高考数学-立体几何证明方法总结及经典3例
高考数学-立体几何证明方法总结及经典3例
例1：平行类证明
【平行类证明方法总结】
线线平行的证明方法：
三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。
线面平行的证明方法：
面外线与面内线平行，两面平行则面内一线与另面平行等等
面面平行的证明方法：
面内相交线与另面平行则面面平行，三面间平行的传递性等等。
【例】正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥面BCE.
证法一：
如图（1），作PM∥AB交BE于M，
作QN∥AB交BC于N,连接MN,
因为面ABCD∩面ABEF=AB,
则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.
又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQ
DC QN =
. ∴
DC
QN
AB PM =
. ∴PM ∥QN.
四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.
又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE. 证法二：
如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴
QK
AQ
QB DQ =.
又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ， ∴
PE
AP
QK AQ =.则PQ ∥EK.
∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE. 例2：垂直类证明 【垂直类证明方法总结】
证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90o 、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等
【例】如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，． 求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．
证明：∵SA ⊥平面ABCD ，
∴SA BC ⊥． ∵AB BC ⊥， ∴BC ⊥平面SAB ． 又∵AE ⊂平面SAB ， ∴BC AE ⊥． ∵SC ⊥平面AEFG ， ∴SC AE ⊥． ∴AE ⊥平面SBC ． ∴AE SB ⊥．
同理证AG SD ⊥． 例3：向量法解立体几何类 【量法解立体几何类公式总结】 基本公式
若),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，则
①212121z z y y x x b a ++=⋅ ；
②2
22222212121||,||z y x b z y x a ++=++=；
③212121z z y y x x b a ++=⋅
④2
2
2
22
22
12
12
12
12121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++⋅++++>=<
夹角公式：
||||cos 212
1n n n n ⋅=θ
距离公式：
|
|||n n AB CD d =
= 【例】已知两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ； （2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （3）求点P 到面QAD 的距离．
简解：（1）略；
（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），
易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，
，，，，，1
cos 3
AQ PB AQ PB AQ PB
<>==
，． 所求异面直线所成的角是1
arccos 3
．
（3）由（2）知，点(022(22220)(004)D AD PQ -=--=-，，，，，，，，设n =（x ，y ，
z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得200x z x y +=+=⎪⎩，，取x ＝1，得
(112)-，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d =
=n n
．
立体几何证明经典习题
平行题目
1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.
求证：PC∥面BDQ.
2、如图（1），在直角梯形P1DCB中，P1D//BC，CD⊥P1D，且P1D=8，BC=4，DC=46，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置（如图（2）），使二面角P—CD—B成45°，设E、F分别是线段AB、PD的中点.
求证：AF//平面PEC；
垂直题目
3、如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．
求证：BC⊥平面PAC．
4、如图2，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．
求证：AH⊥平面BCD
向量法解立体几何题目
5、在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、
C
1的一点，EA⊥EB1．已知2
AB=，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝
3
π．求二
面角A－EB1－A1的平面角的正切值．
立体几何证明经典习题答案
1、证明：如图，连结AC交BD于点O.
∵ABCD是平行四边形，
∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，
且O Q是△APC的中位线，
∴PC∥O Q.
∵PC在平面BDQ外，
∴PC∥平面BDQ.
