2014-2017新课标卷极坐标与参数方程选做题
2017年高考数学试题分项版—极坐标参数方程(解析版)
2017年高考数学试题分项版—极坐标参数方程(解析版)2017年高考数学试题分项版—极坐标参数方程（解析版）一、填空题1．(2017·北京理，11)在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP |的最小值为________． 1．【答案】1【解析】由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y －2)2＝1，圆心坐标为C (1,2)，半径长为1.∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外． 又∵点A 在圆C 上， ∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.2．(2017·天津理，11)在极坐标系中，直线4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________． 2．【答案】2【解析】由4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π6＋1＝0，得23ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，故直线的直角坐标方程为23x ＋2y ＋1＝0， 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 故圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ， 即x 2＋(y －1)2＝1，圆心为(0,1)，半径为1， ∵圆心到直线23x ＋2y ＋1＝0的距离d ＝|2×1＋1|(23)2＋22＝34＜1， ∴直线与圆相交，有两个公共点． 二、解答题1．(2017·全国Ⅰ文，22)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 1．解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎨⎧x 29＋y 2＝1，x ＋4y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0， 故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d＝|3cos θ＋4sin θ－a－4|17.当a≥－4时，d的最大值为a＋9 17.由题设得a＋917＝17，所以a＝8；当a<－4时，d的最大值为－a＋117.由题设得－a＋117＝17，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.2．(2017·全国Ⅱ文，22)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M为曲线C1的动点，点P在线段OM上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．2．解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.3．(2017·全国Ⅲ文，22)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．3．解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)． (2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5. 4．(2017·江苏，21)C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值． 4．解 直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0， 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝|2(s －2)2＋4|5，当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.5．(2017·全国Ⅰ理，22)[选修4-4，坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)． (1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 5．解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎨⎧ x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1， 解得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2125，y ＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3,0)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17. 当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8； 当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17， 所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.6．(2017·全国Ⅱ理，22)[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．6．解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知，|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ>0)．所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α.于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3 ＝4cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin α－32cos α ＝|sin 2α－3cos 2α－3|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当2α－π3＝－π2，即α＝－π12时，S 取得最大值2＋3，所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.7．(2017·全国Ⅲ理，22)[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．7．解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．。
2014_2017新课标卷极坐标与参数方程选做题
word格式可复制编辑试卷第2页，总12页3．[2017新课标2卷理科]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．4．【2016新课标2卷理科】（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y 2=25.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，∣AB∣l 的斜率.word格式可复制编辑试卷第4页，总12页7．2015年新课标1卷文科在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求12,C C 的极坐标方程. （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.8．2015年新课标2卷理科 在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）．求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）．若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．word格式可复制编辑试卷第6页，总12页2014-2017新课标卷极坐标与参数方程选做题【参考答案】1．[2017新课标3卷理科]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国卷3正式版）【答案】（1）C 的普通方程为224x y -=. 【解析】（1）消去参数t 得l 1的普通方程()12l :y k x =-；消去参数m 得l 2的普所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠（2）C 的极坐标方程为()()22240＜＜2cossin ,-=≠()()2224+-2=0cossin cossin⎧-=⎪⎨⎪⎩得()=2+cos sin cos sin -.13tan=-，从而2291=，=1010cos sin 代入()222-=4cossin 得2=5，所以交点2．[2017年新课标1卷理科]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.（1）若a=-1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a.【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国卷1正式版） 【答案】（1）(3,0)或2124(,)2525-.（2）8a =或16a =-. 【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.word 格式可复制编辑16OP =的直角坐标方程为）设点B 的极坐标为sin cos sin sin 23B AOB ρααπα∠⎛- ⎝⎛⎫--⎪⎝⎭试卷第8页，总12页【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）3±.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用222x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（Ⅱ）先将直线l 的参数方程化为极坐标方程，再利用弦长公式可得l 的斜率．试题解析：（Ⅰ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得圆C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++=（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R . 设,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =得23cos ,tan 83αα==±，所以l. 【考点】圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，弦长公式【名师点睛】极坐标方程与直角坐标方程互化时注意：在将点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一；在将曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性. 5．2016新课标1卷理科在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.