材料力学8—组合变形1
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材料力学组合变形
第八章 组合变形
组合变形和叠加原理 拉伸或压缩与弯曲旳组合 扭转与弯曲旳组合
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形旳概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上旳基本变形,则构件 旳变形称为组合变形.
l 基本变形 u 拉伸、压缩
u 剪切
u 扭转
u 弯曲
二、处理组合变形问题旳基本措施－叠加法
叠加原理旳成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
M A(F) 0
F 42 kN
H 40 kN, V 12.8 kN
l 内力图 l 危险截面
C 截面
M C 12 kNm, N 40 kN
l 设计截面旳一般环节
u 先根据弯曲正应力选择工字钢型号； u 再按组合变形旳最大正应力校核强度，必要时选择大一号或 大二号旳工字钢； u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
按第四强度理论
Qy My T
r4
1 W
Mz Qz
M 2 0.75T 2 47.4 MPa [ ]
(3) 曲柄旳强度计算
l 危险截面 III-III截面
l 计算内力 u 取下半部分
Qx Qz
N R2 C1 13 kN Mx m H2 d /2
765 Nm
M z R2 (a b / 2) 660 Nm
横截面上任意一点 （ z, y） 处旳正应 力计算公式为
1.拉伸正应力
FN
A
2.弯曲正应力
Mz y
Iz
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
3.危险截面旳拟定
作内力图
F1
轴力
组合变形和叠加原理 拉伸或压缩与弯曲旳组合 扭转与弯曲旳组合
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形旳概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上旳基本变形,则构件 旳变形称为组合变形.
l 基本变形 u 拉伸、压缩
u 剪切
u 扭转
u 弯曲
二、处理组合变形问题旳基本措施－叠加法
叠加原理旳成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
M A(F) 0
F 42 kN
H 40 kN, V 12.8 kN
l 内力图 l 危险截面
C 截面
M C 12 kNm, N 40 kN
l 设计截面旳一般环节
u 先根据弯曲正应力选择工字钢型号； u 再按组合变形旳最大正应力校核强度，必要时选择大一号或 大二号旳工字钢； u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
按第四强度理论
Qy My T
r4
1 W
Mz Qz
M 2 0.75T 2 47.4 MPa [ ]
(3) 曲柄旳强度计算
l 危险截面 III-III截面
l 计算内力 u 取下半部分
Qx Qz
N R2 C1 13 kN Mx m H2 d /2
765 Nm
M z R2 (a b / 2) 660 Nm
横截面上任意一点 （ z, y） 处旳正应 力计算公式为
1.拉伸正应力
FN
A
2.弯曲正应力
Mz y
Iz
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
3.危险截面旳拟定
作内力图
F1
轴力
《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形
强度条件（简单应力状态）——
max
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
max
N A
M zmax Wz
M ymax Wy
x
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
y
F z
M z F ey M y F ez
ez F ey z
y
zk yk z
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加 Fy F cos
z
L2
L2
Fz F sin
z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
y
Mz
Fy L 4
M
y
Fz L 4
3， 计算最大正应力并校核强度
max
My Wy
Mz Wz
217.8MPa
查表： Wy 692.2cm3
4， 讨论 0
y
Wz 70.758cm3
的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则d3 ___＝__ d4。
（填“＞”、“＜”或“＝”）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
r3 1 3 2 4 2
r4
材料力学第八章组合变形
例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max
材料力学 第八章 组合变形
度理论校核此杆的强度。 解：①外力分析
y ZC
Mx z P2z
P2y 400N YA 457N Z A 20.1N
