递归数列通项与不动点原理
递归数列通项与不动点原理
作者：邓勇， DENG Yong
作者单位：喀什师范学院,数学系,新疆,喀什,844007
刊名：
喀什师范学院学报
英文刊名：JOURNAL OF KASHGAR TEACHERS COLLEGE
年，卷(期)：2008，29(3)
被引用次数：0次
参考文献(5条)
1.Kenneth H Rosen Elementary Number Theory 2005
2.余元希.田万海.毛宏德初等代数研究 1988
3.王娟.董树权关于不动点的几个命题 2002(02)
4.冯艳青数学分析中的不动点问题[期刊论文]-青海师范大学学报(自然科学版) 2001(04)
5.邓勇常系数非齐次线性递归数列通项公式计算的通项变换法[期刊论文]-喀什师范学院学报 2005(03)
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下载时间：2010年8月8日
不动点(特征方程)法求数列通项
特征方程法求解递推关系中的数列通项 考虑一个简单的线性递推问题. 设已知数列}{n a 的项满足 其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式. 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当， 其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-. 证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c d x -=作换元,0x a b n n -= 则.)(110011 n n n n n n cb x a c c cd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用. 例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23 111=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.2 3,23 10-=--=x x x 则 当41=a 时，.2112 3 ,1101= +=≠a b x a 数列}{n b 是以3 1 -为公比的等比数列.于是.N ,)3 1 (2112323,)31(211)3 1 (111 1∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位. 当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？ 解：作方程,)32(i x x +=则.5 360i x +-= a 1= b a n+1=ca n +d
求递推数列通项的特征根法与不动点法
求递推数列通项的特征根法与不动点法 一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列 形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…① 若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数） 若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数） 再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a ． 例1．已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =?+?， 由1122122243a c c a c c =+=??=+=?，得121 12 c c =???= ??， 112n n a -∴=+． 例2．已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特征方程为2 441x x =-，解得121 2x x ==，令()1212n n a c nc ?? =+ ??? ， 由1122121()121(2)2 4 a c c a c c ? =+?=????=+?=??，得1246c c =-??=?， 1322n n n a --∴=． 二、形如2n n n Aa B a C a D ++= +的数列 对于数列2n n n Aa B a C a D ++= +，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠） 其特征方程为A x B x C x D += +，变形为2()0C x D A x B +--=…②
不动点法求数列通项公式
不动点法求数列通项公 式 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
不动点法求数列通项公式 通常为了求出递推数列a[n+1]=(ca[n]+d)/(ea[n]+f)【c、d、e、f是不全为0的常数,c、e不同时为0】的通项,我们可以采用不动点法来解.假如数列{a[n]}满足a[n+1]=f(a[n]),我们就称x=f(x)为函数f(x)的不动点方程,其根称为函数f(x)的不动点.至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项,这足可以写一本书.但大致的理解可以这样认为,当n趋于无穷时,如果数列{a[n]}存在极限,a[n]和a[n+1]是没有区别的. 首先,要注意,并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程,比如： a[n+1]=a[n]+1/a[n].其次,不动点有相异不动点和重合不动点. 下面结合不动点法求通项的各种方法看几个具体的例子吧. ◎例1：已知a[1]=2,a[n+1]=2/(a[n]+1),求通项. 【说明：这题是“相异不动点”的例子.】 先求不动点 ∵a[n+1]=2/(a[n]+1) ∴令 x=2/(x+1),解得不动点为：x=1 和 x=-2 【相异不动点】 ∴(a[n+1]-1)/(a[n+1]+2) 【使用不动点】 =(2/(a[n]+1)-1)/(2/(a[n]+1)+2) =(2-a[n]-1)/(2+2a[n]+2) =(-a[n]+1)/(2a[n]+4) =(-1/2)(a[n]-1)/(a[n]+2) ∵a[1]=2 ∴(a[1]-1)/(a[1]+2)=1/4 ∴{(a[n]-1)/(a[n]+2)}是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列
