高考数学-立体几何证明方法总结及经典3例

高考数学-立体几何证明方法总结及经典3例

例1：平行类证明

【平行类证明方法总结】

线线平行的证明方法：

三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。

线面平行的证明方法：

面外线与面内线平行，两面平行则面内一线与另面平行等等

面面平行的证明方法：

面内相交线与另面平行则面面平行，三面间平行的传递性等等。

【例】正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥面BCE.

证法一：

如图（1），作PM∥AB交BE于M，

作QN∥AB交BC于N,连接MN,

因为面ABCD∩面ABEF=AB,

则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.

又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQ

DC QN =

. ∴

DC

QN

AB PM =

. ∴PM ∥QN.

四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.

又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE. 证法二：

如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴

QK

AQ

QB DQ =.

又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ， ∴

PE

AP

QK AQ =.则PQ ∥EK.

∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE. 例2：垂直类证明 【垂直类证明方法总结】

证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90o 、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等

【例】如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，． 求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．

证明：∵SA ⊥平面ABCD ，

∴SA BC ⊥． ∵AB BC ⊥， ∴BC ⊥平面SAB ． 又∵AE ⊂平面SAB ， ∴BC AE ⊥． ∵SC ⊥平面AEFG ， ∴SC AE ⊥． ∴AE ⊥平面SBC ． ∴AE SB ⊥．

同理证AG SD ⊥． 例3：向量法解立体几何类 【量法解立体几何类公式总结】 基本公式

若),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，则

①212121z z y y x x b a ++=⋅ ；

②2

22222212121||,||z y x b z y x a ++=++=；

③212121z z y y x x b a ++=⋅

④2

2

2

22

22

12

12

12

12121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++⋅++++>=<

夹角公式：

||||cos 212

1n n n n ⋅=θ

距离公式：

|

|||n n AB CD d =

= 【例】已知两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ； （2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （3）求点P 到面QAD 的距离．

简解：（1）略；

（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），

易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，

，，，，，1

cos 3

AQ PB AQ PB AQ PB

<>==

，． 所求异面直线所成的角是1

arccos 3

．

（3）由（2）知，点(022(22220)(004)D AD PQ -=--=-，，，，，，，，设n =（x ，y ，

z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得200x z x y +=+=⎪⎩，，取x ＝1，得

(112)-，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d =

=n n

．

立体几何证明经典习题

平行题目

1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.

求证：PC∥面BDQ.

2、如图（1），在直角梯形P1DCB中，P1D//BC，CD⊥P1D，且P1D=8，BC=4，DC=46，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置（如图（2）），使二面角P—CD—B成45°，设E、F分别是线段AB、PD的中点.

求证：AF//平面PEC；

垂直题目

3、如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．

求证：BC⊥平面PAC．

4、如图2，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．

求证：AH⊥平面BCD

向量法解立体几何题目

5、在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、

C

1的一点，EA⊥EB1．已知2

AB=，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝

3

π．求二

面角A－EB1－A1的平面角的正切值．