初中数学几何最值专题28：瓜豆原理之定比分点轨迹圆(最全修正版)
专题4.5圆---利用“瓜豆”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
上述模型在数学江湖中也被称作“捆绑动点轨迹模型”
Q
强化训练
“瓜豆”模型
提升能力
1.如图,正方形ABCD中,AB=12,E是BC边上一点,CE=7,F是正方形内部一点,
且EF=3,连接EF,DE,DF,并将△DEF绕点D逆时针旋转90º得到△DMN(点M,N
10
分别为点E,F的对应点),连接CN,则CN长度的最小值为_____.
2
2
E G
D
A
圆型运动轨迹
典例精讲
考点2-2
【引例】如图,已知A是⊙O外一点,P是⊙O上的动点,线段AP的中点为Q,连
接OA,OP.若⊙O的半径为2,OA=4,则线段OQ的最小值是(
A.0
B.1
C.2
B )
D.3
【思考】当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是？
解：连接AO,取AO的中点M,连接QM,PO.
O
A
(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：
∠OAM=∠PAQ；
(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：
AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.按以上两点即可确定从动点轨迹圆,Q
与P的关系相当于旋转+伸缩.
古人云：种瓜得瓜,种豆得豆.种圆得圆,种线得线,谓之“瓜豆模型”.
2
倍而得到的,所以点P所在圆的圆心绕点A逆时针旋转90º，
再乘以 2 就是点C所在圆的圆心B´,而半径也缩小
2
2倍,
2
即 2 .根据点圆最值模型,可知：BB´-CB´≤BC≤BB´+CB´,
即3 2 ≤BC≤ 5 2 ,因此最大值与最小值的差为 3 2 .
2024年中考数学常见几何模型最值模型之瓜豆模型(原理)圆弧轨迹型
最值模型之瓜豆模型(原理)圆弧轨迹型动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。
掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。
本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹为圆弧型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】模型1、运动轨迹为圆弧模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-2. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=k⋅AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-3. 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。
(常见于动态翻折中)如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。
模型1-4. 定边对定角(或直角)模型1)一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2)一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。
【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
1(2023·山东泰安·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为(-6，4)；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=43，∠D=30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是()A.3B.62-4C.213-2D.22(2023·四川广元·统考一模)如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，连接OD，则OD长的最大值为．3(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB=4，MP=1，则MQ的最小值为．4(2023·湖南·统考中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=7，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB P，连接CB ，则在点P的运动过程中，线段CB 的最小值为．5(2023·山东·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°,AB=5,AD=4,AD< BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF=∠BAE，则线段BF的最小值为．6(2023·浙江金华·九年级校考期中)如图，点A，C，N的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，(4，3)，以点C为圆心、2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为．7(2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习)已知矩形ABCD,AB=6,BC=4,P为矩形ABCD内一点，且∠BPC=135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为．8(2023下·陕西西安·九年级校考阶段练习)问题提出：(1)如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=43，则AB的长为；问题探究：(2)如图②，已知矩形ABCD，AB=4，BC=5，点P是矩形ABCD内一点，且满足∠APB= 90°，连接CP，求线段CP的最小值；问题解决：(3)如图③所示，我市城市绿化工程计划打造一片四边形绿地ABCD，其中AD∥BC，AD= 40m，BC=60m，点E为CD边上一点，且CE:DE=1:2，∠AEB=60°，为了美化环境，要求四边形ABCD的面积尽可能大，求绿化区域ABCD面积的最大值．课后专项训练1(2023·安徽合肥·校考一模)如图，在△ABC中，∠B=45°，AC=2，以AC为边作等腰直角△ACD，连BD，则BD的最大值是()A.10-2B.10+3C.22D.10+22(2023春·广东·九年级专题练习)已知：如图，在△ABC中，∠BAC=30°，BC=4，△ABC面积的最大值是( )．A.8+43B.83+4C.83D.8+833(2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习)如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB=2，BC=4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为()A.43+4B.4C.43+8D.64(2023·山东济南·一模)正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为()A.25-2B.25+2C.10-2D.10+25(2023上·江苏连云港·九年级统考期中)如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，点P是BC边上一动点(点P不与点B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接CM，则CM的最小值为．6(2023春·广东深圳·九年级专题练习)如图，点G是△ABC内的一点，且∠BGC=120°，△BCF是等边三角形，若BC=3，则FG的最大值为．7(2023·江苏泰州·九年级专题练习)如图，在矩形ABCD中，AD=10，AB=16，P为CD的中点，连接BP．在矩形ABCD外部找一点E，使得∠BEC+∠BPC=180°，则线段DE的最大值为．8(2023·陕西渭南·三模)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=5，点E在BC上，且CE=4BE，点M 为矩形内一动点，使得∠CME=45°，连接AM，则线段AM的最小值为．9(2023江苏扬州·三模)如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB=6，CD=4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是．10(2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB= AC=22，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC=90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为．11(2023·福建泉州·统考模拟预测)如图，点E是正方形ABCD的内部一个动点(含边界)，且AD= EB=8，点F在BE上，BF=2，则以下结论：①CF的最小值为6；②DE的最小值为82-8；③CE= CF；④DE+CF的最小值为10；正确的是．12(2021·广东·中考真题)在△ABC中，∠ABC=90°,AB=2,BC=3．点D为平面上一个动点，∠ADB=45°，则线段CD长度的最小值为．13(2023·广东·深圳市二模)如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E为边BC上一动点，F为AE 中点，G为DE上一点，BF=FG，则CG的最小值为．14(2023秋·广东汕头·九年级校考期中)如下图，在正方形ABCD中，AB=6，点E是以BC为直径的圆上的点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，连接CF，则线段CF的最大值与最小值的和．15(2023·陕西渭南·统考一模)如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，Q是矩形ABCD左侧一点，连接AQ、BQ，且∠AQB=90°，连接DQ，E为DQ的中点，连接CE，则CE的最大值为．16(2023·安徽亳州·统考模拟预测)等腰直角△ABC 中，BAC =90°，AB =5，点D 是平面内一点，AD =2，连接BD ，将BD 绕D 点逆时针旋转90°得到DE ，连接AE ，当DAB =(填度数)度时，AE 可以取最大值，最大值等于．17(2023·河北廊坊·统考二模)已知如图，△ABC 是腰长为4的等腰直角三角形，∠ABC =90°，以A 为圆心，2为半径作半圆A ，交BA 所在直线于点M ，N ．