P2Z 70.5N YC 257N Z C 90.6N
YA A 150
T M x 120Nm
B 200
C YC D 100
P2y
x
y
M Z (Nm) M (Nm)
建立图示杆件的强度条件
解：①外力向形心
x A 150 P1 T A 150 B 200 C T B 200 C 100 D 简化并分解
z
z P2z D P2y x 弯扭组合变形 y
100
M Z (Nm) M (Nm)
y
②每个外力分量对应 x 的内力方程和内力图 X
(Nm) My (Nm) Mz
x X
125 37.8 162.8MPa
孔移至板中间时
N 100 103 2 A 631.9mm 10(100 x) x 36.8mm 6 σ max 162.8 10
偏心拉伸或压缩：
CL11TU11
任意横截面上的内力： N P,M y Pa,M z Pb
第八章 组合变形
§8–1 组合变形和叠加原理
§8–2 拉(压)弯组合 §8–4 偏心压缩 截面核心 §8-4 弯曲与扭转
§8–1组合变形和叠加原理
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简
单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略
之，这类构件的变形称为组合变形。 P P
弯曲与扭转
P1
80ºP2 z
x A 150 B 200 C 100 D
y
材料力学课件第8章组合变形zym
§8—4 扭转与弯曲的组合 一、圆截面杆弯扭组合 实例： （一）实例： 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶Me。 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶 。 试建立轴的强度条件。 试建立轴的强度条件。 解： 1、确定危险点： 、确定危险点： （1）外力分析 ） F 计算简图： ①计算简图： Fτ 由 ∑ M x = 0 得： FD = Me 2 可确定F 由F可确定 τ。 可确定 外力分解： ②外力分解： 变形判断： ③变形判断： AB段扭转变形，BE段弯扭组合变 段扭转变形， 段弯扭组合变 段扭转变形 形，EC段弯曲变形。 段弯曲变形。 段弯曲变形
解： 、确定各边为中性轴时的压力作用点： 1、确定各边为中性轴时的压力作用点： b2 h2 2 iy = , iz2 = 12 12 h az = ∞ AB截距： a y = − , 截距： 截距 2 h2 iz2 12 = h , zF = 0 F作用点 坐标： yF = − = − 作用点a坐标 作用点 坐标： h 6 ay − 2 同样确定b,c,d点。 同样确定 点 2、连线 确定截面核心。 、连线a,b,c,d确定截面核心。 确定截面核心 解：
3 由： W ≥ M max = 12 ×10 N ⋅ m 6
[σ ]
100 × 10 Pa
= 12 × 10−5 m3 = 120cm3
查表选定16号工字钢。 查表选定 号工字钢。 号工字钢 （2）组合变形校核计算： ）组合变形校核计算： 16号工字钢：W=141cm3,A=26.1cm3 号工字钢： 号工字钢
2、应力状态分析 、 均为单向应力状态 单向应力状态。 均为单向应力状态。
'' σ A = σ ′ +σ A =
F (0.425m) F × (0.075m) + −3 2 15 ×10 m 5310 ×10−8 m 4
材料力学- 8组合变形
l/2 l/2
D
A P
C
d
B
Q
l/2
D
l/2
解：
B
A P
mA
C
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
B
（1）受力分析与计算简 图：将载荷Q向轮心平移 （2）内力分析，画出弯 矩图和扭矩图；找出危险 面和危险点：危险面在中 点C处 （3）代公式：求最大安 全载荷Q
d
T
QD/2
r3
设计中常采用的简便方法：
因为偏心距较大，弯曲应力 是主要的，故先考虑按弯曲强 度条件 设计截面尺寸
M Wz 6000 6 35 10 d 3 32
解得立柱的近似直径 取d=12.5cm,再代 入偏心拉伸的强 度条件校核
d 0.12 m
15000 6000 3.14 0.1252 3.14 0.1253 4 32 32.4 106 32.4MPa 35MPa
M 2 T2 [ ] Wz
l/2
D
l/2
Ql Q M 0.8 0.2Q 4 4
B
A P
mA
C
d
T
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
QD Q 0.36 0.18Q 2 2
r3
B
M 2 T2 [ ] Wz
Wz
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3
32
T
QD/2
（1）计算内力
将立柱假想地截开，取上段为 研究对象，由平衡条件，求出 立柱的轴力和弯矩分别为
F
N
FN P 15000 N M Pe 15000 0.4 6000N m
D
A P
C
d
B
Q
l/2
D
l/2
解：
B
A P
mA
C
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
B
（1）受力分析与计算简 图：将载荷Q向轮心平移 （2）内力分析，画出弯 矩图和扭矩图；找出危险 面和危险点：危险面在中 点C处 （3）代公式：求最大安 全载荷Q
d
T
QD/2
r3
设计中常采用的简便方法：
