选修2-1数学 椭圆综合 知识点+大量例题
椭圆的性质
▓椭圆的范围 椭圆上的点都位于直线x=±a 和y=±b 围成的矩形内，所以坐标满足|x|≤a ，|y|≤b. ▓椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作22c c
e a a
=
=。②因为a ＞c ＞0，所以e 的取值范围是0＜e ＜1。e 越接近1，则c 就越接近a
，从而b =e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x 2
+y 2
=a 2
。
▓椭圆122
22=+b
y a x 的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）12
2PF PF a +=，1212||||||||PF PF e PM PM ==，2
122||||a PM PM c
+=；（2）12BF BF a ==，12OF OF c ==
，21A B A B ==；（3）1122A F A F a c ==-,1221A F A F a c ==+，c a PF c a +≤≤-1；
▓椭圆标准方程中的三个量a 、b 、c 的几何意义 椭圆标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a ＞b ＞0，a ＞c ＞0，且a 2
=b 2
+c 2
。
▓椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2
、y 2
的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
▓平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M （x,y ），若点M （x,y ）
在椭圆上，则有22
221x y a b +=(0)a b >>；若点M （x,y ）在椭圆内，则有
22221x y a b +<(0)a b >>；若点M （x,y ）在椭圆外，则有22
221x y a b
+>(0)a b >>. ▓直线与椭圆的相交弦 设直线y kx b =+交椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y
两点，则
12||PP
=
=
12|
x x -同理可
得
1212|||(0)PP y y k =-≠这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形
：12||x x -
12||y y -
▓例 1. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且
2
cos 3
OFA ∠=
，求椭圆的方程。
【解析】椭圆的长轴长为6，
2
cos
3
OFA
∠=，所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF|=c
，||3
AF a
====，
2
33
c
=，所以c=2，b2=32－22=5，故椭圆的方程为
22
1
95
x y
+=或
22
1
59
x y
+=。
▓【变式3】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点12
,F F在x
．过点1
F
的直线l交C于A，B两点，且2
ABF
?的周长为16，那么C的方程为______ 【答案】
22
1
168
x y
+=
。
▓例2.（1
的两段，求其离心率；（2）已知椭圆的一个焦点到长轴
两端点的距离分别为10和4，求其离心率。
【解析】（1）
由题意得()()
a c a c
+-=
∶
即
1
1
e
e
+
=
-
解得5
e=-（2）由题意得
10
4
a c
a c
+=
?
?
-=
?
，解得
7
3
a
c
=
?
?
=
?
，故离心率
3
7
c
e
a
==。
▓【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（）
11
...
5432
A B C D【答案】D
▓【变式2】椭圆
22
22
1
x y
a b
+=上一点到两焦点的距离分别为
12
d d
、，焦距为2c，若
12
2
d c d
、、成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿【答案】
1
2
▓例3. 设M为椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>上一点，F1、F2为椭圆的焦点，若∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，求椭圆
的离心率。【解析】在△MF1F2中，由正弦定理得12
122112
||||
2
sin sin sin
MF MF
c
F MF MF F MF F
==
∠∠∠
即12
||||
2
sin90sin15sin75
MF MF
c
==
???
∴
2|1||2|2
sin90sin15sin75sin15sin75
c MF MF a
+
==
??+??+?
，∴
1
sin15sin753
c
e
a
===
?+?
。
▓【变式1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于＿＿＿＿。
1
▓【变式2】已知椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，右顶点A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA ，求离心率____。
【解析】 根据题意，|AB 2
|=a 2
+b 2
，|BF|=a ，|AF|=a+c ，所以在Rt △ABF 中，有(a+c)2
=a 2
+b 2
+a 2
，化简得c 2
+ac ―a 2
=0，
等式两边同除以a 2
，得e 2+e ―1=0，解得12e -±=
。又∵0＜e ＜1，∴1
2
e =。 ▓例4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使1223
F PF π
∠=，求其离心
率e 的取值范围。
【解析】△F 1PF 2中，已知1223
F PF π
∠=
，|F 1F 2|=2c ，|PF 1|+|PF 2|=2a ，由余弦定理：4c 2
=|PF 1|2
+|PF 2|2
-2|PF 1||PF 2|cos120°①又|PF 1|+|PF 2|=2a ②联立① ②得4c 2
=4a 2
-|PF 1||PF 2|，∴
2212|PF ||PF |4a 4c =-2
222222122a |PF ||PF |(
)a 4a 4c a 3a 4c 02
≤=?-≤?-≤c e 1a 22?≥
?≤< ▓【变式】已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>，以a ，b ，c 为系数的关于x 的方程2
0ax bx c ++=无实根，求其
离心率e 的取值范围。
【答案】由已知，240b ac ?=-<，所以2
2
()40a c ac --<，即2240c ac a +->，不等式两边同除2
a 可得
2410e e +->，解不等式得2e <或2e >.由椭圆的离心率(0,1)e ∈，所以所求椭圆离心率
2,1)e ∈.
▓例6. 已知椭圆1222=+y x ，求过点??
?
??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 【解析】解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为??? ?
?
-=-
2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得 (
)
(
)
02
3
21222122
2
2
=+-+--+k k x k k x k ．
由韦达定理得22212122k k k x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得2
1
-
=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ． 解法二：设过??
? ??2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得
?
??????
?
?=+=+=+=+④
1.
