02第二讲：运动方程的建立
2015/10/8
第二讲：运动方程的建立
一、基本动力体系 一、 基本动力体系
两个典型的单自由度体系
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
1. 牛顿（ 牛顿（Newton Newton） ）第二定律
F ma
物理元件： 质量 集中质量m 集中质量m 阻尼器 阻尼系数 阻尼系数c c 弹簧 弹簧刚度 弹簧刚度k k
t1
2 1
t2
单质点系的受力图
cu ku p(t ) mu
T —— 体系的动能； V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj—— ——与 与uj相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。 ）。
用Hamilton 原理推导 原理推导Lagrange Lagrange 方程
1 1 2 V ku 2 W p(t )u f D u T mu 2 2
T ( s, t ) W ( s , t ) V ( s, t )dt 0
t1
t2
u cu u kuu p (t )u dt 0 mu t u cu u kuu p (t )u dt 0 t mu
u t2 mu udt mu udt mu
t1 t1
第二讲：运动方程的建立
单质点体系的受力分析
F p(t ) f D f s
ma f D f s p (t )
au
f D cu
(a) 单层框架结构
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同 单自由度系统虽然简单，但是包含了 单自由度系统 虽然简单，但是包含了 结构动力学的全部思想和方法。 多自由度系统还可通过振型迭加法转 多自由度系统 还可通过振型迭加法转 化为单自由度系统，因此学习它非常重要。
y0
W 0 ky my
y (t ) ky
W ky my
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
2. D’Alembert原理 D’Alembert原理 3. 虚位移原理
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
虚位移是指满足体系约束条件的无限小位移。 虚位移原理：在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时， 外力在虚位移上所做的虚功总和恒等于零。
V
1 2 2 kij ui u j 2 i j
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
4. Hamilton原理 Hamilton原理 5. Lagrange方程 Lagrange方程
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
Hamilton 原理是一种积分形式的动力问题的变分方法，实际还有另外与 之等价的微分形式的动力问题的变分原理，就是的Lagrange 方程，其表达式 之等价的微分形式的动力问题的变分原理，就是的Lagrange 如下：
2）柔度法： 例
m
y (t )
F P (t )
EI l
2l 3 11 3EI
F=1
FP (t )
l EI
11
(t ) m y
p(t )u f I u f Du f su 0
l
p(t ) f I f D f s 0 , f D cu , f s ku f I mu cu ku p(t ) mu
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
2. D’Alembert原理 D’Alembert原理
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
2. D’Alembert原理 D’Alembert原理
y yst yd k ( yst yd ) m( yst yd ) W 0
设刚杆逆时针转一极小的角度 ，则可认为 u(x,t)=x ， 转变为单个自由度 设产生一虚位移 u ( x, t ) x 弹簧虚功： W1 ka (a ) ka2
由 W1 W2 W3 W4 0
. L2 .. L2 消去得： m CL2 ka 2 P （ 0 t） 3 3
两种方法： 1）刚度法 — 力的平衡 2）柔度法 — 位移协调 刚度系数 k 建立方程 概念理解 柔度系数δ ky my 2）柔度法： y ky 惯性力
F i m y
M点位移
y Fi m y
ky 0 my
y 0 m y
1
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利用牛顿第二定律的优点： 牛顿第二定律是基于物理学中已有 知识的直接应用 以人们最容易接受的知识建立体系 的运动方程
f s ku
cu ku p(t ) mu
单质点体系运动时要满足的控制方程—运动方程
(b) 弹簧 弹簧― ―质点体系
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
V
多自由度体系： 动能
V
位能
1 k 2 2
W — 作用于体系上非保守力 作用于体系上非保守力( (包括阻尼力及任意外荷载 包括阻尼力及任意外荷载) )所做的功 所做的功； ； δ— 在指定时间段内所取的变分。
对于静力问题 :δ（V −W) = 0 —最小势能原理。
1 j2 T m ju 2 j
ky ky
st d ) yst yst yd m ( y y
yst 0 d y my 0 yd my
研究结构上质点的位移，建立位移协 调方程， 需要用到柔度系数。 静定结构，图乘法求δ
my
W
以质量为隔离体
my
W
以梁为对象建立位移方程
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
2. D’Alembert原理 D’Alembert原理
