2010年专升本《高等数学》试卷

2010年福建省高职高专升本科入学考试 高等数学 试卷

一、

单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 函数2

sin(1)()1x f x x

+=+，()x -?<+ 是（ ）

A. 有界函数

B. 奇函数

C. 偶函数

D. 周期函数 2. 函数2

()f x x =

()g x x =表示同一函数，则他们的定义域是（ ）

A. (,0]-

B. [0,)+

C.

(,

)-? D. (0,)+

3. 设函数()g x 在 x a =连续而()()()f x x a g x =-，则

'

()

f a =（ ）

A. 0

B. '()g a

C. ()g a

D. ()f a

4. 设16

3

()351f x x x x =+-+，则

17

(1)f

=

（ ）

A. 17！

B. 16！

C. 15！

D. 0 5. 0x =是函数2

2()x

x

f x e +=的（ ）

A. 零点

B. 驻点

C. 极值点

D. 非极值点 6. 设2

(),x

xf x dx e C -=+ò则()f x =（ ）

A.

2

x

xe

- B. 2

x

xe

-- C. 2

2x

e

-- D. 2

2x

e

-

7. 2

(cos )b

a

d x dx ò=（ ）（其中a ，b 为常数）

A. 2

sin x dx B. 2

cos x dx C. 0 D.

2

2cos x x dx

8. 广义积分

21x x

e

dx e

+

-

=+ò

（ ）

A. π

B. 2

π

C.

4

π

D. 0

9. 直线 21

1:

1

1

3

x y z L -+-=

=- 与平面 :5670x y z p -+-= 的位置关系是 （ ）

A. L π在上

B. L p ^

C. L π与平行

D.L π与相交，但不垂直 10. 微分方程'23'

()30x y y y x -+= 的阶数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

11. 函数2ln(1)y x =++的反函数是 12. 3

20

355lim

sin

53

x x x x x

?++=

13. 曲线cos y x =上点

1

32

π（,）处的法线的斜率等于

14. 若()f x 在0x x =处可导，且000

()(7)

lim

3h f x f x h h

?-+=，则'

0()f x =

15. 函数()arctan [0,1]f x x =在上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是

16. 曲线x y xe -=的拐点是 17. 设()F x 为可微函数，则()dF x =ò 18. 定积分4

2

x dx -=ò

19. 微分方程'

2(1)y x y =+的通解是

20. 设向量{1,3,2}a ?

=-与向量{2,6,},b l ?

=则λ= 三、计算题（本大题共8小题，每小题7分，共56分）

21. 设函数0()310

x k e

x f x x x ì?->?=í

?+ ??

在x=0处连续，试求常数k

22. 计算极值0

ln()lim

cos x

t

x t e dt x x

+

?+-ò

23. 求由方程ln 2x ye y +=所确定的隐函数()y y x =的一阶导数

dy dx

24. 求由参数方程cos sin x t y t

ì=??í

?=??所确定的函数()y y x =的二阶导数2d y

dx 25. 求不定积分2

arctan x xdx ? 26. 求定积分23

1(1)

x x ++

+ò

27. 求微分方程'

23xy y x ++的通解。

28. 直线1L 满足一下条件：（1）过点(1,0,4)A -；（2）平行于平面:34100x y z π-+-=；（3）与直线

213:

1

1

2

x y z L +-==相交，求1L 的方程。

四、应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 29. 求曲线,2

x x

y e y -==与直线x=1所围成的平面图形的面积，并求此平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体

积。

30. 欲做一个底面为长方形的带该长方体盒子，其底边长成1:2的关系且体积为3

72cm ，问其长、宽、高各为多

少时，才能使此长方体盒子的表面积最小？

五、证明题（本大题共1小题，每小题8分，共8分）

31. 设函数()f x 在[1,2]上连续，在（1,2）内可导，且(2)0,()(1)(),f F x x f x ==-

证明：至少存在一点'