（Ⅰ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版） 【答案】（Ⅰ）圆，222sin 10a ρρθ-+-=；（Ⅱ）1【解析】试题分析：（Ⅰ）把cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩化为直角坐标方程，再化为极坐标方程；（Ⅱ）联立极坐标方程进行求解.试题解析：解：（Ⅰ）消去参数t 得到1C 的普通方程222)1(a y x =-+.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将θρθρsin ,cos ==y x 代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ.（Ⅱ）曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧==-+-,cos 4,01sin 222θρθρρa 若0≠ρ，由方程组得01cos sin 8cos 1622=-+-a θθθ，由已知2tan =θ，可得0cos sin 8cos162=-θθθ，从而012=-a ，解得1-=a （舍去），1=a .word格式可复制编辑试卷第10页，总12页程；（Ⅱ）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积. 试题解析：（Ⅰ）因为，∴的极坐标方程为，的极坐标方程为.……5分（Ⅱ）将代入，得，解得=，|MN|=－因为的半径为1，则的面积=. 考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系8．2015年新课标2卷理科 在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）．求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）．若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值． 【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ带解析） 【答案】（Ⅰ）(0,0)和3()22；（Ⅱ）4． 【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2． （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-4in()3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值． 9．2014年新课标1卷理科已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析） 【答案】（I ）2cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩260x y +-=；（II ）. 【解析】=4πθ22cos 4sin 40ρρθρθ--+=2C MN cos ,sin x y ρθρθ==1C cos 2ρθ=-2C 22cos 4sin 40ρρθρθ--+==4πθ22cos 4sin 40ρρθρθ--+=240ρ-+=1ρ2ρ1ρ2ρ2C 2C MN o 11sin 452⨯12word格式可复制编辑试卷第12页，总12页因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l的斜率相同，tan β=3πβ=，故D 点的直角坐标为(1cos,sin )33ππ+，即3(2.【易错点】对第（1）问，极坐标与普通方程、参数方程之间的互化,有一部分学生不熟练而出错;对第(2)问,不理解题意而出错.考点：本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答好本类题目的关键.。
新课标高考《坐标系与参数方程》(选修4-4)含答案
第二讲 坐标系与参数方程(选修4－4)1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．4．(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 4．几种常见曲线的参数方程 (1)圆以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程为⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数．(2)椭圆椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．(3)直线经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．[例1] (1)(2014·江西高考改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程．(2)(2014·东北三校联考)已知点P (1＋cos α，sin α)，参数α∈[0，π]，点Q 在曲线C ：ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4上．①求点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程； ②求点P 与点Q 之间距离的最小值．1．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22.(ρ≥0,0≤θ<2π)(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．热点二参数方程及其应用[例2](2014·福建高考)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝a－2t，y＝－4t(t为参数)，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝4cos θ，y＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．2．倾斜角为α的直线l过点P(8,2)，直线l和曲线C：⎩⎨⎧x＝42cos θ，y＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M1，M2.(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并写出直线l的参数方程；(2)求|PM1|·|PM2|的取值范围．[例3](2014·辽宁高考)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．3．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝2＋t cos α，y＝t sin α(t为参数)．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cos θ.热点三极坐标方程与参数方程的综合应用(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1|AF |＋1|BF |的值．1．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2．(2014·南京模拟)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．3．(2014·郑州模拟)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |.4．(2014·贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值．5．(2014·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点． (1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．6．(2014·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．第二部分题1．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2．(2014·南京模拟)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．3．(2014·郑州模拟)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |.4．(2014·贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值．5．(2014·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点． (1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．6．(2014·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．答案解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0， 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2.解：(1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上， 可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．[师生共研] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且y ＝1－x ，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝1sin θ＋cos θ.又0≤x ≤1，所以0≤y ≤1，所以点(x ，y )都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤π2，即所求线段的极坐标方程为ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2. (2)①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，消去α，得点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，又由ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，得ρ＝9sin θ＋cos θ，所以ρsin θ＋ρcos θ＝9.所以曲线C 的直角坐标方程为x ＋y ＝9.②因为半圆(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)的圆心(1,0)到直线x ＋y ＝9的距离为42， 所以|PQ |min ＝42－1.解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，热点二参数方程及其应用[师生共研] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得：(8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32， 整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0，由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π4， ∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin 2 α∈⎝⎛⎦⎤1289，64. 