第一章 插值法
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数值分析 第一章 插值方法教材
2018/10/8 12
注: n次插值多项式 pn(x) ，精确讲应该是次数 ≤n的插值多项式，如下图
y Pn(x) f (x)
0
x
2018/10/8
13
插值多项式的存在性、唯一性 [利用待定系数法求解并证明]
..,n 求 pn ( x) 已知 f ( xi ) yi , i 0,1,2,....
x2 x3 例如： e 1 x ...... 2! 3!
x
插值多项式：设 f 是区间[a, b]上的一个实函数， 且有n+1个相异点x0, x1,…,xn∈[a,b], f 在xi处的值yi =f (xi) (i=0,1,2,..,n),若存在一个简单函数p(x)，使 得 p(xi)=yi (i=0,1,2,..,n) ①
f " (100) p2 (115) p1 (115) (115 110) 2 2!
10.75 0.028125 10.721875
Байду номын сангаас
115 10.723805 ......
2018/10/8
有4位有效数字。
11
结论：利用f (x)的泰勒多项式研究 f (x)，需知f (x)在 某点x0的各阶导数，这不易做到。
( n 1 )! ——泰勒余项定理
2018/10/8 8
y0 , y ,......,y 泰勒插值 已知一组数据 多项式 pn(x), 使得pn(x)满足
(1) 0
( n) 0
，求n次
(k ) (k ) pn ( x0 ) y0 , k 0,1,2,...... n
(*)
(k ) 对某一函数 f (x)，已知一组数据 f ( k ) ( x0 ) y0 , (k ) (k ) p ( x ) f ( x0 ) 求 p ( x ), 使得 p ( x ) 满足 n 0 (k 0,1,2,, n), n n
注: n次插值多项式 pn(x) ，精确讲应该是次数 ≤n的插值多项式，如下图
y Pn(x) f (x)
0
x
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插值多项式的存在性、唯一性 [利用待定系数法求解并证明]
..,n 求 pn ( x) 已知 f ( xi ) yi , i 0,1,2,....
x2 x3 例如： e 1 x ...... 2! 3!
x
插值多项式：设 f 是区间[a, b]上的一个实函数， 且有n+1个相异点x0, x1,…,xn∈[a,b], f 在xi处的值yi =f (xi) (i=0,1,2,..,n),若存在一个简单函数p(x)，使 得 p(xi)=yi (i=0,1,2,..,n) ①
f " (100) p2 (115) p1 (115) (115 110) 2 2!
10.75 0.028125 10.721875
Байду номын сангаас
115 10.723805 ......
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有4位有效数字。
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结论：利用f (x)的泰勒多项式研究 f (x)，需知f (x)在 某点x0的各阶导数，这不易做到。
( n 1 )! ——泰勒余项定理
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y0 , y ,......,y 泰勒插值 已知一组数据 多项式 pn(x), 使得pn(x)满足
(1) 0
( n) 0
，求n次
(k ) (k ) pn ( x0 ) y0 , k 0,1,2,...... n
(*)
(k ) 对某一函数 f (x)，已知一组数据 f ( k ) ( x0 ) y0 , (k ) (k ) p ( x ) f ( x0 ) 求 p ( x ), 使得 p ( x ) 满足 n 0 (k 0,1,2,, n), n n
第一讲 插值法
值计算中，经常要用到一些专用 表册，如：航海表、吃水差表等等，这
些表册都是按一定的函数关系编排的，
如：
根据已知的x值，查表可求得y值，但是表内不 可能一一列出全部y值，当所求的函数值y正好 在两表列数值之间，利用表列数据间的引数求 y值的方法称为内插法。 内插法： 利用函数表册，根据任意居间引数查取相应函
5.0
2. 比例反内插 (inverse proportional interpolation) 内插的逆运算，，已知求？ 比例内插公式
比例反内插公式
二. 比例双内插 (proportional double interpolation) 当函数有两个自变量时，用比例双内插求近 似解。
比例双内插是比例单内插的自然推广。
1．比例正内插 已知 求 。
引数
x0 x1 …
函数值
yo y1 …
y
比例内插公式：
y1 y
f(x ) c
d
y0
a x0
e x
b
x
O
x1
y y1 y y0 d
f(x 比例内插的几何意义： )
c
