）解：（1）延长AO 交外接圆于点D ，则221111cos 82222AO AB AD AB AB AD BAD AB c ∠⋅=⋅=⋅⋅===，所以4c =118tan tan A B b⎫+=⎪⎭，cos cos sin cos cos sin 82sin sin sin sin A B B A B A c A B A B b b +⎫+=====⎪⎭，解得sin A =，因0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=，（2）在ABC △中，由正弦定理得sin sin b cB C=，于是124sin 4sin 224sin 32sin sin sin C C C B b C CC π⎫⎛⎫+⎪-⎪⎝⎭⎝⎭====，因,43C ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以tan C ⎡∈⎣，于是4,2b ⎡⎤∈+⎣⎦所以边长b的最大值为2+，最小值为4.解：（1）连PE ，由条件知点F 是BCD △的重心，则12EF DF =，又12PG GD =，所以12EF PG DF DG ==，于是FG PE ∥.因FG ⊄平面PBC ，PE ⊂平面PBC ，所以FG ∥平面PBC .（2）设BD CF O = ，以点O 为原点，以OB 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴建立空间坐标系，如图所示，因PO BD ⊥，CO BD ⊥，则POC ∠为二面角P BD C --的平面角，于是23POC π∠=，因4BC =，3BAD π∠=，所以OP OC ==所以()0,P ，()2,0,0B，()0,C，()E ，()2,0,0D -，于是()2,DP =，()DE =，设平面PDE 的法向量为(),,m x y z = ，则00m DP m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即23030x z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得53y z x⎧=⎪⎨=-⎪⎩，不妨取3x =，则()3,5m =--又平面CDE 的法向量为()0,0,1n =则cos m n m n m n⋅⋅==⋅所以二面角P DE C --=.21.（本小题满分12分）解：（1）由()221121n n n n na n a a ++-+=得()2211210n n n n na n a a ++-+=，两边同除以()1n n +，得221201n n a a n n +=+，即2220=，于是0=，因0na >>==，10=≠，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.（2）由（111122n n --=⨯=，所以12n n a -=，于是214n n n b a n -==⋅，所以()02211231142434144n n n n n S b b b b b n n ---=+++⋅⋅⋅++=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⋅，()12314142434144n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⋅，上述两式相减得12311441314444444143n n n nn nn S n n n ----=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅-所以()31419n n n S -+=.22.（本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，对其求导得()()221ln 1ln a x x ax x x f x x x'⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减所以函数()f x 的最大值为()112f a =-+…，解得1a -…，因此实数a 的取值范围是[)1,-+∞.（2）由题意可知1122ln 1ln 1x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，所以21122112ln ln ln ln 2x x x x a x x x x -++==-+（*）因123x x <，令21x t x =，则3t >于是由（*）式可得()()()22111221ln1ln ln 21x x x t t x x x x x t +++==--，构造函数()()1ln 1t t g t t +=-，3t >对其求导得()()()()()2211ln 11ln 2ln 11t t t t t t t t t g t t t +⎛⎫+--+'-- ⎪⎝⎭==--，令()12ln h t t t t =--，3t >对其求导得()221210h t t t '=+-=>所以函数()h t 在()3,+∞上单调递增，所以()()1332ln303h t h >=-->，于是()0g t '>，函数()g t 在()3,+∞上单调递增，所以()()32ln3g t g >=，因此()12ln 22ln3x x +>，1229e x x>于是126e x x +>>，得证.。
2025届安徽江南十校高考数学二模试卷含解析
2025届安徽江南十校高考数学二模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32B ．12C ．78 D ．982．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i3．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．,()36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．2,()3k k k Z πππ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦ 4．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2-B ．2C ．12-D ．125．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） AB ．