教你如何填幻方[]
填幻方的方法
填幻方的方法幻方是一种数学游戏，它是由一组数字排列在一个方阵中，使得每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
填幻方的方法有很多种，下面我将介绍几种常见的方法。
1. 基本方法填幻方的基本方法是从方阵的中间开始，将数字1放在第一行中间的列，然后从数字2开始按照规则填充其他数字。
具体规则是：如果当前位置的右上方没有数字，则将下一个数字放在右上方；如果当前位置的右上方有数字，则将下一个数字放在当前位置的正下方。
当数字超过方阵的范围时，需要将该数字放在相应位置的对角线上。
这样一直填充到方阵被填满为止。
2. 四个角的方法四个角的方法是指将数字1放在方阵的四个角上，然后按照一定规则填充其他数字。
具体规则是：如果当前位置的右上方没有数字，则将下一个数字放在右上方；如果右上方有数字，则将下一个数字放在当前位置的正下方。
当数字超过方阵的范围时，需要将该数字放在相应位置的对角线上。
这样一直填充到方阵被填满为止。
3. 阶梯法阶梯法是指将数字1放在方阵的左上角，然后按照一定规则填充其他数字。
具体规则是：如果当前位置的右上方没有数字，则将下一个数字放在右上方；如果右上方有数字，则将下一个数字放在当前位置的正下方。
当数字超过方阵的范围时，需要将该数字放在相应位置的对角线上。
这样一直填充到方阵被填满为止。
4. 中心对称法中心对称法是指将数字1放在方阵的中心位置，然后按照一定规则填充其他数字。
具体规则是：如果当前位置的右上方没有数字，则将下一个数字放在右上方；如果右上方有数字，则将下一个数字放在当前位置的正下方。
当数字超过方阵的范围时，需要将该数字放在相应位置的对角线上。
这样一直填充到方阵被填满为止。
填幻方的方法有很多种，每种方法都有其特点和应用场景。
无论采用哪种方法，都需要遵循相应的规则，确保幻方的每行、每列和对角线上的数字之和相等。
填幻方不仅是一种数学游戏，也是一种锻炼思维和逻辑能力的好方法。
通过填幻方，我们可以锻炼自己的观察力、分析能力和解决问题的能力。
填幻方技巧
填幻方技巧什么是幻方？幻方是一种数学谜题，它由一个n×n 的方阵组成，其中填充了从1到 n^2 的整数，使得每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
幻方有着悠久的历史，可以追溯到几百年前。
幻方的分类根据幻方的特性和规则，我们可以将其分为以下几类：奇阶幻方奇阶幻方是指边长为奇数的幻方。
例如3阶、5阶、7阶等。
奇阶幻方最早出现在中国古代文献中，并且在各种文化中得到广泛应用。
偶阶幻方偶阶幻方是指边长为偶数的幻方。
例如4阶、6阶、8阶等。
偶阶幻方相对于奇阶幻方来说更加复杂，因为它们需要遵循特定的构造规则。
多重幻方多重幻方是指在同一个正方形中同时存在多个不同边长的完美平衡填充数字的方式。
这种类型的幻方通常具有更高级别的难度和挑战性。
填幻方的技巧下面将介绍一些填写幻方的技巧，帮助你更好地解决幻方谜题：1. 奇阶幻方的填写技巧对于奇阶幻方，最简单的方法是使用“Siamese method”（中文名：暹罗法）来填写。
这种方法可以确保你能够快速而准确地填写奇阶幻方。
暹罗法的基本步骤如下： - 将数字1放在第一行中间的位置。
- 从数字2开始，按照以下规则进行填写： - 如果当前位置的右上角为空，则将数字放在右上角。
- 如果当前位置超出第一行，则将数字放在下一列的最后一个位置。
- 如果当前位置超出最后一列，则将数字放在第一列的相同行。
- 如果当前位置已经被占用，则将数字放在当前位置下面一行。
2. 偶阶幻方的填写技巧对于偶阶幻方，填写起来相对更加困难。
有许多不同的方法和算法可以用来构造偶阶幻方，其中著名且常用的方法是“LUX method”（中文名：LUX法）。
LUX法的基本步骤如下： - 将数字1放在第一行中间的位置。
- 从数字2开始，按照以下规则进行填写： - 如果当前位置的右上角为空，则将数字放在右上角。
- 如果当前位置超出第一行，则将数字放在下一列的最后一个位置。
- 如果当前位置超出最后一列，则将数字放在第一列的相同行。
9格幻方的小技巧
9格幻方的小技巧
1. 嘿，你知道吗，填 9 格幻方有个超棒的小技巧！比如在填数字的时候，先找到中间那个格子，把中间数填进去，这就像给整个幻方找到了中心呀！像 1 到 9 来填，把 5 填在中间。
2. 哇哦，还有一个很有用的哦！从最小的数字开始，按照一定顺序去填，这就像排着队一个一个来，多有序啊！比如依次从左上角开始填。
3. 嘿呀，注意啦！每行每列的数字之和要是一样的哦，这可不能马虎。
就好比是一群小伙伴，大家的实力都要差不多才行呢！比如填好后检查一下是不是每行每列的和都相等。
4. 哎呀呀，把数字对称着填也很不错哦！这就像照镜子一样，两边是一样的，多有意思！像左上角和右下角的数字可以对称着来填。
