代数系统定义
第一章 基本概念
二、代数系统的同构及性质
三、代数系统同构的意义
一、代数系统的同态及性质
定义1 设集合 M及 M 各有代数运算 o 及o, 且 ϕ是 M到 M 的一个映射 .
___ _ ___
如果 ϕ满足以下条件：对 M中任意元素 a, b, 在 ϕ之下由
a → a, b → b 总有 a o b → a o b,
n次置换
1.3
代数运算
一、代数运算的概念
近世代数的主要任务是研究各种抽象的代数系统(带有运算的集合)。 如何定义运算，先看几个我们熟悉的例子： （1）非负整数集Z上的普通加法“+”； （2）数域F上全体n阶矩阵集上的乘法。 可见运算“+” ，矩阵乘法就是个映射。 定义1 设M是一个集合.如果有一个法则，它对M中的任 意两个有次序的元素a 与b，在M中有一个惟一确定的元素 d与它们对应，则称这个法则是集合M的一个代数运算.
设ε表示集合 M的恒等变换，则对 ∀σ ∈T ( M )，有
σε ( x ) = εσ ( x ) = σ ( x ), (∀x ∈ M ),
从而 εσ = σε = σ，
在变换的乘法中，恒等变换着数1在数的普通乘法中相同的作用。
结论：设S(M)表示集合M的全体双射变换作成的集合，则
S ( M ) ⊆ T ( M ), 且变换乘法也是S ( M )的一个代数运算。
f o g, 即 f o g : X → Z,
对∀x ∈ X , ( f o g )( x ) = f [ g ( x )].
四、变换
定义：集合X 到自身的映射，叫做集合X的一个变换 . 定理3 含n个元素的任意集合共有n!个双射变换.
对有限集合的双射变换 ϕ，常用以下特殊符号表 示： L 2 n ⎞ ⎛ 1 ϕ =⎜ ⎜ ϕ (1) ϕ ( 2) L ϕ ( n) ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
代数系统简介
代数发展简史一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。
傅鹰数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分，人类的进步和科学思想是一致的。
F. Cajori0、引言数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。
大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。
这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。
在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。
在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。
“代数”（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr 意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muqabalah 意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。
阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·阿尔—花拉子米的传记材料，很少流传下来．一般认为他生于花拉子模[Khwarizm，位于阿姆河下游，今乌兹别克境内的希瓦城(Хива)附近]，故以花拉子米为姓．另一说他生于巴格达附近的库特鲁伯利(Qut-rubbullī)．祖先是花拉子模人．花拉子米是拜火教徒的后裔，早年在家乡接受初等教育，后到中亚细亚古城默夫(Мерв)继续深造，并到过阿富汗、印度等地游学，不久成为远近闻名的科学家．东部地区的总督马蒙(al-Ma’mūn，公元786—833年)曾在默夫召见过花拉子米．公元813年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，聘请花拉子米到首都巴格达工作．公元830年，马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”(Bayt al-Hikmah，是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关)，花拉子米是智慧馆学术工作的主要领导人之一．马蒙去世后，花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达工作，直至去世．花拉子米生活和工作的时期，是阿拉伯帝国的政治局势日渐安定、经济发展、文化生活繁荣昌盛的时期．花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域．他撰写了许多重要的科学著作．在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：《代数学》和《印度的计算术》．1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。
离散数学第五章
• 二元运算的性质
1.算律: 设 为S上的二元运算, (1)如果对于任意的x,y∈S,有x y=y x, 则称运算在S上满足交换律.
(2)如果对于任意的x,y,z∈S有 (x y) z=x (y z),则称运算在S上满足结 合律. (3)如果对于任意的x∈S有x x=x,则称 运算在S上满足幂等律.
4.群的性质 (1)群的幂运算规则 设G为群,则G中的幂运算满足： 1) a∈G,(a-1)-1=a. 2) a,b∈G,(ab)-1=b-1a-1. 3) a∈G,anam=an+m,n,m∈Z. 4) a∈G,(an)m=anm,n,m∈Z. 5)若G为交换群,则(ab)n=anbn.
设 和 为S上两个不同的二元运算,
(1)如果对于任意的x,y,z∈S有(x y) z= (x z) (y z)和z (x y)=(z x) (z y),则称 运 算对 运算满足分配律.