用表列引数两点的直线代替 曲线进行内插，即以弦代替 曲线进行内插。
f
a e
b
结论： 1）f(x)为线性函数，求得的y
（1） 用比例内插 y＝5.5 （2） 用x＝2变率内插 y＝4＋4（2.3－2）＝5.2 （3） 用x＝3变率内插 y＝9＋6（2.3－3）＝4.8 （4） 用y＝x2直接计算 y＝5.29
x
y
dy dx
2 3 4
4 9 16
4 6 8
分析：
① 比例内插误差大；
② x＝2的变率内插较准。 结论：
些表册都是按一定的函数关系编排的，
如：
根据已知的x值，查表可求得y值，但是表内不 可能一一列出全部y值，当所求的函数值y正好 在两表列数值之间，利用表列数据间的引数求 y值的方法称为内插法。 内插法： 利用函数表册，根据任意居间引数查取相应函
5.0
2. 比例反内插 (inverse proportional interpolation) 内插的逆运算，，已知求？ 比例内插公式
比例反内插公式
二. 比例双内插 (proportional double interpolation) 当函数有两个自变量时，用比例双内插求近 似解。
比例双内插是比例单内插的自然推广。
1．比例正内插 已知 求 。
引数
x0 x1 …
函数值
yo y1 …
y
比例内插公式：
y1 y
f(x ) c
d
y0
a x0
e x
b
x
O
x1
y y1 y y0 d
f(x 比例内插的几何意义： )
c
用表列引数两点的直线代替 曲线进行内插，即以弦代替 曲线进行内插。
f
a e
b
结论： 1）f(x)为线性函数，求得的y
（1） 用比例内插 y＝5.5 （2） 用x＝2变率内插 y＝4＋4（2.3－2）＝5.2 （3） 用x＝3变率内插 y＝9＋6（2.3－3）＝4.8 （4） 用y＝x2直接计算 y＝5.29
x
y
dy dx
2 3 4
4 9 16
4 6 8
分析：
① 比例内插误差大；
② x＝2的变率内插较准。 结论：
第一章多元插值
§1. 多元插值问题的提法设 D 是维s 欧氏空间sR 中的有界闭区域。
12,,,kx x x 是D 中k 个互不相同的点。
12(),(),,()kP x P x P x 是定义于D 上的k 个线性无关的s 元实值连续函数（通常取为多元多项式）。
()f x 是定义于D 上的s 元实值连续函数。
所谓多元插值问题，就是要找出实线性组合式1122()()()()kkP x c P x c P x c P x =+++ （1.1）使之满足差之条件()(),1,2,,iiP x f x i k == （1.2）这样求得的()P x 称为函数()f x 的广义插值多项式，()f x 称为被插函数，而插值逼近的误差()()()r x f x P x =- （1.3） 称为插值余项。
今后我们将插值条件（1.2）中所用的点组{}1k ii x =称为插值节点组，而把由12(),(),,()kP x P x P x 的所有实系数线性组合做成的线性空间P 称为插值空间。
若对于任何连续函数()f x ，上述问题（1.1）-（1.2）的解总是存在且唯一的，则说该问题为适定插值问题，并称结点组{}1k ii x =是空间P 的适定结点组。
大家知道，多元插值法在多元函数的列表、外形曲面的设计和有限元法中有着广泛的应用。
而其中经常应用的所谓多元多项式插值，即取上述的{}iP 为s 元的代数多项式的情形。
在本章中我们仅就二元多项式插值问题进行讨论。
其中许多方法和结论都不难推广到变元更多的多项式插值问题中去。
与一元多项式插值不同，二元（或多元）多项式插值的结点组是不能任意选的。
选得不好就会导致插值问题的不适定，从而就找不到所要求的插值多项式。
例如，在平面上任取直线上的三个点做二元一次插值，和取圆内接六边形的六个顶点做二元二次插值，都将出现插值问题不适定的情形。
因此，研究二元多项式插值必须首先解决插值的适定性问题。
为了解决这个问题，我们应该从代数曲线论中的Bezout 定理讲起。
数值分析与计算方法 第一章 插值法
同 理 ： (t) 至 少 有n 个 互 异 零 点；
(t) 至 少 有n 1 个 零 点 ；
(n1) (t ) 至 少 有 一 个 零 点 ； 即 (a ，b)，
(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x)n1(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x) (n
1)!
f (n1) ( ) K ( x) (n 1)! 0
x x0 x1 x2 xn ， y f ( x)？ y y0 y1 y2 yn
（1）有的函数没有表达式，只是一种表格函数，而我们需要的 函数值可能不在该表格中。
（2）如果函数表达式本身比较复杂，计算量会很大；
对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单
的函数 P x来近似代替 f ( x)，求 P x 的方法称为插值法。
Ln1( x)
为此我们考虑对Lagrange插值多项式进行改写； ——由唯一性，仅是形式上的变化
期望：Ln ( x) 的计算只需要对Ln1( x)作一个简单的修正.