3CD ．26．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．A ．7?S ≥B ．21?S ≥C ．28?S ≥D ．36?S ≥7．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x +=B ．()21x f x x-=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=8．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<9．函数()sin 2sin 3f x x m x x =++在[,]63ππ上单调递减的充要条件是（ ）A ．3m ≤-B ．4m ≤-C ．33m ≤-D ．4m ≤10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）. A ．432B ．576C ．696D ．96011．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的值域是[]0,1B ．()f x 是奇函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 是增函数12．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ） A ．33-B ．3C ．332- D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省江南十校2019届高三第二次大联考(理科)数学(解析版)
江南十校2019届高三第二次大联考数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，为虚数单位，若复数，，则（）A. B. 或 C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】根据，从而得到复数的模的平方等于2，从而得到，利用复数的乘方运算，得到结果.【详解】由已知得：或-1，故，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的运算问题，涉及到的知识点有复数z与其共轭复数的乘积等于复数的模的平方，复数的乘法运算法则，熟练掌握基础知识是解题的关键.2.已知集合，，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】利用对数式的真数大于零，得到函数的定义域，从而求得集合A和集合B，之后应用真包含关系，确定出是的充分不必要条件.【详解】依题意：，，，故选A.【点睛】该题考查的是有关充分必要条件的问题，涉及到的知识点有对数型函数的定义域的求解，充分必要条件的判断等，属于简单题目.3.下列四个命题中，错误的命题是（）A. 等比数列的公比为，若，则数列为递增数列B. “若，则”的逆命题为真C. 命题“，均有”的否定是：“，使得”D. 中，角的对边分别为，则“”是“”的充要条件【答案】A【解析】【分析】对选项逐个分析，可以判断得出四个选项正确与否，从而得出正确的结果.【详解】对于A项，当首项小于零时，若，可得数列为递减数列，所以A项错误；对于B项，所给命题的逆命题为：若，则，所以B项正确；对于C项，根据全称命题的否定形式，可知其为正确的，所以C项正确；对于D项，根据三角形中大边对大角，以及余弦函数在区间上是减函数，所以D项正确；故选A.【点睛】该题考查的是有关判断命题正误的问题，涉及到的知识点有等比数列的单调性，不等式的性质，余弦函数的单调性，含有一个量词的命题的否定，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.4.已知等差数列的前项和，且，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先设出等差数列的首项和公差，根据题中所给的条件，写出关于和的方程组，求解即可求得和的值，之后应用等差数列的通项公式写出.【详解】由已知条件得：，解得，，故，故选A.【点睛】该题考查的是有关等差数列的通项公式的问题，涉及到的知识点有等差数列的求和公式，等差数列的通项公式，属于简单题目.5.如图是一个三棱锥的三视图，其正视图，侧视图都是直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积与体积分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据题中所给的几何体的三视图,可以得到该三棱锥的顶点都在以2,1,2为长、宽、高的长方体的顶点处，所以求出对应长方体的外接球的半径即可.【详解】该三棱锥的外接球即长方体的外接球由已知，长方体的三条棱长为2,1,2，故可得表面积为，体积为，故选D.【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的体积的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，长方体的外接球的半径，球的体积公式，属于中档题目.6.已知点，，是圆内一点，直线，，，围成的四边形的面积为，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据第一象限内的点在圆内,从而求得，根据直线的对称性，可知四边形是直线与坐标轴围成的三角形的面积的四倍，结合三角形的面积公式以及重要不等式求得结果.【详解】由已知，四条直线围成的四边形面积，故选A.【点睛】该题考查的是有关四边形的面积的问题，涉及到的知识点有点与圆的位置关系，四边形的分解，三角形的面积公式，重要不等式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.7.已知，则的值为（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】首先利用正弦的差角公式对已知的式子进行化简，从而求得，之后直接利用两角和的正切函数化简求解即可.【详解】由，故，故选B.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有正弦函数的差角公式，同角三角函数关系式，正切的和角公式，属于简单题目.8.已知实数满足，则的最大值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件画出可行域，求出三角形区域的顶点坐标，代入比较得出最大值，即可得结果. 【详解】画出可行域如图，其中，，，故当时，，故选D.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，需要准确地画出约束条件对应的可行域，找出最优解，将最优解代入目标函数，求得结果.9.如图，四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，分别为的中点，给出以下结论：①平面；②平面；③平面与平面交线为，则；④平面。
