北京某重点中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学(文)试题(无答案)
[高二数学上学期期末试题]北京市朝阳区2012-2013学年高二上学期期末考试文科数学
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北京市朝阳区2012～2013学年度高二年级第一学期期末统一考试
数学文科试卷
2013.1
(考试时间l00分钟满分l00分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项，填涂在机读卡上)
1．已知命题:,sin 0p x
R x ，下列说法正确的是A ．
:,sin 0p x R x ．B ．
:,sin 0p x R x ．C ．00
:,sin 0p x R x ．D ．00
:,sin 0p x R x ．2．已知抛物线y 2=2px(p>0)上横坐标为6的点到焦点的距离是8，则P 的值为
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16 3．过坐标原点且与圆x 2+(y-2)2=3相切的直线的斜率为
A ．±3
3
B ．±l
C ．±3
D ．±2 4．若21
'()
f x x ，则函数()f x 可以是A ．1
x x B ．1x C ．31
3x D ．lnx 5．已知点P(x ，y)为圆C ：x 2+y 2-6x+8=0上的一点，则x 2+y 2的最大值是
A ．2
B ．4
C ．9
D ．16
6．已知直线l 和不重合的两个平面
，，且l ，有下面四个命题：①若l ∥
，则∥；②若∥，则l ∥；
③若l ，则；④若，则l 其中真命题的序号是
A ．①②
B ．②③
C ．②③④
D ．①④
7．空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的
表面积为
A ．32+1010
B ．20+510。
北京四中11-12学年高二上学期期末测试(数学文)word版
北京市四中2011-2012学年上学期高二年级期末测验数学试卷（文科）（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）卷（I ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1. 抛物线x y 82=的焦点坐标为A. （1，0）B. （0，1）C. （2，0）D. （0，2） 2. 若b a ,为异面直线，直线a c ∥，则c 与b 的位置关系是A. 相交B. 异面C. 平行D. 异面或相交3. 设条件甲为“50<<x ”，条件乙为“3|2|<-x ”，则甲是乙的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若双曲线()013222>=-a y ax 的离心率为2，则a 等于 A. 2 B. 3 C. 23 D. 15. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. 2B. 1C. 32D. 31 6. 已知△ABC 的顶点B ，C 均在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是A. 32B. 6C. 34D. 12 7. 过点（2，4），与抛物线x y 82=有且仅有一个公共点的直线有A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条8. 双曲线8822=-ky kx 的一个焦点是（0，3），那么k 的值是 A. －1 B. 1 C. 365- D. 365 9. 已知直线n m l ,,和平面βα,，在下列命题中真命题是A. 若α内有无数多条直线垂直于β内的一条直线，则βα⊥B. 若α内有不共线的三点到β的距离相等，则βα∥C. 若m l ,是两条相交直线，α∥l ，m n l n m ⊥⊥,,且∥α，则α⊥nD. 若m l m l ∥则∥∥∥,,,βαβα10. 过抛物线()022>=p px y 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p 的值是A. 2B. 4C. 58D. 916 11. 在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面C C BB 11内一动点，若点P 到直线BC 的距离与点P 到直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是A. 直线B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线12. 直线12--=k kx y 与曲线2421x y -=有公共点，则k 的取值范围是 A. ()+∞--∞,0]41,( B . ]41,(--∞ C. ),41[+∞- D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-,21二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13. 一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是________。
2012-2013学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷(文科)
2012-2013学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.3．（4分）下列四个点中，在不等式组所表示的平面区域内的点是（）4．（4分）已知数列{a n}满足，则（）5．（4分）“a2＞1”是“方程+y2=1表示椭圆”的（）2D7．（4分）已知点P为椭圆C：上动点，F1，F2分别是椭圆C的焦点，则|PF1|．|PF2|的最大值为（）D8．（4分）设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分]，）[，[）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）双曲线的渐近线方程为_________．10．（4分）命题p：∀a，b∈R，a2+b2≥2ab，则命题￢p是_________．11．（4分）满足不等式x2+2x＞0的x的取值范围为_________．12．（4分）已知F1，F2分别为椭圆C：（b＞0）的左、右焦点，A为椭圆C的短轴的一个端点，若△AF1F2为正三角形，则b=_________．13．（4分）设x∈R，x≠0．给出下面4个式子：①x2+1；②x2﹣2x+2；③x+；④x2+．其中恒大于1的是_________．（写出所有满足条件的式子的序号）14．（4分）已知数列{a n}满足a n+1=且a1=1，则a3﹣a1=_________；若设b n=a2n+2﹣a2n，则数列{b n}的通项公式为_________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知A（2，0），B（0，1）为椭圆C：=1（a＞b＞0）上的两点，P（x，y）为椭圆C上的动点，O为坐标原点．（I）求椭圆C的方程；（II）将|OP|表示为x的函数，并求|OP|的取值范围．16．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=10n﹣n2（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求S n的最大值；（III）设b n=|a n|，求数列{b n}的前n项和T n．17．（10分）已知函数f（x）=（x﹣2a）（x﹣a﹣1）．（I）当a＞1时，解关于x的不等式f（x）≤0；（II）若∀x∈（5，7），不等式f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．18．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），离心率为．直线y=k（x+1）与椭圆C交于不同的两点P，Q．（I）求椭圆C的方程；（II）若OP⊥OQ（其中O为原点），求k的值．2012-2013学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.3．（4分）下列四个点中，在不等式组所表示的平面区域内的点是（）中不成立，所以该点不在不等式组中不成立，所以该点不在不等式组中不成立，所以该点不在不等式组4．（4分）已知数列{a n}满足，则（）解：∵∴5．（4分）“a2＞1”是“方程+y2=1表示椭圆”的（）方程方程+y方程+y2D7．（4分）已知点P为椭圆C：上动点，F1，F2分别是椭圆C的焦点，则|PF1|．|PF2|的最大值为（）D8．（4分）设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分]，）[，[）：=1，解得[二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）双曲线的渐近线方程为y=±x．双曲线的而双曲线的渐近线方程为±双曲线的渐近线方程为±±10．（4分）命题p：∀a，b∈R，a2+b2≥2ab，则命题￢p是∃a，b∈R，a2+b2＜2ab．11．（4分）满足不等式x2+2x＞0的x的取值范围为x＞0或x＜﹣2．或12．（4分）已知F1，F2分别为椭圆C：（b＞0）的左、右焦点，A为椭圆C的短轴的一个端点，若△AF1F2为正三角形，则b=．（．故答案为：13．（4分）设x∈R，x≠0．给出下面4个式子：①x2+1；②x2﹣2x+2；③x+；④x2+．其中恒大于1的是①④．（写出所有满足条件的式子的序号）+＜≥14．（4分）已知数列{a n}满足a n+1=且a1=1，则a3﹣a1=﹣5；若设b n=a2n+2﹣a2n，则数列{b n}的通项公式为b n=﹣5（﹣2）n﹣1．，三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知A（2，0），B（0，1）为椭圆C：=1（a＞b＞0）上的两点，P（x，y）为椭圆C上的动点，O为坐标原点．（I）求椭圆C的方程；（II）将|OP|表示为x的函数，并求|OP|的取值范围．上，可得所以，椭圆的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（上，可得，且，可得，所以16．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=10n﹣n2（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求S n的最大值；（III）设b n=|a n|，求数列{b n}的前n项和T n．：，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（17．（10分）已知函数f（x）=（x﹣2a）（x﹣a﹣1）．（I）当a＞1时，解关于x的不等式f（x）≤0；（II）若∀x∈（5，7），不等式f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（18．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），离心率为．直线y=k（x+1）与椭圆C交于不同的两点P，Q．（I）求椭圆C的方程；（II）若OP⊥OQ（其中O为原点），求k的值．，所以所以，椭圆方程为，的值为11。
2012-2013学年北京某校高二(上)期中数学试卷(文科)(附答案解析)