③1
②12
①1221212
2222
12
1y y x x y x y x ，，， ①－②得
022
2212
221=-+-y y x x ．将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为2
1-．所求直线方程为0342=-+y x ．
▓【变式1】已知点P （4，2）是直线l 被椭圆
22
1369
x y +=所截得线段的中点，求直线l 的方程. 【答案】直线l 的方程为x+2y －8=0
▓【变式2】若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆152
2=+m
y x 恒有公共点，求实数m 的取值范围。 【答案】51≠≥m m 且时，直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆152
2=+m
y x 恒有公共点 ▓ 椭圆（2013高考题）▓
▓（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ5）设椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上
的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）
B.13
C.1
2
【解析】选 D. 因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=,所
以21232tan 30,
PF c PF ==
=。又12
2PF
PF a +=
=
，所以3c a == D. ▓(2013·大纲版全国卷高考理科·T8)椭圆C:1342
2=+y x 的左、右顶点分别为1A ,2A ,点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 ( ) A.1324??
????， B.3384??
????， C.112??
????，
D.314??
????
，
【解析】选B.设),(00y x P ，则2200143+=x y ，2002-=x y k PA ，2
00
1+=x y k PA 1PA k 222
22003334444-
?
==---PA x y k x x ，故1PA k 2
143PA k -=.因为]1,2[2
--∈PA k ,所以]43,83[1∈PA k ▓（2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ8）已知F 1（-1,0）,F 2（1,0）是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交于A,B 两点,且错误！未找到引用源。=3,则C 的方程为 ( )
A.
22
12x y += B.22132
x y += C.22143x y += D.22154x y += 【解析】选 C.设椭圆得方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，由题意知23
2=a b ，又1222=-=b a c ，解得2=a 或2
1-=a （舍去）
，而32
=b ，故椭圆得方程为13422=+y x . ▓（2013·四川高考文科·Ｔ9）从椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是
椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）
B. 1
2
【解析】选C ，根据题意可知点P 0(,)c y ，代入椭圆的方程可得22
2
2
02b c y b a =-，根据//AB OP ，可知11PF BO F O OA =，即0y b c a =，解得0bc y a
=，即22222
22b c b c b a a -=
，解得c e a ==
，故选C. ▓（2013·广东高考文科·Ｔ9）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于
2
1
，则C 的方程是（ ） A ．14322=+y x B ．13
42
2=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 【解析】选 D.设C 的方程为22221
0x y a b a b +=>>，（），
则1
1,,2,2c c e a b a =====，C 的方程是13
42
2=+y x . ▓（2013·辽宁高考文科·Ｔ11）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B
两点,连接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos ∠ABF=
45
,则C 的离心率为 ( ) A.35 B.57 C.45 D.67
【解析】选B.在三角形ABF 中，由余弦定理得2
2
2
2cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠,又
410,8,cos 5
AB BF ABF ==∠=
解得 6.AF =在三角形ABF 中，222
2221086AB BF AF ==+=+，故三角形ABF 为直角三角形.设椭圆的右焦点为F '，连接,AF BF '',根据椭圆的对称性，四边形AFBF '为矩形，则其对角线10,FF AB '==且8BF AF '==，即焦距210,c =又据椭圆的定义，得2AF AF a '+=，所以
26814a AF AF '=+=+=.故离心率25.27
c c e a a =
== ▓(2013·江苏高考数学科·T12) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(122
22>>=+b a b
y a x ，右
焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，
则椭圆C 的离心率为
【解析】由原点到直线BF 的距离为1d 得1bc
d a =，因F 到l 的距离为2d 故22a d c c =-，又126d d =所以
2
22
221a c a c e c -=?-=?-=又b a
=解得e =▓（2013·上海高考文科·T12）与（2013·上海高考理科·T9）相同 设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4
π
=
∠CBA .若AB=4，BC=2，则Γ的两个焦点之间的距离为 .
【解析】 如图所示，以AB 的中点O 为坐标原点,建立如图所示的坐标系.
)1,1(3,1,145,2,4,C AD DB CD CBA BC AB AB CD AB D ?===??=∠==⊥上，且在设38
,34,111)11(,422222222==?+==+=?c b c b a b
a C a 代入椭圆标准方程得，把6342=?c ▓（2013·福建高考理科·Ｔ14）相同 椭圆Γ: 22
221(0)+=>>x y a b a b
的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若
直线y=错误！未找到引用源。与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 . 【解析】∠MF 1F 2是直线的倾斜角,所以∠MF 1F 2=60°,∠MF 2F 1=30°,所以△MF 2F 1是直角三角形,在Rt △MF 2F 1
中,|F 2F 1|=2c,|MF 1|=c,|MF 2
,
所以122212||||c c e a MF MF =
===+. ▓（2013·辽宁高考理科·Ｔ15）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于,A B
两点，连接,.AF BF 若4
10,6,cos 5
AB AF ABF ==∠=
，则C 的离心率____.e = 【解析】在三角形ABF 中，由余弦定理得2
2
2
2cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠,又
410,6,cos 5
AB AF ABF ==∠=
，解得8.BF =在三角形ABF 中，222
2221086AB BF AF ==+=+，故三角形ABF 为直角三角形。
设椭圆的右焦点为F '，连接,AF BF '',根据椭圆的对称性，四边形AFBF '为矩形，则其对角线10,FF AB '==且8BF AF '==，即焦距210,c =又据椭圆的定义，得2AF AF a '+=，所以26814a AF AF '=+=+=.故离心率25.27
c c e a a =
== ▓（2013·陕西高考文科·Ｔ20）已知动点M (x ,y )到直线l :x =4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍. (1) 求动点M 的轨迹C 的方程; (2) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率. 【解析】(1) 点M(x,y )到直线x=4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍，则
13
4)1(2|4|2
22
2
=+?+-=-y x y x x .
