夫琅禾费圆孔衍射及mathematica的数值模拟
夫琅禾费矩孔衍射的特征及其MATLAB模拟_图文(精)
方向高度为b (y 0轴方向的矩孔上,若设矩孔上的光场分布均匀,则瞳函数为常数,即U 0 (x 0,y 0=A.由文献[5,6]可知,夫禾费矩孔衍射的衍射场为
U (θ1,θ2
= c e ik 0L 0
sin αα・sin
ββ
,(1
式中,θ1,θ2分别为x轴和y轴方向上的衍射角;
夫琅禾费矩孔衍射的特征及其MAT LAB模拟
蓝海江a
,潘晓明a
,吴建生
b
(柳州师范高等专科学校a .物理与信息科学系;b .数学与计算机科学系,广西柳州545004
摘 要:探讨了夫琅禾费矩孔衍射的特征,并利用MAT LAB对其进行模拟。经过比较,MAT LAB模拟结果与实验观测的结果非常吻合。
关键词:光学;夫琅禾费;矩孔;衍射;MAT LAB模拟
c =-i
λf
(ab A;k 0=
2
πλ0
为真空中的波数;L 0为光波从x 0,y 0坐标的原点出发沿着衍射方向到达场点P (x,y的光程,即参考光程,在积分过程中是不变的常量;α=πa sin θ1λ,β=πb sin θ2
λ
.
由光强公式I (θ1,θ2=U (θ1,θ2・U 3(θ1,θ2及(1式
可知,夫琅禾费矩孔衍射的光强分布为[5]
I (θ1,θ2=I 0
sin αα2・sin
ββ
2,(2式中,I 0= c c 3
=(ab 2(λf 2
A 2
.
(3
2.3夫琅禾费矩孔衍射的特征
由(2式可知,夫琅禾费矩孔衍射图样的主要特征是:衍射亮斑集中分布在两个相互垂直的方向上(x轴和y轴上,x轴方向上的亮斑宽度与矩孔的宽度a成反比,y轴方向上的亮斑宽度与矩孔的高度b成反比,即光波在哪个方向上受到的限制越大,那个方向的衍射就越明显.
夫琅禾费衍射数字模拟仿真与实验
二、实验原理
两种类型衍射现象：菲涅尔衍射（近场衍射）和夫琅和费衍射（远场衍射） (根据不同的衍射区域分的) （如图 1 所示） 。不同的区域，衍射图样具有不同 的性质，在数学上的近似程度也不同。光源和接受屏或二者之一距离衍射屏为有 限远时，所观察到的衍射为菲涅尔衍射；另一类是夫琅禾费衍射，指的是光源和 接收屏与衍射屏的距离均为无限远的情形（如图 2 所示）。
2015 年光电信息科学与工程专业综合实验-信息光学专题实验
实验注意事项（必读）
1． 提前预习，没有弄清楚实验内容者，禁止接触 实验仪器。
2． 注意激光安全。绝对不可用眼直视激光束，或 借助有聚光性的光学组件观察激光束，以免损 伤眼睛。
3． 注意用电安全。He-Ne 激光器电源有高压输出， 严禁接触电源输出和激光头的输入端，避免触 电。
5 鲁东大学物理与光电工程学院
2015 年光电信息科学与工程专业综合实验-信息光学专题实验
u1=rect(X1/(2*w)).*rect(Y1/(2*w)); %矩形物体光场分布 %r=sqrt(X1.^2+Y1.^2); %圆孔的半径 %u1=circ(r/0.02);%圆孔物体的光场分布 I1=abs(u1.^2); figure(1) imagesc(x1,y1,I1); colormap gray axis square; axis xy; colormap('gray'); xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); title('z= 0 m'); %%%-----------------衍射场的分布计算-----------[u2, L2]=propFF(u1,L1,lamda,z);% dx >= lamda*z/L 时准确 dx2=L2/M; x2=-L2/2:dx2:L2/2-dx2; y2=x2; I2=abs(u2).^2; figure(2) imagesc(x2,y2,nthroot(I2,3)); axis square; axis xy; colormap('gray'); xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); text_buffer = strcat( '传播距离为 z= ',num2str(z),'m'); title(text_buffer); figure(3) plot(x2,I2(:,M/2)) ------------------------------------------------------------