考虑 h( x) Ln ( x) Ln1( x) h( x) 是次数 n 的多项式，且有
h( x j ) Ln ( x j ) Ln1( x j ) 0 ，j 0 ，1，2 ，L ，n 1 ；
)
3
)
1 2
(x
(
4
6
6
)( x
)(
4
3
)
3
)
1
(
x
6
)(
x
4
)
2
(
3
6
)(
3
4
)
3 2
第1节课 第一章 插值法 拉格朗日插值 分段插值
当选择代数多项式作为插值函数类时，称为代数多项 式插值问题: 代数多项式插值问题: 设函数y=f(x)在[a,b]有定义, 且已知在n+1个点 a≤x0<x1<……<xn≤b上的函数值y0, y1,……,yn.,要求一 个次数不高于n的多项式
Pn ( x) a0 a1 x a2 x2 an xn
L1 (x)的表达式：
点斜式:
L1( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
变换可得:
L1( x)
x x0 x1 x0
y1
x1 x x1 x0
y0
可以看到， L1 (x)是由两个线性函数
l0(x)
x1 x x1 x0
, l1( x)
x x0 x1 x0
的线性组合得到，其系数分别为y0， y1。即
l0(x)
x x1 x0 x1
,
l1( x)
x x0 x1 x0
.
y
1
l (x) 0
y
1
l (x) 1
O
x 0
x 1
x
Ox 0
xx 1
抛物插值
假定插值节点为x0, x1, x2 ，求二次插值多项 式 L2 (x)，使 L2(xj)=yj (j=0,1,2)
y= L2 (x)的几何意义就是过 (x0, y0)，(x1, y1) ， (x2, y2)三点的抛物线。 采用基函数方法，设
任意一天的日照时间？
日照时间的变化设为 y(x)=a0+ a1x + a2x2, 根据三组数据: (1, 13.21)， (31, 14.35)， (61, 14.66)
导出关于a0，a1，a2的线性方程组
1插值法
1 x1
2 x1
1 xn
2 xn
n x0
n x1
n xn
( xi x j )
i 1 j 0
n
i 1
§1.1 引言
（预备知识3 ）泰勒(Taylor)公式
设f ( x)在包含x0的(a, b)内具有直到n阶导数， 当x (a, b)时有： f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) n!
§1.1 引言
一. 问题提出：
表示两个变量x,
y内在关系，一般由函数式 y = f(x) 表
达。但在实际问题中，有两种情况： 1. 由实验观测而得的一组离散数据(函数表) , 显然这 种函数关系式 y = f(x) 存在且连续, 但未知。 2. 函数解析表达式已知, 但计算复杂, 不便使用。通常
2点L公式
§1.2 Lagrange 插值
容易验证，过点 (x0, y0) 与 (x1, y1) 直线方程就是上 式 ，如下图所示。
y
误差
y (x ) f (x )
f (x ) y (x )
x0
x1
x
§1.2 Lagrange 插值
二. 抛物线插值(三点插值)
已知三个插值节点及其函数值：
§1.1 引言
插值公式
y i yi
n
(1)
(2)
近似关系式 f ( x)
i 0
i 0 n
i
第1章 插值法_xin
pn ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x) （2.3）
事实上，由于每个插值基函数 lk ( x)(k 0,1,, n) 都是n次 多项式，故其线性组合（2.3）必是不高于n次的多项式，同时， xi 根据条件（2.1）容易验证多项式（2.3）在节点 处的值 为 yi i 0,1,, n ，因此，它就是待求的n次插值多项式Pn x 。 形如(2.3)的插值多项式称为Lagrange插值多项式，记为
y L2 x
(x , y )
1 1
(x , y )
2 2
y f x
0
x
0
图3
x
1
x
115 L1 (115) 10 *
115 121 115 100 11* 10.714 100 121 121 100
15
仿上，用抛物插值公式（2.7）所求得的近似值为
将所得结果与 115 的精确值10.7238…相比较，可以看出抛物插值 的精确度较好。 为了便于上机计算，我们常将拉格朗日插值多项式（2.4）改 写成公式（2.8）的对称形式
编程框图如图4，可用二重循环来完成 Ln (x)值的计算，先通过内 循环，即先固定k，令 j 从 0到 n ( j k ) ，累乘求得
8
（2) Taylor余项
f ( n1) ( ) f ( x) pn ( x) ( x x0 ) n1 , [a, b] (n 1)!