热点三极坐标方程与参数方程的综合应用[师生共研] (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. 故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.解：(1)由ρsin 2θ＝8cos θ得ρ2sin 2θ＝8ρcos θ，，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x .(2)易得直线l 与x 轴的交点为F (2,0)，将直线l 的方程代入y 2＝8x ，得(t sin α)2＝8(2＋t cos α)，整理得t 2sin 2 α－8t cos α－16＝0.由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin 2 α＝64>0，∴t 1＋t 2＝8cos αsin 2α，t 1t 2＝－16sin 2α<0，故1|AF |＋1|BF |＝⎪⎪⎪⎪1t 1－1t 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝⎛⎭⎫8cos αsin 2α2＋64sin 2α16sin 2α＝12.解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.解：易求直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a )2＋y 2＝a 2，依题意，有|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或29.解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C2：x 216＋y 29＝1. 曲线C 1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝ 2.解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得：ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A 、B 两点的极坐标为：A ⎝⎛⎭⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎫4，7π6. (2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，所以|MN |＝(23)2－4×(－14)1＝217.解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ]．第二部分题答案：1．解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.2．解：易求直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a )2＋y 2＝a 2，依题意，有|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或29.3．解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C 2：x 216＋y 29＝1. 曲线C 1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝ 2.4． 解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.5． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得：ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A 、B 两点的极坐标为：A ⎝⎛⎭⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎫4，7π6.(2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，所以|MN |＝(23)2－4×(－14)1＝217.6．解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ]．。
2014年全国高考试卷极坐标与参数方程部分汇编
知识清单（四） 2014年全国高考试卷极坐标与参数方程部分汇编1. （2014安徽理4）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为 （ ）AB ．CD ．2. （2014北京理3）曲线{1cos 2sin x y =-+=+θθ，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上3. （2014福建理21⑵）已知直线l 的参数方程为24x a t y t =-⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为常数）．①求直线l 和圆C 的普通方程；②若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．4. （2014广东理14）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为____________．5. （2014广东文14）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos ρθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为____________．6. （2014湖北理16）已知曲线1C的参数方程是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，则1C 与2C 交点的直角坐标为________7. （2014湖南理11）在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）交于A ，B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是_____________．8. （2014湖南文12）在平面直角坐标系中，曲线2:12x C y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为___________．9. （2014江苏理21C ）在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l的参数方程12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 是参数)，直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，求线段AB 的长．10. （2014江西理11⑵）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（）A ．1π,0cos sin 2ρθθθ=+≤≤ B ．1π,0cos sin 4ρθθθ=+≤≤C ．πcos sin ,02ρθθθ=+≤≤D ．πcos sin ,04ρθθθ=+≤≤11. （2014辽宁理23文23）将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ．⑴写出C 的参数方程； ⑵设直线220l x y +-=∶与C 的交点为12P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．12. （2014陕西理15C 文15C ）在极坐标系中，点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离是_______．13. （2014天津理13）在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于A B ，两点．若AOB △是等边三角形，则a 的值为_______．14. （2014新课标1理23文23）已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． ⑴写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；⑵过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．15. （2014新课标2理23文23）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，π02θ⎡⎤∈,⎢⎥⎣⎦．⑴求C 的参数方程；⑵设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据⑴中你得到的参数方程，确定D 的坐标．16. （2014重庆理15）已知直线l 的参数方程为23x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴线建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=（002πρθ,<≥≤），则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________．2014年全国高考试卷极坐标与参数方程部分汇编17. （2014安徽理4）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为 （ ）AB ．CD ．【解析】 D由13x t y t =+⎧⎨=-⎩，消去t 得40x y --=，24cos 4cos C ρθρρθ=⇒=：，∴224C x y x +=：，即22(2)4x y -+=，∴(20)2C r =，，．∴点C 到直线l 的距离d =∴所求弦长==D ．18. （2014北京理3）曲线{1cos 2sin x y =-+=+θθ，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上【解析】 参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，即选项B ．19. （2014福建理21⑵）已知直线l 的参数方程为24x a t y t =-⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为常数）．①求直线l 和圆C 的普通方程；②若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【解析】 本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．⑴直线l的普通方程为220x y a--=，圆C的普通方程为2216x y+=⑵因为直线l与圆C又公共点，故圆C的圆心到直线l的距离4d=，解得a-20.（2014广东理14）在极坐标系中，曲线1C和2C的方程分别为2sin cosρθθ=和sin1ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C和2C的交点的直角坐标为____________．【解析】(1,1)．曲线1C的方程化为22sin cosρθρθ=，化为直角坐标方程即2y x=，2C的直角坐标方程为1y=，显而易见，交点坐标为(1,1)．21.