2012-2013学年北京某校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题4分，共40分）1. 直线3x+√3y+1=0的倾斜角是( )A.30∘B.60∘C.120∘D.135∘2. 下列命题中，错误的是（）A.平行于同一直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必与另一个平面相交D.一条直线与两个平行平面所成的角相等3. 若直线2x+3y+8=0，x−y−1=0和x+ky=0相交于一点，则k=()A.−12B.12C.−2D.24. 已知各面均为等边三角形的三棱锥的棱长为2，则它的表面积是（）A.√3B.2√3C.4√3D.8√35. 已知点A(a, 2)(a>0)到直线l:x−y+3=0的距离为√2，则a=()A.1B.2C.3D.46. 直线kx−y+1=3k，当k变动时，所有直线恒过定点坐标为()A.(0, 0)B.(0, 1)C.(3, 1)D.(2, 1)7. 半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积为（）A.2√2RB.4π3R3 C.89√3R3 D.19√3R38. 如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为（）A.15π B.18π C.22π D.33π9. “m=−2”是“直线(m+1)x+y−2=0与直线mx+(2m+2)y+1=0相互垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10. 已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：①α // β⇒l⊥m，②α⊥β⇒l // m③l // m⇒α⊥β④l⊥m⇒α // β正确的命题是（）A.①与②B.③与④C.②与④D.①与③二、填空题（每小题4分，共24分）已知a，b是两条异面直线，直线c // a，那么c与b的位置关系是________．以原点O向直线l作垂线，垂足为点H(−2, 1)，则直线l的方程为________．已知圆C的方程为x2+y2−2y−3=0，则圆心坐标为________．直线l1:x+my+6=0与直线l2：(m−2)x+3y+2m=0互相平行，则m的值为________．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90∘，PA⊥平面ABC，此图形中有________个直角三角（3）求三棱锥D−D1OC的体积．形．过点P(2, 0)与圆x2+y2+2y−3=0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是________．三、解答题（共36分）已知经过直线l1:3x+4y−5=0与直线l2:2x−3y+8=0的交点M，（1）过原点和点M的直线方程；（2）过点M且与直线2x+y+5=0平行的直线方程；（3）过点M且与直线2x+y+5=0垂直的直线方程．（注意：求出的直线方程要化成一般式）已知圆C的圆心在直线x−y=0上，且过定点A(√5, 2√5)，B(−3, −4)．（1）求圆C的方程；（2）求斜率为2且与圆C相切的直线的方程．正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，O是AC与BD的交点，E为BB1的中点．（1）求证：直线B1D // 平面AEC；（2）求证：B1D⊥平面D1AC；参考答案与试题解析2012-2013学年北京某校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题4分，共40分） 1.【答案】 C【考点】 直线的倾斜角 【解析】将直线方程化为斜截式，得到直线的斜率后求其倾斜角． 【解答】解：将直线方程化为：y =−√3x −√33， 可得，直线的斜率为−√3， 所以倾斜角为120∘， 故选C . 2.【答案】 A【考点】命题的真假判断与应用空间中直线与平面之间的位置关系 空间中平面与平面之间的位置关系【解析】平行于同一直线的两个平面平行或相交；由平面平行的判定定理知B 正确；由平面平行的性质定理知C 正确；由平面平行的性质定理知D 正确． 【解答】解：平行于同一直线的两个平面平行或相交，故A 不正确；由平面平行的判定定理知：平行于同一平面的两个平面平行，故B 正确； 由平面平行的性质定理知：一条直线与两个平行平面中的一个相交， 那么这条直线必与另一个平面相交，故C 正确；由平面平行的性质定理知：一条直线与两个平行平面所成的角相等，故D 正确． 故选A ． 3.【答案】 A【考点】两条直线的交点坐标 【解析】先由{2x +3y +8=0x −y −1=0求出直线2x +3y +8=0和x −y −1=0的交点为(−1, −2)．再由三条直线2x +3y +8=0，x −y −1=0和x +ky =0相交于一点，知(−1, −2)在直线x +ky =0上，由此能求出k 的值．【解答】解：由{2x +3y +8=0x −y −1=0解得x =−1，y =−2，∴ 直线2x +3y +8=0和x −y −1=0的交点为(−1, −2)．∵ 三条直线2x +3y +8=0，x −y −1=0和x +ky =0相交于一点， ∴ (−1, −2)在直线x +ky =0上， ∴ −1−2k =0， 解得k =−12． 故选A ． 4.【答案】 C【考点】柱体、锥体、台体的面积求解 【解析】由题意知，三棱锥的各个面都是边长为2的等边三角形，求出一个面的面积，乘以4可得它的表面积． 【解答】解：∵ 三棱锥的棱长为2，各面均为等边三角形，三棱锥的一个侧面的面积为12×2×2×√32=√3，故它的表面积为4√3， 故选C ． 5.【答案】 A【考点】点到直线的距离公式 【解析】直接利用点到直线的距离公式，求解即可． 【解答】解：点A(a, 2)(a >0)到直线l:x −y +3=0的距离为√2， 所以√2=√2，即|a +1|=2，因为a >0，所以a =1．故选A ． 6. 【答案】 C【考点】 直线恒过定点 【解析】将直线的方程变形为k(x −3)＝y −1 对于任何k ∈R 都成立，从而有 {x −3=0y −1=0 ，解出定点的坐标．【解答】解：由kx −y +1=3k ，得k(x −3)=y −1，对于任何k∈R都成立，则{x−3=0，y−1=0，解得x=3，y=1，故选C.7.【答案】C【考点】球内接多面体柱体、锥体、台体的体积计算【解析】根据半径为R的球内接一个正方体，根据正方体的对角线过原点，可以求出正方体的棱长，从而根据体积公式求解；【解答】解：∵半径为R的球内接一个正方体，设正方体棱长为a，正方体的对角线过球心，可得正方体对角线长为：2+a2+a2=2R，可得a=3，∴正方体的体积为a3=(√3)3=8√3R39，故选C；8.【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】该几何体是一个组合体，上部是半球，下部是到放的圆锥，依据所给数据求解即可．【解答】解；该几何体是一个组合体，上部是半球，半径是3，下部是到放的圆锥，半径是3，高是（4）该几何体的表面积：S＝S上+S下=2π32+12×6π×5=33π．9.【答案】A【考点】两条直线垂直的判定【解析】先求两条直线有斜率垂直时m的值，再求一条直线斜率不存在时m的值，判断充要条件即可．【解答】解：因为直线(m+1)x+y−2=0与直线mx+(2m+2)y+1=0相互垂直，所以斜率相乘等于−1，可得m=−2，当直线mx+(2m+2)y+1=0没有斜率时，m=−1也符合．故选A．10.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】本题应逐个判断：①④需用熟知的定理即线线垂直，面面垂直来说明，②③可举出反例来即可．【解答】解：∵l⊥α，α // β，∴l⊥β，又直线m⊂β，故有l⊥m，即①正确；∵l⊥α，α⊥β，∴l // β，或l⊂β，此时l与m可能平行，相交或异面，即②错误；∵l⊥α，l // m，∴m⊥α，又m⊂β，故有α⊥β，即③正确．∵l⊥α，l⊥m，∴又m⊂β，此时α与β可能相交可能平行，故④错误；故选D二、填空题（每小题4分，共24分）【答案】相交或异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】两条直线的位置关系有三种：相交，平行，异面．由于a，b是两条异面直线，直线c // a则c有可能与b相交且与a平行，但是c不可能与b平行，要说明这一点采用反证比较简单．【解答】解：∵a，b是两条异面直线，直线c // a∴过b任一点可作与a平行的直线c，此时c与b相交．另外c与b不可能平行理由如下：若c // b则由c // a可得到a // b这与a，b是两条异面直线矛盾，故c与b异面．故答案为：相交或异面．【答案】2x−y+5=0【考点】直线的一般式方程【解析】先求出垂线的斜率，即可得到直线l的斜率，用点斜式求直线方程，并化为一般式．【解答】解：垂线的斜率为1−0−2−0=−12，则直线l的斜率为2，又直线经过点H(−2, 1)，由点斜式得y−1=2(x+2 )，即2x−y+5=0，故答案为：2x−y+5=0．【答案】(0, 1)【考点】圆的标准方程【解析】将题中的圆化成标准方程，得x2+(y−1)2=4，由此即可得到圆心的坐标．【解答】解：将圆C:x2+y2−2y−3=0化成标准方程，得x2+(y−1)2=4∴圆C表示以(0, 1)为圆心，半径r=2的圆．故答案为：(0, 1)【答案】−1【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系两条直线平行的判定【解析】利用两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，解方程求的m的值．【解答】解：由于直线l1:x+my+6=0与直线l2：(m−2)x+3y+2m=0互相平行，∴1m−2=m3≠62m，∴m=−1.故答案为：−1．【答案】4【考点】棱锥的结构特征【解析】本题利用线面垂直，判定出线线垂直，进而得到直角三角形，只需证明直线BC⊥平面PAC问题就迎刃而解了．【解答】解：由PA⊥平面ABC，则△PAC，△PAB是直角三角形，又由已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90∘所以BC⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB也是直角三角形，所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB．故答案为：4【答案】x−2y−2=0【考点】直线和圆的方程的应用直线的一般式方程直线系方程【解析】由题设条件知，此直线一定过圆心，故可以先求出圆心坐标，然后再用两点式写出所求直线的方程．【解答】解：圆x2+y2+2y−3=0可以变为x2+(y+1)2=4，故其圆心为(0, −1)过点P(2, 0)与圆x2+y2+2y−3=0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线一定过圆心故直线方程是y−0−1−0=x−20−2整理得：x+2y−2=0故应填x+2y−2=0三、解答题（共36分）【答案】解：：（1）联立两条直线的方程可得：{3x+4y−5=02x−3y+8=0解得x=−1，y=2，所以l1与l2交点M坐标是(−1, 2)．所以过原点和点M的直线方程：2x+y=0．（2）设与直线2x+y+5=0平行的直线l方程为2x+y+c=0因为直线l过l1与l2交点M(−1, 2)所以c=0所以直线l的方程为2x+y=0．（3）与直线2x+y+5=0垂直的直线斜率为：12，∴点M且与直线2x+y+5=0垂直的直线方程y−2=12(x+1)，即x−2y+5=0．【考点】两条直线的交点坐标直线的一般式方程与直线的垂直关系直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】（1）求出两条直线的交点坐标，直接求解过原点和点M的直线方程；（2）设与直线2x+y+5=0平行的直线l方程为2x+y+c=0，把点M代入即可求出与直线2x+y+5=0平行的直线方程；（3）然后利用直线与直线2x+y+5=0垂直，根据斜率乘积为−1，得到所求直线的斜率，写出过点M且与直线2x+y+5=0垂直的直线方程即可．【解答】解：：（1）联立两条直线的方程可得：{3x+4y−5=02x−3y+8=0解得x=−1，y=2，所以l1与l2交点M坐标是(−1, 2)．所以过原点和点M的直线方程：2x+y=0．（2）设与直线2x+y+5=0平行的直线l方程为2x+y+c=0因为直线l过l1与l2交点M(−1, 2)所以c=0所以直线l的方程为2x+y=0．