弹性波动力学学习手册

弹性波动力学学习手册本学习手册的编写旨在帮助初学者更好地掌握每一章节的重点内容，并提供相应的计算练习实例以及相应练习。

第一章仿射正交张量§1.1 指标记号及两个符号一、指标记号1、凡使用指标的记号系统为指标记号，如单位基向量：e i ，空间内任一点坐标：x i ，今后会遇到的应变张量ij e 、应力张量ij τ 等。

2、求和约定例：空间内任一点P 的向径可表示为：31122331i i i x x x x ===++∑x e e e e （1）在（1）式中可发现是对指标i 从1至3的取值范围内求和。

可以将其简写为：112233i i x x x x =++=x e e e e （2）这即是求和约定，亦即在数学表达式内同一项中，有某个指标重复出现一次且仅一次（如（2）式中的指标i ），就表示对该指标在其取值范围内取一切值，并对所得到的对应项求和。

该求和指标也称为哑标。

需要说明的是：由于该指标仅表示在其取值范围内求和，因此用其它拉丁字母代替亦可，但是不能与后文提到的自由指标相重复。

例1：i ji j t n τ=该例中，同一项中指标j 有重复且只重复一次，所以为哑标。

另一指标i 不参与求和约定，称其为自由指标。

该式展开为：i =1时，11111212313j j t n n n n ττττ==++ i =2时，22121222323j j t n n n n ττττ==++ i =3时，33131232333j j t n n n n ττττ==++自由指标的个数决定了简写方程代表实际方程的个数，哑标的个数决定了该项所代表的实际求和项的项数。

例1中，由于只有一个自由指标i ，所以实际上它代表有133=个表达式；右端项只有一个哑标j ，所以该项展开后是133=项的和。

例2：112233ii A A A A =++ 例3：1122S S S αα=+需要说明的是：教材中用拉丁字母书写的指标取值范围是1、2、3，而用希腊字母书写的指标取值范围是1、2（如例3中的指标α）。

针对指标记号的练习题：练习1：写出jk ij ik A B C = （23个方程，每个方程右端有13个累加项）练习2：12ij ij W e τ= （03个方程，23个累加项）二、两个符号1、Kronecker 符号ij δ1,0,ij i j i j δ=?=?≠? 写成阵列的形式即为：()100010001ij δ??= Kronecker 符号的特点：（1）ij ji δδ= (2) i j ij δ=g e e(3) 1122333ii δδδδ=++= (4) j ij i a a δ= (5) kj ik ij A A δ= (6) ik kj ij δδδ=例4：向量i i a =a e 和i i b =b e ，有：()i i i a b ±=±a b e 注意：±可作为求和约定中“同一项”的分隔符i i j j i j i j i j ij i i a b a b a b a b δ====g gg a b e e e e 注意：点乘(包括叉乘符号)符号不能作为“同一项”的分隔符，所以此例中将向量b 的下标换成了j 。

2i j ij i i a a a a a δ===g a a 2、排列符号（置换符号）：112311230ijk ijk e ijk ijk ??=-为的顺时针排列为的逆时针排列取值有重复时所以1232313121e e e ===，1323212131e e e ===-，其余21个值为0.1 23还有：ijk jki kij kji jik ikj e e e e e e ===-=-=-例5：123231312,132,,,?=?=?=?=-L e e e e e e e e e e e e 则有：i j ijk k e ?=e e e 例6：向量i i a =a e 和i i b =b e ，有：()()()i i j j i j i j ijk i j k a b a b e a b ?=?=?=a b e e e e e 则 ()ijk i j k e a b ?=a b针对两个符号的练习题：练习3：已知ii e θ=，λ和μ为常数，试将此式开展：2ij ij ij e τλθδμ=+§1.2 坐标变换旧系：123ox x x ，单位基向量：i e新系：123ox x x ，单位基向量：i e 坐标变换系数：()cos ,ij i j i j β==g e e e e新旧坐标系下的单位基向量坐标变换规律：,i ij j i ji j ββ==e e e e 新旧坐标系下的空间点坐标变换规律：,i ij j i ji j x x x x ββ==向量f ，在旧系下的分量i f ，新系下的分量为i f ，其坐标变换规律为： ,i ij j i ji j f x f f ββ==向量的解析定义：若有3个量，它们在123ox x x 和123ox x x 的分量分别为i f 和i f ，当两个坐标系之间的变换系数为ij β时，i f 与i f 之间按式,i ij j i ji j f x f f ββ==变换，则这3个量有序整体形成一个向量f ，此3个量为向量f 的分量。

§1.3 张量的定义一、张量的定义1、0阶张量（标量）：03个分量，在旧系下为()123,,x x x ?，新系下()123,,x x x ?，当进行坐标变换时满足()()123123,,,,x x x x x x ??=。

2、一阶张量（向量）：13个有序分量，满足,i ij l i ji j a a a a ββ==3、二阶张量：23个有序分量，满足 ,ij im jn mn ij mi nj mn T T T T ββββ==记()ij T =T ，写成阵列形式为：()111213212223313233ij T T T T T T T T T T ??==T 4、n 阶张量，同上练习4：试证空间中任意两点间的距离对坐标变换来讲都是个不变量（P 8,例1.3-1）。

