题型02规律探索类试题(解析版)
题型02 规律探索类试题
一、单选题
1．如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120?的?AB 多次复制并首尾连接而成．现有一点P 从A (A 为坐标原点)出发，以每秒2
3
π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P 的纵坐标为( )
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．0
D ．1
【答案】B
【分析】先计算点P 走一个?AB 的时间，得到点P 纵坐标的规律：以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环，再用2019÷4=504…3，得出在第2019秒时点P 的纵坐标为是-1． 【详解】解：点运动一个?AB 用时为
12022
21803
ππ?÷=秒．
如图，作CD AB ⊥于D ，与?AB 交于点E ． 在Rt ACD ?中，∵90ADC ?∠=，1
602
ACD ACB ?∠=∠=， ∴30?∠=CAD ， ∴11
2122
CD AC =
=?=， ∴211DE CE CD =-=-=，
∴第1秒时点P 运动到点E ，纵坐标为1； 第2秒时点P 运动到点B ，纵坐标为0； 第3秒时点P 运动到点F ，纵坐标为﹣1； 第4秒时点P 运动到点G ，纵坐标为0； 第5秒时点P 运动到点H ，纵坐标为1； …，
∴点P 的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环， ∵201945043÷=?，
∴第2019秒时点P 的纵坐标为是﹣1． 故选：B ．
【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P 纵坐标的规律：以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．
2．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点1A ，第二次移动到点2A ……第n 次移动到点n A ，则点2019A 的坐标是（ ）
A ．()1010,0
B ．()1010,1
C ．()1009,0
D ．()1009,1
【答案】C
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点2019A 的坐标．
【详解】()10,1A ，()21,1A ，()31,0A
，()42,0A ，()52,1A ，()63,1A ，…， 201945043÷=???，
所以2019A 的坐标为()50421,0?+， 则2019A 的坐标是()1009,0， 故选C ．
【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般． 3．观察等式：232222+=-；23422222++=-；2345222222+++=-???已知按一定规律排列的一组数：502、512、522、???、992、1002．若502a =，用含a 的式子表示这组数的和是（ ） A ．222a a - B ．2222a a -- C ．22a a - D ．22a a +
【答案】C
【分析】根据题意，一组数：502、512、522、???、992、1002的和为250＋251＋252＋…＋299＋2100＝＝a ＋(2＋22＋…＋250)a ，进而根据所给等式的规律，可以发现2＋22＋…＋250＝251－2，由此即可求得答案. 【详解】250＋251＋252＋…＋299＋2100 ＝a ＋2a ＋22a ＋…＋250a ＝a ＋(2＋22＋…＋250)a ，
∵232222+=-，
23422222++=-， 2345222222+++=-，
…，
∴2＋22＋…＋250＝251－2， ∴250＋251＋252＋…＋299＋2100 ＝a ＋(2＋22＋…＋250)a ＝a ＋(251－2)a ＝a ＋(2 a －2)a ＝2a 2－a ， 故选C.
【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，仔细观察，发现其中哪些发生了变化，哪些没有发生变化，是按什么规律变化的是解题的关键. 4．计算
11111133557793739
+++++?????L 的结果是（ ） A ．
1937 B ．
1939
C ．
3739
D ．
3839
【答案】B
【分析】把每个分数写成两个分数之差的一半，然后再进行简便运算． 【详解】解：原式＝
1111111111(1)233557793739
?-+-+-+-+???- =11
(1)239?- =
1939
． 故选B ．
【点睛】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．
5．已知有理数1a ≠，我们把11a
-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1
=-112-，-1的差倒数是11=1(1)2--．如
果12a =-，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……依此类推，那么12100a a a +++L 的值是（ ） A ．-7.5 B ．7.5
C ．5.5
D ．-5.5
【答案】A
【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以2-，13，32依次循环，且131
2326
-++=-，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案． 【详解】解：∵12a =-，
∴2111(2)3
a ==--，3131213a ==-，41
2
312
a ==--，……
∴这个数列以-2，
13，32依次循环，且131
2326
-++=-， ∵1003331÷=L ，
∴121001153327.562a a a ??
+++=?--=-=- ?
??
L ， 故选：A ．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
6．如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉； ②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（ ）．
A ．20192
B ．
2018
12 C ．
2019
12
D ．
2020
12
【答案】C
【分析】根据正方形的面积公式，即可推出操作次数与余下面积的关系式. 【详解】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开， 第一次：余下面积11
2S =， 第二次：余下面积2212S =， 第三次：余下面积33
12S =
， 当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为20192019
1S 2=
，
故选：C ．
【点睛】本题考查数字问题，熟练掌握计算法则是解题关键.
7．如图，在OAB ?中，顶点(0,0)O ，(3,4)A -，(3,4)B ，将OAB ?与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90?，则第70次旋转结束时，点D 的坐标为（ ）
A ．(10,3)
B ．(3,10)-
C ．(10,3)-）
D ．(3,10)-
【答案】D
【分析】先求出6AB =，再利用正方形的性质确定(3,10)D -，由于704172=?+，所以第70次旋转结束时，相当于OAB ?与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转2次，每次旋转90?，此时旋转前后的点D 关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D 的坐标． 【详解】解：(3,4)A -Q ，(3,4)B ，
336AB ∴=+=，
Q 四边形ABCD 为正方形，
6AD AB ∴==，
(3,10)D ∴-，
704172=?+Q ，
∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于OAB ?与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转2
次，每次旋转90?，
∴点D 的坐标为(3,10)-．
故选D ．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30?，45?，60?，90?，180?．
8．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了()n a b +(n 为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”.
0()1a b += 1()a b a b +=+ 222()2a b a ab b +=++ 33222()33a b a a b ab b +=+++ 4322344()464a b a a b a b ab b +=++++
5()a b +54322345510105a a b a b a b ab b =+++++
???
则9
()a b +展开式中所有项的系数和是( ) A ．128 B ．256 C ．512 D ．1024
【答案】C
【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b ）n （n 为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b ）n-1相邻两项的系数和，各项系数和是2n ; 【详解】观察可得（a+b ）n （n 为非负整数）展开式的各项系数的规律：各项系数和是2n ; 所以，9
()a b +展开式中所有项的系数和是29=512. 故选：C
【点睛】本题考查了完全平方公式，关键在于观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．
二、填空题
9．有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是_____，这2019个数的和是_____． 【答案】0 2
【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决 【详解】． 解：由题意可得，
这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…，
∴前6个数的和是：0+1+1+0+(1)+(1)=0--，
201963363÷=?Q ，
∴这2019个数的和是：0336(011)2?+++=，
故答案为：0，2．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，每六个数重复出现．
10．观察下列一组数：
123451361015
,,,,,3591733
a a a a a =====?，
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n 个数n a =__________（用含n 的式子表示） 【答案】
1
(1)
22n n n +++
【分析】首先观察分母的变化规律，在观察分子的规律，写成比例式化简即可. 【详解】解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为21n +， 观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为
(1)
2
n n +， ∴
1
(1)
(1)22122n n n n n n n a +++==
++； 故答案为
1
(1)
22
n n n +++； 【点睛】本题主要考查数的规律，这列题目是热点考题，应当熟练掌握.