【高考数学】高考数列不动点法解题方法整理版
利用“不动点”法巧解高考题 由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助． 1 不动点的定义 一般的，设()f x 的定义域为D ,若存在0x D ∈，使f x x ()00=成立，则称x 0为f x ()的 不动点，或称00(,)x x 为f x ()图像的不动点。 2 求线性递推数列的通项 定理 1 设()(01)f x ax b a =+≠，，且x 0为f x ()的不动点，{}a n 满足递推关系1()n n a f a -=，2,3, n =，证明{}a x n -0是公比为a 的等比数列。证：∵x 0是f x ()的不动点，所以ax b x 00+=， 所以，所以a n -=+-=-=----x a a b x a a ax a a x n n n 0101010()()··，∴数列{}a x n -0是公比为a 的等比数列。 例1（2010上海文数21题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈ (1)证明：{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n . 证：(1) 当n =1时，a 1=-14；当2n ≥时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，即1651n n a a -=+(2)n ≥即 15166n n a a -= +(2)n ≥，记51 ()66f x x =+，令()f x x =，求出不动点01x =，由定理1知：15 1(1)(2)6 n n a a n --=-≥，又a 1-1= -15 ≠0，所以数列{a n -1}是等比数列。(2)解略。 3求非线性递推数列的通项 定理2 设()(00)ax b f x c ad bc cx d +=≠-≠+，，且x x 12、是f x ()的不动点，数列{}a n 满足递推关系a f a n n =-()1，2,3,n =，（ⅰ）若12x x ≠，则数列{ }a x a x n n --12是公比为a x c a x c --12的等比数列；（ⅱ）
用不动点法求数列通项
定义：方程的根称为函数的不动点. 利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法. 定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列. 证明：因为是的不动点 由得 所以是公比为的等比数列. 定理2：设，满足递推关系，初值条件 （1）：若有两个相异的不动点，则（这里） （2）：若只有唯一不动点，则（这里） 证明：由得，所以 （1）因为是不动点，所以，所以 令，则 （2）因为是方程的唯一解，所以 所以，所以 所以 令，则 例1：设满足，求数列的通项公式 例2：数列满足下列关系：，求数列的通项公式 定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时, 证明:是的两个不动点 即 于是, 方程组有唯一解
例3：已知数列中,,求数列的通项. 其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题: 例4：已知且,求数列的通项. 解: 作函数为,解方程得的不动点为 .取,作如下代换: 逐次迭代后,得: 已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==K ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0) n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ． （１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式； （２）证明：13521n n n x x x x x y -????<
用不动点法求数列通项
用不动点法求数列通项 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