两种方法： 1）刚度法 — 力的平衡 2）柔度法 — 位移协调 刚度系数 k 建立方程 概念理解 柔度系数δ 1）刚度法：
1
p (t ) f I f D f s 0
f I mu
t2
t1
u dt mu mu
t1 t t2
1
t2
t2 t2 du d (u ) d (u ) dt mu dt mu t1 t1 dt dt t2
对于有 N 个自由度的结构体系，体系的动能和位能分别为 个自由度的结构体系，体系的动能和位能分别为: :
( L ) cL2 阻尼虚功： W2 cL
2
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第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
4. Hamilton原理 Hamilton原理 可以应用变分法（原理）建立结构体系的运动方程。在数学上，变分问题 可以应用变分法（原理）建立结构体系的运动方程。 就是求泛函的极值问题。 就是求泛函的极值问题 。在这里，泛函就是结构体系中的能量（功 在这里，泛函就是结构体系中的能量（功）。 ）。变分法 变分法 是求体系能量（功）的极值。 是求体系能量（功）的极值 。体系的平衡位置是体系的稳定位置，体系的能量 取得极值, 取得极值 ,一般是极小值 一般是极小值。 。Hamilton Hamilton原理是动力学中的变分法（原理 原理是动力学中的变分法（原理）。 ）。 在任意时间区段[t1, [t1, t2]内，体系的动能和位能的变分加上非保 t2]内，体系的动能和位能的变分加上非保 Hamilton原理： Hamilton 原理：在任意时间区段 守力做功的变分等于0 守力做功的变分等于 0。 4. Hamilton原理 Hamilton原理
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
3. 虚位移原理 例题如图所示均质刚体杆 例题如图所示 均质刚体杆，总质量为 ，总质量为m m虽然杆上的各点的位移不同，但是仍 可归结为SDOF 可归结为 SDOF问题 问题 虚位移法要点： 1)选好独立自由度 好独立自由度. .本题可选 中任一个 中任一个。 。 2)假定 假定已有位移 已有位移 3)再做虚位移 4)计算 计算虚功 虚功= =力×虚位移
2. D’Alembert原理 D’Alembert原理
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
2. D’Alembert原理 D’Alembert原理
两种方法： 1）刚度法 — 力的平衡 2）柔度法 — 位移协调 刚度系数 k 建立方程 概念理解 柔度系数δ 2）柔度法：
y
ky
对于不便于计算刚度系数的体系, 也可改用结构的柔度系数来建立运动 方程.这种方法以整个体系为研究对象, 如图所示,在振动的任一时刻t，质点 m上作用的所有外力（惯性力、阻尼 力、外荷载），引起结构的变形，根 据叠加原理按静力学方法求解。 多自由度系统，可根据力法列位 移协调方程，特别注意用图乘法求柔 度系数。
W实际力 W惯性力 0
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
3. 虚位移原理 外力虚功：
L L
w3 p( x, t ) x dx
0 0
P0 (t ) x L2 x dx P0 (t ) L 3
惯性力虚功：
W -
4
L
0
.. m L3 .. dx x x - m L 3
动能：集中质量
T
位能：拉伸弹簧
T ( s, t ) W ( s , t ) V ( s, t )dt 0
t1
t2
1 2 mu 2 1 2 ku 2
转动质量
Hale Waihona Puke T转动弹簧1 2 J 2
V — 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； T — 体系的总动能； 体系的总动能；V
第二讲：运动方程的建立
一、基本动力体系 一、 基本动力体系
两个典型的单自由度体系
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
1. 牛顿（ 牛顿（Newton Newton） ）第二定律
F ma
物理元件： 质量 集中质量m 集中质量m 阻尼器 阻尼系数 阻尼系数c c 弹簧 弹簧刚度 弹簧刚度k k
t1
2 1
t2
单质点系的受力图
cu ku p(t ) mu
T —— 体系的动能； V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj—— ——与 与uj相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。 ）。
用Hamilton 原理推导 原理推导Lagrange Lagrange 方程
1 1 2 V ku 2 W p(t )u f D u T mu 2 2
T ( s, t ) W ( s , t ) V ( s, t )dt 0
t1
t2
u cu u kuu p (t )u dt 0 mu t u cu u kuu p (t )u dt 0 t mu
u t2 mu udt mu udt mu
t1 t1
第二讲：运动方程的建立
单质点体系的受力分析
F p(t ) f D f s
ma f D f s p (t )
au
f D cu
(a) 单层框架结构
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同 单自由度系统虽然简单，但是包含了 单自由度系统 虽然简单，但是包含了 结构动力学的全部思想和方法。 多自由度系统还可通过振型迭加法转 多自由度系统 还可通过振型迭加法转 化为单自由度系统，因此学习它非常重要。
y0
W 0 ky my
y (t ) ky
W ky my
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
2. D’Alembert原理 D’Alembert原理 3. 虚位移原理
