第二章 考虑材料塑性的极限分析

第二章 考虑材料塑性的极限分析 知识要点 1. 塑性变形 在常温下，与时间无关的不可恢复的永久变形称为塑性变形。塑性变形是不可逆的永久变形，应力超过了材料的线弹性范围，胡克定律不再成立，其应力-应变关系一般呈非线性关系。塑性变形与加载历程有关，其应力与应变间的对应关系呈多值性。 2. 塑性极限分析 （1） 塑性极限分析的假设 ①荷载为单调增加的静荷载。若有多个荷载同时作用，则各个荷载按比例同时由零增至终值。 ②结构（或荷载）在达到极限状态前，保持几何不变体系。 ③材料的应力-应变关系理想化为刚塑性模型或理想弹塑性模型，如图2-1（a）(b)所示。

（2） 屈服荷载，极限荷载 结构（或构件）开始出现塑性变形的荷载，称为屈服荷载，记为sF； 结构（或构件）开始出现大的塑性变形成为几何可变机构，而处于极限状态时的荷载，称为极限荷载，记为uF。 （3） 屈服扭转（或弯矩），极限扭矩（或弯矩） 圆轴（或梁）横截面上的最大应力达到材料的屈服极限而开始出现塑性变形时，横截面内的扭矩（或弯矩）称为屈服扭矩（或弯矩）记为sT（或sM）；圆轴（或梁）横截面上的应力全部达到材料的屈服极限，此时横截面各点均发生塑性变形，整个截面进入完全塑性状态达到极限状态时的扭矩（或弯矩）称为极限扭矩（或弯矩）记为uT（或

uM）。 （4） 塑性铰 当梁的某截面达到极限状态时，该截面两侧的两段梁将绕其中性轴作相对转动，犹如在该截面处安另了一个铰链，故称其为塑性铰。塑性铰并不等同于真实的铰链，而是由于截面达到完全塑性引起的，它能承受弯矩，即截面上的极限弯矩。 （5） 残余应力 当结构或构件达到极限状态后，卸除荷载至零，构件截面上的应力，称为残余应力。由于卸载后外荷载为零，故残余应力必自相平衡。残余应力最大值为材料的屈服极限。

习题详解 2-1 一组合圆筒，承受荷载F，如题图（a）所示。内筒材料为低碳钢，横截面面积为1A，弹性模量为1E，屈服极限为1s；外筒材料为铝合金，横截面面积为2A，弹性模量为2E，屈服极限为2s。假设两种材料均可理想化为弹性-理想塑性模型，其应力-应变关系如题2-1图（b）所示。试求组合筒的屈服荷载sF和极限荷载uF。

解 如题2-1图（c）所示，设内筒和外筒的轴力分别为21NNFF和，由静力学平衡方程 021FFFNN

得

FAA2211

结构为一次超静定，当荷载F不大时，组合圆筒的内，外筒均处于弹性状态。 变形相容性条件

21ll

21

物理关系 222111,EE

将式①代入式②，并与式①联立求解即可得内，外筒的应力为

221122221111,AEAEFEAEAEFE

内，外筒的应变为

221121AEAEF



如题2-1图（b）所示，21ss，若增大荷载F，则内筒（低碳钢）的应变将首先达到材料的屈服应变极限1s，组合筒开始产生塑性变形。此时，结构的荷载为屈服荷载sF，其值由式④的第一项或式⑤来确定，即 122111EAEAEFss

将111ssE代入上式，得屈服荷载

21211AEAFsss

当外荷载达到屈服荷载时sF时，虽然组合筒开始产生塑性变形，但并未完全丧失继续承载能力。若继续增大荷载，则组合筒的应力保持为1s，而外筒的应力会继续增大。当荷载虽大于屈服荷载，但小于极限荷载usFFF时，组合筒处于弹性-塑性状态，此时，由静力学平衡条件，可求得内，外筒的应力分别为 211211,AAFss