用不动点法求数列的通项 定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点. 利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法. 定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系 )1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列. 证明：因为 p 是)(x f 的不动点 ap p b -=-∴由b a a a n n +?=-1得)(11p a a p b a a p a n n n -=-+?=--- 所以}{p a n -是公比为a 的等比数列. 定理2：设)0,0()(≠-≠++= bc ad c d cx b ax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，初值条件)(11a f a ≠ （1）：若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则 q a p a k q a p a n n n n --?=----11 （这里qc a pc a k --= ） （2）：若)(x f 只有唯一不动点p ，则 k p a p a n n +-=--111 （这里d a c k += 2） 证明：由x x f =)(得x d cx b ax x f =++= )(，所以0)(2=--+b x a d cx （1）因为q p ,是不动点，所以?????=--+=--+0)(0)(22b q a d cq b p a d cp ???? ? ?? ?--=--=qc a b qd q pc a b pd p ，所以
不动点法求数列的通项(讲座)
不动点法求数列的通项 惠来县第一中学 方文湃 自从实施新课程标准，使用新教材以来，高考题中出现了数列的解答题的次数好象不少。如2007年普通高考广东数学理科卷压轴题第21题 、2011年普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷理科第20题 ，这两道题都是已知数列的递推式，求它的的通项公式，并且求法都与“不动点”有关。 记函数f(x)的定义域为D ，若存在λ∈D ，使λ＝f(λ)成立，则称（λ，λ）为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点。以此类推，在数列{a n }中，a n+1=f(a n ) (n ∈N +)，若存在λ满足方程λ＝f(λ)，称λ为不动点方程λ＝f(λ)的根。下面介绍的一些数列，可先求生成函数（递推式）的不动点，通过换元后，化为等差、等比数列，再求这些数列的通项，这一方法，我们不妨称为不动点法。 一、递推式为a n+1=aa n +b(a ≠0,a ≠1,a,b 均为常数)型的数列 由递推式a n+1=aa n +b 总可变形为 a n+1－λ=a （a n －λ） …………………………（１） （１） 式中的λ与系数a, b 存在怎样的关系呢？ 由（１）得a n+1=aa n ＋λ－a λ ∴b=λ－a λ即λ＝a λ+b …………………………（２） 关于λ的方程（２）刚好是递推式a n+1=aa n +b 中的a n ，a n+1都换成λ得到的不动点方程。 令b n =a n －λ代入（１）得b n+1=ab n 一般来说，可先求等比数列{b n }的通项，再求数列{a n }的通项。 例１：在数列{a n }中，已知a 1=1,a n+1=1－21 a n (n ∈N +),求lim ∞ →n a n 。 解：令x=1－ 21x 得x=32 a n+1－32=1－21a n －32=－21 (a n －3 2) 令b n =a n －32，则b n+1=－2 1 b n ∴数列{b n }成首项为b 1=a 1－32=1－32=31，公比为q ＝－2 1 的等比数列，于 是有
不动点法求数列通项公式
不动点法求数列通项公式 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
不动点法求数列通项公式 通常为了求出递推数列a[n+1]=(ca[n]+d)/(ea[n]+f)【c、d、e、f是不全为0的常数,c、e不同时为0】的通项,我们可以采用不动点法来解.假如数列{a[n]}满足a[n+1]=f(a[n]),我们就称x=f(x)为函数f(x)的不动点方程,其根称为函数f(x)的不动点.至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项,这足可以写一本书.但大致的理解可以这样认为,当n趋于无穷时,如果数列{a[n]}存在极限,a[n]和a[n+1]是没有区别的. 首先,要注意,并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程,比如：a[n+1]=a[n]+1/a[n].其次,不动点有相异不动点和重合不动点. 下面结合不动点法求通项的各种方法看几个具体的例子吧. ◎例1：已知a[1]=2,a[n+1]=2/(a[n]+1),求通项. 【说明：这题是“相异不动点”的例子.】 先求不动点 ∵a[n+1]=2/(a[n]+1) ∴令 x=2/(x+1),解得不动点为：x=1 和 x=-2 【相异不动点】 ∴(a[n+1]-1)/(a[n+1]+2) 【使用不动点】 =(2/(a[n]+1)-1)/(2/(a[n]+1)+2) =(2-a[n]-1)/(2+2a[n]+2) =(-a[n]+1)/(2a[n]+4) =(-1/2)(a[n]-1)/(a[n]+2) ∵a[1]=2 ∴(a[1]-1)/(a[1]+2)=1/4 ∴{(a[n]-1)/(a[n]+2)}是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列
用不动点法求数列通项(1)
