定积分习题讲解
第四部分 定积分
[选择题]
容易题1—36，中等题37—86，难题87—117。
1．积分中值定理?-=b
a a
b f dx x f ))(()(ξ，其中（ ）
。 (A) ξ是],[b a 内任一点；
(B). ξ是],[b a 内必定存在的某一点； (C). ξ是],[b a 内唯一的某一点； (D). ξ是],[b a 的中点。
答B
2．???????=≠?=0
,0,)()(2
x c
x x dt t tf x F x
,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （ ）
。 (A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c . 答A
3．a dx x
x I a
n n n (,1sin lim ?=+∞→为常数）由积分中值定理得?=+a n n
a dx x x ξξ1sin 1sin ，则
=I （ ）。 (A)a
a a a a
n 1
sin
1
sin
lim 1
sin
lim 2==→∞
→ξ
ξξ
ξξ; (B).01
sin
lim 0
=→ξ
ξa ;
(C).a a =∞
→ξ
ξξ1
sin
lim ;
(D).∞=∞
→ξ
ξξ1
sin
lim a .
答C
4．设)(x f 在],[b a 连续，?=x
a dt t f x )()(?，则（ ）
。 (A).)(x ?是)(x f 在],[b a 上的一个原函数； (B). )(x f 是)(x ?的一个原函数;
(C). )(x ?是)(x f 在],[b a 上唯一的原函数; (D).)(x f 是)(x ?在],[b a 上唯一的原函数.
答A
5．设0)(=?b a dx x f 且)(x f 在],[b a 连续，则（ ）
。 (A).0)(≡x f ;
(B).必存在x 使0)(=x f ；
(C).存在唯一的一点x 使0)(=x f ； (D).不一定存在点x 使 0)(=x f 。
答B
6．设?=a dx x f x I 023)( (0.>a ), 则（ ）。 (A).?=2
0)(a dx x xf I ;
(B).?=a dx x xf I 0)(;
(C).?=2
0)(21a dx x xf I ; (D).?=a
dx x xf I 0)(21.
答 C
7．=-+?-11
21)1(dx x x ( )
（A ）π （B ）
2
π
（C ）π2 （D ）
4
π
答（A ）
8．设?????
<≤=其余0
3sin )(ππx x
x f ，则=?π0
2cos )(xdx x f ( ) （A ）4
3 （B ）4
3-
（C ）1 （D ）－1
答（B ）
9．设]1,0[C f ∈，且2)(1
=?dx x f ，则=?
20
22sin )(cos π
xdx x f ( )
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）1
答（A ）
10．定积分的值与哪些因素无关？( ) (A) 积分变量。 (B) 被积函数。 (C) 积分区间的长度。 (D) 积分区间的位置。 答 A
11．闭区间上的连续函数当然是可积的。假如在该区间的某个点上改变该函数的值，即出现 一个有限的间断点，问结果如何？( ) (A) 必将破坏可积性。 (B) 可能破坏可积性。
(C) 不会破坏可积性，但必将改变积分值。 (D) 既不破坏可积性，也不影响积分值。 答 D
12．定积分的定义为∑?=→?=n
i i i b
a x f dx x f 1
)(lim )(ξλ，以下哪些任意性是错误的？
( )
(A) 随然要求当0max →?=i i
x λ时，i i
i x f ?∑)(ξ的极限存在且有限，但极限
值仍是任意的。
(B) 积分区间],[b a 所分成的分数n 是任意的。
(C) 对给定的份数n ，如何将],[b a 分成n 份的分法也是任意的，即除区间端点
n x b x a ==,0外，各个分点121-<< (D) 对指定的一组分点，各个],[1i i i x x -∈ξ的取法也是任意的。 答 A 13．?20 2sin π dx x dx d 等于( ) （A ） 0 （B ） 1 （C ） 1- （D ） 2 π 答 A 14．定积分 dx x x ?-π0 3sin sin 等于( ) （A ） 34 （B ） 0 （C ） 32 （D ） 23 答 A 15．定积分 dx x x ? -π0 3cos cos 等于( ) （A ） 0 （B ） 2 3 （C ） 34 （D ） 34 - 答C 16．定积分?-20 |cos sin |π dx x x 等于( ) （A ） 0 （B ） 1 （C ） 12+ （D ） )12(2- 答D 17．定积分dx x x ?-2 223}1,,max {等于( ) （A ） 0 （B ） 4 （C ） 316 （D ）12 97 答 D 18．当 0→x 时，函数 dt t x f x ? =sin 0 2tan )( 是x 的( ) （A ） 1阶无穷小量 （B ） 2阶无穷小量 （C ） 3阶无穷小量 （D ） 4阶无穷小量 答 C 19．设)(x f 在],[a a -上连续且为奇函数，?=x dt t f x F 0)()(，则（ ）。 （A ）)(x F 是奇函数； （B ）)(x F 是偶函数； （C ）)(x F 是非奇非偶函数； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都不对。 答B 20．设)(x f 在],[b a 上连续，且?=b a dx x f 0)(，则（ ）。 （A ）在],[b a 的某个子区间上，0)(=x f ； （B ）在],[b a 上，0)(≡x f ； （C ）在],[b a 内至少有一点c ，0)(=c f ； （D ）在],[b a 内不一定有x ，使0)(=x f 。 答C 21．设)(x f 在],[b a 上连续，且?=b a dx x f 0)(，则?=b a dx x f 0)]([2（ ）。 （A ）一定成立； （B ）一定不成立； （C ）仅当f 单调时成立； （D ）仅当0)(≡x f 时成立。 答D 22．dx x x x ?+-2 232=( ) (A) )22(154 + (B) )22(154 +- (C) 52 8324- (D) 5 2 8324+- 答 A 23．设dx x I b a ?=,则I =( ) (A) )(22a b -- (B) )(22a b - (C) ))(21 a a b b - (D) ))(21 a a b b -- 答 C 24．设,2arcsin )(,)1ln()(2 02 dt t x g dt t x f x x ??=+=则当0→x 时,)(x f 是)(x g 的( ) (A) 同阶无穷小,但不等价 (B) 等价无穷小 (C) 低价无穷小 (D) 高价无穷小 答 D 25．?-=x t tdt e x F 0 ,cos )(则)(x F 在],0[π上有( ) (A) )2(πF 为极大值,)0(F 为最小值 (B) )2 (π F 为极大值,但无最小值 (C) )2(πF 为极小值,但无极大值 (D) )2(π F 为最小值,)0(F 为最大值 答 A 26．设?=x dt t f x F 0 )()(,则=?)(x F ( ) (A) dt t f t t f x ?-?+0 )]()([ (B) x x f ?)( (C) ??-?+x x x dt t f dt t f 0 )()( (D) ??-?+x x t f t t d t f 0 )()()( 答 C 27．?+x x dt t dx d ln 2)1ln(=( ) (A) )21ln(2)ln 1ln(1 x x x +-+ (B) )21ln()ln 1ln(1 x x x +-+ (C) )21ln()ln 1ln(x x +-+ (D) )21ln(2)ln 1ln(x x +-+ 答 A 28．?????????>=<-=?x x dt t x x x x x x f 0 2 20 cos 101 )cos 1(2 )(,则)(x f 在0=x 点( ) (A) 连续,但不可导 (B) 可导,但导函数不连续 (C) 不连续 (D) 导函数连续 答 D 29．设??==x e x e tdt I dt t I 221ln ,ln ),0(>x 则( ) (A) 对一切的,e x ≠有21I I < (B) 对一切的,e x ≠有21I I ≥ (C) 仅当e x >时, 21I I < (D) 仅当e x <时, 21I I < 答 C 30．下列积分中不为零的是( ) (A) dx x x ? -+2 2 10 1sin π π (B) dx x x ? -+π π 2sin cos (C) dx x x x )arcsin(11ln 22 1 21 ? --+ (D) ? -++2 2 2sin 1cos )1(π π x x x 答 D 31．下列运算正确的是( ) (A) 22ln sin ln cot 42 4 2 -= =-- --?ππ ππ x xdx (B) 22ln sin ln cot 24 2 4 = =- -?π π π π x xdx (C) 2 1arctan 1arctan 11 1 1 π = =--? x dx x dx d (D) 02tan arctan 21tan 2sec 20 202==+?ππ x dx x x 答 A 32．曲线1),0(,12=≥=+=y x x y x y 与x 轴所围的面积等于( ) (A) 67 (B) 32 (C) 21 (D) 34 答 A 33．=+?-1 11dx e e x x ( ) (A) 1- (B) e e +-11 (C) e e -+11 (D) 1- 答(A) 34．设??==e e xdx I xdx I 1 221 1ln ,ln ，则 (A)0212=-I I (B) 0212=-I I (C) e I I =+122 (D) e I I =-122 答(C) 35．定积分?=--b a dx b x a x ))((( ) (A)6 )(3a b - (B) 6)(3 b a - (C) 3)(3 a b - (D)6 33a b - 答(B) 36．=?--2 22 dx e x （ ） (A) ?--2 224 du e u (B) ?--22 dt e t (C) ?-0 22 2dx e x (D) ?--0 2 2 2dx e x 答(D) 37．函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上可积的 （ ） (A ) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D) 无关条件 答B 38．设函数)(x f 在],[a a -上连续，则?-a a dx x f )(恒等于 （ ） (A ) ?a dx x f 0)(2 ( B ) 0 (C ) ?-+a dx x f x f 0)]()([ (D ) ?--a dx x f x f 0)]()([ 答C 39．设)0(cos ,)1(,sin 3 23322 >?=-?=?=---a dx x Q dx e x P xdx x N a a a a x a a 则 （ ） (A ) Q P N ≤≤ (B ) P Q N ≤≤ (C) N P Q ≤≤ (D ) Q N P ≤≤ 答D 40．