因为偏心距较大，弯曲应力 是主要的，故先考虑按弯曲强 度条件 设计截面尺寸
M Wz 6000 6 35 10 d 3 32
解得立柱的近似直径 取d=12.5cm,再代 入偏心拉伸的强 度条件校核
d 0.12 m
15000 6000 3.14 0.1252 3.14 0.1253 4 32 32.4 106 32.4MPa 35MPa
M 2 T2 [ ] Wz
l/2
D
l/2
Ql Q M 0.8 0.2Q 4 4
B
A P
mA
C
d
T
Q Q 1 mC QD 2 A M C
Ql/4
QD Q 0.36 0.18Q 2 2
r3
B
M 2 T2 [ ] Wz
Wz
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3
32
T
QD/2
（1）计算内力
将立柱假想地截开，取上段为 研究对象，由平衡条件，求出 立柱的轴力和弯矩分别为
F
N
FN P 15000 N M Pe 15000 0.4 6000N m
武汉理工大学材料力学课件8 组合变形及连接部分的计算--JK
9
若横截面周边具有棱角，则无需确定中性轴的位置，直 接根据梁的变形情况，确定最大拉应力和最大压应力点 的位置。 D D
1 1
z
z D2 y 中性轴
D2
y
中性轴
强度条件：
（）若 [ t ] [ c ] [ ], 则 1 （2）若 [ t ] [ c ], 则
t ,max [ t ] ,
z
c ,max
FN M max [ c ] A Wz
(1)若F 的作用点在杆的一对称轴上， F M 则强度条件为： [ t ] t , max A Wz 其中 M Fe
c ,max
F M [ c ] A Wz
23
(2) 若F 的作用点不在杆的任一对称轴上
FN My A Iz
z
c ,max
(2)若 t ] [ c ] [ ] , [
则
FN M max [ c ] A Wz
max Max { t ,max , c ,max } [ ]
20
[例8-3-1] 最大吊重为 P=20kN的简易吊车，如图所 示，AB为工字A3钢梁，许用应力[σ]＝100MPa，试选 T YA 择工字梁型号。 Ty XA D
另外， 和 的正负号可由My和 Mz引起的变形是拉 8 还是压直接判断。
sin cos 则，F引起的应力为： M ( I z I y) y z
二、中性轴的位置 令（y0，z0）是中性轴上任一点，则有： 显然，中性轴是一条通过坐标原点的直线， 设其与z轴的夹角为α，则有：
A Tx
C
B F
A
30° 2m
C
1m
若横截面周边具有棱角，则无需确定中性轴的位置，直 接根据梁的变形情况，确定最大拉应力和最大压应力点 的位置。 D D
1 1
z
z D2 y 中性轴
D2
y
中性轴
强度条件：
（）若 [ t ] [ c ] [ ], 则 1 （2）若 [ t ] [ c ], 则
t ,max [ t ] ,
z
c ,max
FN M max [ c ] A Wz
(1)若F 的作用点在杆的一对称轴上， F M 则强度条件为： [ t ] t , max A Wz 其中 M Fe
c ,max
F M [ c ] A Wz
23
(2) 若F 的作用点不在杆的任一对称轴上
FN My A Iz
z
c ,max
(2)若 t ] [ c ] [ ] , [
则
FN M max [ c ] A Wz
max Max { t ,max , c ,max } [ ]
20
[例8-3-1] 最大吊重为 P=20kN的简易吊车，如图所 示，AB为工字A3钢梁，许用应力[σ]＝100MPa，试选 T YA 择工字梁型号。 Ty XA D
另外， 和 的正负号可由My和 Mz引起的变形是拉 8 还是压直接判断。
sin cos 则，F引起的应力为： M ( I z I y) y z
二、中性轴的位置 令（y0，z0）是中性轴上任一点，则有： 显然，中性轴是一条通过坐标原点的直线， 设其与z轴的夹角为α，则有：
A Tx
C
B F
A
30° 2m
C
1m
《材料力学》第八章组合变形
解 (1)外力分析，确定变形类型—拉弯组合；
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
材料力学第8章组合变形
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W
材料力学第八章-组合变形
12 103 141106
94.3MPa 100MPa
故所选工字钢为合适。
材料力学
如果材料许用拉应力和许用压应力不 同，且截面部分 区域受拉，部分区域 受压，应分别计算出最大拉应力 和最 大压应力，并分别按拉伸、压缩进行 强度计算。
材料力学
=+
材料力学
t,max
=+
t,max
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解。
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和 内力图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立 危险点的强度条件。
一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯
曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯
曲切应力。
材料力学
四.叠加原理
构件在小变形和服从胡克定律的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的代数和。
