空间向量的应用_课件
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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)
二面角的大小为
.
π4或34π 解析： cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝ 22，∴〈m，n〉＝π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或34π.
经典例题
角度1：点线距
题型一 利用空间向量求距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
则 在法向量 n 上的投影向量的长度即为异面直线 a，b 的距离，所以距离为
.
自主学习
二．空间角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它
们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
自主学习
角的分类
向量求法
范围
两异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u，v，
经典例题
题型一 利用空间向量求距离
例 2 在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，
SA＝SC＝2 3，M，N 分别为 AB，SB 的中点，如图所示．求点 B 到平面 CMN 的 距离．
取 AC 的中点 O，连接 OS，OB． ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO． ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC． 又 BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO． 又∵△ABC 为正三角形，O 为 AC 的中点，∴AO⊥BO． 如图所示，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空v>|
则 cosθ＝
|u·v| ＝ |u||v|
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
1.4 空间向量的应用 课件(可编辑图片版)(共31张PPT)
(2，－1,1)．
[方法技巧] 求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求→n 的坐标时，可令 x，y，z 中一个为一特殊值 得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意 0：提前假定法向量→n ＝(x，y，z)的某个坐标为某特定 值时一定要注意这个坐标不为 0.
解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α. 答案：l⊂α或l∥α
题型一 求平面的法向量
如图，已知 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，
SA＝AB＝BC＝1，AD＝1，试建立适当的坐标系． 2
(1)求平面 ABCD 的一个法向量； (2)求平面 SAB 的一个法向量； (3)求平面 SCD 的一个法向量．
[方法技巧] 1.在空间中，一个向量成为直线 l 的方向向量，必须具备以下 两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线 l 平行或重合． 2．与直线 l 平行的任意非零向量→a 都是直线的方向向量，且直 线 l 的方向向量有无数个． 3．给定空间中任意一点 A 和非零向量→a ，就可以确定唯一一 条过点 A 且平行于向量→a 的直线． 4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等， 因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们
3．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－
1 6
，
1 3
，－1)，n＝
(12，－1,3)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．故选D. 答案：D
4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－ 6，8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
《空间向量的应用》课件
向量的向量积运算性质
总结词：反交换律
详细描述：空间向量的向量积满足反交换律，即对于任意向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$，有$mathbf{a} times mathbf{b} = -mathbf{b} times mathbf{a}$。
向量的向量积运算性质
总结词
与数量积的分配律不兼容
数乘的性质
结合律和分配律成立，即k(a+b)=(ka)+(kb)和(k+l)a=ka+la。
向量的模与向量的数量积
向量的模的性质
非负性、正定性、齐次性、三角不等式成立 。
向量的数量积
两个向量的数量积表示它们的夹角，记作 a·b，计算公式为$|a||b|cosθ$。
数量积的性质
交换律和分配律成立，即a·b=b·a和(k a)·b=k(a·b)。
04
空间向量的坐标表示
向量的坐标表示方法
固定原点
选择一个固定的点作为原点，并确定三个互相垂直的 坐标轴。
向量表示
将向量表示为坐标系中的有序实数组，例如向量A可 以表示为[a, b, c]。
长度和方向
向量的长度可以通过其坐标的模计算，方向可以通过 其分量表示。
向量在坐标系中的变换
平移变换
将向量在坐标系中沿某一轴平移一定 的距离，例如向量A平移d个单位后 变为[a+d, b, c]。
工程学的应用
总结词
在工程学中，空间向量被广泛应用于解决实际问题和设计复和土木工程等领域，空间向量被用于描述物体的位置、方向和运动状态，以及进行各 种物理量（如力、速度、加速度等）的分析和计算。此外，空间向量还被用于解决实际工程问题，如结构分析、 流体动力学和控制系统等。
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第2课时课件
因为平面α 经过三点A 1,0, −1 ，B 0,1,0 ，C −1,2,0 ，所以AB = −1,1,1 ,
BC = −1,1,0 ,又向量1 = 1, u, t 是平面α 的一个法向量，所以
→
AB ⊥ 1 ,
→
BC ⊥ 1 ,
→
所以
确.故选ACD.
