概率统计课程第5次作业参考解答
西南交通大学概率论和数理统计第五次作业答案
3
西南交通大学 2019—2020 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
解：因为 X n
N (0,1) ，所以
9. 设 X1, X 2,, X5 是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个 Xi i 1,2,,5都服从
N
0,1
。（1）试给出常数 c
，使得
c
X12
X
2 2
服从 2 分布，并指出它的自由度；（2）试给
出常数 d ，使得 d X1 X 2 服从 t 分布，并指出它的自由度。
X
2 3
X
2 4
11. 设 X1, X 2 ,, X n 是取自总体 X 的一个样本，其中 X 服从参数为 的泊松分布，其
中 未知， 0 ，求 的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值：
X
0 1 2 34
频数 17 20 10 2 1
求 的矩估计值与最大似然估计值。
解： EX ，故 的矩估计量 ˆ X 。
X
另，X 的密度函数为
f X x
e x 0
x 0 x0
故似然函数为
L
对数似然函数为
n
en
Xi
i 1
0
X i 0, i 1,2,, n 其他
ln
L
n
ln
n
X
i
i 1
d
ln L
d
n
n
i 1
Xi
0
解得 的最大似然估计量 ˆ n 1 。
概率论与数理统计习题册 第五章 答案
P{X
>
4500}
=1−
P{X
≤
4500}
= 1 − Φ⎜⎜⎝⎛
4500 − 4475 612.5
⎟⎟⎠⎞
≈ 1− Φ(1.01) = 1− 0.8413 = 0.1587
（2） P{4400
<
X
<
4500} = Φ⎜⎜⎝⎛
4500 − 4475 612.5
⎟⎟⎠⎞
−
Φ⎜⎜⎝⎛
4400 − 4475 612.5
E( Xi ) = 10× 0.4 + 9× 0.3 + 8× 0.2 + 7 × 0.05 + 6× 0.05 = 8.95 ，
D( Xi
)
=
E
(
X
2 i
)
−
( EX i
)2
=1.225 ，
设总分为 X ，则 X ~ N (500 × 8.95, 500 ×1.225) ，即 X ~ N (4475, 612.5) . 因此
n
∑ 解 设有 n 个数相加，X i 分别为每个数的舍入误差。记 X = Xi ，E( Xi ) = 0 ， i =1
16
∑ D( Xi )
=
1 12
由定理一知，随机变量 Z
=
k =1
Xi − n⋅0 n / 12
近似地服从正态分布 N (0,1)
(1) 所求概率
P{ X ≤ 15} = P{−15 ≤ X ≤ 15} = P{ −15 < X < 15 } 55 55 55
P{| Xn − a |< 0.1} ≥ 0.95 的 n 的最小值应不小于自然数
概率论与数理统计》课后习题习题详解第五章
习题解答习题5.11．设样本值如下：15， 20， 32， 26， 37， 18， 19， 43计算样本均值、样本方差、2阶样本矩及2阶样本中心矩．解 由样本均值的计算公式，有()8111152032263718194326.2588i i x x ===⨯+++++++=∑由样本方差的计算公式，有()28211102.2181i i s x x==-=-∑由2阶样本矩的计算公式，有82211778.58i i a x ===∑由2阶样本中心矩的计算公式，有()2821189.448i i b x x==-=∑2. 设总体~(12,4)X N ，125(,,,)X X X 是来自总体X 的样本，求概率12345{m a x (,,,,)12}P X X X X X >. 解 12345{m a x (,,,,)12}P X X X X X > []551311(0) 1()232=-Φ=-=3. 设总体X ～ P （λ），X 是容量为n 的样本的均值，求 ()E X 和 ()D X . 解 因总体X ～ P （λ），故有(),()E X D X λλ==，于是()()E X E X λ==()()D X D X n nλ== 4. 某保险公司记录的6n =起火灾事故的损失数据如下（单位：万元）：1.86, 0.75, 3.21，2.45， 1.98, 4.12. 求该样本的经验分布函数.解 将样本观测值排序可得：0.751.86 1.982.453.21<<<<< 则经验分布函数为60, 0.751, 0.75 1.8661, 1.86 1.9831(), 1.98 2.4522, 2.45 3.2135, 3.21 4.1261, 4.12x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪⎪≤<⎪⎪≥⎩5．求标准正态分布的上侧0.01分位数和上侧0.48分位数 .解 由题知，X ～ (0,1)N ，求X 的上侧α分位数. 即求u α使满足{}P X u αα>=得{}1P X u αα≤=-即()1u ααΦ=-取0.01α=，查标准正态分布表得上侧0.01分位数为0.012.33u u α==取0.48α=，查标准正态分布表得上侧0.48分位数为0.480.05u u α==习题5.21.设总体~(8,36)X N ，129(,,,)X X X 是取自总体X 的样本，X 是样本均值，求{|7|2}P X -< ．解 因~(8,36)X N ，且样本容量9n =，故36~(8,), ~(8,4)9X N X N 即 ，于是 9858{|7|2}{59}()()22P X P X ---<=<<=Φ-Φ (0.5)( 1.5)(0.5)(1.5)10.69150.933210.6247=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=2.设 2~(9)X χ ，求λ使其满足()0.95P X λ<=解 由()0.95P X λ<=，得()0.05P X λ≥=，因为2~(9)X χ，所以查表可得20.05(9)16.919λχ==3. 设总体~(0,1X N ，1210(,,,)X X X 是取自总体X 的样本，求2221210()E X X X +++ 及2221210()D X X X +++ .解 由总体~(0,1)X N 可知~(0,1) (1,2,,10)i X N i = ，且1210,,,X X X 相互独立，于是22221210()~(10)X X X χ+++故有2221210()10E X X X +++= 2221210()21020D X X X +++=⨯=4. 设总体X ～ N （20 ，3），从中独立地抽取容量分别为10和15的两个样本，求它们的样本均值之差的绝对值大于0.3的概率．