多项式除法
多项式的整除
q ( x) q ( x) 0
r ( x) r ( x), q( x) q( x)
说明：1。若无r(x)=0或(r(x))< (g(x))的限制，则使 f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立的，q(x),r(x)不唯一，此时不能定 义商式与余式，也不能判断一个多项式能否整除另外一 个多项式。 5 2 例如： f ( x) x 1, g ( x) x f ( x) x 2 0 x 5 1 令 q( x) 0, r ( x) x 1. f ( x) x x ( x 1 x ). 令 q( x) x , r ( x) x x 1
<二>多项式整除的基本性质
1。 如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),那么f(x)|h(x). 证明：f(x)|g(x) h1(x) F[x] 使 g(x)=f(x) h1(x) ……（1） g(x)|h(x) h2(x) F[x] 使 h(x)=g(x) h2(x) ……（2） 由（1），（2）得h(x)=f(x)(g(x) h2(x)) 即 f(x)|h(x)
注：1。每一个多项式f(x)都能整除cf(x), 其中c F. 2。g(x)|f(x) g(x)|cf(x). (c F) g(x)|f(x) cg(x)|f(x). (0 c F) 即：f(x)与cf(x) (c F)有相同的因式。 f(x)与cf(x) (0 c F)有相同的倍式。
6。若f(x)|g(x),g(x)|f(x),那么f(x)=cg(x),其中 0 c F. 证明：由f(x)|g(x) (x) F[x],使 g(x)=f(x) (x) ……（1） 由g(x)|f(x) (x) F[x],使 f(x)=g(x) (x) ……（2） 由（1），（2）得：f(x)=f(x) (x) (x) 若f(x)=0,则由（1）知g(x)=0,从而f(x)=g(x). 若f(x)=0,则由（1）知(x) (x)=1，于是， （(x) (x)）=0，从而（(x)）=0， （ (x)）=0，令 (x)=c,(0 c F)
根据多项式除法的概念知识点总结及习题：
根据多项式除法的概念知识点总结及习题：根据多项式除法的概念知识点总结及题本文档将总结多项式除法的概念知识点，并提供一些题以帮助加深理解。
多项式除法的概念知识点总结多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数的过程。
它的本质是将被除式逐步减去除式的倍数，直到无法再减为止。
以下是多项式除法的一些重要知识点：1. 多项式的除法公式：多项式除法的一般公式为：被除式 = 除式 ×商 + 余数。
其中，被除式是要被除的多项式，除式是用来除的多项式，商是两个多项式相除的结果，余数是除法的余项。
2. 多项式的次数：多项式的次数是指多项式中最高次幂的指数。
在多项式除法中，我们通常要保证被除式的次数大于或等于除式的次数，以确保除法的有效性。
3. 带余除法：带余除法是多项式除法的一种形式，它保证了被除式的次数大于或等于除式的次数，并得到商和余数作为结果。
题请回答以下题：1. 将多项式 f(x) = 3x^3 + 5x^2 - 2x + 4 除以多项式 g(x) = x - 2，求商和余数。
2. 将多项式 f(x) = 2x^4 - 7x^2 + 3 除以多项式 g(x) = x^2 - 1，求商和余数。
3. 如果多项式 f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 除以多项式 g(x) = x - 1 得到商为 q(x) = x^2 + 2x + 3 和余数为 r(x) = 5。
求常数 a、b 和 c 的值。
以上题旨在提供对多项式除法的实际应用和概念的深入理解，通过解答这些题，你将能够更好地掌握多项式除法的知识。
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多项式整除
例3．求实数 m , p, q 满足什么条件时多项式
x mx 1 整除多项式 x 3 px q.
2
附：整数上的带余除法
对任意整数a、b（b≠0）都存在唯一的整数q、r， 使 a＝qb＋r，
其中 0 r b .
q x g x r x q x g x r x
即
q x －q x g x ＝r x －r x .
若q x q x ，由g x 0, 有r x －r x 0
4 2i 5 2i
9 8i 9 8i
１ 有
f ( x ) g( x ) x 2 2ix 5 2i 9 8i .
例２.
把 f ( x ) x 表成 x 1的方幂和．
5
０ ０ ０ ０ ０ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １= c0 2 3 4 １ 2 3 4 5= c1 １ １ 1 3 6 3 6 10= c2 １ １ 1 4 4 10= c3 １ １ 1 1 5= c4 x 5 ( x 1)5 5( x 1)4 10( x 1)3 10( x 1)2 5( x 1) 1
g( x ) | f ( x ) h2 x 使得 f ( x ) g ( x )h2 x .
f ( x ) h1 x h2 x f ( x ).
若 f ( x ) 0,
则 g ( x )＝0,
f ( x )＝cg( x )，c P ,c 0
② g ( x ) 不能整除 f ( x ) 时记作： g ( x ) | f ( x ).