所以，动点M 的轨迹为椭圆，方程为13
42
2=+y x .(2) P(0, 3), 设11221212(x ,y ),(x ,y ),2x 0x 2y 3y A B 由题意知：，=+=+，
椭圆),3-,0()3,0(和的上下顶点坐标分别是经检验直线m 不经过这2点，即直线m 斜率k 存在。
3:+=kx y m 方程为设直线.联立椭圆和直线方程，整理得： 2
2
1221224324
,432402424)43k x x k k x x kx x k +=?+-=
+?=+++（ 23
2
924)43()24(252)(2212
221212211221±=?=?+-?=??-+?+=+k k k x x x x x x x x x x 所以，直线m 的斜率23±=k . ▓（2013·四川高考理科·Ｔ20） 已知椭圆C ：22
221,(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，且
椭圆C 经过点41
(,)33
P ．
（1）求椭圆C 的离心率； 2）设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且
222
211
||||||AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程．
【解析】(1)由椭圆定义知,2a =|PF 1|+|PF 2|=
(43+1)2+(13
)2+(43?1)2
+(13
)2=22, 所以a =2,又由已知,c =1,所以椭圆的离心率e =c a =12=22. (2)由(1)知,椭圆C 的方程为x 22
+y 2
=1, 设点Q 的坐标为
(x ,y ).(ⅰ) 当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于(0,1),(0,-1)两点,,此时点Q 的坐标为(0,2?
35
5
).(ⅱ) 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为y =kx +2,因为M,N 在直线l 上，可设点M,N 的坐标分别为
1122（x ，kx +2），（x ，kx +2）则
|AM |2
=(1+k 2
)x 12
, |AN |2
=(1+k 2
)x 22
, 又|A Q|2
=(1+k 2
)x 2
,
由2
|AQ |2=1
|AM |2+1
|AN |2,得2 (1+k 2)x 2=1(1+k 2)x 12+1(1+k 2)x 22,即2 x 2=1 x 12+1 x 22=(x 1+x 2)2
?2 x 1x 2 x 12x 12
, ①将y =kx +2代入x 2
2
+y 2=1中,得(2k 2+1)x 2+8kx +6=0. ②由?=(8k )2?4(2k 2+1)?6>0,得k 2>3
2.由②可知,x 1+x 2=?8k 2k 2+1,x 1x 2=62k 2+1, 代入①并化
简得x 2
=21810k 3
-. ③因为点Q 在直线y =kx +2上, 所以k =y ?2x , 代入③并化简,得10(y ?2)2?3x 2
=18.由③及k 2>3
2
,可知0 ,即x ∈(? 62,0)∪(0,62).又(0,2?355)满足10(y ?2)2?3x 2=18, 故x ∈(?62,62 ).由题意,Q(x ,y )在椭圆C 内,所以?1≤y ≤1,又由10(y ?2)2=3x 2+18有(y ?2)2 ∈[95,94)且?1≤y ≤1, 则y ∈(12,2?355].所以, 点Q 的轨迹方程为10(y ?2)2 ?3x 2 =18,其中x ∈(? 62,62), y ∈(12,2?35 5 ]. 【巩固练习】 1．椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是（ ） A.162x ＋92y =1或92 x ＋16 2y =1 B.252x ＋92y =1或252y ＋9 2 x =1 C.252x ＋162y ＝1或252y ＋16 2 x =1 D.椭圆的方程无法确定 2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴为12，离心率为 1 3 ，则椭圆的方程是（ ） A ． 221144128x y += B ．2213620x y += C ．2213236x y += D ．22 13632 x y += 3．若直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆 22 15x y m +=总有公共点，那么m 的取值范围是（ ） A ．（0，5） B ．（0，1） C ．[1，5] D ．[1，5） 4．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。现 在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程： 22 1169 x y +=，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁（非椭圆长轴端点）反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（ ） A ．20 B ．18 C ．16 D ．以上均有可能 5.椭圆2 214 x y +=的两个焦点为12,F F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2||PF 为（ ） A B C ．72 D ．4 6．椭圆 22 1164x y +=上的点到直线20x y +=的最大距离是（ ） A ．3 B C ．7．椭圆 2214x y m +=的离心率为12 ，则m=________. 8．若圆x 2 +y 2 =a 2 （a ＞0）与椭圆22 194 x y +=有公共点，则实数a 的取值范围是________. 9.若椭圆的两个焦点，短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为 10.已知椭圆C 的焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C 的标准方程为 . 11．已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值. 12.椭圆12222=+b x a y (a>b>0)的两焦点为F 1（0，-c ），F 2（0，c ）(c>0)，离心率e=23 ，焦点到椭圆上点的最短 距离为2-3，求椭圆的方程. 13．已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3 π 的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 14．.设F 1、F 2为椭圆14 92 2=+y x 的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的3个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求 | || |21PF PF 的值. 15.已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，α=∠21PF F ．求： 21PF F ?的面积（用a 、b 、α表示）． 【答案与解析】 1．答案： C 由题意，a =5,c =3,∴b 2 =a 2 －c 2 =25－9=16,∴椭圆的标准方程为252x ＋162y ＝1或252y ＋16 2 x =1. 2．答案：D 由已知2a=12，13 e = ，得a=6，c=2 ，∴b ==x 轴上，所以椭圆的方程是 22 13632 x y +=。 3．答案：D 直线y=kx+1过定点（0，1），定点在椭圆的内部或椭圆上时直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆 2215x y m +=总有公共点，∴22 0115m +≤，得m ≥1，∴m 的取值范围是1≤m ＜5。 4．答案：C 由椭圆定义可知小球经过路程为4a ，所以最短路程为16，故选C 5.答案：C ∵12||||4,PF PF +=而211||2b PF a ==，∴217||422 PF =-= 6．答案：D 设与直线20x y +=平行的直线方程为x+2y+m=0，由22 116420x y x y m ?+=???++=? ，得8y 2+4my+m 2 －16=0，Δ =0 得m =± m = 时距离最大d == 7．答案：3或 163 方程中4和m 哪个大哪个就是a 2，因此要讨论：（1）若0＜m ＜4则a 2=4，b 2 =m ，∴c =， ∴122e = =，得m=3。