点E 是半圆A 上仟意一点．连接BE ，把BE 绕点B 顺时针旋转90°到BD 的位置，连接AE ，CD ．(1)求证：△EBA ≌△DBC ；(2)当BE 与半圆A 相切时，求弧EM的长；(3)直接写出△BCD 面积的最大值．18(2022·北京·中考真题)在平面直角坐标系xOy 中，已知点M (a ,b ),N .对于点P 给出如下定义：将点P 向右(a ≥0)或向左(a <0)平移a 个单位长度，再向上(b ≥0)或向下(b <0)平移b 个单位长度，得到点P '，点P '关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．(1)如图，点M (1,1),点N 在线段OM 的延长线上，若点P (-2,0),点Q 为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=12 OM;(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t12<t<1，若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示)19(2023下·广东广州·九年级校考阶段练习)如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点(点P不与A，C重合)，连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．(1)求证：BD=CE；(2)连接CD，延长ED交BC于点F，若△ABC的边长为2；①求CD的最小值；②求EF的最大值．20(2023·江苏常州·统考二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-13x2+bx-3的图像与x轴交于点A和点B9,0，与y轴交于点C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P是抛物线上一点，满足∠PCB+∠ACB=∠BCO，求点P的坐标；(3)若点Q在第四象限内，且cos∠AQB=35，点M在y轴正半轴，∠MBO=45°，线段MQ是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．最值模型之瓜豆模型(原理)圆弧轨迹型动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。
最值模型之瓜豆模型(原理)直线轨迹型-2024年中考数学常见几何模型及参考答案
最值模型之瓜豆模型(原理)直线轨迹型动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。
掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。
本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹为直线型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
模型1、运动轨迹为直线1)如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．2)如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
1)当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；2)当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。
3)确定动点轨迹的方法(重点)②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化(常用中位线、矩形对角线、全等、相似)为其他已知轨迹的线段求最值。
最值问题之瓜豆原理(学生版)
最值问题之瓜豆原理知识解读瓜豆原理是主从动点联动问题，也叫旋转相似，这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题．瓜豆原理：一个主动点，一个从动点(根据某种约束条件，跟着主动点动)，当主动点运动时，从动点的轨迹相同．(古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．)满足条件：1.两动一定；2.动点与定点的连线夹角是定角；3.动点到定点的距离比值是定值．方法：第一步：找主动点的轨迹；第二步：找从动点与主动点的关系；第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹；第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值．“瓜豆原理”其实质就是构造旋转、相似．涉及的知识和方法：知识：①相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值．运动轨迹为圆弧引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO: AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．【模型总结】为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量；主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值)；主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值)．【结论】(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．模型二运动轨迹为线段引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段．【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值)；主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值)．结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ(当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角)P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ(由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN)1针对训练一、单选题1如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB=2，BC=4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为()A.43+4B.4C.43+8D.62如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF 所在直线翻折，得到△A'EF，则A'C的长的最小值是()A.132B.3C.13-1D.10-13如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，BC=23，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE=CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为()A.1B.3C.32D.24如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M 为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为()A.24π B.22π C.1 D.25如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q ，连接OQ ，则OQ 的最小值为()A.455B.5 C.523D.655二、填空题6如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=23，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为，当点D运动到点H，此时线段BE的长为．7如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为．8如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边ΔEFG，连接CG，则CG的最小值为．9如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是．10如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠DAC=60°，点F沿线段AO从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，连接OE．现给出以下结论：①∠BDE=∠EFC；②ED=EC；③直线OE⊥CD；④点E运动的路程是23．其中正确的结论是．(写出所有正确结论的序号)11如图，已知AC =2AO =8，平面内点P 到点O 的距离为2，连接AP ，若∠APB =60°且BP =12AP ，连接AB ，BC ，则线段BC 的最小值为．12如图，线段AB 为⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB =4，BC =2，点P 是⊙O 上一动点，连接CP ，以CP 为斜边在PC 的上方作Rt △PCD ，且使∠DCP =60°，连接OD ，则OD 长的最大值为．三、解答题13如图，过抛物线y =14x 2-2x 上一点A 作轴的平行线，交抛物线于另一点B ，交轴于点C ，已知点A 的横坐标为．(1)求抛物线的对称轴和点B 的坐标；(2)在AB 上任取一点P ，连结OP ，作点C 关于直线OP 的对称点D ；①连接BD ，求BD 的最小值；②当点D 落在抛物线的对称轴上，且在轴上方时，求直线PD 的函数表达式．14如图①，在ΔABC中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D是BC的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到ΔBPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：(1)当点E在直线AD上时，如图②所示．①∠BEP=；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是．