夫琅禾费圆孔衍射及mathematica的数值模拟
华东交通大学课程设计（论文）夫琅禾费圆孔衍射及mathematica的数值模拟学院:学号:姓名:专业:指导老师:二零一四年一月八日利用mathematica数值模拟圆孔衍射目录摘要 (I)Abstract (I)第1章绪论 (1)1.1 背景和意义 (1)1.2 主要方法和研究进展 (1)1.3 主要内容与结构安排 (1)第2章夫琅禾费圆孔衍射 (1)2.1 基尔霍夫衍射理论 (1)2.2 圆孔的夫琅禾费衍射 (2)2.2.1 复振幅公式 (2)2.2.2 光强公式与光强分布分析 (4)2.2.4 爱里斑 (5)2.3 用Mathematica模拟圆孔衍射的光强分布 (5)2.3.1 Mathematica的一些功能 (5)2.3.2 圆孔衍射光强分布的模拟及分析 (6)2.4 总结 (9)参考文献 (10)附录 (10)摘要夫琅禾费衍射，又称为远场衍射，是指光源和观察幕离障碍物（孔或屏）均为无穷远的，光线偏离原来传播方向弯入障碍物的几何影区内的，并在几何影区和几个照明区内形成光强不均匀分布的现象。
对于观察屏上各点的光强分布，是通过由基尔霍夫衍射理论及其伴轴近似和夫琅禾费近似而得到的夫琅禾费衍射公式来说明的。
夫琅禾费圆孔衍射的光强分布图是一些同心圆环，中间的艾里斑集中了绝大部分光强，研究夫琅禾费圆孔衍射对我们研究成像系统有很关键的作用。
在本文中利用Mathematica软件模拟了夫琅禾费圆孔衍射，利用Mathematica 软件中的有关函数可灵活调节入射波长、透镜焦距、圆孔半径各变量，直接形象地展示各个变量对衍射图样的影响。
关键词：基尔霍夫衍射理论；艾里斑；夫琅禾费圆孔衍射；mathematicaAbstractFraunhofer diffraction, also known as the far-field diffraction. Light curtain and observe from the obstacle (holes or screen) are infinity. Deviation from the original direction of propagation of light bent into geometric shadow zone obstructions.The formation of the light intensity distribution uneven phenomenon in the geometric shadow and lighting area. Light intensity distribution on the viewing screen at various points, by the Fraunhofer diffraction formula to illustrate. The Fraunhofer diffraction formula by Kirchhoff diffraction theory approximation through with axes and Fraunhofer approximation is obtained. Airy disk in the middle of the vast majority concentrated intensity. Fraunhofer diffraction studies of the hole we study the imaging system has a very crucial role. In this paper is to use Mathematica software to simulate