（3) Taylor插值 求做n次多项式 pn ( x) ，使满足
( pnk ) ( x0 ) f (k ) ( x0 ), k 0,1,, n
有的函数解析表达式过于复杂，不便直接使用；
插值专业知识讲座
(t) f (t) L2 (t) k(x)(t x0 )(t x1)(t x2 ),
易知，x0, x1, x2, x为Ψ(t)旳4个零点，在4个点两两构成旳区
间上，应用Rolle定理，然后再反复应用Rolle定理即得证。
例1.1 给定sin11°=0.190809,sin12°=0.207912,求线性插 值，并计算sin11°30'和sin10°30' 。
2
2
例1.2 给定sin11°=0.190809,sin12°=0.207912, sin13°=0.224951,构造二次插值，并计算 sin11°30′。
解 x0= 11, x1= 12, x2= 13, y0= 0.190809, y1= 0.207912,y2= 0.224951，
L2
(x)
l0(x) = A (x - x1)(x - x2)。
由条件：l0(x0) = 1，得
A
1
,
(x0 x1)(x0 x2 )
l0
(x)
(x (x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
.
同理可得，
l1 ( x)
(x ( x1
x0 x0
)(x x2 ) )(x1 x2 )
,
l2 (x)
)
(x
x0
)( x
x1) (1.3)
证明 因为L(xi)= f(xi),i=0,1,所以，R1(x0)=R1(x1)=0, 即 x0,x1为R1(x)旳两个根。所以，可设R1(x)为
可设
R1(x) = k(x)(x-x0)(x-x1).
固定任一 x，作辅助函数，令
(t) f (t) L1(t) k(x)(t x0 )(t x1),
第一章 插值方法
(100 121)(100 144)
(121 100) (121 144)
(115 100)(115 121) 12 (144 100)(144 121)
10.7228
例子插值精度分析
线性插值
(100,10), (121,11)得到
10.71428 误差-0.009525
(121,11),(144,12)
(x 121)(x 144) (100 121)(100 144)
10
(x 100)(x 144) (121 100) (121 144)
11
(x 100)(x 121) 12 (144 100)(144 121)
(115 121)(115 144) 10 (115 100)(115 144) 11
如何解决？
埃特金插值公式
埃 特 金 (Aitken) 插 值 公 式 的 构 造 是 基于这样的直观想象：平面上的两个点 可以连成一条直线, 对应一个线性函数； 把线性函数看作形式点, 经线性组合, 可构成二次函数；把二次函数再看作形 式点, 经线性组合, 可构成三次函数。
Aitken 插值表
x f(x)
点个不n次同插）值，多譬项如式选p取n(2x) (1x, )…。,由xn上,x述n+1定，理再，构我造们一有
f ( x) pn(1) ( x)
f (n1) (n
(1)
1)!
(
x
x0
)(
x
x1)(
x
xn
)
f ( x) pn(2) ( x)
f
( ( n 1) 2
(n 1)!