5. 嘿，填的时候要大胆尝试呀！别害怕错，就像冒险家一样去探索。
比如填一个数字感觉不太对，那咱就换个试试。
6. 哇，注意数字的奇偶性搭配哟！这就像跳舞的时候男女搭配一样重要呢！比如奇数和偶数合理分布。
7. 哈哈，最后别忘了整体检查一遍呀！这就像考试完检查试卷一样重要呢！看看有没有填错的地方。
我觉得呀，这些小技巧能让填 9 格幻方变得更有趣，也更容易，大家
赶紧去试试吧！。
填幻方的规律口诀
填幻方的规律口诀
“填幻方的规律口诀”是一种帮助人们快速解决填幻方问题的口头提示。
它由一些有关填幻方规则的简洁明了的语句所组成，使用者可以根据这些语句来记住填幻方的规则，从而更快地解决填幻方问题。
填幻方的规律口诀主要有三条：
第一条规律口诀：“横竖角及斜行之和皆相等。
”这条规律口诀提示我们，填幻方中每一行、每一列以及对角线上的数字总和都应相等，即所有行、列和对角线上的数字之和应为15。
第二条规律口诀：“每行每列必不重复。
”这条规律口诀告诉我们，填幻方中每一行和每一列上的数字都不能重复，即同一行、同一列上的数字不能重复出现。
第三条规律口诀：“宫宫相连互不重复。
”这条规律口诀提示我们，填幻方中每个小宫格中的数字都不能重复，即每个小宫格中的数字不能重复出现。
填幻方的规律口诀可以帮助人们记住填幻方的规则，并辅助人们快速解决填幻方问题。
首先，我们可以根据“横竖角及斜行之和皆相等”的规则口诀，计算出每一行、每一列以及对角线上的数字之和应为15。
其次，根据“每行每列必不重复”的规则口诀，我们可以确保每一行
和每一列上的数字不会重复出现。
最后，根据“宫宫相连互不重复”的规则口诀，我们可以确保每个小宫格中的数字不会重复出现。
因此，“填幻方的规律口诀”是一种非常有用的工具，可以帮助人们快速解决填幻方问题。
使用者可以根据这些口诀记住填幻方的规则，从而更快地解决填幻方问题。
填写3阶幻方的口诀
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填写3阶幻方的口诀：
1 居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写，右出框时左边放，重复便在下格填，出角重复一个样。
1 居上行正中央——数字 1 放在首行最中间的格子中；
依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字；
上出框界往下写——如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中；
右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字平移至最左列对应的格子中；
重复便在下格填——如果数字｛N｝右上的格子已被其它数字占领，就将｛N＋1｝填写在｛N｝下面的格子中；
出角重复一个样——如果朝右上角出界，和“重复”的情况做同样处理。
3阶幻方不止这一种填法，只要间1放于四个变格的正中，向幻方外侧依次斜填其余数字；若出边，将数字另一侧；若目标格已有数字或出角，回一步填写数字，再继续按一开始的相同方向依次斜填其余数字。
3阶幻方（九宫格）的填法如下8种：
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四阶幻方的7种填法
四阶幻方的7种填法介绍四阶幻方是指一个4x4的方阵，其中每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等。
填写四阶幻方的问题在历史上一直受到数学家们的关注。
在本文中，我们将探讨四阶幻方的七种填写方法，并详细介绍每种方法的步骤和原理。
七种填法列表以下是四阶幻方的七种填写方法的简要概述：1.阶梯填法2.曼德布罗特法3.斡旋填法4.蛇形填法5.固定填法6.割圆换位法7.中心填法接下来，我们将逐一介绍这些方法。
1. 阶梯填法阶梯填法是最简单的一种方法，按照固定的步骤依次填写数字。
具体步骤如下：1.将数字1填入第一行的中间位置。
2.从上一次填写的位置开始，每次向右上方移动一格，并将下一个数字填入当前位置。
3.如果移动到了方阵的边界，则循环回到对应的边界位置继续填写。
2. 曼德布罗特法曼德布罗特法是一种基于数学原理的填写方法。
步骤如下：1.将方阵分成四个相等的子方阵。
2.将填写顺序为1、2、3、4的四个数字依次填入子方阵的对角线上。
3.将填写顺序为5、6、7、8的四个数字依次填入剩余的位置，每个数字都比之前填写的数字大3。
4.重复上述步骤直到填满方阵。
曼德布罗特法利用对角线上的数字之和恒定这个性质，可以保证得到一个幻方。
3. 斡旋填法斡旋填法是一种以斡旋动作为基础的方法。
步骤如下：1.将数字1填入第一行的中间位置。
2.按照斡旋的规律，依次填写数字2-8，直到填满顺时针方向斡旋的部分。
