第五章 结构动力学中常用的数值解法1
结构动力学_运动控制方程_分段解析法
结构动力学运动控制方程分段解析法1. 引言1.1 概述在工程领域中，结构动力学是研究结构物体受外界力或激励下的响应和振动特性的一门学科。
结构动力学广泛应用于建筑、桥梁、飞机等领域，对于确保结构物的安全性和稳定性具有重要意义。
随着现代科技的发展，运动控制方程在结构动力学中扮演着至关重要的角色。
通过运动控制方程，我们可以深入理解和预测结构物运动的规律，并为其设计合适的控制策略。
因此，研究和解析这些方程是结构动力学研究中必不可少的一部分。
1.2 文章结构本文将按照以下顺序进行组织和阐述：首先，在第二部分中，我们将简要介绍结构动力学的定义和原理，以及涉及到的动力学方程。
接着，在第三部分中，我们将详细介绍分段解析法作为一种常见的求解方法，包括其基本原理、算法步骤以及相关应用案例。
在第四部分中，我们将描述所设计实验的参数设置，并对实验结果进行分析和讨论。
最后，在第五部分中，我们将总结本文的主要结论，并展望未来研究方向。
1.3 目的本文的主要目的是通过对结构动力学和运动控制方程的介绍，以及分段解析法的应用案例分析，进一步加深对相关理论和方法的理解。
同时，希望为研究者提供一个清晰、系统的框架，以便于更好地理解和应用这些内容。
鉴于分段解析法在结构动力学领域具有广泛应用和良好效果，本文还旨在为读者提供相关方法在实际工程问题中的指导参考。
2. 结构动力学2.1 定义和原理结构动力学是一门研究物体在受到外部力作用下的运动规律的领域。
它主要涉及质点的运动学和动力学，以及刚体与弹性体的运动特性。
在结构工程中，结构动力学用于分析和预测建筑物、桥梁、飞机等工程结构在自然环境或人为作用下的响应情况，并提供相应的设计依据。
2.2 动力学方程结构动力学理论通过牛顿定律和哈密顿原理等基本原理推导出结构系统的运动方程。
这些方程描述了结构物各个部分之间的相互关系，并包括质量、刚度、阻尼等参数。
根据实际工程问题，可以选择合适的数值解法求解这些方程，从而得到结构系统随时间变化的运动状态。
结构动力学第五章
i = 0 ,1,2 ,L
而这种离散化正符合计算机存贮的特点。 • 与运动变量的离散化相对应，体系的运动微分方程也不一定要 求在全部时间上都满足，而仅要求在离散时间点上满足，这相 当于放松了对运动变量的约束。
采用等时间步长离散时，ti = iΔ t ,i = 1,2 ,3, L
&& & mui + cui + kui = Pi
• 根据是否需要联立求解耦联方程组，逐步积分法可分为两 大类：
– 隐式方法：逐步积分计算公式是耦联的方程组，需联立求 解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的平方成正 比，例如Newmark-β 法、Wilson -θ 法。 – 显式方法：逐步积分计算公式是解耦的方程组，无需联立求 解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线性关系，如 中心差分方法（无阻尼时）。 • 下面先介绍分段解析算法，然后重点介绍两种常用的时域逐步积 分法—中心差分法和Newmark-β 法，同时也介绍Wilson -θ 法，最后介绍非线性问题分析方法。
5.2 分段解析法 （Piecewise Exact Method）
分段解析法对外荷载进行离散化处 理，假设在ti≤t≤t i+1时段内 P
实际荷载
P(τ ) = Pi + α iτ
Pi+1 Pi
插值荷载：P(τ)
α i = ( Pi +1 − Pi )/Δti
如果荷载P( t )采用计算机采样，即 离散数值采样，则以上定义可认为 是“精确”的。 • 分段解析法一般适用于单自由度体系动 力反应分析，对于多自由度体系，有时 可以采用等效方法在满足一定近似的条 件下将多自由度体系化为单自由度问题 进行分析，这时 也可以采用分段解析 法完成体系的动力反应分析。
结构动力学克拉夫
结构动力学克拉夫结构动力学是研究结构在外力作用下的变形和运动规律的学科。
它能够揭示结构的响应特性，并应用于工程和建筑物的设计、分析和优化等领域。
在结构动力学中，克拉夫方法是一种常用的数值分析方法，可以有效地求解结构的动力响应。
下面将详细介绍克拉夫方法的原理和应用。
克拉夫方法是一种离散激励动力分析方法，适用于求解线性多自由度系统的动力响应。
克拉夫方法的基本原理是离散化结构，将其简化为一系列互相连接的质点，然后通过求解质点的加速度、速度和位移来获取结构的动态特性。