)
(
x
x1)(
x
近似值：p3(0.6)=-0.509975， 真 误 差 ： ln(0.6)-p3(0.6)=-0.000851 ，
第1章插值教案
第1章 插 值1.1 插 值插值问题的提出✌导入：插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用 。
在生产和实验中，函数f(x)或者其表达式不便于计算，或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，例如，有很多的物理、化学的实验数据；又例如，温度问题、股票的变化问题等。
我们希望建立一个简单的而便于计算的函数g (x)，使其近似的代替f (x)。
建立的方法可采用插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit 插值,分段插值和样条插值。
基本概念由实验或测量的方法得到所求函数 )(x f y = 在互异点n x x x 10, 处的值n y y y ,,,10 构造一个简单函数 )(x φ作为函数 )(x f y = 的近似表达式)()(x x f y φ≈=，使得 n n y x y x y x ===)(,)(,)(2211φφφ （1）这类问题称为插值问题。
)(x f 称为被插值函数，)(x φ 称为插值函数， x 0 , x 1, ... , x n 称为插值节点。
(1)式称为插值条件。
✌插值的任务就是由已知的观测点,为物理量(未知量)建立一个简单的、连续的解析模型，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性。
我们知道函数的类型很多，用来作插值函数的种类不同，所求得的插值函数 P(x)逼近f(x)的效果不同，常用的有代数多项式、三角函数式、和有理函数式等。
当选用的是代数多项式，相应的插值问题称为多项式插值。
在多项式插值中，最常见、最基本的函数是求一次数不超过n 的代数多项式：)1()(2210nn n x a x a x a a x P ++++=L这时插值问题变为:求n 次多项式P n (x),使满足插值条件)2(,,2,1,0,)(n i y x P i i n L ==只要求出P n (x)的系数a 0 ,a 1,…, a n 即可,为此由插值条件(2)知P n (x)的系数满足下列n+1个代数方程构成的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n n n n n n nn y x a x a x a a y x a x a x a a y x a x a x a a n n L L L L 22101212110022010100而a i (i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde 行列式xxx x xx x x x x x x n n2nnn1211n 0200n 10...1..................1...1),...,,V(=∏∏=-=-=n i i j j i x x 11)(由于x i 互异，所以(4)右端不为零，从而方程组(3)的解 a 0 ,a 1 ,…a n 存在且唯一。
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( n 1 )
f
(n)
( x0 )
n!
( x x0 )
n
( )
( n 1) !
( x x0 )
n 1
取前n+1项的部分和Pn(x)作为f(x)的近似式,也即
Pn ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) f (x) f
(n)
( x0 )
按照三次样条插值函数的定义,s(x)在每一个子区 间［xk,xk+1 ］上是一个不超过三次的多项式,故s″(x)是 线性函数。 令
mk=s″(xk),
k=0,1,2,…,n
(1―15)
设x∈［xk,xk+1］,则过两点(xk,mk)与(xk+1,mk+1)的直 线所表示的线性函数为
s ( x ) m k x k 1 x hk m k 1 x xk hk
是一个不超过三次的多项式,且
s(xi)=f(xi),i=0,1,2,…,n (1―14)
(2)函数s(x)在［a,b］上具有直到二阶的连续导数,则
称s(x)是f(x)以x1,x2,…,xn-1为内部基点的三次样条插值函
数,并称(xi,yi)(i=0,1,2,…,n)为样条插值函数的样点。
5.2 三次样条插值法
Bk yk m k
(1―21)
由式(1―18)可看出三次样条插值函数s(x)仅与 mk、m k+1有关系,因此只要求得各个mk,则各个子区 间［xk,x k+1］上的三次样条函数也就确定了。下面
介绍求mk的方法。
s ( x ) m k
( x k 1 x ) 2 hk hk 6
可得：
x y
0 0
x1 y
1
x y
2
2
l 0 (x )
( x x 1 )( x x 2 ) (x
0
x 1 )( x
0
x2)
l1 (x )
( x x 0 )( x x 2 ) ( x 1 x 0 )( x 1 x 2 )
l 2 (x )
( x x 1 )( x x 0 ) (x
2
3 x 1
( x 0 ) ( x 1) ( 2 0 ) ( 2 1)
例2 已知函数y=f(x)的观测数据为
x
y
1
0
2
-5
3
-6
4
3
试求拉格朗日插值多项式。 解
p3 ( x ) 0 ( x 2 )( x 3)( x 4 ) (1 2 )(1 3)(1 4 ) ( x 1)( x 3)( x 4 ) ( 2 1)( 2 3)( 2 4 ) ( x 1)( x 2 )( x 4 ) ( 3 1)( 3 2 )( 3 4 )
2
y k y k 1 h k 1
( m k m k 1 )
s ( xk )
h k 1 2
mk
y k y k 1 h k 1 h k 1 3
h k 1 6
n!