3.从下一个数字9开始，按照逆时针方向斡旋的规律填写剩余的数字。
4.重复上述步骤直到填满方阵。
斡旋填法确保每个数字都填写在前一个数字的相对位置上，从而构成一个幻方。
4. 蛇形填法蛇形填法是一种模仿蛇形行进的填写方法。
步骤如下：1.将数字1填入第一行的中间位置。
2.从1的位置开始，依次向右填写数字2-7。
3.当到达方阵的边界时，向下一行并继续填写。
4.填写数字8-15的步骤与2、3相似，但方向相反。
5.重复上述步骤直到填满方阵。
在蛇形填法中，每个数字都与上一个数字相邻，并按照特定的方向交替填写，确保了填满的方阵是一个幻方。
幻方的口诀顺口溜
幻方的口诀顺口溜
1. 幻方真奇妙，口诀要记牢，一居上行正中央，这个例子很明了，就像找到了宝藏的钥匙哟！比如3×3 的幻方，数字1 不就放在最上面一行的正中央嘛！
2. 依次斜填切莫忘，哎呀呀，可别小看它呀！就像走迷宫有了方向一样。
你看那个 4 不就斜着填下去嘛！
3. 上出框时往下填，这多有意思呀，就好比球弹到了地上又弹起来。
像 7 超出框了，不就往下填嘛！
4. 右出框时往左填，嘿，是不是很好玩呀，如同汽车拐弯换了个道儿。
数字 9 不就这样填嘛！
5. 排重便在下格填，哇塞，这感觉就像纠错一样呢！要是碰到重复的数字，不就往下一格填嘛，就像避开障碍。
6. 右上排重一个样，可不是嘛，就像遇到同样的困难有同样的解决办法。
比如右上有数字了，也得这样处理呀！
7. 幻方口诀真好用，绝对让你大不同，你想想，用了口诀解幻方多轻松呀！
8. 记住口诀不慌张，仿佛有了定海神针呀！不管遇到啥样的幻方都不怕啦！
9. 轻松玩转幻方界，哎呀呀，那感觉就像武林高手称霸江湖一样呢！
10. 幻方口诀顺口溜，大家一定要记熟，真的超级有用处哟！就像拥有了神奇的魔法棒！
我的观点结论：幻方的口诀顺口溜真的太重要啦，能让我们快速掌握幻方的技巧，大家一定要好好记住呀！。
填幻方的方法初中数学
填幻方的方法初中数学填幻方是数学中一个有趣且具有挑战性的问题。
幻方是一个由整数构成的方阵，使得每一行、每一列以及每条对角线上的数字之和都相等。
填幻方的方法可以通过不同的策略和技巧来解决。
下面将介绍一些填幻方的方法以及相关的数学原理。
首先，最简单的填幻方方法是针对特定的幻方类型使用已知的规则。
常见的幻方类型包括3阶、4阶、5阶等等。
对于3阶幻方，可以使用以下规则进行填充：123456789根据幻方的定义，幻方的每一行、每一列以及每条对角线的和都应该等于15、因此，我们可以选择一个起始位置，并将15除以3，得到每个格子应该填充的数值。
根据这个规则，我们可以填入：123456789对于4阶幻方，可以使用以下规则进行填充：12345678910111213141516同样地，我们可以选择一个起始位置，将34除以4，得到每个格子应该填充的数值。
根据这个规则，我们可以填入：12151612461081151413973这些规则可以应用于一些特定的幻方类型，但对于更大的幻方或者其他类型的幻方，可能需要使用不同的方法来填充。
其次，对于更复杂的幻方，可以使用反推法来进行填充。
反推法是一种通过逆向的推理来填充幻方的方法。
首先，我们可以确定幻方中心位置的数值，然后逐渐向外推断每个格子应该填充的数值。
例如，对于一个5阶幻方，我们可以选择中心位置为13，然后可以确定四个对角线上的数值，即1、9、17、25、而中心位置的上方和下方的数字可以根据1、9、17、25逐渐增加或递减，经过一定规律的运算得到。
然后，我们可以利用这些确定的数值来推算其他的格子数值。
最后，对于更复杂的幻方，可以使用迭代法进行填充。
迭代法是一种通过不断重复特定的操作来逐渐逼近解的方法。
在填幻方的问题中，迭代法可以通过不断调整幻方中的数字来逼近正确的解。
例如，对于一个奇数阶的幻方，可以先将幻方的中心位置填充为1，然后对幻方中的每个格子进行遍历。
对于每个格子，根据其相邻格子的数值来确定应该填充的数值。
幻方_??????
幻方1.概念简析：幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样.2.构造幻方常用的方法：（1）适用于所有奇数阶幻方的填法—罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．（2）仅适用于三阶幻方—九宫格口诀.口诀是：九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。
（3）适用于所有偶数阶幻方的填法—对称交换的方法1.将数依次填入方格中，对角线满足要求。
2.调整行，对角线数不动，对称行的其它数对调；调整列，对角线数不动，对称列的其它数对调。