材料力学
F F
350
150
y
50 z
50 150 z0 z1
显然，立柱是拉伸和弯曲的 组合变形。
1、计算截面特性（详细计算略） 面积 A 15103 m2
z0 75mm I y 5310 cm4
材料力学
2、计算内力 取立柱的某个截面进行分析
FN F
M (35 7.5) 102 F 42.5102 F
组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.3 偏心压缩和截面核心 §8.4扭转与弯曲的组合
content
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握拉（压）弯组合变形和偏心拉压杆 件的应力和强度计算 3、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算
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C
解：分析AB的受力, AB为平面弯曲与压缩 的组合变形。
R RA NAB 300 D
A
B
S
A
300
B
D HA 1.2m 1.2m
P
mA 0
0 N AB sin 30 2.4 1.2P 0
NAB=P
HA=0.866P, RA=0.5P
中间截面为危险截面。最大压应力发生在D截面的上边缘。
P
350
P
150
z
50
50
150
解：(1) 确定形心位置
A=1510-3 m2，Z0 =7.5cm Iy = 5310cm4
计算截面对中性轴 y 的惯性矩
z0
y
z1
z
150
50 150
50
P
n
n
N
My
(2) 分析立柱横截面上的内力和应力 在 n—n 面上有轴力 N 及弯矩 My ，立柱受力为偏心拉伸。
§8-2 拉(压)弯组合
一、拉(压)弯组合变形：杆件同时受横向力（或纵向对
称面内的力偶）和轴向力的作用而产生的变形。
二、应力分析： z q o x l y
P
x
w '
w
' w
w '
当材料的许用拉应力和许用压应力相等时，可按 下式建立强度条件。 N max M max max A Wz 式中的 Wz=Iz/ymax 是矩形截面对 z 轴的抗弯截面系 数。 当材料的抗拉和抗压强度不同时，必须对危险 截面上的最大拉应力和最大压应力分别进行校核。 具体计算时，不要照搬上式 , 可根据具体Mmax的方 向 、N的正负以及与它们对应的应力分布 , 采用叠加 法直接计算最大拉应力和最大压应力。
第八章
组合变形
§8-1 概 述
一、组合变形
在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单 变形，当几种变形所对应的应力属同一数量级时，不 能略去任一种变形，这类构件的变形称为组合变形。
P
P
R
Ｍ
P
q
h
大坝
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理
在线弹性范围内，可以假设作用在体系上的诸
载荷中的任一个所引起的变形对其它载荷作用的影 响可忽略不计。
M
其中d D 2t
代入数据可得：
A
B
t max c max =
+63.8MPa -65.2MPa
例8-3 小型压力机的铸铁框架如图所示。已知材料的许用 拉应力 [t] =30MPa ，许用压应力 [C] =160MPa。试按立 柱的强度确定压力机的最大许可压力 P。
z0
y
z1
其中，N = P， My = (35+7.5)10-2 P = 42.5 10-2 P kN· m N P 由轴力 N 产生的拉伸正应力为： MPa A 15 由弯矩 My 产生的最大弯曲正应力为 M z 425 7.5 P y 0 MPa t max 5310 Iy
M y z1 425 12.5 P MPa () C max 5310 Iy
（3）叠加 在截面内侧有最大拉应力
P
n
N My
n
P 425 7.5 P [ t ] t max t max 15 5310
在截面外侧有最大压应力
[P] 45.1 KN
X A 3kN, YA 4kN
XA
α YA
RA
RB
N图： C A
M图：
2.确定危险截面： C处： N 3kN, M 8kN m 3.求最大应力
B
t max N M c max A W
N
2 2 D3 d 4 (D d ) 1 ( D ) 4 32
压缩正应力
R NAB S A
300
RA B
H A 0.866 P A A
最大弯曲正应力
D H A
0.6P 1.2 R A W max Wz Wz
P
0.866 P 0.6 P 压max A W 94.37MPa [ ] 125MPa z
横梁ADB的强度ห้องสมุดไป่ตู้够.
例8-2两根无缝钢管焊接而成的折杆。钢管外径D=140mm，壁 厚t=10mm，求危险截面上的最大拉应力和最大压应力。 C 10kN 1.2m 解: 1. 求约束反力，确定杆的 受力：
A
α
1.6m 1.6m 10kN
B
RA RB 5kN
4 3 sin cos 5 5
P 425 12.5 P [C ] C max C max 15 5310
所以取
[P] 171.3 KN
[P] 45.1 KN
拉 max
N M max t A Wz
压max
N M max c A Wz
例8-1悬臂吊车如图所示。横梁用20a工字钢制成。其抗弯刚度 Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2，总荷载P= 34KN，横梁材 料的许用应力为[]=125MPa。校核横梁AB的强度。