(2)请在图③中画出ΔBPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE，试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．(3)当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．15如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．(1)若点D在AB边上(不与A，B重合)请依题意补全图并证明AD=BE；(2)连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．16如图所示，在Rt△ABC中，AB=BC=2，点D是AC上一点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长．17在平面直角坐标系中，A(a，0)、B(b，0)，且a，b满足a2-6a+9+b+3=0，C、D两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点；(1)如图1，若C(0，4)，求△ABC的面积；(2)如图1，若C(0，4)，BC=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D点的坐标；(3)如图2，若∠CBA=60°，以CD为边，在CD的右侧作等边△CDE，连接OE，当OE最短时，求A，E两点之间的距离．18如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，连接BD，将△ABD绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为△A′B′D，旋转角为α(0°<α<360°且α≠180°)．(1)在旋转过程中，当A′落在线段BC上时，求A′B的长；(2)连接A′A、A′B，当∠BA′B'=90°时，求tan∠A′AD；(3)在旋转过程中，若△DAA′的重心为G，则CG的最小值=．19如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF的中点，连接PB，求PB的最小值．20如图所示，在扇形AOB 中，OA =3，∠AOB =120°，点C 是AB上的动点，以BC 为边作正方形BCDE ，当点C 从点A 移动至点B 时，求点D 经过的路径长．21如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =2，BC =23，以点B 为圆心，3为半径作圆．点P 为⊙B 上的动点，连接PC ，作P C ⊥PC ，使点P 落在直线BC 的上方，且满足P C :PC =1:3，连接BP ，AP ．(1)求∠BAC 的度数，并证明△AP C ∽△BPC ；(2)如图2，若点P 在AB 上时，连接BP ，求BP 的长；(3)点P 在运动过程中，BP 是否有最大值或最小值？若有，请求出当BP 取得最大值或最小值时，∠PBC 的度数；若没有，请说明理由．22如图所示，△ABO为等腰直角三角形，A-4,0，直角顶点B在第二象限，点C在y轴上移动，以BC为斜边向上作等腰直角△BCD，我们发现直角顶点D点随着C点的移动也在一条直线上移动，求这条直线的函数解析式．23如图所示，点P3,4，⊙P的半径为2，A2.8,0，点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，求AC的，B5.6,0最小值．24如图所示，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P 沿半圆从点A运动至点B时，求点M运动的路径长．25如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形点A,C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA=3，tan∠OAC=33，D是BC的中点.(1)求OC的长和点D的坐标；OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P,D,B三点的抛物线交x轴的正半(2)如图2，M是线段OC上的点，OM=23轴于点E，连结DE交AB于点F①将ΔDBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边ΔDFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长.26在等边三角形ABC中，点D为AC上一点，连接BD，将BD绕D逆时针旋转角度α得到DE，连接BE，已知AB =4，BG⊥AC；(1)如图1，若α=60°，tan∠DBG=2-3，连接CE，求CE的长；(2)如图2，若α=120°，分别取CD的中点H，BE的中点F，连接HF，DF，求证：HG=HF；，连接GP ，(3)如图3，若AD=32，P为AE上一点，且满足AP=2PE，连接BP，将BP沿着BG所在直线翻折得到BP当GP 最大时，直接写出△BPE的面积．27在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E是对角线BD上的一点，连接AE．(1)当E在AB的中垂线上时，把射线EA绕点E顺时针旋转90°后交CD于F，连接BF．如图①，若AB=4，求EF的长．(2)在(1)的条件下，连接BF，把△BEF绕点B顺时针旋转得到△BHK如图②，连接CH，点N为CH的中点，连接AN，求AN的最大值．28在△ABC中，D为直线AC上一动点，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转90°，得到BE，连接DE与AB相交于点F．(1)如图1，若D为AC的中点，∠BAC=90°，AC=4，BD=29，连接AE，求线段AE的长；(2)如图2，G是线段BA延长线上一点，D在线段AC上，连接DG，EC，若∠BAC<90°，EC⊥BG，∠ADE=∠DBC，∠DBC+∠G=∠EBF，证明2BC=2AD+DC；(3)如图3，若△ABC为等边三角形，AB=62，点M为线段AC上一点，且2CM=AM，点P是直线BC上的动点，连接EP，MP，EM，请直接写出当EP+MP最小时△EPM的面积．。
最值模型-瓜豆原理(解析版)--中考数学常见几何模型全归纳之模型解读
最值模型-瓜豆原理动点轨迹问题是中考的重要题型，受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。
掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。
本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
模型1、运动轨迹为直线模型1-1如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．模型1-2如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
1)当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；2)当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。
一文搞定最值系列之“瓜豆原理”(重磅精编)
瓜豆原理原理概述俗语云“种瓜得瓜，种豆得豆”，数学上有“种线得线，种圆得圆”：平面内，动点Q 随着动点P 的运动而运动，我们把点P 叫做主动点，点Q 叫做从动点；当这两个动点与某个定点连 线的夹角一定，且与该定点距离之比一定时（简记为“定角、定比”），易判断两个动点与定点构成的三角形形状一定，大小可能变，此时两个动点的轨迹形状相同,瓜豆问题的本质是 旋转、相似（包含全等）变换，往往与共点旋转（手拉手）模型相结合，考查类型有： （1）确定动点轨迹；（2）求运动路程；（3）求线段最值、面积最值等.基本模型一、种直线得直线（主动点与从动点的轨迹都是直线或直线上一部分） 1.图1 图2如图1，已知l 为定直线，O 为直线外一定点，P 为直线l 上一动点，连接OP ，若Q 为直线 OP 上一点（一般在线段OP 上），且Q 点到O 点的距离与P 点到O 点的距离之比为定值k （k ＞0且k ≠1），即k OP OQ=，此时我们可认为Q 、P 两点与定点O 连线的夹角一定（夹角为0°），符合瓜豆原理“定角、定比”的条件，因而Q 点的运动轨迹也是直线；如图2，另取 一组对应的点P ’、Q ’,则k O PO Q P O Q O ==''，因而△OQ ’Q ∽△OP ’P ，相似比为k ，可知从动点Q 在平行于l 的直线m 上运动.易判断点O 到直线m 和l 的距离之比也等于k. 2.图1 图2如图1，已知l 为定直线，O 为直线外一定点，P 为直线l 上一动点，将射线OP 绕着点O 按 确定的方向（如顺时针）旋转一个确定的角度α（0＜α＜180°），得到射线OM ，在射线 OM 上取一点Q ，使k OP OQ=（k 为大于0的定值），此时符合瓜豆原理“定角、定比”的条件， 因而Q 点的运动轨迹也是直线；如图2，另取一组对应的点P ’、Q ’,则Q 点的运动轨迹即 为直线QQ ’，∵∠POQ=∠P ’OQ ’=α，∴∠POP ’=∠QOQ ’，又∵k P O Q O O P O Q==''，∴△OPP ’∽△OQQ ’.特别的，当k=1时，△OPP ’≌△OQQ ’.k ≠1时，△OQQ ’可看做由 △OPP ’绕着O 点旋转并放缩（0＜k ＜1时缩小，k ＞1时放大）而来.直线QQ ’可看做由直 线l 绕着点O 顺时针旋转α角而来，0＜α＜90°时，两直线的夹角即为α.典型例题1-1如图，在平面直角坐标系中，A （4,0），B 为y 轴正半轴上 一动点，以AB 为一边向下作等边△ABC ，连接OC ，则线段 OC 的最小值为_________.【分析】B 为主动点，C 为从动点；方法一：与从动点有关的线段最值，优先转化为与主动点有关的线段最值，将线段OA 绕着点A 顺时针旋转60°，得到线段O ’A ，构造全等三角形可实现线段的转化；方法二：两动点与定点A 连线的夹角为定值（60°），到点A的距离之比为定值1（即CA:BA=1），符合瓜豆原理“定角、定比”的特征，主动点B 的轨迹为射线，则从动点C 的轨迹也为射线，确定其轨迹后，依据“垂线段最短”求OC 得最小值.【解答】方法一：如图1，将线段OA 绕着点A 顺时针旋转60°，得到线段O ’A ；连接O ’B ，易证△AO ’B ≌△AOC ，则OC=O ’B ，即求O ’B 的最小值；由于O ’为定点，点B 在y 轴正半轴上运动，如图2，由垂线段最短，知O ’B ⊥y 轴时，O ’B 最小，连接OO ’，则 △AOO ’为等边三角形，作O ’H ⊥OA 于H ，此时O ’B=OH=21OA=2，即OC 的最小值为2.图1 图2 方法二：如图3，当点B 位于原点时，对应的点C 位于1C （2，-23）处，当点B 位于2B （0，334）时，对应的点C 位于2C （0，-334） 处，则点C 的运动轨迹为射线21C C ，当OC ’⊥21C C 时，OC ’ 最小；易证△O AB 2≌△12C AC ，∴∠12C AC =∠O AB 2=60°， 则∠C OC '2=60°，∴OC ’=223OC =2，即OC 的最小值为2.