（2）m ＞4，则b 2=4，a 2 =m ，∴c = ，∴12 e ==，得163m =。 8．答案：[2，3] 根据图象可得圆的半径要比椭圆长轴短，短轴长，因此半径a 的取值范围为[2，3] 9.答案： 12 由题意得01 cos602 c a == 10．答案：22143x y += 解析：由题设椭圆C 的标准方程为22 221(0)x y a b a b +=>>，由已知得3,1,a c a c +=-=∴2,1a c ==2 2 2 3b a c =-=，∴椭圆的方程为22 143 x y + = 11. 解析：方程变形为 1262 2=+m y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ．又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ． 12．解析：∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a-c=2-3.又e= a c =2 3，∴a=2.故b=1.∴椭圆的方程为4 2y +x 2 =1. 13. 解析：利用直线与椭圆相交的弦长公式212 1x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．求解．因为 6=a ，3=b ，所以33=c ．又因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为19 362 2=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而 直线方程为 93+= x y ．由直线方程与椭圆方程联立得0836372132=?++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所 以1337221-=+x x ，1383621?=x x ，3=k ，从而13 48 ]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ． 14. 答案： 2 7或 2. 解析：|PF 1|+|PF 2|=6，|F 1F 2|52=. 若∠PF 2F 1为直角，则|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2 ，由此可得3 4||,314||21== PF PF ；若∠F 1PF 2为直角，则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，由此可得|PF 1|=4，|PF 2|=2.∴ 12||7 ,||2PF PF =或12|| 2,||PF PF = 15.解析：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨 设 P 在第 一象限．由余弦定理知： 2 21F F 2 2 2 1PF PF +=12PF -·2 24cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②则 －① ②2 得 α cos 12221+= ?b PF PF ．故 αsin 21212 1PF PF S PF F ?=? ααsin cos 12212+= b 2 tan 2α b =． 高二数学选修1－1知识点 第一章：命题与逻辑结构 知识点： 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性： 例题：一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）A．真命题与假命题的个数相同 B．真命题的个数一定是偶数 C．真命题的个数一定是奇数 D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 答案（找作业答案--->>上魔方格） 一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题， 原命题与逆否命题具有相同的真假性， 否命题与逆命题具有相同的真假性， ∴真命题的若有事成对出现的， 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． ?，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 7、若p q ?，则p是q的充要条件（充分必要条件）． 若p q 高二数学（文）选修1-2测试题（60分钟） 满分：100分 考试时间：2018年3月 姓名： 班级： 得分： 附：1.22 (),()()()() n ad bc K n a b c d a b a c b c b d -= =+++++++ 2.“X 与Y 有关系”的可信程度表： P (K 2≥k ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 一、 单项选择题（每题4分，共40分。每题只有一个选项正确，将答案填在下表中） 1、下列说法不正确的是（ ） A ．程序图通常有一个“起点”，一个“终点” B ．程序框图是流程图的一种 C ．结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线（或方向箭头）构成 D ．流程图与结构图是解决同一个问题的两种不同的方法 2． 给出下列关系：其中具有相关关系的是（ ） ①考试号与考生考试成绩； ②勤能补拙； ③水稻产量与气候； ④正方形的边长与正方形的面积。 A ．①②③ B ．①③④ C ．②③ D ．①③ 3、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案： 则第n 个图案中的白色地面砖有( )． A ．4n －2块 B ．4n ＋2块 C ．3n ＋3块 D ．3n －3块 4、如图是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则直 接影响“计划” 要素有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。 A.假设三内角都不大于60度； B. 假设三内角都大于60度； C. 假设三内角至多有一个大于60度； D. 假设三内角至多有两个大于60度。 6、在复平面内，复数 103i i +的共轭复数应对应点的坐标为（ ） A ． (1,3) B ．(1,-3) C ．(-1,3) D ．(3 ,-1) 7、已知两个分类变量X 和Y ，由他们的观测数据计算得到K 2的观测值范围是3.841 高二数学测试题 2014-3-9 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,只有一项是符合题目要求的.) 1.命题 “若△ABC 不是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是（ ） A.若△ABC 是等腰三角形,则它的任何两个内角相等 B.若△ABC 任何两个内角不相等,则它不是等腰三角形 C.若△ABC 有两个内角相等,则它是等腰三角形 D.若△ABC 任何两个角相等,则它是等腰三角形 2.“三角函数是周期函数，tan y x =，ππ22 x ??∈- ??? ，是三角函数，所以tan y x =， ππ22x ?? ∈- ??? ，是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是（ ） (A)推理完全正确 (B)大前提不正确 (C)小前提不正确 (D)推理 形式不正确 3．以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（ ） （1）“m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件； (2) “a b >”是“22a b >”的充要条件； (3) “3x =”是“2230x x --=”的必要不充分条件； （4）“A B B =I ”是“A φ=”的必要不充分条件. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4 .已知动点P （x ，y ）满足2)2()2(2222=+--++y x y x ,则动点 P 的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线左支 C. 双曲线右支 D. 一条射线 5．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ） A ．dx x f c a ?)( B ．|)(|dx x f c a ? C ．