3.三阶幻方的性质：1.幻和相等，幻和等于9个数的和除以3.2.中间数必位于幻方中心，中间数等于幻和除以3.3.黄金三角: 黄金三角顶点的数为两腰之和除以2.视频描述把0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数填在下面图中的方格内，使每行、每列和每条对角线上的三个数的和都相等。
1.1.请用11、13、15、17、19、21、23、25、27编制一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把7—15这九个数构成一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！3.3.请用1、4、7、10、13、16、19、22、25编制一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！视频描述将下面左边方格中的9个数填入右边方格中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和都相等。
1.1.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把３、４、５、８、９、10、13、14、15编成一个三阶幻方，并求出幻和是多少？3.3.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。
幻方之填法(自我学习总结)
幻方的填写技巧一、N阶幻方的分类：1、奇数阶幻方：当n=2k+1时，称为奇数阶幻方。
2、偶数阶幻方：（1）双偶数幻方：当n=4k=2×2k时，称为双偶数数阶幻方。
（2）单偶数幻方：当n=4k+2=2×(2k+1）时，称为单偶数阶幻方。
二、幻方的填写方法：1、奇数阶幻方：可按照如下方法操作：Merzirac法，有人也叫楼梯法，我管它叫斜步法，即走X+Y斜步（数字按右上方顺序填入），-Y跳步（如果右上方已有数字或出了对角线，则向下移一格继续填写）。
其实斜步法可以向4个方向依次填写数字，即右上、右下、左上、左下4个方向，每种斜步都可有2种跳步，即左（右）跳步、上（下）跳步。
对于X+Y斜步相应的跳步可以为-X，-Y。
【记住，跳步是X+Y斜步的X（或Y）相反方向即可。
如右上方向斜步，跳步就为向左（或向下）一步；左下方向斜步，跳步就为向右（或向上）一步；等等等等】（2）杨辉“阳动阴静”法南宋杨辉不仅精通数学，而且精通易学，在他1275年所著的《续古摘奇算法》中，就对河图和洛书的数学问题进行了详尽的研究。
其中对3阶幻方的排列，找出了一种奇妙的规律：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，清代，李光地的《周易折中》把杨辉所概括的这种排列排列原理为“阳动阴静”。
2、双偶数阶幻方：可按照如下方法操作：（一）四阶幻方：（1） （2） 对角线以外的数字关于对角线交点作中心对称对换位置即可。
（3） 完成后的四阶幻方如下：（1）对角线上的数字一律不动；（2）对角线以外的数字关于对角线交点作中心对称对换位置即可。
（3）3、（按奇数阶幻方填法按区域填写）六阶幻方之填法（交换红色字体数字位置，其他数字位置不变）（二）十阶幻方：。
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幻方实例教你如何填幻方幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。
而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。
我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。
公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。
在欧洲，直到574年，德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。
数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。
目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。
1、奇数阶幻方n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。
填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数：(1)每一个数放在前一个数的右上一格；(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。
这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。
2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义。