2020届安徽省江南十校高三第二次联考数学(理)试题(解析版)
2020届安徽省江南十校高三第二次联考数学（理）试题一、单选题1．已知全集{}xU y y e =|=，集合(){}ln 10A x x =|-<，则UA =ð（ ）A ．(][)–,02,∞⋃+∞B ．[)2,+∞C ．(][)–,12,∞⋃+∞D ．(][)0,12,+∞U【答案】D【解析】分别求两个集合，再求U C A . 【详解】解得{}|0U y y =>，01112x x <-<⇒<<∴{}|12A x x =<<， ∴(][)0,12,U A =⋃+∞ð．故选：D 【点睛】本题考查指对函数表示集合，集合的补集，意在考查基本计算，属于基础题型. 2．函数136,0()2,0xx x f x x +<⎧=⎨≥⎩，若角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过(5,12)P -，则()cos f f α=⎡⎤⎣⎦（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】首先根据三角函数的定义，先求cos α，再代入分段函数求值. 【详解】根据三角函数的定义可知13OP =, 所以5cos 13α=-， 故()55cos 13611313f f α⎛⎫⎛⎫=-=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()()cos 12f f f α⎡⎤⎣==⎦．故选：B 【点睛】本题考查三角函数的定义，分段函数求值，属于基础题型.3．已知点(),P x y 满足不等式3205050x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，点(),Q x y 是函数2()1f x x =-的图像上任意一点，则两点P ，Q 之间距离的最小值为（ ） A ．5212- B ．131-C ．4D ．522【答案】A【解析】首先画出不等式表示的可行域和函数()f x 的图象，根据数形结合表示两点间距离的最小值. 【详解】如图所示，点P 在平面区域阴影内任一点P ，()222110y x y x y =-⇒=-≥ ，即()2210x y y +=≥点Q 在半圆221(01)x y y +=≤≤上，如图，过点O 作直线50x y +-=的垂线，垂足为P ，交半圆于Q ，此时PQ 取最小值，求得min 5=1252||12PQ =--.故选：A 【点睛】本题考查不等式表示的平面区域，函数图象的做法，意在考查数形结合解决问题的能力，属于中档题型. 4．已知1b >，04πα<<，log sin (cos )b x αα=，log cos (cos )b y αα=，log sin (sin )b z αα=则x ，y ，z 的大小关系为（ ） A ．x y z >> B ．z x y >>C ．z y x >>D ．y z x >>【答案】B【解析】首先比较sin α与cos α的大小，再根据指对函数的单调性比较,x y 的大小，根据幂函数的单调性比较,x z 的大小. 【详解】解：()log b f t t =为增函数，0sin cos 1αα<<<为减函数得log sin log cos 0b b αα<<， ()(cos )t g t α=为减函数，则x y >．当0a <时，()ah t t =在第一象限单调递减，log sin b a α=且cos sin αα>，则x z <．故z x y >>． 故选：B 【点睛】本题考查根据指对幂函数的单调性比较大小，以及三角函数的大小，重点考查函数单调性的应用，属于中档题型.5．如果关于实数θ的方程22sin 10x x θ--=有解，那么实数x 的取值范围是（ ） A ．{|11}x x x ≤-≥或 B ．0{}1|x x x >=-或 C ．0{|}1x x x <=或 D ．{}1,1-【答案】D【解析】首先参变分离为1sin 22x xθ=+，利用基本不等式求sin θ的范围，再结合sin θ的值域，求sin θ的值，再解实数x 的值. 【详解】解：由题得0x =不是方程的解，∴1sin 22x xθ=+，由1122x x +≥或1122x x+≤-且1sin 1θ-≤≤得： sin 1θ=±，故1x =±．故选：D 【点睛】本题考查根据函数零点求参数的取值范围，意在考查转化与化归的思想，属于中档题型.6．要得到函数y x =的图像，只需将函数sin 2cos2y x x =+的图像（ ） A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移38π个单位 D ．向右平移38π个单位 【答案】D【解析】首先将两个函数化简为同名三角函数，再判断图象平移过程. 【详解】解：sin 2cos2)2()48y x x x x ππ=+=+=+2)2()24y x x x ππ==-=-，故向右移38π个单位． 故选：D 【点睛】本题考查三角恒等变换，和函数平移变换，本题的关键是两个函数一定要化为同名三角函数，熟练应用诱导公式和辅助角公式.7．在公差不为0的等差数列{}n a 中取三项248,,a a a ，这三个数恰好成等比数列，则此等比数列的公比为（ ） A ．13B ．12C ．2D ．3【答案】C【解析】根据题意2428a a a =⋅，解得22a d =，再代入求公比.【详解】解：422a a d =+，826a a d =+，因为2428a a a =⋅，且0d ≠，求得22a d =，所以公比422 a q a ==； 或解：84844242422a a a a d q a a a a d-=====-． 故选：C 【点睛】本题考查等比数列和等差数列的基本量的计算，重点考查计算，属于基础题型. 8．设m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同的平面．命题://p m n ，且ρ是命题q 的必要条件，则q 可以是（ ） A ．