设函数)(x f 在),(+∞-∞上是可积函数，则?=x a dt t f x F )()(是 （ ） (A ) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C ) 可能是奇、也可能是偶函数 (D ) 非奇、非偶函数 答A 41．设函数)(x f 是连续函数，且?=t s dx tx f t I /0)(，其中0≠t 则I （ ） (A ) 依赖于s 与t ； (B ) 依赖于s ，不依赖于t ； (C ) 依赖于t ，不依赖于s ； (D ) 不依赖于s 与t 。 答B 42．曲线x e y =与其过原点的切线及y 轴所围成的面积为 ( ) (A )?-10)(dx ex e x ( B) ?-e dx y y y 1)ln (ln (C )dx xe e e x x )(1?- ( D ) ?-10)ln (ln dx y y y 答A 43．()1(212=+?dt t t dx d x ） (A ) x x +12 (B ) 212-+x x (C ) 241x x + ( D ) 2512x x + 答D 44．下述结论错误的是 （ ） (A ) dx x x ?+∞ +0 21 发散 ( B ) dx x ?+∞+0 211收敛 (C ) 012=?+∞+∞ -dx x x ( D ) dx x x ?+∞+∞-2 1发散 答C 45．设x x e x dt t f )1()(0+=?，则=?dx x x f e 1) (ln （ ） (A ) e - ( B) 0 (C ) e (D) e 2 答D 46．设)(x f '在]2,1[上可积，且?-===211)(,1)2(,1)1(dx x f f f 则 ?'21)(dx x f x =（ ） (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 1- 答A 47．设? =x dt t t x f 50 sin )(， ?+=x t dt t x sin 01 )1()(?，当0→x 时，)(x f 是)(x ?的( ) （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶但不等价的无穷小 （D ）等价无穷小 答（C ） 48．设b a ,为任意实数，)(x f 为连续函数，且)()(x a f x a f +-=-. 则 =-? -b b dx x a f )(( ) （A ）?b a dx x f )( （B ）? -a b dx x f 0 )(2 （C ）?-b dx x a f 0 )(2 （D ）0 答（D ） 49． 设)(x f 为已知单调连续函数，)(x g 为)(x f 的反函数，则 =?)(0sin ) (x f tdt t t g dx d ( ) （A ） )())(sin() (x f x f x x f ' （B ） ))(sin() (x f x f x （C ）)())(sin() (x f x f x f x ' （D ）)() (sin x f x f x x '? 答（C ） 50．设?+=1 011dx x x I ，?+=10 2)1ln(dx x I ，则( ) （A ）21I I < （B ）21I I > （C ）21I I = （D ）不确定 答（B ） 51．),0[1∞∈C f ，)(x g 为)(x f 的反函数，且满足)8(3 1 )(23 )(1 -=?x dt t g x f ，则 ),0[∞上的=)(x f ( ) （A ） x 1 （B ） x 21 （C ）x 2 （D ）x 答（B ） 52.)(x f 在],[b a 上连续且?=b a dx x f 0)(,则( ) (A) 在],[b a 的某个小区间上0)(=x f (B) 在],[b a 上0)(≡x f (C) 在],[b a 内至少有一点,x 使0)(=x f (D) 在],[b a 内不一定有,x 使0)(=x f 答 C 53．)(x f 在],[b a 上连续且?=b a dx x f 0)(,则( ) (A) ?=b a dx x f 0)]([2一定成立 (B) ?=b a dx x f 0)]([2一定不成立 (C) ?=b a dx x f 0)]([2仅当)(x f 单调时成立 (D) ?=b a dx x f 0)]([2仅当0)(=x f 时成立 答 D 54．设?? ?? ?≤≤≤ ≤=1 2 1021 01 )(x x x f ,则?=1 0)()(dx x f f ξ,其中ξ的情况是( ) (A) 在]1,0[内至少有一点ξ,使该式成立 (B) 不存在]1,0[内的点ξ,使该式成立 (C) 在]1,21 [],21,0[都存在ξ,使该式成立 (D) 在]21 ,0[中存在ξ,使该式成立 答 B 55．设)(x f 为连续函数,?=t s dx tx f t I 0 )(,其中,0,0>>s t 则I 的值( ) (A) 依赖于s 和t (B) 依赖于s ,x 和t (C) 依赖于x 和t ,不依赖于s (D) 依赖于s ,不依赖于t 答 D 56．设? --=1 1 2 1x xdx I ,则下列说法中不正确的是( ) (A) 可以令t x sin =,0sin 2 2 == ?- dt t I π π (B) 可用凑微分法求得01) 1(211 122=---=?- x x d I (C) 因为在1±=x 点)(x f 无界,所以不能用变量代换 (D) 因为广义积分收敛,利用奇函数在对称区间上积分性质知为零. 答 C 57．设)(x f 有连续导数，0)0(=f ，0)0(≠'f ，?