（2014广东文14）在极坐标系中，曲线1C与2C的方程分别为22cos sinρθθ=与cosρθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C与2C的交点的直角坐标为____________．【解析】()12，22.（2014湖北理16）已知曲线1C的参数方程是xy⎧=⎪⎨=⎪⎩t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程是2ρ=，则1C与2C交点的直角坐标为________【解析】1)曲线1C为射线(0)y x=≥．曲线2C为圆224x y+=．设P为1C与2C的交点，如图，作PQ 垂直x轴于点Q．因为tan POQ=∠所以30POQ=∠º，又∵2OP=，所以1C与2C的点交P的直线坐标为)1．评析0，≥误认为1C为直线y x．23.（2014湖南理11）在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l与曲线C：2cos1sinxyαα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）交于A，B两点，且2AB=，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是_____________．【解析】sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=，设直线l 的方程为y x b =+，因为弦长2AB =，所以圆心()21，到直线l 的距离0d =，所以圆心在直线l 上，故1y x =-πs i n c o s 1s i 4ρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-= ⎪⎝⎭πsin 4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 24. （2014湖南文12）在平面直角坐标系中，曲线22:1x C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）的普通方程为___________． 【解析】 10x y --= 25. （2014江苏理21C ）在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l的参数方程122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 是参数)，直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，求线段AB 的长．【解析】 直线:3l x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+=∴交点(1,2)A ，(9,6)B -，故AB26. （2014江西理11⑵）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（）A ．1π,0cos sin 2ρθθθ=+≤≤ B ．1π,0cos sin 4ρθθθ=+≤≤C ．πcos sin ,02ρθθθ=+≤≤D ．πcos sin ,04ρθθθ=+≤≤【解析】 A∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，，∴1y x =-化为极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=，即1c o s s i n ρθθ=+，∵01x ≤≤，∴线段在第一象限内（含端点），∴π02θ≤≤．故选A ．27. （2014辽宁理23文23）将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ．⑴写出C 的参数方程； ⑵设直线220l x y +-=∶与C 的交点为12P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【解析】 ⑴ 设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(),x y ，依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩；由22111x y +=得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=．故C 的参数方程为cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数）．⑵ 由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩． 不妨设12(1,0),(0,2)P P ，则线段12P P 的中点坐标为1(,1)2，所求直线斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3,ρθρθ-=-即34sin 2cos ρθθ=-．28. （2014陕西理15C 文15C ）在极坐标系中，点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离是_______．【解析】 1由πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得ππsin cos cos sin 166ρθρθ⋅-⋅=，∴直线的直角坐标方程为1102x y +=，又点π26⎛⎫⎪⎝⎭，的直角坐标为1)， ∴点到直线的距离1d ==．29. （2014天津理13）在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于A B ，两点．若AOB △是等边三角形，则a 的值为_______．【解析】 3以极点为平面直角坐标系原点，极轴作为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则4sin ρθ=所表示圆的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，而sin a ρθ=则表示直线y a =由已知，直线截圆所得弦与原点组成三角形为正三角形，则弦AB 所对圆心角为120︒，该弦到圆心距离等于半径的一半，因此易知213a =+=30. （2014新课标1理23文23）已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． ⑴写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；⑵过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．【解析】 ⑴ 曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）直线l 的普通方程为260x y +-=．⑵ 在曲线C 上任意取一点(2cos 3sin )P θθ，到l的距离为3sin 6d θθ=+-则)6sin30d PA θα=+-︒，其中α为锐角．且4tan 3θ=．当sin()1θα+=-时，PA当sin()1θα+=时，PA ．31. （2014新课标2理23文23）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，π02θ⎡⎤∈,⎢⎥⎣⎦．⑴求C 的参数方程；⑵设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据⑴中你得到的参数方程，确定D 的坐标．32. （2014重庆理15）已知直线l 的参数方程为23x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴线建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=（002πρθ,<≥≤），则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________．【解析】。
极坐标与参数方程测试题(有详解答案)
极坐标与参数方程测试题一、选择题1.直线12+=x y 的参数方程是（ ）A 、⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B 、⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C 、 ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D 、⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ）A ．0B ．1C ．-2D ．83.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,5πB 、⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5πC 、⎪⎭⎫⎝⎛-32,5π D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线对称的是（ ）A ．（-ρ，θ）B ．（-ρ，-θ）C ．（ρ，2π-θ）D ．（ρ，2π+θ）5.点()3,1-P ，则它的极坐标是( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,2πD 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ).A.1B.2C.3D.47.参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线8.()124123x tt x ky k y t=-⎧+==⎨=+⎩若直线为参数与直线垂直，则常数（ ）A.-6B.16-C.6D.169.极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是( )A ．22(2)4x y -+= B.224x y += C.22(2)4x y +-= D.22(1)(1)4x y -+-=10.柱坐标（2，32π，1）对应的点的直角坐标是（ ）. A.(1,3,1-) B.(1,3,1-) C.(1,,1,3-) D.(1,1,3-)11.已知二面角l αβ--的平面角为θ，P 为空间一点，作PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且4PA =，5PB =，设点A 、B 到二面角l αβ--的棱l 的距离为别为,x y ．则当θ变化时，点(,)x y 的轨迹是下列图形中的12.曲线24sin()4x πρ=+与曲线12221222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的位置关系是（ ）。
高考2014-2019全国卷理数极坐标与参数方程真题