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
虚位移是指满足体系约束条件的无限小位移。 虚位移原理：在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时， 外力在虚位移上所做的虚功总和恒等于零。
V
1 2 2 kij ui u j 2 i j
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
4. Hamilton原理 Hamilton原理 5. Lagrange方程 Lagrange方程
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
Hamilton 原理是一种积分形式的动力问题的变分方法，实际还有另外与 之等价的微分形式的动力问题的变分原理，就是的Lagrange 方程，其表达式 之等价的微分形式的动力问题的变分原理，就是的Lagrange 如下：
2）柔度法： 例
m
y (t )
F P (t )
EI l
2l 3 11 3EI
F=1
FP (t )
l EI
11
(t ) m y
p(t )u f I u f Du f su 0
l
p(t ) f I f D f s 0 , f D cu , f s ku f I mu cu ku p(t ) mu
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
2. D’Alembert原理 D’Alembert原理
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
2. D’Alembert原理 D’Alembert原理
y yst yd k ( yst yd ) m( yst yd ) W 0
设刚杆逆时针转一极小的角度 ，则可认为 u(x,t)=x ， 转变为单个自由度 设产生一虚位移 u ( x, t ) x 弹簧虚功： W1 ka (a ) ka2
由 W1 W2 W3 W4 0
. L2 .. L2 消去得： m CL2 ka 2 P （ 0 t） 3 3
两种方法： 1）刚度法 — 力的平衡 2）柔度法 — 位移协调 刚度系数 k 建立方程 概念理解 柔度系数δ ky my 2）柔度法： y ky 惯性力
F i m y
M点位移
y Fi m y
ky 0 my
y 0 m y
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利用牛顿第二定律的优点： 牛顿第二定律是基于物理学中已有 知识的直接应用 以人们最容易接受的知识建立体系 的运动方程
f s ku
cu ku p(t ) mu
单质点体系运动时要满足的控制方程—运动方程
(b) 弹簧 弹簧― ―质点体系
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
V
多自由度体系： 动能
V
位能
1 k 2 2
W — 作用于体系上非保守力 作用于体系上非保守力( (包括阻尼力及任意外荷载 包括阻尼力及任意外荷载) )所做的功 所做的功； ； δ— 在指定时间段内所取的变分。
对于静力问题 :δ（V −W) = 0 —最小势能原理。
1 j2 T m ju 2 j
ky ky
st d ) yst yst yd m ( y y
yst 0 d y my 0 yd my
研究结构上质点的位移，建立位移协 调方程， 需要用到柔度系数。 静定结构，图乘法求δ
my
W
以质量为隔离体
my
W
以梁为对象建立位移方程
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
2. D’Alembert原理 D’Alembert原理
两种方法： 1）刚度法 — 力的平衡 2）柔度法 — 位移协调 刚度系数 k 建立方程 概念理解 柔度系数δ 1）刚度法：
1
p (t ) f I f D f s 0
f I mu
t2
t1
u dt mu mu
t1 t t2
1
t2
t2 t2 du d (u ) d (u ) dt mu dt mu t1 t1 dt dt t2
对于有 N 个自由度的结构体系，体系的动能和位能分别为 个自由度的结构体系，体系的动能和位能分别为: :
( L ) cL2 阻尼虚功： W2 cL
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第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
4. Hamilton原理 Hamilton原理 可以应用变分法（原理）建立结构体系的运动方程。在数学上，变分问题 可以应用变分法（原理）建立结构体系的运动方程。 就是求泛函的极值问题。 就是求泛函的极值问题 。在这里，泛函就是结构体系中的能量（功 在这里，泛函就是结构体系中的能量（功）。 ）。变分法 变分法 是求体系能量（功）的极值。 是求体系能量（功）的极值 。体系的平衡位置是体系的稳定位置，体系的能量 取得极值, 取得极值 ,一般是极小值 一般是极小值。 。Hamilton Hamilton原理是动力学中的变分法（原理 原理是动力学中的变分法（原理）。 ）。 在任意时间区段[t1, [t1, t2]内，体系的动能和位能的变分加上非保 t2]内，体系的动能和位能的变分加上非保 Hamilton原理： Hamilton 原理：在任意时间区段 守力做功的变分等于0 守力做功的变分等于 0。 4. Hamilton原理 Hamilton原理
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
3. 虚位移原理 例题如图所示均质刚体杆 例题如图所示 均质刚体杆，总质量为 ，总质量为m m虽然杆上的各点的位移不同，但是仍 可归结为SDOF 可归结为 SDOF问题 问题 虚位移法要点： 1)选好独立自由度 好独立自由度. .本题可选 中任一个 中任一个。 。 2)假定 假定已有位移 已有位移 3)再做虚位移 4)计算 计算虚功 虚功= =力×虚位移