+=x dt t f t x F 02)()1()(，且当 0→x 时，)(x F '与k x 是同阶无穷小量，则k =（ ）。 （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4． 答C 58．设在闭区间[a,b]上有：0)(>x f ，0)(<'x f ，0)(>''x f ，记?=b a dx x f s )(1， ))](()([21 ),)((32a b b f a f s a b b f s -+=-=则（ ）。 （A ）321s s s <<； （B ）312s s s <<； （C ）213s s s <<； （D ）132s s s <<。 答B 59．设dx x dx x x F x x ??+++=1 0202 1111)(，则=)(x F （ ）。 （A ）0； （B ）x arctan 2； （C ）x arctan ； （D ） 2π。 答D 60．设)(x f 是连续函数，且240 2)(x dx x f x =?-，则)4(f =（ ）。 （A ）4； （B ）31 ； （C ）21； （D ）1． 答D 61．下列广义积分收敛的是（ ） （A ）? ∞ +e dx x x ln ； （B ）?∞+e x x dx ln ； （C ）? ∞ +e x x dx 2 ) (ln ； （D ）? ∞ +e x x dx 2 1) (ln 。 答C 62．设)(x f ,)(x g 在],[b a 上连续，且??>b a b a dx x g dx x f )()(，则( ) ??>b a b a dx x g dx x f |)(||)(|（ ）。 （A ）一定成立； （B ）当0)( （D ）仅当0)(>x f ，0)(>x g 时，才成立。 答C 63．设?? ?<≤<≤=2 11 0)(2 x x x x x f ，?=x dt t f x F 0 )()(，则)(x F 在（ 0，2 ）上（ ）。 （A ）有第一类间断点； （B ）有第二类间断点； （C ）有可去型间断点； （D ）连续。 答D 64．下面命题中错误的是（ ）。 （A ）若)(x f 在),(b a 上连续，则?b a dx x f )(存在； （B ）若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必有界； （C ）若)(x f 在],[b a 上可积，则|)(|x f 在],[b a 上必可积； （D ）若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上必可积； 答A 65．下面命题中正确的是（ ）。 （A ）若],[],[b a d c ?，则必有?d c dx x f )(≤?b a dx x f )(； （B ）若|)(|x f 可积，则)(x f 必可积； （C ）若)(x f 是周期为T 的函数，则对任意的实数a 有=? +T a a dx x f )(?T dx x f 0 )(； （D ）若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在),(b a 内必有原函数。 答C 66． 已知)(x f 连续，则?='-x a dt t f t x dx d )()(（ ）。 （A ）)0()(f x f -； （B ）)()(a f x f -； （C ）)(x f ； （D ）0． 答B 67．设)(x f ，)(x g 在区间],[b a 上连续，且m x f x g <<)()(（m 为常数），则曲线a x x f y x g y ===),(),(及b x =所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（ ） （A ）?-+-b a dx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π （B ）?---b a dx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π （C ）?-+-b a dx x g x f x g x f m )]()()][()([π （D ）?---b a dx x g x f x g x f m )]()()][()([π 答B 68．设)(x f 为已知的连续函数，?=t s dx tx f t I 0 )( ，其中0,>t s ，则I 的值 (A) 依赖于.,t s (B) 依赖于x t s ,, (C) 依赖于x t ,，不依赖于.s (D) 依赖于,s 不依赖于.t 答 D 69．设 ,)(,)(, 122 43222 4 3 224 2???- - --=+=+=π ππ πππdx x Cos x Sin x P dx x Cos x Sin N dx x Cos x Sinx M 则有 （Ａ）Ｎ.M P << （Ｂ）Ｍ.N P << （Ｃ）P M N <<。 （Ｄ）N M P <<。 答 D 70．设dt t t x x F x ?+=20 2cos 1sin )(，则=dx dF （A ） x x x 2 cos 1sin + (B) 2 22 2cos 1sin x x x + (C) 2 22 cos 1sin x x x + (D) 2 222 2cos 1sin 2cos 1sin x x x dx x x +++? 答 D 71．则设)0() 0(0 1{ )(2 2=≠=x x x Sin x x F ( ) ;]1,1[)().(上不可导在-x F A ;]1,1[)().(上可导在-x F B ;]1,1[)().(上可积在-'x F C ;]1,1[)()(上连续在-'x F D 答 B 72．