多项式的加减乘除运算
多项式的加减乘除运算多项式是数学中常见的代数表达式形式，由多个项组成。
每个项由系数和指数两部分组成，例如3x^2和5y表示两个多项式的项。
多项式的加减乘除运算是数学中重要的概念，本文将详细介绍多项式的加减乘除运算规则及相应的例子。
一、多项式的加法运算多项式的加法运算是将两个多项式按照相同指数的项进行合并。
在进行加法运算时，只需将对应指数的项的系数相加即可，而不同指数的项则需要保留原样。
例如，考虑以下两个多项式：P(x) = 3x^2 + 2x + 5Q(x) = 4x^2 - x + 3将两个多项式进行加法运算时，我们将对应指数的项的系数相加，不同指数的项保留原样。
按照这个规则，我们可以将上述两个多项式相加得到：P(x) + Q(x) = (3x^2 + 4x^2) + (2x - x) + (5 + 3)= 7x^2 + x + 8因此，P(x) + Q(x) = 7x^2 + x + 8。
二、多项式的减法运算多项式的减法运算是将两个多项式按照相同指数的项进行合并，并将减数的项的系数取负。
也就是说，我们将第二个多项式的各项的系数取相反数，然后按照相同指数的项进行合并。
考虑以下两个多项式：P(x) = 3x^2 + 2x + 5Q(x) = 4x^2 - x + 3我们将P(x) - Q(x)展开运算：P(x) - Q(x) = (3x^2 - 4x^2) + (2x + x) + (5 - 3)= -x^2 + 3x + 2所以, P(x) - Q(x) = -x^2 + 3x + 2。
三、多项式的乘法运算多项式的乘法运算是将两个多项式的各项进行配对相乘，并将同指数的各项相加。
例如，考虑以下两个多项式：P(x) = 3x^2 + 2x + 5Q(x) = 4x - 1我们将P(x) * Q(x)展开运算：P(x) * Q(x) = (3x^2 * 4x) + (3x^2 * -1) + (2x * 4x) + (2x * -1) + (5 * 4x) + (5 * -1)= 12x^3 - 3x^2 + 8x^2 - 2x + 20x - 5= 12x^3 + 5x^2 + 18x - 5所以，P(x) * Q(x) = 12x^3 + 5x^2 + 18x - 5。
多项式除以多项式公式
多项式除以多项式公式摘要：一、多项式除以多项式的基本概念二、多项式除以多项式的步骤和方法1.准备式2.长除法步骤3.化简结果三、实例演示四、注意事项五、总结与拓展正文：多项式除以多项式是代数学中的一个重要内容，它在数学、物理、化学等科学领域具有广泛的应用。
本文将介绍多项式除以多项式的基本概念、步骤和方法，并通过实例进行演示。
最后，我们将总结注意事项，并探讨如何进一步拓展这一领域。
一、多项式除以多项式的基本概念多项式除以多项式，指的是将一个多项式（称为被除式）分解为两个或多个多项式（称为除式）的乘积。
这一过程可以用来求解方程、简化表达式或分析函数性质等。
二、多项式除以多项式的步骤和方法1.准备式在进行多项式除以多项式之前，首先要确定除式。
通常情况下，除式为一个一次或多次多项式。
接下来，将被除式和除式写成标准形式，即按照降幂排列，并去掉两边的同类项。
2.长除法步骤利用长除法，将除式逐步除入被除式。
具体步骤如下：（1）用除式去除被除式的第一项，得到商的第一项；（2）将商的第一项乘以除式，得到一个新的多项式；（3）用新的多项式减去被除式，得到余数；（4）将余数替换被除式，重复步骤（1）至（3），直到余数为零或达到预设精度。
3.化简结果当余数为零时，多项式除法过程结束。
此时，商的多项式即为所求结果。
需要注意的是，商的多项式可能含有分式和有理式，需要进一步化简。
三、实例演示以二次多项式除以一次多项式为例：被除式：f(x) = 3x^2 + 2x - 1除式：g(x) = x + 1（1）写出准备式：f(x) = 3x^2 + 2x - 1g(x) = x + 1（2）长除法步骤：第一次除法：3x^2 ÷ x = 3x余数：2x - 1第二次除法：2x ÷ 1 = 2x余数：-1第三次除法：-1 ÷ 1 = -1余数：0（3）化简结果：商的多项式为3x - 2，即为所求结果。
四、注意事项1.确定除式：在进行多项式除法时，首先要正确选择除式。
多项式的除法及拓展
多项式的除法及余数定理——教学过程一、多项式的除法：长除法和带余除法1.长除法*)82323(874)(124(234124823238741242348234687472724132742234124874414417411617422322232223232⋯⋯+++++=+++-++++=++++++-+++-++++-+++=⇒x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 即被除数余数商例如项式与真分式的和可以通过长除法化为多有理函数中的假分式也和：法化为整数与真分数之正如假分数可以通过除练习：利用长除法计算下列式子，并表示成*式的形式()()()()()()()()()+++=+++=+++++++=+++=+++++++=+++=+++++236116236116)3(23262326)2(12231223)1(22322334534532343234x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ()()()()()()()()02336116)3(31226326)2(3612323)1(223232453234++++=++++-+++=+++--++++=+++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 思考1：观察以上几个结果，你有何猜想？结果中类似“除数”与“余数”的多项式的次数大小关系如何？你又有何猜想？猜想：任意一个多项式都可以作为类似的“被除数”，而表示成商乘以“除数”，再加上“余数”的形式。
即对于任意两个多项式f(x)和g(x),都可以写成)())(())(()()()()(=∂<∂+=x r x g x r x r x g x q x f 或者，其中的形式。
（就是多项式的带余除法定理）2.带余除法的余式除称为的商，除通常称为其中是唯一决定的。
多项式除多项式的法则
多项式除多项式的法则
多项式除多项式的法则是指对于两个多项式P(x)和Q(x)，其中Q(x)不为零，可以进行除法运算。
具体来说，对于一个多项式P(x)，可以使用长除法的方法将其除以另一个多项式
Q(x)，得到商式和余式。
长除法的步骤如下：
1. 将被除式P(x)按照幂的降序排列，确保幂次最高的项在最前面。
2. 将除式Q(x)按照幂的降序排列，确保幂次最高的项在最前面。