11．按一定规律排列的一列数依次为：22a -，55a ，810a -，11
17
a ，…(a ≠0)，按此规律排列下去，这列数中
的第n 个数是_______.(n 为正整数)
【答案】31
2
(1)1
n n
a n --?+. 【分析】根据题意写出前四项的数据，第1个数为3111
2(1)11a ?--?+，第2个数为231
22(1)21
a ?--?+，第3个数为3313
2
(1)31
a ?--?+，第4个数为341
42(1)41a ?--?+，进行观察，据此规律判断即可． 【详解】第1个数为311
1
2(1)11
a ?--?+，
第2个数为231
2
2(1)21
a ?--?+，
第3个数为331
3
2(1)31
a ?--?+，
第4个数为341
4
2(1)41
a ?--?+，
…，
所以这列数中的第n 个数是31
2
(1)1
n n
a n --?+. 故答案为31
2
(1)1
n n
a n --?+. 【点睛】此题考查数列中的规律，解题关键在于观察找出规律
12．如图，在平面直角坐标系中，函数3y x =和y =的图象分别为直线12,l l ，过1l 上的点11,3A ? ??
作x 轴的垂线交2l 于点2A ，过点2A 作y 轴的垂线交1l 于点3A ，过点3A 作x 轴的垂线交2l 于点4A ，…依次进行下去，则点2019A 的横坐标为_____．
【答案】10093-
【分析】根据题意得到21n A +的横坐标为3n
（-）
，即可得到点2019A 的横坐标. 【详解】解：由题意可得，
1A ? ??
，(21,A ，(33,A -，(4A -，59A （，69,A -（，…， 可得21n A +的横坐标为3n
（-）
2019210091?+Q ＝，
∴点2019A 的横坐标为：1009100933（-）＝-，
故答案为10093-．
【点睛】本题考查数字类规律，解题的关键是读懂题意，得到21n A +的横坐标为3n
（-）
. 13．如图，在以A 为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC 中，将B 角折起，使点B 落在AC 边上的点D （不与点A ，C 重合）处，折痕是EF ．
如图，当12CD AC =时，13tan 4α=； 如图，当13CD AC =时，25tan 12
α=； 如图，当14CD AC =时，37tan 24
α=； ……
依此类推，当1
1
CD AC n =+（n 为正整数）时，tan n α=_____． 【答案】
221
22n n n
++
【分析】根据题意得到正切值的分子的规律和勾股数的规律，再进行计算即可得到答案. 【详解】观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，21n +，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，
4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，21n +，()2
21
2
1n +-，
()
2
21
2
1n ++中的中间一个．
∴
()
2
221
21
tan 22211
2
n n n n n n α++=
=
++-.
故答案为
221
22n n n
++．
【点睛】本题考查规律，解题的关键是由题意得到规律. 14．观察下列各式：
11111122??=+=+- ????，
111112323??=+=+- ????，
111113434??=+=+- ????
，
L
请利用你发现的规律，计算：
____． 【答案】2018
2018
2019
． 【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．
L +1111
1111122320182019??????=+-++-+++- ? ? ???????
L
1111111
201812233420182019=+-+-+-++-
L 20182018
2019
=， 故答案为：2018
2018
2019
． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题 的关键．
15．有一列数，按一定规律排列成1,2,4,8,16,32,,---???其中某三个相邻数的积是124，则这三个数的和是_____． 【答案】-384
【分析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是124，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．
【详解】Q 一列数为1,24,816,32---?，
，，， ∴这列数的第n 个数可以表示为1(2)n --， Q 其中某三个相邻数的积是124，
∴设这三个相邻的数为1
1222n n n +﹣(﹣)、(﹣)、(﹣)，
则1
1122)
2)2)4(((n n n +??﹣--﹣＝，
即3212
2)2)n (-＝(，
32424=((2)22)n ∴-＝-， 324n ∴＝， 解得，8n =，
∴这三个数的和是： 7892)(2)(2)++(---＝72)(124)128)3?-+?(-＝(-384=-，
故答案为：384-．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
16．如图，直线:1l y x =+分别交x 轴、y 轴于点A 和点1A ，过点1A 作11A B l ⊥，交x 轴于点1B ，过点1B 作12B A x ⊥轴，交直线l 于点2A ；过点2A 作22A B l ⊥，交x 轴于点2B ，过点2B 作23B A x ⊥轴，交直线l 于点3A ，依此规律…，若图中阴影11A OB ?的面积为1S ，阴影212A B B ?的面积为2S ，阴影323A B B ?的面积为
3S L ，则n S =_______．
22
43n -??
?
??
【分析】由直线:1l y x =
+可求出与x 轴交点A 的坐标，与y 轴交点1A 的坐标，进而得到OA ，1OA 的长，也可求出1Rt OAA ?的各个内角的度数，是一个特殊的直角三角形，以下所作的三角形都是含有30°角的直角三角形，然后这个求出1S 、2S 、3S 、4S 、……根据规律得出n S ．
【详解】解：直线:13
l y x =
+，当0x =时，1y =；当0y =时，x =
∴()
A ，()10,1A ∴130OAA ∠=?
又11A B l ⊥，
∴1130OA B ∠?=，
在11Rt OA B ?中，11OB OA =
=
，
∴11112S OA OB =?=
同理可求出：2143A B =
，1243B B =
∴121121
2S A B B B =?214442333???=??= ? ????
；
依次可求出：4
3463S ??= ???；6
4463S ??= ???；8
5463S ??
= ???
……
因此：22
43n n S -??
= ?
??
22
43n -??
?
??
．
【点睛】本题主要考查同学们对规律的归纳总结，关键在于根据简单的图形寻找规律. 17．如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形.
（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF ，其中顶点A 位于x 轴上，顶点B ，D 位于y 轴上，O 为坐标原点，则
OB
OA
的值为____. （2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点1F ，摆放第三个“7”字图形得顶点2F ，依此类推，…，摆放第a 个“7”字图形得顶点-1n F ，…，则顶点2019F 的坐标为_____.