设)(x f 在[a ,b ]上可积,则变上限定积分=)(x g ? x a dt t f )(=( ) (A)在],[b a 上可导. (B) 是f(x)一个原函数. (C) 不是f(x)一个原函数. (D) 不一定是f(x)一个原函数. 答 D 73．在],[b a 上要从)(x f 连续推断0)(≡x f ，应附加什麽条件？( ) (A) ],[,0)(max b a x x f ∈= (B) ],[,0)('b a x x f ∈≡ (C) ],[b a 上任两点之间都有0)(=x f 的根。 (D) 0)(=?b a dx x f . 答 C 74．在不计算积分值的情况下，对上界的最佳估计是( ) (A) 54 ≤I (C) 1 75．)(x f 在],[b a 上的哪些性质?=x a dt t f x F )()(也具备？( ) (A) 有界性 (B) 单调性 (C) 奇偶性 (D) 周期性 答 A 76．=?x x dt t f dx d 2)(( ) (A) ? x x dt t f 2)(' (B) )()2(x f x f - (C) )()2(x f x f + (D) )()2(2x f x f - 答 D 77．在dt t t xdx x ?=?2010 sin 21arctan 1π中，所做的变换是=x ( ) (A) 2 tan t (B) t tan (C) t sin (D) t cos 答 A 78．定积分 xdx x n ?1 ln 等于( ) （A ） 112!)1(++-n n n （B ） n n n 2! )1(- （C ） ! 2)1(n n n - （D ） 12!)1(+-n n n 答 D 79．设函数 ]1,0[C f ∈， 则 ?π )(sin dx x xf =( ) （A ） ?20 )(sin π πdx x f （B ） ?20 )(sin 2π dx x f 定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =． 不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx 定积分典型例题 例1 求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各 项．于是将所求极限转化为求定积分．即 3321lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=03 4 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ? 等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π． 例18 计算 2 1 ||x dx -? ． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1 ||x dx -? ＝02 1 ()x dx xdx --+?? ＝220210[][]22x x --+＝5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算 2 20 max{,}x x dx ? ． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212 ()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717 max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且1 ()3()f x x f t dt =+? ，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分 ()b a f x dx ? 是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而 1 ()f t dt ? 是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且1 1 (3)()x a dx f t dt a +==??． 所以 不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则： 2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.dx x )5(1 22-?=（ ） A.233 B. 31 C.3 4 D ．83 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分 【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。 【解析】dx x )5(122-?=123153x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A 、 B 、 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函 数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由? ??==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--， 所以()4 81034129942303 =??? ??-=-=?x x dx x x S ，故选D. 3.2 2-?2412x x -+dx =（ ） A.