(1,2),F ξξ∈使得（）=0

2009年福建省高职高专升本科入学考试

高等数学 试卷

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1下列四组函数中，相同的是（ ）

A.2()lg ,()2lg f x x g x x ==

B.2

(),()f x x g x x ==

C.3

43

3(),()1f x x x g x x =

-=- D. 2

()1cos ,()sin f x x g x x =

-=

2、当0x ?时，下列四组函数中为等价无穷小的是（ ）

A 2

x 与2x B sinx 与x C 21cos x x -与 D tan 2x x 与

3、点x=1是函数2

2

()32

x

f x x x =

-+的 （ ）

A 可去间断点

B 跳跃间断点

C 无穷间断点

D 震荡间断点 4、函数f(x)在点0x x =处连续是f （x ）在改点处可导的（ ）

A 充分条件

B 必要条件

C 充分必要条件

D 既不是充分条件，也不是必要条件 5、设函数f （x ）在点0x x =处可导，则00()(2)

lim

h f x f x h h

--的值为（ ）

A '

02()f x - B '

01()2

f x -

C '

02()f x D

01'()2f x

6.已知函数ln(1)y x =+，则(10)

()y x 为（ ）

A.

9

9!(1)

X + B 9

9!(1)

x -

+ C

10

9!(1)

X + D 10

9!(1)

X -

+

7.设函数()f x 的原函数为arctanx ，则()f x 的导函数'()f x 为（ ）

A.arctan x B 2

11X

+ C 2

21x x

-

+ D 2

2

2(1)

x x -

+

8.设函数()f x 在【0,1】上连续，在（0,1）内可导，且'(1)0f ，那么（ ） A.(0)0f B (1)0f C (1)(0)f f D (1)(0)f f 9.在空间直角坐标系中，点1M (1,2,3)与点2M (1,-2,3) ( )

A.关于xOy 面对称 B 关于yOz 面对称 C 关于xOz 面对称 D 关于原点对称 10.微分方程2

4

32

2

(

)(

)0dy d y xy dx dx

++=的阶数为（ ）

A 2

B 3

C 4

D 5

二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

11.已知10

lim (15)k

x x x e ?+=，其中K 为常数，则K=

12．0

11lim ()1

x

x x

e ?-=- 13.已知函数2

ln(1)y x x =+

+，则

dy dx

=

14.已知函数13cos x

y e x -=，则d y = 15.曲线3

y x =在x= 处存在倾斜角为4

p 的切线。

16.函数()f x x =在区间【1，4】上满足拉格郎日中值定理的点x =

17.曲线(1)2

x y e --=在(,)-? 内的拐点的横坐标为x =

18.20

sin x dx p -=ò

19.已知向量a 的模为2，向量b 的模为1，它们的夹角为3

p

，则(2).()a b a b +-=

20.二阶常系数齐次微分方程2

2

4

4

0d y dy y dx

dx

++=的通解y =

三、计算题（本大题共8小题，每小题7分，共56分） 21.求极限2

2

(arctan )lim

1x x x dt x

?

+

22．已知分段函数2sin ,0()2,0ln(12),0x x f x x x x x ì??

?+-???

==í?

?+?????

，讨论函数()f x 在点0x =处的连续性。

23.设函数()y y x =由参数方程2(ln )ln x t y t t t ì?=?í

?=-??

(0)t 确定，求1dy

t dx = 24．设函数()y y x =由方程y

y xe =确定，求

dy dx

和

2

2

d y dx

25．求不定积分2

2

4dx x

x

-ò

26．求定积分1

20

arccos xdx ò

27．已知直线过空间中的点（2，-1,1）且平面2340x y z -+-=及平面350x y z -++=都平行，求该直线的对称式方程。 28．求一阶线性微分方程

tan sec dy y x x dx

+=满足初始条件0

x y

==0的特解。

四．应用题（本大题共2题，每小题8分，共16分）

29．将一段长为(0)a a 的铁丝切成两段，并将其中一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形与圆形的面积之和最小，问两段铁丝的长应各为多少。

30．求由抛物线2

y x =与直线23y x =+所为围成的平面图形的面积。

五．证明题（本大题1小题，每小题8分，共8分） 31．证明方程2

14x

e x +=至少有一个小于1的正实数根。

2009年福建省高职高专升本科入学考试高等数学试卷答案

一、单项选择题

1.C;

2.B;

3.A;

4.B;

5.A;

6.D;

7.D;

8.D;

9.C; 10A 。 二、填空题 11.2; 12.