用不动点法求数列的通项 定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点. 利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法. 定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系 )1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列. 证明：因为 p 是)(x f 的不动点 p b ap =+∴ ap p b -=-∴由b a a a n n +?=-1得)(11p a a p b a a p a n n n -=-+?=--- 所以}{p a n -是公比为a 的等比数列. 定理2：设)0,0()(≠-≠++= bc ad c d cx b ax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ， 初值条件)(11a f a ≠ （1）：若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则 q a p a k q a p a n n n n --?=----11 （这里qc a pc a k --=） （2）：若)(x f 只有唯一不动点p ，则 k p a p a n n +-=--111 （这里d a c k +=2） 证明：由x x f =)(得x d cx b ax x f =++= )(，所以0)(2=--+b x a d cx （1）因为q p ,是不动点，所以?????=--+=--+0)(0)(2 2b q a d cq b p a d cp ???? ? ???--=--=qc a b qd q pc a b pd p ，所以 q a p a qc a pc a qc a b qd a p c a b pd a qc a pc a qd b a q c a p d b a pc a q d ca b aa p d ca b aa q a p a n n n n n n n n n n n n --? --=------ ?--=-+--+-=-++-++=------------1111111111)()(令qc a pc a k --= ，则q a p a k q a p a n n n n --=----1 1
用不动点法求数列通项公式
用不动点法求数列通项 公式 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-
用不动点法求递推数列d t c b t a t n n n +?+?=+1(a 2+c 2≠0)的通项 储炳南 （安徽省岳西中学 246600） 1．通项的求法 为了求出递推数列d t c b t a t n n n +?+?=+1的通项，我们先给出如下两个定义： 定义1：若数列{n t }满足)(1n n t f t =+，则称)(x f 为数列{n t }的特征函数. 定义2:方程)(x f =x 称为函数)(x f 的不动点方程，其根称为函数)(x f 的不动点. 下面分两种情况给出递推数列d t c b t a t n n n +?+?= +1通项的求解通法. (1)当c=0,时, 由d t c b t a t n n n +?+?= +1d b t d a t n n +?=?+1, 记k d a =,c d b =，则有 c t k t n n +?=+1 （k ≠0）, ∴数列{n t }的特征函数为)(x f =kx+c, 由kx+c=x ?x= k c -1,则c t k t n n +?=+1?)1(11k c t k k c t n n --=--+ ∴数列}1{k c t n --是公比为k 的等比数列, ∴11)1(1-?--=--n n k k c t k c t ?11)1(1-?--+-=n n k k c t k c t . (2)当c ≠0时,
数列{n t }的特征函数为：)(x f =d x c b x a +?+? 由x d x c b x a =+?+?0)(2=--+?b x a d cx 设方程0)(2=--+b x a d cx 的两根为x 1,x 2,则有: 0)(121=--+b x a d cx ,0)(222 =--+b x a d cx ∴12)(1x a d cx b -+= (1) 222)(x a d cx b -+=……(2) 又设2 12111x t x t k x t x t n n n n --?=--++(其中,n ∈N *,k 为待定常数). 由212111x t x t k x t x t n n n n --?=--++ ?2121x t x t k x d t c b t a x d t c b t a n n n n n n --?=-+?+?-+?+? ?212211x t x t k dx t cx b at dx t cx b at n n n n n n --?=--+--+……(3) 将(1)、（2）式代入(3)式得: ∴数列{21x t x t n n --}是公比为21cx a cx a --(易证02 1≠--cx a cx a )的等比数列. ∴21x t x t n n --=1212111-???? ??--?--n cx a cx a x t x t ?121211 11 212 11 1211--???? ??--?---???? ??--?--?-=n n n cx a cx a x t x t cx a cx a x t x t x x t .
专题三 培优点12 用“不动点法”求数列的通项公式
培优点12 用“不动点法”求数列的通项公式 对于一个函数f (x )，我们把满足f (m )＝m 的值x ＝m 称为函数f (x )的“不动点”．利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式． 例 (1)在数列{a n }中，a 1＝1, a n ＋1＝12a n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解 设f (x )＝1 2 x ＋1， 令f (x )＝x ，即12 x ＋1＝x ，得x ＝2， ∴x ＝2是函数f (x )＝12 x ＋1的不动点， ∴a n ＋1－2＝12 (a n －2)， ∴数列{a n －2}是以－1为首项，以12 为公比的等比数列， ∴a n －2＝－1×????12n －1， ∴a n ＝2－????12n －1，n ∈N *. (2)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝7a n －2a n ＋4 ，求该数列的通项公式． 