2. D’Alembert原理 D’Alembert原理
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
2. D’Alembert原理 D’Alembert原理
两种方法： 1）刚度法 — 力的平衡 2）柔度法 — 位移协调 刚度系数 k 建立方程 概念理解 柔度系数δ 2）柔度法：
y
ky
对于不便于计算刚度系数的体系, 也可改用结构的柔度系数来建立运动 方程.这种方法以整个体系为研究对象, 如图所示,在振动的任一时刻t，质点 m上作用的所有外力（惯性力、阻尼 力、外荷载），引起结构的变形，根 据叠加原理按静力学方法求解。 多自由度系统，可根据力法列位 移协调方程，特别注意用图乘法求柔 度系数。
W实际力 W惯性力 0
第二讲：运动方程的建立
二、建立运动微分方程常用方法
3. 虚位移原理 外力虚功：
L L
w3 p( x, t ) x dx
0 0
P0 (t ) x L2 x dx P0 (t ) L 3
惯性力虚功：
W -
4
L
0
.. m L3 .. dx x x - m L 3
动能：集中质量
T
位能：拉伸弹簧
T ( s, t ) W ( s , t ) V ( s, t )dt 0
t1
t2
1 2 mu 2 1 2 ku 2
转动质量
Hale Waihona Puke T转动弹簧1 2 J 2
V — 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； T — 体系的总动能； 体系的总动能；V
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3运动方程建立的基本原理-2
N h e [kG ] = N − h − N h N h
•柱单元
uj = 1
N
kGjj =
N j N h N i N
kGij
N h
kGij = −
N h
kGji = −
N h
kGii = ui = 1
N
N h
•由单元的几何刚度可以组装成 结构体系的总体几何刚度阵。
156 54 m l e [M ] C = 420 22l力刚度、动力强度两部分扼要地介绍材料 动力性质的一些主要特点。 （1）动力强度 随着材料应变速度的提高，其屈服应力和极 限强度一般也有所提高。随着加载速度的提高， 混凝土抗压强度也将提高；对于钢筋而言，在动 荷载作用下软钢的屈服强度提高较多，但硬钢则 无显著变化 。
12
n
n
2.5 多自由度体系运动方程的建立—直接平衡法 一个N层层间结构，自由度为N，各楼层集中质 量m i ，外荷载 pi , 层间刚度 k i , 各层的水平运动 为 ui , i=1, …, N。 该结构模型也可以转化成串连的弹簧—质点模型。
13
2.5直接平衡法 应用D’Alember原理：
f Ii + f Di + f Si = pi ( t ), i = 1,2,L , N
f Ii —惯性力； f Di —阻尼力； f Si —弹性恢复力； pi —外力。
共有N个方程。
fI1 p1 ( t ) f p (t ) 2 I2 {fI }= { } , L , p( t ) = M M f IN p N ( t )
∑F
u
= 0, 即
&&g + u) •惯性力： FI ( t ) = − m( u & •阻尼力： FD ( t ) = − cu •弹性恢复力：FS ( t ) = − ku •外荷载：0
•柱单元
uj = 1
N
kGjj =
N j N h N i N
kGij
N h
kGij = −
N h
kGji = −
N h
kGii = ui = 1
N
N h
•由单元的几何刚度可以组装成 结构体系的总体几何刚度阵。
156 54 m l e [M ] C = 420 22l力刚度、动力强度两部分扼要地介绍材料 动力性质的一些主要特点。 （1）动力强度 随着材料应变速度的提高，其屈服应力和极 限强度一般也有所提高。随着加载速度的提高， 混凝土抗压强度也将提高；对于钢筋而言，在动 荷载作用下软钢的屈服强度提高较多，但硬钢则 无显著变化 。
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n
n
2.5 多自由度体系运动方程的建立—直接平衡法 一个N层层间结构，自由度为N，各楼层集中质 量m i ，外荷载 pi , 层间刚度 k i , 各层的水平运动 为 ui , i=1, …, N。 该结构模型也可以转化成串连的弹簧—质点模型。
13
2.5直接平衡法 应用D’Alember原理：
f Ii + f Di + f Si = pi ( t ), i = 1,2,L , N
f Ii —惯性力； f Di —阻尼力； f Si —弹性恢复力； pi —外力。
共有N个方程。
fI1 p1 ( t ) f p (t ) 2 I2 {fI }= { } , L , p( t ) = M M f IN p N ( t )
∑F
u
= 0, 即
&&g + u) •惯性力： FI ( t ) = − m( u & •阻尼力： FD ( t ) = − cu •弹性恢复力：FS ( t ) = − ku •外荷载：0
2第二讲自然坐标系圆周运动的角量描述
dx
vx
u
dt
dy
gt
vy
dt
v u2 g 2 t 2
2
g
t
dv d
2
2 2
u g t
a
dt dt
u2 g 2 t 2
an a a
2
ug
2
u g t
2
2 2
相对运动
球
垂
直
往
返
运动具有相对性
球作曲线运动
如何变换？
描述运动三参量合成的约定
绝对量
建立自然坐标系：（P的切向）（P的法向）
p
o
ˆ
n̂
规定：切向单位矢量 ˆ ， 指向运动方向
法向单位矢量 n̂
指向轨道的凹侧
用这样一对正交的切向、法向单位矢量构成坐
标系统称为自然坐标系。
在自然坐标系中，切向、法向单位矢量并不固
定，它们随质点的位置而变。
p
ˆ
o
ˆ
n̂
n̂
直角坐标系是静坐标系
