24.1 圆教材详解及典例分析
初中数学教材解读人教九年级上册第二十四章圆圆的有关性质PPT
)
A.弦的垂线平分弦所对的弧;
B.平分弦的直径垂直于这条弦;
C.过弦的中点的直线必过圆心;
D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心;
双基训练
5. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3 cm C. 2 3cm D. 2 5 cm
12.已知直径AB被弦CD分成AE=4,
EB=8,CD和AB成300角,则弦CD
的弦心距OF=___1_;CD=_2__3_5_.
D
F
A
B
C
EO
13.已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
(C )
A.1.5cm
B.10.5cm;
C.1.5cm或10.5cm D.都不对;
随堂训练
8.已知P为⊙o内一点，且OP＝2cm，如果⊙o
的半径是3 c m ，则过P点的最长的弦等于 .
最短的弦等于_________。
M
O
P
A
B
N
9.P为⊙O内一点,且OP=2cm,若⊙O的半径为3cm,
则过P点的最短弦长等于( A.1cm B.2cm C. 5 cm
点.
连M和N并反向延长交圆于P和Q两点.
求证: PM=NQ.
A
PM HN Q
B
O
C
•例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即 图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E
为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求
人教版数学九年级上册《24.1.1圆》教学设计1
人教版数学九年级上册《24.1.1圆》教学设计1一. 教材分析人教版数学九年级上册第24章《圆》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握圆的基本概念、性质及相关的运算。
本节内容在学生的认知发展过程中具有承上启下的作用，既是对以前平面几何知识的拓展，也为后续学习圆的方程、圆与圆的位置关系等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形的认识和推理能力有一定的基础。
但圆的概念较为抽象，学生对其理解和掌握可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出圆的概念，并通过丰富的实例让学生体会圆的性质。
三. 教学目标1.理解圆的概念，掌握圆的性质。
2.学会用圆规和直尺画圆。
3.能够运用圆的性质解决实际问题。
四. 教学重难点1.圆的概念和性质。
2.圆的画法。
3.圆的性质在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引入圆的概念，让学生在情境中感受圆的特点。
2.直观教学法：利用圆规和直尺示范画圆，让学生直观地理解圆的性质。
3.实践操作法：让学生亲自动手画圆，加深对圆的认识。
4.问题驱动法：引导学生提出问题，并进行解答，激发学生的学习兴趣。
六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，辅助讲解。
2.圆规和直尺：准备足够的圆规和直尺供学生实践操作。
3.练习题：准备相应的练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入圆的概念，如“在一条固定的绳子长度为2米的情况下，如何才能画出一个最大的圆？”引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解圆的概念和性质，如圆的定义、圆心、半径等。
通过课件展示，让学生直观地理解圆的特点。
3.操练（10分钟）让学生亲自动手用圆规和直尺画圆，体会圆的性质。
教师巡回指导，解答学生遇到的问题。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生运用所学的圆的性质进行解答。
教师及时批改，给予反馈。
5.拓展（10分钟）引导学生思考圆在实际生活中的应用，如自行车轮子、圆桌等。
人教版九年级数学上册《第二十四章圆24.1圆的有关性质》第1课时说课稿
人教版九年级数学上册《第二十四章圆24.1圆的有关性质》第1课时说课稿一. 教材分析《人教版九年级数学上册》第二十四章主要讲述圆的性质。
本章内容是整个初中数学的重要部分，也是学生对圆的认知的重要阶段。
通过本章的学习，学生可以深入理解圆的性质，为后续学习圆的方程和其他相关内容打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对平面几何图形有了一定的认识。
但是，对于圆的性质，学生可能还存在着一些模糊的认识，需要通过本节课的学习来纠正和加深理解。
此外，学生可能对圆的性质的理解停留在表面，需要通过实例分析和练习，加深对圆的性质的理解。
三. 说教学目标1.知识与技能：通过本节课的学习，学生能够理解圆的性质，并能够运用圆的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析和推理，学生能够发现圆的性质，并能够运用圆的性质解决实际问题。