【小结】1.动点引起的最值问题，经常需要确定动点轨迹； 图3 2.两种方法中，均有两个等边三角形构成“共点旋转（手拉手）”模型，会伴随产生一组全等三角形；3.方法二中，由于从动点的轨迹为射线，因而先确定其端点，再找一组特殊位置的主动点和从动点（目的是便于计算），即可确定从动点的轨迹；4.严格来说，y 轴的正半轴不包括原点，因此C 点的轨迹不包括点1C .典型例题1-2如图，正方形 ABCD 的边长为4，动点E 从A 点出发，沿着AB 边向终点B 作无折返运动，连接DE ，以DE 为边向右上方作正 方形DEFG ，则点E 在整个运动过程中，点F 经过的路径长为______.【分析】E 为主动点，F 为从动点，依据正方形的性质，两动点与定点A 的连线夹角恒为45°，且始终有DF ：DE=2，符合瓜豆原理“定角、定比”的特征，故F 点的运动轨迹为线段，由临界情况确定该线段的两个端点，结合“共点旋转（手拉手）”相似模型，运用相似比计算该线段长.【解答】如图1，连接BF 、BD 和DF ，由正方形的性质知D ED F D A DB==2,图1∠BDA=∠FDE=45°，则∠ADE=∠BDF ，∴△DAE ∽△DBF ，∴BF=2AE ， 当E 点位于A 点处时，F 点位于B 点处，当E 点位于B 点处时，F 点的 位置如图2，则F 点的运动轨迹即为图2中的线段BF ，BF=2AB=42，即点F经过的路径长为42.图2【小结】1.图1中，△DAB与△DEF构成“共点旋转（手拉手）”模型，伴随产生一组相似三角形（△DAE和△DBD）；2.瓜豆题型的突破口在于找到从动点、主动点和某定点之间的“定角、定比”关系.变式训练1-1如图，△ABC为等边三角形，AB=4，AD为高，E为直线AD上一动点，连接CE并以CE为边向下作等边△CEF，连接DF；则点E在运动的过程中，线段DF的最小值为_________.变式训练1-2（原创）如图，在△ABC中，∠A=105°，∠ABC=30°，AC=2，动点D从A点出发，沿着AC边向终点C作无折返运动，以BD为边向上作△BDE，使∠BDE=∠A，且∠E=45°，则点D运动的整个过程中，点E运动的路径长为________；F为直线CE上一动点，连接BF，则线段BF的最小值为_______.变式训练1-3（多种方法）如图，已知AB=12，点C在线段AB上，且AC=4，以AC为一边向上作等边△ACD，再以CD为直角边向右作Rt△DCE，使∠DCE=90°，F为斜边DE的中点，连接DF，随着CE边长的变化，BF长也在改变，则BF长的最小值为_________.二、种曲线得曲线（主动点与从动点的轨迹都是双曲线或双曲线一部分）其原理与模型一类似，不再赘述，直接看例题：典型例题2-1如图，点A 是双曲线xy 4=在第一象限上的一动点，连接AO并延长，交双曲线的另一支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ， 点C 落在第二象限内，随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化， 但始终在同一函数图像上，则该函数解析式为___________. 【分析】A 为主动点，C 为从动点；方法一：根据点C 坐标判断，连接CO 过点C 向x 轴作垂线段，构建“三垂直”模型，设点A 坐标，表示出点C 坐标，观察其坐标符合的函数解析式； 方法二：根据反比例函数k 的几何意义判断；方法三：动点A 、C 与定点O 符合瓜豆原理“定角、定比”的特征，因而点C 的轨迹是双曲线的一支，任意的点C 均可看做对应的点A 绕着点O 逆时针旋转90°而来，因而点C 的轨迹可看做由原双曲线第一象限的一支绕点O 逆时针旋转得到. 【解答】方法一：连接OC ，作CD ⊥x 轴于点D ，AE ⊥x 轴于点E ，由双曲线的对称性知OA=OB ，又∵△ABC 为等腰直角三角形，∴CO ⊥OA ，CO=OA ，则易证△COD ≌△OAE ，设A （a,a 4）,则C （-a 4，a ），易判断点C 在反比例函数y=-x 4（x ＜0）上，故答案为：y=-x4（x ＜0）. 方法二：辅助线同方法一，由反比例函数k 的几何意义知COD AOE S S ∆∆==2，易判断点C 在反比例函数y=-x4（x ＜0）上. 方法三：点C 的轨迹可看做由原双曲线第一象限的一支绕点O 逆时针旋转得到，因而新反比例函数的k 与原函数k 互为相反数，故点C 在反比例函数y=-x 4（x ＜0）上. 变式训练2-1如图，Rt △ABO 中，∠AOB=90°，点A 在第一象限、点B 在第四象限， 且AO ：BO=1：，若点A （x 0，y 0）的坐标x 0，y 0满足y 0=，则点B （x ，y ）的坐标x ，y 所满足的关系式为 ．三、种圆得圆（主动点与从动点的轨迹都是圆或圆弧） 1.图1 图2如图1，已知点P 为⊙M 上一动点，O 为定点（一般在圆外），Q 为直线OP 上一点（一般在线段OP 上），若OP OQ=k （k ＞0且k ≠1），则主动点P 、从动点Q 与定点O 符合“定角（0°）、定比”特征，因而Q 点的轨迹也是圆，如何确定该圆的圆心和半径呢？如图2，连接MP 、MO ，作QN ∥PM ，交MO 于点N ，则△OQN ∽△OPM ，从而有MPNQO PO Q OM O N ===k,由于M 、O 为定点，k 为定值，∴N 为定点，设⊙M 半径为R ，⊙N 半径为r ，∵NQ=kMP=kR,∴NQ 长为定值，由圆的定义知，点Q 在以N 为圆心，kR 长为半径的圆上运动,即Q 点的轨迹是以N 为圆心，kR 长为半径的圆. 2.图1 图2如图1，已知点P 为⊙M 上一动点，O 为定点（一般在圆外），将射线OP 绕着点O 按确定的方向（如顺时针）旋转一个确定的角度α（0＜α＜180°），得到射线OT ，在射线OT 上有一点Q ，满足OP OQ=k （k 为大于0的常数），则主动点P 、从动点Q 与定点O 符合“定角、定比”的特征，因而Q 点的轨迹也是圆，如何确定该圆的圆心和半径呢？如图2，连接MP 、MO ，将射线OM 绕点O 顺时针旋转α角，得到射线OS ，在射线OS 上取一点N ，使OM ON =k,则N 为定点，易证△OQN ∽OPM ，则O PO QPM Q N=k ，∴QN=kPM=kR,则QN 为定值，由圆的定义知，点Q在以N 为圆心，kR 长为半径的圆上运动,即Q 点的轨迹是以N 为圆心，kR 长为半径的圆.特别的，当k=1时，△OQN ≌OPM ，⊙N 和⊙M 为等圆，⊙N 可看做由⊙M 绕着点O 顺时针旋转α角而来；当k ≠1时，⊙N 可看做由⊙M 绕点O 顺时针旋转α角，且半径放缩k 倍（0＜k ＜1时缩小，k ＞1时放大）而来.典型例题3-1如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D 是以点A 为圆心4为半径的圆上一动点，连接BD ，点M 为BD 中点，线段CM 长度的最大值为________．【分析】方法一：关联三角形法，取AB 的中点E ，连接EC 、EM 和AD ，放到△CEM 中求解CM 的范围，三点共线时取最大值； 方法二：辅助圆法，从动点相关的线段优先转化为主动点相关的线段，将线段BC 加倍延长，借助中位线构造出2CM ，即求2CM 的最大值； 方法三：符合瓜豆原理基本模型，确定从动点M 的轨迹圆，进而求CM 的最大值.【解答】方法一：如图1，取AB 的中点E ，连接EC 、EM 和AD ，∵M 为BD 的中点，∴EM 为△BAD 的中位线，∴EM=21AD=2；∵∠ACB=90°，∴CE=21AB=5，CM ≤CE+EM ，即CM ≤7，当且仅当C 、E 、M 共线时（如图2），CM 取得最大值7.图1 图2方法二：如图3，延长BC 至点F ，使CF=BC ，则F 为定点，连接DF ，则CM 为△BDF 的中位线，∴FD=2CM ，当FD 最大时，CM 最大；如图4，连接FA 并延长，与⊙A 交于点D ，此时FD 最大，易知AF=AB=10，则此时FD=14，对应CM 的最大值即为7.图3 图4方法三：主动点D 、从动点M 与定点B 符合“定角（0°）、定比”特征，因而点M 的轨迹为圆；如图5，连接AD ，∵M 为BD 的中点，∴取AB 得中点E ，连接EM ，可知E 为定点且EM=21AD=2，根据圆的定义知，点M 的轨迹为以E 为圆心，2为半径的圆；如图6，∵C 为⊙E外一定点，∴连接CE 并延长，与⊙E 交于点M ，此时CM 最大，此时CM=CE+EM=7.图5 图6【小结】以上方法中，辅助线均有一举多得之妙，我们可总结出一些常见的辅助线作法： ①出现直角三角形：常作斜边的中线；②出现直角三角形：常倍长直角边，构造等腰三角形；③出现线段中点：常取另一线段的中点，构造中位线；④出现线段中点：常倍长另一线段，构造中位线.典型例题3-2（改编）如图，△ABC 中，AB=3，AC=2，以BC 为斜边作等腰Rt △BCD （与△ABC 分布在直线BC 的两侧），连接AD ，则线段AD 的最大值为___________.【分析】方法一：∵△BCD 为等腰直角三角形，∴以AB 为斜边向下作等腰直角三角形，与△BCD 构成“共点旋转（手拉手）”模型，伴随产生一组相似三角形，用“关联三角形”法求出AD 的最大值.方法二：不妨固定AB 边，则主动点C 在以A 为圆心，2为半径的一段圆弧上运动，它与从动点D 、定点B 符合“定角、定比”特征，借助模型确定D 点的轨迹圆弧，求出AD 的最大值.【解答】方法一:如图1，以AB 为斜边向下作等腰Rt △BAE ，连接DE ，则△BAE ∽△BCD ，从而易证△BAC ∽△BED ，∴21==ABBE AC DE，∴DE=2AC =2，又AE=2232=AB ，∴AD ≤AE+DE ，即AD ≤225，如图2，当且仅当A 、E 、D 三点共线时，AD 取得最大值，最大值为225.图1 图2方法二：如图3，假定AB边固定，则主动点C在半圆（不包括端点G、H）上运动，从动点D可看作由主动点C绕着点B顺时针旋转45°，且到点B的距离缩至22倍而来，则将主动圆心A按照相同的操作可得到从动圆心F，从动圆的半径缩小至主动圆半径的22（即构造△BDF∽△BCA，与构造“手拉手”模型本质相同），D点在如图所示的半圆（不包括端点I、J）上运动，A为⊙F外一定点，∴当A、F、D共线时，AD最大，最大值为AF+DF=225. 图3【小结】1.方法一与方法二实质相同，只是方法二多了确定主动点轨迹、从动点轨迹的过程；2.由图2可知，当AD取得最大值时，∠BAC=∠BDE=90°，∠BAD=∠CAD=45°，因而可以变换多种问法，如当AD取得最大值时，求∠BAD、∠BAC的大小，求BC长、BD长等；3.本题可稍稍加大难度，将“求AD得最大值”改为“求△ABD面积的最大值”（答案为4269 ，方法见视频讲解）；4.许多同学误将主动点和从动点的轨迹判断为完整的圆，虽不影响结论，但不够严谨.5.共点旋转与瓜豆可谓形影相伴模型，很多题往往用两种方法均可解答；变式训练3-1如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝xk（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，连接AP，Q是AP的中点，连接OQ，已知OQ长的最大值为23，则k的值为______；BQ的最大值为________.