教学基本要求：
能计算质点在平面内运动时的速度和加速度；
能计算质点作圆周运动时的角速度、角加速度
、切向加速度和法向加速度。
本节内容提纲
一，自然坐标系
1，运动方程
2，速度
3，加速度
二，圆周运动的角量描述
1，角位置
2，角速度
3，角加速度
三，角量与线量的关系
四，一般曲线运动
一、自然坐标系中的运动方程，速度及加速度表示：
=
tgα
=
−
tgα
vx
u
dt
dy
gt
vy
dt
v u2 g 2 t 2
2
g
t
dv d
2
2 2
u g t
a
dt dt
u2 g 2 t 2
an a a
2
ug
2
u g t
2
2 2
相对运动
球
垂
直
往
返
运动具有相对性
球作曲线运动
如何变换？
描述运动三参量合成的约定
绝对量
建立自然坐标系：（P的切向）（P的法向）
p
o
ˆ
n̂
规定：切向单位矢量 ˆ ， 指向运动方向
法向单位矢量 n̂
指向轨道的凹侧
用这样一对正交的切向、法向单位矢量构成坐
标系统称为自然坐标系。
在自然坐标系中，切向、法向单位矢量并不固
定，它们随质点的位置而变。
p
ˆ
o
ˆ
n̂
n̂
直角坐标系是静坐标系
教学基本要求：
能计算质点在平面内运动时的速度和加速度；
能计算质点作圆周运动时的角速度、角加速度
、切向加速度和法向加速度。
本节内容提纲
一，自然坐标系
1，运动方程
2，速度
3，加速度
二，圆周运动的角量描述
1，角位置
2，角速度
3，角加速度
三，角量与线量的关系
四，一般曲线运动
一、自然坐标系中的运动方程，速度及加速度表示：
=
tgα
=
−
tgα
2运动方程建立的基本原理-1
24
单自由度体系： SDOF (Single-Degree-of-Freedom) System 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定
基本动力体系： 应包括结构动力分析中涉及的所有物理量。 质量；弹簧；阻尼器。
25
基本动力体系
两个典型的单自由度体系
物理元件： 质量 阻尼器 弹簧
集中质量m 阻尼系数c 弹簧刚度k
约束方程：
2 2 2 x1 + y1 = l1 2 2 2 x − x + y − y = l ( ) ( ) 2 1 2 2 1
广义坐标有2个，可以选(x1, y2)、(x2, y1)、 (x1, x2)、(y1, y2)或(θ1, θ2)中的任何一对
10
2.1.2 功和能 功的定义 有势力和势能 动能
2 2 2
Ø
Ø
情况（c）弹簧摆。受到约束
约束方程不含时间，称为定常约束。 约束方程随时间变化，称为非定常约束。
6
关于约束的另一种分类： n 完整约束：
只限制质点位置，而不限制速度。即约束方 程不显含坐标对时间的一阶导数。
n
非完整约束：
约束方程显含坐标对时间的导数，并且不可积。
7
静力自由度的概念：确定结构体系在空间中位置所需 的独立参数的数目称为结构的自由度。 动力自由度的定义：结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目称为 结构的动力自由度。
(a) 单层框架结构
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同
(b) 弹簧―质点体系
26
2.2 基本力学原理与运动方程的建立
2.2.0 牛顿（Newton）第二定律
F = ma
单自由度体系： SDOF (Single-Degree-of-Freedom) System 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定
基本动力体系： 应包括结构动力分析中涉及的所有物理量。 质量；弹簧；阻尼器。
25
基本动力体系
两个典型的单自由度体系
物理元件： 质量 阻尼器 弹簧
集中质量m 阻尼系数c 弹簧刚度k
约束方程：
2 2 2 x1 + y1 = l1 2 2 2 x − x + y − y = l ( ) ( ) 2 1 2 2 1
广义坐标有2个，可以选(x1, y2)、(x2, y1)、 (x1, x2)、(y1, y2)或(θ1, θ2)中的任何一对
10
2.1.2 功和能 功的定义 有势力和势能 动能
2 2 2
Ø
Ø
情况（c）弹簧摆。受到约束
约束方程不含时间，称为定常约束。 约束方程随时间变化，称为非定常约束。
6
关于约束的另一种分类： n 完整约束：
只限制质点位置，而不限制速度。即约束方 程不显含坐标对时间的一阶导数。
n
非完整约束：
约束方程显含坐标对时间的导数，并且不可积。
7
静力自由度的概念：确定结构体系在空间中位置所需 的独立参数的数目称为结构的自由度。 动力自由度的定义：结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目称为 结构的动力自由度。
(a) 单层框架结构
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同
(b) 弹簧―质点体系
26
2.2 基本力学原理与运动方程的建立
2.2.0 牛顿（Newton）第二定律
F = ma
运动学方程的建立PPT.
坐标系之间的变换矩阵的连乘，左边T6表示这些变换矩阵 的乘积，也就是手部坐标系相对于固定参考系的位姿。
手部的姿态
手部的位置
XHK 5140换刀机械手运动学方程
该机械手有4个自由度。关节1和2是转动关节，用于大臂和小臂 旋转；关节3和4是移动关节，实现插拔刀和伸缩运动。
表3 换刀机械手连杆参数
注意： (1)θ1=0°时，基座标系{0}和{1}重合。 (2)坐标系{2}与连杆2固接； (3)坐标系{4}与手爪坐标系平行； (4)连杆坐标系的规定不是唯一的，对于不同坐标系，对应的参数也不同。
T2 A1A2
同理，若A3矩阵表示第三连杆坐标系相对于第二连杆坐 标系的齐次变换，则有：
T3 A1 A2 A3
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
T6 A1 A2 A3 A4 A5 A6
T6 A1 A2 A3 A4 A5 A6
