泰勒公式与极值问题.
Taylor公式和极值问题
§ 4 Taylor 公式和极值问题(一) 教学目的：掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，掌握二元函数的极值的必要条件与充分条件． (二) 教学内容：二元函数的高阶偏导数；中值定理与泰勒公式；二元函数的极值的必要条件与充分条件． 基本要求：(1)掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，能够根据二元函数的极值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值．(2) 较高要求：掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明以及二元函数的极值的必要条件充分条件定理的证明．(三) 教学建议：(1) 布置适量的求二元函数的高阶偏导数和求二元函数的极值与最值的习题． (2) 讨论混合偏导和与求导次序无关的多种定理证明的习题有一定的难度，只对较好学生布置有关习题．————————————————————一． 高阶偏导数:1. 高阶偏导数的定义、记法：例9 ,2yx ez += 求二阶偏导数和23xy z ∂∂∂.例10 xy arctg z =. 求二阶偏导数.上面两个例子中，关于y x 和,的不同顺序的两个二阶偏导数都相等，，但是这个结论并不对任何函数都成立，例如⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2222y x y x yx yx xy y x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-+=)0,0(),(,0)0,0(),(,)(4(),(2224224y x y x y x y y x x y y x f x⎪⎩⎪⎨⎧=≠+--=)0,0(),(,0)0,0(),(,)(4(),(2224224y x y x y x y y x x x y x f y1lim)0,0(),0(lim)0,0(00-=∆∆-=∆-∆=→∆→∆yy yf y f f y x x y xy1lim)0,0()0,(lim)0,0(0=∆∆=∆-∆=→∆→∆xx xf x f f y y y x yx由此可知，),(y x f 关于y x 和,的不同顺序的两个二阶混合偏导数与求次序有关。
浅谈泰勒公式及其应用
浅谈泰勒公式及其应用摘要：大学泰勒公式在数学分析中是极其重要的公式，并且在经济领域中也占有一席之地。
泰勒公式是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，在近似计算上有着独特的优势，在微积分的各个方面有着重要的应用。
本文主要对泰勒公式在求极限、估计误差、证明求解积分、经济学计算等几个方面的应用给予举例说明进行研究。
关键词：泰勒公式 求极限 不等式 行列式泰勒公式的应用1、利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具。
利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。
当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。
例1 求2240cos limx x x e x -→-分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单。
解： 因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x eo -=+-+-+-又244cos 1()2!4!x x x o x =-++所以 24442111cos ()()()2484x x ex o x o x --=-+-441()12x o x =-+ 故2442441()cos 112limlim 12x x x x o x x e x x -→∞→∞-+-==- 例2 求极限2240cos limsin x x x ex-→-解： 因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，22x e -展开到x 的4次幂即可。
24411cos 1()2!4!x x x o x =-++ 22224211()()22!2x x x eo x -=-+-+故 2240cos limsin x x x e x-→-444011()()4!8lim x x o x x →-+=112=-带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单。
多元函数的Taylor公式与极值问题课件
实际应用中的考虑因素
实际问题的背景
在应用极值理论时，需要考虑实际问题的背景和限制条件，如物 理定律、约束条件等。
数据的不确定性
在实际问题中，数据往往存在不确定性，需要考虑这些不确定性 对极值分析的影响。
模型的适用性
在应用极值理论时，需要考虑模型的适用性，确保模型能够准确 地反映实际情况。
07
与望
05
利用Taylor公式求解极
方法概述
定义
Taylor公式是用于近似表达一 个多元函数在某点附近的行 为
的公式。
形式
Taylor公式的一般形式为 f(x)≈f(a)+f'(a)(x−a)+12f''(a) (x−a)2+…+1n!f(n)(a)(x−a)n
+…。
应用
利用Taylor公式，我们可以找 到函数在某点的极值。
06
极求解的注事与 技巧
常见错误分析
忽视函数的定义域
在求解极值问题时，必须先确定函数的定义域，否 则可能导致错误的结论。
对导数的理解不足
导数描述了函数在某一点的切线斜率，若对导数的 理解不准确，可能导致错误的极值点判断。
未考虑多极值点的情况
在某些情况下，函数可能有多个极值点，需要全面 考虑，避免遗漏。
定义
一元函数在某点的Taylor公式是 该函数在该点附近的一个多项式 近似表示。
形式
一元函数的Taylor公式的一般形 式为 f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)(x -a)^n/n! + Rn(x)
泰勒公式与极值问题
纯偏导
2 z 2 z z z f ( x , y ), f yx ( x , y ) xy y x xy x y yx
混合偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
例 1 设 z x 3 y 2 3 xy 3 xy 1，
定理 1（必要条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且 在点 ( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必然 为零：
f x ( x 0 , y0 ) 0 ，
f y ( x 0 , y0 ) 0 .