（3）与直线2x+y+5=0垂直的直线斜率为：12，∴点M且与直线2x+y+5=0垂直的直线方程y−2=12(x+1)，即x−2y+5=0．【答案】解：（1）∵圆C的圆心在直线x−y=0上，∴设圆C方程为(x−a)2+(y−a)2=r2又∵A(√5, 2√5)，B(−3, −4)在圆C上∴{(√5−a)2+(2√5−a)2=r2(−3−a)2+(−4−a)2=r2，解之得a=0，r2=25由此可得圆C的方程为x2+y2=25；（2）设斜率为2且与圆C相切的直线为2x−y+m=0，则圆心到直线的距离等于半径r，即d=22=5，解得m=±5√5∴斜率为2且与圆C相切的直线的方程为2x−y±5√5=0．【考点】圆的标准方程圆的切线方程【解析】（1）根据题意，设圆C方程为(x−a)2+(y−a)2=r2，代入A、B两点的坐标，解得a=0且r2=25，可得圆C的方程；（2）设所求切线的方程为2x−y+m=0，切线到圆心的距离等于半径，由此利用点到直线的距离公式建立关于m等式，解出m的值即可得到所求切线方程．【解答】解：（1）∵圆C的圆心在直线x−y=0上，∴设圆C方程为(x−a)2+(y−a)2=r2又∵A(√5, 2√5)，B(−3, −4)在圆C上∴{(√5−a)2+(2√5−a)2=r2(−3−a)2+(−4−a)2=r2，解之得a=0，r2=25由此可得圆C的方程为x2+y2=25；（2）设斜率为2且与圆C相切的直线为2x−y+m=0，则圆心到直线的距离等于半径r，即d=22=5，解得m=±5√5∴斜率为2且与圆C相切的直线的方程为2x−y±5√5=0．【答案】解：（1）连接OE，在△B1BD中，∵E为BB1的中点，O为BD的中点，∴OE // B1D又∵B1D⊄平面AEC∴直线B1D // 平面AEC．（2）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，∵B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD∴B1B⊥AC．∵BD⊥AC且BB1∩BD=B∴B1D⊥AC∴AC⊥B1D 同理可证B1D⊥AD1∵AC∩AD1=A∴B1D⊥平面D1AC．（3）V D−D1OC=V D1−DOC=13⋅DD1⋅S△DOC=13×2×1=23．【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直的判定【解析】（1）利用三角形的中位线性质，线面平行的判定定理．（2）利用线面垂直的判定定理证明AC⊥面BDB1，从而证明AC⊥B1D，同理可证B1D⊥AD1，进而可证；（3）等体积法求三棱锥的体积，三棱锥D−D1OC与三棱锥D1−DOC的体积相等，D1−DOC的高是D1D的长，面积等于底面正方形面积的14，体积可求．【解答】解：（1）连接OE，在△B1BD中，∵E为BB1的中点，O为BD的中点，∴OE // B1D又∵B1D⊄平面AEC∴直线B1D // 平面AEC．（2）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，∵B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD∴B1B⊥AC．∵BD⊥AC且BB1∩BD=B∴B1D⊥AC∴AC⊥B1D同理可证B1D⊥AD1∵AC∩AD1=A∴B1D⊥平面D1AC．（3）V D−D1OC=V D1−DOC=13⋅DD1⋅S△DOC=13×2×1=23．。
资料：北京市西城区(北区)2012-2013学年高二(下)期末数学试卷(文科)-解析
2012-2013学年北京市西城区（北区）高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与题库解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4}，那么集合（∁U A）∩（∁U B）等于（）A．{2} B．{2，5} C．{3} D．{1，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据补集的定义求得（∁U A）和（∁U B），再根据两个集合的并集的定义求得（∁U A）∩（∁U B）．解答：解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4}，则（∁U A）={2，4，5}，（∁U B）={1，2，5}，∴（∁U A）∩（∁U B）={2，5}，故选B．点评：本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的并集的定义和求法，属于基础题．2．（5分）i是虚数单位，若复数z满足z（2﹣i）=7﹣i，则z等于（）A．1+3i B．1﹣3i C．3﹣i D．3+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题意求出复数z，再分子分母同乘以2+i后化简即可．解答：解：由z（2﹣i）=7﹣i得，===3+i，故选D．点评：本题考查了复数的乘除运算，对于除法分子分母同乘以分母的共轭复数后再化简．3．（5分）函数的图象在点（2，f（2））处的切线方程是（）A．x﹣4y=0 B．x﹣4y﹣2=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．x+4y﹣4=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程．解答：解：求导函数，可得∴，f（2）=∴函数的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣=（x﹣2），即x+4y﹣4=0点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．4．（5分）设a，b，c∈R，则“ac2＜bc2”是“a＜b”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：由ac2＜bc2，可得a＜b，反之若a＜b，则ac2＜bc2，故可得结论．解答：解：若ac2＜bc2，∵c2＞0，∴a＜b，∴ac2＜bc2是a＜b的充分条件若a＜b，∵c2≥0，∴ac2≤bc2，∴ac2＜bc2不是a＜b的必要条件∴ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件故选A．点评：本题考查四种条件，解题的关键是利用不等式的基本性质，属于基础题．5．（5分）设函数f（x）=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′（x），如果f′（x）为偶函数，则一定有（）A．a≠0，c=0 B．a=0，c≠0 C．b=0 D．b=0，c=0考点：导数的运算；函数奇偶性的判断．专题：导数的概念及应用．分析：先求导数f′（x），由f′（x）为偶函数可知f'（x）=f'（﹣x），故2bx=0恒成立，所以b=0，由此得出答案．解答：解：函数f（x）=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′（x）=3ax2+2bx+c，∵函数f′（x）=3ax2+2bx+c是定义在R上的偶函数，∴f'（x）=f'（﹣x），即3ax2+2bx+c=3ax2﹣2bx+c，∴2bx=0恒成立，b=0．故选C．点评：本题考查导数的运算、函数奇偶性的判断、函数的解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．6．（5分）对于x∈R，函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），f（x+2）=f（x），若当x∈（0，1]时，f（x）=x+1，则等于（）A．B．C．D．考点：函数的周期性；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=f（x），得到函数的周期是2，由f（1﹣x）=f（1+x），得到函数关于x=1对称，然后利用周期和对称将转化到（0，1）内的数值进行求解．解答：解：因为f（x+2）=f（x），所以函数的周期是2．又f（1﹣x）=f（1+x），所以函数关于x=1对称，所以f（）=f（2×）=f（）=f（1+）=f（1﹣）=f（），因为x∈（0，1]时，f（x）=x+1，所以f（）=，点评：本题考查了函数的周期性和对称性的应用，要求熟练掌握函数性质的综合应用．7．（5分）（2009•西城区二模）如果数列{a n}（a n∈R）对任意m，n∈N*满足a m+n=a m•a n，且a3=8，那么a10等于（）A．1024 B．512 C．510 D．256考点：数列递推式．专题：计算题．分析：利用赋特殊值法：可令a n=2n满足条件a m+n=a m•a n，且a3=8，即可得到a10的值．解答：解：由已知a m+n=a m•a n，且a3=8赋特殊值得a1=2，a2=22，…，a n=2n，数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a10=210=1024故选A点评：本题是一道基础题，做题的方法是赋特殊值满足已知条件求出所求．要求学生掌握等比数列的通项公式．8．（5分）已知函数，若同时满足条件：①∃x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0．则实数a的取值范围是（）A．（4，8]B．[8，+∞）C．（﹣∞，0）∪[8，+∞）D．（﹣∞，0）∪（4，8]考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：求导数，由①得到；由②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，分别解出不等式即可得到实数a的取值范围为4＜a≤8．解答：解：由于，则=令f′（x）=0，则，故函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上递增，在（x1，x2）上递减由于∀x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，当x2＞8，即时，函数f（x）在（8，+∞）上的最小值为，此时无解；当x2≤8，即时，函数f（x）在（8，+∞）上的最小值为，解得a≤8．又由∃x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点，故解得a＞4；故实数a的取值范围为4＜a≤8故答案为A点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．（5分）已知命题p：∀x∈[1，+∞），lnx＞0，那么命题¬p为∃x∈[1，+∞），lnx≤0．考点：全称命题；命题的否定．专题：探究型．分析：利用全称命题的否定是特称命题，可以求出￢p．解答：解：因为命题p是全称命题，所以利用全称命题的否定是特称命题可得：￢p：∃x∈[1，+∞），lnx≤0．故答案为：∃x∈[1，+∞），lnx≤0．点评：本题主要考查了含有量词的命题的否定，要求掌握含有量词的命题的否定的两种形式，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．10．（5分）数列{a n}满足，则a2=1，a3=3．考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：利用分段数列的意义即可解出．解答：解：取n=1，则a2=1；取n=2，则a3=2a2+1=2×1+1=3．故答案分别为1，3．点评：正确理解分段数列的意义是解题的关键．11．（5分）设a=30.2，b=0.32，c=log20.3，则实数a，b，c的大小关系是a＞b＞c．考点：有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质；不等关系与不等式．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数和对数函数的性质，分别判断出30.2＞1、0.32＜1和log20.3＜0，得a、b、c三者的关系．