3.情感态度与价值观：通过本节课的学习，学生能够培养对数学的兴趣，提高对数学的认识。
四. 说教学重难点1.教学重点：圆的性质的理解和运用。
2.教学难点：圆的性质的证明和运用。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、提问法、小组讨论法等多种教学方法，并结合多媒体课件、实物模型等教学手段，以提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些与圆相关的实际问题，引起学生对圆的性质的兴趣。
2.讲解：讲解圆的性质，并通过实例进行分析。
3.练习：学生进行练习，巩固对圆的性质的理解。
4.拓展：通过小组讨论，引导学生发现圆的性质的证明方法。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出圆的性质的关键点。
可以采用图示、列表等形式，帮助学生理解和记忆。
八. 说教学评价教学评价可以从学生的课堂表现、作业完成情况、测验成绩等方面进行。
通过评价，可以了解学生对圆的性质的理解程度，为后续教学提供参考。
九. 说教学反思在课后，教师应该对自己的教学进行反思，看学生是否掌握了圆的性质，教学过程中是否存在问题，以便于改进教学方法和手段，提高教学质量。
人教版初三数学九年级上册 第24章 《圆》教材分析 课件(共38张PPT)
能利用垂径定理解决有关简单问题； 能利用圆周角定理及其推论解决有关 简单问题
运用圆的性质的有关 内容解决有关问题
点和圆 的
位置关系
了解点与圆的位置关系
尺规作图（利用基本作图完成）：过 不在同一直线上的三点作圆；能利用 点与圆的位置关系解决有关简单问题
图图 形形 与的 几性 何质
直线和圆 的
位置关系
了解直线和圆的位置关系；会判断直 线和圆的位置关系；理解切线与过切 点的半径的关系；会用三角尺过圆上 一点画圆的切线
三角形的内切圆；了解三角形的内心； 有关简单问题；尺规作图（利用基本
了解正多边形的概念及正多边形与圆 作图完成）：作三角形的外接圆、内
的关系
切圆，作圆的内接正方形和正六边形
弧长、扇形面 会计算圆的弧长和扇形的面积；会计
积 算圆锥的侧面积和全面积
和圆锥
能利用圆的弧长和扇形的面积解决一 些简单的实际问题
O
O
适当补充“知二推三”，灵活运用所学 知识，特别是体会如何证明圆心在弦上 （某弦是直径）。
O
C
A
B
例. 根据条件求解：
D
（1）已知⊙O半径为5，弦长为6，求弦心距和弓形高.
（2）已知⊙O半径为4，弦心距为3，求弦长和弓形高.
（3）已知⊙O半径为5，劣弧所对的弓形高为2，求弦长和 弦心距.
（4）已知⊙O弦长为2，弦心距为，求⊙O半径及弓形高.
A
B
半径为5dm。则水深______dm.
5.注重数学核心素养的培养
本章的教学内容能进一步发展学生的几何 直观、推理能力等数学核心素养。
在教学过程中引导学生多画图、敢画图， 借助对几何图形直观的感知、分析问题， 并在此基础之上，在解决问题的过程中， 运用合情推理探索思路，发现结论，运用 演绎推理用于证明结论。
人教版九年级数学上册24.1.1《圆》说课稿
人教版九年级数学上册24.1.1《圆》说课稿一. 教材分析《圆》是人民教育出版社出版的九年级数学上册第24.1.1节的内容。
这部分内容是学生在学习了平面几何的基础上，进一步深入研究圆的性质和圆的方程。
本节内容主要包括圆的定义、圆的性质、圆的标准方程和圆的一般方程。
这部分内容在数学学习中占有重要的地位，不仅是中考的热点，也是学生进一步学习高中数学的基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对平面几何中的线段、角度等概念有一定的了解。
但是，圆作为一个特殊的几何图形，其性质和方程的推导对students 来说是一个挑战。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、实践等方式，理解和掌握圆的性质和方程。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解圆的定义，掌握圆的性质，推导圆的标准方程和一般方程。
2.过程与方法：学生通过观察、思考、实践等方式，培养解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生能够体验到数学的美感，培养对数学的兴趣和热情。
四. 说教学重难点1.圆的性质的推导和理解。
2.圆的标准方程和一般方程的推导和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、实践等方式，自主学习和探索。
2.教学手段：利用多媒体课件，进行动画演示和实例分析，帮助学生直观地理解和掌握圆的性质和方程。
六. 说教学过程1.引入：通过展示生活中的圆形物体，引导学生思考圆的特点和性质。
2.圆的定义：引导学生通过观察和思考，得出圆的定义。
3.圆的性质：引导学生通过实践和观察，推导出圆的性质。
4.圆的方程：引导学生通过思考和实践，推导出圆的标准方程和一般方程。
5.应用：通过实例分析，引导学生运用圆的性质和方程解决实际问题。
七. 说板书设计板书设计主要包括圆的定义、圆的性质、圆的标准方程和一般方程。
通过板书，帮助学生理解和记忆圆的相关知识。
八. 说教学评价教学评价主要包括对学生知识的掌握程度、能力的培养程度和情感态度的培养程度。