//,//,//m n αβαβ B ．,,//m n αβαβ⊂⊂ C ．,,//m n αβαβ⊥⊥ D ．,//,//m n αβαβ⊂【答案】C【解析】由题意可知，若p 是命题q 的必要条件，则q p ⇒，逐一分析选项，判断直线,m n 的位置关系. 【详解】由题意可知，若p 是命题q 的必要条件，则q p ⇒，A.若满足//,//,//m n αβαβ，则,m n 平行，相交，异面都有可能，所以不正确；B.若满足,,//m n αβαβ⊂⊂，则,m n 平行或异面，所以不正确；C.若满足,,//m n αβαβ⊥⊥，只能推出两直线平行，故正确；D.若满足,//,//m n αβαβ⊂，则,m n 平行，相交，异面都有可能，故不正确. 故选：C 【点睛】本题考查线线，线面，面面的位置关系，以及必要条件的判断，意在考查空间想象能力，定理的灵活应用，属于基础题型.9．设函数()(0)x x f x e e x a x -=++->，若存在(]0,1b ∈使得()f f b b =⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,e e⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．12,e e ⎛⎫+⎪⎝⎭C ．1,e e e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．[)2,+∞【答案】A【解析】首先利用导数可知函数()f x 单调递增，由题意可知()f b b =有解，参变分离后可得b b a e e -=+，(]0,1b ∈，再换元设b e t =，(]1,t e ∈，利用基本不等式求a 的取值范围. 【详解】 解：()10(0)xxf x e ex -'+>>-=，故()f x 在()0,∞+上单调递增．(]0,1b ∈时，()f f b b =⎡⎤⎣⎦成立，即()f b b =有解，则b b e e b a b -++-=． 故b b a e e -=+，(0,1]b ∈． 令b e t =，则(]1,t e ∈，112,b b e e t e t e -⎛⎤ ⎥⎝+=+∈⎦+，即12,a e e ⎛⎤∈+ ⎥⎝⎦.故选：A 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性，最值，和参数的取值范围，意在考查函数与方程的思想，本题的关键是根据函数的单调性，确定()f b b =.10．长度为1的线段MN 的正视图，侧视图和俯视图的投影长分别为a 、b 、c ，则a b c ++的最大值为（ ）A ．2B ．CD ．3【答案】C【解析】由已知条件构造长方体，使MN 与1BD 重合，设长方体长、宽、高分别为x ，y ，z ，则2221x y z ++=，然后利用基本不等求()2a b c ++的最大值.【详解】解：构造长方体1111ABCD A B C D -，使MN 与1BD 重合． 设长方体长、宽、高分别为x ，y ，z ，则2221x y z ++=．由题知22x z a+=，22y z b +=，22x y c +=，2222a b c ++=，()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++，2223()6a b c ≤++=，故6a b c ++≤．故选：C 【点睛】本题考查三视图，几何体的结构特征，考查空间想象能力，基本不等式的应用，本题的关键是构造几何体，将使MN 与几何体的体对角线重合.11．如图所示，点P 为椭圆22143x y +=上任一点，1F ，2F 为其左右两焦点，12PF F △的内心为I ，则1212IF F PF F S S =V V （ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】首先连PI 延长x 轴于D ，连1IF ，2IF ，利用角平分线定理得到1212||||||DF DF ID IP PF PF ==，再利用和比定理和椭圆的性质，得到21|||22ID c e IP a ===，从而得到面积比值. 【详解】解：连PI 延长x 轴于D ，连1IF ，2IF ． 在1PF D V 中有11ID DF IP PF =，在2PF DV 中有22ID DF IP PF =， 故1212121221||||||22DF DF ID DF DF c e IP PF PF PF PF a +======+， 故1212||1||3IF F PF F S ID S PD ==V V ．故选：A 【点睛】本题考查椭圆的性质和角平分线定理解决三角形面积比值，意在考查转化与化归的思想，数形结合分析问题，属于中档题型，本题的难点是角平分线定理的应用.12．偶函数()y f x =满足()()22f x f x +=-，当[]2,0x =-时有()2xf x -=．若存在实数12,,,n x x x ⋯，满足120n x x x ≤<<L ，且()()()()()()12231...299n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，则n x 的最小值为（ ） A ．198 B ．199C ．2198log 3+D ．2199log 3-【答案】B【解析】首先由条件分析函数的周期为4，并且()()1413i i f x f x +-≤-=，所以要n x 取得最小值，需尽可能多的()()13i i f x f x +-=，根据函数的周期和解析式得到n x 的最小值. 【详解】解：()()22f x f x +=-，推得()()()4f x f x f x +=-=， 故()f x 最小正周期为4．()()1413i i f x f x +-≤-=，n x 取得最小值，则需尽可能多的i x 取到最高（低）点， 由29929933=以及22x =得：(min)9921199n x =⨯+=．故选：B 【点睛】本题考查函数的周期，最值，图象，解析式的综合应用，意在考查转化与化归的思想，函数性质的灵活应用，属于中高档题型.二、填空题13．已知()()sin 2cos παπα+=-，则2sin (2cos1)2αα-=____________．【答案】25【解析】由诱导公式变形求tan 2α=，再根据三角恒等变形化简求值. 【详解】解：()()sin 2cos παπα+=-可得tan 2α=2sin (2cos 1)sin cos αααα-=222sin cos tan 2sin cos tan 15αααααα===++故答案为：25【点睛】本题考查三角恒等变形，意在考查转化与化归的思想，属于基础题型. 