解 设这两个样本分别为1210,,,X X X 和1215,,,Y Y Y ， 则对样本均值有101110i i X X ==∑ ～15131(20,),1015i i N Y Y ==∑～3(20,)15N依定理 X Y -～1(0,)2N ，所以{}0.3P X Y P ⎫->=>1P ⎫=-≤1=-ΦΦ（1210.6744⎡⎤=-Φ-=⎢⎥⎣⎦(查标准正态分布表可得)5.设X ～ t (12) ，(1) 求 a 使得()0.05P X a <=；（2）求 b 使得()0.99P X b >= 解 （1）由()0.05P X a <=利用t 分布的对称性可得()0.05P X a >-=，查表可得0.05(12) 1.7823 1.7823a t a -==⇒=-（2）由()0.99P X b >=得()0.01P X b ≤=，又由t 分布的对称性可得()0.01P X b >-=于是0.01(12) 2.6810 2.6810b t b -==⇒=-6.设~(8,12)X F ，求 λ 使得()0.01P X λ<=.解 由()0.01P X λ<= 得 ()0.99P X λ>=，于是查表可得0.990.0111(8,12)0.176(12,8) 5.67f f λ====习题5.31．设总体X ～ N （μ ，4），（X 1 ，X 2 ，… ，X 16）为其样本，2S 为样本方差，求： （1） P ()666.62<S ； （2） P ()865.4279.22<<S ． 解 因为()221n S σ-～()21n χ-所以本题中2154S ～()215χ 则 (1) {}(){}22215156.666 6.6661524.997544P S P S P χ⎧⎫<=<⨯=<⎨⎬⎩⎭(){}211524.997510.050.95P χ=-≥=-=(2) {}221515152.279 4.865 2.279 4.865444P S P S ⎧⎫<<=⨯<<⨯⎨⎬⎩⎭(){}28.546251518.24375P χ=<<(){}(){}22158.546251518.24375P P χχ=>-≥0.900.250.6=-= 2. 总体2~(0,)X N σ，1225(,,,)X X X 是总体X 的样本，2X S 和分别是样本均值和样本方差，求λ，使5()0.99XP Sλ<=. 解 根据抽样分布定理知5~(24)X Xt S = 又由5()0.99XP Sλ<=得 5()0.01XP Sλ>= 故查表可得0.01(24) 2.4922t λ==3．设总体X ～ N （30 ，64），为使样本均值大于28的概率不小于0.9 ，样本容量n 至少应是多少？解 因为X ～(30,64)N ， 所以样本均值X .～64(30,)N n因此X ()0,1N ， 故{}{}28128P X P X >=-≤1X P ⎧⎫=-≤1⎛=-Φ ⎝0.9=Φ≥1.29≥，解得 27n ≥，所以n 至少应取27.*4．设总体X ～ N )16(1，μ 与总体Y ～ N )36(2，μ 相互独立，（X 1 ，X 2 ，… ，X 13）和（Y 1 ，Y 2 ，… ，Y 10）分别为来自总体X 和总体Y 的样本．试求两总体样本方差之比落入区间（0.159 ，1.058）内的概率．解 因为()221n S σ-～()21n χ-，所以本题中211216S ～()222912,36S χ～()29χ又因为21212222121291694936S S F S S ==～()12,9F从而221122229990.159 1.0580.159 1.058444S S P P S S ⎧⎫⎧⎫<<=⨯<<⨯⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭(){}0.3577512,92.3805P F =<< 0.85=（查F 分布表*5. 设从两个正态总体~(4,1)~(6,1)X N Y N 和中分别独立地抽取两个样本1219(,,,)X X X 和1216(,,,)Y Y Y ，样本方差分别为2212S S 和.求λ，使2122()0.05S P S λ<=.解 根据抽样分布定理可知2122~(18,15)S F S 又由2122()0.05S P S λ<=可得2122()0.95S P S λ>=，于是查表可得0.950.0511(18,15)0.44(15,18) 2.27f f λ====*6．设总体X 与总体Y 相互独立，且都服从正态分布N （0 ，9），（X 1 ，X 2 ，… ，X 9）和（Y 1 ，Y 2 ，… ，Y 9）分别为来自总体X 和Y 的样本．试证明统计量T =∑∑==91291i ii iYX服从自由度为9的t 分布．证明 由正态分布的性质及样本的独立性知91ii X=∑～2(0,9)N得9119i i X =∑～(0,1)N 又因为i Y ～(0,9) (1,2,,9)N i =所以()22222291212913339Y Y Y Y Y Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ～()29χ 由于两个总体X 和Y 是相互独立的，所以其相应的样本也是相互独立的，故 9119i i X =∑与92119i i Y =∑也相互独立，于是由t 分布的定义知991ii XX T ==∑∑ ～ ()9t综合练习五一、填空题1．设总体X 的一组样本观测值为1.4 ，2.3 ，1.8 ，3.4 ，2.7则样本均值 x= ( 2.32 ) ，样本方差 2s = ( 0.607 ) ．2．设总体X 服从正态分布N （2 ，5），（X 1 ，X 2 ，… ，X 10）为其样本，则样本均值X 的分布为 ( 122N ⎛⎫⎪⎝⎭， )．3．设总体X 服从具有n 个自由度的2χ 分布，（X 1 ，X 2 ，… ，X n ）为其样本，X为样本均值，则有 ()( )E X n = ，()( 2 )D X = ．4．设总体X ～ N （μ ，2σ），（X 1 ，X 2 ，… ，X n ）为其样本，X 、2S 分别为样本均值和样本方差，则有 X ～( 2N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭， )，22)1(σS n - ～( 2(1)n χ- )，nSX μ- ～( t (n － 1) )．5．设总体X ～ N （1 ，4），（X 1 ，X 2 ，… ，X 5）为其样本，令T = 2543221)2()(X X X b X X a --+-则当a = (81 ) 、1()24b =时有T ～ 2χ(2) ． 二、选择题1．设总体X ～ N （μ ，1），其中 μ 为未知参数，若（X 1 ，X 2 ，… ，X n ）为来自总体X 的样本，则下列样本函数中( (b ) ) 不是统计量．(a )∑=ni i X1；(b )∑=-ni iX12)(μ ；(c) X 1 X 2 … X n ； (d )∑=ni i X12．2．设总体X ～ N （2 ，4），（X 1 ，X 2 ，… ，X 9）为其样本，X 为样本均值，则下列统计量中服从标准正态分布的是( (c ) )．