【答案】（1）1
2； （2）5? ? 【分析】（1）根据题意可得1CD =，2CB =，由同角的余角相等得BDC OBA ∠=∠，根据相似三角形判定得DCB BOA ??:，由相似三角形性质即可求得答案.（2）根据题意标好字母，根据题意可得，1CD =，2CB =，1BA =，
，在Rt △DCB 中，由勾股定理求得
BD =1）知
12DC OB CB OA ==，从而可得5OB =，5
OA =，，结合题意易得：
OAB GFA HCB ???::，
根据相似三角形性质可得5BH =，5CH =，5AG =，5
FG =，，
从而可得25,5C ?? ? ??，655,F ??
? ??
，观察这两点坐标知由点
到点横坐标增加了
35
，纵坐标增加了
5
，依此可得出规律：n F 的坐标为：356555,n n ??++ ? ??，将n=2019代入即可求得答案. 【详解】（1）依题可得，1CD =，2CB =， ∵90BDC DBC ∠+∠=?，90OBA DBC ∠+∠=?， ∴BDC OBA ∠=∠， 又∵90DCB BOA ∠=∠=?， ∴DCB BOA ??:， ∴
1
2
DC OB CB OA ==； （2）根据题意标好字母，如图，
依题可得：
1CD =，2CB =，1BA =，
∴BD =
由（1）知
1
2
DC OB CB OA ==，
∴OB =OA =， 易得：
OAB GFA HBC ???::，
∴BH =
，CH =，AG =，FG =，
∴OH =
=OG ==，
∴C ?
，F ?
，
∴由点C 到点F
横坐标增加了5
，
……
∴n F
的坐标为：,555n n ?
+???
， ∴2019F
的坐标为：2019???
?=?， 故答案为
12
，?. 【点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
18．在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“112233445OA A A A A A A A A →→→→…”的路线运
动，设第n 秒运动到n P n （点为正整数）
，则点2019P 的坐标是_____．
【答案】20192? ??
【分析】如图，作A 1H ⊥x 轴，
根据等边三角形的性质以及三角函数的知识可求出112A ? ??
，()21,0A ，
同理可得332A ? ??，()42,0A
，55,2A ? ??，()63,0A
，772A ? ??
，由此发现点的坐标变化的规
律即可求得结果.
【详解】如图，作A 1H ⊥x 轴，
∵△OA 1A 2是等边三角形， ∴∠A 1OH=60°，OH=
12OA 2=1
2，
∴A 1H=A 1O?sin60°=1×
2=2
，
∴112A ? ??，()21,0A ，
同理可得33,22A ? ??
， ()42,0A ，
55,2A ? ??
， ()63,0A ，
77,22A ?? ? ???
，
由上可知，每一个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每60这样循环， 2019÷6=336…3，
201920192A ?∴ ??
故答案为2019
22?
??
，. 【点睛】本题考查了规律题，涉及了等边三角形的性质，解直角三角形的应用，通过推导得出点的坐标的变化规律是解题的关键.
19．归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n 个“T”字形需要的棋子个数为_______．
【答案】3n +2.
【分析】根据题意和图形，可以发现图形中棋子的变化规律，从而可以求得第n 个“T”字形需要的棋子个数． 【详解】解：由图可得， 图①中棋子的个数为：3+2=5， 图②中棋子的个数为：5+3=8， 图③中棋子的个数为：7+4=11， ……
则第n 个“T”字形需要的棋子个数为：（2n+1）+（n+1）=3n+2， 故答案为：3n+2．
【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中棋子的变化规律，利用数形结合的思想解答．
20．将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵
147
101316
192225283134374043L L L L
则第20行第19个数是_____________________ 【答案】625
【分析】根据题目中的数据和各行的数字个数的特点，可以求得第20行第19个数是多少，本题得以解决． 【详解】由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20=210个数，
∴第20行第20个数是：1+3（210-1）=628， ∴第20行第19个数是：628-3=625， 故答案为：625．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字的变化特点，知道第n 个数可以表示为1+3（n-1）．
21．如图，四边形11OAA B 是边长为1的正方形，以对角线1OA 为边作第二个正方形122OA A B ，连接2AA ，得到12AA A ?；再以对角线2OA 为边作第三个正方形233OA A B ，连接13A A ，得到123A A A ?；再以对角线3OA 为边作第四个正方形，连接24A A ，得到234A A A ?……记12AA A ?、123A A A ?、231A A A ?的面积分别为1S
、
2S 、3S ，如此下去，则2019S =_____．
【答案】20172
【分析】首先求出S1、S2、S3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题． 【详解】Q 四边形11OAA B 是正方形，
1111OA AA A B ∴===，
1111122S ∴=??=，
190OAA ∠=o Q ，
211111AO ∴=+∴，
2232OA A A ∴==，
21
2112
S ∴=??=，
同理可求：31
2222
S =
??=，44S =…， 22n n S -∴=，
201720192S ∴=，
故答案为：20172．
【点睛】此题考查正方形的性质，规律型：图形变换，解题关键在于找到规律
22．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点O ，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，0l ，1l ，2l ，3l ，…都与x 轴垂直，相邻两直线的间距为l ，其中0l 与y 轴重合若半径为2的圆与1l 在第一象限内交于点1P ，半径为3的圆与2l 在第一象限内交于点2P ，…，半径为1n +的圆与n l 在第一象限内交于点n P ，则点n P 的坐标为_____．（n 为正整数）
【答案】(n
【分析】连1OP ，2OP ，3OP ，1l 、2l 、3l 与x 轴分别交于1A 、2A 、3A ，在11Rt OA P ?中，11OA =，12OP =，
由勾股定理得出11A P ==同理：22A P =33A P =……，得出1P 的坐标为(，
2P 的坐标为(，3P 的坐标为(，……，得出规律，即可得出结果．
【详解】连接1OP ，2OP ，3OP ，1l 、2l 、3l 与x 轴分别交于1A 、2A 、3A ，如图所示：
在11Rt OA P ?中11OA =，12OP =，
∴11A P ==
=
同理：22A P ==33A P =
=……，
∴1P 的坐标为(，2P 的坐标为(，3P 的坐标为(，……，
…按照此规律可得点n P 的坐标是(
n ，即(n ，
故答案为：(n ．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理；由题意得出规律是解题的关键．
23．如图，点1B 在直线1
:2
l y x =
上，点1B 的横坐标为2，过1B 作11B A l ⊥，交x 轴于点1A ，以11A B 为
边，向右作正方形1121A B B C ，延长21B C 交x 轴于点2A ；以22A B 为边，向右作正方形2232A B B C ，延长32
B C 交x 轴于点3A ；以33A B 为边，向右作正方形3343A B B C 延长43B C 交x 轴于点4A ?；
；按照这个规律进行下去，点n C 的横坐标为_____（结果用含正整数n 的代数式表示）
【答案】1
7322n -??+ ?
??
【分析】过点11234B C C C C 、、、、分别作1B D x ⊥轴，11C D x ⊥轴，22C D x ⊥轴，
33C D x ⊥轴，44C D x ⊥轴，……垂足分别为1234D D D D D ??、、、、,根据题意求出12,1OD B D ==，
得到图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1:2，可以求出点1C 的横坐标为：0
13222??++ ???