π 4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分 【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。 【解析】设y =2412x x -+,即(x -2)2+y 2=16(y ≥0).∵2 2-?2412x x -+dx 表示以4为半径的圆的四分之一面积.∴2 2-?2412x x -+dx =π4. 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A 设定v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B 设定在A 的正前方5 m 处，同时以v 第四部分 定积分 [选择题] 容易题1—36，中等题37—86，难题87—117。 1．积分中值定理?-=b a a b f dx x f ))(()(ξ，其中（ ） 。 (A) ξ是],[b a 内任一点； (B). ξ是],[b a 内必定存在的某一点； (C). ξ是],[b a 内唯一的某一点； (D). ξ是],[b a 的中点。 答B 2．???????=≠?=0 ,0,)()(2 x c x x dt t tf x F x ,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （ ） 。 (A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c . 答A 3．a dx x x I a n n n (,1sin lim ?=+∞→为常数）由积分中值定理得?=+a n n a dx x x ξξ1sin 1sin ，则 =I （ ）。 (A)a a a a a n 1 sin 1 sin lim 1 sin lim 2==→∞ →ξ ξξ ξξ; (B).01 sin lim 0 =→ξ ξa ; (C).a a =∞ →ξ ξξ1 sin lim ; (D).∞=∞ →ξ ξξ1 sin lim a . 答C 4．设)(x f 在],[b a 连续，?=x a dt t f x )()(?，则（ ） 。 (A).)(x ?是)(x f 在],[b a 上的一个原函数； (B). )(x f 是)(x ?的一个原函数; (C). )(x ?是)(x f 在],[b a 上唯一的原函数; (D).)(x f 是)(x ?在],[b a 上唯一的原函数. 答A 5．设0)(=?b a dx x f 且)(x f 在],[b a 连续，则（ ） 。 (A).0)(≡x f ; (B).必存在x 使0)(=x f ； (C).存在唯一的一点x 使0)(=x f ； (D).不一定存在点x 使 0)(=x f 。 答B 6．设?=a dx x f x I 023)( (0.>a ), 则（ ）。 (A).?=2 0)(a dx x xf I ; (B).?=a dx x xf I 0)(; (C).?=2 0)(21a dx x xf I ; (D).?=a dx x xf I 0)(21. 答 C 7．=-+?-11 21)1(dx x x ( ) 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ? 定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ． 例18 计算2 1 ||x dx -?． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1||x dx -?＝0 2 10()x dx xdx --+??＝220210[][]22x x --+＝5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且10 ()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10 ()f t dt ?是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且11 (3)()x a dx f t dt a +==??． 定积分练习题 一．选择题、填空题 1 p 2 p 3 p ....... n p 1．将和式的极限 lim P 1 ( p 0) 表示成定积分 n n 1 1 1 p dx 1 1 p dx 1 x p dx A ． dx B ． x C ． ( ) D ． () x 1 1 0 1 0 x 0 n 2．将和式 lim ( ......... ) 表示为定积分 n n 1 n 2 2n 3．下列等于 1 的积分是 1 xdx B ． 1 1)dx 1 1dx 1 1 A ． ( x C ． D ． dx 2 4． 1 4 | dx = | x 2 A ． 21 B ． 22 C ． 23 D ． 25 3 3 3 3 5．曲线 y cos x, x [0, 3 ] 与坐标周围成的面积 2 C ． 5 A ． 4 B ． 2 D ． 3 2 1 e x )dx = 6． (e x A ． e 1 B ． 2e 2 D ． e 1 e C ． e e 7. 若 m 1 e x dx ， n e 1 dx ，则 m 与 n 的大小关系是（ ） 1 x （ ） ． （ ） （ ） （ ） （ ） A ． m n B ． m n C ． m n D ．无法确定 8. 9．由曲线 y x 2 1 和 x 轴围成图形的面积等于 S ．给出下列结果： 1 1 x 2 )dx ；③ 2 1 (1 x 2 )dx ． ① ( x 2 1)dx ；② (1 (x 2 1)dx ；④ 2 1 1 1 则 S 等于（ ） A ．