(2)如果 和 都可交换,并且对于任意的 x,y∈S有x (x y)=x和x (x y)=x,则称 和 运算满足吸收律.
(5) S为任意集合,则∪、∩、－、 为S 的幂集P(S)上的二元运算,这里∪和∩是初级 并和初级交.
(6) S为集合, SS为S上的所有函数的集合, 则函数的集合运算 为SS上的二元运算.
• 一元运算
1. 定义: 设S为集合,函数f：S→S称为S上的一 个一元运算,简称为一元运算. 2. 例: (1) 求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集 合Q和实数集合R上的一元运算. (2) 求一个数的倒数是非零有理数集合Q*,非 零实数集合R*上的一元运算.
3.真子代数 任何代数系统V=<S,f1,f2,…,fk>,其子代数一定 存在. 最大的子代数就是V本身. 如果令V中所有代数常数构成的集合是B,且 B对V中所有的运算都是封闭的,则B就构成 了V的最小的子代数. 这种最大和最小的子代数称为V的平凡的子 代数. 若B是S的真子集,则B构成的子代数称为V的 真子代数.
代数系统 格
代数系统格
代数系统格是一种数学结构，它由一个集合和一个代数运算构成。
在这个代数系统格中，我们将探索它的性质和特点，并从人类的视角出发，以生动的方式描述它。
让我们来了解代数系统格的定义。
代数系统格由一个非空集合和一个代数运算组成，这个代数运算满足一些特定的性质。
它可以是一个群、环、域或者其他代数结构。
这个代数运算可以是加法、乘法、除法或其他运算，它们在集合中的元素之间按照特定的规则进行操作。
代数系统格有许多重要的性质。
首先，它是封闭的，也就是说，对于代数运算中的任意两个元素进行运算后得到的结果仍然属于集合。
其次，它满足结合律，也就是说，代数运算可以进行任意次数的运算而得到的结果是相同的。
此外，代数系统格还满足交换律、单位元和逆元等性质。
在实际应用中，代数系统格有着广泛的应用。
例如，在密码学中，代数系统格可以用来构建加密算法和解密算法。
在计算机科学中，代数系统格可以用来描述数据结构和算法的性质。
在物理学中，代数系统格可以用来描述物理现象和相互作用。
总的来说，代数系统格是一种重要的数学结构，它在数学、计算机科学和物理学等领域都有广泛的应用。
通过对代数系统格的研究，
我们可以深入理解数学的本质和它在现实世界中的应用。
希望通过本文的描述，读者可以对代数系统格有一个清晰的认识，并进一步探索它的应用领域。
离散数学 第五-六章
例 题4
设集合A={ ,}, A上定义的二元运算如表所示. 对*可分配吗? * 对 ?
代数结构 >运算性质
定义5-2.6 设,△是定义在集合A上的两个二元运 算,如果对 x y∈A,都有 x (x△y) = x x△(x y) =x 则称运算和运算△满足吸收律。
代数系统 >代数系统的引入
二元运算的例子 • N上 +, 是N上二元运算,而-, 不是. • 整数集I上 +,-, 是I上的二元运算, 而 不是. • R-{0}上的 , 是R-{0}上的二元运算,而+,-不是. • 矩阵的 +, 是N阶实矩阵集合上的二元运算,但不是 全体实矩阵集合上的二元运算. • ,,, 是真值集合{0,1}上 的二元运算. • ,, 是幂集P(A)上的二元运算. 一元运算的例子 • R上的 求绝对值|X|运算. • 整数 I上求负运算是一元运算,但不是N上的一元运算.
n 例如 实数集上的+, ; 集合上的运算, ;,命题 集合P上的,都是可结合的.
例题3
A为非空集合,*定义为:对任意的a,bA,有 a*b=b. 证*可结合的.
代数结构 >运算性质
定义5-2.4 设是定义在集合A上的一个二元运算, x∈A,若xx=x,称x是等幂元; 若对x∈A,都有
2 独异点(monoid)
定义5-3.3 含有幺元的半群称为独异点。 独异点的判定: 对给定集合S 及运算*, 1)是封闭的, 即对x,y∈S, 有 xy∈S (是代数系统) 2)是可结合的,即对x,y,z∈S, 有(x y) z= x (y z) 3) 有幺元,即e∈S, 对x∈S,有ex=xe=x. 例如 <R, +>是独异点,幺元为0, <I+,+ >不是. <R, * >, <I, * >都是独异点,幺元为1 <{0,1}, > , <{0,1}, >都是独异点,幺元分别为0和1. < P(S), >和 < P(S), >是独异点?