解答：解：根据指数函数的性质，a=30.2＞1，0＜b=0.32＜1，根据对数函数的性质，log20.3＜0，则a＞b＞c，故答案为：a＞b＞c．点评：本题考查了指数和对数函数的性质应用，比较大小时常选的中间量是0和1，属于基础题．12．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且对于任意n∈N*，都有成立，则a n=2n﹣1+1．考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：利用即可得出．解答：解：当n=1时，；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n+n﹣1﹣（2n﹣1+n﹣1﹣1）=2n﹣1+1．上式对于n=1时也成立．∴．故答案为2n﹣1+1．点评：熟练掌握是解题的关键．13．（5分）已知函数的图象在x=0和处的切线互相平行，则实数a=﹣1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：由求导公式和法则求出导数，再把x=0、代入求出导数值，再根据直线平行的充要条件建立方程求a．解答：解：由题意得，=，把x=0代入得，y′=，把代入得，y′=，由题意得，=，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了导数的几何意义，即某点处的切线的斜率是该点出的导数值，以及直线平行的充要条件的应用．14．（5分）设函数，其中n∈N*，且n≥2，给出下列三个结论：①函数f2（x）在区间（）内不存在零点；②函数f3（x）在区间（）内存在唯一零点；③∀n∈N*，且n≥4，函数f n（x）在区间内存在零点．其中所有正确结论的序号为②③．考点：全称命题；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：①判断函数f2（x）=x2+x﹣1在区间（）上取值情况．②利用的单调性判断．③利用根的存在定理判断．解答：解：①因为f2（x）=x2+x﹣1，所以，所以f2（x）在区间（）上存在零点，所以①错误．②由题意知．因为，所以f3（x）在区间（）上存在零点，又因为为单调递增函数，所以函数f3（x）在区间（）内存在唯一零点，所以②正确．③∀n∈N*，且n≥4，，所以函数f n（x）在区间内存在零点，所以③正确．故答案为：②③．点评：本题考查了函数零点的判断，判断函数零点问题主要是利用根的存在定理，判断区间短点处的函数值符合相反即可．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）设a＞0，集合A={x||x|≤a}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，（I）当a=2时，求集合A∪B；（II）若A⊆B，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）解绝对值不等式求得集合A，解一元二次不等式求得集合B，再根据两个集合的并集的定义求得A∪B．（II）根据集合A={x||x|≤a}={x|﹣a≤x≤a}（a＞0），且A⊆B，可得，解不等式组求得a的范围．解答：（I）解：因为集合A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，（2分）集合B={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，（4分）所以A∪B={x|﹣2≤x＜3}．（7分）（II）解：集合A={x||x|≤a}={x|﹣a≤x≤a}（a＞0），（9分）因为A⊆B，所以（11分）解得a＜1，所以0＜a＜1，即a的范围为（0，1）．（13分）点评：本题主要考查绝对值不等式、一元二次不等式的解法，集合间的包含关系，属于中档题．16．（13分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=2，S4=10，数列{b n}满足a n=log2b n，其中n∈N*．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{a n b n}的前n项和T n．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）根据等差数列的通项公式和前n项和公式，结合题意列出方程求出首项、公差，代入通项公式；（II）由（I）和条件求出b n，再代入a n b n及T n，利用错位相减法求出T n．解答：解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=2，得a1+d=2，①由S4=10，得，②由①和②解方程，得a1=1，d=1，∴a n=a1+（n﹣1）d=n．（II）由（I）得，a n=n=log2b n，∴，a n b n=n•2n，∴，①则，②由①﹣②得，，∴，∴数列{a n b n}的前n项和．点评：本题考查了等差数列的通项公式，以及对数的运算，错位相减法求数列的前n项和公式，属于中档题．17．（13分）已知函数，其中a∈R．（I）求证：函数f（x）为奇函数；（II）若a=3，求函数f（x）的极值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（I）利用奇函数的定义，即可得到结论；（II）求导函数，利用导数的正负，确定函数的单调性，从而可求函数f（x）的极值．解答：解：（I）函数的定义域为{x|x∈R且x≠0}．（1分）因为，所以函数为奇函数，（5分）（II）因为，所以．（8分）令f′（x）=0，解得x=±1．（9分）当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，0）（0，1） 1 （1，+∞）f′（x）+ 0 ﹣﹣0 +f（x）极大值极小值（11分）所以当x=﹣1时，f（x）有极大值f（﹣1）=﹣4，当x=1时，f（x）有极小值f（1）=4．（13分）点评：本题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性与极值，考查导数知识的运用，属于中档题．18．（13分）某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年需各种费用4万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加2万元．（I）写出该渔船前四年每年所需的费用（不含购买费用）；（II）假设该渔船在其年平均花费额（含购买费用）最低的时候报废，试求此渔船的使用年限？考点：函数模型的选择与应用；基本不等式．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（I）根据第一年需各种费用4万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加2万元，可得结论；（II）确定总花费函数，可得年平均花费额，利用基本不等式，即可求得结论．解答：（I）解：设第n年所需费用为a n（单位万元），则a1=4，a2=6，a3=8，a4=10，（2分）（II）解：设该渔船使用了n（n∈N*）年，其总花费为y万元，则，（5分）所以该渔船的年平均花费额为，（8分）因为W=，所以当，即n=10时，年平均花费额W取得最小值23．（12分）答：此渔船的使用年限为10年．（13分）点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（14分）设函数，且，其中n=1，2，3，…．（I）计算a2，a3的值；（II）设a2=2，求证：数列{b n}为等比数列；（III）求证：．考点：数列与函数的综合．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（I）利用数列递推式，代入计算可得结论；（II）利用等比数列的定义，即可证得结论；（III）结合数列的通项，利用作差法，即可证明结论．解答：（I）解：由题意，得，（1分）因为，所以，，（3分）（II）证明：因为，所以．所以数列{b n}是首项，公比为的等比数列，（7分）（III）证明：由（II），得，（8分）所以．（9分）因为，且当n∈N*时，2n﹣1﹣1≥0，2n+2＞0，所以，即．（12分）因为，所以a n＜1．综上，对于任意n∈N*，都有．（14分）点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（14分）已知函数，．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，求实数a的取值范围；（III）设x1，x2，a1，a2＞0，且a1+a2=1，求证：a1lnx1+a2lnx2≤ln（a1x1+a2x2）．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（I）欲求函数f（x）的解析式，根据题意，即求出其中的f'（2）的值，故只须对函数求导后令x=2即可；（II）设F（x）=f（x）+g（x），对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，只须a≥F（x）max即可，利用导数求函数F（x）的最大值，则实数a的取值范围可求．（III）由（II），得F（x）=lnx﹣x≤﹣1，即lnx≤x﹣1，再分别令，，后利用不等式的性质两式相加，得到一个不等关系式，化简即可证出结论．解答：解：（I）因为，所以f′（x）=x﹣f′（2）．（2分）令x=2，得f′（2）=1，所以f（x）=．（4分）（II）解：设F（x）=f（x）+g（x）=lnx﹣x，则F′，（5分）令F′（x）=0，解得x=1．（6分）当x变化时，F（x）与F′（x）的变化情况如下表：x （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）+ 0 ﹣f（x）增极大值减所以当x=1时，F（x）max=F（1）=﹣1．（9分）因为对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，所以a≥﹣1．（10分）（III）证明：由（II），得F（x）=lnx﹣x≤﹣1，即lnx≤x﹣1，令，得，令，得，（11分）所以因为a1+a2=1，所以，即，所以a1lnx1﹣a1ln（a1x1+a2x2）+a2lnx2﹣a2ln（a1x1+a2x2）≤0，即a1ln1+a2lnx2≤（a1+a2）ln（a1x1+a2x2），所以a1lnx1+a2lnx2≤ln（a1x1+a2x2）．（14分）点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的导函数在某一区间上大于0，原函数是增函数，导函数小于0，原函数是减函数，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了分离变量法，是中档题．。
2012-2013学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷(文科)(附答案解析)