( x x0 )
n
§2 线性插值与二次插值
2.1 线性插值 线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设 给定了函数f(x)在两个互异点x0,x1的值,即
x x0 x1
y
y0
y1
现要用一线性函数
φ(x)=P1(x)=ax+b (1-3)
近似地代替f(x)。按照插值原则,式(1―2)应有
ax0 b y0 a x1 b y 1
2.2 二次插值
二次插值又称为抛物线插值,也是常用的代数多项 式 插 值 之 一 。 设 已 知 函 数 f(x) 的 三 个 互 异 插 值 基 点 x0,x1,x2的函数值分别为y0,y1,y2,见下表所示:
x y
xo y0
x1 y1
x2 y2
现要构造一个二次函数
φ(x)=P2(x)=ax2+bx+c 近似地代替f(x),并满足插值原则(1―2) P2(xi)=yi, i=0,1,2,… 由(1―7)式得
3
(1―18)
Ak ( x x k ) B k
其中Ak、Bk为积分常数。根据插值原则
s( xk ) yk s ( x k 1 ) y k 1
s(x) mk ( x k 1 x ) 6 hk
3
m k 1
( x xk ) 6 hk
3
Ak ( x x k ) B k
特别当n=1时,即得到y=f(x)的线性插值多项式(1―5):
P1 ( x ) y 0 x x1 x 0 x1 y1 x x0 x1 x 0
或(4―4)式:
y1 y 0 x1 x 0
P1 ( x ) y 0
( x x0 )
当 n=2 时，即已知三点
x y
y f (x )
二次插值的几何意义是用经过三点
y P 2 ( x ) A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2)的抛物线来
近似地代替f(x)
X
x
0
x1
x
2
§3 代数多项式插值的存在唯一性
线性插值和二次插值都属于代数多项式插值。
对于一般的代数插值问题,就是寻求一个不高于n次 的代数多项式 Pn(x)=a0+a1x+a2x2
( x x 0 )( x x 1 ) ( x 2 x 0 )( x 2 x 1 )
也称为抛物线插值
例1 已知函数y=f(x)的观测数据为
x
0
1
2
y
解
p2 ( x ) 1
1
2
3
试求拉格朗日插值多项式。
( x 1) ( x 2 ) ( 0 1) ( 0 2 ) ( x 0 )( x 2 ) (1 0 ) (1 2 )
( 5) (6) 3
3
( x 1)( x 2 )( x 3) ( 4 1)( 4 2 )( 4 3)
2
x 4x 3
§5 三次样条插值
5.1 三次样条插值函数的定义
设给定区间［a,b］上n+1个点 a=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b 如果函数s(x)满足: (1)在每一个子区间［xk,xk+1 ］(k=0,1,…,n-1)上,s(x)
2 n
(1―11)
其中未知量a0,a1,…,an 的系数行列式为范德蒙特( Vander Monde)行列式
1 V ( x 0 , x1 , , x n ) 1 1 x0 x1 xn x0 x1 xn
2 2 2
x0 x1
n n n
xn
由于插值基点xi(i=0,1,…,n)为互异,故 V(x0,x1,…,xn)≠0 因此,方程组(1―11)有唯一的一组解a0,a1,…,an,于 是Pn(x)存在且唯一。
ax0 bx0 c y0 2 a x1 b x1 c y1 2 ax2 bx2 c y2
2
(1―6)
(1―7)
(1―8)
由于方程组(1―8)中x0,x1,x2互异,则
x0 x1
Y
2 2 2
x0 x1 x2
1 1 0 1
x2
因此,a,b,c可唯一地确定。这样二 次函数P2(x)也唯一地被确定。 P2(x)就是我们要求的二次插值多 项式。
2
x 1 )( x
2
x0)
P1 ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y 2 l 2 ( x )
即：
p2 ( x) y0 y2
( x x 1 )( x x 2 ) ( x 0 x 1 )( x 0 x 2 )
y1
( x x 0 )( x x 2 ) ( x 1 x 0 )( x 1 x 2 )
因为x0≠x1,所以a,b可唯一确定,且有
a y1 y 0 x1 x 0 y1 y 0 x1 x 0 x0
b y0
代入式(1―3)得
p1 ( x ) y 0
y1 y 0 x1 x 0
( x x0 )
(1―4)
Y
y P1 ( x )
y f (x )
由于代数多项式具有形式简单,便于计算,且在某些
情况下与给定的函数有较好 的逼近的特性,人们很早就 用它去近似地表示复杂的函数或由表格给出的函数。
若仅限于求函数在x=x0附近的近似值,一个熟知的办法
就是将f(x)在x=x0处 展成泰勒级数,即
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) f
第一章
插值方法
§1 插值问题
设函数关系y=f(x)在区间［a,b］上给出一系列点的 函数值 yi=f(xi), i=0,1,2,…,n （1-1） 这里
a≤x0＜x1＜x2＜…＜x≤b
欲选择一个函数φ(x),使得 φ(xi)=yi, i=0,1,2,…,n 似表达式。 （1-2） 作为函数y=f(x)的近
…+
anxn
(1―9)
使其在给定的n+1个互异的插值基点上满足插
值原则
Pn(xi)=yi, i=0,1,…,n (1―10)
这样的多项式是否存在并且唯一呢?回答是肯定的。
根据插值原则式(1―10),代数多项式(1―9)中的各 个系数a0,a1,…,an应满足下列n+1阶线性方程组
Pn ( x 0 ) a 0 a 1 x 0 a 2 x 0 a n x 0 y 0 2 n Pn ( x 1 ) a 0 a 1 x 1 a 2 x 1 a n x 1 y 1 P (x ) a a x a x2 a xn y n n 0 1 n 2 n n n n
f
(n)
( x0 )
n!