克拉夫方法中引入了模态分析的概念，将结构的振型表示为一系列正交的模态，并通过求解每个模态的响应来得到结构的总响应。
在应用克拉夫方法进行结构动力分析时，首先需要建立结构的有限元模型。
该模型需要包括结构的几何形状、材料特性和边界条件等信息。
然后，通过解结构的动力方程可以得到结构的模态频率和振型。
一般情况下，结构的模态频率并不是均匀分布的，其中低频模态对结构的响应起主导作用。
因此，在求解结构的总响应时，可以只考虑前几个重要的低频模态。
在进行克拉夫分析时，需要给定一个外力激励。
这个外力激励可以是单个点的冲击载荷、均匀分布的动力载荷或者地震作用等。
通过将外力激励进行傅里叶变换，可以将其转化为频域中的振动谱。
然后，根据每个模态的频率和阻尼比，可以得到每个模态的响应谱。
最后，通过叠加所有模态的响应谱，可以得到结构的总响应谱。
这个总响应谱描述了结构在给定的外力激励下的动力响应特性。
克拉夫方法的优点是能够考虑结构的动态特性和边界条件，同时对结构的几何形状和材料特性并不敏感。
它可以用来分析和优化各种类型的结构，包括桥梁、建筑物、风力发电机塔等。
克拉夫方法可以帮助工程师预测结构的响应，并在设计阶段进行结构的优化，以提高结构的稳定性和安全性。
然而，克拉夫方法也有一些局限性。
首先，克拉夫方法仅适用于线性多自由度系统，对于非线性或者含有阻尼的系统，需要进行额外的处理。
结构动力学方程常用数值解法
结构动力学方程常用数值解法对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，动力学方程可写为：...++=()M x C x Kx F t从数学角度看，这是一个常系数的二阶线性常微分方程组，计算数学领域，常微分数值算法常用的有两大类：－、针对一阶微分方程数值积分法发展的欧拉法，中点法，Rugge-kutta（龙格—库塔）方法。
二、直接基于二阶动力学方程发展的方法。
对结构动力学问题的数值求解，常用的有两大类：一是坐标变换法，它是对结构动力方程式，在求解之前，进行模态坐标变换，实际上就是一种Rize变换，即把原物理空间的动力方程变换到模态空间中去求解。
现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法。
二是直接积分法，它是对结构动力方程式在求解之前不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。
这种方法的特点是对时域进行离散，然后将该时刻的加速度和速度用相邻时刻的各位移线性组合而成。
通常又称为逐步积分法。
模态迭加方法，比较常用，但如下情况通常使用直接积分方法（即求解之前不进行模态分析）一、非比例阻尼，非线性情况。
二、有冲击作用，激起高频模态，力作用持续时间较短，模态迭加计算量太大。
一振型迭加法与Duhamel积分数值解按照有限单元法的一般规则, 经过边界条件的约束处理, 结构在强迫振动时多自由度体系的运动平衡方程可以表示为:++= (1)MU CU KU R其中, M是体系的质量矩阵, C 是体系的阻尼矩阵, 而K 则是刚度矩阵. R 为外荷载向量. U、U和U则分别是体系单元节点的位移、速度和加速度向量. 上述动力平衡方程实质上是与加速度有关的惯性力MU和与速度有关的阻尼力CU及与位移有关的弹性力KU在时刻t与荷载的静力平衡。
振型叠加法是把多自由度体系的结构的整体振动分解为与振型次数相对应的单自由度体系, 求得各个单自由度体系的动力响应后, 再进行叠加得出结构整体响应. 振型叠加法原理是利用结构无阻尼自由振动的振型矩阵作为变换矩阵, 将结构动力方程式(1)式变换成一组非耦合的微分方程. 逐个地求解这些方程后, 将解叠加即可得到动力方程的解。
常微分方程中的数值解法及其应用
常微分方程中的数值解法及其应用常微分方程是描述物理现象、生命科学、工程和经济学中的许多过程的数学模型。
因此，在解决实际问题时，常微分方程数值解法非常重要。
本文将介绍几种经典的数值解法，并探讨它们在不同领域的应用。
欧拉法：欧拉法是常微分方程中最基本的数值解法之一。
它通过将微分方程转化为离散形式来估计解。
具体来说，对于给定的微分方程y'(t) = f(y(t), t)， y(a) = y_0，欧拉法的基本思想是将解分割为n个离散的点，i=0,1,...,n，其中每个点的步长为h = (b-a)/n，并在每个点上估计斜率。
我们可以使用下面的公式计算下一个点的y值：y_{i+1} = y_i + hf(y_i, t_i)欧拉法的简单和直接性使它成为最受欢迎的数值解法之一，但它的精度相对较低。
改进的欧拉法：改进的欧拉法是欧拉法的改进版本，它比欧拉法的精度更高。