变式训练3-2（原创）如图，在平面直角坐标系中，圆心在x轴正半轴上的⊙M交x轴的负半轴于点A（-1,0），交y轴正半轴于点B（0，3），交y轴负半轴于点C，动点P从点B出发，沿着⊙M顺时针向终点C做无折返运动，D（-2,0），在点P运动过程中，连接DP，Q为线段DP上一点且始终满足PQ=2DQ，则在整个运动过程中，点Q经过的路径长为_______；线段DQ扫过的区域面积为________.变式训练3-3（原创）如图，在平面直角坐标系中，A（2,0），B（-1,0），以OA为直径的圆上有两个动点C、D，连接BC，并以BC为直角边向逆时针方向作Rt△BCE，使∠CBE=90°，∠BEC=30°，连接CD、ED和BD，则C、D两点的位置在变化的过程中，△BCE面积的最大值与最小值之差为_______；线段DE的最小值为_________；当∠EBD最大时，线段BE和CD的数量关系是_____________.中考真题6在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于1.如图，点A是双曲线y=-x点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点Ck上运动，则k的值为（）的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=xA.1B.2C.3D.42.如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是（）A．3B．C．D．43.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A 到点C的运动过程中，点E的运动路径长是．4.如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．5.如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿着半圆从点A运动到点B时，点M运动的路径长为．6.如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝3，点P是AD边上的一个动点，连接BP，作点A关于直线BP的对称点A1，连接A1C，设A1C的中点为Q，当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为．7.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．8．如图，正方形ABCD中，AB=2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．（1）求证：AE=CF；（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．（3）求线段OF长的最小值．参考答案变式训练1-1 1.变式训练1-2262+；2622+.变式训练1-3 6.变式训练2-1 y=-x2.变式训练3-12532，1051452+.变式训练3-298π；27839π+. 变式训练3-343；3-3；BE=3CD. 中考真题1.B2.C3.3344.D5.π6.33π7.25 8.（1）证明：如图1，由题意知：∠EDF=90°，ED=DF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC=90°，AD=CD ，∴∠ADC=∠EDF ， 即∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF ，∴∠ADE=∠CDF ，在△ADE 和△DCF 中， ∵，∴△ADE ≌△DCF ，∴AE=CF ；（2）如图2，过F 作OC 的垂线，交BC 的延长线于P ， ∵O 是BC 的中点，且AB=BC=2，∵A ，E ，O 三点共线，∴OB=，由勾股定理得：AO=5，∵OE=2，∴AE=5﹣2=3，由（1）知△ADE ≌△DCF ， ∴∠DAE=∠DCF ，CF=AE=3，∵∠BAD=∠DCP ，∴∠OAB=∠PCF ， ∵∠ABO=∠P=90°，∴△ABO ∽△CPF ，∴==2，∴CP=2PF ，设PF=x ，则CP=2x ，由勾股定理得：32=x 2+（2x ）2， x=或﹣（舍去），∴FP=，OP=+=，由勾股定理得：OF==，（3）方法一：如图3，由于OE=2，所以E 点可以看作是以O 为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA 到P 点，使得AP=OC ，连接PE ，∵AE=CF ，∠PAE=∠OCF ，∴△PAE ≌△OCF ， ∴PE=OF ，当PE 最小时，为O 、E 、P 三点共线， OP===5，∴PE=OF=OP ﹣OE=5﹣2，∴OF 的最小值是5﹣2．方法二：如图4，连接OD ，将△ODE 绕点D 逆时针旋转90°得到△IDF ，连接OI 、OF ， 在Rt △OCD 中，OD=22CD OC +=5，在Rt △ODI 中，OI=22ID OD +=52，∵OF ≥OI-FI ，而 FI=OE=2，∴OF ≥52-2，即OF 的最小值是5﹣2．。
【中考数学】刘岳：初中数中最值问题之瓜豆原理
【中考数学】刘岳：初中数中最值问题之瓜豆原理在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q 之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路01动点轨迹之“圆”引例1如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图：点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．引例2如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】动图先看结果：Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．引例3如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】动图先看结果：考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．模型总结为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．【条件】两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．思考1如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点满足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：考虑∠PAQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系．思考2如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？【分析】Q点满足（1）∠PAQ=45°；（2）AP:AQ=根号2：1，故Q点轨迹是个圆．连接AO，构造∠OAM=45°且AO:AM=根号2：1．M点即为Q 点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定点Q的轨迹圆．真题战场2016余姚模拟如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．2016武汉中考如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2倍根号2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．【分析】考虑C、M、P共线及M是CP中点，可确定M点轨迹：取AB中点O，连接CO取CO中点D，以D为圆心，DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点，则弧EF即为M点轨迹．当然，若能理解M点与P点轨迹关系，可直接得到M点的轨迹长为P 点轨迹长一半，即可解决问题．2018南通中考如图，正方形ABCD中，AB=2倍根号5，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．【分析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．考虑DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．一条隐藏的瓜豆△ABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______．【分析】考虑到AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB，将AC看成动线段，由此引发正方形BCED的变化，求得线段AO的最大值．根据AC=2，可得C点轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆．接下来题目求AO的最大值，所以确定O点轨迹即可，观察△BOC是等腰直角三角形，锐角顶点C的轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，所以O点轨迹也是圆，以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M即为点O轨迹圆圆心．连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O，此时AO最大，根据AB先求AM，再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO，相加即得AO．此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A、C、A’共线时，可得AO最大值．或者直接利用托勒密定理可得最大值．02动点轨迹之“直线”引例1如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P 在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】先看动图结果：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N：在运动过程中，因为AP=2AQ，所以AM=2QN，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．引例2如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P 在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】动图先看结果：当AP 与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置Q1和终点位置Q2，连接即得Q点轨迹线段．