2、证明：如图，设PC中点为G，连结FG，
1CD=AE，则FG//CD//AE，且FG=
2
∴四边形AEGF是平行四边形
∴AF//EG，
又∵AF⊄平面PEC，EG⊂平面PEC，
∴AF//平面PEC
3、证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．
∵平面PAC⊥平面PBC，且两平面交
于PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，
∴AD⊥平面PBC．
又∵BC⊂平面PBC，
∴AD⊥BC．
∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ， ∴BC ⊥平面PAC ．
4、证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，
∴CF AB ⊥．
∵AD BD =，（等腰三角形三线合一） ∴DF AB ⊥． 又CF
DF F =，
∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ⊂平面CDF ，
∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE
AB B =，
∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥． ∵AH CD ⊥，AH BE ⊥， CD BE E =，
∴ AH ⊥平面BCD ．
5、以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面
AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系．
由于BC ＝1，BB 1＝2，AB BCC 1＝
3
π，
∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A
B 1（０，2，０）
、102c ⎫-⎪⎪⎝⎭，、1302C ⎫⎪⎪⎝⎭，，．
设0E a ⎫⎪⎪⎝⎭，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1，得10EA EB =，
即3202a a ⎛⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，， 233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭， 即12a =
或32a =（舍去）．故1022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，． 由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥，故二面角
A －E
B 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与
EA 的夹角．
因11(00B A BA ==，122EA ⎛=-- ⎝ 故111
12cos 3EA B A EA B A θ=
=，即tan θ=。
立体几何证明方法汇总
GPA BCDFEABE① 中位线定理例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点． （１）求证：GH ∥平面CDE ；（２）若2,CD DB ==F-ABCD 的体积．练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。
求证：AC 1∥平面CDB 1；2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。
（1）求证：//1BD 平面DE C 1；（2）求三棱锥BC D D 1-的体积.3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。
（1）证明：//PA BDE 平面；（2）求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。
例2、 如图, 在矩形ABCD 中,2AB BC = , ,P Q 分别为线段,AB CD 的中点, EP ⊥平面ABCD .求证:AQ ∥平面CEP ；（利用平行四边形） 练习：①如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。
求证：AF ∥平面PCE ；②如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，ABCD 平面PD ⊥，M ，N 分别是AB ，PC 中点。
求证：//PAD MN 平面③ 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点.⑴求证：AF//平面BCE ；交点.求证：//1O C 面④、已知正方体ABCD-1111D C B A ，O 是底ABCD 对角线的11AB D ．③比例关系A 1C _ H_ G_ D_ A_ B_ CEFA BCDEFBAND例题3、P 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是PB 、BC 上的点，且NCBN PM BM =,求证：MN//平面PCD(利用比例关系)练习：如图，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ，=4,=2,=1AB AE EF .（Ⅱ）若点M 在FBC ；线段AC 上，且满足14CM CA =, 求证：//EM 平面④面面平行-线面平行例题4、如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2。
立体几何常见证明方法
立体几何常见证明方法1、线线平行①利用相似三角形或平行四边形②利用公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行③线面平行⇒线线平行 即////a a a l l αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ ④面面平行⇒线线平行即b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα即b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα2、线线垂直①两条直线所成角为90︒②线面垂直⇒线线垂直即b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα ③三垂线定理及其逆定理三垂线定理：l AC l BC AB ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥α 三垂线逆定理：l BC l AC AB ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥α ④两直线平行，其中一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于这条直线。