⎩ （ 为 参数）.⎨y = t s in α,⎨ 22014-2019 全国卷高考极坐标与参数方程真题（含答案）x 2+y =⎧ x = 2 + t（2014 年 1 卷）已知曲线C ： 491，直线l ：⎨ y = 2 - 2 t t (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点 P 作与l 夹角为30o的直线，交l 于点 A ，求| PA | 的最大值与最小值.（2014 年 2 卷）（本小题满分 10）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴 ρ= 2 cos θ θ ∈ ⎡ 0 , π ⎤为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为，⎢⎣2 ⎥⎦ .（Ⅰ）求 C 的参数方程；（Ⅱ）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线l : y = 得到的参数方程，确定 D 的坐标.3x + 2 垂直，根据（Ⅰ）中你（2015 年 1 卷）在直角坐标系 xOy 中，直线C : x = - 2，圆C ：(x -1)2+ ( y - 2)2= 1,以坐标原点为极点， x 12轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求C 1 ， C 2 的极坐标方程；π（Ⅱ）若直线C 3 的极坐标方程为θ=(ρ∈ R ) ，设C 2 与C 3 的交点为 M , N ,求 ∆C 2 MN 的面积.4（2015 年 2 卷）在直角坐标系 xOy 中,曲线 1 : ⎧ x = t c o s α, ⎩ (t 为参数,且 t≠0),其中 0≤α<π,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2cos θ.(1)求 C 2 与 C 3 交点的直角坐标.(2)若 C 1 与 C 2 相交于点 A,C 1 与 C 3 相交于点 B,求|AB|的最大值.（2016 年 1 卷）在直线坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为 ⎧x⎩y = acost,= 1 + asint(t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2:ρ=4cosθ. (1)说明 C 1 是哪一种曲线,并将 C 1 的方程化为极坐标方程.(2)直线 C 3 的极坐标方程为θ=α0,其中α0 满足 tanα0=2,若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上,求 a.C10 22 ⎨y = t sin α⎨ θ + ⎨y = sin θ⎨ y = 1 - t⎩ （2016 年 2 卷）在直线坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为( x + 6)2+ y 2 = 25 ．（I ） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （II ） 直线 l 的参数方程是 ⎧ x = t co s α （t 为参数），l 与 C 交于 A 、B 两点， AB = ，求 l 的斜率．⎩（2016 年 3 卷）在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为 ⎧⎪x =3cosα (α为参数),以坐标原点为极点,⎪⎩y = sinα以 x 轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为ρsin ⎛π ⎫ =2. 4 ⎪ ⎝ ⎭(1) 写出 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程.(2) 设点 P 在 C 1 上,点 Q 在 C 2 上,求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标.（2017 年 1 卷）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ⎧ x = 3 cos θ（θ 为参数），直线 l 的参数方程为⎩ ⎧ x = a + 4 t ( t 为参数 ) . ⎩ （1） 若 a = -1 ，求C 与l 的交点坐标；（2）（2）若C 上的点到l 的距离的最大值为，求 a .（2107 年 2 卷）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1 的极坐标方程为ρcos θ= 4 ．（1）M 为曲线C 1 上的动点，点 P 在线段OM 上，且满足 OM ⋅ OP = 16 ，求点 P 的轨迹C 2 的直角坐标方程；（2） 设点 A 的极坐标为⎛ 2 , π ⎫ ，点 B 在曲线C 2 上，求△OAB 面积的最大值．3 ⎪ ⎝ ⎭（2017 年 3 卷）在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎧ x = 2+t （ t 为参数），直线l 的参数方程为⎧ x = -2 + m1⎨y = kt2⎪ ⎨ y = m ⎩ k （m 为参数）．设l 1 与l 2 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线C ． （1） 写出C 的普通方程；（2） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ+ sin θ) -= 0 ， M 为l 3 与C 的交点，求 M 的极径．17 ⎪⎩ xOy ⊙O（2018年1卷）在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极 坐标方程为． ⑴求的直角坐标方程；⑵若与有且仅有三个公共点，求的方程．（2018年2卷）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1） 求和的直角坐标方程；（2） 若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．⎧ x = cos θ，（2018年3卷）在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 ⎨ y = sin θ（θ为参数），过点(0 ，- 2 ) 且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于 A ，B 两点．（1） 求α的取值范围；（2） 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．⎧ 1- t 2x = ，⎪ 1+ t 2 （2019 年 1 卷）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ⎨ ⎪ y = ⎩ 4t1+ t 2（t 为参数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcos θ+3ρsin θ+11 = 0 ．（1） 求 C 和 l 的直角坐标方程；（2） 求 C 上的点到 l 距离的最小值．（2019 年 2 卷）在极坐标系中，O 为极点，点 M (ρ0 ,θ0 )(ρ0 > 0) 在曲线C :ρ= 4 sin θ上，直线 l 过点 A (4, 0) 且与OM 垂直，垂足为 P .（1）当θ = π时，求ρ 及 l 的极坐标方程；3（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.3 552⎩y = s i n t ,（2019 年 3 卷）如图，在极坐标系 Ox 中，A (2, 0) ，B ( 2, π) ，C ( 2, 3π) ， D (2, π) ，弧 AB ，B C ， 44C D 所在圆的圆心分别是(1, 0) ，(1, π) ，(1, π) ，曲线 M 1 是弧 AB ，曲线 M 2 是弧 B C ，曲线 M 3 是弧C D . （1） 分别写出 M 1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；（2） 曲线 M 由 M 1 ， M 2 ， M 3 构成，若点 P 在M 上，且| OP |= ，求P 的极坐标.【参考答案】（2014 年 1 卷）⎧ x = 2 cos θ.（ I ） 曲线C 的参数方程为⎨ y = 3 sin θ. (θ为参数).直线l 的普通方程为2x + y - 6 = 0.（ I I ） 曲 线 C 上 任 意 一 点 P ( 2 co s θ. 3 sin θ) 到 l 的 距 离 为d =4 co s θ + 3 sin θ - 6 .则 P A =d= sin 3 0 ︒ 5 sin (θ + α) - 6 , 其 中 α为 锐 角 ， 且 tan α = 4.3当 sin (θ+α) = - 1 时 ，P A 取 得 最 大 值 ， 最 大 值 为 2 2 5.5 当 sin (θ + α) = 1时 ，P A 取 得 最 小 值 ， 最 小 值 为 2 5.5（2014 年 2 卷）解析：（I ）C 的普通方程为(x -1)2 + y 2= 1(0 ≤ y ≤ 1) . 可得 C 的参数方程为⎧ x = 1 + c o s t ,⎨⎩ （t 为参数，0 ≤ t ≤ x ） （Ⅱ）设 D (1 + cos t , sin t ) .由（I ）知 C 是以 G （1,0）为圆心，1 为半径的上半圆。
2014-2017新课标卷极坐标与参数方程选做题
试卷第1页，总4页2014-2017新课标卷极坐标与参数方程选做题【试题】1．[2017新课标] 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的轨迹为曲线C．①写出C 的普通方程；②以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：与C 的交点，求M 的极径．2．[2017年新课标1卷理科]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x at y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.①若a=-1，求C 与l 的交点坐标；②若C 上的点到l 求a.3．[2017新课标2卷理科] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．①M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；②设点A 的极坐标为(2,)3π，点B在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．4．【2016新课标2卷理科】 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y 2=25.①以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；②直线l 的参数方程是cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，∣AB ∣l的斜率.5．【2016新课标1卷理科】 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.①说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；②直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a. 6．【2016年新课标3卷理科】 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,()sin ,x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=①写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；②设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.7．2015年新课标1卷文科 在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.①求12,C C 的极坐标方程.②若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积. 8．