改进的欧拉法需要计算其他一些值，如y_i+1/2和t_i+1/2。
不同的方法采用不同的步骤，但其基本思想是提高估计斜率的精度，从而提高解的精度。
龙格库塔法：龙格库塔法是常微分方程中最通用的数值解法之一，其精度比欧拉法和改进欧拉法高得多。
龙格库塔法通过评估微分方程的斜率来计算微分方程的解，使用加权平均来增加估计斜率的精度。
龙格库塔法称为四阶方法，因为其近似误差为O(h^4)。
在工程和科学领域中，龙格库塔法被广泛应用于解决不同的问题。
例如，它可以用于模拟动力系统、气象或经济方程。
后向欧拉法：后向欧拉法是一种牛顿方法的变体，用于解决常微分方程。
与欧拉法不同，后向欧拉法是一种快速和高精度的方法。
它独立于f(y),因此可以应用于更广泛的微分方程。
后向欧拉法的主要缺点是它的计算成本较高，但它对于需要高精度的问题非常有用。
应用：上述解法可应用于各种不同的领域，例如，通过患者年龄的常微分方程计算药物的代谢速率。
还可用于工业问题，如泵的设计及其流量和速度等等。
5-结构动力学(有限元计算)解读
结构分析模型
结构分析模型是结构模型的一种，是反 映真实结构几何与物理特性、供结构分析使 用的简化抽象计算图形。建立结构分析模型 是是实施结构动力反应分析的关键环节之一， 直接影响分析结果的可靠性。确定分析模型 的基本原则是反映真实结构的质量分布和抗 力体系，能描述结构在外界荷载作用下的变 形性质、且便于使用。模型的简化程度取决 于结构特征和计算目标，并与计算方法密切 相关；电子计算机的普及应用极大推动了分 析模型的发展。
f I f D fS p(t )
3.2.1.1-3 3.2.1.1-4
即
mu cu ku p(t )
公式 3.2.1.1-4 即为单自由度体系运动方程。
虚位移原理
虚位移原理可表述为：如果一组力作用下的平衡体系 承受一个虚位移（即体系约束所允许的任何微小位移）， 则这些力所作的总功（虚功）等于零，虚功为零和体系平 衡是等价的。因此，只要明了作用于体系质量上的全部力 （包括按照达兰贝尔原理所定义的惯性力），然后引入对 应每个自由度的虚位移，并使全部力作的功等于零，则可 导出运动方程。虚功为标量，故可依代数方法相加，这是 此法的主要优点。 当结构体系相当复杂，且包含许多彼此联系的质量点 或有限尺寸的质量块时，直接写出作用于体系上的所有力 的平衡方程可能是困难的；尽管作用于体系的力可以容易 地用位移自由度来表示，但它们的平衡关系则可能十分复 杂。此时，利用虚位移原理建立运动方程更为方便。
大，且积分方程求解困难，故一般不采用式（3.2.4）进行实际振动分析。
频域运动方程
时域运动方程经傅立叶变换可得频域运动方程。多自由 度弹性体系在地震作用下的频域运动方程为：
U () Hdd ()Ug ()
3.2.5
式中： U ( ) 为频域的地震反应矢量； H dd ( ) 为系统传递函 数矩阵； Ug () 为频域中的地震动输入矢量。运动方程（5） 为复数代数方程组，体系的频域反应经傅立叶反变换可得时 域反应。
结构动力计算教学课件PPT_OK
k12
0
k21
(k22 2m2 )
特征方程 频率方程
(k11 2m1)(k22 2m2) k12k21 0
4
(k11 2m1)(k22 2m2) k12k21 0
2
2 1,2
1 2
k11 m1
k 22 m2
1
2
k11 m1
k 22 m2
k11k22 k12k21 m1m2
最小圆频率称为第一(基本)圆频率： 第二圆频率-------
K1 F
n1 n2 nn
FMYY 0
K Fn自M由度Y体 系作K自由Y振动 的K 0 IM运动Y方程（K柔Y度法）0
将特解带入方
程整理后：
FM
1 2
IX
0
M Y
KY 0
FM
1 2
I
0
频率方程
19
FM
1
2 j
I j
0
j(1) 1
规准化主振型方程
一般的：
n个主振型向量彼此线性无关，
( j 1,2,, n)
n个自由 度体系的
依上式可求得与ωj 相对应 主振型，我们可唯一地确 振型方程
定主振型的形状，但不能唯一地确定它的振幅。
N自由度体系有n个主振型，若体系为对称形式，则这些主振型
分为对称及反对称形式两类。
17
主振型的规准化：
为了使主振型的振幅也具有确定值，需另外补充条件， 由此得到的主振型叫规准化主振型。
则系数行列式为零：
K 2 M 0
n个自由度体系 的频率方程
n个频率（按数值大小从小到大排列）： ω1，ω2，---，ωn
令：Xj 表示与频率ωj相对应的主振型向量：
结构动力学方程常用数值解法教学文案