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
0.5 0.866 0 183.2
T4
0.866 0
0.5 0
0 17.32 1 0
0
00
1
机器人运动学方程
如为果机A器1矩人阵的表每示一第个一连连杆杆建坐立标一系个相坐对标于系固，定并坐用标齐系次的变齐 次换变来换描，述则这第些一坐连标杆系坐间标的系相相对对关于系固，定也坐叫标相系对的位位姿姿。T1为
θ3
L3
y0
θ2 L2
L1
θ1
O
x0
基座标系{0}与基座固连，固定不动。原则上可以任意规定，但是为了简单方便， 总是规定，当第一个关节变量为零时，{0}与{1}重合。 坐标系{1}位于第一个关节处，z轴与关节轴线重合，x轴与关节1与关节2公垂线 的共线，方向由关节1指向关节2.坐标系{2}、{3}设定方法相同。坐标系{4}是末 端连杆坐标系，其规定与基座标系{0}相似。
手部的姿态
手部的位置
XHK 5140换刀机械手运动学方程
该机械手有4个自由度。关节1和2是转动关节，用于大臂和小臂 旋转；关节3和4是移动关节，实现插拔刀和伸缩运动。
表3 换刀机械手连杆参数
注意： (1)θ1=0°时，基座标系{0}和{1}重合。 (2)坐标系{2}与连杆2固接； (3)坐标系{4}与手爪坐标系平行； (4)连杆坐标系的规定不是唯一的，对于不同坐标系，对应的参数也不同。
T2 A1A2
同理，若A3矩阵表示第三连杆坐标系相对于第二连杆坐 标系的齐次变换，则有：
T3 A1 A2 A3
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
T6 A1 A2 A3 A4 A5 A6
T6 A1 A2 A3 A4 A5 A6
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
0.5 0.866 0 183.2
T4
0.866 0
0.5 0
0 17.32 1 0
0
00
1
机器人运动学方程
如为果机A器1矩人阵的表每示一第个一连连杆杆建坐立标一系个相坐对标于系固，定并坐用标齐系次的变齐 次换变来换描，述则这第些一坐连标杆系坐间标的系相相对对关于系固，定也坐叫标相系对的位位姿姿。T1为
θ3
L3
y0
θ2 L2
L1
θ1
O
x0
基座标系{0}与基座固连，固定不动。原则上可以任意规定，但是为了简单方便， 总是规定，当第一个关节变量为零时，{0}与{1}重合。 坐标系{1}位于第一个关节处，z轴与关节轴线重合，x轴与关节1与关节2公垂线 的共线，方向由关节1指向关节2.坐标系{2}、{3}设定方法相同。坐标系{4}是末 端连杆坐标系，其规定与基座标系{0}相似。
2 运动方程建立
P(t) my(t)
l
y(t) 11[P(t) my(t)]
11
l3 3EI
柔度系数
my(t)
3EI l3
y(t)
P(t)
柔度法步骤：
1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
刚度法 列动力平衡方程
P(t)
m
1
my(t)
M 0
b 2
f IH
a 2
f IV
M IG
a 2
cu acu k 2
b ub a
a ap(t) 2
0
整理，得
ab (1 b2 )u ( 5 c)u b2 ku a p(t)
3
a2
4
a2
2
简写为
m*u c*u k *u p* (t)
• 作业1：图示体系为质量均匀分布的刚性平板,其质量密度
惯性力的计算
• （1）平面内质量为m的质点 •（2）平面内质量为m,边长 分别为a、b的均布质量块
mu&&y (t)
u&&y (t)
u&&(t)
mu&&y (t)
u&&y (t)
&&(t) u&&(t)
u&&x (t) mu&&x (t)
mu&&x (t) u&&x (t)
•（3）平面内质量为m, 半径为r的均布质量圆盘
p(t) mu 0
（2.3）
质量产生的惯性力，也叫d’Alembert力，与它的加速度成正 比，但方向相反。这个概念称为d’Alembert 原理。 因此，本节实际为考虑惯性力的直接平衡法。
l
y(t) 11[P(t) my(t)]
11
l3 3EI
柔度系数
my(t)
3EI l3
y(t)
P(t)
柔度法步骤：
1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
刚度法 列动力平衡方程
P(t)
m
1
my(t)
M 0
b 2
f IH
a 2
f IV
M IG
a 2
cu acu k 2
b ub a
a ap(t) 2
0
整理，得
ab (1 b2 )u ( 5 c)u b2 ku a p(t)
3
a2
4
a2
2
简写为
m*u c*u k *u p* (t)
• 作业1：图示体系为质量均匀分布的刚性平板,其质量密度
惯性力的计算
• （1）平面内质量为m的质点 •（2）平面内质量为m,边长 分别为a、b的均布质量块
mu&&y (t)
u&&y (t)
u&&(t)
mu&&y (t)
u&&y (t)
&&(t) u&&(t)
u&&x (t) mu&&x (t)
mu&&x (t) u&&x (t)
•（3）平面内质量为m, 半径为r的均布质量圆盘
p(t) mu 0
（2.3）
质量产生的惯性力，也叫d’Alembert力，与它的加速度成正 比，但方向相反。这个概念称为d’Alembert 原理。 因此，本节实际为考虑惯性力的直接平衡法。
2(运动方程的建立)
:
k
24EIc h3
0 :
k
6EIc h3
9/45
2.1.5 阻尼力 （Damping Force）
阻尼：引起能量的耗散，
使振幅变小的一种作用。
阻尼的来源(物理机制)：
(1)材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)构件连接部位的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。
◆ 牛顿(Newton)第二定律 ◆ D’Alembert原理 ◆ 虚位移原理 ◆ Hamilton原理 ◆ Lagrange方程