再继续增大荷载，当外筒（铝合金）内的应力也达到屈服极限2s

时，组合筒开始产生大的塑性变形，整个结构进入完全塑性状态而达到极限状态。由静力学平衡条件，可得极限荷载为 2211AAFssu

2-2 一水平刚性杆AC，A段为固定铰链支承，在B,C处分别与两根长度,l横截面面积A和材料均相同的等直杆铰接，如题2-2图（a）所示。两杆的材料可理想化为弹性-理想塑性模型，弹性模量为E，屈服极限为。在刚性杆的D处承受集中荷载F,试求结构的屈服荷载sF和极限荷载uF。

解 对题2-2图（b）应用静力学平衡条件列平衡方程 023,021aFaFaFMNNA

得 FAaAaFaAaA230232121

结构为一次超静定，根据题2-2图（a）所示几何关系，有几何相容方程

213

1ll

213

1 由胡克定律有 EE2211,

联立①，②，③，可解得 AFAF53,521 当外力F不太大时，两杆处于弹性状态。增大荷载F，由式④可知，杆2先达到屈服极限s，这时，结构的荷载为屈服荷载sF，其值由式④确定，即 AFss35 继续增大荷载F，杆2内的应力保持为s，当杆1内的应力达到屈服极限s时，结构开始产生大的塑性变形，使整个结构进入完全塑性状态而达到极限状态。由静力学平衡条件，可得极限荷载为 AFsu2 2-3 文献1例题2-1中的三杆铰接超静定结构，如题2-3图（a）所示，若在荷载达到极限荷载cos21AFsu后，卸除荷载，试求中间杆3内的残余应力。 解 荷载达到极限荷载cos21AFsu时，杆3的应力达到屈服极限s，在卸载过程中，应力-应变关系是线性的，此时杆3的应力应按弹性状态计算，应用文献1例题2-1中的式⑤，有

333cos21cos21cos21suA

F

故杆3的残余应力为 

323303cos21sincos2cos21cos21sss

2-4 等直圆轴的截面性状如题2-4图所示，实心圆轴的直径mmd60，空心圆轴的内，外径分别为mmDmmd80,4000。材料可视为弹性-理想塑性，其剪切屈服极限MPas160。试求两轴的极限扭矩。

解 当截面各点处的切应力均达到材料的剪切屈服极限s

（如题2-4图（c），（d）所示）时，则横截面上各点处均将发生塑性变形，整个截面进入完全塑性状态。杆件达到极限状态，其极限扭矩为 实心圆轴 mkNmNdTsu05.9101601206.0126

33

空心圆轴

mkNmNDTsu8.18101602111208.01

126333

3

2-5 一半径为R的等直实心圆轴，材料可是为弹性-理想塑性，如题2-5图所示。在扭转时处于弹性-塑性阶段，即横截面上的扭矩T处于usTtT状态，试证明弹性区的半径为

3364ssTRr。

解 如题2-5图所示，杆件处于弹性-塑性阶段时，横截面上的扭矩为 21AsAPdAdAT

因sspssprr即,，代入上式得

33334

124613122221sssssssRrsPssAsA

s

s

rRrRrrdIrdAdArTs







故弹性区的半径 3364ssTRr

2-6 试验证下列截面的塑形弯曲截面系数sW与弹性弯曲截面系数W的比值 ： （1）薄壁圆筒截面（壁厚0r平均半径）27.1WWs

（2）对角线尺寸为h和b的棱形截面00.2

W

Ws

解 当梁达到极限状态时，中性轴将横截面分为面积相等的两部分。

对于具有水平对称轴的横截面，极限状态时的中性轴与对称轴重合。其塑形弯曲截面系数为 ctAAsSSydAydAWCT 式中，ctAA和分别为横截面上受拉部分面积和收压部分面积，且有ctAA；ctAcAtydASydAS，分别为面积ctAA和对中性轴的静矩，均取

正值。对于此题，截面分别为薄壁圆筒和棱形，均有水平对称轴，故ctSS。 （1） 薄壁圆筒截面，如题2-6图（a）所示。

2233

22

343434234222rrRRrRrRrrRRSSSWtcts





弹性弯曲截面系数