互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用颜色标出。
将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。
这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。
也可以保留对角线上的数字不动，而将其它的数换为与它互补的数。
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4*4把它划分成k²个方阵。
因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
1 63 62 4 5 59 58 856 10 11 53 52 14 15 4948 18 19 45 44 22 23 4125 39 38 28 29 35 34 3233 31 30 36 37 27 26 4024 42 43 21 20 46 47 1716 50 51 13 12 54 55 957 7 6 60 61 3 2 643、单偶阶幻方n为偶数，且不能被4整除(n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……)这是三种里面最复杂的幻方。
以n=10为例。
这时，k=2(1) 把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。
用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
(2) 在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。
A象限的其它行则标出最左边的k格。
将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。
幻方问题教案执教：杜羲传说公元前二千多年，在洛水里浮起一只大乌龟，它的背上有个奇特的图案，（如图1），后来人们把它称之为洛书，实际上它是由九个数字排成一定的格式（如图2），图中有一个非常有趣的性质：它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。
许多人产生了这样的问题，图中的九个数字，有没有别的填法？如果把图形变成4×4个方格，是否也可以进行这样的填数游戏？1、奇偶性规律：偶数是能被2整除的整数，如0、2、6、8等，奇数是指被2除余1的整数。
奇偶数的加法具有下列性质：奇数+奇数=偶数奇数+偶数=奇数偶数+偶数+偶数2、数的整除规律：a整除b，且a整除c，则a整除b+c，或a整除b-c。
3、商和余数：整数a除以整数b时，商数是q，余数是r，必有等式a=b×q+r，0≤r<b，当r=0时，就说b整除a，记为b|a。
如：30被7除余2，满足关系式30=7×4+2，又因为2<4，也可以说4除30余2。
4、自然数分类：如果两个整数分别被a除，所得余数相同，那么我们说这两个整数对于a 是同余的。
如偶数对于2是同余的（余数都为零），所有奇数对于2也是同余的，（余数都是1）。
由同余，可以对整数进行分类，如整数可按3分成：被3除余0，被3除余1，被3除余2这三类，也可按4分类，分成被4除余0，被4除余1，被4除余2，被4除余3这四类。
5、自然数分拆：将一个自然数写成两个自然数的和，叫做自然数的二分拆，其中一个和的形式称为该自然数的一个分拆。
如9写成2+7，4+5，1+8等就是对9的分拆，而2+7（或4+5，1+8）就是它的一个分拆。
一个分拆的被加数和加数调换位置后得到的分拆视为同一个分拆，如2+7和7+2视为9的同一分拆。
例1：将1-9这九个数，填入图3的方格内，使每行、每列、及两条对角线上三个数字的和都相等。
分析与解：假设图形中填入的数如图4所示，并设各边和对角线的三数之和为k，则解法的关键是找出中心数及各顶点的数。
我们分三步来完成：（1）求每行、每列三个数的和，即k值。
（2）确定中心数，即b2=？（3）试填各顶点数及其它方格内数。
∵a1+b1+c1+a2+b2+c2+a3+b3+c3=3k又∵a1+b1+c1+a2+b2+c2+a3+b3+c3=1+2+…+9=45∴3k=45 k=15∵a1+b2+c3=a2+b2+c2=a3+b2+c1=b1+b2+b3=15∴(a1+b2+c3)+(a2+b2+c2)+(a3+b2+c1)+(b1+b2+b3)=4×15(a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3)+3b2=6045+3b2=60 3b2=15 b2=5试填a1，若a1为奇，∵a1+c3=10，故C3为奇，a2和a3也应同奇或同偶，若a2、a3同奇，则c2为奇，b3为奇，这样就出现了六个奇数，与1-9的自然数中只有5个奇数矛盾；若a2和a3同偶，则c2为偶，b3为偶，c1也为偶，这样共出现了五个偶数，与1-9的自然数中只有4个偶数矛盾，故a1不能为奇数，则a1应填偶数，此时c1、a3、c3也只能取偶数，由于a1+c3=C1+a3=10，又∵2+8=4+6=10，故只需取a1=2，C3=8，a3=4，c1=6即可，其它各方格中的数须填a2=9，b2=3。