14/45
运动方程：
描述结构中力与位移(包括速度和加速度)关系 的数学表达式，有时也称为动力方程。
运动方程是进行结构动力分析的基础 运动方程的建立是结构动力学的重点和难点
11/45
2.1.6 线弹性体系和粘弹性体系
(Linearly Elastic System and Viscous Elastic System) 线弹性体系：由线性弹簧(或线性构件)组成的体系。
—最简单的理想化力学模型。
粘弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼(粘性阻尼) 的影响时的体系。
—结构动力分析中的最基本力学模型。
粘性(滞)阻尼力可表示为：
fD cu
fD
u fD
fD
c 1
u
D — 表示阻尼(Damping)
(a)
c — 阻尼系数(Damping coefficient)
u — 质点的运动速度
(b)
10/45
阻尼系数 c 的确定： 不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和
材料的力学性质等来获得，因为c是反映了多种耗能因 素综合影响的系数，阻尼系数一般是通过结构原型振 动试验的方法得到。 粘性(滞)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 其它常用的阻尼： 摩擦阻尼：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数； 滞变阻尼：阻尼力大小与位移成正比(相位与速度相同)； 流体阻尼：阻尼力与质点速度的平方成正比。
结构动力学第二章结构运动方程的建立
结构动力学第二章结构运动方程的建立第2章结构运动方程的建立结构动力分析的目的,是求出动荷载作用下结构的动位移和动内力,并研究它们随时间的响应历程。
在大多数情况下，应用包含有限个自由度的近似分析方法，计算结果就足够精确了。
通常情况下，独立的几何参数取的是位移，为了求出各种动力响应，应先列出结构动力位移方程，描述结构动力位移的数学方程，称为结构的运动方程。
运动方程的解，提供了位移过程，从而可求出其他各种所需的结构动力响应。
运动方程的建立，是结构动力学的核心问题，只有运动方程建立正确，整个求解过程才可能正确。
建立振动体系的运动方程有多种方法,一般常用的方法有直接平衡法（达朗贝尔原理）、虚位移原理（拉格朗日法）、变分原理（哈密尔顿原理）3种，但不管采用何种方法建立运动方程,其结果都是一致的，本章将综述建立方程的原理和基本概念。
§2.1达朗贝尔(d’Alembert)原理根据牛顿第二定律：任何质量m 的动量变化率等于作用在这个质量上的力()F t ，力()F t 包括恢复力()R t 、阻尼力()D t 、外力()P t ，即：()()d F t my t dt = （2.1）当质量m 不随时间变化时，上式变成：即：()0F t my -= （2.2）式()0F t my -=（2.2）表示，作用在质量m 上的力()F t ，与加速度方向相反的惯性力my -平衡。
换句话说，如果我们把my -加到原来受力的质量上，则动力问题就可作为静力平衡问题来处理，这就是达朗贝尔原理。
按达朗贝尔原理，如果我们将惯性力my -沿自由度方向加到质量上，则动力问题可按静力问题来处理，当然在振动问题中，尚需考虑阻尼的存在。
按达朗贝尔原理建立质点系运动方程的一般步骤为：1.确定体系振动分析的自由度的数目，建立计算模型；2.建立坐标系，给出各自由度的位移参数；3.按达朗贝尔原理和所采用的阻尼理论，沿质量各自由度方向加上惯性力和阻尼力；4.通过分析质量平衡条件或考虑变形协调条件，建立体系运动方程。
§2.2 运动方程式的建立
对具有集中参数的旋转电机，运动方程通常有两部分组成：一组是电路方程，也就是系统的电压方程；另一组是机械方程，也就是系统的转矩方程。
建立运动方程的方法通常有三种：(1)动态耦合电路法；(2)变分原理法；(3)传统法；由于传统法在前面几章里已经介绍，所以本节仅说明前两种方法。
一、动态耦合电路法这种方法就是把处于运动状态的机电系统作为一个动态电路来看待。
这样，利用基尔霍夫定律就可以列出系统的电压方程，利用牛顿定律或达朗贝尔原理，就可以列出系统的转矩方程。
由于机电系统是一种动态电路，所以于一般的静止电路相比较，所建立的电压方程中出现一项有机械运动引起的感应电势，另外，于一般的纯机械相比较，转矩方程中多出一项电磁起因的转矩项，总之，在运动方程中多出一项机电耦合项，运动电势可以由法拉第电磁定律导出，电磁转矩可以用虚位移法和能量守恒原理导出。
下面以双边激励的机电系统为例，建立起运动方程。
对于图所示的双边激励的机电装置，电路方程包括定子绕组和转子绕组两个电压方程。
在线性情况下，根据基尔霍夫定律和法拉利电磁感应定律可知，()()[]()()d dL dL di di dtdiiLLR i i L i L R i u θθθ12112121121111212111111++++=++= ()()[]()()dtd d dL d dL dtdi dtdi dtdiiLLR i i L i L R i u θθθθθ22112121221222222112222++++=++=式中1u ，2u 为定子和转子绕组的端电压；1i ，2i 为定转子电流； 1R ，2R 为定子和转子的绕组。
这两个式子中含有dt d θ的项就是转子旋转引起的运动电势项。
若m T 为电磁转矩，l T 为轴上的负载转矩，ΩR 为旋转阻力系数，J 为转动部分的转动惯量，则根据牛顿运动定律，转矩方程为dtd dt d l m R JT T θθΩ+=-22Ф其中 θθθd dLd dL d dL m i i i i T 2212112221212121++= 二、 为分原理法动态耦合电路法是用电学，力学的基本定律和能量守恒原理列出系统运动的。
2.第二讲 圆周运动
（1）圆轨道半径R；R=62.5m
（2）切向加速度的大小 ；0.40
（3）这两时刻（t1和t1+t2时刻）的法向加速度an1和an2。0.40、0.23