3. 比较被除式P(x)的最高次项与除式Q(x)的最高次项，将二者的系数相除，得到商的最高次项的系数。
4. 用商的最高次项的系数乘以除式Q(x)，并与P(x)的前n项进行相减运算，得到一个新的多项式R(x)。
5. 将R(x)作为被除式，重复步骤3和步骤4，直到剩余的项的次数小于除式Q(x)的最高次数。
6. 最后得到的商就是多项式之间的商式，而最后剩余的多项式R(x)就是多项式之间的余式。
需要注意的是，多项式除法只有在除式不为零的情况下才有定义。
如果除式为零，那么除法运算是无法进行的。
复杂算式多项式除法
复杂算式多项式除法在数学领域中，多项式除法是一种常见且重要的操作，用于简化复杂的多项式。
通过多项式除法，我们可以将一个多项式与另一个多项式相除，得到一个商和余数。
本文将介绍复杂算式的多项式除法，并提供具体的步骤和示例。
多项式除法的步骤分为以下几个部分：将被除式与除式按照次数从高到低排列；用除式的最高次项去除被除式的最高次项，得到商的最高次项；将商的最高次项与除式相乘，并将所得结果减去被除式，得到新的多项式；重复以上步骤，直到无法继续相除为止。
下面，我们通过一个具体的例子来说明复杂算式的多项式除法的步骤。
假设我们需要将多项式A(x)除以多项式B(x)，其中A(x)为5x^3 - 2x^2 + 3x - 1，B(x)为x - 2。
我们按照上述步骤进行多项式除法。
首先，我们将A(x)和B(x)按照次数从高到低排列，即A(x)为5x^3 - 2x^2 + 3x - 1，B(x)为x - 2。
接下来，我们用B(x)的最高次项x去除A(x)的最高次项5x^3。
得到的商的最高次项为5x^2。
然后，我们将5x^2与B(x)相乘，并将所得结果减去A(x)，得到新的多项式。
计算过程如下：(5x^2) * (x - 2) = 5x^3 - 10x^2- -----------------------5x^3 - 2x^2 + 3x - 1将结果减去A(x)后，得到新的多项式：-8x^2 + 3x - 1。
接下来，我们将新得到的多项式-8x^2 + 3x - 1再次与B(x)进行相除。
用B(x)的最高次项x去除-8x^2的次数时，我们将得到-8x作为商的次数。
我们再次将-8x乘以B(x)，并将所得结果减去之前所剩的多项式-8x^2 + 3x - 1。
（-8x) * (x - 2) = -8x^2 + 16x- ----------------------8x^2 + 3x - 1减去后，我们得到一个新的多项式19x - 1。
多项式的除法及分式的裂项
又例如，2()21f x x ，3()3 1.g x x x因为()f x 与()g x 除去零次多项式外没有其他的公因式，则((),())1f x g x ，即()f x 与()g x 是互质的。
（2）能同时被非零多项式()f x 与g (x )整除的多项式中，次数最低的多项式称为()f x 与 g (x )的最低公倍式. 显然，()()((),())f xg x f x g x 是()f x 与g (x )的最低公倍式，把它们记为[(),()]f x g x ，即[(),()]f x g x ＝()()((),())f xg x f x g x这个关系类似于整数中的最小公倍数与最大公约数的关系.（3）若((),())f x g x ＝1，则称分式()()f xg x 为既约分式或最简分式. 分式运算的结果都要化为既约分式.（4）与分数类似，分式的基本性质是： ① ()()f x g x ＝()()()()f x h x g x h x (h (x )≠0)； ②()()f x g x ＝()()()()f x h xg xh x (h (x )≠0)， 即分子、分母同乘以(或除以)一个非零多项式，分式的值不变.这个性质是分式进行约分与通分的基础.二、综合除法综合除法是多项式除法运算的一种简便算法，实质上它是分离系数法通过变形发展的结果.设()f x 与g (x )为多项式，且()f x 的次数不低于g (x )的次数，而g (x )≠0，当()f x 除以g (x )得商q (x )和余式r (x )时，有()()f x g x ＝q(x )＋()()r x g x （1） 或 ()f x ＝g (x )×q (x )＋r (x ) （2） 成立. 其中q (x )的次数是()f x 与g (x )的次数的差，r (x )的次数低于g (x )的次数. 易得（2）式中q (x )与r (x )唯一存在.显然，当()f x 能够被g (x )整除时，r (x )＝0.注意：多项式除以多项式时，被除式与除式都要按降幂排列，凡缺项都要用“0”补上. 为了说明综合除法，先看我们已经学过的长除法.例1 求()f x ＝2x 4＋5x 3－24x 2＋15除以g (x )＝x －2的商及余式. 解2x 4＋5x 3－24x 2＋0＋15－) 2x 4－4x 3x －22x 3 ＋ 9x 2－6x －129x 3－24x 2－) 9x 3－18x 2（商 式）－6x 2＋0 －) －6x 2＋12x－12x ＋15 －) －12x ＋24－9 （余 式）故()f x ＝2x 4＋5x 3－24x 2＋15除以g (x )＝x －2的商式q (x )＝2x 3＋9x 2－6x －12，余式r (x )＝－9.我们可以看到，多项式除法运算和乘法运算一样，最关键的是各项系数的运算. 因而也可以用分离系数法将上式写成：2 ＋5 －24 ＋0 ＋15－) 2 －41 －22 ＋9 －6 －129 －24－) 9 －18（商 式） －6 ＋0－) －6 ＋12－12 ＋15 －) －12 ＋24－9 （余 式）所以()f x ＝2x 4＋5x 3－24x 2＋15除以g (x )＝x －2的商式q (x )＝2x 3＋9x 2－6x －12，余式r (x )＝－9.显然，分离系数法比长除法简单. 为了使除法格式书写更简单一些，我们进一步讨论被除式、除式、商式以及余式间的系数关系.设多项式121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a (a n ≠0)除以x －a 所得的商是121210()n n n n q x b x b x b x b (1n b ≠0)余数是r .下面用待定系数法来确定q (x )中的系数与余数r . 