12

; 13.

2

1x

+; 14.13(3cos sin )d x e x x x --+; 15. 33

±

; 16.

94

; 17.212

±

; 18.4; 19.6;

20.1

122

12x x

C e C e -+。

三、计算题

21.解：2

2

2

2

2

2

2

(arctan )

11lim

lim

(

)lim

1(

).2

2

4

21x x x x x x

x

x

π

π

π

→+∞

→+∞

→+∞

+==?=+

=

+原式

22.解：0

ln(12)

2(00)lim ()lim

lim 2x x x x x f f x x

x

+

+

+

→→→++====,0

1(00)lim ()lim (2sin

)2x x f f x x x

--→→-==+=,

(0)2f =,(00)(00)(0)2f f f +=-== ,()f x ∴在点0x =处连续.

23.解：2

1

1

((ln ))ln 111; .1(ln ))22

2

2ln t t dy

dy

t t t dy t dt dx dx t t t dx

t dt t

=='+-====∴

=

=

'-?

24.解：方程两边对x 求导：;y y

y e xe y ''=+? 整理得：;1y

y

e

y xe

'=

-

22

222

2

2

2

3

;(1)()

(2)

1.(1)

(1)

(1)

(1)

y

y

y

y y y y y

y

y

y

y

y

y

y

y y

e

e e d y dy e y xe e e xe y e

e y e

xe xe

dx

dx

xe xe xe xe +?

''''

?--?--?+?--=

=

=

=

=

----

25.解：令2sin ,()2

2

x t t π

π

=-

<<

，则2cos dx tdt =， ∴原式=2

2

2

1

1

1142cos csc cot 4sin 2cos 4

4

4

x tdt tdt t C C t t

x

-=

=-

+=-

?

+??

?.

26.解：1

1

1

1

222220

2

1

3arccos arccos 116

6

6

2

1x x

xd x x dx x

x

π

π

π

-=-

=

-

?

=

--=

+-

-?

?

原式

27.解：1212(2,1,3),(1,3,1),2

13(8,1,5),1

3

1

i

j k

n n s n n =-=-=?=-=--

取方向向量 所以直线方程为

2118

1

5

x y z -+-=

=

-.

28.解：()tan , ()sec P x x Q x x ==，

tan tan ln cos ln cos 2

1(sec )(sec )cos (sec )

cos cos (sec )cos (tan )sin cos xdx xdx x x

y e xe dx C e xe dx C x x dx C x

x xdx C x x C x C x

--??∴=+=+=?

+=+=+=+????通解

又由0

0x y

==知0C =，所以特解sin y x =.

四、应用题

29.解：设围成圆形的铁丝长为x ，则另一段为a x -，总面积为S ，

2

2

2

2

()(

)(

)(

),24

44x a x x

x a S x πππ--=+=+

211()2(),4422

2

x x a a S x x ππ

-'=+?=+- 令()0S x '=得唯一驻点11, (),1

22

a x S x πππ

''=

=

+

+且

11

(

)0,1

22a S πππ

''=

+

>+

∴总面积在1

a

x ππ=+处取得最小值，从而围成正方形的铁丝长为

1

a

π+，围成圆形的铁丝长为

1

a ππ+时，总面积

最小。

29.解：2

23

y x y x ?=?

=+?由得交点(-1,1),(3,9), 2

3

2

23

11111(23)3.33A x x dx x x x -??=+-=+-=???

