高中数学 考点49 随机事件的概率、古典概型、几何概型(含高考试题)新人教A版

考点49 随机事件的概率、古典概型、几何概型一、选择题1. （2013·四川高考理科·Ｔ9）节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 ( ) A.14 B. 12 C. 34 D. 78【解题指南】本题考查的是几何概型问题,首先明确两串彩灯开始亮是通电后4秒内任一时刻等可能发生,第一次闪亮相互独立,而满足要求的是两串彩灯第一次闪亮的时刻相差不超过2秒.【解析】选C.由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且在通电后4秒内任一时刻等可能发生,所以总的基本事件为如图所示的正方形的面积,而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件为如图所示的阴影部分的面积,根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是123164，故选C.2.（2013·安徽高考文科·Ｔ5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 （ ）A.23B.25C. 35D.910【解题指南】 以甲、乙为选择对象分情况考虑，先组合再求概率。

【解析】选D.当甲、乙两人中仅有一人被录用时的概率2313536=22=1010C P C ??；当甲、乙两人都被录用时的概率132353=10C P C =，所以所求概率为12369+P =101010P P =+=。

3.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） A.12B.13C.14D.16【解析】选B.从1，2，3，4中任取2个不同的数有6种，取出的2个数之差的绝对值为2有2种，则概率3162==P . 4. （2013·陕西高考理科·Ｔ5）如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是 ( )A ． 14π-B. 12π-C ． 22π-D.4π【解题指南】几何概型面积型的概率为随机事件所占有的面积和基本事件所占有的面积的比值求出该几何概型的概率.【解析】选A.由题设可知，矩形ABCD 的面积为2，曲边形DEBF 的面积为22π-，故所求概率为.41222ππ-=-5.（2013·江西高考文科·Ｔ4）集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（ ）A.23 B. 12C. 13D.16【解题指南】属于古典概型，列举出所有的结果是关键.【解析】选C.所有的结果为（2,1），（2,2），(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共6种，满足所求事件的有2种，所以所求概率为13.6. （2013·湖南高考文科·Ｔ9）.已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为21，则AD AB=（ ） A.12 B.14【解题指南】本题的关键是找出使△APB 的最大边是AB 的临界条件，首先是确定AD<AB,然后作出矩形ABCD ，最后分别以A 、B 为圆心以AB 为半径作圆弧交CD 于F 、E ，当EF=21CD 时满足题意。

【解析】选D ，如图，在矩形ABCD 中，以AB 为半径作圆交CD 分别于E,F,当点P 在线段EF 上运动时满足题设要求，所以E 、F 为CD 的四等分点，设4=AB ，则4,3===AB AF DF 在直角三角形ADF中， 722=-=DF AF AD ，所以47=AB AD . 二、填空题7.(2013·浙江高考文科·T12)从3男3女6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均相等),则2名都是女同学的概率等于 . 【解题指南】根据概率的知识求解.【解析】232631155C P C ===.【答案】15. 8.（2013·上海高考理科·T8）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）【解析】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913118-=C C ．【答案】1318. 9.（2013·上海高考文科·T11）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）.【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。

个个，共有个数中任取个偶数共个奇数和从21273427=C.62224个个数分别为奇数，共有个数之积为奇数=⇒C752161122724=-=-=C C P 个数之积为偶数的概率所以【答案】75.10. (2013·江苏高考数学科·T7)现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m,n(m ≤7,n ≤9)可以任意选取,则m,n 都取到奇数的概率为 .【解题指南】先计算所有的结果数再计算事件所含结果数,利用古典概型概率公式求得. 【解析】所有的情况数为7×9=63,都取到奇数的情况数为4×5=20,所以m,n 都取到奇数的概率为2063. 【答案】2063.11.（2013·福建高考理科·Ｔ11）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a -1>0”的概率为_______【解题指南】对于几何概型，一个变量是长度，两个变量是面积。

