单调性及幂函数

- 1 - 函数的单调性 知能点全解： 知能点一： 函数单调性的定义 1、图形描述： 从函数2xy的图象（图1）看到：图象在 y轴的右侧部分是从左向右连续上升的，也就 是说，当x在区间[0，+)上取值时，随着x的 增大,相应的y值也随着增大，即如果任取21,xx0,，得到1y=)(1xf,2y=)(2xf,那么当1x<2x时，有1y<2y。这时我们就说函数)(xf=2x在[0,+ )上是增函数。 图象在y轴的左侧部分是从左向右连续下降的，也就是说， 当x在区间,0上取值时，随着x的增大，相应的y值反而随着减小，即如果任取21,xx,0，得到1y=)(1xf,2y=)(2xf,那么当1x<2x时，有1y>2y。这时我们就说函数)(xf=2x在(-,0)上是减函数. 2、定量描述 对于函数)(xf的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值21,xx， （1）若当1x<2x时，都有)(1xf<)(2xf,则说)(xf在区间D上是增函数； （2）若当1x<2x时，都有)(1xf>)(2xf,则说)(xf在区间D上是减函数。 3、单调性与单调区间 若函数y=)(xf在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(xf在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(xf的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 特别提醒： 1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2xy（图1），当x∈[0,+)时是增函数，当x∈(-,0)时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的，如图2。 2、函数的单调区间是其定义域的子集； 3、21,xx应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。 例 1 如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(xfy的图象，根据图象说出)(xfy的单

调区间，以及在每一单调区间上，函数)(xfy是增函数还是减函数。

知能点二：用定义证明函数的单调性 例 2 ：证明函数3)(xxfxR是增函数。

例 3：证明函数1fxxx在0,1上是减函数

特别提醒：定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是： （1）取值，即设21,xx是区间上的任意两个实数，且1x<2x；

（2）作差变形，即12fxfx，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形； （3）判断12fxfx的正负，当正负不确定时，可以分区间进行讨论，判断正负； （4）根据定义得出结论。 及时演练： 1、判断并证明下列函数的单调性 （1）23)(xxf xR （2）()32fxx xR

（3）()fxx （4）()fxx 2、讨论下列函数的单调性，指出其单调区间并予以证明

（1）1fxx （2）3fxx （3）223fxxx （4）232fxxx 3、判断下列各函数在给定的单调区间上是增函数还是减函数

531-2-5

xO

y - 2 - （1）2,(0,)yxx （2）1,(1,0]1yxx （3）21yx x),( （4）.1xxy),1( 4、讨论函数322axxf(x)在(-2,2)内的单调性

知能点三：判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论 1、函数yfx与函数yfx的单调性相反

2、当fx恒为正或恒为负时，函数1yfx与函数yfx的单调性相反 3、在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数。

例 4：求函数20xafxax的单调区间。

及时演练： 1、下列函数中，在区间0,2上为增函数的是（ ）

A、3yx B、21yx C、1yx D、yx 2、在,0上单调递减的函数是（ ） A、1xyx B、21yx C、23yx D、22xx

3、函数211xxyx的单调递减区间是 。 4、已知,fxgx定义在同一区间上，fx是增函数，gx是减函数，且0gx，则

（ ） A、fxgx为减函数 B、fxgx为增函数

C、fxgx为减函数 D、fxgx为增函数 5、223fxxx的单调减区间是 。 6、二次函数2yaxbxc的递增区间为,2，则二次函数2ybxaxc的递减区间为 。 7、已知函数222913fxxx，则使函数fx是减函数的区间是 。 8、设fx是定义在区间U上的增函数，且0fx，则下列函数：①1yfx；②

1yfx③2yfx；④yfx中，是减函数的有 （把序号填在横线上）。

知能点四：复合函数单调性的判断 对于函数)(ufy和)(xgu，如果)(xgu在区间),(ba上是具有单调性，当),(bax时，),(nmu，且)(ufy在区间),(nm上也具有单调性，则复合函数))((xgfy在区间),(ba具有单调性的规律见下表：

)(ufy ),(nmu 增 ↗ 减 ↘ )(xgu ),(bax 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ ))((xgfy ),(bax 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。 例 5：求函数xxy20042的单调递增区间.

拓展知识点：函数(0,0)byaxabx的单调性 （1）单调增区间：bb,,,aa （2）单调减区间：bb0,,,0aa （3）图像的两条渐进线分别为0x和yax （4）图像如右： - 3 -

典型题型全解 题型一：利用函数单调性比较函数值的大小 例 6：如果函数2fxxbxc，对任意实数t都有22ftft，比较

1,2,4fff的大小。

及时演练 1、 已知4,fxfxxR，当2x时， fx为增函数，设

1,4,2afbfcf，则,,abc的大小关系为 。

2、若12,,0xx，且12xx，函数1fxx，则1fx与2fx的大小关系为_ 3、函数2fxxpxq对任意x均有11fxfx，那么0,1,1fff的大小关系为 。 题型二：利用函数单调性求参数的范围 例 7：已知2212fxxax在,4上是减函数，求实数a的取值范围。 及时演练： 1、若函数ymxb在,上是增函数，则有（ ） A、0b B、0b C、0m D、0m 2、若22fxxax与1agxx在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是（ ） A、1,00,1 B、1,00,1 C、0,1 D、0,1 3、已知函数25yxax在1,上递增，则a的取值范围是 。 4、已知函数268,1,fxxxxa，并且fx的最小值为fa，则实数a的取值范围是 。 5、函数2201fxxaxx的最大值是2a，那么实数a的取值范围为 。 6、函数245fxxmx在区间2,上是增函数，则1f的取值范围是 。 题型三：利用函数单调性求函数的最值 例 8：（1）求函数1yxx的值域； （2）已知1,1Abb，对于函数21112fxx，若xA时，fxA，求b的值。 及时演练： 1、函数1yx在2,2上的最大值与最小值分别为 。 2、已知函数24,1,5fxxxx，则这个函数的值域为 。 题型四：函数单调性定义逆命题及其应用 逆命题：已知函数yfx在定义域的某个区间上为增函数（减函数），若12xx，则12fxfx（12fxfx） 例 9：已知函数yfx在0,上是减函数，试比较34f与21faa的大小。

及时演练： 1、函数223fxxmx在2,上为增函数，在,2上为减函数，则m= 。 2、2221fxxaxa在,2上为增函数，在2,上为减函数，则2f= 。 3、若函数yfx在R上单调递减，且21fmfm，则实数m的取值范围是 。 4、已知函数在区间,ab上具有单调性，且0fafb，则方程0fx在区间,ab上（ ） A、至少有一实根 B、至多有一实根 C、没有实根 D、必有唯一实根 5、函数fx在,0和0,上递减，且220ff，则10fx的解集是 。 6、fx是定义在0,上的增函数，则不等式82fxfx的解集为

题型五：抽象函数单调性的判断 例 10：已知函数fx的定义域为R，满足10fxfx，且gxfxc（c为

常数）在区间,ab上是减函数，判断并证明gx在区间,ba上的单调性。