?? 五、应用题

31.证：令2

()14x f x e x =+-，则()f x 在[0,1]上连续，

0(0)1020,f e =+-=>1

(1)140,f e =+-<

∴()f x 在(0,1)上至少有个小于1的正实数根。

福建省2010年高职高专升本科入学考试高等数模拟试卷（二）

一、 单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1.下列各组函数中能构成复合函数的是（ ） (A) 2

ln ,y u u x ==- (B) 2

arcsin ,2y u u x ==+ (C) ,

sin 2y u u x =

=- (D) 2

2,

cos y u u v v x =

=+=

2.当0x →时，下列无穷小量中与3

x 等价的无穷小是 （ ） (A)

2

11x + (B) 2

1sin

x x

(C) 32

4x x + (D) 2

ln(1)x x +

3.若()()()f x y f x f y +=?，则f （x ）=（ ） (A) 2

x (B) x

e (C) ln x (D) tan x

4.设2

1lim[

]01

x x ax b x →∞

+--=+，则（ ）

A ．a=-1，b=-1

B ．a=-1，b=1

C ．a=1，b=-1

D ．a=1，b=1 5.下列函数在区间[ -1, 1 ]上无界，且当0x →时非无穷大量的函数是y=（ ）

(A) cot x (B) 1

x e (C)

22

1sin()x x

π (D) 2

2

cos

x x

π

6.设3

()2sin sin f x x x x =+，则使()

(0)n f 存在的最高阶数n=（ ）

(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

7.函数2

1()1x t f x dt t t +=++?

在[]0,1上的最小值是（ ）

(A)

12

(B) 14

(C) 0 (D) 1

8.设f(x)=x(x-1)(x-2)…（x-2010），则f （0）= （ ） （A ）-2010 (B) 0 (C) 2010 (D) 2010！ 9.若广义积分(ln )e

dx x x k

+∞?

收敛，则（ ）

（A ）1k ≥ （B ）k>1 （C ）k<1 （D ）0k ≠ 10.下列一组数可作为一向量的方向余弦的是（ ） (A)

111,,227 (B) 111,,244 (C) 212,,333- (D) 10,1,2

二、填空题（本大题共10小题。每小题4分，共40分）

11.设2

24,

2(),()14,2

x x f x g x x x x ?+≤?==->，则[(3)]f g =

12.若函数()

cot ()1tan 0x

f x m x x =+=在处连续，其中m 为常数，则应补充定义(0)f =

13.设1

lim ()x f x →存在，又2

1

()32lim ()x f x x x f x →=+ ，则()f x =

14.函数3

()f x x =在区间[ 0, 2 ]上满足拉格朗日中值定理的ξ=

15.若()13

2

1

1sin

23

x ax

dx -+=

?

，则a=

16.设x y xe =，则()

n y

=

17.设()arctan ,xf x dx x c =+?则1()

dx f x =?

18.抛物线2

2y x x =-与直线y x =围成图形的面积S=

19.直线

2341

1

2

x y z ---=

=

与平面260x y z ++-=的夹角α=

20.曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转的旋转体体积V= 三、计算题（本大题共8小题，每小题7分，共56分） 21.求极限()()

2

tan sin lim cos 1x

x t t dt x →--?

22. 已知函数()y y x =由方程y e xy e +=确定，求''

'(0).y y 、

23.设53

,

0(21),(),

x xe x f x f t dt x x -?>+=?

≤??

求

24.设21

ln(1),1tan t x t dy

dx y atc t

=?=+?

=-?求及dy

25.计算不定积分2

tan x xdx ?

26.求一条三次曲线32y x bx cx d =+++满足在x=1处取极值，且以O （0，0）为拐点。

27.解微分方程,(1)0dy x y y dx

x y

+=

=-

28.求过直线1010

x y z x y z +--=??

