经典超级实用的解题方法之平面向量与解析几何
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第18讲 平面向量与解析几何
在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。
一、知识整合
平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。
二、例题解析
例1、（2000年全国高考题）椭圆14
92
2=+y x 的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___。
解：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ）
21PF F ∠Θ为钝角
∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=
-⋅-u u u r u u u u r （ =9cos
2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0 解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（5
53,553-） 点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。
例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求22
PA PB +的最大值和最小值。 分析：因为O 为AB 的中点，所以2,PA PB PO +=u u u r u u u r u u u u r 故可利用向量把问题转化为求向量OP u u u r 的最值。
解：设已知圆的圆心为C ，由已知可得：{1,0},{1,0}OA OB =-=u u u r u u u r
0,1OA OB OA OB ∴+=⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r 又由中点公式得2PA PB PO +=u u u r u u u r u u u r 所以222()2PA PB PA PB PA PB +=+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
=2(2)2()()PO OA OP OB OP --⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =224222(
PO OA OB OP OP -⋅-+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u =222OP +u u u r
又因为{3,4}OC =u u u r 点P 在圆(x-3)2+(y-4)2=4上所以5,2,OC CP ==u u u r u u u r 且OP OC CP =+u u u r u u u r u u u r 所以OC CP OP OC CP OC CP -≤=+≤+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
即37OP ≤≤u u u r 故2222022100PA PB OP ≤+=+≤u u u r u u u r u u u r
所以22PA PB +的最大值为100，最小值为20。
点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，
也会显得自然、简便，而且易入手。
例3、（2003年天津高考题）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P
满足||||(AC AB OA OP ++=λ，[)∞∈＋，
0λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） （A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心
分析：因为||||
AB AC AB AC AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 、分别是与、同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知||||
AB AC AB AC +u u u r u u u r u u u r u u u r 是与∠ABC 的角平分线（射线）同向的一个向量，又()AB AC OP OA AP AB AC
λ-==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，知P 点的轨迹是∠ABC 的角平分线，从而点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心。
反思：根据本题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；
（1） 由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量12v v u r u u r 、；
（2） 求出角平分线的方向向量1212
v v v v v =+u r u u r r u r u u r
（3） 由点斜式或点向式得出角平分线方程。{直线的点向式方程：过P （00,x y ），其方向
向量为(,)v a b r ，其方程为00x x y y a b --=} 例4、（2003年天津）已知常数0>a ，向量(0,)(1,0)c a ==r r ，
i ，经过原点O 以c i λ+r r 为方向向量的直线与经过定点),0(a A 以2i c λ-r r 为方向向量的直线相交于点P ，其中R ∈λ．试问：是否
存在两个定点F E 、，使得PE PF +u u u r u u u r 为定值，若存在，求出F E 、的坐标；若不存在，说明理由．
（本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.）
解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到
两定点距离的和为定值.
∵(0,)(1,0)c a ==r r ，i ， ∴c i λ+r r =（λ，a ），2i c λ-r r =（1，－2λa ）.
因此，直线OP 和AP 的方程分别为 ax y =λ 和 ax a y λ2-=-.
消去参数λ，得点),(y x P 的坐标满足方程222)(x a a y y -=-.
整理得 .1)2()2(812
22=-+a a y x ……① 因为,0>a 所以得：
（i ）当2
2=a 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ； （ii ）当2