，
再依次求出2,3C C ……n C 即可求解.
【详解】解：过点11234B C C C C 、、、、分别作1B D x ⊥轴，11C D x ⊥轴，22C D x ⊥轴，
33C D x ⊥轴，44C D x ⊥轴，……垂足分别为1234D D D D D ??、、、、 Q 点1B 在直线1
:2
l y x =
上，点1B 的横坐标为2， ∴点1B 的纵坐标为1，
即：12,1OD B D ==
图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1:2，
111112
111111
12B D DA C D D A OD A D A D C D =====??? ∴点1C 的横坐标为：0
13222??++ ???
， 点2C 的横坐标为： 0
2
1
133********??????+++?+= ? ? ???????0
1
53532242????
+?+ ? ?????
点C 3的横坐标为：
1
133********??????+++?+ ? ? ???????2
1
2
1353535342224242?????????+=+?+?+ ? ? ? ?????????
点4C 的横坐标为：0
1
2
2
5353535322424242????????
=+?+?+?+ ? ? ? ???????????????
点n C 的横坐标为：0
1
5353522424????=+?+? ? ?????2
3
4
353535
242424
??????+?+?+? ? ? ???????
1
32n -????????+ ?
??
01234
55333332422222????????????
=+++++???????? ? ? ? ? ???????????????11373222n n --????+=+ ? ???
?? 故答案为： 1
7322n -??+ ?
??
【点睛】本题考查的是规律，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.
24．数轴上,O A 两点的距离为4，一动点P 从点A 出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO 的中点1A 处，第2次从1A 点跳动到1A O 的中点2A 处，第3次从2A 点跳动到2A O 的中点3A 处．按照这样的规律继续跳动到点456,,,,n A A A A L （3n ≥，n 是整数）处，那么线段n A A 的长度为_______（3n ≥，n 是整数）．
【答案】2
142
n --
【分析】根据题意，得第一次跳动到OA 的中点A 1处，即在离原点的长度为1
2
×4，第二次从A 1点跳动到A 2处，即在离原点的长度为（
12）2×4，则跳动n 次后，即跳到了离原点的长度为（12）n ×4=n-21
2
，再根据线段的和差关系可得线段A n A 的长度．
(完整版)初中数学规律题解题基本方法------图形找规律
初中数学规律题解题基本方法------图形找规律 1.探索常见图形的规律，用火柴棒按下图的方式搭三角形 ⑴填写下表： ⑵照这样的规律搭建下去，搭n 个这样的三角形需要多少根火柴棒？ 2.若按图2方式摆放桌子和椅子 ⑴一张桌子可坐6人，2张桌子可坐 人。 ⑵按照上图方式继续排列桌子，完成下表： 3.如果按图3的方式将桌子拼在一起 ⑴2张桌子拼在一起可坐多少人？3张呢？n 张呢？ ⑵教室有40张这样的桌子，按上图方式每5张拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐 人。 ⑶在⑵中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐 人。 4．如图，把一个面积为1的正方形分等分成两个面积为2 1 的矩形，接着把面积为2 1的矩形等分成两个面积为41的正方形，再把面积为41的矩形等分成两个面积为8 1的矩形，如此进行下去，试利用图形提示的规律计算： =+++++++256 11281641321161814121 5．把棱长为a 的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个……按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是 例8.观察下列图形并填表。 个数 1 2 3 4 5 6 7… n 32 1 2 1 41 81 161 1 1 2
6．用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律，拼成若干个图案： （1）第4个图案中有白色地面砖 块； （2）第n 个图案中有白色地面砖 块。 …… 7．下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有)2(≥n n 个棋子，每个图案棋子总数为S ，按下图的排列规律推断，S 与n 之间的关系可以用式子 来表示。 …… 8．观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。 ①5，9，13，17， ， 。 ②4，5，7，11，19， ， 。 ③10，20，21，42，43， ， ，174，175。 ④4，9，19，34，54， ， ，144。 ⑤45，1，43，3，41，5， ， ，37，9。 ⑥6，1，8，3，10，5，12，7， ， 。 ⑦0，1，1，2，3，5， ， 。 ⑧180，155，131，108， ， 。 ⑨5，15，45，135， ， 。 ⑩60，63，68，75， ， 。 9．（2010年山东省青岛市）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要 19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n 个图案需要 枚棋子． 【关键词】规律 第三个 第一个 第二个 4 2 ==s n 8 3 ==s n 12 4 ==s n 16 5 ==s n … 第13题图
2018中考数学专题复习44《探索规律题》(无答案)
开放探索题：探索规律 一、列式探索型 【例1】如上图所示，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下图，则第n 个图形中需用黑色瓷砖_______________块 导：第一个图案有12=3×4=（1+2）×4， 第二个图案有 16=4×4=（2+2）×4， 第三个图案有 20=5×4=（3+2）×4， 第n个图案有（n+2）×4=4n+8。 【例2】上图是棱长为a的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n层，第n层的小正方体的个数为s．则s= ． 导：至上而下第一层为1， 第二层为1+2， 第三层为1+2+3 第n层为1+2+3+……+n=n(n+1)/2. 【练1】某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第1次铺2块，如图1；第2次把第1次铺 的完全围起来，如图2；第3次把第2次铺的完全围起来，如图3；…依此方法，第n次铺完后， 用字母n表示第n次镶嵌所使用的木块块数为 . （n为正整数） 二、模仿探索型 析：根据图形得到一列数2、10、18、26…，第2个数=2+（2-1）×8,第3个数=2+（3-1）×8, 第 4个数=2+（4-1）×8, 第n个数=2+（n-1）×8=8n-6. 【练2】下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星， 第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个 数为( ) 析：第1个五角星个数为2=2 ×12 第2个五角星个数为8=2 ×22 第3个五角星个数为18=2×32 第n个五角星个数为2×n2.，选择D. 二、模仿探索型 图 1 图 2 图 3
一年级探索规律练习题
一年级探索规律练习题 1、基础复习。 ①我来一笔一画认真写一写：5—0 ②按要求在横线上画△。 与○同样多。○○○○○_______________。 比○多2个。○○______________。 比○少3个。○○○○○_________。 ③在下面的“○”里填上“>”、“<”或“=”。 ▲▲▲○★★★★ 1○52○13○50○05○4 ④用画“√”的方法统计出本班语文、数学、英语、美术一周各几节课。 2、思维训练。 我来接着画一画：△□△□□△□□□△__________________________…… 红绳长5米，黄绳长4米，都剪去同样长的一段，剩下的绳子是（）长一些。 亮亮晚上回到家，拉一次开关，灯就亮了；再拉一次开关，灯就灭了。淘气的亮亮一连拉了10次开关，你说这时候灯是亮了呢，还是灭了呢？ （）。 贝贝有5枝铅笔，他给欢欢1枝铅笔之后两人就一样多了，欢欢原来有 （）枝铅笔。 今年晶晶4岁，欢欢5岁，欢欢比晶晶大（）岁，2年后，欢欢比晶晶大（）岁。 3、★★★智力题。 ①一张照片中有5个大人排成一行，每两个大人之间有一个小孩。照片中一共有（）个人。 ②房间里有10支点燃的蜡烛，风从窗户吹进来，吹熄了3支蜡烛，后来又吹熄了3支，这时，主人关上窗户，吹熄的蜡烛没有点燃，第二天，房间里还剩几支蜡烛？ 设计理念、意图：刚刚入校的一年级的小学生，他们的生活从以“玩”为主，向以“学”为主过渡。所以我们认为要布置一些有利于学生发展的实践型或拓展型的“特色作业”，让孩子们的课余生活更丰富，