-++=?且垂直于0x y z ++=的平面方程。

四、应用题（本大题共2小题，美小题8分，共16分）

29.在曲线y=f （x ）上任意一点（x ，y ）的切线斜率为x

e y -，且过点M 0(0,1)，求曲线方程y=

f （x ）。

30.设半径为R 的球内接直圆柱，问内接直圆柱的底半径与高为多少时，才能使直圆柱的体积最大。

五、证明题（本大题8分）

31. 证明x>0时，(1)ln(1)arctan x x x ++>

福建省2010年高职高专升本科入学考试高等数模拟试卷（一）

一、10小题，每题3分，共30分）

1.设f(x)的定义域为[0,3]，则f （x-1）+f （x+1）的定义域是（ ） （A ）[ 1, 3 ] (B) [ 0, 3 ] (C) [ 1 , 2 ] (D) [ 1 , 3 ]

2.0

11lim 3arccos

sin x x x

→+= （ ）

（A ）π (B) 0 (C) 3π (D) 不存在

3. 设()()()f x g x x ?、和都是偶函数，则下列函数为奇函数的是（ ）

(A).()()()f x g x x ? (B).()()()f x g x x ?++ (C) ()()()f x g x x ?+ (D)()()[()()]f x g x x x ??--

4.若f （x ）=13

121

ax bx x x a bx x ?+?

在点x=1处连续，则（ ）

（A ） a=b=2 (B) a=1, b= -2 (C) a=2, b=1 (D) a=b= -2 5. 函数0()f x x x =在处有定义是0()f x x x =在处有极限的（ ） （A ）必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D) 无关条件 6.已知'

(ln )f x x =，其中0

（A ）x e (B) x e +1 (C) x e -1 (D) c x

e

7.设()f x 满足''2()['()],f x f x x +=且'(0)f =0，则（ ）

（A ）f(0)是极大值 (B). 点（0，f(0)）是拐点 （C ）f(0)是极小值 (D). 无法判定 8.设函数2sin ()sin x t

x

F x e

tdt π+=

?

，则F(x)（ ）

（A ）为正的常数 (B) 为负的常数 (C) 恒为零 (D) 不为常数 9.设在区间[ 0, 1 ]上''()0,f x >则有（ ）

（A ）'(0)f >'(1)f (B) '(1)f > f(1)-f(0) (C) '(1)f f(1)-f(0) 10.在纵轴上与点A(1,-4,7)和B(5,6,5)等距离的点M 是（ ） （A ）(0,-1,0) (B) (0,1,0) (C) (3,1,6) (D) (6,2,12) 二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11.2

lim 1arctan(!)n n n n →∞

+= 12. 2

21

x

x y =+的反函数是 13. 设10002lim 10x

x x a e x →+∞

+??= ?+??

，则 a= 14.设'''

(cos )cos 2,()f x x f x ==则 15.曲线2

1x y x

+=

的渐近线是 16. (sin )sin (),y f x f x dy =+=设则

17.若点()00,()x f x 是连续曲线()y f x =的拐点，则''

0()f x 18. 广义积分12

dx x x

=-?

19.微分方程''

'

30xy y +=的通解为

20. 设{}{}3,5,22,1,4a b -=- 和，又a b λμ+

与z 轴垂直，则,λμ满足关系 .

三、计算题（本大题共8小题。每小题7分，共56分） 21.求01

1lim .cot sin x x x

x →??

??

-

???????

22.求曲线2sin cos x t t y t t =++??=+?

在t=0处的法线方程，2

2

t d y

dx =

23.tan

2

2

x atc y

x y e +=确定了y=y （x ），求'

y 及dy

24.已知1ln(

)1t y t

+=-，求()

n y

25.求不定积分2

4dx x

-?

26.计算定积分22

(1)f x dx --?

，其中1

,0()1

,0

x x f x x e x -?≥?

=+??

27. 求微分方程()0y ydx x e dy +-=满足(1)1y =的特解

28. 求过点（1，1 ，1），（0，1，-1）且与平面x+y+z=0相垂直的平面方程。

四、应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

29.一个面积为150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米6元。其余三面是每平方米3元。 问场地的长、宽各为多少米时，才能使用材料费最少？

30.已知曲线(0)y x a =>与曲线ln

y x =()00,x y 处有公切线，试求

（1）常数a 和切点()00,x y ; （2）两曲线与x 轴围成的图形的面积S.