14．已知三棱锥A BCD -所有顶点都在半径为2的球面上，AD ⊥面ABC ，90BAC ∠=︒，2AD =，则三棱锥A BCD -的体积最大值为____________．【答案】2【解析】由条件可知三棱锥可补成长方体，并且求得23AE BC ==，底面22212AB AC BC +==，根据基本不等式可求得AB AC ⋅的最大值和体积的最值.【详解】因为,,AB AC AD 两两垂直，所以三棱锥可补成长方体，底面三角形ABC 可补成长方形ACEB ，连结AE ，DE ，则DE 是长方体的体对角线，也是球的直径，AE 是小圆的直径，如图，4DE =，22232AE DE DA r BC =-===222122AB AC BC AB AC +==≥⋅．则6AB AC ⋅≤，1112326V AB AC AD AB AC =⋅⋅⋅⋅=⨯⋅123AB AC =⨯⋅≤．故答案为：2 【点睛】本题考查三棱锥和球的组合体的综合问题，意在考查空间想象能力，基本不等式解决最值问题，属于中档题型，本题的关键是确定三棱锥可补成长方体，利用长方体的性质和基本不等式求底面的最大值.15．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若对任意()12,,0x x ∈-∞且12x x ≠，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，则不等式()()()110xf x x f x -++<的解集为_________． 【答案】 1|2x x ⎧⎫⎨-⎩>⎬⎭【解析】设函数()()g x xf x =，由条件可知函数()g x 是偶函数，并且在(),0-∞单调递减，不等式等价于()()1g x g x <+，利用函数的性质解抽象不等式. 【详解】解：令()()g x xf x =，由112212()()0x f x x f x x x -<-，得()g x 在()–,0∞为减函数， 且()g x 为偶函数，故()g x 在()0,∞+上为增函数，()()1g x g x <+即(||)(|1|)g x g x <+故|||1|x x <+，解得12x >-， 所以不等式的解集是 1|2x x ⎧⎫⎨-⎩>⎬⎭. 故答案为： 1|2x x ⎧⎫⎨-⎩>⎬⎭【点睛】本题考查判断函数的性质，并且根据函数的奇偶性，单调性，解抽象不等式，意在考查转化与化归的思想，本题的关键是构造函数()()g x xf x =，并判断函数的性质. 16．如图所示，12,F F 为椭圆的左右焦点，过2F 的直线交椭圆于B ．D 两点且222BF F D =，E 为线段1BF 上靠近1F 的四等分点．若对于线段1BF 上的任意点P ，都有11PF PD EF ED ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r成立，则椭圆的离心率为________．3【解析】取1F D 的中点Q ，连EQ ．PQ ．根据向量的加法和减法转化1PF PD ⋅=u u u r u u u r 22114PQ DF -u u u ur u u u u r ，同理221114EF ED EQ DF ⋅=-u u u u r u u u u r u u u r u u u r ，等价于||||PQ EQ ≥u u u r u u u r ，由点P 的任意性判断1EQ BF ⊥，得到1||DF DB =，根据几何关系和椭圆定义得到边长，根据余弦定理建立方程求椭圆的离心率. 【详解】解：取1F D 的中点Q ，连EQ ．PQ ．221111()()4PF PD PF PD PF PD ⎡⎤⋅=+-⎣-⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()22221111444PQ DF PQ DF =-=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ， 同理221114EF ED EQ DF ⋅=-u u u u r u u u u r u u u r u u u r ，11PF PD EF ED ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 恒成立等价于||||PQ EQ ≥u u u r u u u r ， 因为点P 是线段1BF 上的任意一点，故1EQ BF ⊥，得到1||DF DB =， 设2DF x =，则22BF x =，12DF a x =-， 由23a x x -=，得2ax =，12BF BF a ==，132DF a =， 在12F BF V 中，22212224cos 122a c F BF e a-∠==-， 在1DF B V 中，又222133122cos 3322a a a F BD a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⋅所以21123e -=，解得33e =．3【点睛】本题考查求椭圆的离心率，平面向量和几何图形的应用，意在考查转化与化归的思想，数形结合分析问题的能力，推理能力，属于中高档题型，本题的关键是把向量的数量积转化为边长关系，再根据点P 的任意性，进一步得到几何关系.三、解答题17．已知面数()2sin(2)f x x ϕ=+，22ππϕ-<<．（1）当3πϕ=时，求函数()()2sin2g x f x x =+的单调递增区间；（2）若函数()f x 满足()()66f x f x ππ-=+，求ϕ的值 【答案】（1）,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z （2）6π=ϕ【解析】（1）根据三角恒等变形为()326g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直接求函数的单调递增区间；（2）由题意可知函数()f x 关于6x π=对称，代入直接求ϕ的值.【详解】（1）()2sin(2)2sin 223sin(2)36g x x x x ππ=++=+， 当222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈时函数单调递增，即()g x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2）由()()66f x fx ππ-=+得()f x 图像关于6x π=对称故32k ππϕπ+=+．