知识讲解 正态分布(理)资料讲解

正态分布

【学习目标】

1. 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。

2. 了解正态曲线与正态分布的性质。 【要点梳理】

要点诠释：

要点一、概率密度曲线与概率密度函数

1．概念：

对于连续型随机变量X ，位于x 轴上方，X 落在任一区间（a ，b]内的概率等于它与x 轴、直线x a =与直线x b =所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分），这条概率曲线叫做X 的概率密度曲线，以其作为图象的函数()f x 叫做X 的概率密度函数。

2、性质：

①概率密度函数所取的每个值均是非负的。

②夹于概率密度的曲线与x 轴之间的“平面图形”的面积为1

③()P a X b <<的值等于由直线x a =，x b =与概率密度曲线、x 轴所围成的“平面图形”的面积。 要点二、正态分布

1.正态变量的概率密度函数

正态变量的概率密度函数表达式为：22

()2,()(R)2x x x μσμσ?πσ

--

=

∈，（0,σμ>-∞<<+∞）

其中x 是随机变量的取值；μ为正态变量的期望；σ是正态变量的标准差.

2．正态分布 （1）定义

如果对于任何实数,()a b a b <随机变量X 满足：,()()b

a

P a X b x dx μσ?<≤=?，

则称随机变量X 服从正态分布。记为2

(,)X N μσ:。 （2）正态分布的期望与方差

若2

(,)X N μσ:，则X 的期望与方差分别为：EX μ=，2

DX σ=。

要点诠释：

（1）正态分布由参数μ和σ确定。

参数μ是均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计。σ是 标准差，它是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计。

（2）经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它

就服从或近似服从正态分布．

在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．

要点三、正态曲线及其性质：

1. 正态曲线

如果随机变量X 的概率密度函数为22

()21

()(R)2x f x e x μσπσ

--

=

∈，其中实数μ和σ为参数

（0,σμ>-∞<<+∞），则称函数()f x 的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

2．正态曲线的性质：

①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称； ③曲线在μ=x 时达到峰值

2πσ

； ④当μx 时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近.

⑤曲线与x 轴之间的面积为1； ⑥μ决定曲线的位置和对称性；

当σ一定时，曲线的对称轴位置由μ确定；如下图所示，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移。

⑦σ确定曲线的形状；

当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线

越“矮胖”，表示总体的分布越分散。如下图所示。

要点诠释：

性质①说明了函数具有值域（函数值为正）及函数的渐近线（x 轴）．性质②并且说明了函数具有对称性；性质③说明了函数在x=μ时取最值；性质⑦说明σ越大，总体分布越分散，σ越小，总体分布越集中．

要点四、求正态分布在给定区间上的概率 1. 随机变量取值的概率与面积的关系

若随机变量ξ服从正态分布2

(,)N μσ，那么对于任意实数a 、b （a ＜b ），当随机变量ξ在区间（a ，b]上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线x=a ，x=b 以及x 轴所围成的图形的面积相等．如图（1）中的阴影部分的面积就是随机变量孝在区间（a ，b]上取值的概率．

一般地，当随机变量在区间（－∞，a ）上取值时，其取值的概率是正态曲线在x=a 左侧以及x 轴围成图形的面积，如图（2）．随机变量在（a ，+∞）上取值的概率是正态曲线在x=a 右侧以及x 轴围成图形的面积，如图（3）．

根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解．

2、正态分布在三个特殊区间的概率值：

()0.683P X μσμσ-<≤+=； (22)0.954P X μσμσ-<<+=； (33)0.997P X μσμσ-<≤+=。

上述结果可用下图表示：

要点诠释：

若随机变量X 服从正态分布2

(,)N μσ，则X 落在(3,3)μσμσ-+内的概率约为0.997，落在

(3,3)μσμσ-+之外的概率约为0.003，一般称后者为小概率事件，并认为在一次试验中，小概率事件几

乎不可能发生。

一般的，服从于正态分布2

(,)N μσ的随机变量X 通常只取(3,3)μσμσ-+之间的值，简称为3σ原则。

3、求正态分布在给定区间上的概率方法

（1）数形结合，利用正态曲线的对称性及曲线与x 轴之间面积为1。 ①正态曲线关于直线x μ=对称，与x μ=对称的区间上的概率相等。 例如()()P X P X μσμσ<-=>+； ②()1()P X a P X a <=-≥； ③若b μ<，则1()