dx x f dx x f c b b a ??+)()( D ．dx x f dx x f b a c b ??-)()( 6 . 已知椭圆 22 1102 x y m m +=--，若其长轴在y 轴上.焦距为4，则m 等于 A.4. B.5. C. 7. D .8. 7.已知斜率为1的直线与曲线1 x y x =+相切于点p ，则点p 的坐标是（ ） ( A ) ()2,2- (B) ()0,0 (C) ()0,0或()2,2- (D) 11,2? ? ??? 8．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是 （ ） A ．23x y =或23x y -= B ．23x y = C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92= 9.设'()f x 是函数()f x 的导函数，将()y f x =和'()y f x =的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 （ ） A B C D ． 10.试在抛物线x y 42-=上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()1,2-A 的距离之 和最小，则该点坐标为 （ ） （A ）?? ? ??-1,41 （B ）?? ? ??1,41 （C ）() 22,2-- （D ） ()22,2- 11.已知点F 1、F 2分别是椭圆22 221x y a b +=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线 与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆的离心率e 为 圆锥曲线与方程 椭 圆 知识点 一．椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}； 这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。 （212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。 2．标准方程： 222c a b =- ①焦点在x 轴上：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0） ②焦点在y 轴上：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ） 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围 （1）椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b （2）椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性 椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称 中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 （1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ） （2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭 圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率 （1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比 22c a ，即a c 称为椭圆的离心率， 记作e （10< 1.若直线y kx 1和椭圆x 2 4y 2 1相切，则k 2的值是 A.1 / 2 B.2 / 3 C.3 / 4 D.4 / 5 2.椭圆mx 2 上2,则二的值是 2 ny 2 1与直线x + y — 1 = 0交于M N 两点，过原点与线段MN 中点的直线斜率为 n — 3.椭圆 m 2 B . 2 c . 2 x 2 y 2 、 、 2 2 1上对两焦点张角 为 a b 90°的点可能有 A.4个 B.2个或4个 C.0个或2个,4个 D.还有其它情况 4. B I ,B 2是椭圆短轴的两端点，过左焦点F i 作长轴的垂线,交椭圆于P,若|FE|是|OFJ 和 IB 1B 2I 的比例中项,则|PF|:|OB 2|的值是 B 还。遁 5 2 A. .. 2 2 2 5.椭圆X 匚 1的一个焦点为 R ，点P 在椭圆上，如果线段 PR 的中点M 在y 轴上，那 12 3 么点M 的纵坐标是 A . 3 B. - C. - D . 3 4 2 4 4 _ 2 2 6 .设A （ — 2, 、、3） , F 为椭圆 —+ y = 1的右焦点，点M 在椭圆上移动，当|AM| + 2|MF| 16 12 取最小值时，点M 勺坐标为 A . （0, 2、3） B . （0, - 2 3） C . （2 3 , ■ 3 ） D . （-2 . 3 , 、、3 ） 二.填空题（每题5分,满分20分,把答案填在题中横线上） X 2 7.椭圆—— 25 —=1上有一点P 到左准线的距离为 2.5 ,则P 到右焦点的距离为 9 &若椭圆 5 2 的一个焦点到相应准线的距离为一，离心率为一, 厂 4 3 5.（用分数表示） 的半短轴长为 涟西南中学高二数学椭圆测试题（一） 一.选择题（每小题 5分,满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的） 高二数学椭圆试题一：选择题 1.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（） 2.已知椭圆，长轴在y轴上、若焦距为4，则m等于（） 4．已知点F1、F2分别是椭圆+=1（k＞﹣1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为（） （x≠0）（x≠0） （x≠0）（x≠0） 6．方程=10，化简的结果是（） 7．设θ是三角形的一个内角，且，则方程x2sinθ﹣y2cosθ=1表示的曲线是（） 8.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（） 9.从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交 点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（） 10.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为 11.如图，点F为椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（） 12．椭圆顶点A（a，0），B（0，b），若右焦点F到直线AB的距离等于，则椭圆的离心率e=（） 13．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，且|PF1||PF2|的最大值的取值 范围是[2c2，3c2]，其中c=．则椭圆的离心率的取值范围为（） ，，[，] 14．在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（） 15.已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2 16．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是． 17.已知椭圆的焦距为2，则实数t=． 18.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则 =． 椭圆的简单几何性质 基础卷 1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是 （A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >0 2．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为 （A ） 221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）22 11625 x y += 3．已知P 为椭圆 22 1916 x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为 （A ） 54 （B ）45 （C ）4 17 （D ） 7 4 7 4．