,6k k πϕπ=+∈Z ．又22ππϕ-<<得6π=ϕ． 【点睛】本题考查三角恒等变形，求函数的性质，以及根据函数的性质求参数，意在考查转化与化归的思想，基本能力，属于基础题型. 18．如图在ABC V 中，3BAC π∠=，满足3AD DB =u u u r u u u r．（1）若3B π∠=，求ACD ∠的余弦值；（2）点M 是线段CD 上一点，且满足12AM mAC AB =+u u u u r u u u r u u u r，若ABC V 的面积为23求||AM u u u u r的最小值．【答案】（1）513cos 26ACD ∠=（2）min ||2AM =u u u u r 【解析】（1）设DB a =u u u r ，则||3AD a =uuu r，在ACD V 和BCD V 中利用余弦定理求CD ，再在ACD V 中利用余弦定理求cos ACD ∠；或是设ACD θ∠=，在ACD V 和BCD V 中利用正弦定理，建立等量关系求ACD ∠的余弦值；（2）利用C 、M 、D 三点共线，求得13m =，再根据三角形的面积求得||||8AB AC ⋅=u u u r u u u r ，根据向量数量积求221132AM AC AB ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u u u r u u u r u u u r ，展开后利用基本不等式求最小值.【详解】（1）由题意可设DB a =u u u r ，则||3AD a =uuu r ．在ACD V 中有：2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠① 在BCD V 中有：2222cos BC DB GD DB CD BDC =+-⋅∠②3+⋅①②可得2213CD a =，在ACD V 中有：2322cos AD AC CD AD CD ACD =+-⋅∠，解得cos ACD ∠=或解：由题意可设ACD θ∠=， 在△ACD 中：sin sin60AD CDθ=︒① 在BCD V 中：sin(60)sin 60DB CDθ=︒-︒②由①，②可得()3sin 60sin θθ︒-=，解得tan 5θ=，故cos 26θ=． （2）1223AM mAC AB mAC AD =+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，且C 、M 、D 三点共线，所以13m =，1||||22ABCS AB AC =⋅⋅=V u u u r u u u r ， 故||||8AB AC ⋅=u u u r u u u r．22221111132943AM AC AB AC AB AC AB ⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭u u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r224116||439||AC AC =++≥u u u r u u ur当且仅当||AC =uuu rmin ||2AM =u u u u r ．【点睛】本题考查解三角形，平面向量，基本不等式求最值的综合应用，主要考查了方程的思想，转化与化归的思想，计算能力，本题的难点是结合条件，分析图形，转化为数学问题.19．已知数列{}n a 的前n 项和记为n S ，12a =且()*1(2)n n na n S n +=+∈N ．（1）求数列{}n S 的前n 项和n T ； （2）数列{}n b 的通项公式(1)2nn n S b n =+，证明1321121n b b b n -⋅<+L【答案】（1）1(1)22n n T n +=-⋅+ （2）证明见解析【解析】（1）首先条件变形为()1(2)n n n n S S n S +-=+，变形后可得n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，求2nn S n =⋅，并且利用错位相减法求和； （2）由（1）可知1n n b n =+，证法一，首先212n n -2121n n -+等式； 证法二，1n n +2nn +，再求乘积证明不等式； 【详解】（1）由*1(2),n n na n S n +=+∈N ， 可得()1(2)n n n n S S n S +-=+， 即*12,1n n S Sn n n+=∈+N ， 所以11221n n n S S n -=⋅=，故2n n S n =⋅ 1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅L ①234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ②①-②得：1231122222nn n T n +-=⨯++++-⋅L1(1)22n n T n +∴=-⋅+．（2）2(1)2(1)21n n n n n S n nb n n n ⋅===++⋅+ 证法一：222221(21)(21)212(2)(2)121n n n n n n n n --+-=<=-+Q 1321132113211242352121n n n b b b n n n ---∴⋅⇒⨯⨯⨯<⨯⨯=++L L L ． 证法二（参照给分）：1111122nn n n n nn n n n n n +=⋅<⋅=++++++Q，1321132113211242352121n n n b b b n n n ---∴⋅=⨯⨯⨯<⋅=++L L L ．【点睛】本题考查递推公式求通项公式，错位相减法求和，利用不等式放缩证明不等式，意在考查推理证明，转化与化归，第二问是本题的难点，放缩法是证明不等式的常用方法. 20．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，侧面PAD 与底面ABCD所成的角为120︒，PAD △是等边三角形，点P 到平面ABCD 距离为32．（1）证明：AD PB ⊥；（2）求二面角A PB C --余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）27【解析】（1）要证明线线垂直，可转化为证明线面垂直，取AD 中点E ，即证明AD ⊥平面PBE ；（2）由几何体的关系，得到如图所示的空间直角坐标系，设PB 的中点为G ，由（1）可知,AG BC 都与交线垂直，GA u u u r 与BC uuu r的夹角θ为所求二面角的平面角.