数学分析17.4多元函数微分学之泰勒公式与极值问题
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第十七章 多元函数微分学
4泰勒公式与极值问题
一、高价偏导数
概念1:二元函数z=f(x,y)的二阶偏导数有如下四种情形: (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z x =22x z ∂∂=f xx (x,y); (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z y =y
x z 2∂∂∂=f xy (x,y); (3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y z x =x y z 2∂∂∂=f yx (x,y); (4)⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y z y =22y z ∂∂=f yy (x,y). 二元函数z=f(x,y)的三阶偏导数有共有八种情形,如:
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂22x z x =33x z ∂∂=3x f (x,y);⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂22x z y =y x z 23∂∂∂=y x 2f (x,y);……
例1:求函数z=e x+2y 的所有二阶偏导数和23x
y z ∂∂∂. 解:∵z x =e x+2y ; z y =2e x+2y ;
∴z xx =e
x+2y ; z xy =2e x+2y ; z yx =2e x+2y ; z yy =4e x+2y ;23x y z ∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂x y z x 2=2e x+2y .
例2:求函数z=arctan x
y 的所有二阶偏导数.
解:∵z x =22x y 1x
y -
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-22y x y +; z y =2x y 1x
1
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22y x x +; ∴z xx =222)y (x 2x y +; z xy =-222222)y (x y 2y x +-+=22222)
y (x x y +-; z yx =222222)y (x x 2y x +-+=22222)y (x x y +-; z yy =-222)y (x 2x y +.
注:既有关于x又有关于y的高阶偏导数,称为混合偏导数.
定理17.7:若f xy(x,y)和f yx(x,y)都在点(x0,y0)连续,则f xy(x0,y0)=f yx(x0,y0). 证:令F(△x,△y)=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0+△x,y0)-f(x0,y0+△y)+f(x0,y0),
φ(x)=f(x,y0+△y)-f(x,y0),则F(△x,△y)=φ(x0+△x)-φ(x0).
∵f存在关于x的偏导数,∴φ可导,应用一元函数的中值定理,有φ(x0+△x)-φ(x0)=φ’(x0+θ1△x)△x
=[f x(x0+θ1△x,y0+△y)-f x(x0+θ1△x,y0)]△x, (0<θ1<1).
又由f x存在关于y的偏导数,∴对以y为自变量的函数f x(x0+θ1△x,y) 应用一元函数的中值定理,又有
φ(x0+△x)-φ(x0)=f xy(x0+θ1△x,y0+θ2△y)△x△y, (0<θ1,θ2<1).
∴F(△x,△y)=f xy(x0+θ1△x,y0+θ2△y)△x△y, (0<θ1,θ2<1).
若令ψ(y)=f(x0+△x,y)-f(x0,y),则有F(△x,△y)=ψ(y0+△y)-φ(y0).
同理可得F(△x,△y)=f yx(x0+θ3△x,y0+θ4△y)△x△y, (0<θ3,θ4<1).
当△x,△y不为零时,就有
f xy(x0+θ1△x,y0+θ2△y)=f yx(x0+θ3△x,y0+θ4△y), (0<θ1,θ2,θ3,θ4<1).
又f xy(x,y)和f yx(x,y)都在点(x0,y0)连续,∴当△x→0,△y→0时,
上式两边极限存在且相等,∴f xy(x0,y0)=f yx(x0,y0).
注:n元函数m阶混合偏导数在某点都连续时,则与顺序无关.
概念2:设z 是通过中间变量x,y 而成为s,t 的函数,即z=f(x,y), 其中x=φ(s,t), y=ψ(x,t). 若函数f,φ,ψ都具有连续的二阶偏导数,则作为复合函数z 对s,t 同样存在二阶连续偏导数,即由一阶偏导数: s z ∂∂=s x x z ∂∂∂∂+s y y z ∂∂∂∂,t z ∂∂=t x x z ∂∂∂∂+t
y y z ∂∂∂∂,可得二阶偏导数: 22s z ∂∂=s x x z s ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⋅∂∂s x s x z +s y y z s ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⋅∂∂s y s y z =s x x z 22∂∂ ⎝⎛∂∂+s x s y y x z 2∂∂⎪⎭⎫∂∂∂∂∂+22s x x z ∂∂⋅∂∂+s y y z 22∂∂ ⎝
⎛∂∂+s y s x x y z 2∂∂⎪⎭⎫∂∂∂∂∂+22s y y z ∂∂⋅∂∂ =222s x x z ⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+2s x s y y x z 2∂∂∂∂∂∂∂+2
22s y y z ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+22s x x z ∂∂⋅∂∂+22s y y z ∂∂⋅∂∂. 同理可得: 22t z ∂∂=222t x x z ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+2t x t y y x z 2∂∂∂∂∂∂∂+222t y y z ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+22t x x z ∂∂⋅∂∂+22t y y z ∂∂⋅∂∂. t s z 2∂∂∂=t x s x x z 22∂∂∂∂∂∂+t y s x y x z 2∂∂ ⎝⎛∂∂∂∂∂+⎪⎭⎫∂∂∂∂s y t x +t y s y y z 22∂∂∂∂∂∂+t s x x z 2∂∂∂⋅∂∂+t s y y z 2∂∂∂⋅∂∂=s t z 2∂∂∂.
例3:设z=f(x,y x ), 求22x z ∂∂,y
x z 2∂∂∂. 解:记z=f(u,v), u=x, v=y
x ,由复合函数求导公式有:
x z ∂∂=x u u f ∂∂∂∂+x v v f ∂∂∂∂=u f ∂∂+v
f y 1∂∂, ∴22x
z ∂∂= ⎝⎛∂∂∂∂u f x +⎪⎭⎫∂∂v f y 1=x u u f 22∂∂∂∂+x v v u f 2∂∂∂∂∂+ ⎝⎛∂∂∂∂∂x u u v f y 12+⎪⎭⎫∂∂∂∂x v v f 22 =22u
f ∂∂+v u f y 22∂∂∂+222v f y 1∂∂. y x z 2∂∂∂= ⎝⎛∂∂∂∂u f y +⎪⎭⎫∂∂v f y 1=y u u f 22∂∂∂∂+y v v u f 2∂∂∂∂∂-v f y 12∂∂+ ⎝⎛∂∂∂∂∂y u u v f y 12+⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂y v v f 22