证
不妨设 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处有极大值,
在 (0, 0) 处, A f xx (0,0) 0,
C f yy (0,0) 0.
AC B 2 9 0.
因此，驻点 (0, 0) 不是极值点.
在 (1, 1) 处, A f xx (1,1) 6 0,
B f xy (1,1) 3, C f yy (1,1) 6.
f ( x0 h , y0 k ) 1 1 h k f ( x0 , y0 ) h k y (n 1)! x y i 0 i ! x
n i n 1
f ( x0 h , y0 k ).
得驻点 ( 1 , 1 ) 和 ( 1 , 1 ) , 2 2 2 2
因为 lim
x y
x y 0 2 2 x y 1
即边界上的值为零.
x y 因为 lim 2 0 2 x x y 1
y
即边界上的值为零.
泰勒公式与极值问题
⎧ x2 − y2 2 2 , x + y ≠0 ⎪ xy 2 2 f ( x, y ) = ⎨ x + y . ⎪0, 2 2 + =0 x y ⎩
4. 混合偏导
f xyx ( x , y ), f xxy ( x , y ), f yxx ( x , y ).
是否一定相等?何时相等?
若Z=f(x,y)的两个偏导函数 fx(x,y)与fy(x,y)关于x和y存在偏导数，则称 f(x,y)具有二阶偏导数。 z=f(x,y)的二阶偏导数有四种情形：
分析:
f ( x + Δx , y ) − f ( x , y ) f x ( x , y ) = lim , Δx →0 Δx
Δy →0
f xy ( x , y ) = lim
Δy →0
f x ( x , y + Δy ) − f x ( x , y ) Δy
f y ( x + Δx , y ) − f y ( x , y ) Δx
§4 泰勒公式与极值问题 一、高阶偏导数 问题：
1. 以下符号的含义:
∂2 z ∂2 z ∂2 z ∂2 z , f xy ( x , y ), , f yx ( x , y ), , f yy ( x , y ). , f xx ( x , y ), 2 2 ∂x∂y ∂y∂x ∂y ∂x
2. 二阶偏导数的定义(极限形式). 3. 典型例子:求二元函数f(x,y)在的二阶偏导数:
ϕ ( x ),ψ ( y )
问题答：
5. 若记 则
ϕ ( x ) = f ( x , y + Δy ) − f ( x , y ), ψ ( y ) = f ( x + Δx , y ) − f ( x , y ),
泰勒公式与函数极值——极值判定的充分条件
泰勒公式与函数极值——极值判定的充分条件泰勒公式是利用多项式函数在某一点处的极限，展开它(函数)成无穷多个加和，使得函数值在这一点变得更加精确，或让这一点附近的计算更加容易，从而计算出更接近函数真实值的近似值。
泰勒公式是在多项式函数中提出来的极大极小值判定的一种常用充分条件。
一、泰勒公式泰勒公式通常用来计算多项式函数在某一特定点处的极限值，也可以用来估计函数的值。
它由物理学家、数学家泰勒提出，展开它一般有两种形式，即展开到第n项，前n项和后n项各自构成一种展开形式。
1. 展开到第n项：f(x)=f(a)+[f'(a)](x-a)+[f”(a)]/2!(x-a)2+……+[f(n)(a)]/n!(x-a)n。
2. 前n项展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"/2!(x-a)2+……+f(n)(a)(x-a)n-o(x-a)n+1。
二、极值判定的充分条件极值判定的充分条件是当函数的一阶导数或二阶导数等于零时，函数就可能有极值。
根据极值的定义，可以得出三类极值判定充要条件:1. 一阶导数判定：f′(x)=0或无限大无限小，则此点可能是极大值点，或者极小值点。
2. 二阶导数判定：当二阶导数f″(x)存在，若此点是极大值点，则f″(x)<0，反之，若此点是极小值点，则f″(x)>0。
3. 三阶导数判定：当函数的三阶导数f‴(x)存在，若此点是极大值点，则f‴(x)>0；反之，若此点是极小值点，则f‴(x)<0。
总结：1. 泰勒公式是一种可以解决多项式函数某一特定点处极限值的计算方法，展开形式有展开到第n项和前n项展开两种形式。