AB ⋅ 1 = 0,
→
BC ⋅ 1 = 0,
1
2
1
2
则AN = AB + BN = − − λ,
3
2
−
3
λ, 0
2
，
3
λ, 0
2
3
,0
2
，
，
课中探究
设 = x, y, z 是平面AFN的法向量，
→
则
⋅ AF = 0,
→
即
z = 0,
1
−
2
1
− λ
2
3
3
− λ
2
2
x+
y = 0,
⋅ AN = 0,
z = 0,
1+λ
∴
取x = 3，则y =
（2）若m ⊄ α ，n ⊂ α ，m//n，则m//α
若直线l的方向向量与平
面α 的法向量垂直且
l ⊄ α ，则l//α
备用习题
续表
几何法
向量法
对于直线l，m和平面α ，β ，
面面 （1）若l ⊂ α ，m ⊂ α ，l//β ，m//β ，
若平面α ，β 的法向量
平行 且l ∩ m = A，则α//β ；
，∴ =
1−λ
3 1 − λ y = 1 + λ x,
空间向量在立体几何中的应用PPT优秀课件
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＊对应演练＊
如图，四棱锥P—ABCD中， 底面ABCD为矩形，PD⊥ 底面ABCD，AD=PD， E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证：EF⊥平面PAB;
【分析】可用空间向量的坐标运算来证明. 【证明】以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AB=a,PA=AD=1,
a 则P(0,0,1),C(a,1,0),E( ,0,0), 2 1 1 D(0,1,0),F(0, 2 , 2 ). 1 1 a (1)AF=(0, , ),EP=(- ,0,1), 2 2 2 a 1 1 EC=( ,1,0),∴AF= EP+ EC, 2 2 2 又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
空间向量在立体几何
考点一
考点二 考点三 考点四
考点五
1.平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 做平面α的法向量.
方向向量a，则 向量a 叫
2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向
a1a2+b1b2+c1c2=0 u· v=0 量v=(a2,b2,c2),则l∥α ⇔ . ⇔
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(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), 1 1 ∴AF· PD=(0, , )· (0,1,-1)=0, 2 2 1 1 AF· CD=(0, , )· (-a,0,0)=0, 2 2 ∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD.
【评析】用向量证明线面平行时，最后应说明向量 所在的基线不在平面内.
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＊对应演练＊
如图,在正方体ABCD— A1B1C1D1中,E,F,M分别 为棱BB1,CD,AA1的中点. 证明：
1.4空间向量的应用 -1.4.2用空间向量研究夹角问题课件
|=
||||
||||
2、直线与平面的夹角 0，2
∙
| ∙ |
= | < , > | = |
|=
||||
||||
3、平面与平面的夹角 0，2
| ∙ |
= | < , > | =
||||
∠CBA=∠DBC=120°.求:
(1)直线AD与直线BC所成角的大小;
(2)直线AD 与平面BCD所成角的大小;
(3)平面ABD 和平面BDC的夹角的余弦值.
14
15
课堂小结
u
1、直线与直线的夹角 0，2
∙
| ∙ |
= | < , > | = |
||||
n1
n2
思考：面面角与二面角
的区别？
0，
11
例题讲解
∘
例8 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=CB=2, AA1=3 ,∠=90 ，P 为B
C 的中点，点Q, R 分别在AA1, BB1上，A1Q =2AQ， BR =2RB1.
求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
l
v
1
l2
u A
n
B
C
n
n2 1
1.4.2用空间向量研究夹角问题
谢
谢
听
THANKS
FOR聆YOUR
WATCHING
求异面直线AC’与B’D’所成角的余弦值.
D'
C'
A'
B'
D
||||
||||
2、直线与平面的夹角 0，2
∙
| ∙ |
= | < , > | = |
|=
||||
||||
3、平面与平面的夹角 0，2
| ∙ |
= | < , > | =
||||
∠CBA=∠DBC=120°.求:
(1)直线AD与直线BC所成角的大小;
(2)直线AD 与平面BCD所成角的大小;
(3)平面ABD 和平面BDC的夹角的余弦值.
14
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课堂小结
u
1、直线与直线的夹角 0，2
∙
| ∙ |
= | < , > | = |
||||
n1
n2
思考：面面角与二面角
的区别？
0，
11
例题讲解
∘
例8 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=CB=2, AA1=3 ,∠=90 ，P 为B
C 的中点，点Q, R 分别在AA1, BB1上，A1Q =2AQ， BR =2RB1.
求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
l
v
1
l2
u A
n
B
C
n
n2 1
1.4.2用空间向量研究夹角问题
谢
谢
听
THANKS
FOR聆YOUR
WATCHING
求异面直线AC’与B’D’所成角的余弦值.
D'
C'
A'
B'
D
1.4.2用空间向量研究夹角问题课件-2024-2025学年高中数学人教A选择性必修第一册
因为△SAB与△SAC均为等边三角形， 所以AB＝AC. 连接OA，则OA⊥BC. 以O为坐标原点，OB，OA，OS所在直线分别为x轴、 y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
设 B(1，0，0)，则 C(－1，0，0)，A(0，1，0)，S(0，0，1). 设 SC 的中点为 M，连接 OM，AM，则 M－12，0，21， 所故以M→OM→＝O·S12→，C＝0，0，－M→21A，·S→M→CA＝＝0，12，1，－21，S→C＝(－1，0，－1)，
则n1·A→M＝0，即－12x＋12z＝0， n1·A→N＝0， －21x＋12y＝0，
令 x＝1，解得 y＝1，z＝1，于是 n1＝(1，1，1).
同理可求得平面 BMN 的一个法向量
所以 cos〈n1，n2〉＝|nn11|·|nn22|＝
－1 3×
n2＝(1，－1，－1)， 3＝－31.