the round hole of Fraunhofer diffraction intensity distribution. Use Mathematica software related functions can be flexibly adjusted incident wavelength, lens focal length, hole radius of each variable, vividly demonstrate the direct impact of each variable on the diffraction pattern.Key words:Kirchhoff diffraction theory；Airy disk；Circular aperture Fraunhofer diffraction；mathematica第1章绪论1.1 背景和意义夫琅禾费圆孔衍射在实验室是可以实现的，而且也可以得到比较清晰的光强分布图，但实验需要稳定的环境，高精密的仪器，在普通教室难以完成，在实验室室也受到时间安排等条件的限制，利用mathematica可以很好的解决这一问题，可以产生与真实实验相同的实验现象，达到与真实演示实验相同的演示效果。
夫琅禾费双矩孔衍射及其特例的计算机仿真
若 把双 矩孔 参数设 置 为 ： 口：０ ０ １ ｂ＝０ ０ ｍ； ． ０ ｍ； ． ７ ｃ＝０； 行 程 序 Ｐ ｏ ｒｍ．ｎ， 得 到 如 图 ２（ 所 示 的 夫 琅 运 ｒｇａ Ｉ 可 ｂ） 和 费 单 缝 衍 射 的仿 真 结 果 ． 若 把 双 矩 孔 参 数 设 置 为 ： ０． ０ １ ； ａ＝ ０ １Ｔ ｂ＝０ ０ ｍ； ０． Ｏ ｍ； 行 程 序 Ｐ ｏ ｒｍ．ｎ， 得 到 如 图 ２ Ｃ 所 示 的 Ｉ ． ７ Ｃ＝ Ｏ ４ 运 ｒｇａ ｉ 可 （） 夫 琅 禾 费 双 缝 衍 射 的仿 真 结 果 ．
行 于 轴 ， 轴 为 双 矩 孔 的连 线 方 向 ） 高 （ 行 于 Ｙ轴 ）， 双 矩 孔 中 心 的 间 距 ， 和 平 Ｃ为 Ａ为 光 波 的 波 长 ． 傍 轴 近 似 在
条 件 下 ， ｓｎ 有 ｉ０ 一 、ｉ ０ ￣ｙｆ， 透 镜 的 焦 距 ． ｓ ／ ｆ为 ｎ
１ ２ 夫 琅 禾 费 双 矩 孔 衍 射 特 例 的 光 强 分 布 ．
１ ２ １ 夫 琅 禾 费 矩 孔 衍 射 的 光 强 分 布 ． ． 若 双 矩 孔 中 心 的 间 距 为 零 ， ｃ＝０， 式 （ ） 为 即 则 １变
， Ｐ）：，（ （ ０ （ ２）
式 （ 即 为 夫 琅 禾 费 矩 孔 衍 射 的 光 强 分 布 ． ２） 因此 ， 孔 衍 射 是 双 矩 孔 衍 射 的 特 例 ． 矩
１ ２ ２ 夫 琅 禾 费 单 缝 ｑ／ 的 光 强 分 布 ．． －射 Ｚ
由式 （ 可 知 ， 琅禾 费矩 孔衍 射 的光强 分布 是两 个单 缝衍 射 因子 的乘 积． 果矩 孔 某 一边 的尺 寸 比另一 ２） 夫 如 边 大 很 多 ， ， ＞口， 该 矩 孔 就 变 成 了 单 缝 ， 时 ， 察 屏 上 沿 Ｙ轴 方 向 的 衍 射 效 应 不 明 显 ， 在 沿 轴 方 向 如 ｂ＞ 则 这 观 只
夫琅禾费衍射的计算机仿真
t ( x , y) 的傅里叶变换. 式 (5) 表明 , 在单位振幅的相
干平面光波照射下 , 夫琅禾费衍射光场的复振幅分
布正比于衍射屏振幅透射系数的傅里叶交换 ;式 (6)
表明 ,衍射光场复振幅表达式中的相位因子并不影
响观察屏上衍射图样的强度分布 ,若略去常系数 ,则
衍射图样的强度分布直接等于衍射屏透射光场复振
摘要 :提出了利用 MATLAB 软件并通过计算机仿真夫琅禾费衍射实验的两种方法 :直接计算法和傅里叶变换法. 前者适 用于形状简单 、能精确得到相应衍射强度公式的孔径的仿真 ; 后者适用于获取复杂形状衍射屏的夫琅禾费衍射图样的仿真. 文中给出各种孔缝的衍射屏的仿真衍射实验结果. 事实表明 ,采用这种仿真方法可以得到任意形状衍射屏的夫琅禾费衍射图 样和强度分布曲线.
