混凝土阻抗谱的Nichols表示

混凝土阻抗谱的Nichols 表示史美伦 陈志源 孙 剑(同济大学混凝土材料研究国家重点实验室)摘要:提出一种以对数模和相角表示交流阻抗谱的新方法,对于分析系统的相对稳定性十分有效,以不同水灰比的水泥浆体的实例对此进行了说明.关键词:混凝土阻抗谱;Nichols 图;相对稳定性分析中图法分类号:TU 5收稿日期:1998 09 16.第一作者:男,1939年生,研究员.同济大学混凝土材料研究国家重点实验室,上海,200092. 混凝土阻抗随频率的变化可以用复变函数来表示.根据复数的两种表示方法,常用Bode 图来表示复数模(幅值)和相角随频率的变化(图1),用Nyquist 图把随频率变化的复数表示在一复平面图上,前者较直观地显示了模和相角对频率的关系,后者更有利于显示等效电路及过程的本质.迄今为止用得较少的是Nichols 图,它以相角为横坐标,模的对数为纵坐标,一方面它可以看成是把两张Bode 图合为一张,另一方面,由于Nyquist 图也可以看成是极坐标图(图2(a)),因此Nichols 图可看成是Nyquist 图的一种变换(图2(b)).由于在进行体系的相对稳定性分析时Nichols 图有特殊的应用,因此,本文对它的特性及应用进行讨论.另外,应用阻抗谱来进行材料设计时,用Nichols 图更为方便,对此,笔者将另文进行讨论.图1 混凝土的典型Bode 图Fig.1 Bodes plot of typical concr ete specimen(a)log magnitude v s log frequency;(b)Phase degree v s log frequency1 Nichols 表示1.1 阻抗函数的Nichols 表示阻抗函数Z(i )一般可表示为Z(i )=Z ( )-i Z !( ),或者指数形式Z (i )=|Z |e i .它们之间的关系是|Z |=(Z )2+(Z !)2(1) =tg -1(Z !/Z )(2)Z(i )=(Z )2+(Z !)2exp [i tg -1(Z !/Z )](3)第2卷第2期1999年6月建 筑 材 料 学 报JOU RN AL OF BU ILD ING MA T ER IAL S V ol.2No.2Jun.1999图2 Nyquist 图和N ichols 图的对应关系Fig.2 Ny quist plot and its corresponding Nichols plot(a)Point in Nyquist plot;(b )T he corresponding point in Nichols plot 阻抗函数的Nichols 表示有如下性质:1.对于Z(i )和Y(i )=1/Z(i )由于 |Y (i )|=-|Z(i )|,及相角 Y =- Z所以,Z (i )和Y(i )的Nichols 图对原点是斜对称的.2.如果阻抗函数Z(i )=|Z |e i 可表示成两个阻抗函数Z 1(i )和Z 2(i )的乘积,由于Z 1(i )=|Z 1|e i 1Z 2(i )=|Z 2|e i 2(4)则lg |Z (i )|=lg |Z 1|+lg |Z 2|= 1+ 2(5)也就是说,Nichols 图是有加和性的.假定Z(i )的一般形式为Z(i )=K j (1+i T j )p j(6)式中j =0,1,2,∀,n;-1#p #1.考虑最简单的情况,即Z 1(i )=1/(1+i T ),Z 2(i )=1+i T ,其Nichols 图如图3所示.阻容并联电路Z (i )=R p /(1+i R p C p ),其Nichels 图如图4所示,与图3的差别仅在于图形沿纵轴平移了lg R p.图3 1/(1+i T )和(1+i T )的N ichols 图F ig.3 N ichols plot of factors 1/(1+i T )and (1+i T )(a )1/(1+i T );(b )(1+i T)图4 阻容并联电路的N ichols 图F ig.4 N ichols plot of a cir cuit of RC in parallel简单的串并联电路R s [R p C p ]的阻抗函数Z(i )=R s +R p /(1+i R p C p )(7)可表示为Z(i )=(R s +R p )(1+iR s R p C p R s +R p )1+i R p C p (8)与式(6)相比较K =R s +R p ,T 1=R p C p ,p 1=-1,T 2=R s R p C p R s +R p,p 2=1其Nichols 图如图5所示.Randles 情况的解析表达式为111 第2期史美伦等:混凝土阻抗谱的Nichols 表示图5 式(7)和式(8)的Nichols 图F ig.5 N ichols plot of formulas (7)and (8)Z (i )=R s +Z F 1+i Z F C d (9)其中Z F =R ct +Z W Z W =! -1/2(1-i )(10)其高频极限为Z (i )=R s +R ct /(1+i R ct C d )(11)其Nichols 图同图5.