五、证明题（本大题8分） 31.2

22

22x

e

dx e

-<

<

福建省2010年高职高专升本科入学考试高等数模拟试卷（三）

一、 单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，图形关于直线y=x 对称的是（ ） （A ）cos y x x = （B ）22

2

x

x

y -+=

（C ）122

x y x +=

- （D ）2

1y x x =++

2.函数2

1arccos 121x y x

??

=

+- ???

-的连续区间为（ ）

（A ）(-1,1) （B ）[0,4] （C ）[0, 1) （D ）[0,1] 3.若函数y=f （x ）在0x 处不可导，则y=f （x ）在0x 处（ ） （A ）不连续 （B ）无极值 （C ）没有切线 （D ）不可微 4.设函数f （x ）在()0,U δ内连续，且f （0）=0，()0

()

lim

11cos x f x x x

→=-，则x=0处f （x ）（ ）

（A ）可导且'(0)0f = （B ）可导且'

(0)0f ≠ （C ）取极小值 （D ）取极大值

5.设()()f x f x =--且在()0,+∞内'''

()0,()0f x f x >>，则在(),0-∞内必有（ ）

（A ）'''()0,()0f x f x >< （B ）'''()0,()0f x f x <>（C ）'''()0,()0f x f x << （D ）'''

()0,()0f x f x >>

6.设P=2

2

sin xdx π

?，Q=2

2

cos xdx π

?，R=2

22

sin xdx π

π-

?，则（ ）

（A ）P=Q=R (B) P=QQ>R

7.设()x

f x e =与()1

g x x =+，则当x>0时,()()f x g x 与的关系是 （ ）

（A ）()()f x g x < （B ）()()f x g x > （C ）()()f x g x = （D ）无法确定

8.下列极限能使用罗必塔法则的是 （ ）

（A ）2

1

sin

lim

sin x x x x → （B ）lim arctan 2x x x π→+∞??- ???

（C ）sin lim sin x x x x x →∞-+ （D ）2

1lim

x x x

→∞+

9.下列曲面是旋转曲面的有（ ） （A 2

2

14

4

x

z

y -=

+

（B ）

2

2

2

14

16

9

x

y

z

=-

-

（C ）

2

2

2

14

9

9

x

y

z

+

-

= （D ）2

2

14

4

x

y

z -=

-

10.微分方程'''356sin x y y y xe x -+=+的通解形式是 （ ） (A) 233123()sin x

x

x

y C e C e

ax b e

C x -=++++ (B) 2331234()sin cos x

x

x

y C e

C e

ax b e

C x C x =+++++

(C) 233123()sin x

x

x

y C e

C e

x ax b e

C x =++++ (D) 2331234()sin cos x

x

x

y C e

C e

x ax b e

C x C x =+++++

二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11.设arcsin (),(())1,()x

f x e

f x x x ??==-=则 12.2

2

212lim n n n

n

n →∞

??

+

+=

???

…+

13.0

1()sin 1

lim

21

x f x x e →+-=-，则0

lim ()x f x →=

14.设曲线2

54y x x =++的切线为3y x b =+，则b=

15.设2()(1)(2)(3)f x x x x =---，则'

()0f x =有且仅有的方程根的数目是 16.设'

()sin ,()x

f x x df e -=则=

17.已知2

ln(1)()x x f x ++是的一个原函数，则'()xf x dx ?=

18.已知,,a b c

为非零向量，且两两不平行，但a b c ++ 平行，b c a a b c +++ 与平行，则=

19.设函数()f x 具有2010阶导数，且[]

2

(2008)

(2010)

()(),()f

x f x f

x =

=则

20.曲线3

2(01)y x x =≤≤的弧长S=

三、计算题（本大题共8小题。每小题7分，共56分）

21.求函数221()lim 1n n n x f x x x

→∞??

-=??+??