2) 多缝 ( 朗琴光栅) . 设每个狭缝的宽度均为 a ,相邻两狭缝间不透明部分的宽度为 b , 则缝间距 (光栅常量) 为 d = a + b. 同样取 θ为衍射角 , f 为 透镜 L2 的焦距 ,衍射屏上透光的总狭缝数为 N , 则 当平面光波垂直照射衍射屏时 , 沿θ方向的衍射光
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
波在 Pθ 处的合振动的相对强度为
54
大 学 物 理
至于圆孔的仿真衍射图样从第三级暗条纹开始出现 折线.
第 23 卷
图 6 矩形孔的夫琅禾费衍射仿真结果
图 7 不同参数条件下矩形孔的夫琅禾费衍射仿真结果
图 8 不同衍射屏及其仿真夫琅禾费衍射图样
6 结束语
本文讨论了利用计算机及 MATLAB 语言仿真 夫琅禾费衍射实验的两种方法 , 这两种方法各有其 特点. 直接利用衍射强度公式计算出衍射图样的仿 真方法 ,可以得到衍射强度分布与光路中各可调参 数的关系 ,所获得的仿真结果能够随参数的改变而 相应变化 ,但这种方法难以对振幅透射系数较为复 杂的衍射屏进行仿真处理. 采用对输入图像直接进 行傅里叶变换的方法 , 对孔径衍射屏的形状没有特 殊要求 ,原则上适用于任意形状的衍射屏 ,并且仿真
夫琅禾费矩孔衍射的特征及其MATLAB模拟
柳! 州! 师! 专! 学! 报 ,-./012 -3 45.67-. 891:79/; <-229=9
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夫琅禾费矩孔衍射的特征及其 AB84BC 模拟
蓝海江 1 ， 潘晓明 1 ， 吴建生 D
（ 柳州师范高等专科学校 1? 物理与信息科学系； D? 数学与计算机科学系， 广西 柳州 $+$##+ ） ! ! 摘! 要： 探讨了夫琅禾费矩孔衍射的特征， 并利用 AB84BC 对其进行模拟。经过比较， AB84BC 模拟结果与实 验观测的结果非常吻合。 关键词： 光学； 夫琅禾费； 矩孔； 衍射； AB84BC 模拟 中图分类号： E+)(? &! 文献标识码： B! 文章编号： &##) % *#"# （ "##( ） #& % #&&& % #+
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（)） 图 !3 人机对话窗口图 & ( ， %&’!! # *+’!! # ， ’ ’ " ! # ! ! 不变参数的确定 为了使模拟结果形象而直观， 设置的不变参数为： 瞳函 -（ & ， 数, # . # #， 会聚透镜的焦距 ’ # !)$$ //! $ $ ($ ） " ! ! 程序的编写和调式 用它编写的夫琅禾费 由于 ./01/2 的功能非常强大， 矩孔衍射模拟程序不仅简洁、 简短， 而且响应速度快! 程序共 分为三个模块： 可变参数输入模块! （#） （!） 数据采样及处理模块! （"） 图形输出模块! 程序在 ./01/2, ! ) 版本上调试通过! " ! " 夫琅禾费矩孔衍射的 ./01/2 模拟结果 " ! " ! # 夫琅禾费方孔衍射的 ./01/2 模拟结果 在 人机对话窗口中输入数据： $ # # // ， % # # // ， "# $ ! $$$) //， 则夫琅禾费方孔衍射的 ./01/2 模拟结果如图 " 所示!