3、线面平行①定义：若一条直线和一个平面没有公共点，则它们平行；②线线平行⇒线面平行若平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则它与这个平面平行。
即ααα////a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂③面面平行⇒线面平行若两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面。
即βαβα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂4、线面垂直①线线垂直⇒线面垂直若一条直线垂直平面内两条相交直线，则这条直线垂直这个平面。
即ααα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂⊥⊥a O c bc b c a b a ,,②面面垂直⇒线面垂直两平面垂直，其中一个平面内的一条直线垂直于它们的交线，则这条直线垂直于另一个平面。
即βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⊥a l a a l ,,即αββα⊥⇒⎭⎬⎫⊥l l //即αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a // 5、面面平行①线面平行⇒面面平行若一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。
即βαααββ//,//,//⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂O b a b a b a②平行于同一平面的两个平面平行即βαγβγα//////⇒⎭⎬⎫即βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥l l 6、面面垂直①依定义，二面角的平面角为90︒； ②βαα⊥⇒⎬⎫⊂a l。
高考数学-立体几何证明方法总结及经典3例
高考数学-立体几何证明方法总结及经典3例例1：平行类证明【平行类证明方法总结】线线平行的证明方法：三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。
线面平行的证明方法：面外线与面内线平行，两面平行则面内一线与另面平行等等面面平行的证明方法：面内相交线与另面平行则面面平行，三面间平行的传递性等等。
【例】正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥面BCE.证法一：如图（1），作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N,连接MN,因为面ABCD∩面ABEF=AB,则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQDC QN =. ∴DCQNAB PM =. ∴PM ∥QN.四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE. 证法二：如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴QKAQQB DQ =.又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ， ∴PEAPQK AQ =.则PQ ∥EK.∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE. 例2：垂直类证明 【垂直类证明方法总结】证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90o 、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等【例】如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，． 求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．证明：∵SA ⊥平面ABCD ，∴SA BC ⊥． ∵AB BC ⊥， ∴BC ⊥平面SAB ． 又∵AE ⊂平面SAB ， ∴BC AE ⊥． ∵SC ⊥平面AEFG ， ∴SC AE ⊥． ∴AE ⊥平面SBC ． ∴AE SB ⊥．同理证AG SD ⊥． 例3：向量法解立体几何类 【量法解立体几何类公式总结】 基本公式若),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，则①212121z z y y x x b a ++=⋅ ；②222222212121||,||z y x b z y x a ++=++=；③212121z z y y x x b a ++=⋅④222222212121212121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++⋅++++>=<夹角公式：||||cos 2121n n n n ⋅=θ距离公式：||||n n AB CD d == 【例】已知两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ； （2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （3）求点P 到面QAD 的距离．简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，，，，，，1cos 3AQ PB AQ PB AQ PB<>==，． 所求异面直线所成的角是1arccos 3．（3）由（2）知，点(022(22220)(004)D AD PQ -=--=-，，，，，，，，设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得200x z x y +=+=⎪⎩，，取x ＝1，得(112)-，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==n n．