人教版数学九年级上册《24.1.1圆》说课稿2
人教版数学九年级上册《24.1.1圆》说课稿2一. 教材分析人教版数学九年级上册《24.1.1圆》是本册教材中的一个重要内容，它主要包括圆的定义、圆的性质、圆的标准方程以及圆的一般方程等内容。
这些内容不仅在理论上有重要意义，而且在实际生活和工作中也有着广泛的应用。
例如，在建筑设计、机械制造、地图绘制等领域都需要运用到圆的相关知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对图形的认知和理解能力有了进一步的提升。
但是，对于圆这一概念，学生可能还存在着一些模糊的认识，需要通过实例和练习来加深理解。
此外，由于圆的知识点较为抽象，学生可能在学习过程中感到困难，因此需要教师耐心引导，帮助学生建立正确的概念。
三. 说教学目标1.知识与技能：通过学习，使学生掌握圆的定义、性质和方程，能够运用圆的知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的问题解决能力和合作精神。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力和创新意识。
四. 说教学重难点1.重点：圆的定义、性质和方程的掌握。
2.难点：圆的方程的推导和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、讨论式教学法和案例教学法等，引导学生主动探究，培养学生的思维能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，使抽象的知识形象化、具体化。
六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中的圆形物体，如硬币、车轮等，引导学生思考圆的特点，从而引出圆的定义。
2.新课导入：介绍圆的性质，如圆的对称性、圆的周长和面积公式等。
3.知识拓展：讲解圆的标准方程和一般方程，并通过实例让学生理解方程的含义。
4.课堂练习：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调圆的重要性质和方程的应用。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出本节课的重点内容。
可以设计如下板书：圆的定义：平面上到定点距离等于定长的点的集合。
人教版数学九年级上册《24.1.1圆》说课稿3
人教版数学九年级上册《24.1.1圆》说课稿3一. 教材分析人教版数学九年级上册《24.1.1圆》这一节的内容，主要介绍了圆的定义、圆心、半径等基本概念，以及圆的性质。
这是学生学习圆相关知识的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对图形的认识有一定的基础。
但是，对于圆这一概念，学生可能在生活中有所接触，但对其精确的数学定义和性质可能还不够清晰。
因此，在教学过程中，需要引导学生从生活实例中抽象出圆的数学定义，进一步理解和掌握圆的性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生了解圆的定义、圆心、半径等基本概念，掌握圆的性质，能够运用圆的知识解决一些简单的问题。
2.过程与方法目标：通过观察、实验、推理等方法，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.重点：圆的定义、圆心、半径等基本概念，圆的性质。
2.难点：圆的性质的证明和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组讨论法等，引导学生主动探究，合作学习。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，提高学生的空间想象能力和理解能力。
六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中常见的圆的实例，引导学生思考圆的数学定义，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍圆的定义、圆心、半径等基本概念，引导学生理解圆的性质。
3.实例分析：通过几何画板展示圆的性质，引导学生观察、实验、推理，加深对圆的理解。
4.小组讨论：让学生分组讨论圆的性质，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
5.总结提升：对圆的性质进行总结，引导学生掌握圆的知识。
6.课堂练习：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
7.课堂小结：对本节课的内容进行总结，引导学生反思学习过程。
人教版数学九年级上册24.1.1圆1说课稿
3.回顾旧知：简要回顾平面几何中已学的基本图形，如三角形、四边形等，为新课的学习做好铺垫。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将逐步呈现知识点，引导学生深入理解：
1.圆的定义：通过动态演示，让学生理解圆是平面上到一个固定点距离相等的点的集合。
2.设计具有实际背景的问题，让学生在解决过程中学会运用所学知识。
3.合理安排课堂时间，关注每个学生的学习进度，及时调整教学策略。
课后评估教学效果：