例4．一质点沿圆轨道由静止开始作匀加速圆周运动。试求此质点的加速度与速度的夹角a与其经过的那段圆弧对应的圆心角 之间的关系。tga=2θ
例5．一飞轮的角速度在5s内由900转/min均匀地减到800转/min。求：
符号用f表示，单位是Hz。频率也是描述匀速圆周运动快慢的物理量，频率低运动慢，频率高运动快。f=1/T
例：某物体做圆周运动的周期为0.5s，则其每秒运动2周，其频率为2Hz。
（3）线速度
周期和频率能粗略描述物体圆周运动的快慢程度，但无法精确衡量物体圆周运动的快慢，如地球绕太阳运转的周期是不变的，但其在近日点和远日点的运动快慢并不相同。因此，要精确衡量圆周运动的快慢还需引入其他物理量。
如图示，质点绕O作半径为R的圆周运动。设t时刻，质点运动到A点，角位置为 ， 时刻质点达到B点，角位置为 。在 时间内质点转过的角度为 （ 称为角位移，单位为弧度rad），则角速度定义为：
（单位为rad/s）
角速度为矢量，其方向可用右手螺旋定则确定。
（5）线速度与角速度的关系
而 时， ，故
以上四个量是物理研究中用以研究物体圆周运动快慢程度的物理量，在工程学上还常用到其他量。
匀速圆周运动的匀速仅指匀速率，其实质上是变速运动。
（3）匀速圆周运动的角速度
对确定的匀速圆周运动， 与所用时间 的比值是恒定不变的。因此匀速圆周运动也可以说成是角速度不变的圆周运动。
（4）角速度、线速度、周期之间的关系
ω=
结论：由v=rω知，当v一定时，ω与r成反比；当ω一定时，v与r成正比；当r一定时，v与ω成正比。
（2）切向加速度的大小 ；0.40
（3）这两时刻（t1和t1+t2时刻）的法向加速度an1和an2。0.40、0.23
例4．一质点沿圆轨道由静止开始作匀加速圆周运动。试求此质点的加速度与速度的夹角a与其经过的那段圆弧对应的圆心角 之间的关系。tga=2θ
例5．一飞轮的角速度在5s内由900转/min均匀地减到800转/min。求：
符号用f表示，单位是Hz。频率也是描述匀速圆周运动快慢的物理量，频率低运动慢，频率高运动快。f=1/T
例：某物体做圆周运动的周期为0.5s，则其每秒运动2周，其频率为2Hz。
（3）线速度
周期和频率能粗略描述物体圆周运动的快慢程度，但无法精确衡量物体圆周运动的快慢，如地球绕太阳运转的周期是不变的，但其在近日点和远日点的运动快慢并不相同。因此，要精确衡量圆周运动的快慢还需引入其他物理量。
如图示，质点绕O作半径为R的圆周运动。设t时刻，质点运动到A点，角位置为 ， 时刻质点达到B点，角位置为 。在 时间内质点转过的角度为 （ 称为角位移，单位为弧度rad），则角速度定义为：
（单位为rad/s）
角速度为矢量，其方向可用右手螺旋定则确定。
（5）线速度与角速度的关系
而 时， ，故
以上四个量是物理研究中用以研究物体圆周运动快慢程度的物理量，在工程学上还常用到其他量。
匀速圆周运动的匀速仅指匀速率，其实质上是变速运动。
（3）匀速圆周运动的角速度
对确定的匀速圆周运动， 与所用时间 的比值是恒定不变的。因此匀速圆周运动也可以说成是角速度不变的圆周运动。
（4）角速度、线速度、周期之间的关系
ω=
结论：由v=rω知，当v一定时，ω与r成反比；当ω一定时，v与r成正比；当r一定时，v与ω成正比。
第二章 建立飞行器运动方程
第二章 飞行器运动方程
刚体飞行器运动方程组
飞机的纵向运动
飞机的横侧向运动
2.1、飞行器运动方程组
一、建立飞机运动方程的基本假定 二、六自由度飞机运动方程 三、飞机运动方程的分组与线性化
一、建立飞机运动方程的基本假定：
认为飞机不仅是刚体，而且质量不变； 假定地球固定于空间，即略去地球自转、公转的
一、动力学方程式
动力学方程式是描述飞机所受力、力矩与飞机运 动参数间关系的方程，显然包括两组方程：
力平衡方程式：理论依据―牛顿第二定律：
dv F ma m dt
力矩的平衡方程式： 理论依据―动量矩定理 ：
dL M dt
一、动力学方程式
1、牵连运动 选定地面坐标系为惯性坐标系，因此， 基于机体坐标系建立的飞机运动方程要考 虑牵连运动。
由此可得（相对动坐标系的动量矩）：
Lx pI x rI z L qI y y Lz rI z pI xz
3、角运动方程式
用机体系表示绝对参数变化时：
dL dL IL L dt dt
dLy dLx dLz dL 其中 ： I L i j k dt dt dt dt
dv I v iu jv kw dt i j k v p q r i(wq vr) j (ur wp) k (vp uq) u v w
一、动力学方程
力平衡方程式：
F iX jY kZ
X (u wq vr )m dv F m Y (v ur wp)m dt Z ( w vp up)m
刚体飞行器运动方程组
飞机的纵向运动
飞机的横侧向运动
2.1、飞行器运动方程组
一、建立飞机运动方程的基本假定 二、六自由度飞机运动方程 三、飞机运动方程的分组与线性化
一、建立飞机运动方程的基本假定：
认为飞机不仅是刚体，而且质量不变； 假定地球固定于空间，即略去地球自转、公转的
一、动力学方程式
动力学方程式是描述飞机所受力、力矩与飞机运 动参数间关系的方程，显然包括两组方程：
力平衡方程式：理论依据―牛顿第二定律：
dv F ma m dt
力矩的平衡方程式： 理论依据―动量矩定理 ：
dL M dt
一、动力学方程式
1、牵连运动 选定地面坐标系为惯性坐标系，因此， 基于机体坐标系建立的飞机运动方程要考 虑牵连运动。
由此可得（相对动坐标系的动量矩）：
Lx pI x rI z L qI y y Lz rI z pI xz
3、角运动方程式
用机体系表示绝对参数变化时：
dL dL IL L dt dt
dLy dLx dLz dL 其中 ： I L i j k dt dt dt dt
dv I v iu jv kw dt i j k v p q r i(wq vr) j (ur wp) k (vp uq) u v w
一、动力学方程
力平衡方程式：
F iX jY kZ
X (u wq vr )m dv F m Y (v ur wp)m dt Z ( w vp up)m