(a ) X ； (b))2(43-X ； (c ))2(23-X ； (d ) )2(29-X ． 3．设总体X ～ N （0 ，1），（X 1 ，X 2 ，… ，X 5）为其样本，令T = 2543221)(2)(3X X X X X +++则有T ～ ( (b ) ) ．(a ) t (5) ； (b ) F (1 ，1) ； (c ) F (2 ，3) ； (d ) F (3 ，2) ． 4．设总体X ～ N ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410，，（X 1 ，X 2 ，… ，X 5）为其样本，令T=则有T ～( (d ) )．(a ) t (1) ； (b ) t (2) ； (c ) t (3) ； (d ) t (4) ． 5．设总体X ～ N （0 ，1），（X 1 ，X 2 ，… ，X n ）为其样本，X 、2S 分别是样本均值和样本标准差，则 ( (c ) ) ．(a ) n X ～ N （0 ，1）： (b ) X ～ N （0 ，1）； (c )∑=ni i X 12 ～ 2χ(n ) ； (d )SX～ t (n － 1) ． 6．设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 ( (c ) ) ．(a ) Y X + 服从正态分布； (b ) 22Y X + 服从 2χ 分布；(c ) 2X 和 2Y 都服从 2χ 分布； (d )22Y X 服从F 分布．三、解答题1．设总体~(2,16)X N ，12(,,,)n X X X 是总体X 的样本，令2211ni i A X n ==∑，求2A 的数学期望2()E A .解 因为~(2,16)X N ，所以~(2,16) (1,2,,)i X N i n = ，则有 22()()()16420i i i E X D X E X =+=+= 于是22111()()2020n i i E A E X n n n===⨯⨯=∑2．设总体~(15,9),X N ，129(,,,)X X X 是总体X 的样本，X 是样本均值，.求常数c ，使()0.95.P X c ≤=解 根据抽样分布定理可知~(15,1)X N 又由()0.95P X c ≤=可得15()()0.951c P X c -≤=Φ= 查表可得15 1.645c -=，于是得16.645c =3.设一组数据20.5，15.5，30.2，20.5，18.6, 21.3，18.6，23.4来自于总体,X 求经验分布函数.解 将样本观测值排序可得：15.518.618.620.520.521.32<=<=<<< 则由定义可得经验分布函数为80, 15.51, 15.518.683, 18.620.585(), 20.521.386, 21.323.487, 23.430.081, 30.2x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪≤<⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪⎪≤<⎪⎪≥⎩4．设总体X ～ N （0 ，4），（X 1 ，X 2 ，… ，X 9）为其样本．求系数a 、b 、c ，使得T = 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a ++++++++服从 2χ 分布，并求其自由度．解 由于129,,,X X X 相互独立且来自总体X ～(0,4)N ，则由正态分布的线性运算性质有12X X +～(0,8)N ，345X X X ++～(0,12)N ，6789X X X X +++～(0,16)N于是，由2χ分布与正态分布的关系，有()()()22212345678981216X X X X X X X X X T ++++++=++ 服从2χ（3）分布，因此111,,81216a b c ===，自由度为3。
统计学第5章概率论作业
一、选择1、一项试验中所有可能结果的集合称为（）A事件B简单事件C样本空间D基本事件2、每次试验可能出现也可能不出现的事件称为（）A必然事件B样本空间C随机事件D不可能事件3、抛3枚硬币，用0表示反面，1表示正面，其样本空间Ω=（）A{000，001，010，100，011，101，110，111}B{1，2，3}C{0，1}D{01，10}4、随机抽取一只灯泡，观察其使用寿命t，其样本空间Ω=（）A{t=0} B{t<0} C{t>0} D{t≥0}5、观察一批产品的合格率P，其样本空间为Ω=（）A{0<P<1} B{0≤p≤1} C{p≤1} D{p≥0}6、若某一事件取值的概率为1，则这一事件被称为（）A随机事件B必然事件C不可能事件D基本事件7、抛掷一枚骰子，并考察其结果。
其点数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率为( )。
A．1 B．1／6 C．1／4 D．1／28、一家计算机软件开发公司的人事部门最近做了一项调查，发现在最近两年内离职的公司员工中有40％是因为对工资不满意，有30％是因为对工作不满意，有15％是因为他们对工资和工作都不满意。
设A一员工离职是因为对工资不满意；B一员工离职是因为对工作不满意。
则两年内离职的员工中．离职原因是因为对工资不满意、或者对工作不满意、或者二者皆有的概率为( )。
A．0.40 B．0.30 C．0.15 D．0.559、一家超市所作的一项调查表明，有80％的顾客到超市是来购买食品，60％的人是来购买其他商品，35％的人既购买食品也购买其他商品。
设A一顾客购买食品，B一顾客购买其他商品。
则某顾客来超市购买食品的条件下，也购买其他商品的概率为（）。
A．0.80 B．0.60 C．0.437 5 D．0.3510设A=取出的一个为正品；B=取出的一个为供应商甲供应的配件。
从这200个配件中任取一个进行检查，取出的一个为正品的概率（）A ．0.93B ．0.45C ．0.42D ．0.933311.一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况同第10题所示：设A一取出的一个为正品；B一取出的一个为供应商甲供应的配件。