代数系统在计算机科学中的应用(new)
定就与xi相等，从而产生了二进制信号的传递错误。 定就与 相等，从而产生了二进制信号的传递错误。 发送端
X=x1x2 …xn
接收端 干扰
′ 2 n X ′ = x1 x ′ ... x ′
图2.1
6
代数系统的应用
由于在计算机中和数据通信系统中的 信号传递是非常的频繁与广泛，因此， 信号传递是非常的频繁与广泛，因此，如何 防止传输错误就变得相当重要了，当然， 防止传输错误就变得相当重要了，当然，要 解决这个问题可以有不同的途径。 解决这个问题可以有不同的途径。人们所想 到的第一个途径是提高设备的抗干扰能力和 信号的抗干扰能力。但是，大家都知道， 信号的抗干扰能力。但是，大家都知道，这 种从物理角度去提高抗干扰能力并不能完全 消除错误的出现。 消除错误的出现。
2
代数系统的应用
针对某个具体问题选用适宜的数学结构去进 行较为确切的描述，这就是所谓“数学模型” 行较为确切的描述，这就是所谓“数学模型”。 可见， 可见，数学结构在数学模型中占有极为重要的位 置。而代数系统是一类特殊的数学结构——由对 而代数系统是一类特殊的数学结构 由对 象集合及运算组成的数学结构， 象集合及运算组成的数学结构，我们通常称它为 代数结构。它在计算机科学中有着广泛的应用， 代数结构。它在计算机科学中有着广泛的应用， 对计算机科学的产生和发展有重大影响；反过来， 对计算机科学的产生和发展有重大影响；反过来， 计算机科学的发展对抽象代数学又提出了新的要 求，促使抽象代数学不断涌现新概念，发展新理 促使抽象代数学不断涌现新概念， 论。
3
代数系统的应用
格与布尔代数的理论成为电子计算机硬件设 计和通讯系统设计中的重要工具。 计和通讯系统设计中的重要工具。半群理论在自 动机和形式语言研究中发挥了重要作用。 动机和形式语言研究中发挥了重要作用。关系代 数理论成为最流行的数据库的理论模型。 数理论成为最流行的数据库的理论模型。格论是 计算机语言的形式语义的理论基础。 计算机语言的形式语义的理论基础。抽象代数规 范理论和技术广泛应用于计算机软件形式说明和 开发，以及硬件体系结构设计。 开发，以及硬件体系结构设计。有限域的理论是 编码理论的数学基础，在通讯中发挥了重要作用。 编码理论的数学基础，在通讯中发挥了重要作用。 在计算机算法设计与分析中， 在计算机算法设计与分析中，代数算法研究占有 主导地位。 主导地位。
代数系统x
10
结论
（1）计算幺元可根据定义直接进行，即首先假设 幺元存在，并根据定义计算，然后进行验证。
（2）可以直接从运算表中分析出运算是否有左幺 元或右幺元。具体方法是： ① 如果元素x所在的行上的元素与行表头完全相 同，则x是一个左幺元； ② 如果元素x所在的列上的元素与列表头完全相 同，则x是一个右幺元； ③同时满足①和②。
代数系统的引入
人们研究和考察现实世界中的各种现象或过程往往 要借助于所谓的数学模型。
例如:在微积分中,物体的速度可用导数、面积、体 积可用定积分计算。 针对某个具体问题选用适宜的数学结构去进行较为 确切的描述， 这就是所谓数学模型。
1
代数系统的引入
数学结构在数学模型中占有极为重要的地位，
我们现在下面讨论的数学结构是由集合上定义若干
d d
= fc, d，
d
(x) = cax+bc+d = fc,
(x) = cx+d，
取x = 0，有 bc = 0, 又fa, b是任意的，取b = 1，可得 c = 0， 又fc, d∈G，则c ≠ 0, 矛盾，故fc, d是零元不成 立，故代数系统<G, >没有零元。
2018/10/7
21
例（续）：逆元
∴
*满足结合律。
5
运算及其性质（3）
交换律：若 a，b∈A， *是集合A上的二元运算 ，有a * b=b*a，则称*在A上是可交换的，或称* 运算在A上满足交换律。
例：设<有理数集，*>,*定义如下： a*b=a+b-ab ，问*满足交换律否？
证：∵
a，b∈A，
a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a
第7章 代数系统
矩阵乘法· Mn×Mn→Mn, : M· N是二元运算，载体是Mn。 减法-：I×I→I是I上的二元运算， 但不是N上的运算； 函数求逆运算：f-1 是集合B={f|f是X上的双射函数}上的 一元运算，但不是XX上的运算。 对于具有载体S的一个代数，定义在载体S上的n元运算*是 一个从Sn到S的函数,所以一个代数的载体对于定义于其上 的运算而言总是封闭的。代数常记为<S,*>.