由（2）式得()f x ＝(x －a )×q (x )＋r （3） 即 121210n n n n n n a x a x a x a x a121210()()n n n n x a b x b x b x b r1121010()()()n n n n n n b x b ab x b ab x r ab因为上式为恒等式，两边x 的同次项系数相等，即a n ＝1n b121n n n a b ab………… a 1＝b 0－ab 1 a 0＝r －ab 0于是有1n b ＝a n2n b ＝11n n a ab………… b 0＝a 1＋ab 1 r ＝a 0＋ab 0把这一计算过程列成竖式为a n 1n a … a 1 a 0 ＋） 1n ab … ab 1 ab 0a（4）1n b 1n a ＋1n ab … a 1＋ab 1 a 0＋ab 0↓ ↓ ↓ ↓1n b 2n b … b 0 r例如，求()f x ＝2x 4＋5x 3－24x 2＋15除以g (x )＝x －2的商及余数. 先把()f x 按x 降幂排列，并用“0”补上缺项，即()f x ＝2x 4＋5x 3－24x 2＋0＋15由此确定（4）式中第一行各项的系数依次是2, 5,24 , 0, 15. 再由x －2确定a ＝2，于是由（4）式得2 ＋5 －24 0 ＋15＋4 ＋18 －12 －24 22 ＋9 － 6 －12－ 9因此，所求的商为2x 3＋9x 2－6x －12，余数为－9. 用算式（4）进行的除法，叫做综合除法.例2 用综合除法计算：(x 3＋8x 2－2x －14) (x ＋1). 解1 ＋8 －2 －14－1 －7 ＋ 9 －11 ＋7 －9－ 5于是所求的商式为x 2＋7x －9，余数是－5.如果g (x )＝kx －b (k ≠0)，可先将除式变形为kx －b ＝k b x k用综合除法求出()f x 除以b x k的商q *(x )和余式r *. 它们满足关系式：()f x ＝q *(x )b x k＋r *，即()f x ＝1k q *(x )(kx －b )＋r *把这个式子与()f x ＝q (x )(kx －b )＋r 相比较，得q (x )＝1kq *(x )， r ＝r * 以上说明，当除式为kx －b 时，可先用b x k 除被除式()f x . 若bx k除()f x 所得的商与余式依次为q *(x )与r *，则kx －b 除()f x 所得的商与余式就分别是q *(x ) k 与r *. 一般地，在多项式除法中，如果把除式缩小k 倍，则所得的商就扩大k 倍，但余式不变.例3 用综合除法求()f x 除g (x )的商q (x )及余数r ，其中()f x ＝6x 3＋13x 2＋27x ＋15， g (x )＝3x ＋2解 因为g (x )＝3x ＋2＝323x，于是6 ＋13 ＋27 ＋15－4 －6 －14－233 6 ＋9 ＋21＋12 ＋3 ＋7所以q (x )＝2x 2＋3x ＋7，r ＝1.对于除式高于一次多项式时，仍可以类似进行，只不过书写较为复杂. 例如，计算(2x 4－7x 3＋16x 2－15x ＋15) (x 2－2x ＋3)因为除式的首项系数是1，只改变除式第二、三项系数的符号，运算可简写为2 －7 ＋16 －15 ＋15＋4 －6－6 ＋9＋） ＋8 －12＋2 －32 －3 ＋4＋2 ＋3于是所求的商式为2x 2－3x ＋4，余式为2x ＋3.例4 用综合除法求：(6a 5＋5a 4b －8a 3b 2－6a 2b 3－6ab 4＋b 5) (2a 3＋3a 2b －b 3)解 因为(2a 3＋3a 2b －b 3)＝23233122a a b b，于是6 ＋5 －8 －6 －6 ＋1－9 ＋0 ＋3＋6 ＋0 －2＋3 ＋0 －1 －32＋0＋1226 －4 －2 ＋0 －8 ＋03 －2 －1所以q ＝3a 2－2ab －b 2，r ＝48.ab三、分式的运算与分数相似，分式也具有以下运算法则，其中()f x , g (x ), h (x ), k (x ), m (x ), n (x )都是多项式，且g (x ), h (x ), k (x )都不为0.（1）符号法则：()()f x g x ＝()()f x g x ＝－()()f x g x ＝－()()f xg x （2）加、减运算法则：()()f x h x ()()g x h x＝()()()f xg xh x ()()f x h x ()()g x k x ＝()()[(), ()]f x m x h x k x ()()[(), ()]g x n x h x k x ＝()()()()[(), ()]f x m xg x n xh x k x 其中m (x )h (x )＝n (x )k (x )＝[h (x ), k (x )].（3）乘、除运算法则：()()f x g x()()h x k x ＝()()()()f x h xg x k x ()()f x g x ()()h x k x ＝()()f x g x()()k x h x ＝()()()()f x k xg xh x （4）乘方法则：()[()]()[()]nnnf x f xg x g x()()()()[()][()]()()()()[()][()]n n nn nn n f x h x f x h x f x h x g x k x g x k x g x k x其中n N .（5）繁分式化解.若一个分式的分子或分母中含有分式，则称这个分式是繁分式. 化简繁分式就是要把它的分子和分母都化成整式. 通常可用分式的基本性质或分式的除法来化简.例5 计算下列各题： （1）2x －23242x x x ＋122x －242(1)x x x ； （2）2222a b a ab b － 33a b a b . 解 （1）原式＝2222(1)(3)(1)2(21)22(1)x x x x x x x x＝22442(1)x xx x ＝24(1)2(1)x x x x ＝21x .（2）原式＝22a b a ab b 22a b a ab b ＝24224()a b a a b b . 例6 化简：2222(1)(1)11(1)2(1)1111x x x x x x x x. 解 这是一个繁分式，可先把其分子、分母分别化简后，再进行除法运算. 但仔细观察式子的特点，就会看出分子、分母都是完全平方式，所以可以直接写成完全平方，再进行除法.原式＝222222111(1)1(1)1(1)11(1)1x x x x x x x x例7 已知a ＋b ＋c ＝0，求证：2222222221110b c a c a b a b c证明 由a ＋b ＋c ＝0知，a 2＝(b ＋c )2，于是2222221112()bc b c a b c b c 同理222112ac c a b ， 222112ab a b c把以上三式相加，并再次应用a ＋b ＋c ＝0，得222222222111b c a c a b a b c111222bc ac ab 2a b c abc ＝0所以 2222222221110b c a c a b a b c 习题 2-31. 