实验表明，在小变形情况下，这个原理是足够
精确的。因此，可先分别计算每一种基本变形情况
下的应力和变形，然后采用叠加原理计算所有载荷
对弹性体系所引起的总应力和总变形。
分析步骤: ①、外力分析：外力向形心(或弯心)简化，确定各 基本变形； ②、内力分析：求每个外力分量对应的内力图，综 合分析后确定危险面； ③、应力分析：画危险面应力分布图，确定危险点， 叠加求危险点应力； ④、强度计算：建立危险点的强度条件，进行强度 计算。
解：分析AB的受力, AB为平面弯曲与压缩 的组合变形。
R RA NAB 300 D
A
B
S
A
300
B
D HA 1.2m 1.2m
P
mA 0
0 N AB sin 30 2.4 1.2P 0
NAB=P
HA=0.866P, RA=0.5P
中间截面为危险截面。最大压应力发生在D截面的上边缘。
P
350
P
150
z
50
50
150
解：(1) 确定形心位置
A=1510-3 m2，Z0 =7.5cm Iy = 5310cm4
计算截面对中性轴 y 的惯性矩
z0
y
z1
z
150
50 150
50
P
n
n
N
My
(2) 分析立柱横截面上的内力和应力 在 n—n 面上有轴力 N 及弯矩 My ，立柱受力为偏心拉伸。
§8-2 拉(压)弯组合
一、拉(压)弯组合变形：杆件同时受横向力（或纵向对
称面内的力偶）和轴向力的作用而产生的变形。
二、应力分析： z q o x l y
P
x
w '
w
' w
w '
当材料的许用拉应力和许用压应力相等时，可按 下式建立强度条件。 N max M max max A Wz 式中的 Wz=Iz/ymax 是矩形截面对 z 轴的抗弯截面系 数。 当材料的抗拉和抗压强度不同时，必须对危险 截面上的最大拉应力和最大压应力分别进行校核。 具体计算时，不要照搬上式 , 可根据具体Mmax的方 向 、N的正负以及与它们对应的应力分布 , 采用叠加 法直接计算最大拉应力和最大压应力。
第八章
组合变形
§8-1 概 述
一、组合变形
在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单 变形，当几种变形所对应的应力属同一数量级时，不 能略去任一种变形，这类构件的变形称为组合变形。
P
P
R
Ｍ
P
q
h
大坝
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理
在线弹性范围内，可以假设作用在体系上的诸
载荷中的任一个所引起的变形对其它载荷作用的影 响可忽略不计。
M
其中d D 2t
代入数据可得：
A
B
t max c max =
+63.8MPa -65.2MPa
例8-3 小型压力机的铸铁框架如图所示。已知材料的许用 拉应力 [t] =30MPa ，许用压应力 [C] =160MPa。试按立 柱的强度确定压力机的最大许可压力 P。
z0
y
z1
其中，N = P， My = (35+7.5)10-2 P = 42.5 10-2 P kN· m N P 由轴力 N 产生的拉伸正应力为： MPa A 15 由弯矩 My 产生的最大弯曲正应力为 M z 425 7.5 P y 0 MPa t max 5310 Iy
M y z1 425 12.5 P MPa () C max 5310 Iy
（3）叠加 在截面内侧有最大拉应力
P
n
N My
n
P 425 7.5 P [ t ] t max t max 15 5310
在截面外侧有最大压应力
[P] 45.1 KN
X A 3kN, YA 4kN
XA
α YA
RA
RB
N图： C A
M图：
2.确定危险截面： C处： N 3kN, M 8kN m 3.求最大应力
B
t max N M c max A W
N
2 2 D3 d 4 (D d ) 1 ( D ) 4 32
压缩正应力
R NAB S A
300
RA B
H A 0.866 P A A
最大弯曲正应力
D H A
0.6P 1.2 R A W max Wz Wz
P
0.866 P 0.6 P 压max A W 94.37MPa [ ] 125MPa z
横梁ADB的强度ห้องสมุดไป่ตู้够.
例8-2两根无缝钢管焊接而成的折杆。钢管外径D=140mm，壁 厚t=10mm，求危险截面上的最大拉应力和最大压应力。 C 10kN 1.2m 解: 1. 求约束反力，确定杆的 受力：
A
α
1.6m 1.6m 10kN
B
RA RB 5kN
4 3 sin cos 5 5
P 425 12.5 P [C ] C max C max 15 5310
所以取
[P] 171.3 KN
[P] 45.1 KN
拉 max
N M max t A Wz
压max
N M max c A Wz
例8-1悬臂吊车如图所示。横梁用20a工字钢制成。其抗弯刚度 Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2，总荷载P= 34KN，横梁材 料的许用应力为[]=125MPa。校核横梁AB的强度。
实验表明，在小变形情况下，这个原理是足够
精确的。因此，可先分别计算每一种基本变形情况
下的应力和变形，然后采用叠加原理计算所有载荷
对弹性体系所引起的总应力和总变形。
分析步骤: ①、外力分析：外力向形心(或弯心)简化，确定各 基本变形； ②、内力分析：求每个外力分量对应的内力图，综 合分析后确定危险面； ③、应力分析：画危险面应力分布图，确定危险点， 叠加求危险点应力； ④、强度计算：建立危险点的强度条件，进行强度 计算。