1.查阅学生的练习和作业，了解知识掌握情况。
2.询问学生对课堂内容的反馈，了解教学方法的适用性。
3.对课堂表现进行总结，反思教学过程中的优点和不足。
反思和改进措施：
（二）学习障碍
学生在学习本节课之前，已经具备了以下前置知识或技能：
1.平面几何基本图形（如三角形、四边形）的性质和判定方法。
2.点、线、面的基本关系。
可能存在的学习障碍有：
1.对圆的性质和判定方法的理解不够深入，容易混淆。
2.空间想象力不足，难以理解圆的动态性质。
3.部分学生对几何证明过程感到困难，影响学习效果。
1.圆的定义：平面上到一个固定点距离相等的点的集合。
2.圆的符号表示：圆心用大写字母表示，半径用小写字母表示。
3.圆的性质：圆上任意两点到圆心的距离相等；圆的半径相等；圆是轴对称图形等。
4.圆的判定方法：到定点的距离等于定长的点在圆上；圆的半径垂直于切线等。
（二）教学目标
知识与技能：
1.理解圆的定义，掌握圆的符号表示。
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
我的板书设计将采用清晰、简洁的风格，布局合理，主要内容分为以下几个部分：
人教版数学九年级上册24.1.1《圆》教学设计
人教版数学九年级上册24.1.1《圆》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.1.1节《圆》是本册教材中的重要内容，主要介绍了圆的概念、特征以及圆的直径、半径等基本概念。
本节内容为学生提供了丰富的探究活动，让学生在探究圆的性质过程中，进一步理解圆的相关概念，提高空间想象能力和抽象思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对图形的认识和理解有一定的深度。
但圆作为一个特殊的几何图形，其性质和特点与其他图形有很大的不同，学生需要通过实例和探究活动，来理解和掌握圆的相关概念。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解圆的概念，掌握圆的特征，理解圆的直径、半径等基本概念。
2.过程与方法：培养学生通过实例探究圆的性质，提高空间想象能力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：圆的概念、特征，圆的直径、半径等基本概念。
2.难点：圆的性质的探究和理解。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实例和探究活动，理解和掌握圆的相关概念。
2.利用多媒体课件，直观展示圆的性质和特点，提高学生的空间想象能力。
3.分组讨论，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
六. 教学准备1.多媒体课件2.圆的相关实例和图片3.分组讨论的素材七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些生活中的圆形物体，如硬币、地球等，引导学生关注圆形的特征，激发学生对圆的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍圆的概念和特征，讲解圆的直径、半径等基本概念，让学生初步理解圆的相关知识。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选取一个圆形物体，观察和测量其直径、半径等，总结圆的性质。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）学生独立完成教材中的相关练习题，教师及时批改和反馈，巩固学生对圆的概念和性质的理解。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：圆还有哪些其他的性质和特点？如何应用圆的性质解决实际问题？教师与学生互动，共同探讨。
人教版九年级数学上册24.1.1圆的优秀教学案例
（一）情景创设
1.生活情境：以学生熟悉的车轮、圆桌等为例，让学生观察和描述圆的特征，引发学生对圆的兴趣。
2.问题情境：创设一些与圆相关的问题，如“圆的直径是多少？”、“如何用圆规和直尺画一个特定的圆？”等，激发学生的思考。
3.探索情境：鼓励学生自主探究圆的性质，如圆的周长、面积等，培养学生的探索精神。
3.知识梳理：通过思维导图或板书，对圆的知识进行梳理，帮助学生形成清晰的知识结构。
（五）作业小结
1.作业布置：布置一些与圆相关的练习题，让学生巩固所学知识，如画圆、计算圆的周长和面积等。
2.作业反馈：学生完成作业后，教师进行及时的反馈，给予肯定和鼓励，并提出改进的建议。
3.作业小结：学生在作业小结中总结自己在本次课程中学到的知识，反思自己的学习过程，提出疑问和建议。
3.能够运用圆的性质和方程解决一些简单的几何问题。
在知识与技能的目标设计中，我注重让学生掌握圆的基本概念和性质，这是后续学习的基础。通过实际操作，让学生学会用圆规和直尺画圆，培养他们的动手能力。同时，通过解决实际问题，让学生感受到圆的知识在生活中的重要性，提高他们的应用能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、实践、探究等环节，让学生在活动中自主发现圆的性质，培养他们的观察能力和实践能力。