用综合除法求()f x 除以()g x 的商式q 和余式r . （1）2()5412f x x x ，()2g x x ；（2）5432()3456f x x x x x x ，()1g x x ； （3）8()1f x x ，()1g x x ；（4）23()62921f x x x x ，()32g x x ； （5）3223()32f x x ax a x a ，()32g x x a ； （6）42()3561f x x x x ，2()34g x x x .2. 试把多项式3231013x x 表示成关于(2)x 的三次多项式.3. 试用综合除法求出下列各题中的,,,a b c d . （1）2221(1)(1)x x a x b x c ；（2）3232648(1)(1)(1)x x x a x b x c x d ； （3）32323810(2)(2)(2)x x a x b x c x d . 4. 化简下列分式：（1）2291487x x x x ； （2）22222222a b c ab a b c bc ；（3）323261161282718x x x x x x .5. 判断323211x x x x x x 是不是最简分式，为什么？6. 计算：（1）222111325643x x x x x x ；（2）222()6()()()()()()a b ab a b a b b c b a b c a b c b； （3）2222)26(12()a x x y m n m n m n x y m n； （4）22918(69).3x x x x x7. 化简下列各式：（1）2112111x x x x x； （2）11111111a.8.（1）已知2, 1a b ，求221a a b a a b a b a b的值； （2）已知12, 3x y ，求2222412916494(23)x xy y x y x y 的值.9.（1）若111, 1a b b c ，求证：10abc ； （2）若, , y x z y x za b c x z y x z y ，求证：()()()8a b c a b c a b c .10. 若a b b c c ax y z，且,,a b c 互不相等，求证：0x y z . 第四节 部分分式部分分式是分式运算和变形的重要内容，在高等数学中有着重要的应用. 如果一个有理分式的分子的次数小于分母的次数，则这个有理式分式叫做真分式；反之，就叫做假分式.利用多项式除法，总可以把一个假分式化成一个整式与一个真分式的和，且这种表示法是唯一的.因为假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和的形式，所以我们只研究真分式的情形就可以了.以往我们都是通过分式的加、减、乘、除等运算，把几个不同的分式转化为一个既约分式，但在很多实际问题中，却要求把一个真分式分解为几个真分式的代数和的形式. 例如，5321(31)(1)311x x x x x其中两个是比较简单的真分式，叫做原分式53(31)(1)x x x 的部分分式.定义 4.1（部分分式） 由一个真分式分解成几个真分式的代数和，这几个分式中的每一个真分式叫做原分式的部分分式或分项分式.由前面做分式加法的经验，再注意到(31)x 和(1)x 互质，可以知道，它们的最低公倍式是(3x －1)(x －1)，所以53(31)(1)x x x 一定是这样两个真分式31a x 与1b x 的和，即设53(31)(1)311x a bx x x x （1）其中a , b 是待定常数. 去分母，得53(1)(31)x a x b x于是有 53(3)()x a b x a b （2） 比较两边同次项的系数，得353a b a b所以2, 1.a b 把2, 1a b 代入（1）式，得5321(31)(1)311x x x x x这种求部分分式的方法称为待定系数法. 也可以这样来解：因为（2）式是恒等式，x 可以取任意值，令1x ，代入恒等式（2），得1b ；再令13x ，代入（2）式，得a ＝2. 所以5321(31)(1)311x x x x x这种求部分分式的方法称为数值代入法.例1 化分式43322132x x x x x x为部分分式.解 原分式为假分式，应先化为带分式，即43232322131(1)3232x x x x x x x x x x x x231(1)(1)(2)x x x x x x设 231(1)(2)12x x a b cx x x x x x去分母得231(1)(2)(2)(1)x x a x x bx x cx x下面用数值代入法求a , b , c . 令0,x 得112a ，12a； 1,x 得131(1)(12)b ，1b ；2,x 得461(2)(21)c ，1.2c所以 433221111(1)32212(2)x x x x x x x x x x例2 化分式23211x x 为部分分式.解 因为321(1)(1)x x x x ，故设23221111x a bx cx x x x 于是 2221(1)()(1)x a x x bx c x 即 2221()()x a b x a b c x a c 比较两边同次项系数，得201a b a b c a c解这个方程组，得1, 1, 0.a b c 所以232211111x xx x x x 例3 化分式2225(2)(12)x x x x 为部分分式.解 类比于例2，原式可设为212(2)ax e cxx ，但由于 2222(2)(2)(2)(2)2(2)(2)(2)2(2)ax e ax a a e a x a e a a ex x x x x而2a e 为常数，令2a e b ，于是可设22225(2)(12)2(2)12x x a b cx x x x x即 2225(2)(12)(12)(2)x x a x x b x c x以2x 代入上式，得53b ；以12x 代入上式，得179c .为了求得a ，比较上式两边2x 的系数，得12a c . 将179c代入上式，得49a . 所以 222254517(2)(12)9(2)3(2)9(12)x x x x x x x例4 化分式2321(1)x x x 为部分分式.解 把分子展开为关于1x 的二次多项式，即2221(1)(1)[(1)](1)x x a x b x c a x b x c由此可看出，连续作综合除法，就可求出,,.a b c2 －1 ＋1＋2 ＋1 12 ＋1＋2……………c＋22 ＋3…… ba所以 22212(1)3(1)2x x x x因此 223323212(1)3(1)2232(1)(1)1(1)(1)x x x x x x x x x此题也可设232321(1)1(1)(1)x x a b cx x x x然后用待定系数法求,,,a b c 但计算较繁.