五年级奥数包含与排除和旋转对称

包含与排除和旋转对称
课前预习
铅球比赛场地
有人参加过铅球比赛么？有谁知道铅球的比赛场地是什么样子的？如何才能画一个标准的铅球比赛场地呢？
铅球的比赛场地是一个扇形的比赛场地，上面有环形的尺度，下面介绍一种铅球比赛场地的画法。

在学校运动会、小型比赛及体育教学中，铅球场地往往都被安排在远离径赛场地的“偏僻角落里”。

其一，是为了安全；其二，是为了保护塑胶场地；其三，是铅球比赛需要土质场地或草皮。

铅球场地的传统画法是：先用测绳测量，再用标枪沿测绳划出痕迹，后用白灰浇出白线。

而往往“偏僻角落里”的场地质地较差，高洼不平，杂草丛生，即使勉强画上白线，也模糊不清、参差不齐、宽窄不一。

况且在比赛过程中，人为踩踏，器械砸击、风吹雨淋，使角度线、远度线和延长线变得更加模糊，裁判员需经常描画，给裁判工作带来诸多不便。

本人在实际教学、裁判工作中摸索出一种用白布条（或白塑料编织材料）代替白灰绘制比赛场地的方法。

第一：材料与制作
用白布裁剪、缝制成宽5厘米、厚3—4层的白布条，长度可根据比赛的组别，及实际情况而定，可剪短，可接长。

第二：具体画法
把白布条沿用测绳已测量好的角度线、远度线和延长线拉直且相吻合，用长铁钉钉地固定两端，再沿白布条的两边缘每隔1—2米用铁钉交错钉牢，用醒目的颜色在白布条上注明远度数字。

第三：延用
此法可延用于其他田赛项目的比赛场地、以及径赛项目的起点、终点和弯直道交接线的绘制。

第四：备用
比赛完毕后，将铁钉拔出，白布条捆扎、收藏好以备下次再用。

瞧，用这法绘制比赛场地，既经济实用，避免重复测画场地，又能及时、公正、准确地测定学生和运动员的练习和比赛成绩。

您不妨一试。

圆的知识：
1. 当一条线段绕着它的一个端点O 在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫做圆，点O 叫
做这个圆的圆心.
2. 连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径.
3. 连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦.过圆心的弦叫做圆的直径.
4. 圆的周长与直径的比叫做圆周率.圆周上任意两点间的部分叫做弧.
5. 圆周长=直径×π.=半径×2π 圆面积=π×半径2.
扇形的知识：
1. 扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形.顶点在圆心的角叫做圆心角.
2. 我们经常说的
12圆、14圆、1
6
圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是
360
n
． 3. 扇形中的弧长= 180r n π.扇形的周长= 180r n π+2r.扇形的面积=360
2
r n π =
.
弓形的知识：
弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形。

【一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)】
常用方法：
1. 常用的思想方法：
①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)
④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)
2. 包含与排除法：重叠想减就是应用了包含与排除的思想，用包含与排除求面积时，关键是考虑重叠部分的
面积如何正确处理，应该加上还是减去，要仔细思考，正确选择。

3. 旋转对称：将不规则图形或几个图形经过旋转、对称之后成为一个或几个规则图形进行面积计算的方法。

重点：利用容斥原理就是重叠相减法求面积。

重难点
知识框架
难点：利用容斥原理如何对重叠部分的面积进行正确的处理。

如何利用旋转对称对所求图形进行简化。

例题精讲
【例1】求图中阴影部分的面积（用π的式子表示）
【巩固】如图，直角三角形的边长分别为6，8，10，求阴影部分的面积．(π取3)
【例2】图23中长方形的长是10厘米，宽是4厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？（用π的式子表示）
【巩固】如图，矩形ABCD 中，AB =6厘米，BC =4厘米，扇形ABE 半径AE =6厘米，扇形CBF 的半径
CB =4厘米，求阴影部分的面积．（用π的式子表示）
【例 3】 扇形AFB 恰为一圆的 四分之一，BCDE 是正方形，AFBG 也是正方形，则图中阴影部分的面积是多少？
（用π的式子表示）
【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(π取3) （用π的式子表示）
【例 4】 (2008年四中考题)已知三角形ABC 是直角三角形，4cm AC =，2cm BC =，求阴影部分的面积．（用π的
式子表示）
【巩固】长方形的长为10，宽为4，求图中阴影部分的面积。