()2

P b X b P X b μμ--<<+<=

。

(2)利用正态分布在三个特殊区间内取值的概率： ①()0.6826P X μσμσ-<≤+=； ②(22)0.9544P X μσμσ-<<+=； ③(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=。 【典型例题】

类型一、正态分布的概率密度函数 例1. 下列函数是正态密度函数的是（ ）．

A ．22

()2()2x P x μσπσ

-=

μ，σ（0σ>）都是实数

B ．2

22()x P x π-= C ．2

(1)4()22x P x π--= D ．2

2()e 2x P x π

=

【思路点拨】本题可对照正态密度函数的标准形式判断． 【解析】

正态密度函数为：22

()2()x P x μσ--

=

，

其中指数部分的σ应与系数的分母处的σ保持一致，系数为正数且指数为负数．

选项A

σ

，指数错为正数．选项C ，从系数可得σ=2，而从指

数处可得σ=

D 中指数为正，错误．所以正确答案为B ．

【总结升华】注意函数22

()2()x P x μσ--

=的形式特点是解题的关键．

举一反三：

【变式1

】设一正态总体，它的概率密度曲线是函数2

(10)8()x f x --=的图象，则这个正态总体的均

值与方差分别是（ ）

A ．10与8

B ．10与4

C ．8与10

D ．2与10

【答案】在该正态分布中，μ=10，σ=2，则E(X)=10，D(X)=2

σ=4，故选B 。。 【变式2】．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ

（１）),(,21)(2

2

+∞-∞∈=

-

x e

x f x π

（２）),(,221

)(8

)1(2

+∞-∞∈=

--

x e

x f x π

（３）2

2(1)(),(,)x f x x -+=

∈-∞+∞ 【答案】(1) 0，1 (2) 1，2 (3) -1，0.5

【变式3】正态总体为1

,0-==σμ1概率密度函数)(x f 是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数

【答案】B

。因为2

2()x f x -=所以选B 。

【变式4】一台机床生产一种尺寸为10 mm 的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm ）：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1．如果机床生产零件的尺寸X 服从正态分布，求正态分布的概率密度函数式．

【答案】求正态分布的概率密度函数式，只要求出参数μ和σ即可，而μ即样本均值，σ即样本标准差．

依题意得1

(10.210.1109.89.910.39.7109.910.1)1010

μ=

?+++++++++=，

2222221

[(10.210)(10.110)(1010)(9.810)(9.910)10

σ=

?-+-+-++-+- 2

2

2

2

2

(10.310)(9.710)(1010)(9.910)(10.110)]0.03+-+-+-+-+-=． 即10μ=，2

0.03σ=．所以X 的概率密度函数为2

50(10)3

()e 6x x ?π

--

=．

类型二、正态曲线

例2. 如图所示，是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．

【思路点拨】 由正态曲线的图像可知，该曲线的对称轴为x=20，最大值为

2π

，因此，μ=20，由

22π

πσ

=

可求得σ的值． 【解析】 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大值是

2π

，所以μ=20．

由

22πσπ

=，解得2σ=． 于是概率密度函数的解析式是2

(20)4

()e

2x P x π

--

=

，x ∈（－∞，+∞）．总体随机变量的期望是μ=20，

方差是22

(2)2σ==．

【总结升华】 利用图像求正态密度函数的解析式，应抓住图像的实质性两点：一是对称轴x=μ，一是最值

2πσ

．这两点确定以后，相应参数纵μ、σ便确定了，代入P （x ）中便可求出相应的解析式． 举一反三：

【变式1】 关于正态密度曲线性质的叙述：

①曲线关于直线x=μ对称，整条曲线在x 轴上方； ②曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；

③曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；

④曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大曲线越“矮胖”，反之，曲线越“高瘦”． 其中叙述正确的有（ ）．

A ．①②③

B ．①③④

C ．②③④

D ．①②③④ 【答案】 B

根据曲线关于直线x=μ对称，只有当μ=0时函数才是偶函数，故②错．利用排除法选B ．

4

3

2

1

-1

-4-224

2

1

【变式2】如图，两个正态分布曲线图：

1为)

(

1

,1

x

σ

μ

?，2为)

(

2

2

x

σ

μ

?，

则

1

μ

2

μ，

1

σ

2

σ（填大于，小于）

【答案】＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。

【变式3】如图是三个正态分布X～N（0，0.25），Y～N（0，1），Z～N（0，4）的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________、________、________。

【答案】①②③。

【变式4】已知正态总体落在区间()

+∞

,2.0的概率是0．5，那么相应的正态曲线在=

x时达到最高点。

【答案】0.2。

由于正态曲线关于直线xμ

=对称，由题意知0.2

μ=。

类型三、正态分布的计算

例3．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝()

A．0.16B．0.32

C．0.68 D．0.84

【思路点拨】可画出正态曲线，利用正态曲线的对称性解决。

【解析】∵P(ξ≤4)＝0.84，μ＝2，∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)

＝1－0.84＝0.16，故选A.

【总结升华】本题利用了正态密度曲线的性质求概率，其中应注意对称性的运用。

举一反三：

【变式1】（1）(0,1)

X N

:，μ和σ的值各是多少？（2）(1,9)

X N-

:，μ和σ的值各是多少？

【答案】

（1）比照2

(,)

X Nμσ

:（0

σ>），(0,1)

X N

:时，μ=0，σ=1。

（2）比照2

(,)

X Nμσ

:（0

σ>），(1,9)

X N-

:时，μ=－129

σ=，所以μ=－1，σ=3。

【变式2】在某次测量中，测量结果ξ服从正态分布2

(1,)

Nσ(0)

σ>，若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为________。

【答案】0.8

ξ服从正态分布2

(1,)

Nσ，

∴在（0，1）与（1，2）内取值的概率相同，均为0.4。

ξ在（0，2）内取值的概率为0.4+0.4=0.8。

【变式3】设随机变量X ～N （0，1）， （1）P(－a ＜X ＜0)=P(0＜X ＜a)(a>0)； （2）P(X ＜0)=0.5；

（3）已知P(|X|＜1)=0.6826，则P(X ＜－1)=0.1587； （4）已知P(|X|＜2)=0.9544，则P(X ＜2)=0.9772； （5）已知P(|X|＜3)=0.9974，则P(X ＞－3)=0.9987。 其中正确的有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

【答案】D ；均正确，充分利用正态曲线的对称性及其意义。

例4. 设ξ～N （1，22），试求： （1）P （－1＜ξ≤3）； （2）P （3＜ξ≤5）； （3）P （ξ≥5）．

【思路点拨】 要求随机变量ξ在某一范围内的概率，只需借助于正态密度曲线的图像性质以及课本中所给的数据进行转化求值．

【解析】 ∵ξ～N （1，22），∴μ=1，σ=2，

（1）P （－1＜ξ≤3）=P （1－2＜ξ≤1+2）=P （μσ-＜ξ≤μσ+）=0.683． （2）∵P （3＜ξ≤5）=P （－3＜ξ≤－1）， ∴P （3＜ξ≤5）