概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案1．用切比雪夫不等式估计下列各题的概率．(1)废品率为03.0，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率；(2)200个新生儿中，男孩多于80个而少于120个的概率(假设男孩和女孩的概率均为5.0)．解：(1)设X 为1000个产品中废品的个数，则X ～)1000,03.0(B ，有30)(=X E ，1.29)(=X D ，由切比雪夫不等式，得)3040303020()4020(-<-<-=<<X P X P )103010(<-<-=X P )1030(<-=X P 709.0101.2912=-≥．(2)设X 为200个新生儿中男孩的个数，则X ～)200,5.0(B ，有100)(=X E ，50)(=X D ，由切比雪夫不等式，得)10012010010080()12080(-<-<-=<<X P X P )2010020(<-<-=X P )20100(<-=X P 87205012=-≥．2．一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X ，估计)1810(<<X P ．解：设i X 为该骰子掷第i 次出现的点数，则61)(==k X P i ，6,,2,1 =i ，6,,2,1 =k ．27)654321(61)(=+++++=i X E ，691)654321(61)(2222222=+++++=i X E ，35)]([)()(22=-=i i i X E X E X D ，4,3,2,1=i ．因为4321X X X X X +++=，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，故有14)(=X E ，335)(=X D ．由切比雪夫不等式，得)1418141410()1810(-<-<-=<<X P X P )4144(<-<-=X P )414(<-=X P 271.0433512=-≥．3．袋装茶叶用及其装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为100g ，标准差为10g ，一大盒内装200袋，求一盒茶叶净重大于5.20kg 的概率．解：设i X 为一袋袋装茶叶的净重，X 为一盒茶叶的净重，由题可知∑==2001i i X X ，100)(=i X E ，100)(=i X D ，200,,2,1 =i ．因为1X ，2X ，…，200X 相互独立，则20000)()(2001==∑=i i X E X E ，20000)()(2001==∑=i i X D X D ．)()(20500)()(()20500(2001X D X E X D X E X P X P i i ->-=>∑=)1020020000205001020020000(⋅->⋅-=X P )2251020020000(>⋅-=X P 由独立同分布的中心极限定理，1020020000⋅-X 近似地服从)1,0(N ，于是0002.0)5.3(1)2251020020000(=Φ-≈>⋅-X P ．4．有一批建筑用木桩，其80%的长度不小于3m ．现从这批木桩中随机取出100根，试问其中至少有30根短于3m 的概率是多少？解：设X 为100根木桩中短于3m 的根数，则由题可知X ～)2.0,100(B ，有20)(=X E ，16)(=X D ，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得)30(1)30(<-=≥X P X P )42030(1)()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 0062.0)5.2(1=Φ-=．5．某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布．现随机选取16只，设它们的寿命是相互独立的．求这16只元件寿命总和大于1920h 的概率．解：设i X 为第i 只电器元件的寿命，由题可知i X ～)01.0(E ，16,,2,1 =i ，且1X ，2X ，…，16X 相互独立，则100)(=i X E ，10000)(=i X D ．记∑==161i i X X ，则1600)()(161==∑=i i X E X E ，160000)()(161==∑=i i X D X D ．))()(1920)()(()1920(X D X E X D X E X P X P ->-=>)400160019204001600(->-=X P )8.04001600(>-=X P ，由独立同分布的中心极限定理，1600-X 近似地服从)1,0(N ，于是2119.0)8.0(1)8.04001600(=Φ-=>-X P ．6．在数值计算中中，每个数值都取小数点后四位，第五位四舍五入(即可以认为计算误差在区间]105,105[55--⨯⨯-上服从均匀分布)，现有1200个数相加，求产生的误差综合的绝对值小于03.0的概率．解：设i X 为每个数值的误差，则i X ～)105,105(55--⨯⨯-U ，有0)(=i X E ，1210)(8-=i X D ，1200,,2,1 =i ．从而0)()(12001==∑=i i X E X E ，61200110)()(-===∑i i X D X D ．由独立同分布的中心极限定理，X 近似地服从)10,0(6-N ，于是)03.0(<X P ))()(03.0)()((X D X E X D X E X P -≤-=12101200003.0121012000(44--⋅-≤⋅-=X P 9974.01)3(2=-Φ=．7．某药厂断言，该厂生产的某药品对医治一种疑难的血液病治愈率为8.0．医院检验员任取100个服用此药的病人，如果其中多于75个治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言．(1)若实际上此药对这种病的治愈率是8.0，问接受这一断言的概率是多少？(2)若实际上此药对这种病的治愈率是7.0，问接受这一断言的概率是多少？解：设X 为100个服用此药的病人中治愈的个数，(1)由题可知X ～)8.0,100(B ，则80)(=X E ，16)(=X D ，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得)75(1)75(≤-=>X P X P 48075(1))()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 8944.0)25.1(=Φ=．(2)由题可知X ～)7.0,100(B ，则70)(=X E ，21)(=X D ，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得)75(1)75(≤-=>X P X P 217075(1)()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 1379.0)09.1(1=Φ-=．8．一射手在一次射击中，所得环数的分布律如下表：X678910P 05.005.01.03.05.0求：(1)在100次射击中环数介于900环与930环之间的概率是多少？(2)超过950环的概率是多少？解：设X 为100次射击中所得的环数，i X 为第i 次射击的环数，则∑==1001i i X X ，15.9)(=i X E ，95.84)(2=i X E ，2275.1)]([)()(22=-=i i i X E X E X D ，100,,2,1 =i ．