数学学习更具趣味性。同时也体现了《课标》提出的“以多种形式激发学生学习兴趣”的要求。 我们在设计基础题部分时旨在让学生用学过的知识来解决一些简单的实际问题，积累数学活动的经验。思维训练部分重在让学生在解决问题的过程中，体会数学与生活的紧密联系。让学生自主探索、感受数学文化。智力题部分要达到让学生在饶有兴趣的状态下，进一步巩固知识，增强学习信心和应用意识的目的。 我们希望通过这次作业，使学生的学习兴趣得到充分的激发。不仅培养学生的数学意识，提高学生的数学审美能力，而且让学生了解到数学不是抽象的，生活中处处有数学。
中考数学 专题 规律探索型问题题型专讲专练(12、13真题为例)(无答案)
中考数学 专题 规律探索型问题题型专讲专练（12、13真题为 例）（无答案） 一、选择题（每小题6分，共30分） 1.（2013·泰安）观察下列等式：1 3=3，2 3=9，33=27，43=81，53=243，63=729，7 3=2187，…解答下列问题：3＋2 3＋33＋43＋…＋2013 3的末位数字是（ ） A.0 B. 1 C. 3 D. 7 2.（2012·武汉）一列数1a ，2a ，3a ，…，其中1a ＝2 1 ，n a ＝111-+n a （n 为不小于2 的整数），则4a 的值为（ ） A. 85B.58C.813D.13 8 3.（2012·自贡）一质点P 从距原点1个单位的M 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM 的中点3M 处，第二次从3M 跳到3OM 的中点2M 处，第三次从点2M 跳到2OM 的中点1M 处，如此不断跳动下去，则第n 次跳动后，该质点到原点O 的距离为（ ） A. 2 1 B. 1 21-n C.1 21+? ? ? ??n D. n 2 1 4.（2012·荆门）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③.如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（ ） A.8048个 B.4024个 C.2012个 D.1066个 5.（2013·德州）如图，动点P 从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时
反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2013次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（ ） A.（1，4） B.（5，0） C.（6，4） D.（8，3） 二、填空题（每小题6分，共30分） 6.（2013·益阳）下表中的数字是按一定规律填写的，表中a 的值应是. 1 2 3 5 8 13 a … 2 3 5 8 13 21 34 … ⊕ 7.（2012·台州）请你规定一种适合任意非零实数a ，b 的新运算“a ⊕b ”，使得下列算式成立： 1⊕2＝2⊕1＝3，（－3）⊕（－4）＝（－4）⊕（－3）＝－6 7 ，（－3）⊕5＝5⊕（－3）＝－ 15 4 ，… 你规定的新运算a ⊕b ＝.（用a ，b 的一个代数式表示） 8.（2012·梅州）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm ，一个微型机器人由点A 开始按ABCDEFCGA …的顺序沿正方形的边循环移动.①第一次到达G 点时移动了 cm ；②当微型机器人移动了2012cm 时，它停在点. 9.（2013·湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x 是 10.（2013·潍坊）由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n 个图形
二年级探索规律练习题
二年级找规律专题练习 1．观察规律，在横线上填上合适的数。 (1) 1、4、7、10、13、____； (2) 11、16、21、26、____； (3) 20、16、12、8、____； (4) 15、12、9、6、____； 2．观察规律，在横线上填上合适的数。 (1)2、4、5、7、8、10、11、 ____； (2) 1、3、4、6、7、9、10、 ____； (3) 15、12、10、7、5、____； (4) 13、9、6、4、____； 3．观察规律，在横线上填上合适的数。 1、5、 2、6、 3、7、 4、8、 5、____；
4．远处走来两队可爱的小狗，小明仔 细一看，发现所有的小狗身上都有编号， 这时一队小狗的主人开始嚷嚷，他说自己 丢了一只狗狗，另一队小狗的主人数了数 自己的狗狗，发现多了一只，但是到底是 哪一只呢，好伤脑筋呀，聪明的小朋友， 你知道吗？ 第一队：1、3、7、9、11； 第二队：1、4、5、7、10、13； 5．观察规律，在空格内填上合适的数。 (1) 3、5、8、10、13、15、18、 _______、23； (2) 1、2、4、7、11、16、_______、29； (3) 1、5、3、5、5、5、7、5、_______、 _______、11； (4)19、92、28、83、37_______、 _______、46； （5）我爱数学、学我爱数、数学我爱、 _______ 。
(6) 1234、4123、3412、_______ （7）11、（）、31、41、（）、 （）71、（） （8）（）、40、20、（）、5 2、下面是小明设计的“有规律排列的 数”，可是他有几个数写错了，请找出来， 并想一想应该换上什么数。 ⑴ 90 75 60 45 30 15 1 ⑵ 0 14 28 42 56 71 8 三．接着写。 （1） 5 ，50 ，500 ，____，____ （2） 1 ，3 ，7 ，13 ，__，31 ， ______ （3） 0 ，1 ，3 ，6 ，10 ，___，___ （4） 5 ，5 ，10 ，15 ，25 ，__，65
找规律练习题及标准答案
找规律练习题 一．数字排列规律题 1. 4、10、16、22、28……，求第n位数( )。 2. 2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8. 第n位数( ) 3. 观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是----， 第n个数是---------。 4. 1，9，25，49，（），（），的第n项为（）， 5： 2、9、28、65.....：第n 位数（） 6：2、4、8、16...... 第n位数.（） 7：2、5、10、17、26……，第n位数.（） 8 ： 4，16，36，64，？，144，196，…？第一百个数（） 9、观察下面两行数 2，4，8，16，32，64，．．．（1） 5，7，11，19，35，67．．．（2） 根据你发现的规律，取每行第十个数，求得他们的和。 10、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子，前2002个中有几个是黑 的？ 11. =8=16 =24……用含有N的代数式表示规律（） 12. 12，20，30，42，() 127，112，97，82，( ) 3，4，7，12，( )，28 13 . 1，2，3，5，()，13 14. 0，1，1，2，4，7，13，( ) 15 .5，3，2，1，1，( ) 16. 1，4，9，16，25，( )，49 17. 66，83，102，123，( ) ， 18． 1，8，27，( )，125 19。 3，10，29，( )，127 20， 0，1，2，9，() 21； ()。则第n项代数式为：（） 22 ， 2/31/22/51/3( )。则第n项代数式为（） 23 ， 1，3，3，9，5，15，7，( ) 24. 2，6，12，20，( ) 25. 11，17，23，( )，35。 26. 2，3，10，15，26，( )。 27. ： 1，8，27，64，( ) 28. ：0，7，26，63 ，( ) 29. -2，-8，0，64，( )
七年级规律探索题答案
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前言： 七年级上册数学期中考试，主要考察书本前2章，想要考试取得好的成绩，首先应一般能力：①基本知识、基本技能；②计算能力；其次要想获得高分必须具备高分能力：①观察、猜想、推理、验证的能力；②数形结合思想的建立；③分类讨论思想的建立；④方程思想的建立；对于重点中学学生，尤为重要。高分能力是今后学习领先的有力保障，需要大量练习、总结、体会，七年级涉及的仅仅是一部分。 一、规律探索类题型 规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形等条件，要求学生通过：①读题 ②观察 ③分析 ④猜想 ⑤验证，来探索对象的规律。它体现了“特殊到一般”、“数形结合”等数学思想方法，考察学生的分析、解决问题能力。题型可涉及填空、选择或解答。 【题型分类】 【1、数字问题】 最好具备数列的有关知识（小学奥数有涉及），实际考察的是： 经历探索事物间的数量关系，用字母表示数和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维，进一步使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型。如： 1、正整数规律 1、2、3、4、5、、、、可以表示为n （其中n 为正整数） 2、奇数规律 1、3、5、7、9、、、、可以表示为21n -（其中n 为正整数） 3、偶数规律 2、4、6、8、10、、、、可以表示为2n （其中n 为正整数） 4、正、负交替规律变化 一组数，不看他们的绝对值，只看其性质，为正负交替 （1）、-、+、-、+、-、+、-、+可以表示为(1)n - （2）、+、-、+、-、+、-、+、-可以表示为1(1)n +- 5、平方数规律 1、4、9、16、、、、可以表示为2n （其中n 为正整数），能看得出：上面的规律数+1、+ 2、-1、-2