模型总结【必要条件】主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．【结论】P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）真题战场2017姑苏区二模如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．【分析】根据△DPF是等边三角形，所以可知F点运动路径长与P点相同，P从E点运动到A点路径长为8，故此题答案为8．2013湖州中考如图，已知点A是第一象限内横坐标为2倍根号3的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．【分析】根据∠PAB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB=根号3:1，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为根号3:1，P点轨迹长ON为2倍根号6，故B点轨迹长为2倍根号2．坐标系中的最值如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．【分析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．根据∠ABP=60°可知：P1P2与y轴夹角为60°，作OP⊥P1P2，所得OP长度即为最小值，OP2=OA=3，所以OP=3/2．2019宿迁中考如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F 为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为_______．【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹．考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在G1位置，最终G点在G2位置（G2不一定在CD边），G1G2即为G点运动轨迹．CG最小值即当CG⊥G1G2的时候取到，作CH⊥G1G2于点H，CH即为所求的最小值．根据模型可知：G1G2与AB夹角为60°，故G1G2⊥EG1．过点E作EF⊥CH于点F，则HF=G1E=1，CF=1/2CE=3/2，所以CH=5/2，因此CG的最小值为5/2．03动点轨迹之“其他图形”所谓“瓜豆原理”，就是根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．2016乐山中考如图，在反比例函数y=-2/x的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=k/x的图像上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】依旧动图观察：∠AOC=90°且AO:OC=1:2，显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接OC，易证△AMO∽△ONC，∴CN=2OM，ON=2AM，∴ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8．【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等边三角形”，k会是多少？动点轨迹三角形如图，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为________．【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据OP:OQ=根号2:1，可得P点轨迹图形与Q点轨迹图形相似比为根号2:1，故面积比为2:1，△ABC面积为1/2×3×4=6，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3．【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图．【来源】有一点数学（gh_41d61a2081f7）、作者：刘岳。
初中数学几何模型之圆弧轨迹型瓜豆原理专题 解析版
初中数学几何模型之圆弧轨迹型瓜豆原理专题一．模型介绍运动轨迹为圆弧型的瓜豆原理模型构造(1)如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，Q 为AP 中点．Q 点轨迹是？(2)如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ =90°且AP =k ⋅AQ ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？解决方法如图，连接AO ，取AO 中点M ，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP ，OM OP =AQ AP =12,则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。
如图，连结AO ，作AM ⊥AO ，AO :AM =k :1；任意时刻均有△APO ∽△AQM ，且相似比为k 。
则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。
【最值原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
二．例题讲解1如图，M 是正方形ABCD 边CD 的中点，P 是正方形内一点，连接BP ，线段BP 以B 为中心逆时针旋转90°得到线段BQ ，连接MQ ．若AB =4，MP =1，则MQ 的最小值为．答案：210-1．【分析有据】连接BM ，将△BCM 绕B 逆时针旋转90°得△BEF ，连接MF ，QF ，证明△BPM ≌△BQF (SAS )，得MP =QF =1，故Q 的运动轨迹是以F 为圆心，1为半径的弧，求出BM =BC 2+CM 2=25，可得MF =2BM =210，由MQ ≥MF -QF ，知MQ ≥210-1，从而可得MQ 的最小值为210-1．【解答有法】解：连接BM ，将△BCM 绕B 逆时针旋转90°得△BEF ，连接MF ，QF ，如图：∵∠CBE=90°，∠ABC=90°，∴∠ABC+∠CBE=180°，∴A，B，E共线，∵∠PBM=∠PBQ-∠MBQ=90°-∠MBQ=∠FBQ，由旋转性质得PB=QB，MB=FB，∴△BPM≌△BQF(SAS)，∴MP=QF=1，∴Q的运动轨迹是以F为圆心，1为半径的弧，∵BC=AB=4，CM=12CD=2，∴BM=BC2+CM2=25，∵∠MBF=90°，BM=BF，∴MF=2BM=210，∵MQ≥MF-QF，∴MQ≥210-1，∴MQ的最小值为210-1．故答案为：210-1．2如图，点A、B的坐标分别为A(2，0)、B(0，2)，点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM最长为()A.32B.52C.2D.3答案：A．【分析有据】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，根据三角形的中位线定理可知，C在BD 与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据平行线分线段成比例定理求得C的坐标，进而即可求得M的坐标．【解答有法】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=1，∴C在⊙B上，且半径为1，取OD=OA=2，连接CD，∵AM =CM ，OD =OA ，∴OM 是△ACD 的中位线，∴OM =CD ，当OM 最大时，即CD 最大，而D ，B ，C 三点共线时，当C 在DB 的延长线上时，OM 最大，∵OB =OD =2，∠BOD =90°，∴BD =2，∴CD =2+1=3，∴OM =32．故选：A ．三．巩固练习1如图，在△ABC 中，∠B =45°，AC =2，以AC 为边作等腰直角△ACD ，连BD ，则BD 的最大值是()A.10-2B.10+3C.22D.10+2【分析有据】如图所示，以AC 为斜边，作等腰直角△AOC ，过点O 作OE ⊥AD 交DA 延长线于E ，连接OD ，则∠AOC =90°，OC =OA =2，∠OAC =45°，先证明点B 在以O 为圆心，2为半径的圆周上运动(AB 右侧)，故当点O 在线段BD 上时，BD 最大，再求出OE ，DE 的长，进而利用勾股定理求出OD 的长即可得到答案．【解答有法】解：如图所示，以AC 为斜边，作等腰直角△AOC ，过点O 作OE ⊥AD 交DA 延长线于E ，连接OD ，∴∠AOC =90°，OC =OA =22AC =2，∠OAC =45°，∵∠ABC =45°，∴点B 在以O 为圆心，2为半径的圆周上运动(AB 右侧)，∴当点O 在线段BD 上时，BD 最大，∵△ACD 是以AC 为边的等腰直角三角形，∴∠CAD =90°，AD =AC =2，∴∠OAE =45°，∴△AOE 是等腰直角三角形，∴AE =OE =22OA =1，∴DE =AE +AD =3，在Rt △DOE 中，由勾股定理得OD =OE 2+DE 2=10，∴BD 的最大值=DO +BO =10+2，故选：D ．2正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G．以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为()A.25-2B.25+2C.10-2D.10+2【分析有据】连接AC，取AD的中点O，连接OG，CO，利用△BAH∽△CAG，得CG=2BH，再证明△ADE≌△DCF(SAS)，得∠DAE=∠CDF，则∠AGD=∠ADE=90°，可知当点O、G、C三点共线时，CG最小，从而解决问题．【解答有法】解：连接AC，取AD的中点O，连接OG，CO，∵△AHG和△ABC是等腰直角三角形，∴AC AB =AGAH=2，∠BAC=∠HAG，∴∠BAH=∠CAG，∴△BAH∽△CAG，∴CG=2BH，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADE=∠DCF，∵DE=CF，∴△ADE≌△DCF(SAS)，∴∠DAE=∠CDF，∴∠AGD=∠ADE=90°，∴当点O、G、C三点共线时，CG最小，∴CG的最小值为OC-OG=25-2，∴BH的最小值为25-22=10-2，故选：C．3如图，点A的坐标为(4，3)，AB⊥x轴于点B，点C为坐标平面内一点，OC=2，点D为线段AC的中点，连接BD，则BD的最大值为()A.3B.72C.352D.25【分析有据】作点A关于x轴的对称点E，根据中位线的性质得到BD=12EC，求出CE的最大值即可．