例3.证明<N,+>和<I+, >不同构 证:反证法 设h:N I+是<N,+>到<I+, >的一个同构映射,
设p I+为质数，p>2，p=h(x),x>=2
则: p=h(x)=h(x+0)=h(x)h(0)=1p p=h(x-1+1)=h(x-1) h(1)=1p
h(x)或h(0)为1，且h(x-1)或h(1)为1，
若xA，有x*0r=0r，称0r为运算*的右零元
若xA，有0*x=x* 0 = 0 ，称0为运算*的零元 注：零元，幺元称为代数常数
例：A={a，b，c}，运算◦用下表定义：
◦
a
b
c
a
b
a
a a
b
b b
b
c a
则b是左幺元，无右幺元； a是右零元，b是右零元，无左零元;
c
运算◦既不满足结合律，也不满足交换律。
例: k=6,e=1
k=5,e=1
逆元的性质 定理3: 对于可结合运算◦ ，如果元素x有左逆元l，右逆 元r，则l=r=x－1
推论：逆元若存在，则唯一. 证：l=l◦e＝l◦(x◦ r)=(l◦ x)◦r＝e◦r＝r
glj-chapter2 代数系统
3、一元，二元运算表。 当 S 为有穷集时， 上的一元和二元运算 S 都可以用运算表给出。 例2、(1) 设 S 1, 2 ，给出 P( S ) 上的运算绝对 补集 ~ 和对称差 的运算表。 解：P( S ) , 1 , 2 , 1, 2 ，“~ ”为一元运算， “ ”为二元运算，其运算表如下：
rA 使得xA 满足l x =l, x r = r, 则l = r = , 且
就是 A 中关于运算的唯一的零元.
2、零元 ： 若 S ，对 x S ，
x x ，则称 为运算 的零元。
注：(1) 若零元存在必唯一。
的幺元，若对 x S ，存在 x1 S ，使
，则称 x 1 为 x 的逆元。 x x x x e
1 1
注：(1) 逆元是针对某个元素 x 而言的
(可能有些元素有逆元，有些没有)
(2) 若二元运算 满足结合律且 x的逆元 存在则必唯一。
3、逆元： 为 S 上的二元运算， S 为运算 设 e
幂集P(S)上的对称差运算的单位元是
幂集P(S)上的相对补运算–没有单位元，但
是有右单位元是 AP(S) 定义：AB=A – B A = A – =A
恒等函数IA是关于函数复合运算的单位元。
例10、在 R *(非零实数集)上定义运算如下：
a b a (a, b R*)
定理3 设 是A上的二元运算，, eA,
和e分别为运算的零元和幺元，如果 |A|>1, 则≠e.
证明 用反证法. 假设 = e, 则对任意
xA, 有 x= e x = x = = e, 可见S中 的所有元素都是相同的, 这与|A|>1矛盾.