2015年新课标2卷理科 在直角坐标系x o y 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线试卷第2页，总4页3:C ρθ=．①求2C 与1C 交点的直角坐标； ②若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．9．2014年新课标1卷理科 已知曲线221:149x yC +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. ①写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；②过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．10．2014年新课标2卷理科 在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ①求C 的参数方程；②设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.2014-2017新课标卷极坐标与参数方程选做题【参考答案】1．①消去参数t 得l 1的普通方程16OP =试卷第3页，总4页标方程()cos =4＞0ρθρ因此2C 的直角坐标方程为()()22240x yx -+=≠②设点B的极坐标为()()，＞0BBραρ,由题设知cos =2，=4B ραOA ,于是△OAB面积1=s i 232sin 223B S OA AOB πρααπα⎛⎫∠=-=⎪⎝⎭⎛⎫--≤+ ⎪⎝⎭ 当=-12πα时，S 取得最大值所以△OAB 面积的最大值为4．①圆C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++=②在①中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R .设,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos110.ρρα++=于是112c o ρραρ+=-=由||AB =得23cos ,tan 83αα==±，所以l 的斜率为3或3-. 5．①消去参数t 得到1C 的普通方程222)1(a y x =-+.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.θρθρsin ,cos ==y x 代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ.②曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组 若0≠ρ，由方程组得1cos sin 8cos 1622=-+-a θθθ，由已知2tan =θ， 可得0cos sin 8cos162=-θθθ，从而012=-a ，解得1-=a （舍去），1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .6．①1C 的普通方程为2213x y +=.2C 的直角坐标方程为40x y +-=.②由题意，可设点P的直角坐标为,sin )αα.因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()sin(d αα==.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α此时P 的直角坐标为31(,)22. 7．①因为，∴的极坐标方程为，的极坐标方程为.……5分 ②将代入，得，解得=，，|MN|=－=，因为的半径为1，则的cos ,sin x y ρθρθ==1C cos 2ρθ=-2C 22cos 4sin 40ρρθρθ--+==4πθ22cos 4sin 40ρρθρθ--+=240ρ-+=1ρ2ρ1ρ2ρ2C 2C MN试卷第4页，总4页面积=. 8．①曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2． ②曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为,)αα．所以2s n 23co sAB αα=-4i n ()3sπα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．9．①曲线C 的参数方程为2cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．直线l 的普通方程为260x y +-=．②曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为c o s 3s i n 6d θθ=+-．则)6sin 30d PA θα==+-．其中α为锐角，且4tan 3α=． 当sin()1θα+=-时，PA 取到最当sin()1θα+=时，PA 取到最10．①设点M (,)x y 是C 上任意一点，则由2cos ρθ=可得C 的普通方程为：222x y x +=，即22(1)1(01)x y y -+=≤≤，所以C的参数方程为1cos ,(sin x y βββ=+⎧⎨=⎩是参数，0)βπ≤≤.②设D 点坐标为(1cos ,sin )ββ+，由（1）知C 是以G （1，0）为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l的斜率相同，tan β=3πβ=，故D点的直角坐标为(1cos,sin )33ππ+，即3(2.o 11sin 452⨯12。
(完整版)极坐标与参数方程高考习题练习含答案
欢迎阅读极坐标系与参数方程高考题练习2014年一．选择题1. (2014北京)曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ B ）.A.C 2.ρ4=A.ρ=C.ρ= 0sin cos 2ρθθθ∴=≤≤ ⎪+⎝⎭ 所以选A 。
二．填空题1. (2014湖北)（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______. 2. (2014湖南)直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩：，（α为参数）交于A 、B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________.3 (2014重庆)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)20,0(0cos 4sin 2πθρθθρ<≤≥=-，则直线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ____5____. .【答案】5 【解析】4 (2014上海)已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 。
【答案】 31【解析】.C (2014陕西)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是C5 (2014天津)在以O 为极点的极坐标系中，圆θρ4sin =和直线a =θρsin 相交于,A B 两点.若ΔAOB 是等边三角形，则a 的值为___________. 解：3 圆的方程为2224x y ，直线为y a .因为AOB 是等边三角形，所以其中一个交点坐标为，代入圆的方程可得3a .6. (2014广东)（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿三．解答题1. (2014新课标I)（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.(Ⅰ).直线ld =则||PA =当(sin θ当(sin θ2. (20142cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y +垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.3. （2014辽宁）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【答案】 （1） π∈[0,θθsin 2,θcos ，==y x （2） 03θsin ρ4-cos θ 2ρ=+ 【解析】（1）（2）4（2014 （I （II 解：圆C (2)故圆（2013）A ． C ．=()cos=12R πθρρ∈和 D ．=0()cos=1R θρρ∈和（2013天津数学（理））已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则|CP | =1（2013上海卷（理））在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为_____152+_____ 解析：2（2013北京卷（理））在极坐标系中,点(2,6π)到直线ρsin θ=2的距离等于____1_____. 3重庆数学（理））在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数)相交于,A B 两点,则______AB = 【答案】1642013广东（理））(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数),C 在点()1,1处的切线为 ， 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则切线的极坐标方程为 .【答案】x+y=2 ；sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭5（2013陕西（理））C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为______ .【答案】R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,sin cos cos 26（2013江西（理））(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩(为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c 的极坐标方程为__________【答案】2cos sin 0ρθθ-=7（2013湖南卷（理））在平面直角坐标系xoy中,若,3cos, :(t)C:2sin x t xly t a yϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点,则常数a的值为________.【答案】38（2013湖北（理））在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为cossinx ay bθθ=⎧⎨=⎩()0a bϕ>>为参数，.)中,（2013α与β=(Ⅰ(Ⅱ9（20132C(I)12(II)设P为1C的圆心,Q为1C与2C交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为()3312x t at Rby t⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b的值【答案】10（2013福建（理））坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A 的极坐标为)4π,直线的极坐标方程为cos(4a πρθ-=,且点A 在直线上.(1)求a 的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.【答案】解:(Ⅰ)由点)4A π在直线cos(4a πρθ-=上,可得a =(Ⅱ)11（2013程为.