2015年高考理科数学试题汇编：三角函数__大题

2015年高考三角函数大题汇编
（江苏）15.（本小题满分14分）
在ABC ∆中，已知
60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长；
（2）求C 2sin 的值.
【答案】（12 【解析】
考点：余弦定理，二倍角公式
（10）（安徽）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23
x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<-
（C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-
【答案】A
考点：1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.
（福建）19．已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将
()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）
，再将所得到的图像向右平移2
p 个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；
(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ．
（1)求实数m 的取值范围；
（2)证明：2
2cos ) 1.5
m a b -=-(
【答案】(Ⅰ) f()2sin x x =，(k Z).2
x k p p =+
?；(Ⅱ)（1）(；（2）详见解析．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)纵向伸缩或平移： ()()g x kg x →或()()g x g x k →+；横向伸缩或平移：()()g x g x ω→（纵坐标不变，横坐标变为原来的1
ω倍），()()g x g x a →+(0a >时，向
左平移a 个单位；0a <时，向右平移a 个单位)；(Ⅱ) （1)由(Ⅰ)得f()2sin x x =，则
f()g()2sin cos x x x x +=+，利用辅助角公式变形为f()g()x x +)x j +（其中sin
j j =），方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ，等价
于直线y m =和函数)y x j +有两个不同交点，数形结合求实数m 的取值范围；
（2)结合图像可得+=2(
)2p a b j -和3+=2()2p a b j -，进而利用诱导公式结合已知条件求解．
试题解析：解法一：(1)将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y 2cos x =的图像，再将y 2cos x =的图像向右平移2
p 个单位长度后得到y 2cos()2
x p =-的图像，故f()2sin x x =，从而函数f()2sin x x =图像的对称轴方程为(k Z).2
x k p p =+?
(2)1) f()g()2sin cos )
x x x x x x +=+
)x j +（其中sin
j j =
） 依题意，sin(
x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解,a b 当且仅当|1<，故m
的取值范围是(-.
2)因为,a b )=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin(
a j +sin(
b j +.
当1£+=2(
),2();2p a b j a b p b j --=-+
当-时, 3+=2(),32();2
p a b j a b p b j --=-+ 所以2
222cos )cos 2()2sin ()11 1.
5m a b b j b j -=-+=+-=-=-( 解法二：(1)同解法一.
(2)1) 同解法一.
2) 因为,a b )=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin(
a j +sin(
b j +.
当1£+=2(
),+();2p a b j a j p b j -=-+即
当-时, 3+=2(),+3();2
p a b j a j p b j -=-+即 所以cos +)cos()a j b j =-+(
于是cos )cos[()()]cos()cos()sin()sin()a b a j b j a j b j a j b j -=+-+=+++++(
2
2
222cos ()sin()sin()[1] 1.
5m b j a j b j =-++++=--+=- 考点：1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式．
（湖南）17.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角》
(1)证明：2B A π
-=
（2）求sin sin A C +的取值范围
【答案】（1）详见解析；（2），98
]. 【解析】
试题分析：（1）利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为inB=sin （2π
+A ），从而得
证；（2）利用（1）中的结论，以及三角恒等变形，将C A sin sin +转化为只与A 有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解.
试题解析：（1）由a=btanA 及正弦定理，得
sin sin cos cos A b B A a B ==,所以sinB=cosA ，即sinB=sin （2π
+A ）.
又B 为钝角，因此2π
+A ∈（2π
，A ），故B=2π
+A ，即B-A=2π
；（2）由（I ）知，
C=π-（A+B ）=π-(2A+
2π)=2π-2A>0，所以A 0,4π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，于是sinA+sinC=sinA+sin （2π-2A ）= sinA+cos2A=-22sin A+sinA+1 =-2（sinA-
14）2+98，因为0<A<4π,所
以,<-22199sin 488A ⎛⎫-+≤ ⎪⎝
⎭
由此可知sinA+sinC ，98
]. 考点：1.正弦定理；2.三角恒等变形；3.三角函数的性质.
（四川）19.如图，A,B,C,D 为平面四边形ABCD 的四个内角.
（1）证明：1cos tan
;2sin A A A -= （2）若180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +=====o 求tan tan tan tan 2222
A B C D +++的值.
【答案】（1）详见解析；（2.
【解析】
试题分析：（1）首先切化弦得sin
2tan 2cos 2A
A A
=，为了将半角变为单角，可在分子分母同时乘以2sin 2
A ，然后逆用正弦与余弦的二倍角公式即可.（2）由题设知，该四边形的两对角互补.再结合（1）的结果，有tan
tan tan tan 2222A B C D +++22sin sin A B =+，所以只需求出sin ,sin A B 即可.由于已知四边，且cos cos C A =-，cos cos D B =-，故考虑用余弦定理列方程组求cos ,cos A B ，从而求出sin ,sin A B .
试题解析：（1）2sin
2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222A A A A A A A A
-===. （2）由180A C +=
，得180,180C A D B =-=- . 由（1），有tan tan tan tan 2222
A B C D +++ 1cos 1cos 1cos(180)1cos(180)sin sin sin(180)sin(180)
A B A B A B A B ------=+++-- 22sin sin A B
=+ 连结BD ，
在ABD ∆中，有222
2cos BD AB AD AB AD A =+-⋅， 在BCD ∆中，有222
2cos BD BC CD BC CD C =+-⋅， 所以 222cos AB AD AB AD A +-⋅22
2cos BC CD BC CD A =++⋅， 则2222222265343cos 2()2(6534)7
AB AD BC CD A AB AD BC CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，
于是sin A ===
. 连结AC ，同理可得
2222222263541cos 2()2(6354)19
AB BC AD CD B AB BC AD CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，
于是sin B ===. 所以tan
tan tan tan 2222A B C D +++ 22sin sin A B
=+
=+
=
. 考点：本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.。