解 由方程x ＝7x －2x ＋4 ，得数列{a n }的不动点为1和2， a n ＋1－1a n ＋1－2＝7a n －2a n ＋4－17a n －2a n ＋4 －2＝7a n －2－(a n ＋4)7a n －2－2(a n ＋4)＝65·a n －1a n －2，所以??????a n －1a n －2是首项为a 1－1a 1－2＝2，公比为65的等比数列，所以a n －1a n －2 ＝2·????65n －1， 解得a n ＝1 2·????65n －1－1＋2＝4·6n －1－5n －1 2·6n －1－5n －1，n ∈N *. (1)若f (x )＝ax ＋b (a ≠0,1)，p 是f (x )的不动点．数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，则a n ＋1－p ＝a (a n －
求数列通项公式的11种方法
求数列通项公式的11种方法方法 总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法（少用） 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法 二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-=
两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足11231 3n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13) 2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3 n +，得 111 21 3333 n n n n n a a +++=++， 则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+，故
用不动点法求数列通项公式
用不动点法求数列通项 公式 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
2 用不动点法求递推数列d t c b t a t n n n +?+?=+1(a 2+c 2≠0)的通项 储炳南 （安徽省岳西中学 246600） 1．通项的求法 为了求出递推数列d t c b t a t n n n +?+?=+1的通项，我们先给出如下两个定义： 定义1：若数列{n t }满足)(1n n t f t =+，则称)(x f 为数列{n t }的特征函数. 定义2:方程)(x f =x 称为函数)(x f 的不动点方程，其根称为函数)(x f 的不动点. 下面分两种情况给出递推数列d t c b t a t n n n +?+?=+1 通项的求解通法. (1)当c=0,时, 由d t c b t a t n n n +?+?= +1d b t d a t n n +?=?+1, 记k d a =,c d b =，则有 c t k t n n +?=+1 （k ≠0）, ∴数列{n t }的特征函数为)(x f =kx+c, 由kx+c=x ?x= k c -1,则c t k t n n +?=+1?)1(11k c t k k c t n n --=--+ ∴数列}1{k c t n --是公比为k 的等比数列, ∴11)1(1-?--=--n n k k c t k c t ?11)1(1-?--+-=n n k k c t k c t . (2)当c ≠0时, 数列{n t }的特征函数为：)(x f =d x c b x a +?+?
(完整版)数列通项的十一种求法
数列通项公式的十一种方法 知识概要 一．利用递推关系式求数列通项的11种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法 二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-=L L 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-L L L 所以3 1.n n a n =+-
(完整版)用不动点法求数列通项公式
用不动点法求递推数列d t c b t a t n n n +?+?=+1(a 2+c 2≠0)的通项 储炳南 （安徽省岳西中学 246600） 1．通项的求法 为了求出递推数列d t c b t a t n n n +?+?=+1的通项，我们先给出如下两个定义： 定义1：若数列{n t }满足)(1n n t f t =+，则称)(x f 为数列{n t }的特征函数. 定义2:方程)(x f =x 称为函数)(x f 的不动点方程，其根称为函数)(x f 的不动点. 下面分两种情况给出递推数列d t c b t a t n n n +?+?=+1 通项的求解通法. (1)当c=0,时, 由d t c b t a t n n n +?+?= +1d b t d a t n n +?=?+1, 记k d a =,c d b =，则有 c t k t n n +?=+1 （k ≠0）, ∴数列{n t }的特征函数为)(x f =kx+c, 由kx+c=x ?x= k c -1,则c t k t n n +?=+1?)1(11k c t k k c t n n --=--+ ∴数列}1{k c t n --是公比为k 的等比数列, ∴11)1(1-?--=--n n k k c t k c t ?11)1(1-?--+-=n n k k c t k c t . (2)当c ≠0时, 数列{n t }的特征函数为：)(x f =d x c b x a +?+?