【详解】（1）取AD 中点E ，则由已知得BE AD AD PE AD ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面PBE AD PB ⇒⊥（2）AD PBE AD ABCD ⊥⎫⇒⎬⊂⎭平面平面平面ABCD ⊥平面PBE ，又平面PBE ⋂平面ABCD BE =．过P 作PO BE ⊥交BE 的延长线于O ，则PO ⊥面ABCD ， 由题可得到60PEO ∠=︒建立如图所示直角坐标系，设PB 的中点为G ，则3(0,0,)2P ，33B ，PB 中点333)4G 连接AG ，32A ，33(2,2C -，33(1,)44GA =--u u u r ， 333(0,)22PB =-u u u r ，(2,0,0)BC =-u u u r于是0GA PB ⋅=u u u r u u u r ，0BC PB ⋅=u u u r u u u r，GA u u u r 与BC uuu r 的夹角θ为所求二面角的平面角，则27cos 7||||GA BC GA BC θ⋅==-u u u r u u u ru u u r u u u r ．【点睛】本题考查线线垂直的证明，二面角的求解，意在考查推理证明，空间直角坐标系解决空间角，属于中档题型，本题的第二问是用空间直角坐标的方法解决二面角，一般都是要求两个平面的法向量，但这个题不用，而是有和交线垂直的线，所以GA u u u r 与BC uuu r的夹角表示二面角.21．如图，已知椭圆E 的右焦点为()21,0F ，P ．Q 为椭圆上的两个动点，2PQF V 周长的最大值为8．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）记椭圆E 的左焦点为1F ，过2F 作直线l 与椭圆交于不同两点M ．N ，求1F MN △面积取最大值时的直线l 方程．【答案】（1）22143x y += （2）1x =【解析】首先表示2PQF V 的周长，并利用定义转化求周长的最值，求解方程； （2）可设直线:1l x my =+，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示1F MN △的面积，并通过换元法和基本不等式求最值. 【详解】（1）取左焦点()–1,0F ，2PQF V 的周长为：2121||22||PF QF PQ a PF a QF PQ ++=-+-+()114||a PF QF PQ =-+-4a ≤（三点P ，Q ．1F 共线时取等号）， 由48a =，2a =，椭圆E 的方程：22143x y +=.（2）可设直线:1l x my =+221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=， 122634my y m -+=+，122934y y m -=+ ()12212121212112142MF Nm S F F y y y y y y +=-=+-=V令21(1)t m t =+≥，13y t t=+在[)1,+∞单调递增， 12313S t t=≤+，1MN F S V 最大值为3，此时0m =，所以直线的方程为1x =．【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.22．已知函数()xf x e x a =--，对于(),0x f x ∀∈≥R 恒成立．（1）求实数a 的取值范围；（2）当实数a 取最大值时，函数211()()(1sin 2)22g x f x x x x =----．当实数12x x ≠，若()()122g x g x +=，求证：120x x +<．【答案】（1）1a ≤ （2）证明见解析【解析】（1）由不等式恒成立转化为参变分离x a e x ≤-恒成立，构造函数()x h x e x =-，利用导数求函数的最小值，求a 的取值范围；（2）由（1）可知211()sin 222x g x x x e =-+，通过构造函数()()()–Q x g x g x =+，利用导数证明()Q x 单调递增，且()02Q =，由()01g =及()g x 为单调递增函数，()()122g x g x +=，则12,x x 异号，再设20x >，则()()202Q x Q >=，逐步证明.【详解】（1）0x e x a --≥恒成立，x a e x ≤-恒成立，令()x h x e x =-，()1xh x e '=-， 0x >，()0h x '>，()h x 单调递增，0x <，()0h x '<，()h x 单调递减，min ()(0)1h x h ==，故1a ≤．（2）211()sin 222x g x x x e =-+， cos (2)1cos20x g x e x x x '=-+≥+≥，()g x 单调递增，且()01g =．令()()()–Q x g x g x =+， 则221111()sin 2sin 22222x x Q x x x e x x e -=-+--+ 2x x e e x -=+-令()e e 2()x x Q x x h x -'=--=，()e e 20x x h x -'=+-≥．()h x 单调递增，()00h =，故当0x >时，()0Q x '>，所以()Q x 单调递增，且()02Q =．由()01g =及()g x 为单调递增函数，()()122g x g x +=，则12,x x 异号，不妨设20x >，则()()202Q x Q >=，即()()222g x g x +->，()()2212()g x g x g x ->-=()g x 为单调递增函数，故12x x ->，210x x +<．【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，恒成立的综合问题，重点考查了转化思想，构造函数思想，逻辑推理能力，属于难题，本题第二问的关键和难点是构造函数()()()=+，由函数的单调性和零点转化为自变量的大小关系.–Q x g x g x。
安徽省江南十校2020届高三第二次联考理科数学
江南十校2020届高三第二次联考
数学（理科）
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
小值．
（1）证明：AD PB ⊥；
（2）求二面角A PB C --余弦值． 21．（本小题满分12分）
如图，已知椭圆E 的右焦点为()21,0F ，P ．Q 为椭圆上的两个动点，2PQF V 周长的最大值为8． （1）求椭圆E 的标准方程；