由1X ，2X ，…，100X 相互独立，得915)()(1001==∑=i i X E X E ，75.122)()(1001==∑=i i X D X D ．由独立同分布的中心极限定理，75.122915-X 近似地服从)1,0(N ，于是(1))930900(≤≤X P ))()(930)()()()(900(X D X E X D X E X X D X E P -≤-≤-=75.12291593075.12291575.122915900(-≤-≤-=X P )75.1221575.122915(≤-=X P 823.01)35.1(2=-Φ≈．(2))950(>X P ))()(950)()((X D X E X D X E X P ->-=75.122915950)()((->-=X D X E X P 001.0)1.3(1=Φ-≈．9．设有30个电子元件1A ，2A ，…，30A ，其寿命分别为1X ，2X ，…，30X ，且且都服从参数为1.0=λ的指数分布，它们的使用情况是当i A 损坏后，立即使用1+i A (29,,2,1 =i )．求元件使用总时间T 不小于350h 的概率．解：由题可知i X ～)1.0(E ，30,,2,1 =i ，则10)(=i X E ，100)(=i X D ．记∑==301i i X T ，由1X ，2X ，…，30X 相互独立，得300)()(301==∑=i i X E T E ，3000)()(301==∑=i i X D T D ．))()(350)()(()350(T D T E T D T E T P T P ->-=>30103003503010300(⋅->⋅-=T P )91.03010300(>⋅-≈T P ，由独立同分布的中心极限定理，3010300⋅-T 近似地服从)1,0(N ，于是1814.0)91.0(1)91.03010300(=Φ-=>⋅-T P ．10．大学英语四级考试，设有85道选择题，每题4个选择答案，只有一个正确．若需要通过考试，必须答对51道以上．试问某学生靠运气能通过四级考试的概率有多大？解：设X 为该学生答对的题数，由题可知X ～41,85(B ，则25.21)(=X E ，9375.15)(=i X D ，85,,2,1 =i ．由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，近似地有9375.1525.21-X ～)1,0(N ，得)8551(≤≤X P ))()(85)()()()(51(X D X E X D X E X X D X E P -≤-≤-=)9375.1525.21859375.1525.219375.1525.2151(-≤-≤-=X P 0)45.7()97.15(=Φ-Φ=．即学生靠运气能通过四级考试的概率为0．。
概率论与数理统计第五章习题解答
第五章 假设检验与一元线性回归分析 习题详解解：这是检验正态总体数学期望μ是否为提出假设：0.32:,0.32:10≠=μμH H由题设，样本容量6n =， 21.12=σ，1.121.10==σ，所以用U 检验当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~61.10.320N X n X U -=-=σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}|{|=≥λU P ,查表得96.1=λ 得到拒绝域: 96.1||≥u计算得： 6.31)6.318.310.326.310.306.32(61=+++++⨯=x89.061.10.326.310-=-=-=n x u σμ因 0.89 1.96u =<它没有落入拒绝域，于是不能拒绝H 0，而接受H 0，即可以认为0.32=μ，所以可以认为这批机制砖的平均抗断强度μ显着为32.0kg/cm 2。
解：这是检验正态总体数学期望μ是否大于10提出假设：10:,10:10>≤μμH H 即：10:,10:10>=μμH H由题设，样本容量5n =，221.0=σ，1.01.020==σ，km x 万1.10=，所以用U 检验当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~51.010N X n X U -=-=σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}{='≥λU P ,查表得64.1'=λ 得到拒绝域: 64.1≥u 计算得： 24.251.0101.100=-=-=n x u σμ 因 2.24 1.64u =>它落入拒绝域，于是拒绝零假设 H 0，而接受备择假设H 1，即可认为10>μ所以可以认为这批新摩托车的平均寿命μ有显者提高。
解：这是检验正态总体数学期望μ是否小于240提出假设：240:,240:10<≥μμH H即：240:,240:10<=μμH H由题设，样本容量6n =，6252=σ，256250==σ，220=x ，所以用U 检验当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~625240N X n X U -=-=σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}{='-≤λU P ,查表得64.1'=λ 得到拒绝域: 64.1-≤u 计算得：959.16252402200-=-=-=n x u σμ 因 1.959 1.64u =-<-它落入拒绝域，于是拒绝H 0，而接受H 1，即可以认为240<μ 所以可以认为今年果园每株梨树的平均产量μ显着减少。
概率论与数理统计第五章习题参考答案
0.05
⎭
查表得： χ 20.95 (8) = 15.507 ，故拒绝域为 (15.507, + ∞) .
代入样本值 s = 0.007 得 K 值为 K = 8 × (0.007)2 = 15.68 > 15.507 (0.005) 2
所以拒绝 H 0 ，故可以认为这批导线的标准差显著地偏大。
7. 某厂使用两种不同的原料 A, B 生产同一类产品，现抽取用原料 A 生产的样品 220 件，测得平均 重量为 2.46kg，标准差为 0.57kg。抽取用原料 B 生产的样品 205 件，测得平均重量为 2.55kg，标 准差为 0.48kg。设这两个总体都服从正态分布，且方差相等，问在显著水平α = 0.05 下能否认为 使用原料 B 生产的产品平均重量较使用原料 A 生产的产品平均重量为大？
当假设 H 0 为真时，取检验统计量
T = X − 3.25 ~ t(4) S/ 5
由
P ⎪⎨⎧ ⎪⎩
X − 3.25 S/ 5
>
t
0.01 2
(4)⎪⎬⎫ ⎪⎭
=
0.01
查表得： t 0.01 (4) = 4.6041，故拒绝域为 (−∞,−4.6041) U (4.6041,+∞) .