2. 极值判定的充分条件是函数的一阶导数或双阶导数等于零时，函数就可能有极值，根据此定义，可以得出判定极值的一阶，二阶及三阶导数判定条件。
多元函数泰勒公式
的一阶偏导数为仍存在偏导数则称它们为函数的二阶偏导数连续都在点例如对三元函数u说明
4 泰勒公式与极值
高阶导数 中值定理和泰勒公式
问题
一、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的一阶偏导数为 fx ( x, y) , f y ( x, y) 仍存在偏导数，则称它们为函数 z f ( x, y) 的二阶
其中记号
h
x
k
y
f
(
x0
,
y0
)
表示 hf x ( x0 , y0 ) kf y ( x0 , y0 ),
2
h k x y
f ( x0 , y0 )
表示 h2 f x x ( x0 , y0 ) 2hkfxy ( x0 , y0 ) k 2 f yy ( x0 , y0 ),
f xy ( x0 1x, y0 2y)xy, 0 1,2 1
F(x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ( x0 ) (x0 x)
( y0 x) ( y0 ) ( y0 3y)y
内为一常数.
在泰勒公式(1) 中, 如果取 x0 0, y0 0 , 则(1)式成为n阶麦克劳林公式.
f ( x, y) f (0,0) x y f (0,0) x y
1 x
y
2
f (0,0)
1 x
y
n
f (0,0)
2! x y
n! x y
n1
1 x y f (x,y),
(n 1)! x y
(0 1) (5)
例 6 求函数 f ( x, y) ln(1 x y) 的三阶麦
第三节++泰勒定理+函数极值判定
第三节 泰勒定理，函数极值判定§3.1 泰勒定理当一个函数给出了具体表达式后，有的函数值并不是很容易计算，例如f(x)＝e x，f(0.312)＝e0^312，若用十进制表示，如果不借助计算器或查表是很难计算出来的。
如何解决这一难题，多项式函数是各类函数中最简单的一种，因为它只需用到四则运算，从而使我们想到能否用多项式近似表达一般函数，实际上这是近似计算与理论分析的一个重要内容。
若函数为n 次多项式f(x)＝a ０+a 1（x-x ０）＋a ２（x-x０）２＋……＋a n (x-x ０)n (1) 逐次求它在x=x ０处的各阶导数，有f(x ０)＝a ０，f ′（x ０）＝a １，f ″（x ０）＝2!，a２，……，f(n) (x ０)＝n!a n即 a ０＝f(x ０)，a １＝f ′（x ０），a ２＝!2)x ("f 0……，a n ＝!n )x (f 0)n ( 因而(1)式可写为f(x)=f(x ０)+f ′（x ０）（x －x ０）＋!2)x ("f 0 (x －x ０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x －x ０)n(2)所以多项式f(x)的各项系数由其各阶导数值唯一确定对一般函数f(x)，若存在直到n 阶导数，则按(2)式右端也可以相应地写出一个多项式，记作P n (x)，则P n (x)＝f(x ０)＋!1)x ('f 0 (x-x ０)＋!2)x ("f 0 (x-x ０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x-x ０)n那么f(x)与P n (x)之间有什么关系呢， 由拉格朗日定理知，若f(x)在x ０的邻域内存在一阶导数，则f(x)－f(x ０)＝f ′(ζ)(x －x ０) 即 f(x)＝f(x ０)＋f ′（ζ）(x －x ０) 若f(x)在x ０的邻域内存在n+1阶导数，则 f(x)=P n (x)＋Ｋ（x －x ０）n ＋１ k 与f（n+1）（ζ）有关，因此，我们猜想f(x)=P n (x)＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x-x ０)n+1因此，有定理(泰勒( Taloyr )定理) 设函数f(x)在区间X 上存在n ＋1阶导数，对每一个x ０∈X ，则任给x ∈X,有f(x)＝P n (x)＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x －x ０)n＝f(x ０)＋f ′（x ０）（x －x ０）＋!2)x ("f 0 (x －x０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x －x ０)n ＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x-x ０)n (1)ζ介与x ０，x 之间的某一点。