结构动力学方程常用数值解法结构动力学方程常用数值解法对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，动力学方程可写为：...M x C x Kx F t++=()从数学角度看，这是一个常系数的二阶线性常微分方程组，计算数学领域，常微分数值算法常用的有两大类：－、针对一阶微分方程数值积分法发展的欧拉法，中点法，Rugge-kutta（龙格—库塔）方法。
二、直接基于二阶动力学方程发展的方法。
对结构动力学问题的数值求解，常用的有两大类：一是坐标变换法，它是对结构动力方程式，在求解之前，进行模态坐标变换，实际上就是一种Rize变换，即把原物理空间的动力方程变换到模态空间中去求解。
现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法。
二是直接积分法，它是对结构动力方程式在求解之前不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。
这种方法的特点是对时域进行离散，然后将该时刻的加速度和速度用相邻时刻的各位移线性组合而成。
通常又称为逐步积分法。
模态迭加方法，比较常用，但如下情况通常使用直接积分方法（即求解之前不进行模态分析）一、非比例阻尼，非线性情况。
二、有冲击作用，激起高频模态，力作用持续时间较短，模态迭加计算量太大。
一振型迭加法与Duhamel积分数值解按照有限单元法的一般规则, 经过边界条件的约束处理, 结构在强迫振动时多自由度体系的运动平衡方程可以表示为:&&& (1)++=MU CU KU R其中, M 是体系的质量矩阵, C 是体系的阻尼矩阵, 而K 则是刚度矩阵. R 为外荷载向量. U 、U &和U &&则分别是体系单元节点的位移、速度和加速度向量. 上述动力平衡方程实质上是与加速度有关的惯性力MU &&和与速度有关的阻尼力CU &及与位移有关的弹性力KU 在时刻t 与荷载的静力平衡。
振型叠加法是把多自由度体系的结构的整体振动分解为与振型次数相对应的单自由度体系, 求得各个单自由度体系的动力响应后, 再进行叠加得出结构整体响应. 振型叠加法原理是利用结构无阻尼自由振动的振型矩阵作为变换矩阵, 将结构动力方程式(1)式变换成一组非耦合的微分方程. 逐个地求解这些方程后, 将解叠加即可得到动力方程的解。
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第五章结构动力学中常用的数值解法§5.1概述数值分析技术为结构的动态分析提供了有力的保障，为工程结构在各种复杂的动力学环境下的模拟和仿真提供了有效工具。
工程结构的动态分析主要包括两个方面：结构的动态特性分析和结构动态响应分析标准特征值问题和广义特征值问题1 雅可比方法（Jacobi）、2.Rayleigh-Ritz3.子空间迭代法4. 行列式搜索法行列式搜索法是求解大型特征值问题的另一种方法。
它的特点是综合运用多项式加速割线迭代，移轴向量逆迭代，Sturm序列的性质以及Gram－Schmidt正交化过程，直接计算所需要的任意特征对，通常是计算最小的部分特征值及相应的特征向量。
因此，它是一种计算部分特征对的特殊求解方法。
此方法具有计算速度快，精度高，灵活等优点。
nczos法Lanczos方法目前被认为是求解大型矩阵特征值问题的最有效方法，与子空间迭代法相比，其计算量要少得多。
响应数值分析：1.中心差分法2.Wilson -θ法3.Newmark 法响应求解方法的选择取决的因素有：载荷、结构、精度要求、非线性影响程度、方法的稳定性等。
综合各方面的因素，比较、权衡，才能判定所应采取的方法；有时为了互相验证，也可以同时采取两种以上的方法来处理动响应分析对于载荷，一般分为波传导载荷与惯性载荷。
对结构过于复杂的情况，宜采用直接积分法，结构较简单的情况可采用模态迭加法。
对精度要求较低的初步设计阶段，可采用取少数模态的模态迭加法。
对精度要求较高的最后设计阶段，宜采用直接积分法§ 5.2 求解系统固有频率主振型的近似解法1.邓柯利法：是邓柯利首先通过实验方法建立起来的一个计算公式，后来才得到完整的数学证明。