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为 （A ） 23 （B ）33 （C ）3 16 （D ） 6 1 6 5．在椭圆122 22=+b y a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有 （A ）r 1, r 2, r 3成等差数列 （B ）r 1, r 2, r 3成等比数列 （C ） 123111,,r r r 成等差数列 （D ）123 111 ,,r r r 成等比数列 6．椭圆 22 1925 x y +=的准线方程是 （A ）x =± 254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±25 4 7．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 . 8．对于椭圆C 1: 9x 2 +y 2 =36与椭圆C 2: 22 11612 x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆122 22=+b y a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = . 10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆22 11612 x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。 高中数学选修2-1《常用逻辑用语》单元测试题 时间：90分钟满分：120分 第Ⅰ卷(选择题，共50分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是() A．不存在x0∈R,2x0＞0 B．存在x0∈R,2x0≥0 C．对任意的x∈R,2x≤0 D．对任意的x∈R,2x＞0 2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是() A．能被3整除的整数，一定能被6整除 B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除 C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除 D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除 4．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4是|a|＝5”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知命题p：?x∈R,2x＜3x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是() A．p∧q B．綈p∧q C．p∧綈q D．綈p∧綈q 6．在三角形ABC中，∠A＞∠B，给出下列命题： ①sin∠A＞sin∠B；②cos2∠A＜cos2∠B；③tan ∠A 2＞tan ∠B 2. 其中正确的命题个数是() A．0个B．1个 C ．2个 D ．3个 7．下面说法正确的是( ) A ．命题“?x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1≥0”的否定是“?x ∈R ，使得x 2 ＋x ＋1≥0” B ．实数x ＞y 是x 2＞y 2成立的充要条件 C ．设p ，q 为简单命题，若“p ∨q ”为假命题，则“綈p ∧綈q ”也为假命题 D ．命题“若α＝0，则cos α＝1”的逆否命题为真命题 8．已知命题p ：?x 0∈R ，使tan x 0＝1，命题q ：?x ∈R ，x 2＞0.下面结论正确的是( ) A ．命题“p ∧q ”是真命题 B ．命题“p ∧綈q ”是假命题 C ．命题“綈p ∨q ”是真命题 D ．命题“綈p ∧綈q ”是假命题 9．下列结论错误的是( ) A ．命题“若log 2(x 2－2x －1)＝1，则x ＝－1”的逆否命题是“若x ≠－1，则log 2(x 2－2x －1)≠1” B ．设α，β∈? ???? －π2，π2，则“α＜β”是“tan α＜tan β”的充要条件 C ．若“(綈p )∧q ”是假命题，则“p ∨q ”为假命题 D ．“?α∈R ，使sin 2α＋cos 2α≥1”为真命题 10．给出下列三个命题： ①若a ≥b ＞－1，则 a 1＋a ≥ b 1＋b ；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则mn －m 2≤n 2；③设P (x 1，y 1)是圆O 1：x 2＋y 2＝9上的任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心，且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与圆O 2相切． 其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 第Ⅱ卷(非选择题，共70分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．给出命题：“若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是__________． 姓名：___________ 班级：___________ 一、选择题 1．“1x ≠”是“2320x x -+≠”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2．若p q Λ是假命题，则（ ） A.p 是真命题，q 是假命题 B.p 、q 均为假命题 C.p 、q 至少有一个是假命题 D.p 、q 至少有一个是真命题 3．1F ,2F 是距离为6的两定点，动点M 满足∣1MF ∣+∣2MF ∣=6,则M 点的轨迹是 （ ） A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 4． 双曲线 22 1169 x y -=的渐近线方程为（ ） A. x y 916± = B. x y 169±= C. x y 43±= D. x y 3 4±= 5．中心在原点的双曲线，一个焦点为， ，则双曲线的方程是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．已知正方形ABCD 的顶点 ,A B 为椭圆的焦点，顶点,C D 在椭圆上，则此椭圆的离心率为( ) A 1 B 1 D ．27．椭圆 14222=+a y x 与双曲线12 2 2=-y a x 有相同的焦点，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3 8．与双曲线14 22 =-x y 有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（ ） （A ） 11232 2=-x y （B ） 112322=-y x （C ）18222=-x y （D ）18 22 2=-y x 9．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是 （ ） A ．0 B ． 2 π C ．π D ．32π (0F 122 12x y -=22 12y x -=221x =221y = 圆梦教育 高二圆锥曲线单元测试 姓名： 得分： 一、选择题： 1．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对 2．设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ ） A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9 3、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形， 则椭圆的离心率是（ ）. A. B. C. 2 D. 1- 4．过点(2,-1)引直线与抛物线2 x y =只有一个公共点,这样的直线共有( )条 A. 1 B.2 C. 3 D.4 5．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(y y x P =?满足，则点P 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 6．如果椭圆 19 362 2=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 7、无论θ为何值，方程1sin 22 2=?