由x d x c b x a =+?+?0)(2=--+?b x a d cx 设方程0)(2=--+b x a d cx 的两根为x 1,x 2,则有: 0)(121=--+b x a d cx ,0)(222 =--+b x a d cx ∴12)(1x a d cx b -+= (1) 222)(x a d cx b -+=……(2) 又设2 12111x t x t k x t x t n n n n --?=--++(其中,n ∈N *,k 为待定常数). 由212111x t x t k x t x t n n n n --?=--++ ?2121x t x t k x d t c b t a x d t c b t a n n n n n n --?=-+?+?-+?+? ?2 12211x t x t k dx t cx b at dx t cx b at n n n n n n --?=--+--+……(3) 将(1)、（2）式代入(3)式得: 212 2221121x t x t k ax t cx cx at ax t cx cx at n n n n n n --?=--+--+ ?212211))(())((x t x t k x t cx a x t cx a n n n n --?=---- ?21cx a cx a k --= ∴数列{21x t x t n n --}是公比为21cx a cx a --(易证021≠--cx a cx a )的等比数列. ∴21x t x t n n --=1212111-???? ??--?--n cx a cx a x t x t
由递推关系求数列通项问题—“不动点”法
由递推关系求数列通项问题—“不动点”法 由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助． 1 不动点的定义 一般的，设的定义域为,若存在，使成立，则称为的 不动点，或称为图像的不动点。 2 求线性递推数列的通项 定理1 设，且为的不动点，满足递推关系，，证明是公比为a的等比数列。 证：∵是的不动点，所以，所以，所以，∴数列是公比为的等比数列。 例1 已知数列的前项和为，且， (1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数. 证：(1) 当n 1时，a1 14；当时，a n S n S n 1 5a n 5a n 1 1，即 即，记，令，求出不动点， 由定理1知：，又a1 1 15≠0，所以数列{a n 1}是等比数列。 (2)解略。 3 求非线性递推数列的通项
定理2 设，且是的不动点，数列满足递推关系，，（ⅰ）若，则数列是公比为的等比数列；（ⅱ），则数列是 公差为的等差数列。 证：（ⅰ）由题设知； 同理 ∴， 所以数列是公比为的等比数列。 （ⅱ）由题设知＝的解为，∴且＝。所以 ，所以数列是公差为的等差数列。 例2设数列的前项和为，且方程有一根为。求数列的通项公式。 解：依题，且，将代入上式，得
发的 用不动点法求递推数列的通项公式
用不动点法求递推数列的通项公式 甘肃省武威市第一中学 党星元 利用函数的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列，化为等比数列或容易求通项的数列，这种方法称为不动点法.利用不动点法可巧妙的解决数学高考中很多用常规方法不易解决的问题，而且在数学竞赛中很多数列问题都要借助不动点法来解决，因此，很有必要探讨不动点法求通项公式的方法.先看特征函数和不动点的定义. 定义1：若数列{n a }满足)(1n n a f a =+，则称)(x f 为数列{}n a 的特征函数. 定义2:方程 x x f =)(称为函数)(x f 的不动点方程，根称为函数)(x f 的不动点. 1.递推式为q pb b n n +=+1(p ≠0,p ≠1,p,q 均为常数)型的数列 定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系 )1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即{}p a n -是公比为a 的等比数列. 证明：因为 p 是)(x f 的不动点 p b ap =+∴ ap p b -=-∴由b a a a n n +?=-1得p b a a p a n n -+?=--1 ap aa p a n n -=-∴-1)(1p a a n -=- 所以{}p a n -是公比为a 的等比数列. 例1.已知数列{an}中，a1=2，3 1 21+=+n n a a ，求{an}的通项。 解：因为{an}的特征函数为：3 1 2)(+=x x f , 由1312)(=?=+= x x x x f , ∴3 1 21+=+n n a a ?)1(3211-=-+n n a a ∴数列{an-1}是公比为 32的等比数列, ∴an-1=11)3 2)(1(--n a ?an=1+1 )32(-n . 归根结底，由q pb b n n +=+1求通项公式的问题转化成了等比数列的问题. 3.递推式为an+1= d ca b aa n n ++（c ≠0,a,b,c,d 为常数）型的数列 定理2：设d cx b ax x f ++= )()0,0(≠-≠bc ad c ，{}n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ， 初值条件)(11a f a ≠