【解答有法】解：如图，作点A关于x轴的对称点E(4，-3)，则点B是AE的中点，又∵点D是AC的中点，∴BD是△AEC的中位线，∴BD=12EC，∴当EC最大时，BD最大，∵点C为坐标平面内一点，且OC=2，∴点C在以O为圆心，2为半径的⊙O上运动，∴当EC经过圆心O时，EC最大．∵OB=4，BE=3，∴OE=5，∴CE的最大值为5+2=7，∴BD的最大值=72．故选：B．4如图，点M坐标为(0，2)，点A坐标为(2，0)，以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为()A.(0，1+2)B.(1，1+2)C.(2，2)D.(2，4)【分析有据】根据垂径定理得到OA=OB，然后根据三角形中位线定理得到OD∥BC，OD=12BC，即当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，根据圆周角定理得到CA⊥x轴，进而求得△OAD是等腰直角三角形，即可得到AD=OA=2，得到D的坐标为(2，2)．【解答有法】解：∵OM⊥AB，∴OA=OB，∵AD=CD，∴OD ∥BC ，OD =12BC ，∴当BC 取得最大值时，线段OD 取得最大值，如图，∵BC 为直径，∴∠CAB =90°，∴CA ⊥x 轴，∵OB =OA =OM ，∴∠ABC =45°，∵OD ∥BC ，∴∠AOD =45°，∴△AOD 是等腰直角三角形，∴AD =OA =2，∴D 的坐标为(2，2)，故选：C ．5如图，点A 的坐标为(-3，3)，点P 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(-1，0)，⊙A 的半径为1，C 为圆上一动点，Q 为BC 的中点，连接PC ，OQ ，则OQ 长的最大值为()A.5B.2.5C.6D.3【分析有据】由点P 、点B 的坐标得O 是BP 的中点，则OQ 是△CBP 的中位线，OQ =12PC ，当PC 的长最大时，OQ 的长最大，根据点与圆的位置关系可得PC 长的最大值为AP +1，求出AP =(1+3)2+32=5，即可求解．【解答有法】解：∵点P 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(-1，0)，∴O 是BP 的中点，∵Q 为BC 的中点，∴OQ 是△CBP 的中位线，∴OQ =12PC ，∴当PC 的长最大时，OQ 的长最大，如图，∵点A 的坐标为(-3，3)，点P 的坐标为(1，0)，∴AP =(1+3)2+32=5，∴PC 长的最大值为AP +1=6，∴OQ 长的最大值为OQ =12PC =3，故选：D ．6如图，在正方形ABCD 中，AB =2，点P 是对角线AC 上一动点(不与A ，C 重合)，连接PD ，PB ．过点D 作DE ⊥DP ，且DE =DP ，连接PE ，CE ．①∠APB =∠CDE ；②PE 的长度最小值为2；③PC 2+CE 2=2DE 2；④CE +CP =22．以上判断，正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【分析有据】证明△ADP ≌△CDE (SAS )，得∠APD =∠CED ，CE =AP ，由正方形的对称性可得∠APD =∠APB ，即知∠APB =∠CED ，而P 为AC 上的动点，故CD =CE 不一定成立，可判断①错误；由PE =2PD =2DE ，知PD 最小时，PE 取最小值，此时PD 是△ADC 的边AC 上的高，PD =AD ⋅CD AC =2×222=2，可得PE =2PD =2，判断②错误；又∠PCE =∠DCE +∠ACD =45°+45°=90°，有PC 2+CE 2=PE 2=2DE 2；判断③正确；根据AP +CP =AC =22，AP =CE ，可判断④正确．【解答有法】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =CD ，∠ADC =90°，∵DE ⊥DP ，∴∠PDE =90°=∠ADC ，∴∠ADP =∠CDE ，∵DE =DP ，∴△ADP ≌△CDE (SAS )，∴∠APD =∠CED ，CE =AP ，由正方形的对称性可得∠APD =∠APB ，∴∠APB =∠CED ，∵CD =AD ，CE =AP ，而P 为AC 上的动点，∴AD =AP 不一定成立，即CD =CE 不一定成立，∴∠CDE =∠CED 不一定成立，∴∠APB =∠CDE 不一定成立，故①错误；∵△PDE 是等腰直角三角形，∴PE =2PD =2DE ，∴PD 最小时，PE 取最小值，此时PD 是△ADC 的边AC 上的高，∵AC =2AB =22，∴PD =AD ⋅CD AC =2×222=2，∴PE =2PD =2，即PE 的长度最小值为2，故②错误；∵△ADP ≌△CDE ，∴∠DCE =∠DAP =45°，∴∠PCE=∠DCE+∠ACD=45°+45°=90°，∴PC2+CE2=PE2=2DE2；故③正确；∵AP+CP=AC=22，AP=CE，∴CE+CP=22，故④正确，∴正确的有③④，共2个，故选：B．7如图，点A，C，N的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，(4，3)，以点C为圆心、2为半径画⊙C，点P在⊙O上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为3．【分析有据】连接CM，OM，由垂径定理得出CM⊥QP，由直角三角形的性质得出OM=12AC=2，进而得出点M在以O为圆心，以2为半径的⊙O上，得出当O、M、N三点共线时，MN有最小值，由N(4，3)，求出ON=5，进而求出MN=3，即线段MN的最小值为3．【解答有法】解：如图1，连接CM，OM，∵A(-2，0)，C(2，0)，∴AC=4，O是AC的中点，∵M是QP的中点，∴CM⊥QP，∴∠AMC=90°，∴OM=12AC=2，∴点M在以O为圆心，以2为半径的⊙O上，如图2，当O、M、N三点共线时，MN有最小值，∵N(4，3)，∴ON=42+32=5，∵OM=2，∴MN=ON-OM=5-2=3，∴线段MN的最小值为3，故答案为：3．8如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=5，AD=4，AD<BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF=∠BAE，则线段BF的最小值为 29-2．【分析有据】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，证得∠DFA=90°，于是得到点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，据此解答即可．【解答有法】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，∵∠ABC=∠BAD=90°，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠ADF=∠BAE，∴∠DFA=∠ABE=90°，∴点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，∵AD=4，∴AO=OF′=1AD=2，2∴BO=52+22=29，∴线段BF的最小值为29-2，故答案为：29-2．9如图正方形ABCD的边长是8，点E是BC边的中点，连接DE，点F是线段DE上的一个动点，连接BF，点G是线段BF的中点，则线段AG的最小值为42 ．【分析有据】取BD中点H和BE中点I，则点G的动轨迹是线段HI，确定出点G和点H重合时，线段值AG最小，据此解答即可．【解答有法】解：取BD中点H和BE中点I，则点G的动轨迹是线段HI，如图，∴当点G和点H重合时，线段值AG最小，∴BD=AB2+AD2=82+82=82，AG是直角△ABD的中线，BD=42．∴AG=12故答案为：42．10如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，点P是BC边上一动点(点P不与点B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接CM，则CM的最小值为2．【分析有据】当A，M，C三点共线时，线段CM的长度最小，求出此时CM的长度即可．【解答有法】解：连接AM，∵点B和M关于AP对称，∴AB=AM=3，∴M在以A圆心，3为半径的圆上，∴当A，M，C三点共线时，CM最短，∵AC=32+42=5，AM=AB=3，∴CM=5-3=2，故答案为：2．11如图，点G是△ABC内的一点，且∠BGC=120°，△BCF是等边三角形．若BC=3，则FG的最大值为23 ．【分析有据】如图，作△BFC的外接圆⊙O，连接OG，OF，OC，过点O作OH⊥CF于点H．说明B，F，C，G四点共圆，求出OF，可得结论．【解答有法】解：如图，作△BFC的外接圆⊙O，连接OG，OF，OC，过点O作OH⊥CF于点H．∵△BCF是等边三角形，∴∠BFC=∠FBC=60°，CB=CF=3，∵∠BGC=120°，∴点G在△ABC的外接圆上，∴OG=OF=OC，∵OH⊥CF，∴FH=CH=32，∵∠FOC=2∠FBC=120°，∴∠OFC=∠OCF=30°，=3，∵FG≤OF+OG=23，∴OF=FHcos30°∴FG的最大值为23．12在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3．点D为平面上一个动点，∠ADB=45°，则线段CD长度的最小值为 5-2．【分析有据】根据∠ADB=45°，AB=2，作△ABD的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小．将问题转化为点圆最值．可证得△AOB 为等腰直角三角形，OB =OA =2，同样可证△OBE 也为等腰直角三角形，OE =BE =1，由勾股定理可求得OC 的长为5，最后CD 最小值为OC -OD =5-2．【解答有法】解：如图所示．∵∠ADB =45°，AB =2，作△ABD 的外接圆O (因求CD 最小值，故圆心O 在AB 的右侧)，连接OC ，当O 、D 、C 三点共线时，CD 的值最小．∵∠ADB =45°，∴∠AOB =90°，∴△AOB 为等腰直角三角形，∴AO =BO =sin45°×AB =2．∵∠OBA =45°，∠ABC =90°，∴∠OBE =45°，作OE ⊥BC 于点E ，∴△OBE 为等腰直角三角形．∴OE =BE =sin45°•OB =1，∴CE =BC -BE =3-1=2，在Rt △OEC 中，OC =OE 2+CE 2=1+4=5．当O 、D 、C 三点共线时，CD 最小为CD =OC -OD =5-2．故答案为：5-2．13如图，点P (3，4)，⊙P 半径为2，A (2.8，0)，B (5.6，0)，点M 是⊙P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是()A.1.4B.52C.32D.2.6【分析有据】如图，连接OP 交⊙P 于M ′，连接OM ．因为OA =AB ，CM =CB ，所以AC =12OM ，所以当OM 最小时，AC 最小，M 运动到M ′时，OM 最小，由此即可解决问题．