2012-2013学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数21−i的值为（ ）A.1−iB.1+iC.−1−iD.−1+i2. 向量a →=(1, 1)，b →=(2, t)，若a →⊥b →，则实数t 的值为（ ） A.−2 B.−1 C.1 D.23. 在等边△ABC 的边BC 上任取一点P ，则S △ABP ≤S △APC 的概率是（ ） A.13 B.12C.23D.564. 点P 是抛物线y 2=4x 上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为（ ） A.2 B.3C.4D.55. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的P 为24，则输出的n ，S 的值分别为（ ）A.n =4，S =30B.n =4，S =45C.n =5，S =30D.n =5，S =456. 已知点A(−1, 0)，B(cos α, sin α)，且|AB|=√3，则直线AB 的方程为（ ） A.y =√3x +√3或y =−√3x −√3 B.y =√33x +√33或y =−√33x −√33C.y =x +1或y =−x −1D.y =√2x +√2或y =−√2x −√27. 已知函数f(x)={sin x,sin x ≥cos xcos x,sin x <cos x 则下面结论中正确的是（ ）A.f(x)是奇函数B.f(x)的值域是[−1, 1]C.f(x)是偶函数D.f(x)的值域是[−√22, 1]8. 如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P // 平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是( )A.[1, √52]B.[3√24, √52] C.[√52, √2]D.[√2, √3]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.tan 225∘的值为________． 双曲线x 23−y 23=1的渐近线方程为________；离心率为________．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 2+a 6=a 8，则S5a 5=________．不等式组表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx −1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为________．三棱锥S −ABC 及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB 的长为________．任給实数a ，b 定义a ⊕b ={a ×b,a ×b ≥0a b，a ×b <0 设函数f(x)=ln x ⊕x ，则f(2)+f(12)=________；若{a n }是公比大于0的等比数列，且a5=1，f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=a1，则a1=________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.已知函数f(x)=√3sin x cos x−cos2x+12，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f(A)=1．（1）求角A的大小；（2）若a=7，b=5，求c的值．某汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车(I)试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；(Ⅱ)现从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽车是A型车的概率；(Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC＝90∘，AB＝AC＝AA1，且E是BC中点．(Ⅰ)求证：A1B // 平面AEC1；(Ⅱ)求证：B1C⊥平面AEC1．已知函数f(x)=12x2−12与函数g(x)＝a ln x在点(1, 0)处有公共的切线，设F(x)＝f(x)−mg(x)(m≠0)．（1）求a的值（2）求F(x)在区间[1, e]上的最小值．已知椭圆M：：x2a2+y23=1(a>0)的一个焦点为F(−1, 0)，左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（1）求椭圆方程；（2）当直线l的倾斜角为45∘时，求线段CD的长；（3）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1−S2|的最大值．已知函数f(x)的定义域为(0, +∞)，若y=f(x)x在(0, +∞)上为增函数，则称f(x)为“一阶比增函数”．（1）若f(x)=ax2+ax是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围；（2）若f(x)是“一阶比增函数”，求证：∀x1，x2∈(0, +∞)，f(x1)+f(x2)<f(x1+x2)；（3）若f(x)是“一阶比增函数”，且f(x)有零点，求证：f(x)>2013有解．参考答案与试题解析2012-2013学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.【答案】 B【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a +bi(a 、b ∈R)，可得选项． 【解答】解：21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=2(1+i)1−i 2=1+i ．故选B ． 2.【答案】 A【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的运算 【解析】由题意可得a →⋅b →=1×2+1×t =0，解之即可． 【解答】解：∵ a →=(1, 1)，b →=(2, t)，且a →⊥b →， ∴ a →⋅b →=1×2+1×t =0，解得t =−2 故选A 3.【答案】 B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】利用三角形的面积公式，判断P 所在的位置，利用几何概型求出结果即可． 【解答】解：因为等边△ABC 的边BC 上任取一点P ，则S △ABP ≤S △APC ， 所以PB ≤PC ，所以P 在BC 的中点靠近B 的一侧，所以等边△ABC 的边BC 上任取一点P ，则S △ABP ≤S △APC 的概率是：S △ABP S △ABC=PB BC =12．故选B ． 4.【答案】 B【考点】 抛物线的求解 【解析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知P 到该抛物线焦点的距离|MF|=4，则M 到准线的距离也为2，即点M 的横坐标x +p2=4，将p 的值代入，进而求出x ． 【解答】解：∵ 抛物线y 2=4x =2px ， ∴ p =2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， ∴ P 到该抛物线焦点的距离|MF|=4=x +p2=4，∴ x =3， 故选B ． 5.【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序框图及已知中输入24，可得：进入循环的条件为S <24，即S =0，1，2，3，模拟程序的运行结果，即可得到输出的n ，S 值． 【解答】解：开始S =0时，S =0+3=3，n =2； S =3+6=9，n =3； S =9+9=18，n =4； S =18+12=30，n =5；此时S >24，退出循环，故最后输出的n ，S 的值分别为n =5，S =30． 故选C ． 6. 【答案】 B【考点】两点间的距离公式 直线的一般式方程【解析】通过AB 的距离，求出cos α，与sin α，然后求出AB 的斜率，利用点斜式求出直线的方程． 【解答】解：因为点A(−1, 0)，B(cos α, sin α)，且|AB|=√3，所以(cos α+1)2+sin 2α=3，所以2cos α=1，cos α=12，sin α=±√32， 所以K AB =sin αcos α+1=±√33， 所以直线AB 的方程：y =±√33(x +1)．即y =√33x +√33或y =−√33x −√33． 故选B ．7.【答案】 D【考点】函数奇偶性的判断 函数的值域及其求法 【解析】由题意可得：函数f(x)={sin x,x ∈(π4+2kπ，5π4+2kπ]cos x,x ∈[2kπ−3π4，2kπ+π4]，再根据三角函数的图象与性质可得正确答案．【解答】解：由题意可得：函数f(x)={sin x,x ∈(π4+2kπ，5π4+2kπ]cos x,x ∈[2kπ−3π4，2kπ+π4]，其图象如图所示，所以f(x)的值域是[−√22, 1]． 故选D ． 8.【答案】 B【考点】点、线、面间的距离计算 【解析】分别取棱BB 1、B 1C 1的中点M 、N ，连接MN ，易证平面A 1MN // 平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时A 1P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得． 【解答】解：如下图所示：分别取棱BB 1、B 1C 1的中点M 、N ，连接MN ，连接BC 1，∵ M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴ MN // BC 1，EF // BC 1， ∴ MN // EF ，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， ∴ MN // 平面AEF ；∵ AA 1 // NE ，AA 1=NE ，∴ 四边形AENA 1为平行四边形， ∴ A 1N // AE ，又A 1N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ， ∴ A 1N // 平面AEF ，又A 1N ∩MN =N ，∴ 平面A 1MN // 平面AEF ， ∵ P 是侧面BCC 1B 1内一点，且A 1P // 平面AEF ， 则P 必在线段MN 上，在Rt △A 1B 1M 中，A 1M =√A 1B 12+B 1M 2=√1+(12)2=√52， 同理，在Rt △A 1B 1N 中，求得A 1N =√52， ∴ △A 1MN 为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时A 1P ⊥MN ，此时A 1P 最短，P 位于M 、N 处时A 1P 最长， A 1O =√A 1M 2−OM 2=√(√52)2−(√24)2=3√24， A 1M =A 1N =√52， 所以线段A 1P 长度的取值范围是[3√24, √52]． 故选B .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 【答案】 1【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】利用诱导公式即可求得答案． 【解答】解：∵ tan 225∘=tan (180∘+45∘)=tan 45∘=1，故答案为：1．【答案】y=±x,√2【考点】双曲线的特性【解析】由双曲线x 23−y23=1的渐近线方程为x23−y23=0，能求出双曲线x23−y23=1的渐近线方程和离心率．【解答】解：∵双曲线x 23−y23=1的渐近线方程为x23−y23=0，∴双曲线x23−y23=1的渐近线方程为y=±x；离心率e=ca =√3+3√3=√2．故答案为：y=±x，√2．【答案】3【考点】等差数列的通项公式等差数列的前n项和【解析】设出等差数列的首项和公差，然后由a2+a6=a8列式求得a1和d的关系，最后把要求的比式S5a5转化为仅含有公差d的式子，则答案可求．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2+a6=a8，得a1+d+a1+5d=a1+7d，即a1=d，所以S5a5=5a1+5×(5−1)d2a1+4d=5a1+10da1+4d=15d5d=3．故答案为3．【答案】[3, +∞)【考点】简单线性规划【解析】作出题中不等式组对应的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部．因为直线y＝kx−1经过定点M(0, −1)，所以当直线y＝kx−1与区域有公共点时，直线的位置应界于AM、CM之间，由此算出直线CM的斜率并加以观察即可得到实数k的取值范围．