不等缝宽多缝的夫琅禾费衍射及计算机模拟_顾菊观
）
２ （ Ａ２ ｓ ｉ ｎ ｓ ｉ ｎ ｓ ｉ ｎ δ δ δ １ ＋Ａ ３ ２ ＋Ａ ４ ３） ） ） 化 简 得 同 样 得 到 式（ １ ０ ７ ． 对 式 （
（ ） １ ０
２． ３ 积 分 法 积 分 法 是 将 衍射 和 干 涉 一 起 考 虑 后 积 分 得 到 衍射 结 果
Ｕ ＝ Ａ０
０
（ ｘ ｉ ｋ ｘ ｓ ｉ ｎ ｄ ｘ＋ θ） ｐ ∫ｅ （ Ａ ｘ ｉ ｋ ｘ ｓ ｉ ｎ ｄ ｘ＋ θ） ｐ ∫ｅ （ Ａ ｘ ｉ ｋ ｘ ｓ ｉ ｎ ｄ ｘ＋ θ） ｐ ∫ｅ （ Ａ ｘ ｉ ｋ ｘ ｓ ｉ ｎ ｄ ｘ θ） ｐ ∫ｅ
（ ； ） 收稿日期 ： 修 回 日期 ： ２ ０ １ １ ０ ２ １ ６ ２ ０ １ １ ０ ５ ２ ４ － － － －
摘 要 基于复数法 、 积 分 法和矢 Байду номын сангаас 法 研 究 不 等 间 距 多 缝 的 夫 琅 禾 费 衍 射 的 振 幅 和 光 强 分 布 ． 应用 Ｍ 分析 衍射图样 ． 衍射振幅 的 推导方法和 ａ ｔ ｌ ａ ｂ 软件进行数值模拟 得 到衍射图样 ， 、 计算 机 模拟方法 对 于研究干涉 衍射等有一 定的实 际 意义 和指导 意义 ． 关键词 夫琅禾费衍射 ； 振幅 分 布 ； 光强 分 布
复数法复数法是将单缝衍射的振幅看作缝隙间个单缝与第一个单缝的几何中心的间隔分别为d210ad3矢量法矢量法是将每一个单缝衍射的振幅看作缝隙间干涉的初振幅由式a4分别为每一个缝的振幅2233矢量法分析示意图asin对应的位相为四个单缝在屏上对应的振幅为sin2sinsin2ccosu1sinsin3a3sinu3sinsin4a42a03a0a1a2cos1a3cos2a4cos3a2sin1a3sin2a4sina1a2cos1a3cos2a4cos3sin4ea2sin1a3sin2a4sin310化简得同样得到式右边后括号内的函数进行简化得2312e9icose20i4e33icoscos2则衍射光强为积分法是将衍射和干涉一起考虑后积分得到衍射结果7aexp17aexpa0expa0expiksinexpiksin11a7a知
基于MATLAB的简单孔形夫琅禾费衍射实验的计算机模拟
基于MATLAB的简单孔形夫琅禾费衍射实验的计算机模拟徐慧梁;何振江;杨冠玲
【期刊名称】《物理通报》
【年(卷),期】2004(000)003
【摘要】@@ 1引言rn衍射是光波的重要特征之一,夫琅禾费衍射在实际应用和理论上都很重要.这类衍射的分析和计算都比较简单,一般通过数值计算就能得到衍射的光强分布.对简单孔径衍射的模拟计算已经有过研究,但无一例外是采用数值计算的方法,其实我们从图像变换的角度出发同样可以得到相同的结果,利用MATLAB 语言做这项工作将变得非常容易.MATLAB功能强大、简单易学、编程效率高而被广泛地应用在工程计算、数值分析和图像处理等领域,对于光学实验的模拟是非常方便和灵活的.