立体几何证明经典习题平行题目1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.2、如图（1），在直角梯形P1DCB中，P1D//BC，CD⊥P1D，且P1D=8，BC=4，DC=46，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置（如图（2）），使二面角P—CD—B成45°，设E、F分别是线段AB、PD的中点.求证：AF//平面PEC；垂直题目3、如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．4、如图2，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD向量法解立体几何题目5、在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1．已知2AB=，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝3π．求二面角A－EB1－A1的平面角的正切值．立体几何证明经典习题答案1、证明：如图，连结AC交BD于点O.∵ABCD是平行四边形，∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，且O Q是△APC的中位线，∴PC∥O Q.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.2、证明：如图，设PC中点为G，连结FG，1CD=AE，则FG//CD//AE，且FG=2∴四边形AEGF是平行四边形∴AF//EG，又∵AF⊄平面PEC，EG⊂平面PEC，∴AF//平面PEC3、证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．∵平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC．又∵BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC．∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ， ∴BC ⊥平面PAC ．4、证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥．∵AD BD =，（等腰三角形三线合一） ∴DF AB ⊥． 又CFDF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BEAB B =，∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥． ∵AH CD ⊥，AH BE ⊥， CD BE E =，∴ AH ⊥平面BCD ．5、以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系．由于BC ＝1，BB 1＝2，AB BCC 1＝3π，∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、AB 1（０，2，０）、102c ⎫-⎪⎪⎝⎭，、1302C ⎫⎪⎪⎝⎭，，．设0E a ⎫⎪⎪⎝⎭，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1，得10EA EB =，即3202a a ⎛⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，， 233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即12a =或32a =（舍去）．故1022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，． 由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角．因11(00B A BA ==，122EA ⎛=-- ⎝ 故11112cos 3EA B A EA B A θ==，即tan θ=。
高考立体几何证明知识点
高考立体几何证明知识点立体几何是数学中的一个重要分支，旨在研究空间中的图形和物体的性质及其相互关系。
在高考中，立体几何是一个重要的考点，其中涉及到很多证明题。
本文将介绍几个高考常见的立体几何证明知识点，帮助考生更好地理解和掌握这些内容。
一、平行关系证明在立体几何中，平行关系是经常需要证明的一个知识点。
首先，我们需要了解平行的定义：若两条直线在同一个平面内，且不相交，则称这两条直线平行。
为了证明两条直线平行，我们可以利用以下几个常见的方法：1.同位角相等法：如果两条直线被平行线所截，那么可以利用同位角的性质来确定这两条直线平行。
同位角是指两条直线被平行线所截时，对应角或内错角两对角，它们的度数相等。
在证明过程中，我们需要找到直线间的对应角或内错角，将它们的度数相等证明出来，从而得出两条直线平行的结论。
2.共线错角相等法：如果两条直线被平行线所截，可以利用共线错角相等的性质来确定这两条直线平行。
共线错角是指两条直线被平行线所截时，同侧的内错角，它们的度数相等。
在证明过程中，我们需要找到两条直线间的共线错角，将它们的度数相等证明出来，从而得出两条直线平行的结论。
二、相似三角形证明相似三角形是立体几何中另一个重要的证明知识点。
首先，我们需要了解相似三角形的定义：若两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是相似的。
证明相似三角形的方法主要有以下几个：1.对应边成比例法：若两个三角形的两对对应边成比例，那么可以证明这两个三角形相似。
在证明过程中，我们需要找到两个三角形中对应的边，并运用对应边成比例的性质来证明它们相似。
2.三角形内相等角法：若两个三角形中，其中一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角相等，那么可以证明这两个三角形相似。
在证明过程中，我们需要找到这两个相等的角，并证明它们与其他角的关系，从而得出两个三角形相似的结论。
三、垂直关系证明垂直关系也是立体几何中常见的一个证明知识点。
首先，我们需要了解垂直的定义：两条直线或线段在平面或空间中互相垂直，即两条直线或线段相交且相交的角度为90度。
高考数学立体几何中与角有关的四大定理及其证明
则 cosθ = cos2β + cos2γ - 2cosαcosβcosγ sinα