【解答】作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部，即为区域Ω其中A(0, 1)，B(0, 3)，C(1, 2)∵直线y＝kx−1经过定点M(0, −1)，∴当直线y＝kx−1与区域Ω有公共点时，它的位置应界于AM、CM之间（含边界）∵直线CM的斜率k3∴直线y＝kx−1斜率的最小值为3，可得实数k的取值范围为[3, +∞)【答案】4√2【考点】点、线、面间的距离计算简单空间图形的三视图【解析】由主视图知CD⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CD长及△ABC中边AC的高，利用勾股定理即可求出棱BD的长．【解答】由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE＝CE＝2；由左视图知CD＝4，BE＝2√3，在Rt△BCE中，BC=√BE2+EC2=√(2√3)2+22=4，在Rt△BCD中，BD=√BC2+CD2=√42+42=4√2．【答案】0,e【考点】数列的求和函数的求值【解析】由新定义可得f(x)=ln x⊕x={x ln xx≥1ln xx0<x<1，代入数值求解可得；可设该数列的前8项分别为1q4，1q3，1q2，1q，1，q，q2，q3，当q>1时，f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=−q4ln q4<0，不合题意，当0<q<1时，f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=q4ln q4=1q，解之即可．【解答】解：∵a⊕b={a×b,a×b≥0ab，a×b<0，∴f(x)=ln x⊕x={x ln xx≥1ln xx0<x<1，∴f(2)+f(12)=2ln2+ln1212=2ln2+2ln12=2ln2−2ln2=0；∵{a n}是公比大于0的等比数列，且a5=1，故可设该数列的前8项分别为1q4，1q3，1q2，1q，1，q，q2，q3，故当q>1时，数列的前4项1q，1q，1q，1q均为(0, 1)之间的数，数列的6、7、8项q，q2，q3均大于1，f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=q4ln1q4+q3ln1q3+q2ln1q2+q ln1q+0+q ln q+q2ln q2+q3ln q3=−q4ln q4<0，这与f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=a1=1q4>0矛盾；同理可得当0<q<1时，数列的前4项1q4，1q3，1q2，1q均为大于1，数列的6、7、8项q，q2，q3均为(0, 1)之间的数，f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=q4ln q4=a1=1q4，解得1q4=e，故a1=e故答案为：0；e三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【答案】解：（1）因为f(x)=√3sin x cos x−cos2x+12=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)…又f(A)=sin(2A−π6)=1，A∈(0, π)，…所以2A−π6∈(−π6,7π6)，2A−π6=12π∴A=13π…（2）由余弦定理a2=b2+c2−2bc cos A得到49=25+c2−2×5cos13π，所以c2−5c−24=0…解得c=−3（舍）或c=8…所以c=8【考点】求二倍角的余弦求二倍角的正弦余弦定理【解析】（1）由f(x)=√3sin x cos x−cos2x+12利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简，然后结合f(A)=1，及A∈(0, π)可求A；（2）由余弦定理a2=b2+c2−2bc cos A可求c【解答】解：（1）因为f(x)=√3sin x cos x−cos2x+12=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)…又f(A)=sin(2A−π6)=1，A∈(0, π)，…所以2A−π6∈(−π6,7π6)，2A−π6=12π∴A=13π…（2）由余弦定理a2=b2+c2−2bc cos A得到49=25+c2−2×5cos13π，所以c2−5c−24=0…解得c=−3（舍）或c=8…所以c=8【答案】（I）由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大．（2）∵出租天数为3天的汽车A型车有3辆，B型车有10辆，从这13辆中任取一辆可有C131=13中方法，其中任取一辆是A型车的抽法有C31=3中，因此随机抽取一辆，这辆汽车是A型车的概率P=313；(Ⅲ)50辆A类型车出租的天数的平均数x A¯=3×3+4×30+5×15+6×7+7×550=4.62；50辆B类型车出租的天数的平均数x B¯=3×10+4×10+5×15+6×10+7×550=4.8．答案一：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B类型的出租车的利润较大，应该购买B型车．答案二：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，而B型车出租天数的方差较大，所以应购买A型车．【考点】古典概型及其概率计算公式极差、方差与标准差【解析】(Ⅰ)由数据的离散程度可以看出哪个方差较大；(Ⅱ)利用古典概型的概率计算公式即可得出；(Ⅲ)可有从出租的天数的平均数或出租天数的方差大小去考虑．【解答】（I）由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大．（2）∵出租天数为3天的汽车A型车有3辆，B型车有10辆，从这13辆中任取一辆可有C131=13中方法，其中任取一辆是A型车的抽法有C31=3中，因此随机抽取一辆，这辆汽车是A型车的概率P=313；(Ⅲ)50辆A类型车出租的天数的平均数x A¯=3×3+4×30+5×15+6×7+7×550=4.62；50辆B类型车出租的天数的平均数x B¯=3×10+4×10+5×15+6×10+7×550=4.8．答案一：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B类型的出租车的利润较大，应该购买B型车．答案二：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，而B 型车出租天数的方差较大，所以应购买A 型车． 【答案】证明：(I) 连接A 1C 交AC 1于点O ，连接EO ∵ ACC 1A 1为正方形，∴ O 为中点∴ EO // A 1B ，EO ⊂平面AEC 1，A 1B ⊄平面AEC 1， ∴ A 1B // 平面AEC 1．（2）∵ AB ＝AC ，E 是BC 的中点，∴ AE ⊥BC∵ 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， ∴ AE ⊥平面BB 1C 1C ，B 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴ B 1C ⊥AE在矩形BCC 1B 1中，tan ∠CB 1C 1＝tan ∠EC 1C =√22，∵∠CB 1C 1+∠B 1CC 1=π2∴ ∠B 1CC 1+∠EC 1C =π2，∴ B 1C ⊥EC 1， 又AE ∩EC 1＝E ， ∴ B 1C ⊥平面AEC 1【考点】直线与平面垂直 直线与平面平行【解析】对(I)，根据三角形的中位线平行于底边，在平面内作平行线，再由线线平行⇒线面平行． 对(II)，根据直棱柱的性质，侧棱与侧面都与底面垂直，可证平面内的AE 与B 1C 垂直； 利用平面几何与三角函数知识，证C 1E 与B 1C 垂直；再由线线垂直⇒线面垂直． 【解答】证明：(I) 连接A 1C 交AC 1于点O ，连接EO ∵ ACC 1A 1为正方形，∴ O 为中点∴ EO // A 1B ，EO ⊂平面AEC 1，A 1B ⊄平面AEC 1， ∴ A 1B // 平面AEC 1．（2）∵ AB ＝AC ，E 是BC 的中点，∴ AE ⊥BC∵ 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， ∴ AE ⊥平面BB 1C 1C ，B 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴ B 1C ⊥AE在矩形BCC 1B 1中，tan ∠CB 1C 1＝tan ∠EC 1C =√22， ∵ ∠CB 1C 1+∠B 1CC 1=π2 ∴ ∠B 1CC 1+∠EC 1C =π2，∴ B 1C ⊥EC 1，又AE ∩EC 1＝E ， ∴ B 1C ⊥平面AEC 1【答案】因为f(1)=12×12−12=0，g(1)＝a ln 1＝0，所以(1, 0)在函数f(x)，g(x)的图象上又f ′(x)=x,g ′(x)=ax，所以f ′(1)＝1，g ′(1)＝a所以a ＝1因为F(x)＝f(x)−mg(x)，所以，F(x)=12x 2−12−m ln x ，其定义域为{x|x >0}F ′(x)=x −m x=x 2−m x当m <0时，F ′(x)=x −m x=x 2−m x>0，所以F(x)在(0, +∞)上单调递增所以F(x)在[1, e]上单调递增，其最小值为F(1)=12×12−12−m ⋅ln 1=0． 当m >0时，令F ′(x)=x −m x=x 2−m x=0，得到x 1=√m >0,x 2=−√m <0（舍）当√m≤1时，即0<m≤1时，F′(x)>0对(1, e)恒成立，所以F(x)在[1, e]上单调递增，其最小值为F(1)＝0当√m≥e时，即m≥e2时，F′(x)<0对(1, e)成立，所以F(x)在[1, e]上单调递减，其最小值为F(e)=12e2−12−m当1<√m<e，即1<m<e2时，F′(x)<0对(1,√m)成立，F′(x)>0对(√m,e)成立所以F(x)在(1,√m)单调递减，在(√m,e)上单调递增其最小值为F(√m)=12m−12−m ln√m=12m−12−m2ln m．综上，当m≤1，且m≠0时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(1)＝0．当1<m<e2时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(√m)=12m−12−m2ln m．当m≥e2时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(e)=12e2−12−m．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的最值【解析】（1）因为函数f(x)=12x2−12与函数g(x)＝a ln x在点(1, 0)处有公共的切线，且f(1)＝g(1)＝0，说明点(1, 0)在两条曲线上，把两函数求导后根据在(1, 0)处的导数值相等可得a的值；（2）把f(x)与g(x)代入函数F(x)的解析式，然后求其导函数，分m<0和m>0判断导函数的单调性，根据函数的单调性求得F(x)在区间[1, e]上的最小值．其中当m>0时需要由导函数的零点对区间[1, e]进行分段．【解答】因为f(1)=12×12−12=0，g(1)＝a ln1＝0，所以(1, 0)在函数f(x)，g(x)的图象上又f′(x)=x,g′(x)=ax，所以f′(1)＝1，g′(1)＝a 所以a＝1因为F(x)＝f(x)−mg(x)，所以，F(x)=12x2−12−m ln x，其定义域为{x|x>0}F′(x)=x−mx=x2−mx当m<0时，F′(x)=x−mx =x2−mx>0，所以F(x)在(0, +∞)上单调递增所以F(x)在[1, e]上单调递增，其最小值为F(1)=12×12−12−m⋅ln1=0．当m>0时，令F′(x)=x−mx =x2−mx=0，得到x1=√m>0,x2=−√m<0（舍）当√m≤1时，即0<m≤1时，F′(x)>0对(1, e)恒成立，所以F(x)在[1, e]上单调递增，其最小值为F(1)＝0当√m≥e时，即m≥e2时，F′(x)<0对(1, e)成立，所以F(x)在[1, e]上单调递减，其最小值为F(e)=12e2−12−m当1<√m<e，即1<m<e2时，F′(x)<0对(1,√m)成立，F′(x)>0对(√m,e)成立所以F(x)在(1,√m)单调递减，在(√m,e)上单调递增其最小值为F(√m)=12m−12−m ln√m=12m−12−m2ln m．