+y x θ所表示的曲线必不是（ ） A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对 8．方程02 =+ny mx 与)02+mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ） C 二、填空题： 9．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19 72 2=-y x 有下列命题： ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同.其中正确命题的序号是 ； 10．若直线01)1(=+++y x a 与圆022 2 =-+x y x 相切，则a 的值为 ； 11、抛物线2 x y -=上的点到直线0834=-+y x 的距离的最小值是 ； 12、抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标 ； 13、椭圆13 122 2=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上， 那么|PF 1|是|PF 2|的 ； 14．若曲线 15 42 2=++-a y a x 的焦点为定点，则焦点坐标是 。 三、解答题： 15．已知双曲线与椭圆 125922=+y x 共焦点，它们的离心率之和为5 14，求双曲线方程.（12分） 16．P 为椭圆19 252 2=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若?=∠6021PF F （1）求△21PF F 的面积； （2）求P 点的坐标．（14分） 17、求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为 3 3 8的双曲线方程.（14分） 18、知抛物线x y 42 =，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．（12分） 19、某工程要将直线公路l 一侧的土石，通过公路上的两个道口 A 和B ，沿着道路AP 、BP 运往公路另一侧的P 处，PA=100m ，PB=150m ，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？ 20、点A 、B 分别是椭圆 120 362 2=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。 （1）求点P 的坐标； 椭圆习题课 北京化工大学附属中学李爱惠 教材版本：高中数学人教A版选修2-1，第二章圆锥曲线与方程的第四节 一、教学背景分析 （1）学习内容分析： 已经学习了椭圆的定义、标准方程和几何性质这些基础知识，本节课在学习了这些基础知识和基本方法的前提下，以椭圆的焦点三角形为平台，进一步研究用定义和性质解决椭圆问题的方法，并了解与运用椭圆和其它知识点的联系。为后面学习双曲线、抛物线的概念打下良好的基础，学会利用圆锥曲线的定义来解决相关问题的一般性方法，让学生经历解析法解题的过程；本节椭圆习题课的学习是对其学习内容的进一步深化和提高。 （2）学生状况分析 1．学生水平：所任教的班级是普通理科班，有些学生思维水平相对较好，具有一定的分析、解决问题的能力。但因本班是我校的普通班，学生数学基础弱，计算能力弱，对试题的分析解决要在老师的引导下慢慢训练。 2．认知基础：学生在学习这节课之前，已掌握了椭圆的定义和标准方程，也具备自主利用椭圆定义和性质解决一些简单的椭圆问题，所以说从知识和学习方式上来说学生已具备了进一步自行探索和解决问题的基本能力。 3．可能存在的学习困难：等价转化有一定困难；同时代数运算方面有困难；椭圆与三角、不等式等其它知识点的联系存在困难。 二、教法和学法的选择 解析几何要体现用代数研究几何，要教会学生抓住焦点三角形中的不变量和变量，用定义建立运算关系解决几何问题。学生已经对椭圆的定义、性质有了一定的掌握，所以本节课我采用了“启发引导”式的教学方法，重点突出以下两点： （1）以老师引导与学生探究相结合作为本节的学习方法。 （2）教学过程中突出数形结合、方程等数学思想方法的渗透。 以信息技术演示与学生动手实际操作相结合为主要教学手段。 最新人教A版高中数学选修2-1测试题全套及答案 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 （糕点） 添加茶水 工作 要求 1）眼神关注客人，当客人距3米距离 时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后 侯客迎询问客户送客户 注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等 待； 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用 托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一 下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时， 必须询问客人是否需要再添一杯，在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯 子； 下班程 序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班； 1.已知两椭圆2 28ax y +=和22925100x y +=的焦距相等，则a 的值为（ ） A. 9917或 B. 3342或 C. 39217或 D. 394 或 2. 下列关于椭圆 22 1259 x y +=的说法正确的是（ ） A.该椭圆的短轴长大于焦距. B.该椭圆只有两个顶点()()5,0,5,0- C.该椭圆上的点在直线5,3x y =±=±所围成的矩形框里. D.若点 (),x y 在这个椭圆上，则点(),y x 也在椭圆上. 3. 已知点() ,m n 在椭圆 228324 x y +=上，则 24 m +的取值范围是（ ） A.4?-+? B.4?? C.4?-+? D. 4?-+? 4.已知点(),P x y 在椭圆2221x y += ） A. B. 1 C. 2 D. 12 5.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0 120，则此椭圆的离心率是（ ） A. B. C. 12 D. 6.若焦点在x 轴上的椭圆 22 12x y m +=的离心率为12，则m 等于（ ） A. B. 3 2 C. 83 D. 23 7.椭圆22221x y a b +=与椭圆22 22(01)x y k k k a b +=>≠且具有相同的（ ） A.长轴长 B.离心率 C.顶点 D.焦点 8.若椭圆 22 149 x y k +=+的离心率为12e =，则k 的值是（ ） A. 1 2 B. 8 C. 1142或 D. 1184 或 9. 椭圆22143x y +=的右焦点到直线y x =的距离是________ 10.已知1F ,2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交于椭圆于A ，B 两点，若Δ2ABF 是 等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A. B. 2 C. 1- D. 11.若点P 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 12..如图，1F ，2F 分别为椭圆 22 221x y a b +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，Δ2POF ___________ 13..已知椭圆22 195 x y +=内有一点()1,1A ，1F ，2F 分别椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上的一点，求 1PA PF +的最大值和最小值是_______________和_______________ 14.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，离心率为2 .经过点1 F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且Δ 2ABF 的周长为16，那么C 的方程式为___________ 15..已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为3 和3 ，过点P 作长轴的的垂线，恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。 