例5 用综合除法化分式32225(1)x x x x x 为部分分式.解 根据多项式的综合除法，有1 ＋1 ＋1 ＋5＋1 －1＋2 －21－11 ＋2＋2 ＋3即 3225(2)(1)(23)x x x x x x x 在上式两边同除以22(1)x x ，得32222225223(1)1(1)x x x x x x x x x x x此题也可先设32222225(1)1(1)x x x ax b cx dx x x x x x然后用待定系数法求解.例6 化分式2225416(1)(3)x x x x x 为部分分式.解 设22222254163(1)(3)1(1)x x ax b cx d ex x x x x x x x于是5x 2－4x ＋16＝222()(1)(3)()(3)(1)ax b x x x cx d x e x x （3）令3x ，代入（3）式，得e ＝1.把e ＝1代入（3）式，再把22(1)x x 移到左边，整理得43222215x x x x 2()(1)(3)()(3)ax b x x x cx d x （4）（4）式两边同时除以(3)x ，得3225()(1)()x x x ax b x x cx d （5）（5）式两边同时同除以2(1)x x ，得22232()11x cx dx ax b x x x x（6）比较（6）式两边同次项的系数，得1,a 2,b 2,c 3d . 所以22222254162231(1)(3)1(1)3x x x x x x x x x x x x综合以上各例，可归纳出以下结论：如果多项式()g x 在实数集内能分解成一次因式的幂与二次质因式的幂的乘积，即220()()()()()g x b x a x b x px q x rx s其中2240, , 40,p q r s 则真分式()()f xg x 可以分解成如下部分分式之和：1211211122221211222212()()()() ()() ()() ()()A A A f x g x x ax a x a B B B x b x b x b M x N M x N M x N x px q x px q x px qR x S R x S R x S x rx s x rx s x rx s（7）其中111111A A B B M M N N R R S S ，, ，, , ，, , ，, , ，, , ，, 都是常数.在（7）式中应注意以下两点：（1）如果分母()g x 关于()x a 的最高因式为(),k x a 则分解后有下列k 个部分分式 之和：121()()k k k A A A x a x a x a其中12,,,k A A A 都是常数.（2）如果分母()g x 关于2()x px q 的最高因式为2()k x px q ，其中240,p q 则分解后有下列k 个部分分式之和：11222212()()k k k k M x N M x N M x N x px q x px q x px q其中11,,,,,k k M M N N 都是常数.对于某些分式，也可用视察法把它分解为部分分式. 例如，1111;()()1;()()x a x b a b x a x b x a b x a x b a b x a x b22223222244414(4)(4)(4)4x x x x xx x x x x x x x x x； 22222(2)424;(2)(2)2(2)x x x x x x2222222(44)444(2)44411.(2)(2)(2)(2)2(2)x x x x x x x x x x x习题 2-41. 把下列分式化为部分分式：（1）61;(21)(31)x x x（2）382;x x x （3）223;(1)(2)(3)(4)x x x x x x（4）32421;(2)x x x（5）426;21x x （6）2221;(1)(2)x x x x（7）231;(2)(1)x x x（8）22221;()x x x x（9）3423;1x x x x（10）52321.(1)x x x x2. 求和：.()()(2)[(1)][]a a ax x a x a x a x n a x na3. 用视察法把下列分式化为部分分式： （1）1;(1)(2)x x （2）;(2)(3)xx x （3）31;2x x（4）2;(3)x x （5）222.(3)x x第五节 根 式本节的主要内容是根式的概念、根式的性质以及根式的运算等，我们将在实数集内介绍这些概念.一、根式及其性质若 (1,), n x a n n N 则称x 为a 的n 次方根，并分别称a 与n 为被开方数与根指数. 求a 的n 次方根称为把a 开n 次方.在实数集内，任何实数a 都能开奇次方. a 的奇次方根记作(n 为奇数)例如，27 的3次方根是3 ，而32的5次方根就是2 . 在实数集内，负数不能开偶次方，即负数的偶次方根无意义. 而任何正数a 的偶次方根却有正、负两个实数根，并分别把它们记作与 (n 为偶数)例如，16的四次方根就分别是2 与 2. 零的任何次方根都是零.式子称为根式. 根式与有理式统称为代数式.若0a ≥，则称为a 的n 次算术根.从以上的分析可以看到：一个数的算术根只有一个，且是非负的.因为任何负数的奇次方根都是一个负数，而且它等于这个数的绝对值的同次方根的相反数，即0, )a n 为奇数. 而负数的偶次方根无意义，因此，我们研究根式的性质，只需研究算术根的性质即可.根据算术根的定义，我们有(0,1,)n a a n n N ≥ （1）若无特别说明，从现在起本节所有的字母都是非负的.根据（1）式不难导出根式的性质：（1）；（2）（3）0)b ；（4）m（5） . 其中m , n ,p N .称根指数相同的根式为同次根式，否则称为异次根式. 利用性质（1）可以把异次根式化为同次根式.例1 把化为同次根式.解 取根指数2, 3, 6的最小公倍数6作为公共的根指数. 根据性质（1）可得这类似于分数中的通分. 反之，也可约去根指数与被开方数的指数的公约数. 例如，这类似于分数中的约分.二、根式的化简若根式适合条件：（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数的每个因子的指数都小于根指数； （3）被开方数不含分母， 则称这个根式为最简根式.例如，2,都是最简根式，而 .所谓化简根式就是利用根式的性质把一根式化为最简根式.例2 把下列根式化简：2.解 2 .2几个根式都化成最简根式后，若被开方数相同，根指数也相同，则称这些根式为同类根式. 例如，与3就是同类根式. 同类根式可以合并，例如(a b c三、根式的运算根式的运算结果应是最简根式，而且要把同类根式合并. 