练习5：P27,题1-5 练习6: P27,题1-6二、张量的表示方法并向量表示法（实体表示法）：i i a =a e ij i j T =T e e ijk i j k B =B e e e§1.4 张量的代数运算1、张量的相等2、张量相加减3、张量乘积r 阶张量A ,s 阶张量B 。

它们的乘积 C =AB 为（r+s ）阶张量乘积的运算性质：（1）服从分配律：()+=+A B C AC BC（2）服从结合律：()()=AB C A BC（3）不满足交换律：≠AB BA4、张量的缩并在r （2r ≥）阶张量，令其任何两个指标相同，并对重复指标施行求和约定。

例7：112233k iik k k k b A A A A ==++ 缩并一次减少2阶5、张量的内积r （0r >）阶张量A 和s （0s >）阶张量B 的乘积中，对分别属于A 和B 的指标进行一次缩并，称如此所得的2r s +-张量为张量A 与B 的内积，记为g A B ，约定：对张量A 的最后一个指标和张量B 的第一个指标进行。

例8：知()210122031ij A -??=??-??，向量()()1,2,2i b =-。

求内积ij j A b 和i ij b A§1.5 商法则设一组数的集合(),,,,T i j k l m ，若它满足对于任意一个q 阶张量S (如q =2，任意阶张量分量为lm S )的内积均为一个p 阶张量U （如p =3，三阶张量ijk U ），即在任意坐标系内以下等式均成立：(),,,,lm ijk T i j k l m S U = （对l ，m 应用了求和约定），则这组数的集合(),,,,T i j k l m 必为一个()p q +阶张量。

§1.6 几种特殊张量对称二阶张量：ij ji A A = 反对称二阶张量：ij ji C C =- 引入kj ijk i C e c = 12i ijk kj c e C = 球张量及偏张量：1133ij kk ij ij kk ij A A A A δδ??=+-各向同性张量：张量的每一个分量都是坐标系旋转变换下的不变量。

§1.7 二阶张量的特征值和特征向量λ=g T n n 1i i n n =()0ijij j Tn λδ-=§1.8 张量分析简介标量：(),t φx ；向量：(),t a x ；(),t T x1、对时间的导数：t&T T= 2、张量场的梯度：(),k ij i j ij k k i j k grad T T x ??=?==T T e e e e e e3、张量场的散度：(),i jk j k ij i j i div T T x ??== ?T T =e e e e4、张量场的旋度：()(),,k lj l j k lj k k l j ikl lj k i jcurl T x T e T ??=??=? ???=?=T T e e e e e e e e 5、散度定理：VSdiv dV dS =u n u ,i i i i VSu dV n u dS =??VSdivTdV dS =n T ,ij i i ij VST dV nT dS =??练习7：题1-9 题1-11 题1-12 练习8：φ=?+??u ψ u i 的分量形式第二章弹性波动力学绪论一、弹性波动力学的任务：应用弹性动力学理论来研究弹性波的激发和传播问题。

二、弹性动力学的基本假设：1、物体是连续的；2、物体是线性弹性的；3、物体是均匀的；4、物体是各向同性的；5、物体的位移和应变都是微小的。

6、物体无初应力。

第三章运动和变形§3.1 弹性体运动和变形的表述一、基本概念：位形、参考位形、变形、运动二、运动和变形的数学表述：同一质点、不同时刻的向径：(),t ''=x x x 或 (),i i x x t ''=x 位移：(),t =u u x()(),,t t '=-u x x x x ()(),,i i i u t x t x '=-x x ()(),,t t '=+x x x u x ()(),,i i i x t x u t '=+x xii i i i j ju dx dx du dx dx x ?'=+=+例1：例3.1-1 练习1：题3-2 练习2: 题3-3§3.2质点的速度和加速度()(),,t t =&v x u x ()()(),,,t t t ==&&&a x v x u x§3.3应变张量公式推导：从两点间的距离改变出发来推导：()()222j i k k i j ij i j j i i j u u u u ds ds dx dx E dx dx x x x x '-=++= ? ?定义12j i k k ij ji i j u u u u E x x x x ??=++ ? ??????? 格林应变张量 ij ji E E =例2：例3.3-1 练习3：题3-4§3.4小变形情形的应变张量和转动张量一、小变形情形下的应变张量：(),,12ij i j j i e u u =+二、小变形位移的分解：()()1122Q P j j i i iij j j i ji u u u u u u dx dx x x x x =+-++ ? ? ? ? 令转动张量：12j i ij ji u u x x=- ? ????? ()()QPi i ij j ij j u u dx e dx ?=++ （刚体平移+刚体转动+变形位移）()()Q Pi i i du u u =-例3：例3.4-1 例4：例3.4-2 练习4：题3-7 练习5：题3-8§3.5小变形情形下，过一点线元长度的变化及过一点的两个线元之间的变化一、正应变（线应变、相对伸缩） ij i j e e n n = 例5：例3.5-1 练习6：题3-9练习7：题3-11二、过一点的两个线元之间夹角的变化cos i i n n φ=% 初始两线元夹角余弦()cos 21cos ij i j e n n e e φφ'=+--%% 变形后两线元夹角余弦例6：例3.5-2练习8：题3-10§3.6小变形应变张量的几何解释一、11e 的几何解释：质点P 处原来沿ox 1轴方向上的线元每单位长度的长度变化，即点P 处沿ox 1轴方向的正应变。