2
代入样本值 x = 3.252, s = 0.013 得 T 值为 T = 3.252 − 3.25 = 0.344 < 4.6041 0.013 / 5
当假设 H 0′ 为真时，取检验统计量
F = S12 ~ F (10,8)
S
2 2
由
P⎪⎨⎧ ⎪⎩
S12
S
2 2
<
F 1−
0.05
概率论与数理统计第五章练习答案郝志峰,谢国瑞
概率论与数理统计第五章习题的联合概率分布列为即。
对应的概率为：的所有可能取值对是。
于是二维随机变量服从二项分布并的所有可能取值也是则是乙击中目标的次数，。
设分布；并服从二项的所有可能取值是则是甲击中目标的次数解：设),(.2304.06.0*8.0)2,2(P ;3072.06.0*)6.01(*8.0)1,2(P ;1024.0)6.01(*8.0)0,2(P ;1152.06.0*8.0*)8.01()2,1(P ;1536.06.0*)6.01(*8.0*)8.01()1,1(P ;0512.0)6.01(*8.0*)8.01()0,1(P ;0144.06.0*)8.01()2,0(P ;0192.06.0*)6.01(*)8.01()1,0(P ;0064.0)6.01(*)8.01()0,0(P )2,2(),1,2(),0,2(),2,1(),1,1(),0,1(),2,0(),1,0(),0,0(),().60,2(B ;,1,20).80,2(B ,1,20,.1221222221212122122212222ηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηηξξ=====-====-====-====--====--====-====--====--===C C C C C C的联合概率分布列为：即。
事件等品和二等品，不可能即抽到的产品同时是一即抽到一等品即抽到二等品即抽到三等品。
对应的概率分别为：所有可能取值对是解：),()(0)1,1();(;8.0)0,1()(;1.0)1,0();(;1.0)0,0()1,1(),0,1(),1,0(),0,0(),(.2212121212121ξξξξξξξξξξξξ============P P P P的联合概率分布列为：的边缘分布可以得到和又利用。
，得到：非负，并且和等于有可能取值对应的概率利用离散型随机变量所。
可知：解：根据),(0)1,1()1,1()1,1()1,1(11)0,1()0,1()1,0()0,0()1,0(1)0(.3212121212121212121212121ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ====-====-==-=-===-=+==+==+==+-====P P P P P P P P P P的联合分布列为：所以对应的概率为：的所有可能取值为有：从而对于是的概率密度可知：解：根据),()arctan 2()1()1(P )1,1(P )1,1()arctan 21(arctan 2)1()1(P )1,1(P )0,1(arctan 2)arctan 21()1()1(P )1,1(P )1,0()arctan 21()1()1(P )1,1(P )0,0(),1,1(),0,1(),1,0(),0,0(),(.arctan 2)1(P ,arctan 21)1(P ,2,1,arctan 21)1(P arctan 2112)(2)1(P .4212212121212121212121221212121121ηηπξξξξηηππξξξξηηππξξξξηηπξξξξηηηηπξπξπξπππξξe P P e e P P ee P P e P P e e k e e de e dx e e k k xx x x =≤≤=≤≤===-=>≤=>≤===-=≤>=≤>===-=>>=>>====≤-=>=-=>=+=+=≤⎰⎰∞-∞--).1)(1()0,0()0,3()4,0()4,3()40,30()3(0y 0,00,0),1)(1(),().1)(1(12),(.12),(0,0.0),(,0),(0y 0)2(.12A 12),(1)1(.516943430)43()43(04030)43(--=+--=≤<≤<⎪⎩⎪⎨⎧≤≤>>--=--===>>==≤≤=====------+-+-∞+-∞+-∞+∞++-∞+∞-∞+∞-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e F F F F P x y x e ey x F e e dxdy e y x F e y x f y x y x F y x f x Ady e dx eA dxdy Aedxdy y x f y x y x x yy x y x y xy x ηξ时或者当时当因此：于是对应的分布函数：时，当于是对应的分布函数时，联合密度函数或者当所以解：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-+=-===+-≤≤+-≤≤+===+≤≤--≤≤-==>-<⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-=⎰⎰-+-+--其他因此：于是对应的概率密度是时，）当（于是对应的概率密度是时，）当（于是对应的边缘分布时，或者）当（其他对应的概率密度是：，所以的面积为解：由于,010,101,1)(;121)(,21),(,1110iii ;121)(,21),(,1101ii ;0)(,0),(11i ,011,11,21),(),(2.61111x x x x x f x dy x f y x f x y x x x dy x f y x f x y x x x f y x f x x y x y x y x f D xx xx ξξξξηξ.48251611218141)4,4()3,3()2,2()1,1()()3(.161487481348254321;414141414321)2(.41,1161*4121*381*2)1(.7=+++===+==+==+====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+++ηξηξηξηξηξηξP P P P P a a 的边缘分布为：的边缘分布为：可得：根据解：.913)3(1311)()(),3arctan 2(1)3arctan 2)(22(1),()(.412)2(1211)()(),2arctan 2(1)22)(2arctan 2(1),()()3(.91416)3(131)2(1211),(),()2(.1,2,)2)(2arctan (),(0)3arctan )(2(),(0)2)(2(),(1,.822'222'222222222yy y F y f yy y F y F xx x F x f x x x F x F yx y x y x F y x y x f A C B y x C x B A x F y C B A y F C B A F y x +=+==+=++=+∞=+=+==+=++=+∞=++=++=∂∂∂====⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-∞=+-=-∞=++=+∞+∞=ππππππππππππππππππππππππηηηξξξ边缘密度函数所以边缘分布函数边缘密度函数所以边缘分布函数从而的任意性可知：利用，满足：解：对任意的.)