C2=1，b1=7。
如图5所示，这样就得到本题的一个解，若取a1=4，c3=6，a3=2，c1=8，须取a2=9，b3=7，b1=3，c2=1，根据对称轮换，答案是唯一的。
说明：此题是引例中的问题，将1-9九个数，填入列3×3个方格内，使每行每列、每条对角线的和相等，这叫做三阶幻方，一般地，在n×n个方格内，填上n×n个连续自然数，并且每行、每列、每条对角线上n个自然数的和都相等，则称它为n阶幻方。
解决幻方问题的关键是确定中心数和顶点数。
例2：把1到6这六个数分别填在图7-a中三角形三条边上的六个圆圈内，使每条边上三个圆圈内的数的和都相等。
分析与解：设填入顶点圆圈内的数分别为a、b、c，其余三个圆圈内的数分别是d、e、f。
每条边上三个圆圈内数的和为k，如图7-a。
∵a+d+b=k,b+e+c=k,a+f+c=k∴(a+d+b)+(b+e+c)+(a+b+c)=3k又∵a+b+c+d+e+f=1+2+…+6=21∴(a+b+c+d+e+f)+(a+b+c)=3k21+(a+b+c)=3k由上式可知：a+b+c最小时，k值也最小，a+b+c最大时，k值也最大，且k是整数，当a+b+c=1+2+3=6时，k=9，a+b+c=4+5+6=15时，k=12，所以k可取9、10、11、12四种情况。
当k=9时，a+b+c=6，6只有一个三拆分，6=1+2+3，因此a=1，b=2，c=3，其余三个圆圈内分别填4、5、6、，即e=4，f=5，d=6。
这样就得到一个基本解（如图8）将这个解左、右旋转或适当调换后，可以得到其余的五个解。
当k=10时，a+b+c=9，9有三种三拆分，9=1+2+6=1+3+5=2+3+4，当a、b、C为1，2，6时，以2、6为顶点的一边只能填2，如图9-a，2重复了，故此解排除；当a、b、C为1、3、5时，其余边上的圆圈内约数填上2、4、6即可（如图9-b）；当a、b、c为2、3、4时，以3、4为顶点的一边只能填上3，如图9-c，3重复了，故此解也排除。
当k=11，12时，可仿照上面方法求出基本解。
说明：这个数阵问题中各条边是相互连接的，叫做封闭型数阵图。
封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数。
为确定这些数，采用的方法是建立有关的等式，通过以最小值到最大值的讨论，来确定每条边上的几个数之和，再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数，其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出。
例3、把1-9这九个数，分别填入圆10-a中，使得从中辐射出的每条线上三个圆圈内的数的和相等。
分析与解：由图10-a可知，计算每条线段上的三个圆圈内数的和时都要用到中心数，因此确定中心数是解此题的关键。
该中心数为χ，其余各数如图10-b所示，每条线段上的三数之和为k。
∵χ+a1+a2=χ+b1+b2=χ+c1+c2=χ+d1+d2=k∴(χ+a1+a2)+(χ+b1+b2)+(χ+c1+c2)+(χ+d1+d2)=4k(a1+a2+b1+b2+c1+c2+d1+d2+χ)+3χ=4k又∵a1+a2+b1+b2+c1+c2+d1+d2+χ=1+2+…+9=45∴ 45+3χ=4k观察上式，k是整数，即（45+3χ）被4整除，而（45+3χ）÷4=45÷4+3χ÷4，45除以4的余数为1，则3χ除以4的余数应为3，当χ=1、5、9时，3χ÷4的余数为3。
当χ=1时，k=（45+3×1）÷4=12，12拆分成含有一个1的三个自然数的和有以下四种形式：12=1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6这样就得到一个解（如图11-a）。
当χ=5、9时，仿照上面方法可得到相应的解，（如图11-b，图11-c所示）。
说明：此题中的数阵图，称为辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数。
具体方法是：通过所给条件建立有关等式，通过整除性的讨论，确定出中心数的取值，然后求出各边上数的和，最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和，确定边上其他的数。