( x x0 )
n
( )
( n 1) !
( x x0 )
n 1
取前n+1项的部分和Pn(x)作为f(x)的近似式,也即
Pn ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) f (x) f
(n)
( x0 )
按照三次样条插值函数的定义,s(x)在每一个子区 间［xk,xk+1 ］上是一个不超过三次的多项式,故s″(x)是 线性函数。 令
mk=s″(xk),
k=0,1,2,…,n
(1―15)
设x∈［xk,xk+1］,则过两点(xk,mk)与(xk+1,mk+1)的直 线所表示的线性函数为
s ( x ) m k x k 1 x hk m k 1 x xk hk
是一个不超过三次的多项式,且
s(xi)=f(xi),i=0,1,2,…,n (1―14)
(2)函数s(x)在［a,b］上具有直到二阶的连续导数,则
称s(x)是f(x)以x1,x2,…,xn-1为内部基点的三次样条插值函
数,并称(xi,yi)(i=0,1,2,…,n)为样条插值函数的样点。
5.2 三次样条插值法
Bk yk m k
(1―21)
由式(1―18)可看出三次样条插值函数s(x)仅与 mk、m k+1有关系,因此只要求得各个mk,则各个子区 间［xk,x k+1］上的三次样条函数也就确定了。下面
介绍求mk的方法。
s ( x ) m k
( x k 1 x ) 2 hk hk 6
可得：
x y
0 0
x1 y
1
x y
2
2
l 0 (x )
( x x 1 )( x x 2 ) (x
0
x 1 )( x
0
x2)
l1 (x )
( x x 0 )( x x 2 ) ( x 1 x 0 )( x 1 x 2 )
l 2 (x )
( x x 1 )( x x 0 ) (x
2
3 x 1
( x 0 ) ( x 1) ( 2 0 ) ( 2 1)
例2 已知函数y=f(x)的观测数据为
x
y
1
0
2
-5
3
-6
4
3
试求拉格朗日插值多项式。 解
p3 ( x ) 0 ( x 2 )( x 3)( x 4 ) (1 2 )(1 3)(1 4 ) ( x 1)( x 3)( x 4 ) ( 2 1)( 2 3)( 2 4 ) ( x 1)( x 2 )( x 4 ) ( 3 1)( 3 2 )( 3 4 )
2
y k y k 1 h k 1
( m k m k 1 )
s ( xk )
h k 1 2
mk
y k y k 1 h k 1 h k 1 3
h k 1 6
n!