[]M []δ设质量矩阵，柔度矩阵为则有{}[][]{}0x M x δ+=1894年邓柯利：提出一种近似计算多圆盘轴横向振动基频的实用方法（偏小）设系统作j 阶主振动,则有：2()2{}{}sin {}j j j j x A t x ωωω=-=-代入得特征方程：21([][][]){}0jM I x δω-=有111112*********2222222112221101n njn njn n n n nn nn jm m m m m m m m m δδδωδδδωδδδω--=-假设质量矩阵为对角阵，展开得：1111222222(1)11()nn nn n n jjm m m δδδωω--++++=根据多项式的根与系数之间的关系21jω211ω22211nωω的n 个根，之和为1111222222212111nn nnnm m m δδδωωω+++=+++由于二阶频率往往比基频高得多22221111n ωωω111122222111nnn nn ii ii i m m m m δδδδω==+++=∑22211n ωω得忽略111nii iii mωδ==∑ii ii m ω表示仅有质量单独存在时（原多自由度系统变成单自由度系统）的固有频率1ii ii ii ii iik m m ωδ==设2222111221111nnωωωω=+++如例题1m 2m 3m 3331122339169768768768l l l EI EI EI δδδ===22113331117689EI m l m ωωδ===⨯222322176816EI m l m ωδ==⨯333211921634768768768l m l m l mEI EI EIω⨯=+=134.752EImlω=134.933EImlω=精确解2.雅可比（Jacobi ）法求特征方程[]A 设为对称阵，[]{}{}A x x λ=12[][][][](,,)Tn S A S D diag d d d ==即可断定[D]的n 个对角元素就是[A]的n 个特征值，而[S]的第i 列就是[D]中第i 个对角元素所对应的特征向量，[S]为坐标变换矩阵。
pq a [(,,)]S p q θ在[A]中非对角线元素中选取一个绝对值最大的元素，设为，利用平面旋转矩阵A 对进行正交变换：1()()()[][(,,)][][(,,)]i i i i A S p q A S p q θθ+=其中cos cos sin sin 0,,pp qq pq qp ij s s s s s i j p qθθθθ===-==≠22pqpp qqa tg a a θ=-(1)(2)()[][][][]n S S S S =()1,ii s i p q =≠用雅可比法求n 阶对称矩阵[A]的特征值和特征向量的步骤pq a n S I =①设为单位矩阵②在A 中选取非对角线元素中绝对值最大的元素pqx a =-1()2pp qq y a a =-22xx yω=+sin 2θω=2sin 2(11)ωθω=+-2cos 1sin θθ=-④Vb 实现pq a ε<③tan 2xyθ=[]11cos sin 11sin cos 11p q p S q θθθθ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第列第列第行第行3.瑞利（Rayleigh ）法已知系统的刚度[K]，质量[M]，并设定系统的j 阶主振型为(){}j A 对于作简谐运动的多自由度系统，其动能T 与势能V 1{}[]{}2T T x M x =1{}[]{}2T V x K x =系统作j 阶主振动时()(){}{}sin()j j j x A t ωϕ=+()(){}{}cos()j j j j x A t ωωϕ=+()()2{}{}sin()j j j j x A t ωωϕ=-+速度及加速度2()()max 1{}[]{}2T j j j T A M A ω=()()max 1{}[]{}2T j j V A K A =()()2()(){}[]{}{}[]{}T T j j j j j A K A A M A ω=()(1,2)j j r ψ=里兹法：是瑞利法的改进将瑞利法使用的单个假设模态改进为若干个独立的假设模态的线性组合()1{}[]{}r j j j A a a ψψ===∑12{}{}Tr a a a a ={}[]{}{}[]{}(){}[]{}{}[]{}T T T T A K A a K a R a A M A a M a ψ==[][][][]T K K ψψ=[][][][]T M M ψψ=瑞利商在真实模态处取驻值0(1,2)j R j r a ∂==∂（参见刘延柱振动力学107页）得2([][]){}0K M a ω-=问题又归结为矩阵的本征值问题，但与原系统的本征值比，矩阵的阶数r 小于原系统的阶数n.()2()[]{}[]{}j j j K A M A ω=4.