①③ B ．③④ C ．②③ D ．②④ y x 10. (sin t cost sin t )dt ，则 y 的最大值是（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 7 D ． 0 2 17 f ( x) 11. 1 f ( x) dx 1 2 若 f ( x) 是一次函数，且 5， xf ( x)dx ，那么 dx 的值是 6 1 x ． 15．设 f (x ) sin x x f (x) cos2 xdx ( ) 3 ，则 其余 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为 第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（ -+-）2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =？ 看到1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ? 定积分的计算 班级 姓名 一、利用几何意义求下列定积分 （1）dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 （3） dx x ? 2 2-2x （4） ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算 （1）()dx ?1 7-2x （2）( ) d x ?+2 1 x 2x 32 （3）dx ?3 1 x 3 （4）dx x ?π π - sin （5）dx x ?e 1 ln （6）dx ? +1 x 112 （7）() dx x x ?+-10 2 32 （8）()dx 2 31 1-x ? （9）dx ?+1 1 -2x x 2）（ （10）( ) d x x ?+21 2x 1x （11）() dx x x ?-+1 1 -352x （12）() dx e e x x ?+ln2 x -e （13）dx x ?+π π --cosx sin ） （ （14）dx ? e 1 x 2 （15）dx x ?2 1 -x sin -2e ）（ （16）dx ?++2 1-3x 1 x x 2 （17）dx ? 2 1x 13 （18）()dx 2 2 -1x ?+ 三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。 2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 x 所围成图形的面积． 3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y ＝－x 2 ，y ＝－14 x 2 及直线y ＝－1所围成的图形的面积． 5、求函数f(x)＝???? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所 围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积 精品文档 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使 用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等． 1. 定积分的运算性质 (1) b b kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ). a a (2) b b f 1 ( x)dx b 2 ( x)dx. [ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx f a a a b c b 其中 a 不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan 3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。 第5章 定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。 A ． ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（ ）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（ ）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为 （ ）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质 1212(1)()()(). (2)[()()]()(). (3)()()()(). b b a a b b b a a a b c b a a c kf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+????????为常数其中a定积分典型例题20例答案(供参考)
不定积分练习题及答案
定积分典型例题56177
不定积分练习题及答案
2016年专项练习题集-定积分的计算
定积分习题及讲解
不定积分例题及答案
定积分典型例题11198
定积分练习题.doc
不定积分例题及答案 理工类 吴赣昌
定积分典型例题20例答案
经济数学(不定积分习题及答案)
不定积分例题及答案
高中数学定积分计算习题
定积分应用方法总结(经典题型归纳).docx
(完整版)不定积分习题与答案
定积分计算例题
定积分应用方法总结(经典题型归纳)