【答案】0 ①12（2013新课标1（理））选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩(为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=. (Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【答案】将45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩消去参数,化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=,即1C :22810160x y x y +--+=,将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得,28cos 10sin 160ρρθρθ--+=,∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=; (Ⅱ)2C 的普通方程为2220x y y +-=,由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩,∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为(2,4π),(2,)2π. 【2012新课标文23】已知曲线C 1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2．正三角形ABC 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，） （Ⅰ）求点A 、B 、C 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围． 解析：【2012辽宁文23】在直角坐标xOy 中，圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=。
极坐标及参数方程高考题练习含答案
极坐标系与参数方程高考题练习2014年一．选择题1. (2014)曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩〔θ为参数〕的对称中心〔 B 〕.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上2.(2014)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取一样的长度单位。
直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为〔 D 〕〔A 〕14 〔B 〕214 〔C 〕2 〔D 〕223(2014) (2).〔坐标系与参数方程选做题〕假设以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为〔 〕 A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤【答案】A 【解析】1y x =-()01x ≤≤10sin cos 2πρθθθ⎛⎫∴=≤≤ ⎪+⎝⎭所以选A 。
二．填空题1. (2014)〔选修4-4：坐标系与参数方程〕曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______.2. (2014)直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩：，〔α为参数〕交于A 、B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________. 3 (2014)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)20,0(0cos 4sin 2πθρθθρ<≤≥=-，则直线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ____5____. .【答案】5 【解析】4 (2014)曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是。
2014~2017年极坐标与参数方程全国高考题汇总(精编完美版)
2014~2017年极坐标与参数方程全国高考题汇总(精编完美版)1.【2014·全国Ⅱ】在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈(0,π)。
⑴求C的参数方程；⑵设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y＝3x＋2垂直，根据⑴中你得到的参数方程，确定D的坐标。
解：⑴C的普通方程为(x-1)²+y²=1(0≤y≤1)，可得C的参数方程为x=1+cost。
y=sint} (t为参数，0≤t≤π)。
⑵设D(1+cost。
sint)。
由⑴知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆。
因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同，tant=3，t=π/3.故D的直角坐标为(1+cosπ/3.sinπ/3)，即(2.3√3)。
2.【2014·全国Ⅰ】已知曲线C：x²/4+y²/9=1，直线l：y=2-2t。
⑴写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；⑵过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l 于点A，求|PA|的最大值与最小值。
解析：⑴曲线C的参数方程为：{x=2cost。
y=3sint} (θ为参数)。
直线l的普通方程为：2x+y-6=0.⑵在曲线C上任意取一点P(2cost。
3sint)，到l的距离为d=|2cost+3sint-6|/√(4+9)，则|PA|=d/sin(30°)=2d。
设α为PA与x轴正半轴的夹角，则tanα=(2sint-3cost+3)/2cosθ，令其等于tan(30°)=√3/3，解得sinθ=5/√58，cosθ=7/√58.代入d的式子可得d=5/√58，故|PA|max=10/√58，|PA|min=2d=10/√58.3.【2015·全国Ⅰ】在直角坐标系xOy中。
直线⑴求C1，C2的极坐标方程；⑵若直线C3的极坐标方程为θ=π/4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积。
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2014-2017新课标卷极坐标与参数方程选做题【试题】1．[2017新课标3卷理科]（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为2+,,x ty kt=⎧⎨=⎩（t为参数），直线l2的参数2．[2017年新课标1卷理科]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,sin,xyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为4,1,x a ty t=+⎧⎨=-⎩（t为参数）.（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l a.3．[2017新课标2卷理科]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．4．【2016新课标2卷理科】（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y 2=25.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，∣AB∣l 的斜率.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为cos1sinx a ty a t=⎧⎨=+⎩（t为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为,()sin,xyααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（Ⅰ）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P在1C上，点Q在2C上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求12,C C 的极坐标方程. （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）．求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）．若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．已知曲线221:149x yC+=，直线l：2,22,x ty t=+⎧⎨=-⎩（t为参数）.（I）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（II）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30︒的直线，交l于点A，PA的最大值与最小值．在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cosρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C的参数方程；（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线:2l y=+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标.2014-2017新课标卷极坐标与参数方程选做题【参考答案】1．[2017新课标3卷理科]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国卷3正式版）【答案】（1）C 的普通方程为224x y -=.【解析】（1）消去参数t得l 1的普通方程()12l :y k x =-；消去参数m 得l 2的普所以C 的普通方程为()2240xy y -=≠（2）C 的极坐标方程为()()22240＜＜2cos sin ,rqq q p q p-=≠2．[2017年新课标1卷理科]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.（1）若a=-1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a.【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国卷1正式版） 【答案】（1）(3,0)或2124(,)2525-.（2）8a =或16a =-. 【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =.当4a ≥-时，d=8a =； 当4a <-时，d.由题设得=16a =-. 综上，8a =或16a =-.3．