(.1445.0)5.08413.0(21))0()1((212121)1()21()(.91212122222函数为标准正态分布的分布其中解：x dxe dx e dxdy e P x x xy Φ=--=Φ-Φ-=-=-==<⎰⎰⎰⎰---ππππξη⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=+==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=+==⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>+>≤≤+≤≤≤≤+<<=+==≤≤>+==>≤≤+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==≤≤≤≤==>>==<<==+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞-∞-∞+∞-∞+∞-∞-∞-∞+∞-∞+∞-其他的边缘密度函数为：其他的边缘密度函数为：并且并且并且并且或者因此：时并且当时并且当时并且当时并且当于是概率密度时或者当的范围分情况进行讨论下面我们对利用所以解：,020,6131)31(),()(,010,322)31(),()()3(21,1201,12131210,31322010,1213100,0),(;12131),1(),(,201)v (;3132)2,(),(,210)iv (;12131)61()31(),(),(,2010)iii (;1),(),(,21)ii (;0),(,0),(,00)i (.,,),(),()2(.31,32)22()(),(1)1(.10102220222322322322302200210210202y y dx xy x dx y x f y f x x x dy xy x dy y x f x f y x y x y y y x x x y x y x y x y x y x F y y y F y x F y x x x x F y x F y x y x y x dx xy y x dx dy xy x dxdyy x f y x F y x dxdy y x f y x F y x y x F y x f y x y x dxdy y x f y x F c c dx cx x dx dy cxy x dxdy y x f x x y x yxyηξηξ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤++=++==+=≤≤==<>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤++=++==+=≤≤==<>其他于是时，当没有定义；于是时或者同样，当其他于是时，当没有定义；于是时或者当,020,62332231)(),()|(,322)(10)(),()|(,0)(,01,010,226613131)(),()|(,6131)(20)(),()|(,0)(,02)4(22222y x yx x x xy x x f y x f x y f x x x f x x f y x f x y f x f x x x y xyx y xy x y f y x f y x f y y f y y f y x f y x f y f y y ξξξξηηηη⎪⎩⎪⎨⎧<≥===≥==<⎪⎩⎪⎨⎧<≥===⎪⎩⎪⎨⎧<≥===≥==<⎪⎩⎪⎨⎧<≥===--+--∞++-∞+∞---+--∞++-∞+∞-⎰⎰⎰⎰0,00,22)(),()|(0)(),()|(,0)(00,00,)2(),()(0,00,22)(),()|(0)(),()|(,0)(00,00,2)2(),()()1(.112)2(0)2(2)2(20)2(x x e e e y f y x f y x f y y f y x f y x f y f y y y e dx e dx y x f y f y y e e e x f y x f x y f x x f y x f x y f x f x x x e dy e dy y x f x f x y y x y y x yxy x x y x ηηηηξξξξηξ时，当没有定义；所以时，于是当的边缘密度函数为：时，当没有定义；所以时，于是当的边缘密度函数为：解：.12)1()1,2()1|2()2(410201)2(--+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=≤≤≤=≤≤⎰⎰⎰e dyedxdy e P P P yy x ηηξηξ.2ln 11)1()3(,010),1(111),()()2(,010,11)|()(),(),(,,01,11)|(:)1,(,)10(,010,1)(:)1,0()1(:.1212110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=>+⎪⎩⎪⎨⎧<<--=-==⎪⎩⎪⎨⎧<<<-==⎪⎩⎪⎨⎧<<-=<<=⎩⎨⎧<<=⎰⎰⎰⎰-∞+∞-dy dx x P y y n dx xdx y x f y f y x xx y f x f y x f y x xx y f x x x x x f y y y ηξηηξηξξηξξ其他的边缘密度为：其他的联合密度函数为：因此其他上的均匀分布，可得服从区间时又根据其他上的均匀分布，所以服从区间由于解.,:.91B ,92A )A 91(319131B A )A 91)(1819161(911B A 311819161,.13的确是独立的随机变量知代入联合分布列验证可解得：：是独立的随机变量可得性质及解：根据联合分布列的ηξηξ==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++==+++++表：因此，联合分布列如下是独立随机变量：于是根据边缘分布以及的概率分布为解：设.4112131;31216111;838121;214181;1218124141;43681;416241;2418161,.3,2,1;2,1,),(),(.141332321312222112212111131212111111=-=-==--=--==-=-=====--=--========-======∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p j i p y x P ij j i ηξηξηξ.0,41,41,2121214341)0()1(.1,0;1,0,),(),(.2121*43*332143),()(.41,163;21,43,1021,43,.15010010111110001110010000011011联合分布列为解得：得：。
概率论与数理统计作业与解答