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在 (0, 0) 处, A f xx (0,0) 0,
C f yy (0,0) 0.
AC B 2 9 0.
因此，驻点 (0, 0) 不是极值点.
f xx ( x , y ) 6 x ,
f xy ( x , y ) 3,
f yy ( x , y ) 6 y . B f xy (0,0) 3,
2z 2z 3z 2z 2z 求 2、 、 、 2及 3. yx xy y x x
z z 3 2 2 2 3 解 2 x y 9 xy x; 3 x y 3 y y, y x
z z z 2 3 2 6 xy , 2 x 18 xy; 6 y , 2 2 x y x 3 2 2 z z 2 2 2 2 6 x y 9 y 1, 6 x y 9 y 1. xy yx
f ( x0 h , y0 k ) 1 1 h k f ( x0 , y0 ) h k y (n 1)! x y i 0 i ! x
n i n 1
f ( x0 h , y0 k ).
例 3 求函数
f ( x, y) x
y
在点 ( 1 , 4 ) 的 Taylor 公式 ( 到 P175—176
3.96 ( 1 . 08 ) . 二阶为止 ) . 并用它计算
二、多元函数的极值和最值
1、二元函数极值的定义 设函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义，
2 3
2
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
原 函 数 图 形 偏 导 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
导二 函阶 数混 图合 形偏
例2
设 u e ax cos by ，求二阶偏导数.
解
u aeax cos by, x
u beax sin by; y
则对于 ( x0 , y0 ) 的某邻域内任意 ( x , y ) ( x0 , y0 )
都有
f ( x , y ) f ( x 0 , y0 ) ,
故当 y y0 ， x x0 时， 有 f ( x , y0 ) f ( x0 , y0 ) ,
说明一元函数 f ( x , y0 ) 在 x x0 处有极大值,
2z 2z 及 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
两个二阶混合偏导数必相等．
例 3 验证函数 u( x , y ) ln x 2 y 2 满足拉普拉 2u 2u 斯方程 2 2 0. x y
1 2 2 ln x y ln( x y ), 解 2 u x u y 2 , 2 , 2 2 x x y y x y
得驻点 ( 1 , 1 ) 和 ( 1 , 1 ) , 2 2 2 2
因为 lim
x y
x y 0 2 2 x y 1
即边界上的值为零.
x y 因为 lim 2 0 2 x x y 1
y
即边界上的值为零.
1 1 1 z( , ) , 2 2 2
1 1 1 z( , ) , 2 2 2
纯偏导
2 z 2 z z z f ( x , y ), f yx ( x , y ) xy y x xy x y yx
混合偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
例 1 设 z x 3 y 2 3 xy 3 xy 1，
定理 1（必要条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且 在点 ( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必然 为零：
f x ( x 0 , y0 ) 0 ，
f y ( x 0 , y0 ) 0 .