离散数学-代数系统
1
抽象代数在计算机中有着广泛的应用，例如自动机理论、编码 理论、形式语义学、代数规范、密码学等等都要用到抽象代数 的知识。 构成一个抽象代数系统有三方面的要素：
4
为了研究抽象的代数系统，需要先定义一元和二元代数运算以 及二元运算的性质，并通过选择不同的运算性质来规定各种抽 象代数系统的定义。在此基础上再深入研究这些抽象代数系统 的内在特性和应用。
主要内容：
第四章 代数系统 第五章 群 *第六章 环和域 第七章 格和布尔代数
5
第四章 代数系统
本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为复杂的对 象——代数系统，研究代数系统的性质和特殊的元素，代数系 统与代数系统之间的关系（如代数系统的同态、满同态和同构， 这些概念较为复杂也较为抽象，是本章的难点）。它们将集合、 集合上的运算以及集合间的函数关系结合在一起进行研究。 前三章内容是本章的基础，熟练地掌握集合、关系、函数等概 念和性质是理解本章内容的关键。
= (r1 + r2 – r1r2) + r3 – (r1 + r2 – r1r2)r3
= r1 + r2 + r3 – r1r2 – r1r3 – r2r3 + r1r2r3,
r1 (r2 r3) = r1 (r2 + r3 – r2r3)
= r1 + (r2 + r3 – r2r3) – r1(r2 + r3 – r2r3)
定理4-1 设 ◦ 是定义在集合 A 上的一个 n 元运算，且在 A 的两 个子集 S1 和 S2 上均封闭，则 ◦ 在 S1 S2 上也是封闭的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
代数系统定义
代数系统定义
代数系统是一个数学概念，是指一组对象和操作符号的集合，这些对
象和操作符号遵循一定的规则进行运算。
代数系统可以是有限或无限的，可以包含不同类型的对象和操作符号。
代数系统包括了多个子概念，下面将分别介绍。
集合
在代数系统中，最基本的概念是集合。
集合是一个无序的元素组成的
集合体。
在代数系统中，我们通常用大写字母表示一个集合。
例如：A、B、C等。
元素
在一个集合中，每个单独的对象都被称为元素。
元素可以是任何东西——数字、字母、字符串等等。
在代数系统中，我们通常用小写字母
表示一个元素。
例如：a、b、c等。
二元运算
二元运算是指一个由两个元素构成的表达式，并返回另一个元素作为结果。
在代数系统中，二元运算通常用符号表示。
例如：加法“+”、减法“-”、乘法“×”等。
封闭性
如果对于一个二元运算，在某个给定的集合内进行操作时，其结果仍然属于该集合，则称该集合对于该二元运算是封闭的。
例如，在整数集内进行加法和乘法时，其结果仍然是整数，因此整数集对于加法和乘法是封闭的。
群
群是指一个代数系统，其中包含一个二元运算，满足以下四个条件：
1. 封闭性：对于该二元运算，在该代数系统中进行操作时，其结果仍然属于该代数系统。
2. 结合律：对于该二元运算，无论操作的顺序如何，其结果都相同。
3. 单位元素：存在一个特殊的元素（称为单位元素），使得任何其他
元素与该单位元素进行运算后不会改变原来的值。
4. 逆元素：对于每个元素，都存在一个逆元素使得它们进行运算后等于单位元素。
环
环是指一个代数系统，其中包含两个二元运算（加法和乘法），满足以下四个条件：
1. 封闭性：对于加法和乘法，在该代数系统中进行操作时，其结果仍然属于该代数系统。
2. 加法结合律：对于加法，无论操作的顺序如何，其结果都相同。
3. 加法单位元素：存在一个特殊的元素（称为加法单位元素），使得任何其他元素与该单位元素进行加法运算后不会改变原来的值。
4. 乘法分配律：对于任意三个在该代数系统中的元素a、b和c，有a×(b+c) = a×b + a×c和(b+c)×a = b×a + c×a。
域
域是指一个代数系统，其中包含两个二元运算（加法和乘法），满足以下条件：
1. 封闭性：对于加法和乘法，在该代数系统中进行操作时，其结果仍然属于该代数系统。
2. 加法结合律：对于加法，无论操作的顺序如何，其结果都相同。
3. 加法单位元素：存在一个特殊的元素（称为加法单位元素），使得任何其他元素与该单位元素进行加法运算后不会改变原来的值。
4. 加法逆元素：对于每个元素，都存在一个逆元素使得它们进行加法运算后等于加法单位元素。
5. 乘法结合律：对于乘法，无论操作的顺序如何，其结果都相同。
6. 乘法单位元素：存在一个特殊的元素（称为乘法单位元素），使得任何其他非零元素与该单位元素进行乘法运算后不会改变原来的值。
7. 乘法逆元素：对于每个非零元素，都存在一个逆元素使得它们进行乘法运算后等于乘法单位元素。
总结
代数系统是一个数学概念，是指一组对象和操作符号的集合，这些对
象和操作符号遵循一定的规则进行运算。
代数系统包括了多个子概念，如集合、元素、二元运算、封闭性、群、环和域等。
每个子概念都有
其独特的特点和定义，它们可以用于解决各种数学问题。