16. 椭圆()222210x y a b a b +=>> 的离心率e = ，焦点到椭圆上的点的最短距离为2-圆的标准方程。 17. 求经过点()1,2M ，且与椭圆 22 1126 x y +=有相同的离心率的椭圆的标准方程。 第1讲 课题：椭圆 课 型：复习巩固 上课时间：2013年10月3日 教学目标： （1）了解圆锥曲线的来历； （2）理解椭圆的定义； （3）理解椭圆的两种标准方程； （4）掌握椭圆离心率的计算方法； （5）掌握有关椭圆的参数取值范围的问题； 教学重点：椭圆方程、离心率； 教学难点：与椭圆有关的参数取值问题； 知识清单 一、椭圆的定义： (1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点21F F 、的距离和等于常数 ()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 说明：两个定点叫做椭圆的焦点； 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. (2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之 比为常数e ，当10< 上式化为12 2=+C By C Ax ，122=+B C y A C x .所以，只有C B A 、、同号，且B A ≠时，方程表示椭圆；当 B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当B C A C <时，椭圆的焦点在y 轴上. 五、椭圆的几何性质（以()0122 22>>=+b a b y a x 为例） 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式 1,122 22≤≤b y a x ，即b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2.对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长；21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5.离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=， 即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆；当0=e 时，b a c ==,0，两焦点重合，图形是圆. 6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为a b 2 2. 选修2-2第一章单元测试（一） 时间：120分钟总分：150分 一、选择题（每小题5分，共60分） 1 .函数f(x)= x sinx 的导数为( A. f ‘ (x) = 2 x sinx + . x cosx 2. 若曲线y = x 2 + ax + b 在点(0, b)处的切线方程是x — y +1 = 0, 则() A . a = 1, b = 1 B . a =— 1, b = 1 C . a = 1, b =— 1 D . a =— 1, b =— 1 3. 设 f(x) = xlnx ,若 f ‘(x o )= 2,则 x 0 =( ) In2 A . e 2 B . e C^^ D . ln2 4. 已知 f(x) = x 2 + 2xf ‘ (1),贝S f ‘ (0)等于( ) B . f ‘ (x) = 2 x sinx — x cosx , sinx 厂 C . f (x)= 2 x + x cosx D . f ‘ sinx 厂 (x)= 2 x — x cosx 1 -3 -3 6. 如图是函数y= f（x）的导函数的图象，给出下面四个判断: ①f(x)在区间［—2,—1］上是增函数； ②x=—1是f(x)的极小值点； ③f(x)在区间［—1,2］上是增函数，在区间［2,4］上是减函数； ④x= 2是f(x)的极小值点. 其中，所有正确判断的序号是() A .①② B .②③C.③④ D .①②③④ 7. 对任意的x€ R,函数f(x) = x3+ ax2+ 7ax不存在极值点的充要条件是() A. O w a w 21 B. a= 0 或a = 7 C. a<0 或a>21 D. a= 0 或a= 21 8某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q,则销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q= 8 300—170P—P2，则最大毛利润为(毛利润 =销售收入—进货支出)() A . 30 元B. 60 元C. 28 000元D. 23 000 元 x 9. 函数f(x) = —g(a 高二数学椭圆试题 一:选择题 1.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆,则ｍ的取值范围是( ） A．m>2或m＜﹣1 B．ｍ>﹣2 C. ﹣１＜m<2 D．m＞2或﹣2 8.设椭圆的两个焦点分别为F１、、Ｆ2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF２为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( ) A． B. Ｃ. Ｄ. 9.从椭圆上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x 轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AＢ∥ＯP(Ｏ是坐标原点）,则该椭圆的离心率是（) A. B．Ｃ． D. 1０．若点O和点Ｆ分别为椭圆的中心和左焦点,点Ｐ为椭圆上的任意一点,则 的最大值为（) A. ２Ｂ. 3 C. 6Ｄ. 8 １1.如图,点F为椭圆=1(a>b>0)的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PＦ相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为（) A．B．C．D． 1２．椭圆顶点A(a,0）,B（0,b)，若右焦点F到直线AB的距离等于,则椭圆的离心率e=( ) A. B. C. Ｄ. 海豚教育个性化简案 海豚教育个性化教案（真题演练） 海豚教育个性化教案 A . 45 B .23 C .22 D .2 1 例2：已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆12 2=+n y m x 的离心率为 例3：在ABC △中，3,2||,300===∠?ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率 e = ． 【变式训练】 1. 椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为( ) A. 63 B.33 C.2 3 D. 不确定 2. 椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ） 3. 以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于___________。 2：求离心率的取值范围 例1：已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使3 221π =∠PF F ，求 其离心率e 的取值范围。 例2：已知椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）与x 轴的正半轴交于A ，0是原点，若椭圆上存在一点M ，使MA ⊥MO ， 求椭圆离心率的取值范围。 例3：已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），以a ，b ，c 为系数的关于x 的方程02 =++c bx ax 无实根，求 其离心率e 的取值范围。 题型四：椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等） 例1：已知实数y x ,满足12 42 2=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值高中数学 命题知识点考点典型例题
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