设平面 MNA 与平面 MNB 的夹角为 θ，
A.α＝θ C.cos θ＝|cos α|
B.α＝π－θ
√D.cos α＝|cos θ|
α＝θ 或 α＝π－θ，且 α∈0，π2， 因而 cos α＝|cos θ|.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
2.设直线 l 与平面 α 相交，且 l 的方向向量为 a，α 的法向量为 n
70 70
C.2 7070
D.
70 70
建立如图所示的空间直角坐标系，则 D10，0，32， B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， 所所以以B|c→Dos1〈＝B→－D21，，A－→C2〉，|＝32，|B|B→→AD→DC11|＝··|A→A→C(C－||＝2，0，2，0)， 即 AC 与 BD1 所成角的余弦值为 0.
设 B(1，0，0)，则 C(－1，0，0)，A(0，1，0)，S(0，0，1). 设 SC 的中点为 M，连接 OM，AM，则 M－12，0，21， 所故以M→OM→＝O·S12→，C＝0，0，－M→21A，·S→M→CA＝＝0，12，1，－21，S→C＝(－1，0，－1)，
则n1·A→M＝0，即－12x＋12z＝0， n1·A→N＝0， －21x＋12y＝0，
令 x＝1，解得 y＝1，z＝1，于是 n1＝(1，1，1).
同理可求得平面 BMN 的一个法向量
所以 cos〈n1，n2〉＝|nn11|·|nn22|＝
－1 3×
n2＝(1，－1，－1)， 3＝－31.
设平面 MNA 与平面 MNB 的夹角为 θ，
A.α＝θ C.cos θ＝|cos α|
B.α＝π－θ
√D.cos α＝|cos θ|
α＝θ 或 α＝π－θ，且 α∈0，π2， 因而 cos α＝|cos θ|.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
2.设直线 l 与平面 α 相交，且 l 的方向向量为 a，α 的法向量为 n
70 70
C.2 7070
D.
70 70
建立如图所示的空间直角坐标系，则 D10，0，32， B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， 所所以以B|c→Dos1〈＝B→－D21，，A－→C2〉，|＝32，|B|B→→AD→DC11|＝··|A→A→C(C－||＝2，0，2，0)， 即 AC 与 BD1 所成角的余弦值为 0.
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向量法求两条直线的夹角
向量法求两条直线的夹角
异面直线所成角的范围
：
C
D
A B
结论： =
拓展练习
例题
向量法求两条直线的夹 角 理解并掌握向量法求两条直线的夹
角
平面的法向量
P 除此之外，还可以用平面的法向量表示空间中平面的位 置
平面的法向量
例题
例题
练习
练习
练习
平面的法向量
理解并掌握平面法向量的求 法
平面法向量求法 空间线线夹角、线面夹角的求 法点线距离、点面距离、线面距离的求 法 教学难点
空间线线夹角、线面夹角的求 法点线距离、点面距离、线面距离的求 法
空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要 的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从 而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的 一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎 么样用向量的办法解决立体几何的问题。
精品 课件
高中数学选择性必修1
第一章 空间向量与立体几何
空间向量的应用
新人教版
特级教师优秀课件精选
教学目标
掌握直线方向向量，并会用直线方向向量求两直线夹 角理解并掌握平面法向量的求 法理解并掌握直线与平面夹角的求 法理解并掌握二面角的求 法理解点到直线的距离有求 法理解点面距离、线面距离的求 法
教学重点
例题
空间向量研究距离、夹角问题
线面夹角 直线与平面所成角的范围 ：
结论： =
拓展练习
拓展练习
拓展练习
拓展练习
例题பைடு நூலகம்
直线与平面的夹 角 理解并掌握直线与平面夹角的求
法
空间向量研究距离、夹角问题 二面角的范围：
O
关键：观察二面角的范 围
例题
例题
练习 A C
练习
练习
例题
例题
例题
例题
例题
练习
练习
练习
二面角及其度量
理解并掌握直线与平面夹角的求 法
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
总结
总结
总结
角的分类
向量求法
范围
异面直线 所成的角
直线与平面所 成的角
二面角
= =
=
向量法证明平行
利用以上结论，可以较容易地处理立体几何中的线线平行的问题 ．
拓展练习
向量法证明平行 用空间向量证明“平行”， 包括线面平行和面面平行。
例题
例题
练习
练习 不存在
练习
向量法证明垂直
例题
例题
练习
练习
练习
标题空间向量研究距离、夹角问题
拓展练习
拓展练习
点线距离
理解并掌握点线距离的求 法
空间向量研究距离、夹角问题
空间向量研究距离、夹角距离
平行于平面的直线到平面的距离，只需要在直线上取一点，转 化为点面距离即可
例题
例题
练习
1
1
1
练习
练习
点面距离与线面距离
理解并掌握点面距离与线面距离的求 法
空间向量研究距离、夹角问题
线线夹角的求法我们在前面已经讲过了，这里我们练习一题复 习一下