矩阵迭代法()2()[]{}[]{}j j j K M φωφ=标准化()1()21{}[][]{}j j j K M φφω-=整理得：()()21{}[][]{}[][]j j j M M D φδφδω==对于正定系统：可写为11{}[]{}i i iA D φφ++=迭代210[]121011K k -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦00[]0000m M m m ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦假设一个初值11111[][]122123K k δ-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦111[][][]122123m D M k δ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：取初值：01{}11φ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭110111113{}[]{}1221 1.6612312m m A D k k φφ⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎢⎥===⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎩⎭221114.66{}[]{}[]1.66 1.782 2.21m A D D k φφ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪===⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭33214.99{}[]{} 1.7992.24m A D k φφ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭44315.039{}[]{} 1.82.24m A D k φφ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭振型值趋于稳定。
211 5.039mk ω=10.445k mω=迭代终止：{}(1)11.82.24φ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭几种数值算法的比较：根据瑞利商的性质，原则上可用瑞利商计算任意阶固有频率，但由于高阶主振型很难合理假设，所以瑞利商一般用于求基频，瑞利商求的基频是真实值的上限，这是因为假设的一阶主振型与真实振型的偏差，相当于对系统附加了某些约束，从而提高了系统的刚度，使基频有所提高。
矩阵迭代法只能求前几阶频率，求较高阶的频率和模态需要把前几阶的模态剔除才能收敛。
邓柯莱公式建立的是质量矩阵为对角阵的情况，而且第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于基频，邓柯莱公式计算出的基频显然是精确值的下限。
5.子空间迭代法子空间迭代法实质就是对一组试验向量反复地使用里兹法和矩阵迭代法，它将矩阵迭代法每次迭代一个假设模态，发展为同时迭代系统的前r 阶假设模态，因而提高了计算效率，迭代过程中各阶假设模态的正交性由里兹法保证。
(){}(1,2)j j r ψ=(){}(1,2)j j r ψ=n r ⨯设系统的前r 阶模态构成全部n 阶模态所张成的线性空间的一个子空间，任选r 个独立的向量作为子空间的假设模态,组成阶矩阵(1)(2)()[]{}{}{}r ψψψψ⎡⎤=⎣⎦各个假设模态(){}(1,2)j j r ψ=总能表示成真实模态的线性组合。
()()()1{}{}(1,2)n j j i i i a j r ψφ===∑②式()()[]{}{}j j j D φλφ=[]D 代入②式两边乘以阵()()()()()11111[]{}[{}{}](1,2)r n j j i j i i i i i i i r D a a j r λλψλφφλλ==+⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑如此迭代k 次后()()()1[]{}(){}r k j j ki j i i D a ψλφ==∑第二项包含的高于r 阶模态的成分比第一个求和式更快趋近于零。