（π取3）
【例5】（奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个阴影部分的面
积的和是多少平方厘米.
【巩固】在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，1，2，3，部分的面积和为80，3张纸片共同重叠的面积是阴影
部分，求阴影部分得面积。

【例 6】 已知半圆所在的圆的面积为62.6平方厘米，求阴影部分的面积．(π=3.14)
【巩固】一个正方形的边长为2，它的一半是一个等腰直角三角形，逆时针旋转90度，得到如下图型，求
阴影部分得面积。

（用π的式子表示）
【例 7】 下图是一个直径为3的半圆，让这个半圆以A 点为轴沿逆时针方向旋转60度,此时B 点移动到B’点，求阴
影部分的面积。

（用π的式子表示）
【巩固】如图，AB 与CD 是两条垂直的直径，圆O 的半径为15， AEB 是以C 为圆心，AC 为半径的圆弧． 求
阴影部分面积．
B
A
C
B
【例8】草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见如图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取3.14)（用π的式子表示）
【巩固】一只狗被拴在底座为边长3米的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是4米，求狗所能到的地方的总面积．(圆周率按3.14计算)
【例9】正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落在这条直线上，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(用π的式子表示）
【巩固】直角三角形ABC 放在一条直线上，斜边AC 长20厘米，直角边BC 长10厘米．如下图所示，三
角形由位置Ⅰ绕A 点转动，到达位置Ⅱ，此时B ，C 点分别到达1B ，1C 点；再绕1B 点转动，到
达位置Ⅲ，此时A ，1C 点分别到达2A ，2C 点．求C 点经1C 到2C 走过的路径的长．
（用π的式子
表示）
【例 10】 如图所示，直角三角形ABC 的斜边AB 长为10厘米，60ABC ∠=︒，此时BC 长5厘米．以点B 为中心，
将三角形ABC 顺时针旋转120︒，点A 、C 分别到达点E 、D 的位置．求AC 边扫过的图形即图中阴影部分的面积．（用π的式子表示）
【巩固】如右图，以OA 为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以O 点为中心
旋转90度，问：三角形扫过的面积是多少？(π取3) （用π的式子表示）
60︒30︒
B 1
C 1C 2
A 2
C
B A
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
E
课堂检测
1、正方形的边长为2，求阴影部分的面积。

（用π的式子表示）
2、如图所示，圆的半径为4，BC=10，求阴影部分的面积。

（用π的式子表示）
3、如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米，（用π的式子表示）
4、一头羊被7米长的绳子拴在正五边形建筑物的一个顶点上，建筑物边长为3米，周围都是草地，这头
羊能吃到得草的面积是多少？（用π的式子表示）
1、 在解决圆与扇形的组合图形时，先观察图形中自己会求得图形的面积，然后再分析如何利用这几个图形来
求组合图形的面积。

2、 解决旋转图形的问题时，要认真分析运动着的物体所经过的路线或范围。

1、在下图中，阴影部分的面积是5平方厘米，以OA 为直径的半圆的面积是多少？（用π的式子表示）
2、如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14)（用π的式子表示）
A
F
E
家庭作业
复习总结
3、求图中阴影部分的面积．（用π的式子表示）
5、求图中阴影部分的面积。

（π取3）
6、如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4厘米和3厘米的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是5厘米．让这个长方形绕顶点B 顺时针旋转90度后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点A 到达点E 的位置．求点A 走过的路程的长．（用π的式子表示）
ⅣⅢ
ⅡⅠE
D
C
B
A
教学反馈。