( x x0 )
n
§2 线性插值与二次插值
2.1 线性插值 线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设 给定了函数f(x)在两个互异点x0,x1的值,即
x x0 x1
y
y0
y1
现要用一线性函数
φ(x)=P1(x)=ax+b (1-3)
近似地代替f(x)。按照插值原则,式(1―2)应有
ax0 b y0 a x1 b y 1
2.2 二次插值
二次插值又称为抛物线插值,也是常用的代数多项 式 插 值 之 一 。 设 已 知 函 数 f(x) 的 三 个 互 异 插 值 基 点 x0,x1,x2的函数值分别为y0,y1,y2,见下表所示:
x y
xo y0
x1 y1
x2 y2
现要构造一个二次函数
φ(x)=P2(x)=ax2+bx+c 近似地代替f(x),并满足插值原则(1―2) P2(xi)=yi, i=0,1,2,… 由(1―7)式得
3
(1―18)
Ak ( x x k ) B k
其中Ak、Bk为积分常数。根据插值原则
s( xk ) yk s ( x k 1 ) y k 1
s(x) mk ( x k 1 x ) 6 hk
3
m k 1
( x xk ) 6 hk
3
Ak ( x x k ) B k
特别当n=1时,即得到y=f(x)的线性插值多项式(1―5):
P1 ( x ) y 0 x x1 x 0 x1 y1 x x0 x1 x 0
或(4―4)式:
y1 y 0 x1 x 0
P1 ( x ) y 0
( x x0 )
当 n=2 时，即已知三点
x y
y f (x )
二次插值的几何意义是用经过三点
y P 2 ( x ) A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2)的抛物线来
近似地代替f(x)
X
x
0
x1
x
2
§3 代数多项式插值的存在唯一性
线性插值和二次插值都属于代数多项式插值。
对于一般的代数插值问题,就是寻求一个不高于n次 的代数多项式 Pn(x)=a0+a1x+a2x2
( x x 0 )( x x 1 ) ( x 2 x 0 )( x 2 x 1 )
也称为抛物线插值
例1 已知函数y=f(x)的观测数据为
x
0
1
2
y
解
p2 ( x ) 1
1
2
3
试求拉格朗日插值多项式。
( x 1) ( x 2 ) ( 0 1) ( 0 2 ) ( x 0 )( x 2 ) (1 0 ) (1 2 )
( 5) (6) 3
3
( x 1)( x 2 )( x 3) ( 4 1)( 4 2 )( 4 3)
2
x 4x 3
§5 三次样条插值
5.1 三次样条插值函数的定义
设给定区间［a,b］上n+1个点 a=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b 如果函数s(x)满足: (1)在每一个子区间［xk,xk+1 ］(k=0,1,…,n-1)上,s(x)
2 n
(1―11)
其中未知量a0,a1,…,an 的系数行列式为范德蒙特( Vander Monde)行列式
1 V ( x 0 , x1 , , x n ) 1 1 x0 x1 xn x0 x1 xn
2 2 2
x0 x1
n n n
xn
由于插值基点xi(i=0,1,…,n)为互异,故 V(x0,x1,…,xn)≠0 因此,方程组(1―11)有唯一的一组解a0,a1,…,an,于 是Pn(x)存在且唯一。
ax0 bx0 c y0 2 a x1 b x1 c y1 2 ax2 bx2 c y2
2
(1―6)
(1―7)
(1―8)
由于方程组(1―8)中x0,x1,x2互异,则
x0 x1
Y
2 2 2
x0 x1 x2
1 1 0 1
x2
因此,a,b,c可唯一地确定。这样二 次函数P2(x)也唯一地被确定。 P2(x)就是我们要求的二次插值多 项式。
2
x 1 )( x
2
x0)
P1 ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y 2 l 2 ( x )
即：
p2 ( x) y0 y2
( x x 1 )( x x 2 ) ( x 0 x 1 )( x 0 x 2 )
y1
( x x 0 )( x x 2 ) ( x 1 x 0 )( x 1 x 2 )
因为x0≠x1,所以a,b可唯一确定,且有
a y1 y 0 x1 x 0 y1 y 0 x1 x 0 x0
b y0
代入式(1―3)得
p1 ( x ) y 0
y1 y 0 x1 x 0
( x x0 )
(1―4)
Y
y P1 ( x )
y f (x )
由于代数多项式具有形式简单,便于计算,且在某些
情况下与给定的函数有较好 的逼近的特性,人们很早就 用它去近似地表示复杂的函数或由表格给出的函数。
若仅限于求函数在x=x0附近的近似值,一个熟知的办法
就是将f(x)在x=x0处 展成泰勒级数,即
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) f
第一章
插值方法
§1 插值问题
设函数关系y=f(x)在区间［a,b］上给出一系列点的 函数值 yi=f(xi), i=0,1,2,…,n （1-1） 这里
a≤x0＜x1＜x2＜…＜x≤b
欲选择一个函数φ(x),使得 φ(xi)=yi, i=0,1,2,…,n 似表达式。 （1-2） 作为函数y=f(x)的近
…+
anxn
(1―9)
使其在给定的n+1个互异的插值基点上满足插
值原则
Pn(xi)=yi, i=0,1,…,n (1―10)
这样的多项式是否存在并且唯一呢?回答是肯定的。
根据插值原则式(1―10),代数多项式(1―9)中的各 个系数a0,a1,…,an应满足下列n+1阶线性方程组
Pn ( x 0 ) a 0 a 1 x 0 a 2 x 0 a n x 0 y 0 2 n Pn ( x 1 ) a 0 a 1 x 1 a 2 x 1 a n x 1 y 1 P (x ) a a x a x2 a xn y n n 0 1 n 2 n n n n