1

[(35)(13)]2P P ξξ=-<≤--<≤ 1

[(1414)(1212)]2P P ξξ=-<≤+--<≤+ 1

[(22)()]2P P μσξμσμσξμσ=-<≤+--<≤+ 1

(0.9540.683)0.1362

=?-≈． （3）∵P （ξ≥5）=P （ξ≤－3）， ∴1()[1(35]2P P ξξ≥=

--<≤1

[1(1414)]2

P ξ=--<≤+ 1[1(22)]2P μσξμσ=--<≤+1

(10.954)0.0232

=-=． 【总结升华】 在求随机变量ξ在某一范围内的概率时，可以首先把随机变量ξ的取值转化到区间

(,)μσμσ-+、(2,2)μσμσ-+以及(3,3)μσμσ-+，然后利用在(,)μσμσ-+上的概率约为

0.683，在(2,2)μσμσ-+上的概率约为0.954，在(2,2)μσμσ-+上的概率约为0.997．

举一反三：

【变式1】(2,25)X N :，求(1317)P X -<≤。

【答案】(2,25)X N :时，μ=2，σ=5，313μσ-=-，317μσ+=，

∴(1317)0.9974P X -<≤=

【变式2】若η～N （5，1），求P （5＜η＜7）． 【答案】∵η～N （5，1），

∴正态分布密度函数的两个参数为μ=5，σ=1， ∵该正态密度曲线关于x=5对称．

∴11

(57)(37)0.9540.47722

P P ηη<<=

?<<=?= 【变式3】设(0,1)X N :。

（1）求P(－1＜X ≤1)；（2）求P(0＜X ≤2)。 【答案】

（1）(0,1)X N :时，1μσ-=-，1μσ+=，

∴(11)0.6826P X -<≤≈。

（2）22μσ-=-，22μσ+=，正态曲线0,1()x ?关于直线x=0对称，

∴11

(02)(22)0.95440.477222

P X P X <≤=

-<≤≈?=。 类型四、正态分布的应用

例5. 某年级的一次数学测验成绩近似服从正态分布N （70，102），如果规定低于60分为不及格，那么 （1）成绩不及格的人数占多少？ （2）成绩在80～90分内的学生占多少？

【思路点拨】 本题考查正态密度曲线对称性及正态变量在三个特殊区间的概率取值规律．因为正态密度曲线关于直线x=μ对称，故本题可利用对称性及特殊值求解． 【解析】（1）设学生的得分情况为随机变量X ， 则X ～N （70，102），其中μ=70，σ=10． 成绩在60～80分之间的学生人数的概率为 P （70－10＜X ＜70+10）=0.683， ∴不及格的人数占

1

2

×（1－0.683）=0.1585． （2）P （70－20＜X ＜70+20）=0.954， ∴成绩在80～90分内的学生占

1

2

[P （50＜X ＜90）－P （60＜X ＜80）]=0.1355． 【总结升华】 本题利用了正态密度曲线的性质求概率，其中应注意对称性的运用及正态变量在三个特殊区间的概率取值规律． 举一反三：

【变式1】工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布N 1

(4,)9

，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？ 【答案】∵X ～N 1(4,)9，∴μ＝4，σ＝13

. ∴不属于区间(3,5)的概率为 P (X ≤3)＋P (X ≥5)＝1－P (3

即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个．

【变式2】商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N （10，0.12）（单位：kg ）。现进1000袋这种大米，质量不在9.7～10.3 kg 的大米大约有多少袋？ 【答案】

由正态分布N （10，0.12），知μ=10，σ=0.1，

∴质量在9.7～10.3 kg 的概率为P(10－3×0.1＜X≤10+3×0.1)=0.997 ∴质量不在9.7～10.3 kg 的概率为P=1－0.997=0.003。 ∴质量不在9.7～10.3 kg 的大米大约有1000×0.003=3袋。

【变式3】在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即X ～N(90，100)。

（1）试求考试成绩X 位于区间（70，110）内的概率是多少？

（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80，100）之间的考生大约有多少人？

【答案】∵X ～N(90，100)，∴90μ=，10σ==。

（1）μ－2σ=90－2×10=70，μ+2σ=90+2×10=110，

又∵正态分布2

(,)N μσ在区间(2,2)μσμσ-+内取值的概率是0.954， ∴考试成绩X 位于区间（70，110）内的概率约为0.954。 （2）∴μ－σ=90－10=80，μ+σ=90+10=100。

又∵正态分布2(,)N μσ在区间(,)μσμσ-+内取值的概率为0.683， ∴考试成绩X 位于区间（80，100）内的概率约是0.683，

∴这2000名考生中，成绩在（80，100）内的人数大约为2000×0.683≈1366（人）。