【解答有法】解：如图，连接OP 交⊙P 于M ′，连接OM ，由勾股定理得：OP =32+42=5，∵OA=AB，CM=CB，∴AC=12OM，∴当OM最小时，AC最小，∴当M运动到M′时，OM最小，此时AC的最小值=12OM′=12(OP-PM′)=12×(5-2)=32，故选：C．14如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是△ABC所在平面内一点，连接AD，BD，CD．(1)如图1，点D在BC上，AD=10，且tan∠CAD=13，求△ABD的面积；(2)如图2，点D为△ABC内部一动点，将线段BD绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，连接CF，点G是线段CD的中点，连接AG，猜想线段AG，CF之间存在的位置关系和数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，点C关于直线AB的对称点为点C′．连接AC'，BC'，点D为△ABC′内部一动点，连接C'D．若∠BDC=90°，且BC=8，当线段C'D最短时，直接写出△ACD的面积．【分析有据】(1)过点D作DH⊥AC于点H．设DH=HC=m，利用勾股定理构建方程求出m，可得结论；(2)猜想：AG=12CF，AG⊥CF．延长CA到T，使得AT=AC，连接BT，TD，延长TD交CF于点K，交BC于点O．证明△TBD≌△CBF(SAS)，推出DT=CF，∠BTD=∠BCF，可得结论；(3)取BC的中点J，连接C′J，DJ．求出JC′，DJ，推出当C′，D，J共线时，DC′的值最小，最小值为45 -4，由此可得结论．【解答有法】解：(1)过点D作DH⊥AC于点H．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠C=45°，∵DH⊥AC，∴∠HDC=∠C=45°，∴DH=CH，设DH=DC=m，．∵tan∠DAC=DHAH =13，∴AH=3m，∵AD2=DH2+AH2，∴10=m2+(3m)2，∴m=1(负根已经舍弃)，∴DH=CH=1，AH=3，∴AB=AC=4，∴S△ABD=S△ABC-S△ADC=12×4×4-12×4×1=6；(2)猜想：AG=12CF，AG⊥CF．理由：延长CA到T，使得AT=AC，连接BT，TD，延长TD交CF于点K，交BC于点O．∵AT=AC，BA⊥CT，∴BT=BC，∴∠BTC=∠BCA=45°，∴∠TBC=90°=∠DBF，∴∠TBD=∠CBF，∵BT=BC，BD=BF，∴△TBD≌△CBF(SAS)，∴DT=CF，∠BTD=∠BCF，∵∠BOT=∠KOC，∴∠TBD=∠OKC=90°，∴TD⊥CF，∵AT=TC，GD=GC，∴AG=12DT=12CF，AG∥DT，∴AG⊥CF；(3)取BC的中点J，连接C′J，DJ．∵C，C′关于AB对称，∴BC=BC′=8，∠ABC=∠ABC′=45°，∴∠CBC′=90°，∵BJ=CJ=4，∴C′J=BJ2+C′B2=42+82=45，∵∠BDC=90°，BJ=JC，∴DJ=12BC=4，∵DC′≥JC′-DJ=45-4，∴当C′，D，J共线时，DC′的值最小，最小值为45-4．此时△ADC的面积=12S△DC′C=12S△DBC′=12×12×8×4×45-445=40-855．15阅读理解：(1)【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．①类型一，“定点+定长”：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=52°，D是△ABC外一点，且AD= AC，求∠BDC的度数．解：由于AB=AC=AD，根据圆的定义可知，点B、C、D一定在以点A(定点)为圆心，AB(定长)为半径的⊙A上，则∠BAC是BC所对的圆心角，而∠BDC是BC所对的圆周角，从而可容易得到∠BDC= 26 ．②类型二，“定角+定弦”：如图2，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=12，BC=8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，求线段CP长的最小值．解：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°．∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°．∴∠APB=90°．(定角)∴点P在以AB(定弦)为直径的⊙O上．又∵点P在△ABC内部，∴点P在弧BM上(不包括点B、点M)，(如图5)请完成后面的过程．(2)【问题解决】如图3，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，点P是BC边上一动点(点P不与B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为 2 ．(3)【问题拓展】如图4，在正方形ABCD中，AD=6，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE=CF．连接AE和DF，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，点P的运动路径长为 3π ．2【分析有据】(1)①以点A(定点)为圆心，AB(定长)为半径作辅助圆⊙A，得出∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，即可求出答案；②先判断出∠ABP+∠PBC=90°，进而判断出∠APB=90°，进而判断出点P在OC上，即可求出答案；(2)当A，M，C三点共线时，线段CM的长度最小，求出此时CM的长度即可；(3)由“SAS”可证△ADE≌△DCF，可得AE=DF，∠DAE=∠FDC，由余角的性质可证AE⊥DF；由题意可得点P的运动路径是以AD为直径的圆的DPO，由弧长公式可求解．【解答有法】解：(1)①∵AB=AC，AD=AC，∴AB=AC=AD，∴点B，点C，点D在以点A为圆心，AB为半径的圆上，如图1，∵∠BAC=52°，∠BAC=26°，∴∠BDC=12故答案为：26°；②∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB(定弦)为直径的⊙O上，如图2，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，∵点O是AB的中点，∴OA =OB =12AB =6，在Rt △ABC 中，∠OBC =90°，BC =8，OB =6，∴OC =BC 2+OB 2=10，∴PC =OC -OP =10-6=4．∴PC 最小值为4；(2)如图3，连接AC ，AM ，∵点B ，点M 关于直线AP 对称，∴AB =AM =6，∴点M 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上运动，∴当点M 在线段AC 上时，MC 有最小值，∵AB =3，BC =4，∴AC =AB 2+BC 2=32+42=5，∴CM 的最小值为CM =AC -AM =5-3=2，故答案为：2．(3)∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =DC ，∠ADE =∠DCF =90°，在△ADE 和△DCF 中，AD =DC∠ADE =∠DCF DE =CF，∴△ADE ≌△DCF (SAS )，∴AE =DF ，∠DAE =∠FDC ，∵∠ADE =90°，∴∠ADP +∠DCF =90°，∴∠ADP +∠DAE =90°，∴∠APD =180°-90°=90°，∴AE ⊥DF ；如图4，连接AC ，BD 交于点O ，∵点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的运动路径是以AD为直径的圆的DPO，∴点P的运动路径长为90π×3180=3π2．故答案为：32π．。
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最值系列之瓜豆定比圆原理
【瓜豆圆介绍】
如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点。
当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
思路提示：
总结
【例题精讲】
例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是。
解析提示：
总结
解析提示：
总结
例3、如图，点P （3,4），圆P 半径为2，A （2.8,0），B （5.6,0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是 。
解析提示：
总结
例4
、如图，在等腰Rt △ABC 中，AC=BC=P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为 。
解析提示：
总结 例5、如图，正方形ABCD ，将正方形AEFG 绕点A 旋转，连接DF ，点M 是DF 的中点，连接CM ，若AB ＝4，AE ＝1，则线段CM 的最大值为 。
解析提示：
总结 O y
x
A B C
M
P A
B
C M
P
针对训练
1、如图，⊙O的直径AB长为12，点E是半径OA的中点，过点E作CD⊥AB交⊙O于点C，D，点P在上运动，点Q在线段CP上，且PQ＝2CQ，则EQ的最大值是。
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D是AC的中点，M是BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M是BD的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围
3、如图，△ABC是边长为2的等边三角形，以AC为直径作半圆，P为半圆上任意一点，M为BP中点，则在点P由A到C运动过程中，点M运动路径长为。
4、如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值为。
5、如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C 为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为。
6、如图，在等腰直角△ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP，取BP的中点M，则CM的最小值为。
7、如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是。
8、如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴交于A，B两点，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则线段OM的最小值是。