其低频极限为Z !=Z -R s -R ct -2!2C d (12)其Nichols 图如图6所示.因此,典型Randles 情况的N ichols 图如图7所示.1.2 混凝土的典型Nichols 图图8为典型的混凝土Nyquist 图和Nichols 图.其形状类似于Randles 情形(图7).图9为Nyquist 图中呈现两个半圆的混凝土试样对应的Nichols 图,图中亦见呈现两个峰。

2 在相对稳定性分析中的应用应用复变函数论的Nyquist 判据判断系统的稳定性的方法详见本期105页.在该文中仅对系统是否稳定进行了讨论,而未涉及系统的稳定程度,这一问题可用Nichols 表示来进行讨论.图6 式(12)的Nichols 图Fig.6 Nichols plot of for mula (12)图7 Randles 情况的Nichols 图Fig.7 Nichols plot of R andlescase图8 混凝土的典型Nyquist 图及与其对应的N ichols 图F ig.8 N yquist plot of typical concrete and its Nicho ls co rrespondence(a)Nyquist plot;(b)Corresponding Ni chols plot由于混凝土的阻抗函数Z (i )一般可表示为[1]112 建 筑 材 料 学 报第2卷Z(i )=H(i )/(1+G(i ))(13)为了简便起见,一般只需讨论G(i )的稳定性便可.必须注意的是,在讨论G(i )时,Nyquist判据中包围原点的次数应改为包围(-1+i0)点的次数.若G(i )的一般形式为G(i )=K(i )-∀j(1+i T j)n j(14)其中-1#n j#1,则其Nyquist图的形状与增益K有关(图10).图9 呈现两个半圆的Nyquist图及其对应的N ichols图Fig.9 N yquist plot in which there ex ist two semicir cles and its Nichols cor respondence(a)Nyquist plot in w hich there exist tw o semicircles;(b)Correspon ding Nichols plot in w hich there exist tw o peaks图10 不同增益K的Nyquist图Fig.10 Nyquist plot of systemwith different g ains从图10可见,以(-1+i0)点为界,大K值G(i )轨迹在左方,系统不稳定,小K值G(i )轨迹在右方,系统稳定,通过(-1+i0)点的G(i )的系统发生振荡.因此,可用G(i )轨迹对(-1+i0)点的靠近程度作为相对稳定性的度量.但是,对于大多数情形,Nyquist图并不象图10那样显而易见,因此,必须寻找普遍适用的方法,Nichols表示解决了这一问题.令|G(i )|等于1时的频率为增益交界频率,在此频率时,使系统达到不稳定所需附加的相位滞后量称为相位裕量#,#=180∃+ (15)为G(i )在增益交界频率上的相角.由本期另文%复变函数论在混凝土性能研究中的应用&(105页)已知,Nyquist图可用于判断系统的稳定性.在Nyquist图上,从原点到G(i )轨迹与单位圆的交点可作一直线,从负实轴到这条直线的夹角便是相位裕量.当#>0时,相位裕量为正值;#<0时,相位裕量为负值,为了使最小相位系统稳定,相位裕量必须为正值.增益裕量:在相位为-180∃的频率上,|G(i )|的倒数称为增益裕量.G(i )的相角等于-180∃时的频率 1称为相位交界频率.根据相位交界频率,可求得增益裕量K g为K g=1/|G(i )|(16)当K g为正时,系统稳定;K g为负时,系统不稳定.图11为稳定和不稳定的系统的Nyquist图和Nichols图.从图中可见,Nichols表示可以方便地用于相对稳定性分析:即对于稳定系统来说,它离不稳定的临界点有多远;对于不稳定系统来说,它的不稳定程度有多少.