初中数学规律题解题基本方法
初中数学规律题解题基本方法 （一）数列的找规律 初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索： 一、基本方法——看增幅 （一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b 为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。 例：4、10、16、22、28……，求第n位数。 分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2 （二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。 基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅； 2、求出第1位到第第n位的总增幅； 3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。 举例说明：2、5、10、17……，求第n位数。 分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为： ［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1 所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1 此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。 （三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。 二、基本技巧 （一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是。 解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较： 给出的数：0，3，8，15，24，……。 序列号：1，2，3，4，5，……。 容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。
中考必考知识点初中数学规律题的解题方法和技巧
一、基本方法——看增幅 （一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。 例：4、10、16、22、28……，求第n位数。 分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是： 4+(n-1)×6＝6n－2 （二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。 基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅； 2、求出第1位到第第n位的总增幅； 3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。 举例说明：2、5、10、17……，求第n位数。 分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为： ［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1 所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1 此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。 （三）增幅不相等，但是，增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8. （三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。
探索规律练习题
探索规律练习题一 1．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子数（ ）粒。A 、12+n B 、12-n C 、n 2 D 、2+n 2．观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ） A ．22n + B ．44n + C ．44n - D ．4n 3．(2009武汉)将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆 放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆． 4．观察下列等式：221.4135-=?；222.5237-=?；223.6339-=? 224.74311-=?； …………则第n （n 是正整数）个等式为________. 5．有一列数1234 251017 --，，，， …，那么第7个数是 ． 6.王婧同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规律，第n 个“中”字形图案需 根火柴棒. 7．观察数表 根据表中数的排列规律，则字母A 所表示的数是____________． 8．图6是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成． 9．如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个 数是________ 第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形 … 图 6 (1) (2) (3) …… 1 第1 1 1 1 1 1 1 1-1-1-6-6-2-3-5-4-4-3 6 10 15 15 5 A 20- 1
用计算器探索规律测试题(完美版)
2021年数学小中初数学第十单元 用计算器探索规律测试题 班级 姓名 等第 一、 填表（每空2分） 我发现： 我发现： 二、 填空（每空2分） 1、甲数÷乙数=2，如果甲数乘4，乙数乘4，那么商是（ ）。 2、甲数×乙数=800，如果甲数乘2，乙数不变，那么积是（ ）。 3、如果A ÷B=60，那么（A ×3）÷B=（ ）； 如果A ×B=300，那么（A ×2）×（B ×2）=（ ）。 4、如果A ×B=600，那么（A ×5）×（B ÷5）=（ ）； 如果A ÷B=75，那么（A ×10）÷（B ×5）=（ ）； 如果A ÷B=75，那么（A ÷5）÷（B ÷3）=（ ）。 三、 判断（在括号里对的打“√”，错的打“×”）（每题2分） 1、 被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。（ ） 2、 一个因数不变，另一因数乘或除以一个数（0除外），积也扩大或缩小相同的倍数。…………………………………（ ） 3、 因为75÷4=18……3，所以750÷40=18……3。 （ ） 4、 两个数相除，被除数扩大3倍，除数缩小3倍，商扩大9倍。（ ） 5、 因为360÷15=24，所以3600÷15=240，360÷5=8。（ ）
四、计算 1、直接写出得数（每题1分） 800÷20= 350÷50= 900÷60= 480÷60= 300÷50= 780÷60= 340÷20= 630÷30= 420÷70= 800÷50= 510÷30= 210÷70= 2、用简便方法计算下面各题，并且并且验算（每题5分） 580÷20 760÷60 1000÷90 3、用简便方法计算下面各题（每题5分） 110÷55 630÷42 720÷48 五、解决问题（第3题4分，其余每题5分）。 1、新飞手机厂平均每月生产手机6210部，全年生产手机多少部？（用计算 器计算） 2、欣欣农机厂要制造300台机器，原来每台用钢材1430千克，技术革新后， 每台比原来节约钢材200千克，现在一共要用钢材多少千克？（用计算器计算）合多少吨？ 3、一个文具厂原计划每月生产3000枝钢笔，技术革新后，一年的生产任务 10个月就完成了，实际平均每月生产钢笔多少枝？
七年级规律探索题规范标准答案