（2）记椭圆E 的左焦点为1F ，过2F 作直线l 与椭圆交于不同两点M ．N ，求1F MN V 面积取最大值时
的直线l 方程．
22．（本小题满分12分）
已知函数()x f x e x a =--，对于(),0x f x ∀∈≥R 恒成立． （1）求实数a 的取值范围；
()()122g x g x +=，求证：120x x +<．
江南十校2020届高三第二次联考 数学（理科）试题参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．答案：D
解析：解得{}|0U y y =>，{}12|A x x =<<，
故()[)0,12,U A =⋃+∞ð．
10．答案：C
解析：构造长方体1111ABCD A B C D -，使MN 与1BD 重合．
设长方体长、宽、高分别为x ，y ，z ， 则2
2
2
1x y z ++=．。
安徽省江淮十校2024届高三11月第二次联考试题数学试卷及答案
2023.11江淮十校2024届高三第二次联考数学试题注意事项：1本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1已知为虚数单位，复数z满足z (l + 2i )-1 +i =0,则；＝1 3._ 1 3._ 1 3... 1 3B.－－+－1C.-＋－1555555552已知集合A={xeZ 忙－3<0}，集合B=｛Y I Y=2x ,XE A }，则A 「B =A.(0，石）B.{1,2}c.{1,0}o .{l }3已知点G是6.ABC 的重心，GA=a,GB=b,则BC=A.a+2bB.2a+bc.-2a -b D.-a-2b4已知幕函数f(x)＝（矿－5m+5)义”一2是R 上的偶函数，且函数g (x )= f (x)-(2a -6)x在区间[1,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是A.（女，4)B.(-00,4]c.[6，如）D （女，4］....[6，如）5已知等差数列{a,,}的前n项和为S,＇，若＆＝4a 2 -4, S 5 = 65,则使S,,>0成立的n的最大值为A.16B.17C.18D.196已知角0为第二象限角，且满足sin (e －气］•s i n（冗＋0)=cos20,则tan0=A.石－扣2打-2石BC.一石－汇2 D.一石－打27．在正四棱台ABCD-A,B,C 1D 1中，CD=2C,队＝2,点0是底面ABCD的中心，若该四棱台的侧面积为顷，则异面宜线0C 1与BB 1所成角的余弦值为7 3 5扣A -B . -C . -D —8 4888已知函数f(x)＝｛臣－11,x,,l，若函数y=f(x)-a(aeR)有四个不同的零点斗，x,'x,'x,且压（x -1)1,x >1x < X i < X 3 < X 4'则（2"'+2"')a+1的取值范围是伈－l )(x 4-l)a A.(0,3)B.[2✓2,3) c.[ 2石，＋OO ） D (3，如）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．冗冗9已知X,YE (－了万）且sinx>s iny,则下列不等关系一定成立的是A.lg(x-y)>O B (i)x <（i)y C.x 2> y2D.tan(兀+x)>tany10在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，儿'\=2AB, E, F分别为棱AB,CC 1的中点，则下列判断正确的是A且线EF与宜线DD 1互为异面宜线B.B 1D.l平面D 1EFC 平面D l EF截该四棱柱得到的截面是五边形D平面D l EF与棱BC的交点是棱BC的中点l)将函数y = s in2wx(O < w < l )的图象向左平移工－个单位可得到函数y=f(x)的图象，若y=f(x)在区6m 间（冗，2兀）内有最值，则实数0的取值范围可能为A（古告）B［会令）C（如五）D（且］）n+3l2已知数列{a,，}的前n项和为S,｝，且S,,＝l2-—,n为奇数2 一，n为偶数A.a lO =-11B当n为奇数时，a,,=-n-1c．当n为偶数时，a,,=n+lD数列｛的前n项和等千－a,a1+l } 2(n+2)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分则下列判断正确的是13已知平面向量a,b满足a=(l,2)，叫＝2,a.1(a+2E)，则向量a,b夹角的余弦值为14已知a>-1,b>O且2a+b=2,则a+2b+l 4＋－的最小值为a+l bl5内接于球0的四棱锥P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形，四条侧棱均相等，AB/I CD, AB=4, CD=2, AD＝而，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为工，则球0的表面积为16设正整数n满足不等式(1+log22023)加1> (ln)1o g,202J,则n的最小值等千四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）( )｝，函数f(x)=2✓3已知梊合A=｛正＋釭－3矿，，O(a> o)}, jigJ� f(x) =s inxcos.x+2co s2x(x E R)的值域为梊合B （l)当a=2时，求A�B;(2)若“XEA"是“XEB"的充分不必要条件，求正数a的取值范围18.（本小题满分12分）已知函数f(x)=m x+l _2（其中m>O且m司，n>O)是奇函数m-'+n（l)求m,n的值并判断函数y=f(x)的单调性；(2)已知二次函数g(x)=ax2 +bx+c满足g(2+x)=g(2-x)，且其最小值为－3若对Vx1E[-1,2)，都还心］，使得瓜）＝g(l og凸）成立，求实数a的取值范围19（本小题满分12分）在锐角L::,ABC中，角A,B, C所对的边分别为a,b, c, 0为其外接圆的圆心，了5．冗8=8'叫上十上尸tanA tanB J b(I)求A的大小；(2)若CE[巴卫］，求边长b的最值．4 320.（本小题满分12分）冗如图(1)，在边长为4的菱形ABCD中，乙BAD=－，点E是边BC的中点，连DE交对角线AC千点F,3将i:::,.ABD沿对角线BD折起得到如图(2)所示的三棱锥P-BCD1(I)点G是边PD上一点且PG=-G D，连FG,求证：FG/／平面PBC;22冗(2)若二面角P-BD-C的大小为一－，求二而角P-DE-C的正弦值3Cc。