证
不妨设 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处有极大值,
z y x , z y (0,0) 0.
但点 (0, 0) 不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理 2（充分条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内连 续，有一阶及二阶连续偏导数，又 f y ( x 0 , y0 ) 0 ， f x ( x 0 , y0 ) 0 ,
2 2
2u ( x 2 y 2 ) x 2 x y2 x2 2 2 , 2 2 2 2 2 x (x y ) (x y ) 2u ( x 2 y 2 ) y 2 y x2 y2 2 . 2 2 2 2 2 2 y (x y ) (x y ) 2u 2u y2 x2 x2 y2 2 2 2 2 2 2 2 2 0. x y (x y ) (x y )
§4 泰勒公式与极值问题
一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式
一、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
2 z 2 z z z f ( x , y ), 2 f yy ( x , y ) xx 2 x x x y y y
极大值、极小值统称为极值.
使函数取得极值的点称为极值点.
2 2 函数 z 3 x 4 y 例1 在 (0,0) 处有极小值．
(1)
2 2 函数 z x y 例２
在 (0,0) 处有极大值．
(2)
例３ 函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
(3)
2、多元函数取得极值的条件
f y ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 ，
f z ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 .
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点. 注意： 偏导数存在的极值点
例如，点 ( 0, 0) 是函数 z xy 的驻点，
驻点
z x y, z x (0,0) 0;
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组
f ( x, y) 0
求出所有驻点.
第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B 2 的符号，再判定是否是极值.
3 3 f ( x , y ) x y 3 xy 的极值。 例3 求函数 2 2 解 f ( x , y ) 3 y 3 x. f x ( x, y ) 3 x 3 y, y
1 1 所以最大值为 ，最小值为 . 2 2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外， 并无其他条件.
2 条件极值拉格朗日乘数法
实例：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急
需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买 x 张磁盘， y 盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U(x, y) = lnx+lny ．设每张磁 盘 8 元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果．
对于该邻域内异于 ( x0 , y0 ) 的点( x , y ) ： 若满足不等式 若满足不等式
f ( x , y ) f ( x 0 , y0 ) ，
则称函数在 ( x0 , y0 ) 有极大值；
f ( x , y ) f ( x 0 , y0 ) ，
则称函数在 ( x0 , y0 ) 有极小值；
3 x 2 3 y 0, 求解方程组： 2 3 y 3 x 0.
得驻点 (0, 0), (1, 1).
2 x y, 2 y x.
f xx ( x , y ) 6 x ,
f xy ( x , y ) 3,
f yy ( x , y ) 6 y . B f xy (0,0) 3,
二 中值定理和泰勒公式
.
系
fx
若函数 f 在区域 D 上存在偏导数 , 且
f y 0 , 则 f 是 D 上的常值函数.
Taylor公式 Th 17.9 (Taylor 定理) 若函数 f 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某邻域 ( P0 ) 内有直到 n 1 阶连续偏导数 , 则 对 ( P0 ) 内任一点 ( x0 h , y0 k ) ,存在相应的 (0 , 1 ) , 使
在(0, 0) 处取得极小值. 但函数在(0, 0) 处偏导数
不存在。
3、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值 来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法：
将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值.
例4
必有
f x ( x 0 , y0 ) 0 ;
类似地可证
f y ( x 0 , y0 ) 0 .
推广：如果三元函数 u f ( x , y , z ) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必 要条件为
f x ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 ，
令
f xx ( x0 , y0 ) A ，
f xy ( x0 , y0 ) B ，
f yy ( x0 , y0 ) C ，则 (1) AC B 2 0 时具有极值，且
当 A 0 时有极大值， 当 A 0 时有极小值； (2) AC B 2 0 时没有极值； (3) AC B 2 0 时可能有极值,也可能没有极值， 还需另作讨论．
2u 2 ax b e cos by, 2 y u abeax sin by. yx