综上，当m≤1，且m≠0时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(1)＝0．当1<m<e2时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(√m)=12m−12−m2ln m．当m≥e2时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(e)=12e2−12−m．【答案】解：（1）因为F(−1, 0)为椭圆的焦点，所以c=1，又b2=3，所以a2=4，所以椭圆方程为x24+y23=1；（2）因为直线的倾斜角为45∘，所以直线的斜率为1，所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到{x24+y23=1y=x+1，消掉y，得到7x2+8x−8=0，所以△=288，x1+x2=−87，x1x2=−87，所以|CD|=√1+k2|x1−x2|=√2×√(x1+x2)2−4x1x2=247；（3）当直线l无斜率时，直线方程为x=−1，此时D(−1, 32)，C(−1, −32)，△ABD，△ABC面积相等，|S1−S2|=0，当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k(x+1)(k≠0)，设C(x1, y1)，D(x2, y2)，和椭圆方程联立得到{x24+y23=1y=k(x+1)，消掉y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2−12=0，显然△>0，方程有根，且x1+x2=−8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，此时|S1−S2|=2||y1|−|y2||=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|=12|k|3+4k2=123|k|+4|k|≤2√|k|×4|k|=2√12=√3，（k=±√32时等号成立）所以|S1−S2|的最大值为√3．【考点】圆锥曲线的综合问题椭圆的标准方程【解析】（1）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；（2）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|；（3）当直线l不存在斜率时可得，|S1−S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k(x +1)(k ≠0)，与椭圆方程联立消y 可得x 的方程，根据韦达定理可用k 表示x 1+x 2，x 1x 2，|S 1−S 2|可转化为关于x 1，x 2的式子，进而变为关于k 的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值； 【解答】 解：（1）因为F(−1, 0)为椭圆的焦点，所以c =1，又b 2=3， 所以a 2=4，所以椭圆方程为x 24+y 23=1；（2）因为直线的倾斜角为45∘，所以直线的斜率为1， 所以直线方程为y =x +1，和椭圆方程联立得到 {x 24+y 23=1y =x +1，消掉y ，得到7x 2+8x −8=0， 所以△=288，x 1+x 2=−87，x 1x 2=−87，所以|CD|=√1+k 2|x 1−x 2|=√2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=247；（3）当直线l 无斜率时，直线方程为x =−1，此时D(−1, 32)，C(−1, −32)，△ABD ，△ABC 面积相等，|S 1−S 2|=0， 当直线l 斜率存在（显然k ≠0）时，设直线方程为y =k(x +1)(k ≠0)， 设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，和椭圆方程联立得到{x 24+y 23=1y =k(x +1)，消掉y 得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0， 显然△>0，方程有根，且x 1+x 2=−8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，此时|S 1−S 2|=2||y 1|−|y 2||=2|y 1+y 2|=2|k(x 2+1)+k(x 1+1)|=2|k(x 2+x 1)+2k|=12|k|3+4k2=123|k|+4|k|≤2√3|k|×4|k|=2√12=√3，（k =±√32时等号成立） 所以|S 1−S 2|的最大值为√3． 【答案】解：（1）由题意得y =f(x)x=ax 2+axx=ax +a 在(0, +∞)是增函数，由一次函数性质知：当a >0时，y =ax +a 在(0, +∞)上是增函数， ∴ a >0．（2）∵ f(x)是“一阶比增函数”，即f(x)x在(0, +∞)上是增函数，又∀x 1，x 2∈(0, +∞)，有x 1<x 1+x 2，x 2<x 1+x 2， ∴f(x 1)x 1<f(x 1+x 2)x 1+x 2，f(x 2)x 2<f(x 1+x 2)x 1+x 2，∴ f(x 1)<x 1f(x 1+x 2)x 1+x 2，f(x 2)<x 2f(x 1+x 2)x 1+x 2，∴ f(x 1)+f(x 2)<x 1f(x 1+x 2)x 1+x 2+x 2f(x 1+x 2)x 1+x 2=f(x 1+x 2)．（3）设f(x 0)=0，其中x 0>0．因为f(x)是“一阶比增函数”，所以当x >x 0时，f(x)x>f(x 0)x 0=0．法一：取t ∈(0, +∞)，满足f(t)>0，记f(t)=m ．由（2）知f(2t)>2m ，同理f(4t)>2f(2t)>4m ，f(8t)>2f(4t)>8m ． 所以一定存在n ∈N ∗，使得f(2n t)>2n m >2013， 所以f(x)>2013 一定有解．法二：取t ∈(0, +∞)，满足f(t)>0，记f(t)t=k ．因为当x >t 时，f(x)x>f(t)t=k ，所以f(x)>kx 对x >t 成立．只要 x >2013k，则有f(x)>kx >2013，所以f(x)>2013 一定有解．【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）利用“一阶比增函数”的意义及一次函数的单调性即可得出； （2）利用“一阶比增函数”的意义及增函数的定义即可证明； （3）利用“一阶比增函数”的意义和（2）的结论即可证明． 【解答】解：（1）由题意得y =f(x)x=ax 2+axx=ax +a 在(0, +∞)是增函数，由一次函数性质知：当a >0时，y =ax +a 在(0, +∞)上是增函数， ∴ a >0．（2）∵ f(x)是“一阶比增函数”，即f(x)x在(0, +∞)上是增函数，又∀x 1，x 2∈(0, +∞)，有x 1<x 1+x 2，x 2<x 1+x 2， ∴f(x 1)x 1<f(x 1+x 2)x 1+x 2，f(x 2)x 2<f(x 1+x 2)x 1+x 2，∴ f(x 1)<x 1f(x 1+x 2)x 1+x 2，f(x 2)<x 2f(x 1+x 2)x 1+x 2，∴ f(x 1)+f(x 2)<x 1f(x 1+x 2)x 1+x 2+x 2f(x 1+x 2)x 1+x 2=f(x 1+x 2)．（3）设f(x 0)=0，其中x 0>0．因为f(x)是“一阶比增函数”，所以当x >x 0时，f(x)x>f(x 0)x 0=0．法一：取t ∈(0, +∞)，满足f(t)>0，记f(t)=m ．由（2）知f(2t)>2m ，同理f(4t)>2f(2t)>4m ，f(8t)>2f(4t)>8m ． 所以一定存在n ∈N ∗，使得f(2n t)>2n m >2013， 所以f(x)>2013 一定有解．法二：取t ∈(0, +∞)，满足f(t)>0，记f(t)t=k ．因为当x>t时，f(x)x >f(t)t=k，所以f(x)>kx对x>t成立．只要x>2013k，则有f(x)>kx>2013，所以f(x)>2013一定有解．。
北京某重点中学2012-2013学年高二上学期期末考试物理试题Word版无答案
高二物理期末试题第一部分 选择题（共54分）一、本题共15小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个．．．．选项是符合题意的。
（每小题3分，共45分）1．下列物理量中，属于矢量的是A ．位移B ．路程C ．质量D ．时间2．在物理学史上，首先发现电流周围存在磁场的著名科学家是 A ．伽利略B ．牛顿C ．奥斯特D ．爱因斯坦3．有两个共点力，一个力的大小是3 N ，另一个力的大小是6 N ，它们合力的大小可能是A ．18 NB ．6 NC ．2 ND ．1 N4．在图1所示的四个图象中，表示物体做匀加速直线运动的是5．如图2所示，一轻弹簧上端固定在天花板上，下端悬挂一个质量为m 的木块，木块处于静止状态．测得此时弹簧的伸长量为l ∆(弹簧的形变在弹性限度内)．重力加速度为g ．此弹簧的劲度系数为 A ．l m ∆ B ．mg l ⋅∆ C ．mg l ∆ D ．lmg∆6．一个物体做自由落体运动，取g = 10 m/s 2，则第2 s 末物体速度的大小为A ．10 m/sB ．20 m/sC ．30 m/s D ．40 m/s图2AC图1BD7．真空中有两个静止的点电荷，它们之间静电力的大小为F ．如果保持这两个点电荷之间的距离不变，而将它们的电荷量都变为原来的4倍，那么它们之间静电力的大小变为A ．16FB ．4F C ．16F D ．4F8．面积为S 的矩形导线框，放在磁感应强度为B 的匀强磁场中，当线框平面与磁场方向垂直时，穿过导线框所围面积的磁通量为A ．BSB ．SB C ．B SD ．09．在图3所示的四幅图中，正确标明了通电导线所受安培力F 方向的是10．跳水运动员从10 m 高的跳台上跳下，在运动员下落的过程中A ．运动员的动能增加，重力势能增加B ．运动员的动能减少，重力势能减少C ．运动员的动能减少，重力势能增加D ．运动员的动能增加，重力势能减少11．如图4所示，一个小球绕圆心O 做匀速圆周运动，已知圆周半径为r ，该小球运动的角速度为ω，则它运动线速度的大小为 A ．rωB ．r ωC ．r 2ωD ．2r ω12．如图5所示，一个物块在与水平方向成θ角的拉力F 作用下，沿水平面向右运动一段距离x . 在此过程中，拉力F 对物块做的功为 A ．FxB ．Fx sin θC ．Fx cos θD ．Fx tan θ13．下表为某国产空调机铭牌内容的一部分．根据表中的信息，可计算出这台空调机在额定电压下工作时消耗的电功率为A ．7 WB ．48 WC ．220 WD ．1540 W图3ABB DIC 图5请考生注意：在下面14、15两题中，每题有①、②两个小题。
2012-2013学年度第一学期期末考试试卷 高二 数学 文科(含参考答案)