概率论与数理统计作业及解答第一次作业 ★ 1.甲.乙.丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹•设事件ABC 分别表示甲.乙.丙 击中目标.则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示• 事件E 丸事件A, B,C 最多有一个发生｝,则E 的表示为E =ABC ABC ABC ABC;或工 ABU AC U B C;或工 ABU ACU BC;或工 ABACBC ；或工 ABC_(AB C ABC A BC ).(和 A B 即并AU B,当代B 互斥即AB 二'时.AU B 常记为AB)2. 设M 件产品中含m 件次品.计算从中任取两件至少有一件次品的概率★ 3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只.计算以下事件的概率A 二｛8只鞋子均不成双｝, B=｛恰有2只鞋子成双｝, C 珂恰有4只鞋子成双｝.C 6 (C 2 )6 32C 8C 4(C 2)4 800.2238, P(B) 8 皆 0.5594,P(A) 8/143★ 4.设某批产品共50件.其中有5件次品•现从中任取3件•求 (1) 其中无次品的概率-(2)其中恰有一件次品的概率‘ /八 C 5 1419 C ：C 5 99⑴冷0.724.⑵虫产0.2526. C 50 1960C 503925. 从1〜9九个数字中•任取3个排成一个三位数•求 (1) 所得三位数为偶数的概率-(2)所得三位数为奇数的概率•4(1) P ｛三位数为偶数｝ = P ｛尾数为偶数｝=-,9⑵P ｛三位数为奇数｝ = P ｛尾数为奇数｝ = 5,9或P ｛三位数为奇数｝ =1 -P ｛三位数为偶数｝ =1 -彳=5.9 96. 某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码 求(1)最小号码为5的概率 ⑵ 最大号码为5的概率 记事件A =｛最小号码为5｝, B=｛最大号码为5｝.1 12 C m C M m C mm(2M - m -1)M (M -1)6 —C 16143P(C)二 C 8CJC 2)300.2098.143C 16C 2 iC 2⑴ P(A)=# 詁;(2) P(B )X =C 10 12C 107. 袋中有红、黄、白色球各一个 每次从袋中任取一球.记下颜色后放回 共取球三次 求下列事件的概率：A=｛全红｝ B =｛颜色全同｝ C =｛颜色全不同｝ D =｛颜色不全同｝ E =｛无 黄色球｝ F =｛无红色且无黄色球｝ G =｛全红或全黄｝.1 11A 3!2 8P (A)=3^2?P (B )=3P (A )=9, P(C^#=?=9, P(DH ^P(BH?28 1 1 2P(E)亏方P(F)亏审 P(G r 2P(A)盲☆某班n 个男生m 个女生（m^n 1）随机排成一列•计算任意两女生均不相邻的概率☆ •在[0 ■ 1]线段上任取两点将线段截成三段•计算三段可组成三角形的概率14第二次作业1.设 A B 为随机事件 P(A)=0.92 ■ P(B)=0.93 P(B|Z)=0.85 求 ⑴ P(A|B) (2) P (AU B) ■ (1) 0.85 =P(B| A) =P(A B )P (AB ),P (A B )=0.85 0.08=0.068,P(A) 1-0.92P(AB)二 P(A) -P(AB)二 P(A) - P(B) P(AB) = 0.92 -0.93 0.068 = 0.058,P(A| B): = P(AB) = 0.。
概率论与数理统计第五章习题解答.dot
当零假设H o 成立时，变量:汕 X32.0. 6~N(0, 1)1.10.89 1.9632.0，所以可以认为这批机制砖的平均抗断强度 显着为32.0kg/cm 2。
解：这是检验正态总体数学期望是否大于10提出假设：H 。
：10, H 1 : 10 即：H 0 :10,H 1 :10由题设，样本容量n5，20.12，0.120.1，检验解：这是检验正态总体数学期望提出假设：H 。
：32.0, 由题设，样本容量n 6，是否为H 1 : 32.01.21，1.21 1.1，所以用 U因检验水平 0.05，由 P{| U|0.05,查表得1.96得到拒绝域: |u |1.96计算得:1(32.6 30.0 31.6632.0 31.8 31.6) 31.600-壮叫0.89它没有落入拒绝域，于是不能拒绝H 。
，而接受H 0，即可以认为X 10.1万 km ,所以用U 检验当零假设H o 成立时， 变量: X10一5~N(0,1)0.1因检验水平 0.05,由P{U} 0.05,查表得'1.64得到拒绝域: 1.64计算得：ux 0 斤 10.1n0.110” 52.242.24 1.64它落入拒绝域, 于是拒绝零假设 H 0，而接受备择假设H 1,即可认为 10所以可以认为这批新摩托车的平均寿命 有显者提高。
解：这是检验正态总体数学期望是否小于240提出假设：H 。
:即：H 。
:由题设，样本容量n240, H 1 : 240 240,H 1 : 2402625，、625 25， x 220，所6 以用U 检验当零假设H o 成立时， 变量：因检验水平 0.05， 由P{U得到拒绝域： u1.64计算得：u Xn220U 02406 25”nX 2406 ~ N(0,1)250.05,查表得'1.641.959它落入拒绝域，于是拒绝H o,而接受H i，即可以认为240所以可以认为今年果园每株梨树的平均产量显着减少。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五次作业
Remark
本次作业的质量评价主要考察点有独立性的运用、随机变量分布函数与分布列（或概率密度）的互求，以及利用随机变量的分布求概率！如果在这三个点上都有缺陷或在其中两个点上有明显的缺陷就不能得到A 级评定，具体存在问题通过以下评点指出. 参考解答
习题1.5 .6059.-P
19. 甲、乙两选手进行乒乓球单打比赛，已知在每局中甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4.比赛可采用三局二胜制或一局定胜负制，问哪种赛制对甲有利？
解 记
i A ＝“第i 局甲胜”，3,2,1=i
易见， 1A ，2A ，3A 独立，且由已知有
6.0)(=i A P ，4.0)(=i A P ，3,2,1=i . 于是，利用有限可加性及独立性有
)(三局二胜制下甲获胜
P )(32132121A A A A A A A A P ⋃⋃= )()()(32132121A A A P A A A P A A P ++= )()()()()()()()(32132121A P A P A P A P A P A P A P A P ++=
6.06.04.06.04.06.06.06.0⨯⨯+⨯⨯+⨯= 648.0=.
而
6.0)()(1=A P P ＝一局定胜负制下甲获胜
. 可见，
)(三局二胜制下甲获胜P >)(一局定胜负制下甲获胜P ，
表明三局二胜制对甲更为有利.
习题2.1 .7775.-P
1. 口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取三个，以X 表示取出的3个球中的最大号码，试求:(1)试求X 的分布列；
(2)写出X 的分布函数，并作图.
解 依题意可知，X 为离散型随机变量，其可能值为2，3，4.
(1)利用古典方法求得X 的分布列为：
(2)由∑≤=x x i i
p x F )(，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.5,1,54,4.0,43,1.0,3,0)(x x x x x F
其图像同学们自行补上.
11. 从1，2，3，4，5五个数中任取三个，按大小排列记为321x x x <<，令X ＝2x ，试求
(1)X 的分布函数；
(2))2(<X P ，)4(>X P .
解 依题意可知，X 为离散型随机变量，其可能值为2，3，4.
(1)利用古典方法求得X 的分布列为：
∑≤=x x i i
p x F )(由，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.41;43,7.0;32,3.0;20)(x x x x x F ，， (2)由(1)所得X 的分布列得
0)()2(=Φ=<P X P ，0)()4(=Φ=>P X P . 或由(1)所得X 的分布函数，得
0)(lim )02()2(2==-=<-
→x F F X P x ， 011)4(1)4(=-=-=>F X P .。