例3 计算：（1）263x（2）解 （1）原式23 4（2）原式例4 计算： 解 这是同次根式相乘，根据性质（2），得原式2ab 对于异次根式的乘除可利用性质（1）先化成同次根式，再分别用性质（2）与性质（3）计算.例5 计算：（1）（2）解 （1）原式20（2）原式性质（4）与性质（5）可以分别用来计算根式的乘方与开方.例6 计算：（1）9;（2）.解 （1）原式9932512xy（2）原式我们曾经多次在a ≥0的条件下应用a (a ≥0)来化简根式. 而对于0a ，则由算术根是非负的，以及它的平方应等于被开方数，可知(0)a a以上两式可合并为,(0),(0)a a a a≥ 根据绝对值的定义，上式也可写作()a a R一般地，若a R ，则,(),()a n a n为偶数为奇数例7 化简: ).a a R 解 由于(1),(10)(1),(10)a a a a a a a≥所以 21,(1)1,(1)a a a a≥例8 化简:).x R解 由66x x ，得再根据性质（1），（2）得(0)(0)x x≥四、分母有理化把一个分式的分母中的根号化去，称为分母有理化. 分母有理化一般是用一个适当的代数式同乘以分子与分母，使分母不含根式.例9 把下列各式的分母有理化：（1）（2）解 （1）（2）122例10 设22 (0, 0),1abx a b b证明：,(1)1,(01)b b b b≥ 证明 由220, 0, 0, 0.1aba b x a x a x b知, ≥于是²1b＝a212b ab22111b a b 212b ab ＝22(1)12b b b ,(1)1,(01)b b b b≥ 为化简根式，有时也需要把分子有理化. 例11 若01x ，化简：1x解 由01x ，得原式＝＝＝1习题 2-51. 把下列各题化成同次根式:（1）,,；（2）,.2. 把下列根式化成最简根式：（1） （2）（3） （4）；（5）6；（6）（7）（8）()x y . 3. 计算：（1） （2）；（3）； （4）（5）； （6）1).4. 计算：（1）（2）5. 把下列各式的分母有理化：（1）（2）；（3）(1)x ；（4）.6. 求证：（1）m n ；（2）a b .7. 设12x ，求s 的值. 第六节 零指数、负指数与分数指数幂对于以正整数n 为指数的幂，我们有1a an n a a a a个且有幂的运算法则：m n m n a a a ， ()m n mn a a ， ()n n n ab a b其中,, ,m n a b N R .现在要将幂的指数推广到有理数，即考察形如3222, 3, 5 等的幂. 它们分别是：（1）若0a ，则01a . 零的零次幂无意义. （2）若0, a n N ，则1n na a. 零的负整数幂无意义. （3）若0a ，, , 1,p q q N N则1 p p qqp qa a a.零的正分数幂是零；零的负分数幂无意义.根据（1）、（2）、（3）容易验证零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂都满足幂的运算法则.例1 计算：121234120276121(1)(24)(2)964.解 原式2113322422551111942(1)412255951631134163254 163491.15460例2 化简： （1）203325101322(0.5)π272；（2）1220.75131[(0.027)15(0.0016)(101100)]4.解 （1）原式＝233512564(2)(2)127＝233324(2)213＝19954.81616（2）原式＝123234341[(0.3)15(0.2)1]4＝12231[0.3150.21]4＝1211.214＝12211.12＝2091 1111.例3化简：3312542(2)(3)4a b a ba b.解原式＝35131(4)2264a b＝15442232a b＝232b.例4化简：112222233333221 x x x x xx x x x x.解设1133,,1,x A x B A B则 所以原式＝333332222222A B A B AA B A B AB A AB＝222222A AB B A AB B AA B A B A B＝2222AB AAA B本题应用了换元法. 在指数运算中，如能适当运用换元法往往可使运算化繁为简. 分数指数幂也可用来简化根式.例5化简：解原式＝512213663344a b a b a b＝152312463463a b＝531212a b .例6化简：解原式＝113632x yx y＝3111263x y＝4433x y＝.例7化简：3.。
多项式除以多项式字母公式
多项式除以多项式字母公式假设有两个多项式 $P(x)$ 和 $Q(x)$，其中 $Q(x)$ 不是零多项式，则有以下的多项式除法字母公式：$$P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x)$$其中，$D(x)$ 为商多项式，$R(x)$ 为余数多项式，且满足以下条件：- $R(x)$ 的次数小于 $Q(x)$ 的次数；- $Q(x) \cdot D(x)$ 的次数等于或者高于 $P(x)$ 的次数。
使用这个字母公式，可以将多项式除法转化为整数除法的形式，从而方便计算商和余数。
例如，将 $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ 除以 $Q(x) = x - 2$，则可得：\begin{aligned}P(x) &= Q(x) \cdot D(x) + R(x) \\ &= (x - 2) \cdotD(x) + R(x)\end{aligned}现在要求出 $D(x)$ 和 $R(x)$。
首先，我们可以使用长除法的方法，从高次项到低次项依次计算出 $D(x)$ 的每一项。
首先将 $x$ 除以 $x$，得到 $D(x)$ 的最高次项为 $2x^2$。
然后将 $x - 2$ 乘以 $2x^2$，得到 $2x^3- 4x^2$，将其减去 $P(x)$ 的最高次项 $2x^3$，得到 $x^2$，将 $x$ 除以 $x - 2$，得到 $D(x)$ 的次高项为 $x^2$。
以此类推，可以得到：$$D(x) = 2x^2 + x +2$$接下来，将 $D(x)$ 代入上面的公式，即有：\begin{aligned}R(x) &= P(x) - Q(x) \cdot D(x) \\ &= 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 - (x - 2) \cdot (2x^2 + x +2) \\ &= 7x - 5\end{aligned}因此，多项式 $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ 可以被 $Q(x) = x - 2$ 整除，商为 $D(x) = 2x^2 + x +2$，余数为 $R(x) = 7x - 5$。