{}[]{}()()j j j D λφφ=子空间迭代的步骤0[][]n r A ψ⨯=假设初始模态矩阵(1)(0)[][][]D A ψ=将上式左乘矩阵[D](1)[]ψ(1)[]A 利用各列的线性组合表示子空间基的一次近似(1)(1)[][][]A a ψ=(1)(2)()[]{}{}{}Tr a a a a ⎡⎤=⎣⎦[]a (1)[]A 以为假设模态，进行里兹法计算，以确定系数矩阵(1)(1)[][][][]T K K ψψ=(1)(1)[][][][]T M M ψψ=先作出以下r 阶方阵瑞利商取驻值[][][]([][])[][][]T T a K a R a a M a ψ=[]0[]R a ∂=∂2([][])[]0K M a ω-*=r r {}a 解此本征值，得到个本征值和个本征向量(1,2,)i a i r =(1)(1)[][][]A a ψ=(1)A 代入式中则子空间的一次近似完全确定，构成的各个模态满足正交性条件，至此完成第一次迭代，(1)[]A (0)[]A 将代替进行第二次迭代(2)(1)[][][]D A ψ=(2)(2)[][][]A a ψ=得：100[]012002M m ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦210[]132022K k -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1112[][][][][]124125m D M K M k δ-⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦例取前二阶假设模态，归一化后作为子空间基的零次近似00.52[]0.9111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦01120.52 3.41[][]1240.91 6.30125117.31m m D A k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(1)0.4651[]0.863011ψ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦代入式得：0.41230.2054[]0.20544K k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 2.9617 1.5342[] 1.53423M m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设2k m γω=代入得：20.4123 2.96170.2054 1.53421.607(7.7495 4.0643)00.2054 1.534243γγγγγγ--=-+=--127.18370.5658γγ==解出本征值：120.3731 1.3295k k m mωω==438.70.519611a -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(1)0.4625 2.58540.86100.933411A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦得到前两阶固有频率的一次近似值及对应的系数矩阵(1)1120.4625 2.58541240.86100.9334125113.3235 1.51886.18450.45227.18450.5478m DA k m k -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2)0.4626 2.77250.86080.825511ψ-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦0.41130.000956[]0.00095618.142K k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 2.9550.00685[]0.0068510.268M m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦代入得：本征方程为：20.4113 2.95500.0009560.006850.0009560.0068518.14210.3687.462(7.756 4.106)0γγγγγγ----=-+=解出本征值127.18450.5715γγ==前二阶固有频率的二次近似值，更接近真实值120.3730 1.3228k k m mωω==作业：5-1（1）-（5）。