【总页数】3页(P25-27)
【作者】徐慧梁;何振江;杨冠玲
【作者单位】华南师范大学物理系,广东,广州,510631;华南师范大学物理系,广东,广州,510631;华南师范大学物理系,广东,广州,510631
【正文语种】中文
【中图分类】G4
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夫琅禾费圆孔衍射及mathematica的数值模拟华东交通大学课程设计(论文)夫琅禾费圆孔衍射及mathematica模拟学院:学号:姓名:专业: 指导老师:二零一四年一月八日的数值利用mathematica数值模拟圆孔衍射目录要 ................................................................. ................................................ I 摘Abstract ........................................................... .. (I)第1章绪论 ..................................................................... (1)1.1 背景和意义 (1)1.2 主要方法和研究进展 (1)1.3 主要夫琅禾费圆孔衍射 ..................................................................... .. (1)2.1 基尔霍夫衍射理论 (1)2.2 圆孔的夫琅禾费衍射 (2)2.2.1 复振幅公式 (2)2.2.2 光强公式与光强分布分析 (4)2.2.4 爱里斑 (5)2.3 用Mathematica模拟圆孔衍射的光强分布 (5)2.3.1 Mathematica的一些功能 (5)2.3.2 圆孔衍射光强分布的模拟及分析 (6)2.4 总结 (9)参考文献 ..................................................................... .. (10)附录 ..................................................................... . (10)利用mathematica数值模拟圆孔衍射 I摘要夫琅禾费衍射，又称为远场衍射，是指光源和观察幕离障碍物(孔或屏)均为无穷远的，光线偏离原来传播方向弯入障碍物的几何影区内的，并在几何影区和几个照明区内形成光强不均匀分布的现象。
对于观察屏上各点的光强分布，是通过由基尔霍夫衍射理论及其伴轴近似和夫琅禾费近似而得到的夫琅禾费衍射公式来说明的。
夫琅禾费圆孔衍射的光强分布图是一些同心圆环，中间的艾里斑集中了绝大部分光强，研究夫琅禾费圆孔衍射对我们研究成像系统有很关键的作用。
在关键词:基尔霍夫衍射理论; 艾里斑; 夫琅禾费圆孔衍射; mathematicaAbstractFraunhofer diffraction, also known as the far-field diffraction.Light curtain and observe from the obstacle (holes or screen) are infinity. Deviation from the original direction of propagation of light bent into geometric shadow zone obstructions.The formation of the light intensity distribution uneven phenomenon in the geometric shadow and lighting area. Light intensity distribution on the viewing screen at various points, by the Fraunhofer diffraction formula to illustrate. The Fraunhofer diffraction formula by Kirchhoff diffraction theory approximation through with axes and Fraunhofer approximation is obtained. Airy disk in the middle of the vast majority concentrated intensity. Fraunhofer diffraction studies of the hole we study the imaging system has a very crucial role. In this paper is to use Mathematica software to simulate the round hole of Fraunhofer diffraction intensity distribution. Use Mathematica software related functions can be flexibly adjusted incident wavelength, lens focal