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多项式除法
多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，从而得到商式和余式的过程。
本文将详细地介绍多项式除法的概念、方法和应用。
文章内容将会包括以下几个方面：
1. 多项式的基本概念
2. 多项式除法的基本原理
3. 一次多项式除法的步骤和实例
4. 高次多项式除法的步骤和实例
5. 多项式除法的应用
1. 多项式的基本概念
多项式是指一个形如 $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-
1}+...+a_{1}x+a_{0}$ 的表达式，其中 $a_{n},a_{n-1},...,a_{1},a_{0}$ 都是实数常数，$x$ 是一个变量，$n$ 是一个非负整数。
例如，
$3x^{5}+2x^{4}-5x^{2}+4$ 就是一个多项式。
多项式由项组成，项是由系数和变量的幂次组成的。
例如，$3x^{5}$ 和$-5x^{2}$ 就是多项式的两个项。
多项式的次数就是最高次项的指数。
例如，$3x^{5}+2x^{4}-5x^{2}+4$ 的次数就是 5。
2. 多项式除法的基本原理
在多项式除法中，我们通常将被除式写在长除法的“被除数”位置上，将除数写在“除数”位置上，然后进行一步步的计算，得到商式和余式。
需要注意的是，如果除式和被除数两者的次数一样，那么进行除法的结果通常是一个常数项。
例如，$x^{2}+7$ 除以 $x^{2}+1$ 的结果为 $7$。
这种情况通常被称为“浅层除法”。
在深层多项式除法中，我们需要按照下面的步骤进行计算：
1. 将除数和被除数按照次数从高到低排列，并在次数低于除数次数的项上添加 0。
2. 取被除数的最高次项除以除数的最高次项，得到商式的最高次项，将其写在商式的最高次项位置上。
3. 将被除数减去商式乘以除数得到一个新的多项式。
4. 重复步骤 2 和 3 直到新的多项式的次数小于除数的次数，此时新的多项式就是余式。
需要注意的是，如果除数的最高次系数为 1，那么步骤 2 中得到的商式的
最高次项的系数就是被除数的最高次项的系数除以除数的最高次项的系数。
3. 一次多项式除法的步骤和实例
一次多项式包括一个实数和一个变量的一次方程式，例如 $2x-1$。
一次多项式除法特别简单，因为除数只有一个项。
例如，我们要计算 $7x+4$ 除以 $3$ 的结果，可以按照以下步骤进行计算：
1. 将 $7x+4$ 和 $3$ 按照次数从高到低排列，得到 $7x+4$ 和 $3x^{0}$。
2. 将 7 除以 3 得到商式的最高项系数为 2，将其写在商式的最高项位置上得到 $2x$。
3. 将 $7x+4-6x$ 得到 $x+4$，此时 x 的次数小于除数的次数，因此
$x+4$ 就是余数。
因此，$7x+4$ 除以 $3$ 的商式为 $2x$，余式为 $x+4$。
4. 高次多项式除法的步骤和实例
在多项式除法中，通常比较复杂的是高次多项式。
例如，我们要计算$17x^{5}+3x^{4}-2x^{3}-5x+4$ 除以 $x^{2}+1$ 的结果，可以按照以下步骤进行计算：
1. 将 $17x^{5}+3x^{4}-2x^{3}-5x+4$ 和 $x^{2}+1$ 按照次数从高到低排列，得到：
$17x^{5}+3x^{4}-2x^{3}+0x^{2}-5x+4$ 和 $x^{2}+0x+1$。
2. 将 17x 的最高次项除以 x 的最高次项得到商式的最高项系数为 17，将其写在商式的最高项位置上得到 $17x^{3}$。
3. 将 $17x^{5}+3x^{4}-2x^{3}+0x^{2}-5x+4-17x^{3}(x^{2}+1)$ 得到 $20x^{4}-2x^{3}-5x+4$。
4. 将 20x 的最高次项除以 x 的最高次项得到商式的最高项系数为 20，将其写在商式的最高项位置上得到 $20x^{2}$。
5. 将 $20x^{4}-2x^{3}-5x+4-20x^{2}(x^{2}+1)$ 得到 $-2x^{3}-
20x^{2}-5x+4$。
6. 将 -2x 的最高次项除以 x 的最高次项得到商式的最高项系数为 -2，将其写在商式的最高项位置上得到 $-2x$。
7. 将 $-2x^{3}-20x^{2}-5x+4+2x(x^{2}+1)$ 得到 $-18x^{2}-5x+4$。
8. 将 -18 的最高次项除以 1 的最高次项得到商式的最高项系数为 -18，将其写在商式的最高项位置上得到 $-18$。
9. 将 $-18x^{2}-5x+4-18(x^{2}+1)$ 得到 $-23x+4$。
10. $-23$ 不再是一个多项式，我们得到了最终的商式和余式：
$17x^{3}+20x^{2}-2x-18$ 除以 $x^{2}+1$ 的商式为 $17x^{3}+20x^{2}-2x-18$，余式为 $-23x+4$。
5. 多项式除法的应用
多项式除法在代数中有着广泛的应用。
它可以被用来求解一些方程、分解多项式、求导等等。
例如，我们可以利用多项式除法来求解多项式方程 $x^{3}+2x^{2}-5x-
6=0$。
首先我们可以尝试将其分解成 $(x-1)(x+2)(x+3)=0$，然后将其传统计算之后得到三个解：$x=-3,x=-2,x=1$。
多项式除法还可以被用来求解高次多项式的根，这涉及到了均值（平均数）定理。
例如，我们要计算 $2x^{4}-4x^{3}+x^{2}+5x-1$ 在 $-1$ 处的导数值。
我们首先需要将其进行多项式除法，得到商式 $2x^{3}-2x^{2}+3x+2$ 和余
式 1。
然后我们可以将 $-1$ 代入得到导数为 $18$。
多项式除法还可以被用来分解多项式、化简等操作。
例如，我们要将
$x^{3}+3x^{2}-2x-2$ 进行因式分解，我们可以使用多项式除法求得
$(x+1)(x^{2}+2x-2)$。
多项式除法在工程数学、物理等领域也有广泛的应用。
例如，控制理论、
信号处理等领域都有着丰富的应用。
总结
本文介绍了多项式的基本概念、多项式除法的原理和方法、一次多项式和
高次多项式除法的步骤和实例以及多项式除法的应用。
多项式除法是一种重要
的代数工具，在很多领域都有着广泛的应用，是每个数学爱好者必须要掌握的技能。