[2017新课标2卷理科]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国卷2正式版）【答案】⑴C 的直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠⑵△OAB面积的最大值为 【解析】（1）设P 的极坐标为()()，＞0ρθρ，M 的极坐标为()()11，＞0ρθρ，由题设知cos 14=，=ρρθOP OM = 由16OM OP =g 得2C 的极坐标方程()cos =4＞0ρθρ因此2C 的直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠（2）设点B 的极坐标为()()，＞0B Bραρ,由题设知cos =2，=4B ραOA ,于是△OAB 面积1=sin 24cos sin 32sin 232B S OA AOB ρπααπα∠⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫=--⎪⎝⎭≤+g g g当=-12πα时，S取得最大值所以△OAB面积的最大值为4．2016新课标2卷理科在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y 2=25.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，∣AB∣l 的斜率.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版） 【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）3±. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用222x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（Ⅱ）先将直线l 的参数方程化为极坐标方程，再利用弦长公式可得l 的斜率．试题解析：（Ⅰ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得圆C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++=（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R . 设,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =得23cos ,tan 8αα==， 所以l的斜率为3或3-.【考点】圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，弦长公式【名师点睛】极坐标方程与直角坐标方程互化时注意：在将点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一；在将曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性. 5．2016新课标1卷理科在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （Ⅰ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版） 【答案】（Ⅰ）圆，222sin 10a ρρθ-+-=；（Ⅱ）1 【解析】试题分析：（Ⅰ）把cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩化为直角坐标方程，再化为极坐标方程；（Ⅱ）联立极坐标方程进行求解.试题解析：解：（Ⅰ）消去参数t 得到1C 的普通方程222)1(a y x =-+.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将θρθρsin ,cos ==y x 代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ.（Ⅱ）曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧==-+-,cos 4,01sin 222θρθρρa若0≠ρ，由方程组得01cos sin 8cos 1622=-+-a θθθ，由已知2tan =θ，可得0cos sin 8cos162=-θθθ，从而012=-a ，解得1-=a （舍去），1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .【考点】参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用. 6．2016年新课标3卷理科在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为,()sin ,x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ+= .（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标. 【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）【答案】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（Ⅱ）31(,)22．【解析】 试题分析：（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线C 1的参数方程为普通方程，利用公式cos x ρθ=与sin y ρθ=将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）利用参数方程表示出点P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立||()PQ d α=的三角函数表达式，最后求出最值与相应点P 的坐标即可．试题解析：（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=.2C 的直角坐标方程为40x y +-=. （Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为,sin )αα.因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22.【考点】椭圆的参数方程，直线的极坐标方程．【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为(cos ,cos )a b αα，将其转化为三角问题进行求解．7．2015年新课标1卷文科在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求12,C C 的极坐标方程. （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ带解析）【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）将将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MN V的面积. 试题解析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=，2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN V的面积o 11sin 452⨯=12. 考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系8．2015年新课标2卷理科在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）．求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）．若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值． 【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ带解析） 【答案】（Ⅰ）(0,0)和3)22；（Ⅱ）4． 【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)22． （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-4in()3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值． 9．2014年新课标1卷理科已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，PA 的最大【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析） 【答案】（I ）2cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩260x y +-=；（II ）最大值为5，最小值为5. 【解析】试题分析：（I ）由椭圆的标准方程设cos ,sin 22x yθθ==，得椭圆的参数方程为2cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩，消去参数t 即得直线的普通方程为260x y +-=；（II ）关键是处理好PA 与角30︒的关系．过点P 作与l 垂直的直线，垂足为H ，则在PHA ∆中，12PH d PA ==，故将PA 的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点(2cos P θ，3sin )θ到定直线260x y +-=的最大值与最小值问题处理．试题解析：（I ）曲线C 的参数方程为2cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．直线l 的普通方程为260x y +-=． （II ）曲线C上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为3sin 6d θθ=+-．则0)6sin 30d PA θα==+-．其中α为锐角，且4tan 3α=． 当sin()1θα+=-时，PA当sin()1θα+=时，PA． 【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形．10．2014年新课标2卷理科在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析）【答案】（1）1cos ,(sin x y βββ=+⎧⎨=⎩是参数，0)βπ≤≤；（2）3(,22 【解析】试题分析：本题第（1）问，由极坐标与普通方程的互化关系可得出C 的普通方程为：222x y x +=，从而写出C 的参数方程为1cos ,(sin x y βββ=+⎧⎨=⎩是参数，0)βπ≤≤.；对第（2）问，可先设D 点坐标为(1cos ,sin )ββ+，然后由C 在点D 处的切线与l垂直，得出tan β=3πβ=，写出D 点坐标.试题解析：（1）设点M (,)x y 是C 上任意一点，则由2cos ρθ=可得C 的普通方程为：222x y x +=，即22(1)1(01)x y y -+=≤≤，所以C 的参数方程为1cos ,(sin x y βββ=+⎧⎨=⎩是参数，0)βπ≤≤.（2）设D 点坐标为(1cos ,sin )ββ+，由（1）知C 是以G （1，0）为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan β=3πβ=，故D 点的直角坐标为(1cos,sin )33ππ+，即3(,22.【易错点】对第（1）问，极坐标与普通方程、参数方程之间的互化,有一部分学生不熟练而出错;对第(2)问,不理解题意而出错.考点：本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答好本类题目的关键.。