数列-不动点法求通项公式
数列-不动点法求通项公式
2 用不动点法求递推数列d t c b t a t n n n +?+?= +1(a 2+c 2≠0)的通项 1．通项的求法 为了求出递推数列d t c b t a t n n n +?+?=+1的通项，我们先给出如下两个定义： 定义1：若数列{n t }满足)(1n n t f t =+，则称)(x f 为数列{n t }的特征函数. 定义2:方程)(x f =x 称为函数)(x f 的不动点方程，其根称为函数)(x f 的不动点. 下面分两种情况给出递推数列d t c b t a t n n n +?+?= +1通项的求解通法. (1)当c=0,时, 由d t c b t a t n n n +?+?=+1 d b t d a t n n +?=?+1, 记k d a =,c d b =，则有 c t k t n n +?=+1 （k ≠0）, ∴数列{n t }的特征函数为)(x f =kx+c, 由kx+c=x ?x= k c -1,则c t k t n n +?=+1?)1(11k c t k k c t n n --=--+ ∴数列}1{k c t n --是公比为k 的等比数列, ∴11)1(1-?--=--n n k k c t k c t ?11)1(1-?--+-=n n k k c t k c t . (2)当c ≠0时, 数列{n t }的特征函数为：)(x f =d x c b x a +?+? 由x d x c b x a =+?+?0)(2=--+?b x a d cx 设方程0)(2=--+b x a d cx 的两根为x 1,x 2,则有:
用不动点法求数列通项的一点几何意义
用不动点法求数列通项的一点几 何意义 用不动点法求数列通项的一点几何意义猜想孟剑卫(江苏省东海高级中学，江苏东海) 定义；方程 f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点。利用递推数列f(x)的不动点，可将某些递推关系a n=￡ ( a n-1 )所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法叫不动点法。对于这个方法有几个重要定理，若只从代数角度理解，恐怕对许多中学生来说是有难度的。下面笔者对这几个定理予以几何解释：定理1:若f(x)= ax+b(a 半 0,a 半 1), p 是f(x)的不
动点，a n满足递推关系a n=￡ (a n-1 ),(n>1)则a n-P=a(a n-i-p),即｛a n-P ｝是公比为a的等比数列。它的代数证明如下：证明：因为p是f (x)的不动点，所以 ap+b=p, 所以b-p=-ap, 由a n=a. a n-i +b 得a n-p=a. a n-i+b-p=a(a n-i-p),所以｛a n-P ｝是公比为a 的等比数列。 对这一定理的几何意义如下：
f(x)=x,即f(x)与g(x)=X的交点一目了然，a n-p /a n-i-p 即为 f(x)的斜率a。 定理2*钱才住)=竺卫/工0申M-氐｛%｝満足递推关系叫 cx + d 初值条件⑷芒/(% ) CD.若/(x) 两个相异的不动山从「则生二￡ =上?乩二￡(这里比=兰二兰 仇一cf心| -q a- c/c (2J：若f(x)不动点p,则—= —!— + t (这里上二丄一) ^n~ P気“―P m + 扭
证明!由/（JC）= J /（X）=山十" 口T 十<7 工，所以.6’ 4 (M —[—片 =0 i 2）因为尹是方f?c^r* + （（/ -a）x- = 0的唯一解，所以缈'十0/—口｝卩一方=0 所以h— pj=cp，- 碍7，p = ' ------- ■所以 2c (?L+b- ?i -卬卜“ ■+屛—叩(tf -L^X?W_L - J?) + c/ 所以 d +字1 —+----------- - ---- 供越一坏a n-l 一十A； （.1）因旳趴<7是不动戊， 所以. 叫-1 +丹 --------------- P u —p m ] 4 注(a —pc )tr a严h —pJ a —pc J 一勺口蕊"一i 七h (?—qc Jtr a b —(id a —qc --------------- 4 ■B —I 令—匚竺，则空二￡ = ,” 吐_ q?口”勺-1 — 9 °_用,所以 qtl — b pd - b JI - pc Cl - pc - p 「 = --------------------------------------------------------------- ?■------------------------- ------------------------ ild - b a —視._L _ Q 2丄! + ----- n- P 3 _W a n-\ - P u-cp 令殳，则一——盘亠# 叭—卩口 旷］_ 上面是【文1】给出的纯代数证明，下面看看它所蕴含的几何意义