的间断点，并判断间断点的类型。

22.设'

(),1x

x y x

=+求y

23.设'2

''

2'

(),()0,,()()

x f t dy d y f t dx dx y tf t f t ?=?≠?=-??求

24.求函数22()ln f x x x =-的单调区间、极值和曲线的凹凸区间。

25.求不定积分2

2

1dx x

x

+?

15.若2ln 26

1

t

a

e π

=

-?，求常数a

27.设()f x 连续，且1

01()()1,()2

f ux du f x f x =

+?求

28.求点M （3，1，-1）在平面23300x y z ++-=上的投影点坐标。

四、应用题（本大题共2小题。每小题8分，共16分）

29.设长方体的体积为723

cm ，其底面两边成1：2关系，问各边长多少时，表面积最小？

30.设由曲线sin cos (0)2

y x y x

x π

==≤≤

与围成图形，求：

（1）面积A ； （2）绕x 轴旋转一周的体积x V

五、证明题（本大题8分）

31.设[]()0,1()1f x f x <在上连续，且，求证：方程02()1x

x f t dt -=?在（0，1）内有且只有一个实根。

2010高数模拟试题一答案

一、 CADCDCDABB 二、 11. 0 ; 12. 2

log (01)1x y x x

=<<-； 13. 2010 ； 14. 4x ；

15. 水平渐进线y=0,铅直渐近线x=0; 16. '

(sin )cos cos ()'()f x x f x f x dx ??+?? ；

17.''

00''()0()f x f x =或不存 18. π； 19. 122

1y c c x

=+； 20. 2λμ=

三、21.

16

； 22. 法线y-1=-2(x-2)即y+2x=5,

2

2

1t d y dx

==- 23. '

,y x y x y dy dx y x

y x

--=

=

++

24.

()

1

11

(1)

(1)(1)n n n n y

n t -??=---??

-??

！（t+1） 25. 24arcsin ;2

x x c -+

26. 3

1ln 2e -+ 27.

1(1)

y

x e e y

=

-+ 28. 2x y z -++

四．29. 长为10米，宽为15米时用料最省 30. （1）切点2

0(,1)M e ，（2）2

116

2

s e =-

五、 31. 利用积分不等式或积分估值定理

2010高数模拟试题二答案

一、 D DBCBACDBC

二、 11. 8 ；12. m

e 13. 2

36x x - 14.

27 15.

14

16. ()x

n x e + 17.

2

4

112

4

x x c +

+ 18.

92

19. 5arcsin 6

20. 22(2)(2)3

3

e e ππ-

+=-

三、 21.

12

22. '

''

2

1,(0)y

y y y x e

e

-=

=

+ 23. ()2

21e - 24. 11,22

dx t

-

-

25. 2

1tan ln cos 2

x x x x c +-

+

26.33y x x =- 27.

2

2

1arctan

ln()2

x x y y =+

28 10y z --=

四、29. 2

x

x

e e

y -+= 30. 半径21,H 3

3

r R R =

=高时体积最大

五、 31. 令()(1)ln(1)tan f x x x atc x =++-，利用单调性证明。

2010高数模拟试题三答案

一、CCDAABBBAD

二、11. []2

2()sin ln(1),11x x e

x e π

π

?-

=-+<<+ 12.

12

13. 4 14. 3 15. 3个根 16.sin x

x

e

e dx ---

2

2

ln(11x x c x

++++ 18. 0 19.

2(())()()f x f x f x ??+?? 20.

1138)27

三、 21.1x =±为跳跃间断点 22. '

()ln 1111x

x

x x y x x x ?

?=+-??+++??

23 2

2''1,()dy d y t dx dx f t == 24. 单减区间)[(,1)(0,1),101-∞--+∞?? 单增区间，

，） 极小值()1f x ±=，凹区间(,0)(0,)-∞+∞ 25. 2

1x c x

+-

+ 26. ln 2a = 27. ()2f x cx =+ 28. 0(5,5,5)M

四、29 各边长分别为3，6，4时表面积最小 30. （1）22- （2）

()2

124

π

-

五、 31. 利用零点存在定理证明存在性，利用单调性证明唯一性。