前言： 七年级上册数学期中考试，主要考察书本前2章，想要考试取得好的成绩，首先应一般能力：①基本知识、基本技能；②计算能力；其次要想获得高分必须具备高分能力：①观察、猜想、推理、验证的能力；②数形结合思想的建立；③分类讨论思想的建立；④方程思想的建立；对于重点中学学生，尤为重要。高分能力是今后学习领先的有力保障，需要大量练习、总结、体会，七年级涉及的仅仅是一部分。 一、规律探索类题型 规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形等条件，要求学生通过：①读题 ②观察 ③分析 ④猜想 ⑤验证，来探索对象的规律。它体现了“特殊到一般”、“数形结合”等数学思想方法，考察学生的分析、解决问题能力。题型可涉及填空、选择或解答。 【题型分类】 【1、数字问题】 最好具备数列的有关知识（小学奥数有涉及），实际考察的是： 经历探索事物间的数量关系，用字母表示数和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维，进一步使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型。如： 1、正整数规律 1、2、3、4、5、、、、可以表示为n （其中n 为正整数） 2、奇数规律 1、3、5、7、9、、、、可以表示为21n -（其中n 为正整数） 3、偶数规律 2、4、6、8、10、、、、可以表示为2n （其中n 为正整数） 4、正、负交替规律变化 一组数，不看他们的绝对值，只看其性质，为正负交替 （1）、-、+、-、+、-、+、-、+可以表示为(1)n - （2）、+、-、+、-、+、-、+、-可以表示为1(1)n +- 5、平方数规律 1、4、9、16、、、、可以表示为2n （其中n 为正整数），能看得出：上面的规律数+1、+ 2、-1、-2
初中数学找规律解题方法及技巧
初中数学找规律解题方法及技巧 通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：一、基本方法——看增幅 （一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a1+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。 例：4、10、16、22、28……，求第n位数。 分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：4+(n-1) 6＝6n－2 （二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n 位的数也有一种通用求法。 基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅； 2、求出第1位到第第n位的总增幅； 3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。 此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。 （三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8. （四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。 二、基本技巧
2.5用计算器探索规律练习题及答案
第6课时用计算器探索规律不夯实基础，难建成高楼。 1. 填表。 2. ( )×7＝11.55 ( )×25＝810 124×()＝460.04 36×()＝4035.6 3. 用计算器，计算前四题，直接写出后三题的得数。(1)3×4＝ 3.3×3.4＝ 3.33×33.4＝ 3.333×333.4＝ 3.3333×3333.4＝ 3.33333×33333.4＝ 3.333333×333333.4＝ (2)81÷9＝ 88.2÷9＝ 88.83÷9＝ 88.884÷9＝ 88.8885÷9＝ 88.88886÷9＝ 88.888887÷9＝ 4. 先找出规律，再填数。 (1)1,1.1,1.3,1.6，( )，( )，3.1
(2)0.81,0.64,0.49,0.36，( )，( ) (3)3,1.5,0.75,0.375，( ) (4)40,10,2.5,0.625，( ) 重点难点，一网打尽。 5. 试一试，你会用计算器计算多步计算题吗？ 5.5――→÷11 ――→× 6.2 ――→×0.5 ――→×0.1 12.4――→×0.25 ――→÷0.31 ――→÷0.5 ――→×0.4 6. 根据333667×3＝1001001填空，再用计算器检验。 333667×6＝________ 333667×9＝________ 333667×12＝________ 333667×18＝________ 333667×24＝________ 333667×27＝________ 举一反三，应用创新，方能一显身手！ 7. 用计算器探索规律。 (1)先用计算器算出前四个算式，再根据规律直接写出其他算式的得数。 1×8＋1＝ 12×8＋2＝ 123×8＋3＝ 1234×8＋4＝ 12345×8＋5＝ 123456×8＋6＝ 1234567×8＋7＝ (2)用计算器算出下面算式的得数。 532532＋7＝ 496496＋7＝ 532532＋11＝ 496496＋11＝ 532532＋13＝ 496496＋13＝ 532532＋77＝ 496496＋77＝
中考数学必考题型《规律探索》分类专项练习题
类型一 数式规律 1. 我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为12尺，第二天再折断一半，其长为1 4尺，…，第n 天折断一半后得到的木棍长应为________尺． 12n 2. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是________． 第2题图 41【解析】由图形可知，第n 行最后一个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1） 2，∴第8行最后一个数为8×9 2＝36＝6， 则第9行从左至右第5个数是36＋5＝41. 3. 观察下列关于自然数的式子： 第一个式子：4× 12－12 ①
第二个式子：4× 22－32 ② 第三个式子：4×32－52 ③ … 根据上述规律，则第2019个式子的值是______． 8075 【解析】∵4×12－12＝3①，4×22－32＝7②，4×32－52＝11③，…，4n 2－(2n －1)2＝4n －1，∴第2019个式子的值是4×2019－1＝8075. 4. 将数1个1，2个12，3个13，…，n 个1 n (n 为正整数)顺次排成一列：1，12，12，13，13，13，…，1n ，1n ，…，记a 1＝1，a 2＝12，a 3＝1 2，…，S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2，S 3＝a 1＋a 2＋a 3，…，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2019＝________． 63364 【解析】根据题意，将该数列分组，1个1的和为1，2个12的和为1，3个1 3的和为1，…；∵1＋2＋3＋…＋63＝2016个数，则第2019个数为64个164的第3个数，则此数列中，S 2019＝1×63＋3×1 64＝63364. 类型二 图形规律 5. 如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3， …，
初中数学规律题解题基本方法
初中数学规律题解题基本方法 初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索： 一、基本方法——看增幅 （一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。 例：4、10、16、22、28……，求第n位数。 分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2 （二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。 基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅； 2、求出第1位到第第n位的总增幅； 3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。 举例说明：2、5、10、17……，求第n位数。 分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为：［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1 所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1
此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。 （三）增幅不相等，但是，增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8. （三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。 二、基本技巧 （一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是。 解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较： 给出的数：0，3，8，15，24，……。 序列号：1，2，3，4，5，……。 容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。
题型训练21 规律探索题(答案)