为了提高教学效果，我运用了多媒体教学手段，如动画、图片等，将抽象的圆的性质直观地展示给学生，降低学习难度。同时，我还设计了丰富的课后作业，让学生在巩固所学知识的同时，能够将圆的知识运用到实际生活中。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解圆的概念，掌握圆的性质，如圆的直径、半径、圆心等。
2.学会用圆规和直尺画圆，并能运用圆的性质解决实际问题。
在情景创设中，我注重将圆的知识与学生的生活实际相结合，通过生活情境的展示，引发学生的兴趣。同时，我设计了一些问题情境，激发学生的思考，引导他们主动探索圆的性质。这样的教学策略能够激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度。
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第二十四章圆
【知识框架梳理】
24.1 圆
【重点难点点拨】
重点：
（1）圆中的基本概念的认识。
（2）认识圆的轴对称性，熟记“垂径定理”，并能运用它解决有关问题。
（3）由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。
（4）认识圆周角，同一条弧的圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。
难点与关键：
（1）对等弧概念的理解。
（2）运用垂径定理解决有关问题。
（3）运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。
（4）发现同一条弧的圆周角和圆心角的关系，利用这个关系进一步得到其他知识，
运用所得到的知识解决问题。
【规律方法指津】
1、用垂径定理进行证明或计算，常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距），则垂足为弦的中点。
弦心距、圆的半径、弦长的一半构成一个直角三角形，便可将计算线段的问题转化为解直角三角形的问题。
2、应用垂径定理计算时，由于圆中一条弦对两条弧，以及圆内两平行弦与圆心的位置关系有两种情况，所以计算时不要丢解。
3、对于圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，掌握的难点是分清本定理的题设和结论。
在这里，题设为“在同圆或等圆中，圆心角相等”。
结论是“所对的弧相等，所对的弦相等。
”突破的关键是：画两个同心圆，比较同一圆心角所对两条弧是否相等，使我们能清楚地认识到“在同圆或等圆中”这个条件的必要性；
4、圆周角定理的证明用到了分类讨论思想，这是数学上非常重要的一种思想方法，同学们要注意分类的标准，在学习中注意总结类似的问题；
5、要注意总结辅助线的作法：在圆中，有等弧时，常作等弧所对的弦、等弧所对的圆心角、等弧所对的圆周角等；有直径时，常作直径所对的圆周角，利用这个角是直角的性质，构造直角三角形；在圆中有相等的圆周角时，常作它们所对的弧和弦，利用在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等以及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系证题；
6、圆周角相关题变化多端，要注意具体问题具体分析，灵活处理变化的问题。
【知识详细解读】
1、圆的定义
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
注意：圆的这个定义运用了一种特殊的定义方法：发生定义法，记住的最佳方法就是动手作一个圆，充分理解这个定义的产生过程。
由定义可知圆有两个要素，即圆心和半径，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。
2、圆的基本元素
图24.1-1
（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图24.1-1中的BC．
（2）直径：经过圆心的弦是直径，如图24.1-1中的AB。
直径等于半径的2倍．
（3）弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示．小于半圆的弧叫做劣弧，如图24.1-1中以B、C为端点的劣弧记做“ BC”；大于半圆的弧叫做优弧，优弧要用三个字母表示，如图24.1-1中的 BAC．
注意：（1）要注意直径与弦的关系：直径是弦，但弦不一定是直径；（2）要注意弦与弧的区别：弦是圆上两点间的线段，而弧是圆上两点间的部分，弧是曲线；（3）半圆与弧的关系：半圆是弧，但弧不一定是半圆.
3、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．
友情提示：（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；
（2）圆的对称轴有无数条．Array
4、垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
如图24.1-2，垂径定理用几何语言可表示为：
∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB）
∴ EA=EB，
==．
AC BC AD BD
,
注意：（1）定理中的“垂直弦的直径”可以是直径，也可以是半径，甚至可以是过圆心的直线或线段.