length, hole radius of each variable, vividly demonstrate the direct impact of each variable on thediffraction pattern.Key words:Kirchhoff diffraction theory; Airy disk; Circular aperture Fraunhofer diffraction;mathematica利用mathematica数值模拟圆孔衍射 1第1章绪论1.1 背景和意义夫琅禾费圆孔衍射在实验室是可以实现的，而且也可以得到比较清晰的光强分布图，但实验需要稳定的环境，高精密的仪器，在普通教室难以完成，在实验室室也受到时间安排等条件的限制，利用mathematica可以很好的解决这一问题，可以产生与真实实验相同的实验现象，达到与真实演示实验相同的演示效果。
光的衍射现象是光的波动性的一种表现，通过对光的衍射现象的研究，可以深入具体地了解光的波动性。
本课题研究夫琅禾费圆孔衍射，对于深刻理解衍射的实质，研究光波在不同光学系统的传播规律，分析复杂图像的空间频谱分布以及改进光学滤波器设计等具有非常重要的意义。
课题利用mathematica 的绘图能力，根据衍射场的理论公式，得出光强分布并绘制光强的衍射图样。
1.2 主要方法和研究进展根据夫琅禾费圆孔衍射光强分布的理论公式，通过mathematica来模拟，并进行分析。
了解夫琅禾费衍射公式的推导，并得到夫琅禾费圆孔衍射公式，再通过mathematica的模拟，可以很好的改变个变量值，来观察其对衍射的影响。
1.3 主要夫琅禾费圆孔衍射2.1 基尔霍夫衍射理论基尔霍夫衍射理论又叫作标量衍射理论，它只适合标量波的衍射。
它的基本内容是建立在惠更斯—菲涅耳原理基础上，并弥补了其不足之处，即:波前上的没一点都可以看成是一个次级扰动中心，发出球面子波;在后一时刻这些子波的包络面就是新的波前，且子波之间相干叠加，利用场论中格林定理，得到较完善的数学表达式，确定了倾斜因子的具体形式。
在观察屏上P点的复振幅利用mathematica数值模拟圆孔衍射 2Aexp(ikl)exp(ikr) cos(n,r),cos(n,l) ~公式:E(P) d i lr2令C cos(,),cos(,)1，k( ) ， 2i exp(ikr)Acos(ikl)~~K( )d 且E(Q) ，则E(P) CE(Q) rl当点光源离孔径足够远时，此时到达孔的光可以看成事平面波，则cos(n) ,1, 令cos(,) cos ，则K( ) 1,cos 。
2因为基尔霍夫公式中被积函数的形式复杂，还需引入近似计算。
由伴轴近似11 ,(z1是观察屏和衍射屏之间的距离);又有夫琅rz1有cos 1，即K( ) 1，禾费近似，即将观察屏和光源移到离衍射孔径很远的地方，这时可以近似有x2,y2xx1,yy1r z1,,，如图2所示，其中(x1,y1)是衍射屏上的点坐标，(x,y)2z1z1是观察屏上的点坐标。
从而可以得到在观察屏上某点的复振幅公式:ik2 ik exp(ikz1)~~2 E(x,y) exp (x,y) E(x1,y1)exp ,(xx1,yy1) dx1dy1i z12z2z1 1x 图22.2 圆孔的夫琅禾费衍射2.2.1 复振幅公式利用mathematica数值模拟圆孔衍射 3圆孔夫琅禾费衍射的实验采用下图所示的系统。
yx图3因为观察夫琅禾费衍射需要入射平面波，故一般可以在衍射屏前放置一透镜，使入射光转化为平面波，也可以使用激光;又因为出射的光也是平面波，即要把观察屏放置在离衍射孔径很远的地方，但若是这样的话，在实验室中很难实现，所以可以使用透镜来缩短距离。
如图3所示，在孔径后紧靠孔径处放置一个焦距为f的透镜，则由透镜的性质，对应于θ方向的光波将通过透镜汇聚于焦面上的P点。
在焦面上观察到的衍射图样与没有透镜时在远场观察到的衍射图样相似，只是大小比例输小为f/z1。
这对于我们只关心的衍射图样的相对强度分布来说，并无任何影响。
假定圆孔的半径为R，圆孔中心O位于光轴上，由于圆孔的圆对称性,在计算圆孔的衍射强度分布时采用极坐标比较方便。
有x1 r1cos 1,y1 r1sin 1，xrcos ,y sin ，并把z1换成f，结合前面的观察屏上点(x,y)复振幅公式: ik ~ ik exikzp1()~E(P) ex (x2,y2) E(x1,y1)ex ,p(xx1,yy1) dx1dy1 ，可以得i z1 2z1 2z1~E(P) C’ exp ,ikr 1, ) r1dr1d 1，到夫琅禾费圆孔的复振幅公式:式中，1 cos(00a2CA’x2,y2C exp(ikf)，另一位相因子exp[ik()]在计算强度时最终将被消去，f2f’为使式子简化，上式省略。
根据零阶贝塞尔函数的积分表示式，1J0(Z) 2 2 ~’exp(iZcos )d E(P) 2 C ，则 J0(kr1 )r1dr1 ，根据J0(kr1 )为偶00a利用mathematica数值模拟圆孔衍射 4函数的性质与贝塞尔函数的递推关系2J(kR )~ 。
E(P) R2C’1kRd[ZJ1(Z)] ZJ0(Z) ,可以得到:dZ2.2.2 光强公式与光强分布分析22 2J(kR ) ~ 2J1(Z) I ,式中，p点的光强度I E(P) ( R2)2C’ 10 kR Z 22I0 ( R2)2C’是轴上点P0的强度，而Z kR 。