证明：设 ∠HAC = θ1,∠HAB = θ2 ⇒ α = θ1 + θ2,
由三余弦定理得：
cos β cosγ
= =
cosθ cosθ
cosθ1 cosθ2
① ②
由①和②得 cosθ = cosβ = cosγ ③ cosθ1 cosθ2
α
Aβ
γ
P α : 线面角 β : 斜线角 γ : 射影角 则 cosβ = cosαcosγ ⇒ β > α,β > γ
Q
B
证明：cosβ =
AB PA
,cosα =
QA PA
,cosγ =
AB QA
⇒ cosβ = cosαcosγ
·1·
3. 三夹角公式
P
θ
Aβ
γ
α
C H
B
若 θ 为 PA 与平面 ABC 的夹角
⋅
HO BO
AH AO
⋅
BH BO
= cosθ - cosθ1cosθ2 sinθ1sinθ2
注：若 φ =
π 2
,
则该定理退化为三余弦定理
·3·
立体几何中与角有关的四大定理及其证明
1. 三正弦定理
β α
A
γ
B
P
α : 线面角 β : 线棱角 γ : 二面角 则 sinα = sinβsinγ Q ⇒ α ≤ β,α ≤ γ
证明：sinα =
PQ PA
,sinβ =
PB PA
,sinγ =
PQ PB
⇒ sinα = sinβsinγ
立体几何常见证明方法
立体几何方法归纳小结一、线线平行的证明方法1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。
2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A ，过a的平面B与平面A相交于b ，则a//b。
3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a//b 。
4、根据面面平行的性质定理，若平面A//平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线a与直线b，则a//b 。
二、线面平行的证明方法1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。
2、根据线面平行的判定定理，若平面A内存在一条直线b与平面外的直线a平行，则a//A 。
(用相似三角形或平行四边形)3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。
三、面面平行的证明方法1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。
2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。
或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。
3、垂直同一直线的两平面平行。
4、平行同一平面的两平面平行。
四、两直线垂直的证明方法1、根据定义,证明两直线所成的角为90°2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).五、线面垂直的证明方法1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线垂直,则直线垂直于平面.2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面.3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个.4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.六、面面垂直的证明方法1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。
高中立体几何证明方法及例题
1.空间角与空间距离在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。
2.立体几体的探索性问题立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。
近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。
对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。
对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。
（一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。
1.线线、线面、面面平行关系的转化：面面平行性质α//βαI γ=a ,βI γ⎫⎬⇒a =b ⎭//baa //b⎫⎬ba ⊄α,b ⊂α⎭α⇒a //αa ⊂α,b ⊂αAb a I b =Aαaa //β,b //ββ⎫⎪⎬⎪⎭(a//b,b//c线线∥⇒a //c)公理4线面平行判定线面平行性质线面∥⇒α//β面面平行判定1面面∥面面平行性质面面平行性质1α//γ⎫β//γ⎭⎫⎪a ⊂β⎬αI β=b ⎪⎭a //α⇒a //bα//β⎫a ⊂α⎭⎬⎬⇒α//β⇒a //β2.线线、线面、面面垂直关系的转化：⎫⎪a Ib =O ⎬l ⊥a ,l ⊥b ⎪⎭a ,b ⊂α⇒l ⊥α⎫⎬⇒α⊥βa ⊂β⎭a ⊥α面面⊥三垂线定理、逆定理线线⊥PA ⊥α,AO 为PO 在α内射影a ⊂α则a ⊥OA ⇒a ⊥PO a ⊥PO ⇒a ⊥AOl ⊥α线面垂直判定1线面垂直定义线面⊥α⊥β面面垂直判定面面垂直性质，推论2⎫⎬a ⊂α⎭⇒l ⊥a⎫⎪αI β=b ⎬⇒a ⊥αa ⊂β,a ⊥b ⎪⎭α⊥γβ⊥γαI β⎫⎪⎬⇒a ⊥γ=a ⎪⎭面面垂直定义αI β=l ，且二面角α-l -β⎫成直二面角⎬⇒α⊥β⎭3.平行与垂直关系的转化：a //b ⎫a ⊥αa ⊥α⎫⇒b ⊥αa⎬⎭⎬⇒αa ⊥β⎭//β线线∥线面垂直判定2线面垂直性质2a ⊥α⎫线面⊥面面平行判定2面面平行性质3面面∥⎬⇒a //b b ⊥α⎭α//β⎫a ⊥α⎬a ⊥β⎭4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。
立体几何证明方法汇总精编WORD版
立体几何证明方法汇总精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】① 中位线定理例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．（１）求证：GH ∥平面CDE ；（２）若2,CD DB ==F-ABCD 的体积．练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。