（2）该定理也可以理解为：若一条直线具有两条性质：①过圆心；②垂直于一条弦，则此直线具有另外三条性质：①平分此条弦；②平分此弦所对的优弧；③平分此弦所对的劣弧。
（3）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。
5、圆的旋转不变性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形，实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原来的图形重合，这种性质叫做圆的旋转不变性。
如图24.1-3，⊙O绕圆心O旋转一个任意角度α，⊙O上的任意点A与A’重合，即⊙O上所有的点旋转α角后，都与⊙O上的点重合。
A
图24.1-3 图24.1-4
友情提示：圆是平面图形中惟一的具有旋转不变性的图形，也就是说旋转不变性是圆的特有性质。
6、圆心角
顶点在圆心上的角叫做圆心角，如图24.1-4中，∠AOB就是一个圆心角。
注意：一个角要成为圆心角，必须具备顶点在圆心上这一特征。
7、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
如图24.1-5中，AB
OE⊥于E，CD
OF⊥于F，若下列四个等式①
COD
AOB∠
=
∠；②CD
AB=；③
⋂
⋂
=CD
AB；④OF
OE=中有一个等式成立，则其
他三个等式也成立。
即： .
AO B C O D AB C D O E O F AB C D
∠=∠⇔=⇔=⇔=
图24.1-5 图24.1-6
友情提示：（1）在具体运用定理或推论解决问题时，可根据需要选择有关部分，如“在等圆中，相等的弧所对的圆心角相等”。
（2）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果丢掉这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等。
如图24.1-6，两个圆的圆心相同， AB与 ''
A B对应同一个圆心角，但 AB≠ ''
A B，''
AB A B
≠。
（3）要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这三个概念和“所对应的”一词的含义。
（4）因为一条弦所对的弧有两条，所以由“弦等”得出“弧等”，这里的“弧等”指的是对应的劣弧和劣弧相等、优弧与优弧相等。
8、圆周角的定义
顶点在圆上,它的两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角
友情提示：圆周角要具备两个特征：①角的顶点在圆上.
②角的两边都与圆相交.(说明相交指的是角边与圆除了顶点外还有公共点)
9、圆周角的基本性质
（1）半圆（或直径）所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）；
（2）90°的圆周角所对的弦是直径。
（3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，都等于该弧所对的圆心角的一半，相等的圆周角所对的弧也相等。
说明：（1）把圆中的直径与90°的圆周角联系在一起，构造直径上的圆周角是解决与圆相关问题的常用辅助线，这样就为勾股定理的运用、相似三角形的产生创造了条件。
（2）“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”；
（3）在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角的基本性质进行两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化；二是将圆周角相等的问题根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，转化为弦相等或线段相等的问题。
【典型例题感悟】
例1、以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
分析：由于确定一个圆要有两个条件，即圆心和半径，题目中已告诉了圆心和半径，所以可以作出符合条件的1个圆。
解：A.
方法总结：掌握确定圆的两个条件：圆心确定圆的位置、圆的半径确定圆的大小是解答本题的关键所在。
例2、已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,CD=16cm,则AB和CD的距离为( )
A.2cm
B.14cm
C.2cm或14cm
D.10cm或20cm
分析：此题中没有给出图形，没有说明AB和CD与圆心O的位置关系，符合题意的图形有两个，如图3-2-12所示，故要分类讨论。
图24.1-7
解：过O 作直线EF ⊥AB,垂足为E,交CD 于F,连结OA 、OC.
∵AB ∥CD,∴EF ⊥CD,∴AE=1
2 AB,CF= 1
2CD.
∵AB=12,CD=16,∴AE=6,CF=8.
∵在Rt △OAE 中,OA=10,AE=6,
∴
=∵在Rt △OCF 中,OC=10,CF=8,
∴
6.cm == 当弦AB 、CD 位于圆心O 的两侧时（如图甲）,EF=OE+OF=8+6=14(cm);
当弦AB 、CD 位于圆心O 的同侧时（如图乙）,EF=OE-OF=8-6=2(cm),
故应选C.
金钥匙：（1）本题应用垂径定理及勾股定理使问题易得到解决,读者易将解答中的两种情况误认为只有一种情况解答.本题体现了数学中常用的分类讨论思想。
由于圆是轴对称图形，涉及圆内两平行弦而又未附图的几何问题，同学们在解题时一定要考虑全面，注意分类求解，不能漏解。
（2）利用垂径定理进行有关弦的计算时，常“作出弦心距，再添一半径”，与之构成直角三角形，利用勾股定理进行计算。
乙
D
甲。