【解析】设事件A ：“310a ->”，则1(,1]3a ∈，所以1123()13P A -== 【答案】23. 12.（2013·福建高考文科·Ｔ14）利用计算机产生01,之间的均匀随机数则事件a “3a-1<0”发生的概率为 .【解题指南】对于几何概型，一个变量是长度，两个变量是面积。

【解析】设事件A ：“310a -<”，则1[0,)3a ∈，所以1013()13P A -== 【答案】13. 13. （2013·湖北高考文科·Ｔ15）在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56，则m = . 【解题指南】解绝对值不等式,根据几何概型利用区间长度之比求解. 【解析】由|x |≤m ，得-m ≤x ≤m ，当m ≤2时,由题意2566m =，m=2.5矛盾,舍去;当2<m<4时,由题意得(2)5,66m --= 解得m=3. 【答案】3.14. （2013·山东高考理科·Ｔ14）在区间[-3,3]上随机取一个数x ，使得 |x+1 |- |x-2 |≥1成立的概率为__________.【解题指南】 可先定义新函数()12f x x x =+--，然后根据分段函数的特点将问题转化为几何概型问题.【解析】设()12f x x x =+--，则3,31()1221,123,23x f x x x x x x --≤≤-⎧⎪=+--=--<<⎨⎪≤≤⎩.由211x -≥，解得12x ≤<，即当13x ≤≤时，()1f x ≥.由几何概型公式得所求概率为31213(3)63-==--.【答案】31. 15.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T14)从n 个正整数1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n= . 【解题指南】表示出两数之和等于5的概率,并建立方程,利用组合数的计算公式,解方程求得n.【解析】从n 个正整数1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,所有的取法有2n C 种,而取出的两数之和等于5的取法只有两种,即(1,4),(2,3),所以其概率为22114n C =,即n 2-n-56=0,所以n=8. 【答案】8.16. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ13）从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是_______.【解题指南】列举基本事件总数，从中找出和为5的情况，两者作比即可得概率.【解析】从5个正整数中任意取出两个不同的数，有10种，若取出的两数之和等于5，则有(1,4),(2,3)，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为21105=。

【答案】15. 三、解答题17. （2013·辽宁高考文科·Ｔ19）现有6道题，其中其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答. 试求：()I 所取的2道题都是甲类题的概率；()II 所取的2道题不是同一类题的概率；【解题指南】利用列举法，弄清楚基本事件总数和所求的事件A 包含的基本事件数，利用古典概型的公式计算概率【解析】()I 将4道甲类题依次编号为1,2,3,4，2道乙类题依次编号为5,6．任取2道题的基本事件为{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,21,31,41,51,62,32,42,52,6，，，，，，，，，{}{}{}3,43,53,6，，，{}{}{}4,54,65,6，，共有15个；并且这些基本事件的出现是等可能的，记事件A=“张同学所取的２道题都是甲类题”；则Ａ包含的基本事件有{}{}{}{}{}{}1,21,31,42,32,43,4，，，，，共６个，所以62 ().155 P A==()II基本事件同()I．记事件B=“张同学所取的２道题不是同一类题”，则Ｂ包含的基本事件有{}{}{}{}{}{}{}{}1,51,62,52,63,53,64,54,6，，，，，，，共８个，所以8 ().15 P B=18.(2013·天津高考文科·T15)某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z 评价该产品的等级.若S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率.(2)在该样品的一等品中,随机抽取2件产品,①用产品编号列出所有可能的结果;②设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.【解题指南】(1)先计算表格中各样本的综合指标,再计算其中一等品所占比例来估计该批产品的一等品率.(2)逐一列举,找出符合条件的结果,利用古典概型计算概率.【解析】(1)计算10件产品的综合指标S,如下表其中S≤4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为10=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A7),(A1,A9),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A7),(A2,A9),(A4,A5),(A4,A7),( A4,A9),(A5,A7),(A5,A9),(A7,A9),共15种.②在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7,则事件B发生的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A5),(A1,A7),(A2,A5),(A2,A7),(A5,A7),共6种.所以62().155P B == 19. （2013·湖南高考文科·Ｔ18）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。