2012-2013学年度第一学期期末考试试卷 高二 数学 文科（含参考答案）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（ ） A. 1,3 B. 4,1 C. 0,0 D. 6,0 2.抛物线2y ax =的焦点坐标为（ ） A. 1(,0)4aB. (,0)4a C. 1(0,)4aD. (0,)4a3.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x=±，则该双曲线的离心率等于（ ）A. 5B.C.2D.544.在学校举行的一次歌咏比赛中，已知七位评委为某班的节目评定分数的茎叶图如右，图中左边为十位数，右边为个位数，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为（ ） A. 84,4.84 B. 84,1.6 C. 85,1.6 D. 85,45.曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程是（ ）A. 72y x =+B. 74y x =+C. 2y x =-D. 4y x =-6.在11111（2）,110（5），45（8），40这四个各种进制数中，最小的数是（ ）A. 11111（2）B. 110（5）C. 45（8）D. 407.为了了解某校学生的体重情况，抽取了一个样本，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如右图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数为（ ） A. 46 B. 48 C. 50 D. 608.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A. 至少有一个黑球与都是黑球B. 至少有一个黑球与都是红球C. 至少有一个黑球与至少有一个红球D. 恰有一个黑球与恰有两个黑球9.若一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，则动圆圆心的轨迹为（ ）A. 椭圆B. 双曲线一支C.抛物线D. 圆10.函数2()2ln f x x x =-的单调减区间是（ ）A. (0,1]B. [1,)+∞C. (,1]-∞-及(0,1]D. [1,0)-及(0,1]11.若椭圆221(1)xy m m+=>与双曲线221(0)xy n n-=>有相同的焦点12,F F ,P 是两曲线的一个交点，则12F P F ∆的面积是（ ）A. 4B. 3C. 1D. 2 12.下列命题中的假命题是（ ）A.“2b ac =” 是“,,a b c 成等比数列”的充要条件B. 命题“200,10x R x ∃∈+<”的否定是“2,10x R x ∀∈+≥”C. “若a b >，则22ac bc >”的否命题D. 若命题“p ⌝”和“p q ∨”均为真，则命题q 为真二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.公共汽车站每5分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，则乘客候车不超过3分钟的概率是3514.周长为20cm 的矩形，绕一边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的 最大值为100027π15.读下面程序，该程序所表示的函数是101x y x -+⎧⎪=⎨⎪+,0,0,0x x x <=>16.对于曲线22:141xyC kk +=--，给出下面四个命题：①曲线C 不可能表示椭圆；②当14k <<时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则1k <或4k >；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512k <<其中所有正确命题的序号为③④三。
2012-2013学年高二第三次阶段考试数学(文)试题(含答案)
2012-2013学年高二第三次阶段考试数学（文）试题时量：120分钟 总分：150分一、选择题（本大题8个小题，每题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
）1、若且，则下列不等式中一定成立的是 ( )A． B． C． D．2、已知命题p：，则命题p的否定是 （ ）A. B.C. D..3、已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为 ( )A.5B.4C.3D.24、在等比数列｛a n｝中，若a1=1，公比q=2，则a12+a22+……+a n2= （ ）A、（2n-1）2B、（2n-1）C、4n -1D、（4n-1）5、已知a、b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值为 （ ）A、18B、6C、D、26、已知点（3，1）和（-4，6）在直线 3x-2y+a=0的两侧，则 a的取值范围是 ( ).（A）a<-7，或 a>24 （B）a=7或 24 （C）-7<a<24 （D）-24<a<77、下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若＝1，则＝1”的否命题为“若＝1，则≠1”B．“＝－1”是“－5－6＝0”的必要而不充分条件C．命题“∃∈R，使得+＋1＜0”的否定是“∀∈R，均有＋＋1＜0”D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题8、设和为双曲线b>0)的两个焦点,若、、P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 ( )A. B.2 C. D.3二、填空题（每小题5分，共35分）9、数列的前项和，则10、椭圆+=1上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为.11、设等差数列{}、{}的前n项和分别为、，若对任意自然数n都有＝，则的值为__________．12、中心在原点，一个焦点是(-5,0)，一条渐近线是直线4x-3y=0的双曲线方程是______13、已知m,n,m+n成等差数列,m,n,mn 成等比数列,则椭圆的离心率为_______________14、已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是15、若不等式组表示的区域面积为S，则（1）当S=2时，；（2）当时，的最小值为 .三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步聚或推证过程．）16、数列满足，（）。
【数学】北京市西城区(南区)2012-2013学年高二上学期期末考试(文)
北京市西城区（南区）2012-2013学年度第一学期高二年级期末考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
[ ]1. 若q p ∨为假命题，则A. 命题p ⌝与q ⌝的真值不同B. 命题p ⌝与q ⌝至少有一个假命题C. 命题p ⌝与q ⌝都是假命题D. 命题p ⌝与q ⌝都是真命题[ ]2. 一物体做竖直上抛运动，它距地面的高度)(m h 与时间)(s t 间的函数关系式为t t t h 109.4)(2+-=，则1=t 的瞬时速度（s m /）为A. －0.98B. 0.2C. -0.2D. -4.9[ ]3. 曲线1323+-=x x y 在点（1，-1）处的切线方程为A. 43-=x yB. 23+-=x yC. 34+-=x yD. 54-=x y [ ]4. 过点（-1，3）且平行于直线032=+-y x 的直线方程为A. 072=+-y xB. 012=-+y xC. 052=--y xD. 052=-+y x[ ]5. 准线为x=2的抛物线的标准方程是A. x y 42-=B. x y 82-=C. x y 42=D. x y 82= [ ]6. 关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是A. 若α//l ，m =⋂βα，则m l //B. 若α//l ，α//m ，则m l //C. 若α⊥l ，β//l ，则βα⊥D. 若α//l ，l m ⊥，则α⊥m [ ]7. 函数x x y ln 212-=的单调递减区间为 A. ]1,1(-B. ]1,0(C. ),1[+∞D. ),0(+∞[ ]8. 一正四棱锥各棱长均为a ，则其表面积为A.23aB. 2)31(a +C. 222aD. 2)21(a +[ ]9. 已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线的方程为A. 112422=-y xB. 141222=-y x C. 161022=-y x D. 110622=-y x [ ]10. 已知函数c x x y +-=33的图像与x 轴恰有两个公共点，则c=A. -2或2B. -9或3C. -1或1D. -3或1[ ]11. 若R k ∈，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件[ ]12. 已知ABC ∆的顶点B ，C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是A. 32B. 6C. 34D. 12二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。
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Ⅰ.完成句子
1．不论谁喜欢你都可以带着去旅游。
You can take whoever_likes the journey with you.
2．他疲惫不堪，看着报纸就睡着了。
He fell asleep while_reading_a_newspaper．
3．在我看来你好像没有多少选择的余地。
It_seems_to_me that you don't have much choice.
4．他无论在什么地方都快乐。
Wherever/No_matter_where_he_may_be,_he will be happy.
5．看起来她好像在这个世界上没有一个朋友。
It_seemed_as_if/though she didn't have a friend in the world.
Ⅱ.单项填空
1．(2012·湖南高考)________ I always felt I would pass the exam, I never thought I would get an A.
A．While B．Once
C．If D．Until
解析：选A考查连词。
句意：尽管我一直觉得自己能通过考试，但是我从未想到会得A。
由句意可知，选while，意为“尽管；虽然”。
once“一旦”；if“如果”；until“直到”。
2．(2011·上海高考)Today we have chat rooms, text messaging, emailing ... but we seem________ the art of communicating face-to-face.
A．losing B．to be losing
C．to be lost D．having lost
解析：选B考查seem的用法。
句意：今天我们可以通过聊天室、短信息、电子邮件等进行交流，但是我们似乎正在失去面对面沟通的技巧。
seem后面常跟不定式，不定式可用一般式、进行式或完成式。
此处表示现阶段正在进行的动作，故用不定式的进行时。
故选B。
3．________ her parents were strongly against it, she married the young man.
A．For B．If
C．Since D．While
解析：选D考查连词。
句意：尽管她的父母强烈反对，她还是嫁给了那个年轻人。
while 引导让步状语从句，表示“尽管，虽然”。
4．(2011·江西高考)Please call my secretary to arrange a meeting this afternoon, or______it is convenient to you.
A．whenever B．however
C．whichever D．wherever
解析：选A句意：请叫我的秘书安排今天下午的一个会议，或者无论你什么时候方便(都可以)。
this afternoon是时间状语，or在此连接两个并列的时间状语，所以用whenever“无论何时”引导时间状语从句。
5．As we grow up, it always________ that after we give something up, we gain something new in its place.
A．suggests B．promises
C．requires D．seems
解析：选D考查seem的句型。
It seems that ...意为“似乎/好像……”，为固定句型。