题型训练21 规律探索题（1页） 命题点1 数式规律探索 1. 3（n-2）(或3（n-1）+1) 【解析】通过观察得出：依次为1，4，7，…，的一列数是首项为1，公差为3的等差数列，所以第n 个数为：1+（n-1）×3=3n- 2. 2. 41400 - 3. 82 +92 +722 =732 【解析】∵12 +22 +22 =32 ，22 +32 +62 =72 ，32 +42 +122 =132 ，42 +52 +202 =212 ，…， ∴第8个等式为：82+92+（8×9）2=（8×9+1）2，即82+92+722=732 ． 【技巧点拨】观察不难发现，两个连续自然数的平方和加上它们积的平方，等于比它们的积大1的数的平方，然后写出即可． 4. a 10-b 20【解析】∵第1个多项式为：a 1+b 2×1，第2个多项式为：a 2-b 2×2，第3个多项式为：a 3+b 2×3，第4个多项式为：a 4-b 2×4，…∴第n 个多项式为：a n +（-1）n+1b 2n ，∴第10个多项式为：a 10-b 20． 5 .1 21 2+-n x n 【解析】首先观察发现分母上的：3，5，7，9，…的规律是：2n+1，再观察发 现分子上的规律是：1 2-n x ,∴依照此规律第n 个数据是1 212+-n x n . 6.66 【解析】本题是一个规律探究性题目，第一位同学的报数为3，第二位同学报数为2， 第三位同学报数为 53，第四位报数为64……则第十位同学报数为1210 ，所以从第一位同学报数到第十位同学报数的积为56789101112 3266.345678910 ?????????= 【技巧点拨】解答本题可以用错位相消法和数字规律发现隔一个数之间前面一个数的分子和后一个数的分母可以约分. 7. 8. 738 【解析】观察图中的数字得出框中右下角的数字计算分别为：2=1×1+1，30=3×9+3， 130=5×25+5，350=7×49+7，所以在最后一个空格中填上适当的数字为：9×81+9=738. 命题点2 图形规律探索
初中数学规律题解题技巧
初中数学规律题解题技巧 初中数学规律题的解题技巧如下： 一、基本方法——看增幅 一如增幅相等此实为等差数列：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则 第n个数可以表示为：a+n-1b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，n-1b为第一位数到 第n位的总增幅。然后再简化代数式a+n-1b。 例：4、10、16、22、28……，求第n位数。 分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+n-1×6=6n-2 二如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。 基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅; 2、求出第1位到第第n位的总增幅; 3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。 举例说明：2、5、10、17……，求第n位数。 分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1位 到第n位的增幅是：3+2×n-2=2n-1，总增幅为： [3+2n-1]×n-1÷2=n+1×n-1=n2-1 所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1 此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察 凑的方法求出，方法就简单的多了。 三增幅不相等，但是，增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅 为1、2、4、8. 三增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加即增幅的增幅也不相等。此类题大概没有 通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有 一些技巧。 二、基本技巧
初一数学探索规律经典题
探索规律 1． （1）填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况。 n 1 2 3 4 5 6 7 8 5n＋6 n2 （2）随着n的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？ （3）估计一下，哪个代数式的值先超过100？ 2．观察下列等式： 2＝2＝1×2 2＋4＝6＝2×3 2＋4＋6＝12＝3×4 2＋4＋6＋8＝20＝4×5 …… （1）可以猜想，从2开始到第n（n为自然数）个连续偶数的和是__________；（2）当n＝10时，从2开始到第10个连续偶数的和是_______________。 3．观察1＋2＝ 2)2 1(2+ ，1＋2＋3＝ 2)3 1(3+ （1）验算一下1＋2＋3＋4是否等于 2)4 1(4+ ，1＋2＋3＋4＋5是否等于 2)5 1(5+ 。 （2）对于任意自然数n（n>1），猜想1＋2＋3＋4＋……＋n＝_____________________。 4．如图a是一个三角形，分别连接这个三角形三变的中点得到图b，在分别连接图b中间的小三角形三边中点，得到图c，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题： 图a 图b 图c （1）将下表填写完整 图形编号 1 2 3 4 5 …… 三角形个数 1 5 9 （3）在第n个图形中有多少个三角形（用含n的式子表示） 5．本题表格中前三列三个数之间的关系为： 2×7＋1＝15 0×5＋1＝1 3×4＋1＝13 按以上规律，在表格的空格内天上所缺的数 2 0 3 8 7 m 7 5 4 6 3 n 15 1 13
6．（1）计算并填表： n 1 2 3 4 5 6 10 102 103 1 2+n n （2）观察上表，描述所求得的这一列数的变化规律； （3）当n 非常大时， 1 2+n n 的值接近与什么数？ 7．已知平面内任意三个点都不在同一直线上，过其中任两点画直线。 （1）若平面内有三个点，一共可以画几条直线？ （2）若平面内有四个点，一共可以画几条直线？ （3）若平面内有五个点，一共可以画几条直线？ （4）若平面内有n 个点，一共可以画几条直线？
探究规律题型方法总结和练习
探究规律题型方法总结和练习 一、教学内容： 规律探究型问题 1. 图案变化规律 2. 数列、代数式运算规律 3. 几何变化规律 4. 探索研究 二、知识要点： 近年来，探索规律的题目成为数学中考的一个热点，目的是考查学生观察分析及探索的能力. 题目分为题设和结论两部分，通常题设部分给出一些数量关系或图形变换关系，通过观察分析，要求学生找出这些关系中存在的规律。这种数学题目本身存在一种数学探索的思想，体现了数学思想从特殊到一般的发现规律。是中考的一个难点，越来越引起考生重视。下面我们根据几种不同类型的规律变化类型题进行分析。 “规律探究型问题”根据学生已有的知识基础和认知特点，分别从直观形象和抽象符号上进行规律探索，突出数学的生活化，给学生提供更多机会体验学习和探索的“过程”与“经历”，使之拥有一定的问题解决、课题研究、社会调查的经验，使学生经历探索事物间的数量关系并用字母和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维，进一步使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型。现就规律探究的几个例子，来探讨一下这类专题： 一、规律探索型问题的分类： 1、数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 如：1、有一串单项式：a，2a2，3a3，4a4，…，19a19，20a20，…那么第n个单项式是。
2、争当小高斯：高斯在10岁的时候，曾计算出 1+2+3+4+······+100=_________；还有另外一种解法：设S= 1+2+3+······+99+100，那么也可以写成 S=100+99+98+97+······+2+1，把这两个等式左右两边分别相加，可以得到2S= （1+100）+（2+99）+（3+97）+······ +（99+2） +（100+1），2S=100×101，S= 由此，猜想前n个自然数和：1+2+3+4+······+n=-________，前n个偶数和：2+4+6+8+······+2n=________，前n个奇数和：1+3+5+7+ 9+······+ (2n-1) =________. 猜想归纳是解决这类问题的有效方法，通过对已给出的材料和信息对研究的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合，作出符合一定规律与事实的推测性想象，从而发现一般规律.它是发现和认识规律的重要手段.平时的教学不能局限于课本，可以设计一些猜想性、类比性的活动，让学生经历一个观察、试验等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，从而探索事物的内在规律. 2、图形规律 根据一组相关图形的变化规律，从中总结图形变化所反映的规律。解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。如：1、下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子． 观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了_________块石子。 2、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：