下面仍举参考文献[1]中不同水灰比水泥浆体的例子说明这一问题.G(i )的Nyquist图参见文献[1],下面仅讨论其N ichols表示(图12).从图12可见,水灰比为0.8试块的G(i )有正的相位裕量和增益裕量,为稳定系统;水灰比为0.2试块的相位裕量和增益裕量均为负值,为不稳定系统.从相位裕量和增益裕量的值可以了解系统的相对稳定程度.113第2期史美伦等:混凝土阻抗谱的Nichols表示图11 稳定系统和不稳定系统的N yquist 图和N ichols 图F ig.11 Nyquist and N ichols plots of stable and unstable systems(a)Nyqui st plot of stable s ystem wh ere the gain margin 1/K g and phase margin #are positive;(b)Nyquist plot of unstable system w here the gai n margin 1/K g and phase margin #are negative;(c)Nichols plot of stable system;(d)Nichols plot of unstable system(a)(b )图12 不同水灰比的水泥浆体的N ichols 图Fig.12 N ichols plot of cement paste w ith different ratio of water to cement(a)m w /m c =0.8;(b )m w /m c =0.23 结论交流阻抗谱可以用模的对数对相角作图来表示,称为Nichols 表示.Nichols 表示特别适用于形象地判断混凝土系统的相对稳定性.参考文献1 Dorf R C.M odern control systems.Readi ng M ass:Addison Wes ley,1981114 建 筑 材 料 学 报第2卷Nichols Representation of Impedance Spectroscopy of ConcreteShi Meilun Chen Zhiy uan S un J ian(State Key Laboratory of Concrete Materials Research,Tongji University,Shanghai,200092)Abstract:Nichols representation,plex plane diagram of modules against phase angle has been introduced to represent the impedance spectra of concrete.It has been show n that the representation is especially useful in the estim ation of relative stability of concrete systems.Key words:AC impedane spectroscopy of concrete;Nichols representation;relative stability∋无机非金属材料实验(教材出版由同济大学材料科学与工程学院无机材料系教师施惠生主编的∋无机非金属材料实验(一书,日前已由同济大学出版社正式出版,并由新华书店上海发行所公开发行.该书编写过程中,充分吸取了本学科国内外的新成就和我国有关的新标准、新规范,并考虑了我国标准向国际标准靠拢和接轨的趋势,广泛采纳了来自教学、科研、生产第一线的专家、学者和工程技术人员的意见,使之更适合现代社会的知识需求和宽口径专业的教学要求.该书作为一本面向21世纪的宽口径的无机非金属材料专业用实验教材,在内容选择上以常规和基本实验为主,选编了与无机非金属材料有关的65个实验,包括材料性能的检测、材料制备过程中一些工艺参数的测定,以及与材料工程相关的部分热工基础实验.该书专业面广,涉及到无机非金属材料的众多领域,包括胶凝材料、建筑结构与功能材料、玻璃与陶瓷材料、材料工程热工基础等各个方面.书末还收录了该书引用和涉及的有关标准的目录,便于读者参阅和查找.该书可作为高等学校无机非金属材料、材料科学与工程、建筑材料、硅酸盐工程、硅酸盐工艺、混凝土制品、材料性能检测等专业或专业方向的教材及教学参考书,也可供从事与无机非金属材料有关的设计、生产、施工、管理、监理等各类工程技术人员参考.(施惠生 供稿)115第2期史美伦等:混凝土阻抗谱的Nichols 表示。