求证：AC 1∥平面CDB 1；2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。
（1）求证：//1BD 平面DE C 1；（2）求三棱锥BC D D 1-的体积.3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。
（1）证明：//PA BDE 平面；（2）求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。
例2、 如图, 在矩形ABCD 中,2AB BC = , ,P Q 分别为线段,AB CD 的中点, EP ⊥平面ABCD .求证: AQ ∥平面CEP ；（利用平行四边形）A 1C _H_G_D_A_B_CEFACDGPAB CDFEABCDEF练习：①如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。
求证：AF ∥平面PCE ；②如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，ABCD 平面PD ⊥，M ，N分别是AB ，PC 中点。
求证：//PAD MN 平面 ③ 如图，已知AB?平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点.⑴求证：AF//平面BCE ；④、已知正方体ABCD-1111D C B A ，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：//1O C 面11AB D ．③比例关系例题3、P 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是PB 、BC 上的点，且NCBN PM BM =,求证：MN//平面PCD(利用比例关系)练习：如图，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ，=4,=2,=1AB AE EF .（Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =,求证：//EM 平面FBC ；④面面平行-线面平行例题4、如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2。
高三立体几何证明知识点
高三立体几何证明知识点立体几何是高中数学中的重要部分，它研究的是三维空间中的几何图形及其性质。
在高三阶段，同学们需要掌握并运用一些立体几何的证明知识点。
本文将介绍一些常见的高三立体几何证明知识点，并探讨它们的证明方法和应用。
一、平行关系的证明在立体几何中，平行关系的证明是十分常见的。
平行关系的证明方法有多种，下面我们将介绍两种常用的方法。
1. 使用平行线性质在平面几何中，我们学过平行线的性质，这些性质同样适用于立体几何中的平行关系。
例如，当两个平面分别与第三个平面垂直时，它们之间的交线就是平行于第三个平面的直线。
通过运用平行线的性质，我们可以进行平行关系的证明。
2. 使用对称性对称性是立体几何中常用的证明方法之一。
当我们需要证明两条线段平行时，可以通过构造一条第三条线段，并证明这三条线段关于某个轴线的对称性。
通过利用对称性，我们可以得出两条线段平行的结论。
二、相似关系的证明相似关系是立体几何中另一个重要的概念。
相似关系的证明方法也有多种，下面我们将介绍两种常用的方法。
1. 利用比例关系相似三角形的三个对应边的比例相等。
根据这个性质，我们可以通过计算两个三角形的对应边之间的比值来证明它们的相似关系。
具体而言，我们可以利用距离比例和角度比例来求解相似三角形之间的比例关系，并进而得出它们相似的结论。
2. 使用旋转和平移旋转和平移是几何中常用的操作方法。
在证明相似关系时，我们可以通过将一个图形旋转或平移后与另一个图形重合，来证明它们的相似关系。
通过旋转和平移，我们可以使得两个图形具有相同的形状，从而得出它们相似的结论。
三、垂直关系的证明垂直关系是立体几何中常见的关系之一。
证明两条线段垂直的方法有多种，下面我们将介绍两种常用的方法。
1. 使用垂直线性质在几何中，我们学过垂直线的性质，例如，垂直线的斜率乘积为-1。
当我们需要证明两条线段垂直时，可以通过计算它们的斜率，并验证乘积是否为-1。
通过运用垂直线的性质，我们可以得出两条线段垂直的结论。
立体几何常见证明方法
立体几何常见证明方法在几何学中，立体几何是研究物体在三维空间中的形状、大小、位置和相互关系的分支。
在证明一个立体几何问题时，我们通常需要运用一些常见的证明方法来得出结论。
本文将介绍几种常见的立体几何证明方法。
一、平行四边形面积证明法平行四边形面积证明法是一种常见的证明方法。
对于一个平行四边形，我们可以通过证明它的底边乘以高得到的面积与对角线的乘积相等来验证其正确性。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 画出平行四边形的底边和高线；2. 证明底边乘以高得到的面积等于对角线的乘积。
可以通过运用三角形的面积公式和勾股定理进行证明。
二、等腰三角形证明法等腰三角形证明法是另一种常见的证明方法。
对于一个等腰三角形，我们可以通过证明其底边上的两个角相等来验证其正确性。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 画出等腰三角形；2. 证明底边上的两个角相等。
可以通过等腰三角形的定义进行证明，即等腰三角形的两边相等，所以其对应的两个角也相等。
三、垂直证明法垂直证明法是证明两条线垂直的常见方法。
它通常基于垂直线的特性，如垂直线的斜率之积为-1等。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 给定两条线段；2. 证明两条线段所在的直线的斜率之积为-1。
可以通过计算两条线段的斜率，然后对其进行运算得出结论。
四、相似三角形证明法相似三角形证明法常用于证明两个或多个三角形之间的相似关系。
它基于相似三角形的一些性质，如对应角相等、对应边成比例等。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 给定两个或多个三角形；2. 证明对应角相等或对应边成比例，以确定两个或多个三角形之间的相似关系。
五、共面证明法共面证明法常用于证明多个点是否处于同一个平面上。
它基于共面点的一些性质，如共线的三个点必然共面等。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 给定多个点的坐标或描述；2. 证明这些点共面。
可以通过计算这些点的坐标或应用共线点的条件来证明。